ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВНИЕМ МЕТОДА ГРАФОВ

ПОСОБИЕ
ПО РЕШЕНИЮ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С
ИСПОЛЬЗОВНИЕМ МЕТОДА ГРАФОВ
Составитель:
Добрякова Ирина Николаевна
МОСКВА
При решении логических задач обычно трудно бывает удержать в памяти
многочисленные факты, данные в условии, устанавливать вязь между ними,
высказывать гипотезы. На помощь могут прийти рисунки графов.
Использование рисунков графов при решении логических задач избавляет от
лишних рассуждений, во многих случаях сокращает нагрузку на память.
Выделяя из словесных рассуждений главное – объекты и отношение между
ними, графы представляют изучаемые объекты наглядной форме.
Рассмотрим использование рисунков графов на примере решения двух
логических задач.
ЗАДАЧА 1. Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет
сказал Белокурову: ''Любопытно, что один из нас белокурый, другой брюнет,
третий рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии''. Какой
цвет волос имеет каждый из друзей?
Приведем подробное решение. Постом граф отношения, заданного
условия задачи. Для этого прежде всего выделим множество фамилий М и
множество цветов волос К, элементы которых будем обозначать точками.
Точки множества М назовем буквами Б, Ч, Р (Белокуров, Чернов и Рыжев);
точки второго множества – б, бр, р (белокурый, брюнет, рыжий). Если точке
одного из множеств соответствует точка из другого, мы их соединим
сплошной линией, а если не соответствует, то штриховой. Условие задачи
указывает лишь на несоответствия, поэтому вначале должен возникнуть
граф, изображенный на рис.1.
М
К
М
К
Задача сводится к тому, чтобы найти единственно
возможное соответствие между элементами
множеств М и К, т.е. к нахождению трех сплошных
линий, соединяющих соответствующие точки
множеств.
Принцип решения задачи прост. Если какаято точка (Б) оказывается соединенной с двумя
точками другого множества штриховыми линиями
(б, бр), то с его третьей точкой (р) ее необходимо
соединить сплошной линией. Поэтому граф на
рис.1 дополняется сплошными линиями,
соединяющими точки Б и р, Р и бр (рис.2).
М
Далее остается соединить сплошной линией точку
Ч и точу б, так как точка Ч соединена с точкой бр
штриховой линией, а точка р уже ''занята'' (рис.3).
Таким образом, на графе этого рисунка
автоматически прочитываем ответ: Белокуров –
рыжий, Чернов – белокурый, Рыжов – брюнет.
К
ЗАДАЧА 2. Три товарища – Иван, Дмитрий и Степан – преподают различные
предметы (химию, биологию, физику) в школах Москвы, Санкт- Петербурга
Киева. Известно:
1) Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Санкт-Петербурге.
2) Москвич преподает не физику.
3) Тот, кто работает в Санкт-Петербурге, преподает химию.
4) Дмитрий преподает не биологию.
Какой предмет и в каком городе преподает каждый из товарищей?
Решение. Выделим три множества: множество имен, множество
предметов и множество городов. Элемент каждого из множеств на рис.4
задан своей точкой (буквы на этом рисунке – первые буквы
соответствующих слов). Если две точки из разных множеств характеризуют
признак разных людей, то будем соединять такие точки штриховой линией.
Если же две точки из разных множеств соответствуют признакам одного
человека, то такие точки будем
соединять попарно сплошными
линиями. Граф на рис.4 содержит все
заданные в условии элементы множеств
и отношения между ними. Задача на
языке графов сводится к нахождению
трех ''сплошных'' треугольников с
вершинами в разных множествах.
Рассмотрим граф на рис. 4. Напрашивается штриховой отрезок ХД.
Действительно, С-П соответствует Х и, одновременно, С-П не соответствует
Д, т.е. Х не может соответствовать Д. Итак, используется типичная такого
рода задач операция на графе: если у треугольника с вершинами в трех
разных множествах одна сторона сплошная, вторая штриховая, то третья
должна быть штриховой. Из условия задачи следует правомерность еще
одной операции на графе: если какая-то точка соединена штриховыми
отрезками с двумя точками во втором множестве, то ее следует соединить с
третьей точкой этого множества сплошным отрезком. Так проводится
сплошной отрезок ДФ. Далее проводится штриховой отрезок ДМ (в
треугольнике ДФМ сторона ДФ сплошная, а ФМ – штриховая). Теперь
соединим точки Ф и К сплошным отрезом. Если в треугольнике с вершинами
в разных множествах две стороны сплошные, то третья тоже будет
сплошной. Найден первый ''сплошной'' треугольник ДФК. Так не
возвращаясь к тексту задачи, руководствуясь лишь естественными
операциями на графе, описанными выше, мы находим решение (рис.5).
Отметим последовательность, в которой проводились отрезки: ХД, ДФ, ДМ,
ДК, ФК, МС, ИС-П, ХИ, БМ, БС. Вершин
каждого из трех полученных ''сплошных''
треугольников определяют ответ задачи:
Иван преподает химию в СанктПетербурге, Дмитрий – физику в Киеве и
Степан – биологию в Москве.
Следующие логические задачи Вам
предлагается решить, используя рисунки
графов.
Задача 1.
Пятеро друзей соревновались как-то на беговой дорожке. Виктор с
большим огорчением сообщил, что ему не удалось занять первое место.
Гриша прибежал к финишу третьим после Дмитрия. Дмитрий не занял 2
место, а Андрей не был первым. Борис сказал, что он прибежал к финишу
вслед за Виктором.
Кто какое место занял в соревнованиях?
Задача 2.
8 человек учатся в одном институте. Их имена: Володя, Костя, Леонид,
Михаил, Саша, Толя, Андрей, Борис. Их фамилии: Голубев, Дьяченко,
Елисеев, Жаров, Зеленов, Иляков, Назаров, Озеров.
Володя, Жаров и Голубев знакомы между собой. Толя знаком со всеми,
кроме одного. Фамилия Саши Озеров, а Бориса – Дьяченко. Голубев знаком
со всеми. Костя Елисеев и Андрей Зеленов дружат еще со школьной скамьи.
Назаров знает одного из всех. Жаров и Иляков знают Михаила, а Толя
познакомился с Жаровым в стройотряде.
Назовите фамилии каждого студента.
Задача 3.
В Н-ской части служили 8 офицеров: генерал, полковник,
подполковник, майор, капитан, младший лейтенант, старший лейтенант и
капрал. Их фамилии: Андреев, Борисов, Володин, Данилов, Егоров, Зуев,
Ильин, Нестеров.
Майор Данилов полковник Нестеров собираются ехать со своими
семьями в отпуск на Кавказ. Капитан, Андреев и Володин раньше вместе
служили Свердловске. Фамилия генерала – Борисов, а капрала – Ильин.
Подполковник недавно приехал из Санкт-Петербурга, где навещал свою
сестру. Старший лейтенант, Андреев и Егоров каждый вечер встречаются на
волейбольной площадке. Володин и Зуев никогда не были в СанктПетербурге. У подполковника и Андреева родственники живут в Омске.
Назовите воинские звания каждого офицера.
Задача 4.
В семье пятеро детей. Им 5, 10, 13, 15 и 17 лет. Детей зовут Аня, Боря,
Вера, Галя и Наташа. К Новому году каждому из детей родители сделал
небольшие подарки. Известно также, что одна девочка ходит в детский сад, а
Аня старше Бори. 10-летней дочке родители подарили краски, Боре – ручку, а
самому старшему из детей – книгу. Известно, что Вера не получала в подарок
карандашей, а 15-летняя Наташа очень обрадовалась подаренным маркам.
Сколько лет каждому ребенку, и какой подарок каждый из них получил
в Новом году?
Задача 5.
В шахматном турнире принимали участие 6 партнеров разных
профессий: токарь, слесарь, инженер, учитель, врач и шофер. Известно:
1) в первом туре Индреев играл с врачом, учитель с Борисовым, а Григорьев
с Евдокимовым;
2) во втором туре Дмитриев играл с токарем, а врач с Борисовым;
3) в третьем туре Евдокимов играл с инженером.
По окончании турнира места распределились так: инженер занял
1
место, Григорьев и Борисов поделили 2 и 3 места, Дмитриев занял 4
место, а Золотарев и слесарь поделили 5 и 6 места.
Какие профессии имели Григорьев, Дмитриев, Евдокимов, Золотарев,
Андреев, Борисов.
Задача 6.
На кинофестивале в течении 9 дней демонстрировались кинофильмы
режиссеров А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. Известно, что каждый из кинофильмов
демонстрировались в отдельный день. Кинофильмы режиссера А и
режиссера Д не были показаны в 5 день, а режиссеров А и И не были
показаны в последний день. Кинофильм режиссера А демонстрировался
позже, чем кинофильм режиссера Д, а кинофильм режиссера И зрители
смогли посмотреть на следующий день после демонстрации кинофильма
режиссера Е. На 8-й день был показан кинофильм режиссера В, на 6-й день –
кинофильм режиссера Ж. Кинофильм режиссера Е был просмотрен
зрителями на 3-й день после показа кинофильма режиссера Д. Во 2-ой день
был показан кинофильм режиссера Г, а кинофильм режиссеров А и З не были
показаны на 7-й день.
Определите день показа каждого кинофильма.
Задача 7.
Около одного строительства образовалась улица из 9 домов. В эти дома
вселились 9 семей: Коневы, Лежневы, Мироновы, Николаевы, Окуневы,
Павловы, Розовы, Тамановы и Стежко. Каждый дом имеет один из
следующих номеров: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Номер дома Коневых и дома
Окуневых не 5, а номер дома Коневых и дома Тамановых не 9. Номер дома
Коневых больше номера Окуневых, а номер дома Павловых на единицу
меньше номера дома Тамановых. Семья Мироновых поселилась в доме 8, а
семья Розовых – в доме 6. Семья Павловых живет через два дома от семьи
Окуневых. Второй номер имеет дом Николаевых, а номер дома Коневых и
дома Стежко не 7.
Определите номер дома каждой семьи.
Задача 8.
Шесть подруг (Катя, Лариса, Маша, Нина, Полина, Рита) занимаются в
музыкальной школе. Одна из них играет на пианино, другая на скрипке,
третья – на виолончели, четвертая на гитаре, пятая на аккордеоне, шестая на
баяне. Известно:
1) Катя и та, что играет на аккордеоне, ходят на занятия по вторникам;
2) Полина и та, что играет на пианино, ходят на занятия по средам;
3) Маша и та, что играет на скрипке, ходят на занятия по пятницам;
4) Лариса и Рита живут на улице Горького, а та, что играет на скрипке живет
на улице Чехова;
5) Та, что играет на гитаре младше Кати;
6) Та, что играет на баяне, младше Маши;
7) Лариса и та, что играет на аккордеоне, учатся в девятом классе;
8) Маша и та, что играет на гитаре, учатся в десятом классе;
9) Катя и та, что играет на пианино, не ходят на занятия по пятницам.
Определите, кто из девушек на каком музыкальном инструменте играет и
в какой из дней каждая из них ходит на занятия.
Задача 9.
В институте на разных курсах учатся шесть товарищей. Самый
младший учится на первом курсе, а самый старший на шестом.
Определите имя, фамилию каждого студента и курс, на котором он
учится, если известно следующее:
1) Аркадий не первокурсник;
2) Круглов, 2-курсник и 4-курсник на зимние каникулы собираются ехать
в спортивный лагерь;
3) Геннадий летом едет на практику в Нижний Новгород, а Петров летом
собирается ехать домой Москву.
4) Дмитрий курсом старше Евгения;
5) Аркадий и Ростов – коренные киевляне;
6) Старков в прошлом году окончил школу и поступил на тот же
факультет, где учился Титов;
7) Шишкин на курс младше Леонида.
8) Аркадий иногда пользуется прошлогодним конспектом Геннадия.
9) Михаил учится на 5 курсе, а Леонид Круглов на 6-м.
10)Аркадий и Круглов оканчивали одну и ту же школу.