Задачи на нахождение площади сечения.

Задачи на нахождение площади сечения.
1. В правильной треугольной призме
стороны основания равны , боковые
рёбра равны
. Изобразите сечение, проходящее через вершины
ребра
. Найдите его площадь.
и середину
Решение.
Обозначим через
и средины ребер
и
соответственно.
По теореме о средней линии треугольника
так что прямые
и
лежат в
одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию
Основания трапеции
по теореме Пифагора найдем боковую сторону:
Проведем в трапеции высоту
Следовательно, высота трапеции
Отрезок
равен полуразности оснований трапеции:
Зная её, находим площадь трапеции:
Ответ:
2. В правильной четырёхугольной призме
сторона основания равна
а
боковое ребро
Точка
принадлежит ребру
и делит его в отношении
считая от вершины
Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки
и
Решение.
Отрезок
параллелен диагонали
(точка принадлежит ребру
), следовательно,
искомое сечение — трапеция
(рис. 1). Плоскость сечения пересекает нижнее основание no
прямой
параллельной
значит,
параллелен
Треугольники
и
подобны, следовательно,
Значит,
В равных прямоугольных треугольниках
и
значит, трапеция
равнобедренная.
Пусть
— высота трапеции
проведённая к основанию
(рис. 2), тогда:
Ответ:
3. В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 6, а сторона основания AB = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через
ребро AB перпендикулярно ребру SC .
Решение.
В треугольнике BCS проведём высоту BK , тогда
искомое сечение — треугольник ABK . Пусть Q — площадь треугольника ABK . Сечение из условия разбивает пирамиду на тетраэдры CAKB и SAKB . Их суммарный объём
равен объёму пирамиды.
Пусть — SO высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем:
Объём пирамиды SABC равен
Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем
Ответ:
.
4. В
прямоугольном
параллелепипеде
известны
рёбра:
Точка принадлежит ребру
и делит его в отношении
считая от вершины Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки
и
Решение.
Сечение плоскостью
пересекает ребро
в точке Отрезок
параллелен
отрезок
параллелен
Следовательно, искомое сечение — параллелограмм
(рис. 1).
Далее имеем:
Значит,
— ромб. Найдем его диагонали:
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому
Ответ:
5. В правильной четырехугольной пирамиде
через середины ребер
и
и вершину
ребра пирамиды равны .
с основанием
проведено сечение
найдите площадь этого сечения, если все
Решение.
Изобразим указанное в условии сечение — треугольник
Проведем в треугольнике
высоту
Точка
—
.
Значит,
Из треугольника
находим
Из треугольника
находим
Тогда
Ответ:
6. В правильной треугольной призме ABCA'B'C' стороны основания равны 6, а боковые ребра
равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A'C'. Найдите его площадь
Решение.
Параллельные грани оснований сечение пересекает по параллельным прямым, поэтому сечение — трапеция. Пусть точка М — середина A'C', точка N — середина B'С'. Боковые стороны трапецииABNM являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников AA'M и BB'N, катеты которых равны 3 и 4. Тем самым, трапеция является равнобедренной, а ее боковые стороны равны 5.
Отрезок MN — средняя линия треугольника A'B'C', поэтому MN = 0,5A'C' = 3. Пусть MK —
высота трапеции, тогда
Следовательно,
7. В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через
ребро AB перпендикулярно ребру SC .
Решение.
В треугольнике BCS проведём высоту BK ,
тогда искомое сечение — треугольник ABK . Пусть Q — площадь треугольника ABK . Сечение из
условия разбивает пирамиду на тетраэдры CAKB и SAKB . Их суммарный объём
равен объёму пирамиды.
Пусть — SO высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем:
Объём пирамиды SABC равен
Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем
Ответ:
.
8. В правильной четырёхугольной пирамиде
с вершиной
стороны основания
равны а боковые рёбра равны Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку и середину ребра
параллельно прямой
Решение.
Пусть точка — середина ребра
Отрезок
пересекает
плоскость
в точке В треугольнике
точка является точкой пересечения медиан,
следовательно,
где — центр основания пирамиды. Отрезок
параллелен
и проходит через точку (точка принадлежит ребру
— ребру
), откуда
ка
Четырёхугольник
значит,
—
искомое
сечение.
Поскольку прямая
перпендикулярна плоскости
ника
перпендикулярны, следовательно,
Отрезок
—
диагонали
медиана
и
треугольни-
четырёхуголь-
Ответ:
9. В
прямоугольном
параллелепипеде
известны
рёбра
Точка принадлежит ребру
и делит его в отношении 1:4, считая от вершины
Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки
и
Решение.
ребру
ной
Отрезок
параллелен
). Плоскость сечения пересекает плоскость
следовательно, искомое сечение — параллелограмм
Треугольники
значит,
и
— ромб
лью
(точка принадлежит
по прямой
параллель(рис. 1).
равны, следовательно,
со
стороной
и
диагона-
(рис. 2). Тогда диагональ
Ответ:
10. В
прямоугольном
параллелепипеде
известны
рёбра
Точка принадлежит ребру
и делит его в отношении 4:5, считая от вершины Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки
и
Решение.
Пусть плоскость
кость
по прямой
грамм
(рис. 1).
пересекает ребро
параллельной
в точке Плоскость сечения пересекает плосследовательно, искомое сечение — параллело-
Треугольники
и
равны, следовательно,
Далее,
значит,
и
лью
— ромб
со
стороной
и
диагона-
(рис. 2).
Тогда другая диагональ
Ответ:
11. В правильной треугольной призме
стороны основания равны 6, боковые рёбра
равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины
и середину ребра
.
Найдите его площадь.
Решение.
Обозначим через М и
средины ребер
и
соответствен-
но.
По Теореме о средней линии треугольника
так что прямые
и
лежат в
одной плоскости. Сечение про которое спрашивается в условии, − это сечение призмы этой плоскостью. Оно представляет собой равнобокую трапецию
Основания трапеции
,
по теореме Пифагора найдем боковую сторону:
.
Проведем в трапеции высоту
Следовательно, высота трапеции
трапеции:
Отрезок
равен полуразности оснований трапеции:
Зная её, находим площадь
Ответ:
12. В правильной четырехугольной пирамиде
с вершиной
стороны основания
равны
а боковые ребра равны
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через точку и середину ребра
параллельно прямой
Решение.
Пусть точка E — середина ребра MD. Отрезок BE пересекает плоскость MAC в точке P. В треугольнике MBD точка Р является точкой пересечения медиан, следовательно, MP:РО = 2 : 1,
где O — центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен AC и проходит через
точку P (точка F принадлежит ребру MA, G — ребру MC), откуда
Четырёхугольник BFEG — искомое сечение. Отрезок BE — медиана треугольника MBD, значит,
Поскольку прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали BE и FG четырёхугольника BFEG перпендикулярны, следовательно,
Ответ:
Расстояние от точки до плоскости.
1. В правильной шестиугольной призме
те расстояние от точки В до плоскости
все рёбра равны 1. Найди.
Решение.
кость
Прямые
и FB перпендикулярны
, содержащая прямую EF, перпендикулярна плоскости
яние равно высоте BH прямоугольного треугольника
,
. Поэтому
прямой EF.
Плос, значит искомое рассто-
, в котором
.
,
Ответ:
.
2. Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Решение.
Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину S и хорду AB = 4, — треугольник ASB.
В равных прямоугольных треугольниках SOA и SOB, где O — центр основания конуса, OA = OB = 6,SO = 8, откуда
Пусть SH —
ка ASB,
угольника AOB,
высота
и
медиана
равнобедренного
треугольни-
Тогда отрезок OH — высота и медиана равнобедренного тре-
Прямые SH и OH перпендикулярны прямой AB, поэтому плоскость SOH перпендикулярна
плоскости ASB. Следовательно, расстояние от точки O до плоскости ASB равно высоте OM прямоугольного треугольника SOH, проведённой к гипотенузе:
Ответ:
3. В правильной шестиугольной призме
расстояние от точки до плоскости
Решение.
все рёбра равны . Найдите
.
кость
Прямые
и
перпендикулярны
, содержащая прямую
, перпендикулярна плоскости
стояние равно высоте
,
:
Ответ:
прямоугольного треугольника
прямой
.
Плос. Значит, искомое рас-
, в котором
,
.
Угол между плоскостями.
1. В
ребра:
прямоугольном
параллелепипеде
Найдите угол между плоскостями
известны
и
Решение.
Плоскости
и
имеют общую прямую
Проведем перпендикуляр
к
По
теореме о трех перпендикулярах
Значит, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями
и
— это угол
Из прямоугольного треугольника
находим:
Из прямоугольного треугольника
Значит, искомый угол равен
находим:
Ответ:
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите
синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD.
Решение.
Пусть
точка
—
центр
основания,
а
—
середина
ребра
Поскольку
и
плоскость
перпендикулярна прямой
Это значит, что плоскость
и есть плоскость, проходящая через точку перпендикулярно
Проведем отрезки
и
Так как треугольник
правильный,
Так как треугольник
— равнобедренный,
Следовательно, искомый угол равен углу
Найдем стороны треугольника
По теореме косинусов:
Отсюда
Ответ:
Примечание.
Решение существенно упрощается, если заметить, что треугольник
— прямоуголь-
ный:
3. В правильной четырёхугольной призме
ковые ребра равны На ребре
отмечена точка
угол между плоскостями
и
Решение.
стороны основания равны а ботак, что
Найдите
Прямая
пересекает прямую
в точке
Плоскои
пересекаются по прямой
Из точки опустим перпендикуляр
на прямую
тогда отрезок
(проекция
)
перпендикулярен прямой
Угол
является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями
и
Поскольку
получаем:
сти
Из подобия треугольников
В
и
прямоугольном
углом
Из прямоугольного треугольника
Ответ
может
форме:
Ответ:
быть
или
.
находим:
треугольнике
с
прямым
, откуда высота
с прямым углом получаем:
представлен
и
в
другой