Справочный материал Окружность Окружностью Равные хорды стягивают равные дуги.

Справочный материал
Окружность
Окружностью называется множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии
от данной точки, которая называется центром окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.
Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой окружности.
Равные хорды стягивают равные дуги.
Угол между двумя радиусами называется центральным углом.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и дуги, которые она стягивает
пополам.
Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке N, то произведения отрезков
хорд, на которые они делятся точкой N, равны между собой: 𝐴𝑁 ∙ 𝑁𝐵 = 𝐶𝑁 ∙ 𝑁𝐷.
Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку,
называется касательной к
окружности.
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки называется секущей.
Если из данной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки
касательных равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с
вершиной в этой точке.
Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины
отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю
часть: 𝐴𝐶 2 = 𝐶𝐷 ∙ 𝐵𝐶
Следствие: произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно
произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть:𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐶 = 𝐸𝐶 ∙ 𝐶𝐷.



При любом способе касания точка касания и центры окружностей лежат на одной
прямой.
При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по
разные стороны от точки касания, при внутреннем касании – по одну сторону.
Расстояние между центрами касающихся окружностей радиусов R и r (R ≥ r) равно
R+r при внешнем касании и R-r при внутреннем.
В случае пересекающихся окружностей возможны два варианта расположения центров
окружностей относительно их общей хорды.
Вычисления расстояния между центрами окружностей сводятся к применению теоремы
Пифагора в треугольнике O1O2C, при этом расстояние O1A находится из теоремы
Пифагора для треугольника MAO1.
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он
̆ = 𝜶.
опирается: ∠𝑪𝑶𝑫 =⌣⌣⌣ 𝐂𝐃
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется
вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
𝟏
̆
опирается: ∠𝑨𝑫𝑩 = 𝟐 𝑨𝑩
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: ∠CAD =∠CBD = ∠CED = 90⁰
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:∠AEB = ∠ADB =∠AFB.
Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны или их сумма равна 180⁰ :
∠ADB +∠AKB = 180⁰
Вершины треугольников с заданным основанием и равными углами при вершине
лежат на одной окружности:
Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме
угловых величин дуг окружности, заключенных внутри данного угла и внутри
1
̆)
̆ + 𝐴𝑙𝐵
вертикального угла: ∠DMC = ∠DAM +∠ADM = 2 ( 𝐷𝑚𝐶
Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности
угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла.
∠M = ∠CBD -∠ACB =
1
2
̆)
̆ − 𝐴𝑙𝐵
(𝐶𝑚𝐷
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается его сторон. Центр
вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.
Площадь многоугольника, в который вписана окружность, можно найти по формуле
S=pr, p – полупериметр многоугольника, r- радиус вписанной окружности.
Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин
противоположных сторон равны. Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы
длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:
В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной
окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все
вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения
серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус
окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами
данного многоугольника:
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда
сумма его противоположных углов равна 180⁰. ∠A +∠C = ∠B +∠D = 180⁰.
Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр
лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:
Теорема Птолемея
Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме
произведений его противоположных сторон: