Устный экзамен по геометрии для выпускников 9 классов

Устный экзамен по геометрии для выпускников 9 классов, изучавших предмет на базовом
уровне (экстернат)
Каждый экзаменационный билет включает четыре вопроса из разных разделов курса.
Первый и второй вопросы носят теоретический характер.
При ответе на первый вопрос учащийся должен воспроизвести указанные определения, теоремы
и описать свойства геометрических тел. Доказывать теоретические факты не требуется, свое
понимание предмета ученик демонстрирует приведением примеров и геометрических
иллюстраций.
При ответе на второй вопрос учащийся должен доказать теорему, вывести формулу.
Третий и четвертый вопросы – задачи, включенные в билет с целью проверки овладения
учащимся умениями применять изученные факты на практике.
Первая задача требует, как правило, прямого применения какого-либо одного элемента
содержания.
Вторая задача требует использования в ходе решения нескольких известных фактов.
При этом задача считается выполненным верно, если при правильном ходе решения ученик явно
описал, но, возможно, не обосновал свойства геометрических фигур, играющих ключевую роль в
решении задачи.
Примерное время, отводимое на подготовку выпускника к ответу – 30-35 минут.
Отметка "5" ставится, если ученик ответил на теоретические вопросы и решил обе задачи или
только вторую задачу.
Отметка "4" ставится, если ученик ответил на теоретические вопросы, решил первую задачу и
выполнил еще один из шагов решения второй задачи.
Отметка "3" ставится, если ученик ответил на теоретические вопросы и решил первую задачу.
В остальных случаях ставится отметка "2".
Содержание билетов и образцы задач.
Билет № 1
1. Понятие вектора. Обозначение. Изображение.
2. Теорема косинусов (доказательство). Следствия из теоремы косинусов.
3. Найдите диагонали равнобедренной трапеции, основания которой равны 4 см и 6 см, боковая
сторона равна 5 см и острый угол равен 60°.
4. Правильный треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О и радиусом 8 см. На
стороне этого треугольника построен квадрат. Определите радиус окружности, описанной около
квадрата.
Билет № 2
1. Сложение векторов (правило треугольника).
2. Теорема синусов (доказательство). Следствия из теоремы синусов.
3. Найдите координаты и длину вектора а, если а =⅓ m – n, m{-3;6}, n{2;-2}.
4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (АD – большее основание, АВ АD). Площадь трапеции равна
150 см2, ∠CDA = ∠BСA = 60°. Найдите диагональ АС.
Билет № 3
1. Сложение векторов (правило параллелограмма).
2. Вывод формулы площади треугольника с помощью метода координат.
3. Найдите площадь круга, если длина окружности равна 8π
4. Около прямоугольного треугольника АСD, в котором ∠А=𝛂, ∠С=90°, СD=а, описана окружность.
Найдите площадь круга, границей которого является описанная окружность.
Билет № 4
1. Умножение вектора на число.
2. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
3. Две стороны треугольника 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Найти третью сторону
треугольника.
4. Периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равен 6 дм. Найдите сторону
правильного треугольника, вписанного в эту же окружность.
Билет № 5
1. Координаты вектора.
2. Определение высоты предмета.
3. Определить вид треугольника АВС, если А(3;9), В(0;6), С(4;2).
4. Найдите диагональ А1А3 правильного восьмиугольника А1А2…А8, если площадь треугольника
А1А2А5 равна 9 м2.
Билет № 6
1. Понятие многогранника. Примеры.
2. Определение длины вектора по его координатам
3. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного
треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см.
4. Дана трапеция АВСD с основаниями АD и ВС. Постройте вектор
а = АВ + СD - ВС и найдите длину вектора а, если АD=12 см, ВС=5 см.
Билет № 7
1. Правильные многогранники. Примеры.
2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника (доказательство).
3. На стороне ВС ромба АВСD лежит точка К так, что ВК=КС, О – точка пересечения диагоналей.
Выразить векторы АО, АК, КD через векторы а=АВ и b=АD.
4. Найдите площадь правильного многоугольника, если его внешний угол равен 30°, а диаметр
описанной около него окружности равен 8 см.
Билет № 8
1. Тела вращения. Примеры.
2. Определение координат середины отрезка по координатам его начала и конца.
3. Начертите два неколлинеарных вектора а и b. Постройте векторы, равные:
а) ½ а + 3b; б) 2b – а.
4. Найдите косинус угла А треугольника АВС, если АВ=8см, АС=6см, ВС=12см.
Билет № 9
1. Сумма нескольких векторов ( правило многоугольника).
2. Симметрия относительно точки как движение.
3. Найдите длину окружности, если известно, что площадь круга равна 18π см2.
4. Решите треугольник СDЕ, если ∠С=60°, СD=8 дм, СЕ=5 дм.
Билет № 10
1. Уравнение окружности.
2. Вывести формулу для вычисления площади S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой
с градусной мерой 𝛂.
3. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, сумма внутренних углов которого равна
4320°.
4. Основание и средняя линия прямоугольной трапеции равны соответственно 15 см и 12 см, а
меньшая боковая сторона равна 8 см. Найдите вторую боковую сторону.
Билет № 11
1. Уравнение прямой.
2. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника (доказательство).
3. Начертите ромб АВСD. Постройте образ этого ромба при симметрии относительно прямой АВ.
4. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что средняя линия
трапеции равна 14 см, боковая сторона равна 4 см, а одно из оснований трапеции является
диаметром описанной окружности.
Билет № 12
1. Синус угла.
2. Правильный многоугольник. Вывод формулы для нахождения радиуса окружности, описанной
около правильного n-угольника.
3. Начертите ромб АВСD. Постройте образ этого ромба при параллельном переносе на вектор АС.
4. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(2;1) и
В(-3;-1).
Билет № 13
1. Косинус угла.
2. Определение координат вектора по координатам его начала и конца.
3. а = 2b - ⅓ с. Найдите длину и координаты вектора а, если b {-1;0} и с {3;-6}.
4. Постройте образ правильного треугольника при повороте вокруг центра описанной около него
окружности на угол 60° против часовой стрелки.
Билет № 14
1. Тангенс угла.
2. Правильный многоугольник. Вывод формулы для нахождения радиуса окружности, вписанной в
правильный n-угольник.
3. Начертите ромб АВСD. Постройте образ этого ромба при повороте вокруг
точки D на 60° по часовой стрелке.
4. Найдите площадь параллелограмма КМNO, если его большая сторона равна 4 см, диагональ
МO равна 5 см, а угол МКО равен 45°.
Билет № 15
1. Что значит «решить треугольник»?
2. Вывод формулы расстояния между двумя точками.
3. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(-3;2), проходящей через точку В(0;-2).
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей её хордой, если
длина хорды равна 4м, а градусная мера дуги равна 60°.
Билет № 16
1. Скалярное произведение векторов.
2. Формулы площади треугольника. Вывод формулы площади треугольника через две стороны и
угол между ними.
3. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите величину острого угла,
образовавшегося при их пересечении.
4. Средняя линия трапеции равна 15 м, сумма углов при одном из оснований равна 90°. Найдите
площадь трапеции, если одна боковая сторона равна м, а разность оснований равна 10 м.
Билет № 17
1. Скалярное произведение в координатах.
2. Трапеция. Средняя линия трапеции. Свойство средней линии трапеции (доказательство).
3. Выясните, принадлежит ли точка А(1;√3) окружности с центром в точке В(5;0) и радиусом,
равным √19 ?
4. Площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром, равна 45π м2, а радиус
меньшей окружности равен 3 м. Найдите радиус большей окружности.
Билет № 18
1. Понятие правильного многоугольника. Примеры.
2. Вывод основного тригонометрического тождества.
3. Средняя линия трапеции равна 8 см и делится диагональю на два отрезка, разность между
которыми равна 2 см. Найдите основания трапеции.
4. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный и найдите его площадь, если А (0;1); В (1;-4); С
(5;2).
Билет № 19
1. Длина окружности и площадь круга (формулы).
2. Нахождение элементов треугольника по известным двум сторонам и углу.
3. Найдите углы ромба, если известно, что его периметр равен 8 см, а высота ромба равна 1 см.
4. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом и найдите его диагонали,
если М (-5;1); N (-4;4); Р (-1;5); Q (-2;2).
Билет № 20
1. Понятие движения. Виды движений.
2 Нахождение элементов треугольника по известным стороне и двум углам.
3. Найдите площадь круга, описанного около правильного шестиугольника со стороной 3 см.
4. Большее основание равнобедренной трапеции равно 8 м, боковая сторона равна 9 м, а
диагональ равна 11 м. Найдите меньшее основание трапеции.
Билет № 21
1. Параллельный перенос. Пример параллельного переноса.
2. Лемма о коллинеарных векторах.
3. В окружность вписан прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите длину этой
окружности.
4. Найдите площадь параллелограмма ОМРК, если его сторона КР равна 10 м, а сторона МР,
равная 6 м, составляет с диагональю МК угол, равный 45°.
Билет № 22
1. Равенство векторов.
2. Нахождение элементов треугольника по известным трем сторонам.
3. Точка С – середина отрезка АВ, а О – произвольная точка плоскости. Докажите, что ОС = ½ (ОА +
ОВ).
4. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия
трапеции равна 12 м, а косинус угла при основании трапеции равен .
Билет № 23
1. Осевая симметрия как движение. Пример.
2. Круг. Площадь круга. Вывод формулы площади сектора.
3. Найдите периметр ромба, если известно, что один из углов ромба равен 60°, а меньшая
диагональ равна 5 см.
4. На оси ординат найти точку, равноудалённую от точек С (4;-3) и D (8;1).
Билет № 24
1. Центральная симметрия как движение. Пример.
2. Теорема о средней линии трапеции.
3. Треугольник МNК задан координатами своих вершин: М(-6;1), N(2;4), К(2;-2). Доказать, что
треугольник МNК равнобедренный.
4. На сторонах произвольного прямоугольного треугольника как на диаметрах построены
полукруги. Докажите, что сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна площади
полукруга, построенного на гипотенузе.
Билет № 25
1. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов: определение и свойства.
2. Измерение расстояния до недоступной точки.
3. Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной 6 см.
4. Найдите периметр треугольника АВС, если А (12;-2); В (4;0); С (5;-9).