Сборник задач на отыскание наибольших и наименьших

Сборник задач
На отыскание наибольших
и наименьших значений с
решениями
Учитель Бондаренко.Г.А.
Г.Краснодар 2011г.
Задачи с оптимальным содержанием называются задачами на отыскание
наибольших и наименьших значений. В них требуется определить, при каких условиях
некоторая числовая характеристика фигуры принимает наибольшее или наименьшее
значение.
Для решения таких задач исследуемую величину выражают так, как функцию того
или иного аргумента(параметра), и с помощью производной находят наибольшее или
наименьшее значение полученной числовой функции.
Выбор параметра(числового аргумента) определяется обычно условием задачи.
При отыскании наибольших и наименьших значений существенным является не
только вид исследуемой функции, но и область изменения ее аргумента, которая
определяется из геометрических соображений.
Общая схема решения.
1.Найти критические точки функции, т.е такие внутренние точки области
определения, в которых производная обращается в нуль.
2.Если областью изменения аргумента является интервал (a;b), следует вычислить
lim (𝑎) и lim (𝑏) , вместо f(a) и f(b)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑏
№1(МАИ, 1977)
В треугольнике заданы сторона a и периметр 2p. Какие длины должны иметь две
другие стороны, чтобы его площадь была максимальной?
Дано:△ABC, a-сторона.,
2p-периметр.
Найти: Smax.
Решение:
Пусть x-длина одной из неизвестных сторон; тогда другая сторона имеет длину 2p-a-x.
Согласно формуле Геррона, S=√𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑥)(𝑝 − 2𝑝 + 𝑎 + 𝑥) =
√𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑥)(𝑎 + 𝑥 − 𝑝), при 0 < 𝑥 < 2𝑝 − 𝑎, Т.К. квадратный корень монотонная фя, то max значение площади достигается при том же x, что и произведение p(p-a)(p-x)(a+xp). Это произведение содержит 2 сомножителя, которые не зависят от x. Это квадратный
трехчлен относительно x, имеет корни x=p и x=p-a. Критической точкой служит
(𝑝+𝑝−𝑎) 𝑝−𝑎
x=
2
=
2
. Значение рассматримого произведения в этой точке положительно, а на
𝑝−𝑎
концах (0;2p-a)равно 0, то при x=
2
имеет место max. Таким образом искомый
треугольник является равнобедренным со сторонами a,
𝑝−𝑎 𝑝−𝑎
,
2
2
.
Ответ: Две другие стороны треугольника должны иметь длины
𝑝−𝑎
2
и
𝑝−𝑎
2
, чтобы
треугольник при заданной стороне a и периметре 2p имел наибольшую площадь.
№2 (МИИТ, 1977).
В равнобедренном треугольнике с углом 2α при вершине найти отношение
𝑟
𝑅
радиусов вписанного и описанного кругов и доказать, что R≥2r. Для какого
равнобедренного треугольника. R=2r?
Дано:△ABC.,/AB/=/BC/=/CA/
∠𝐴𝐶𝐵 = 2𝛼.,
R-радиус описанной окружности,
r-радиус вписанной окружности.
Доказать: R≥2r
Доказательство:
1
Обозначим длину боковой стороны △ через a, тогда его S=2 а2 𝑠𝑖𝑛2𝛼. С другой стороны,
1
S=rp, где p-полупериметр. Т.к в равнобедренном △p=a+asin 𝛼, то r= asin2𝛼 /(1+sin𝛼).
а
Радиус R описанного круга найдем по теореме синусов: 2R=
R=
а
и
2𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑟
𝑅
=
2𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼
2(1+𝑠𝑖𝑛𝛼)
=
2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
1+𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝑠𝑖𝑛∠𝐴
2
2𝑠𝑖𝑛𝛼(1−𝑠𝑖𝑛 𝛼)
2
, где ∠A=90°- 𝛼 ⟹
1+𝑠𝑖𝑛𝛼
𝜋
𝑟
т.е f(𝛼)= = 2𝑠𝑖𝑛𝛼(1 − 𝑠𝑖𝑛𝛼). Исследуем f(𝛼) на max и min. 𝛼 ∈(0; ). fʹ(𝛼)=2(1-2sin𝛼)cos𝛼,
2
𝑅
𝜋
𝜋
𝜋
6
2
2
𝜋
1
6
2
откуда fʹ(𝛼)=0, при 𝛼= и 𝛼= , где 𝛼 ∈(0; ) Т.е lim 𝑓(𝛼)= lim𝜋𝑓(𝛼)=0, f( )= , то
𝛼→0
𝛼→
𝜋
1
6
2
2
наибольшее значение f(𝛼) достигается при 𝛼= , и равно ,⟹ для любого
равнобедренного треугольника 2r≤R, причем для равностороннего треугольника. ч.т.д.
№3(МЭИС, 1978)
На странице книги текст должен занимать Sсм2 . Верхнее и нижнее поля должны
быть по a см, правое и левое- по b см. Если принимать во внимание экономию бумаги, то
каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
Дано: Sсм2 , 2a, 2b.
Найти: Sстраницы.
Решение:
𝑠
Пусть x-высота печатного текста; тогда − его ширина. Таким образом, высота страницы
𝑠
𝑥
𝑠
𝑠
𝑥
𝑥
x+2a см, а ее ширина +2b см, откуда Sлиста=(x+2a)( + 2𝑏)=2a* +2bx+S+4ab.
𝑥
Величины S и 4ba не зависят от размеров страницы; получаем функцию f(x)=2aS/x+2bx,
x∈(0;1), наименьшее значение которой надо найти. Критическая точка определяется из
уравнения 2as/𝑥 2 −2b=0, откуда 𝑥 2 =as/b, т.е. x=√𝑎𝑠/𝑏, т.к f(0)=f(+∞)=+∞, то f(x)𝑠
точка min. Найдем ширину печатного текста =s/√𝑎𝑠/𝑏=√𝑏𝑠/𝑎.
𝑥
Ответ: искомая ширина печатного листа равна √𝑏𝑠/𝑎.
№4(МВТУ, 1977)
Правильная треугольная призма помещена в шар так, что одно из ее боковых ребер
лежит на диаметре шара, а все вершины противоположной грани принадлежат
поверхности шара. Найдите V призмы, если ее высота H, а радиус шара R. При каком
значении H объем призмы будет наибольшим?
Дано: ABC𝐴1 𝐵1 𝐶1 -Правильная призма,
H-высота; w-шар опис., R-Радиус шара.
Найти: Vmax. при H и V призмы.
Решение:
Рассмотрим сечения шара плоскостями, содержащими основание призмы, лежащие на
диаметре шара, оказываются центрами, а стороны оснований, выходящих из этих
вершин,- радиусами. Из равенства оснований вытекает и равенство сечений. Поэтому
плоскости оснований лежат на одинаковом расстоянии от центра шара равном H/2. Из
𝐻
𝐻2
2
4
прямоугольного △AOB, в котором OA= , OB=R, находим AB=√𝑅 2 −
𝐴𝐵2
𝑆𝐴𝐵𝐶 =
2
𝐻2
•
2
√3 √3(𝑅 − 4 )
=
,
2
4
Vпр=H𝑆𝐴𝐵𝐶 =
√3𝐻(4𝑅 2 −𝐻 2 )
16
, причем H∈(0;2𝑅). Найдем
производную Vпризмы по H: Vʹ(H)=(√3/16)(4𝑅 2 − 3𝐻 2 )=0, откуда H=
2𝑅
V(
√3
⟹
1
2𝑅
√3
, т.к. v(0)=V(2R)=0, а
2
)= 𝑅3 >0, то наибольшее значение V призмы достигается при H= R
3
√3
√
Ответ:Vпр=
3𝐻(4𝑅 2 −𝐻 2 )
16
2
, при H= R Vmax.
√3
№5
Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной S, чтобы
радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим.
Дано: △ABC., /AB/=/BC/=/CA/.,
S-площадь△.,(0;h)впис.в △,
R-Радиус круга.
Найти: ∠ACB?
Решение:
Пусть основание △ имеет длину 2b, а угол при основании 2a. Тогда r=OH=CHtga=b•tgα.
1
Выразим b через заданную площадь S треугольника. S= AC•BH=b•b tg2a, откуда
𝑏2=
𝑠
𝑡𝑔2𝑎
2
.
Найдем max квадрата радиуса 𝑟 2 =𝑏 2 𝑡𝑔2 𝑎=
𝑆𝑡𝑔2 𝑎
2𝑡𝑔𝑎
1−𝑡𝑔2 𝑎
𝑆(1−𝑡𝑔2 𝑎)𝑡𝑔2 𝑎
=
2𝑡𝑔𝑎
=S/2(tga-𝑡𝑔3 𝑎).
Обозначим tga-𝑡𝑔3 𝑎 через u(α). Нужно найти наибольшее значение функции u(α) на
𝜋
1
4
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
отрезке (0; ); uʹ(α)=
−
3𝑡𝑔2 𝛼 1−3𝑡𝑔2 𝛼
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
=
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
; uʹ(α)=0 при tgα=±
1
𝜋
√3
, т.е. при α= 𝜋R± ;
6
𝜋
𝜋
2
6
𝜋
4
𝜋
3√3
4
6
𝜋
K∈Z. Из точек такого вида только x=6 лежит на данном отрезке. u(0)=u( )=0, u( )=
.
Таким образом, max значение u(α) на отрезке (0; ); достигается при α= . Угол при
𝜋
вершине равен 𝜋-4α=
3
𝜋
Ответ: Угол при вершине равнобедренного треугольника должен быть равен , чтобы
3
радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим.
№6
Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
Дано: ABCD-цилиндр.,
w(0;h) шар описан.; R-радиус шара.
Найти: H цилиндра.
Решение:
Рассмотрим осевое сечение цилиндра, вписанного в шар радиуса R. По теореме Пифагора
из △AOB находим A𝐵 2 =O𝐴2 −B𝑂2 , т.е. 𝑟 2 =𝑅 2 −
h-его высота; V= 𝜋𝑟 2 h=𝜋(𝑅 2 ℎ −
функции V(h)= 𝜋(𝑅 2 ℎ −
2
2
3ℎ =4𝑅 , т.е. при h=
2𝑅
√3
ℎ3
4
ℎ3
4
ℎ2
4
, где r-радиус основания цилиндра,
). Требуется определить наибольшее значение
3
) на отрезке ⊏0;2𝑅 ⊐; Vʹ(h)= 𝜋(𝑅2 − ℎ2 ) Vʹ=0 при
4
2𝑅
Так как V(0)=V(2R)=0, a V(
√3
)>0, то функция V(h) достигает наибольшего значения при
2𝑅
h=
√3
Ответ: Высота цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R
равна
2𝑅
√3
№7
Найдите высоту H конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиуса R,
так, что бы центр основания конуса лежал в центре шара.
1
Дано: ASC-конус.,(0:R)2 шара
R-Радиус полушара
Найти: H конуса
Решение:
Пусть около полушара радиуса R описан прямой круговой конус. Рассмотрим осевое
сечение конуса. Из подобия треугольников AOC и ABC получаем:
𝐻2𝑅2
1
1
𝐻3
𝐻 2 −𝑅
3
3
(𝐻 2 −𝑅 2 )
𝑥 2=
; V(H)= 𝜋𝑥 2 H= 𝜋𝑅2
2
𝜋𝑅 2 (𝐻 4 −3𝐻 2 𝑅 2
=
3(𝐻 2 −𝑅 2 )2
; Vʹ(H)=
𝑥
𝑅
√𝐻 2 +𝑥
= , откуда
2
𝐻
1
𝜋𝑅 2 ((𝐻 2 −𝑅 2 )3𝐻 2 −𝐻 3 2𝐻)
3
(𝐻 2 −𝑅 2 )2
; Vʹ(H)=0 при H=R√3. Проверим, что при этом значении H функции V(H)
достигает наименьшего значения на интервале (0;∞). V(0)=0; V(1)=
𝜋𝑅 2 (1−3𝑅 2 )
3(1−𝑅 2 )2
Ответ: Высота конуса наименьшего объема описанного около полушара равна R√3
№8
В конус высотой 1 с углом при вершине осевого сечения α вписывают всевозможные
цилиндры. В каких пределах изменяются при этом:
а) площадь полной поверхности цилиндра;
б)площадь боковой поверхности цилиндра;
в)объем цилиндра;
Дано: ACO конус, H=1-высота конуса, a-Цилиндр.
Найти: S поверхности цилиндра,
S боковой поверхности цилиндра,
V цилиндра.
Решение:
Обозначим через h и радиус и высоту цилиндра. Тогда и подобия △OAB и OPM получаем:
𝑟
𝑅
𝛼
𝛼
𝛼
2
2
2
=1-h, где R=tg -радиус основания конуса. Поэтому 1-h=r ctg ; h=1-rctg .Требуется
определить в каких пределах могут меняться значения функции:
𝛼
𝛼
2
2
S𝜋(r)=2𝜋rh+2𝜋𝑟 2 =2𝜋𝑟(𝑟 + 1 − 𝑟 𝑐𝑡𝑔 ); 𝑆б (r)=2𝜋rh=2𝜋𝑟(1-r ctg );
2
𝛼
2
V=𝜋𝑟 ℎ=𝜋𝑟 (1 − 𝑟 𝑐𝑡𝑔 ) при 0< 𝑟 < 𝑅.Мы найдем наибольшее и наименьшее
2
значение этих функций на отрезке (0;𝑅) и исключим значения в концах этого отрезка, если
эти значения принимает функция только в концах. Функции 𝑆𝜋 и 𝑆б квадратичные,
поэтому достаточно сравнить их значения в концах отрезка и в точках
𝛼
3
𝛼
2
𝛼
2
Vʹ(r)=0 при 2r-3𝑟 2 ctg =0, т.е. r=0 и r= tg
2
𝛼
𝛼
𝛼
2𝛼
Имеем: Sп(0)=0; Sп(R)=2𝜋tg •(tg +1-tg ctg )=2𝜋tg
2
1
отметим, что Sп(R)<Sп
𝑎
2𝑐𝑡𝑔 −2
2
𝑆б (R)=0 𝑆б (
1
𝜋
𝑎
2
2
при
2
𝛼
2
𝜋
2
4
2
2
; Sп=(
< ;
)= tg ;
𝑎
2𝑐𝑡𝑔
2
3
𝛼
4
2𝛼
2
𝛼
𝛼
4𝜋
2
2
9
2
3
2
2
27
V(0), V(R)=0, V( tg )=𝜋• tg (1- tg ctg )=
𝑡𝑔2
𝛼
2
1
1
𝛼
2𝑐𝑡𝑔 −2
2
)=
𝛼
2𝑐𝑡𝑔 −2
2
и
1
2𝑐𝑡𝑔
𝜋
𝛼
2
2(𝑐𝑡𝑔 −1)
,
𝛼
2
Ответ:
а)0<Sп≤
𝜋
𝑎
2
2(𝑐𝑡𝑔 −1)
𝜋
𝑎
2
2
б)0<Sб≤ tg
в)0<V≤
4𝜋
27
𝑡𝑔2
𝑎
2