844 kb

300
Лекции кафедры высшей математ ики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Приложение 1
СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
НА ПЛОСКОСТИ
В §4.4. были перечислены конкретные типы линий второго порядка, различие между
которыми сохраняется при переходе из одной декартовой системы координат в другую. В
данном приложении будут рассмотрены характерные свойства этих линий.
§Пр.1.1. Вырожденные линии второго порядка
К вырожденным линиям второго порядка будем относить все типы, перечисленные
в первых четырех столбцах таблицы теоремы 4.4.1. Кратко опишем их свойства.
1. Тип линии “Несовпадающие прямые”
Уравнение
x2
a2

y2
b2
 0 определяет пару пересекающихся прямых в системе коор-
 
динат {O, e1 , e2 }. В свою очередь, уравнение y2  a2 при a  0 определяет пару параллельных прямых.
Пример
Пр.1.1.1.
 
Пусть на плоскости {O, e1, e2 }
задана линия второго порядка
3x 2  4 xy  y 2  0 .
Преобразовав ее уравнение к
виду (2 x  y ) 2  x 2  0 (метод Лагранжа), получим две
прямые y   x и y  3x .
(Рис. Пр.1.1.1.)
y
y
x

O
x
Рисунок Пр.1.1.1.
301
Приложение 1
Свойства линий второго порядка на плоскости
В данном случае   1  0 , а угол поворота осей системы координат  
1
arctg 2 .
2
2. Тип линии “Совпадающие прямые”
 
Уравнение y2  0 определяет прямую y   0 в системе координат {O, e1 , e2 }. Получается из типа линии 1 предельным переходом при b  0 .
3. Тип линии “Точки”
Уравнение
x2
a2

y2
b2
 0 определяет единственную точку - начало координат систе-
 
мы {O, e1 , e2 }.
4. Тип линии “Пустые множества”
Уравнения
x2

y2
 
 1 и y2  a2 не определяют на плоскости {O, e1 , e2 } ника-
a2 b2
ких точек. Однако эти случаи иногда именуют “мнимыми линиями”.
§Пр.1.2. Эллипс и его свойства
Определение
Пр.1.2.1.
Кривая, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе коорx2 y2
динат имеет вид 2  2  1 ; a  b  0 , называется эллипсом.
a
b
Определение
Пр.1.2.2.
Число  
Точки
 a
0
a2  b2
называется эксцентриситетом эллипса.
a
называются фокусами эллипса.
302
Лекции кафедры высшей математ ики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Прямые x  
Число p 
a

называются директрисами эллипса.
b2
называется фокальным параметром эллипса.
a
Свойства эллипса:
1.
Эллипс - ограниченная кривая: | x |  a и | y |  b , что следует из записи
b 2
a  x2 ;
канонического уравнения в форме y  
a
2.
Эллипс L обладает осевой симметрией относительно осей Ox и Oy, а
также центральной симметрией относительно начала координат. Это
вытекает из отношений
x
L
y

x
L
y

x
L
y

x
 L,
y
очевидных для канонического уравнения эллипса.
Свойства эллипса иллюстрирует рисунок Пр.1.2.1.
y
b
D2

B
A
D1

-a
F2
O
F1
a
x
-b
x
a
x

Рисунок Пр.1.2.1.
a

303
Приложение 1
Свойства линий второго порядка на плоскости
Будем обозначать через  ( P , Q ) расстояние между геометрическими объектами P и
Q, а через  и  обозначим углы между касательной и фокальными радиусами - отрезками
F1A и F2 A .
Теорема
Пр.1.2.1.
x
есть точка, принадлежащая эллипсу L, заданному каноy
ническим уравнением, тогда имеют место следующие соотношения:
Пусть A=


1. r1 | F1 A| a   x ; r2 | F2 A | a   x ;


2. | F1 A || F2 A |  2a ;
3.
 ( A, F1 )  ( A, F2 )

;
 ( A, D1 )  ( A, D2 )
4.
 ( M , F1 )
   M , M  L ;
 ( M , D1 )


5. | F2 B | p , где F2 B ортогонален оси Ox ;
6.    .
Доказательство:
1. Имеем r1  ( x  a ) 2  y 2 ; r2  ( x  a ) 2  y 2 . Тогда, учитывая каноническое уравнение и определение эксцентриситета, получаем для i=1,2
ri  ( x  a ) 2  y 2  ( x  a ) 2 
b2 2
(a  x 2 ) 
2
a
 ( x  a ) 2  (1   2 )( a 2  x 2 ) 
 x 2  2 xa  a 2 2  a 2  a 2 2  x 2  x 2 2 
 a 2  2 xa  x 2 2  | a   x | .
Но поскольку | x | a и 0    1 , то a   x  0 и, следовательно,


r1 | F1 A |  a   x ; r2 | F2 A |  a   x .
2. Утверждение 2 очевидно в силу 1.
304
Лекции кафедры высшей математ ики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
3. Далее
 ( A, F1 ) a  x
 ( A, F2 ) a  x

 ;

.
 ( A, D1 ) a
 ( A, D2 ) a
x
x


4. Справедливость 4 докажите самостоятельно.
5. Наконец,

| F2 B | 
b
b
b
a 2  a 2 2  a 1   2  b  p .
a
a
a
6. Доказательство приводится после доказательства теоремы Пр.1.2.2.
Теорема доказана.
Проведение касательных к эллипсу
x0
есть точка, принадлежащая эллипсу, заданному канониy0
ческим уравнением, тогда уравнение касательной к этому эллипсу,
проходящей через точку A , имеет вид:
x0 x y0 y
 2 1.
a2
b
Пусть A=
Теорема
Пр.1.2.2.
Доказательство:
Уравнение касательной в точке A имеет вид y  y 0  y ( x 0 )( x  x 0 ) .
Для эллипса из канонического уравнения получаем
2x
a
y ( x0 )  
x02
a
2

y02
b
2
2

2 yy
b2
 0 , то есть
b 2 x0
b 2 x0
( x  x0 ) , принимая во внимание, что
. Но тогда y  y0   2
a 2 y0
a y0
 1 , окончательно получим
x0 x
a
2

y0 y
b2
 1.
Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремы для точек y 0  0 , где
уравнения касательных имеют вид x  a .
Теорема доказана.
305
Приложение 1
Свойства линий второго порядка на плоскости
Доказательство свойства 6 теоремы Пр.1.2.1.:
Пусть касательная к эллипсу проведена через точку касания A, имеющую координаx0
c
ты
. Тогда расстояние d 2 от фокуса F2 с координатами
до касательной
y0
0
равно (см. задачу 3.2.1.)
d2 
r
1 x0 (c) y0 (0)
1 x0 c
1
 2 1 
1 
x0  a  2 ,
2
2
 a
 a
a
a
b
где  
x02 y02

.
a2 b2
Аналогично находим расстояние d 1 от фокуса F1 с координатами
c
до касатель0
ной
d1 
r
1 x0 c
1
1 
x 0  a  1 .
2
 a
a
a
Поскольку углы  и  острые, то из равенств sin  
следует    .
d2
1
d1
1

и sin  

r2  a
r1 a
Свойство 6 теоремы Пр.1.2.1. доказано.
Из теорем Пр.1.2.1. и Пр.1.2.2. следует возможность альтернативных формулировок
свойств эллипса.
Фокальное свойство эллипса: эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов, постоянна и равна 2a .
Директориальное свойство эллипса: эллипс (исключая случай окружности) есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до данной
точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно
и меньше единицы.
Оптическое свойство эллипса: касательная в любой точке эллипса образует с фокальными радиусами точки касания равные острые углы. (Любой луч
света, исходящий из одного фокуса, после отражения в эллипсе проходит через другой фокус.)
306
Лекции кафедры высшей математ ики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Уравнение эллипса в полярной системе координат
Поместим полюс полярной системы координат в левый фокус эллипса, а полярную
ось направим по линии, соединяющей его фокусы. Для произвольной точки A , лежащей на
эллипсе (рис. Пр.1.2.1.), имеем
  r2  a  x  a   (  cos   a )  a    cos   a 2 .
Откуда
y
 (1   cos  )  a(1   )
2
A
p
и окончательно  
.
1  cos 


x
O
Рисунок Пр.1.2.2.
§Пр.1.3. Гипербола и ее свойства
Определение
Пр.1.3.1.
Кривая, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе коорx2 y2
динат имеет вид 2  2  1 ; a  0 b  0 , называется гиперболой.
a
b
Определение
Пр.1.3.2.
Число  
Точки
a2  b2
называется эксцентриситетом гиперболы.
a
a
называются фокусами гиперболы.
0
Прямые x  
Число p 
a

называются директрисами гиперболы.
b2
называется фокальным параметром гиперболы.
a
307
Приложение 1
Свойства линий второго порядка на плоскости
Cвойства гиперболы:
1. Гипербола - неограниченная кривая, существующая для | x |  a , что следуb 2
x  a2 ;
ет из записи канонического уравнения в форме y  
a
2. Гипербола L обладает осевой симметрией относительно осей Ox и Oy, а
также центральной симметрией относительно начала координат. Это вытекает из отношений
x
L
y

x
L
y

x
L
y

,
x
 L,
y
очевидных для канонического уравнения гиперболы.
Через α и β обозначим углы между касательной и фокальными радиусами (рис. Пр.1.3.1.)
Определение
Пр.1.3.2.
Прямая y  ux  v называется асимптотой для линии y  f (x ) при x   ,
если
f ( x)
u  lim
x  x
и
v  lim ( f ( x )  u x ) .
x 
3.
Гипербола обладает асимптотами вида y  
b
x.
a
308
Лекции кафедры высшей математ ики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Свойства гиперболы
иллюстрируются
рис. Пр.1.3.1.
y
B
D2
D1
b
A
r2
O
F2
 
a-
a
r1
x
F1
-b
Рисунок Пр.1.3.1.
b
b
x 2  a 2   и, кроме того,
x   ax
a
Действительно, u  lim
b 2
b
b
x  a2  x) 
lim ( x 2  a 2  x) 
x 
a
a
a x
b
(x2  a2 )  x2
1
 lim
  ab lim
 0.
2
2
2
x


x


a
x a  x
x  a2  x
v  lim (
Теорема
Пр.1.3.1.
x
есть точка, принадлежащая гиперболе L, заданной каноy
ническим уравнением, тогда имеют место следующие соотношения:
Пусть A=
1. Для правой ветви


r1 | F1 A |  a   x ; r2 | F2 A |  a   x ; ( x  a ) .
Для левой ветви


r1 | F1 A |  a   x ; r2 | F2 A |  a   x ; ( x  a ) ;
309
Приложение 1
Свойства линий второго порядка на плоскости
 ( A, F1 )  ( AF2 )

 ;
 ( A, D1 )  ( A, D2 )
2.
| r1  r2 |  2a
4.
( M , F1 )
   M , M  L ;
( M , D1 )
;
3.

5.
| F2 B |  p ;
6.    .
Доказательство:
1. Доказательство аналогично доказательству теоремы Пр.1.2.1., поэтому ограничимся здесь лишь нахождением величин
r1  ( x  a ) 2  y 2 ; r2  ( x  a ) 2  y 2 ,
используя каноническое уравнение и определение эксцентриситета.
Для i  1,2 получаем
ri  ( x  a )  y  ( x  a ) 
2
2
2
b2
a
2
(a 2  x 2 ) 
 ( x  a ) 2  (1   2 )( a 2  x 2 ) 
 x 2  2 xa  a 2 2  a 2  a 2 2  x 2  x 2 2 
 a 2  2 xa  x 2 2 | a   x | .
Но
поскольку для
гиперболы

| x | a
и
  1 , то для правой вет-

ви r1 | F1 A |  a   x ; r2 | F2 A |  a   x , а для левой - соответственно


r1 | F1 A |  a   x ; r2 | F2 A |  a   x . Откуда и следует 2 и 3.
Справедливость 4 докажите самостоятельно.

5. Наконец, | F2 B| 
b
b
b
a 2 2  a 2  a  2  1  b  p .
a
a
a
6. Докажите это утверждение самостоятельно, по аналогии с доказательством свойства 6 теоремы Пр.1.2.1., используя также теорему Пр.1.3.1.
Теорема доказана.
310
Лекции кафедры высшей математ ики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Замечание о свойствах гиперболы:
Каноническое уравнение, изучаемой в курсе элементарной математики гиперболы
a
y  , получается путем следующей замены координат
x
1

 x  2 x  

1
y 
x 

2
1
y
2 .
1
y
2
Из теорем Пр.1.3.1. и Пр.1.2.2. следует возможность альтернативных формулировок
свойств гиперболы.
Фокальное свойство гиперболы: гипербола есть геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фокусов, постоянна и равна 2a .
Директориальное свойство гиперболы: гипербола есть геометрическое место точек,
отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и больше единицы.
Оптическое свойство гиперболы: касательная в любой точке гиперболы образует с
фокальными радиусами точки касания равные углы. (Изображение точечного источника света, расположенного в одном из фокусов, есть
мнимое и находится в другом фокусе гиперболы.)
Проведение касательных к гиперболе
Теорема
Пр.1.3.2.
Пусть A=
x0
y0
есть точка, принадлежащая гиперболе, заданной кано-
ническим уравнением, тогда уравнение касательной к этой гиперболе,
проходящей через точку А, имеет вид:
x0 x y0 y
 2  1.
a2
b
311
Приложение 1
Свойства линий второго порядка на плоскости
Доказательство:
Уравнение касательной в точке A имеет вид y  y0  y( x0 )( x  x0 ) .
Для гиперболы из канонического уравнения получаем
y ( x0 ) 
x02
a2

y02
b2
b 2 x0
. Но тогда
a 2 y0
y  y0 
 1 , окончательно получим
2x
a2

2 yy
b2
 0 , то есть
b 2 x0
( x  x0 ) , принимая во внимание, что
a 2 y0
x0 x
a2

y0 y
b2
 1.
Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремы для точек y 0  0 , где
уравнения касательных имеют вид x  a .
Теорема доказана.
Уравнение гиперболы в полярной системе координат
Поместим полюс полярной системы координат в правый фокус гиперболы, а
полярную ось направим по положительной полуоси Ox. (Рис. Пр.1.3.2.)
y
D1
A
Имеем для произвольной точки A , лежащей на правой ветви гиперболы,
b
  r1   a  x 
  a   (  cos   a ) 
O
  a    cos   a 2
r1

a
.
-b
 (1   cos  )  a ( 2  1)
p
окончательно  
.
1  cos 
Откуда
и
Рисунок Пр.1.3.2.
F1
x
312
Лекции кафедры высшей математ ики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
§Пр.1.4. Парабола и ее свойства
Определение
Пр.1.4.1.
Кривая, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе координат имеет вид y 2  2 px ; p  0 , называется параболой.
Определение
Пр.1.4.2.
Точка
p
2
называется фокусом параболы.
0
Прямая x  
p
называется директрисой параболы.
2
Число p называется фокальным параметром параболы.
Свойства параболы иллюстрируются рис. Пр.1.4.1., на котором через  обозначим угол
между касательной и фокальным радиусом, а через  угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
y
B
D
A

 O
x
F
p
2
0
x
p
2
Рисунок Пр.1.4.1.
313
Приложение 1
Свойства линий второго порядка на плоскости
Свойства параболы:
1. Парабола - неограниченная кривая, существующая для x  0 ;
2. Парабола L обладает осевой симметрией относительно оси Ox, что вытекает из отношения
x
x
L 
L ,
y
y
очевидного для канонического уравнения параболы.
3. Для параболы имеет место монотонное возрастание абсолютной величины ординаты при возрастании абсциссы, причем в нуле касательная к параболе вертикальна.
x
есть точка, принадлежащая параболе L, заданной каноy
ническим уравнением, тогда имеют место следующие соотношения:
Пусть A=
Теорема
Пр.1.4.1.
1. r  x 
3.
p
;
2
2.
 ( A, F )
 1;
 ( A, D)
 ( M, F)
 1  M , M  L ;
 ( M , D)

4. | FB |  p ;
5.    .
Доказательство:
1.
Имеем r  ( x 
p 2
)  y 2 , используя каноническое уравнение, получаем
2
p
p2
p
 2 px  | x  | , но поскольку x   , приходим сразу к
2
4
2
справедливости утверждений 1 и 2.
r  x 2  px 
Справедливость 3 докажите самостоятельно.

p
 p.
2
4.
Наконец, | FB |  2 p
5.
Доказательство приводится после доказательства теоремы Пр.1.4.2.
Теорема доказана.
314
Лекции кафедры высшей математ ики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Замечание о свойствах параболы
Каноническое уравнение, изучаемой в курсе элементарной математики параболы вида
y  ax , получается путем взаимного переименования координатных переменных.
2
Из теоремы Пр.1.4.1. следует возможность альтернативных формулировок свойств
параболы.
Директориальное свойство параболы: парабола есть геометрическое место точек,
отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и равно единице.
Оптическое свойство параболы: касательная в любой точке гиперболы образует
равные углы с фокальным радиусом точки касания и положительным
направлением оси абсцисс. (Каждый луч света, выходящий из фокуса
параболы, после отражения от параболы распространяется параллельно
ее оси.)
Проведение касательных к параболе
Теорема
Пр.1.4.2.
x0
есть точка, принадлежащая параболе, заданной канониy0
ческим уравнением, тогда уравнение касательной к этой параболе,
проходящей через точку А, имеет вид:
Пусть A=
yy0  p( x  x0 ) .
Доказательство:
Уравнение касательной в точке A имеет вид y  y0  y( x0 )( x  x0 ) . Для параболы из
p
канонического уравнения получаем 2 yy   2 p , то есть y ( x0 ) 
, y0  0 . Но тогда
y0
p
y  y0 
( x  x0 ) , принимая во внимание, что y02  2 px0 , окончательно получим
y0
yy0  p( x  x0 ) .
Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремы для точки y 0  0 , где
уравнение касательной x  0 .
Теорема доказана.
315
Приложение 1
Свойства линий второго порядка на плоскости
Доказательство свойства 5 теоремы Пр.1.4.1.:
Направляющий вектор касательной к параболе в точке A есть
ного радиуса -
x0 
y0
, а вектор фокальp
p
2 . Поэтому
y0
p
)  py0
2

p 2
2
( x0  )  y0
2
y0 ( x0 
cos  
y02
p
2
y0
y02
p
2
.
y0
1
и
выражается той
p
0
же формулой. Поскольку углы  и  острые, то они равны.
Но, с другой стороны, косинус угла  между векторами
Теорема доказана.
Уравнение параболы в полярной системе координат
Поместим полюс полярной системы координат в фокус параболы, а полярную
ось направим по линии, перпендикулярной директрисе и проходящей через ее
фокус. (Рис. Пр.1.4.2.)
Для произвольной точки A, лежащей на
параболе,
  x
y
A
O
F


D
p p
p
   cos   p   cos  .
2 2
2
Откуда  (1  cos  )  p
Рисунок Пр.1.4.2.
и окончательно  
p
.
1cos 
x