Повторение курса 10 класса.

Повторение курса 10 класса.
Для итогового повторения курса геометрии 10 класса и входного повторения в начале 11
класса сделана подборка данных задач. Заучивание теорем и их доказательств не приводит
к пониманию геометрии, а с помощью задач можно повторить теоретический курс,
необходимый для входного контроля и дальнейшей работы с многогранниками и
развивать пространственное воображение у обучающихся. Предложено достаточное
количество однотипных задач, из которых можно составить самостоятельную работу по
вариантам.
Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
1. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата АВСD,
∠АВМ = 300. Найдите тангенс угла АСМ. [Ответ:
√6
6
]
2. Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех
вершин квадрата, находится на расстоянии 6 см от точки
пересечения диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до
вершин квадрата. [Ответ:2√11 ]
3. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым
углом С и гипотенузой 4 см. Отрезок СМ перпендикулярен
плоскости треугольника и равен 2 см. Найдите расстояние от
точки М до прямой АВ. [Ответ:2√2]
4. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым
углом С и гипотенузой 6 см. От резок СМ перпендикулярен
плоскости треугольника; расстояние от точки М до прямой АВ
равно 5 см. Найдите длину отрезка СМ. [Ответ: 4]
5. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым
углом С и гипотенузой 8 см. От резок СМ перпендикулярен
плоскости треугольника и равен 3 см. Найдите расстояние от
точки М до прямой АВ. [Ответ: 5]
6. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым
углом С и гипотенузой 6 см. Отрезок АМ перпендикулярен
плоскости треугольника, ∠ МСА = 600. Найдите длину отрезка
МВ. [Ответ: 3√10]
7. Отрезок АВ имеет с плоскостью 𝛼 единственную общую точку А.
Точка С делит его в отношении 2:1, считая от точки А. Через
точки С и В проведены параллельные прямые, пересекающие
плоскость 𝛼 соответственно в точках С1 и В1. Длина отрезка АС1
равна 12 см. Найдите длину отрезка АВ1.[Ответ:18]
8. Отрезок АВ имеет с плоскостью 𝛼 единственную общую точку
А. Через его середину С и точку В проведены параллельные
прямые, пересекающие плоскость 𝛼 соответственно в точках С1
и В1. Длина отрезка АС1 равна 8 см. Найдите длину отрезка АВ1.
[Ответ:16]
9. Середина С отрезка АВ принадлежит плоскости 𝛼. Через концы
отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие
плоскость 𝛼 в точках А1 и В1. Длина отрезка А1С равна 8 см.
Найти длину отрезкаА1В1.[Ответ: 16]
10.Отрезок АВ пересекает плоскость 𝛼 в точке С, которая делит его
в отношении 3:1, считая от точки А. Через концы отрезка АВ
проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость 𝛼 в
точках А1 и В1. Длина отрезка А1С равна 15см. Найдите длину
отрезка А1В1. [Ответ: 20]
11.Через концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость 𝛼,
проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость 𝛼 в
точках А1 и В1 ; АА1 = 5см, В1В = 8 см. Найдите длину отрезка,
соединяющего середины отрезков АВ и А1В1.[Ответ: 6,5]
12.Отрезок АВ пересекает плоскость 𝛼 в точке С, которая делит его
в отношении 3:5, считая от точки А. Через концы отрезка АВ
проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость 𝛼 в
точках А1 и В1. Длина отрезка А1С равна 12см. Найдите длину
отрезка А1В1. [Ответ: 32]
13.Из точки О пересечения диагоналей квадрата АВСD к его
плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ так, что ∠ ОВМ =
600. Найдите косинус угла АВМ. [Ответ:
1
]
2√2
14.Сторона квадрата АВСD равна 1 см. Отрезок АМ
перпендикулярен плоскости квадрата, ∠ АВМ = 300. Найдите
5
расстояние от точки М до прямой ВD. [Ответ: √ ]
6
15.Сторона квадрата равна 4 см. Точка, не принадлежащая
плоскости квадрата, удалена от каждой из его вершин на
расстояние 6 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости
квадрата. [Ответ: 2√7]
16.Диагональ квадрата равна 6 см. Точка, равноудаленная от всех
сторон квадрата, находится на расстоянии 5 см от точки
пересечения его диагоналей. Найдите расстояние от этой точки
59
до сторон квадрата. [Ответ: √ ]
2
17.Диагональ квадрата АВСD равна 10 см. Отрезок АМ
перпендикулярен плоскости квадрата, угол АВМ равен 600.
Найдите расстояние от точки М до прямой ВD. [Ответ: 5√7]
18.Катеты СА и СВ прямоугольного треугольника АВС равны 6 см
и 8 см. Через вершину С проходит плоскость, параллельная АВ.
Меньший катет треугольника образует с этой плоскостью угол в
450. Найдите синус угла, который образует с ней другой его
катет. [Ответ:
3√2
]
8
Пирамида
19.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а
высота боковой грани – 15 см. Найдите боковое ребро.
[Ответ: √306]
20.Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами
6 см и 8 см. Высота пирамиды проходит через середину
гипотенузы треугольника и равна гипотенузе. Найдите боковые
ребра пирамиды. [Ответ: 5√5]
21.Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник,
гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов – 9 см.
Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты
пирамиды параллельно её основанию. [Ответ: 13,5]
22.Три смежных ребра треугольной пирамиды попарно
перпендикулярны и равны 6см, 6 см и 8см. Найдите площадь
полной поверхности пирамиды. [Ответ: 66+6√41]
23.В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания
равна 10 см, а боковое ребро – 13 см. Найдите высоту пирамиды.
[Ответ: √119]
24.Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами
6 см и 8 см. Высота пирамиды, равная 12 см, делит гипотенузу
этого треугольника пополам. Найдите боковые ребра пирамиды.
[Ответ: 13]
25.В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10 см,
а сторона основания 12 см. Найдите площадь полной
поверхности пирамиды. [Ответ: 144]
26.Основание пирамиды – ромб с диагоналями 30 см и 40 см.
Вершина пирамиды удалена от сторон основания на 13 см.
Найдите высоту пирамиды. [(Ответ: 5]
27.По данной стороне основания a=9 и боковому ребру b=6 найти
высоту правильной треугольной пирамиды. [Ответ: 3]
28.Во сколько раз увеличится боковая поверхность правильной
треугольной пирамиды, если стороны основания увеличить в 2
раза, а апофему – в 3 раза. [Ответ: 6]
29.Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды
равен 90°. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 3.
Найти радиус окружности, описанной около боковой грани
пирамиды. [Ответ: 1]
30.По данной стороне основания a=8 и боковому ребру b=6 найти
высоту правильной четырехугольной пирамиды. [Ответ: 2]
31.Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7, а
сторона основания 8. Найдите боковое ребро. [Ответ:9]
32.Найдите площадь диагонального сечения правильной
четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 1,
17
а боковое ребро √ . [Ответ: 2]
2
33.Найдите полную поверхность правильной четырехугольной
пирамиды, если высота ее равна 2 и сторона основания 4,2.
[Ответ: 42]
34.Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а
сторона основания равна 18. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды. [ Ответ: 540]
35.Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 6 и
15. Высота пирамиды, равная 4, проходит через точку
пересечения диагоналей основания. Найти площадь боковой
поверхности пирамиды. [ Ответ: 126]
36.Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды
наклонена к плоскости основания под углом 60°. Площадь
основания пирамиды 16. Найдите боковую поверхность
пирамиды. [Ответ:32]
37.Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 5.
4
Тангенс двугранного угла при основании равен . Найдите
3
площадь полной поверхности пирамиды. [Ответ: 96]
38.Плоский угол при вершине правильной шестиугольной
пирамиды равен 30°. Боковое ребро равно 2. Найдите боковую
поверхность пирамиды. [Ответ: 6]
39.К плоскости равнобедренного треугольника АВС с основанием
ВС = 6 см и углом 1200 при вершине проведен перпендикуляр
АМ. Расстояние от точки М до ВС 12 см. Найдите косинус
линейного угла двугранного угла, образованного плоскостями
треугольников АВС и МВС. [Ответ:
√3
]
12
Куб
40.Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите его
диагональ. [Ответ: 2√3]
41.Площадь полной поверхности куба равна 96 см2. Найдите его
ребро. [Ответ: 4]
42.Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через диагональ
верхнего и нижнего оснований, равна 16√2. Найдите длину
ребра куба. [Ответ: 4]
43.Диагональ куба равна 3 см. Найдите его полную поверхность.
[Ответ: 18]
44.Диагональ куба равна 6 см. Найдите площадь его одной грани.
[Ответ: 12]
45.Площадь полной поверхности куба равна 3 см. Найдите длину
диагонали грани куба.[ Ответ: 1]
Прямоугольный параллелепипед
46.Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3
см и 5см, большая из диагоналей его боковых граней образует с
плоскостью основания угол 600. Найдите площадь полной
поверхности параллелепипеда. [Ответ: 10(3 + 8√3)]
47.Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда
равна 136 см2, а стороны основания 4 см и 6см. Вычислите
2
диагональ прямоугольного параллелепипеда. [Ответ: √446]
5
48.Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда,
в основании которого прямоугольник со сторонами 9 см и 6см,
равна 408 см2. Найдите диагонали параллелепипеда.
[Ответ: √217]
49.Найдите площадь диагонального сечения прямоугольного
параллелепипеда, высота которого равна 12 см, а стороны
основания 8 см и 6 см. [Ответ: 120]
50.Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4.
Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания
угол 45°. Найдите полную поверхность параллелепипеда.
[Ответ: 94]
51.Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 5√2 и
образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь
боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его
основания равна 12. [Ответ: 70]
52.Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, стороны
основания которого 3 и 4, если она образует с плоскостью
основания угол 60°. [Ответ: 10]
53.Найдите площадь поверхности прямоугольного
параллелепипеда, стороны основания которого 8 и 12 и образуют
угол 30°, а боковое ребро равно 6. [Ответ: 336]
Прямая призма
54.В прямой треугольной призме стороны основания равны 3,4 и 5,
а высота равна 6. Найдите ее полную поверхность.[ Ответ: 84]
55.В основании прямой призмы лежит равнобедренный
прямоугольный треугольник, площадь которого равна 18.
Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее высота
равна (2 − √2 ). [Ответ: 12]
56.По стороне основания a=2 и боковому ребру b=3 найти полную
поверхность правильной четырехугольной призмы. [Ответ: 32]
57.Найти полную поверхность правильной четырехугольной
призмы, если ее диагональ равна √34, а диагональ боковой грани
5. [Ответ: 66]
58.Найти боковую поверхность правильной шестиугольной призмы,
наибольшая диагональ которой равна 13, а боковое ребро 5.
[Ответ: 180]
59.Найти боковую поверхность правильной шестиугольной призмы,
если сторона основания 3, а диагональ боковой грани 5.
[Ответ: 72]
Задачи повышенного уровня сложности.
Призма.
1. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с
гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Больший катет треугольника в
основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней.
Найдите высоту призмы. [Ответ: 2√7]
2. Развертка боковой поверхности правильной треугольной призмы есть
прямоугольник со сторонами 18 см и 9 см. Определите площадь
полной поверхности этой призмы. Найдите оба решения.
[Ответ: 162 + 18√3 или 162 +
9√3
2
]
3. Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см может быть двумя
способами свернут в виде боковой поверхности правильной
четырехугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей
этих призм. [Ответ: на 59,5см2]
4. Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см в первый раз свернут в
виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы
высотой 10 см, а второй – правильной треугольной призмы с той же
высотой. Сравните площади полных поверхностей этих призм.
[Ответ: на 8(9 − 4√3)см2]
5. Квадрат со стороной 12 см в первый раз свернут в виде боковой
поверхности правильной треугольной призмы, а во второй –
правильной четырехугольной призмы. Сравните площади
поверхностей этих призм. [Ответ: 18 - 8√3 см2]
Пирамида.
1. В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания.
Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания. (3.24)
2. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с
плоскостью основания угол 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите
площадь поверхности пирамиды. [Ответ: 6(1 + √7)]
3. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с
плоскостью основания угол 600. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите
площадь поверхности пирамиды. [Ответ:144]
4. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с
плоскостью основания угол 300. Сторона основания пирамиды равна 12
см. Найдите площадь поверхности пирамиды. [Ответ: 48(2√3 + 3)]
5. Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро
– 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
[Ответ: 9√219]
6. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое
ребро – 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
[Ответ: 96√82 ]
7. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а боковое
ребро – 13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
[Ответ:
15
2
√651 ]
8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см;
диагональное сечение равновелико основанию. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды. [Ответ: 75]
9. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см,
диагональное сечение равновелико основанию. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды. [Ответ: 150]
10.В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза
которого равна 15 см, а один из катетов – 9 см. Найдите площадь
сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно
ее основанию. [Ответ: 13,5]