АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Задача 1 Отрезок

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача 1
Отрезок A1 A5 разделен на четыре равные части. Найти координаты остальных точек, если
даны:
N Дано
N Дано
1 A1 (2,1,3), A4 (5,5,3)
16 A1 (3,7,5), A4 (6,2,1)
2 A2 (3,1,2), A5 (6,5,5)
17 A2 (3,2,3), A5 (9,7,9)
3 A1 (4,2,1), A3 (2,4,5)
18 A1 (8,1,5), A3 (2,5,3)
4
A2 (3,2,3), A4 (7,4,5)
19
A2 (4,0,4), A4 (2,4,2)
5
A3 (5,2,1), A5 (9,8,1)
20
A3 (2,0,3), A5 (2,4,5)
6
7
A1 (2,3,2), A4 (5,6,1)
A2 (2,2,1), A5 (4,5,2)
21
22
A1 (1,5,5), A4 (7,1,4)
A2 (1,4,3), A5 (2,5,3)
8
A1 (1,2,5), A3 (5,2,3)
23
A1 (4,1,6), A3 (0,5,0)
9
10
A2 (3,1,3), A4 (5,3,1)
A3 (4,0,1), A5 (6,6,1)
24
25
A2 (2,2,4), A4 (0,6,2)
A3 (5,3,4), A5 (1,7,6)
11
12
A1 (0,4,3), A4 (6,1,3)
A2 (3,2,0), A5 (9,7,6)
26
27
A1 (2,5,5), A4 (5,4,1)
A2 (5,0,3), A5 (4,6,6)
13
A1 (2,7,5), A3 (4,1,3)
28
A1 (1,7,3), A3 (5,1,1)
14
15
A2 (3,3,3), A4 (1,1,7)
A3 (4,1,2), A5 (6,7,6)
29
30
A2 (1,3,4), A4 (3,5,2)
A3 (5,1,3), A5 (1,3,5)
Задача 2
По двум данным элементам; точкам M 1, M 2 записать уравнения прямой: общее, с
угловым коэффициентом, нормальное, в отрезках
№
Дано
№
Дано
вар.
вар.
1
14
M 1(2,3) M 2 (3,4)
M 1(3,1) M 2 (2,3)
2
15
M 1(2,3) M 2 (0,5)
M 1(5,0) M 2 (3,4)
3
16
M 1(3,4) M 2 (2,1)
M 1(4,1) M 2 (2,3)
4
17
M 1(4,1) M 2 (4,2)
M 1(4,5) M 2 (3,1)
5
18
M 1(1,3) M 2 (2,4)
M 1(3,5) M 2 (1,3)
6
19
M 1(2,3) M 2 (1,3)
M 1(1,2) M 2 (3,5)
7
20
M 1(5,4) M 2 (4,5)
M 1(2,0) M 2 (3,5)
8
21
M 1(3,1) M 2 (4,2)
M 1(4,5) M 2 (2,3)
9
22
M 1(2,3) M 2 (1,2)
M 1(3,2) M 2 (3,5)
10
23
M 1(2,3) M 2 (3,5)
M 1(2,1) M 2 (3,2)
11
24
M 1(5,2) M 2 (2,3)
M 1(1,5) M 2 (4,3)
12
25
M 1(1,5) M 2 (3,4)
M 1(2,1) M 2 (2,5)
13
26
M 1(4,3) M 2 (2,3)
M 1(2,3) M 2 (1,3)
Задача 3
По данным вершинам A, B, C, уравнениями сторон a, b, c или основанию высоты BK
найти: координаты вершин; уравнения сторон; угол А; высоту ВК; уравнение высоты ВК;
уравнение медианы CL; уравнение прямой BS||b.
№
вар.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Дано
A(2,3), B(6,0), C(-3,-9)
a:19x+5y-101=0, b: 15x+8y-23=0, c: 4x-3y-1=0
a:7x-y+25=0, c: 4x+3y=0, K(0,0)
A(1,1), B(-23,-6), C(-7,-14)
a: x-6=0, b: 3x-4y-2=0, c: 3x+4y-6=0
a: x+6y+9=0, c: 5x+12y-27=0, K(3,-4)
A(2,1), B(0,-1), C(3,0)
a: x-y+2=0, b:x-5=0, c:3x-4y-15=0
a: 6x-y-17=0, c: 12x-5y+5=0, K(5,1)
A(1,1), B(4,5), C(-11,-4)
a: 5x-19y-63=0, b: 3x+4y-7=0, c: 8x-15y+7=0
a: x+4y-14=0, c: 3x+4y-10=0, K(2,4)
A(1,-1), B(-3,2), C(-11,-4)
a: x+y+7=0, b: 12x+5y-7=0, c: 15x+8y-7=0
a: 17x-6y-98=0, c: 4x+3-1=0, K(1,-5)
A(-1,1), B(-3,2), C(14,-7)
a: 3x-y+7=0, b: 15x-8y-7=0, c: 3x-4y+1
a: 4x+y-11=0, b: 4x+3y-1=0, c: 12x+5y-7=0
A(1,-1), B(-11,4), C(-3,2)
a: 2x-7y+27=0, b: 4x-3y-1=0, c: 5x-12y+7=0
a: 3x+2y-23=0, c: 3x-4y+1=0, K(5,1)
A(-1,1), B(14,-7), C(3,2)
a: 4x-y-5=0, b: 12x-5y+7=0, c: 4x-3y+1=0
a: 2x-3y-23, c: 4x+3y-1, K(1,-5)
A(1,-1), B(-7,14), C(-2,3)
a: 11x-5y-19=0, b: 15x-8y-7=0, c: 4x-3y-1=0
Задача 4
Записать каноническое уравнение окружности, найти центр и радиус. Построить
окружность.
1. 3x2+3y2-6x+12y-1=0.
2. 2x2+2y2-4x+16y-3=0.
3. 4x2+4y2-8x+5=0.
4. 5x2+5y2-20x+30y-7=0.
5. 3x2+3y2-18x+6y+15=0.
6. 2x2+2y2-20x+4y-5=0.
7. 3x2+3y2-18x+24y+5=0.
8. 4x2+4y2-16x+24y-1=0.
9. 5x2+5y2-10x+20y-3=0.
10. 2x2+2y2-8x+16y-1=0.
11. 3x2+3y2-18x+2=0.
12. 4x2+4y2-24x+16y-3=0.
13. 5x2+5y2-20x+30y-7=0.
14. 2x2+2y2-16x+4y+3=0.
15. 3x2+3y2-12x+18y-5=0.
16. 4x2+4y2-24x+8y-5=0.
17. 5x2+5y2-30x+10y-3=0.
18. 2x2+2y2-12x+4y=0.
19. 3x2+3y2-24x+1=0.
20. 4x2+4y2-8x+23=0.
21. 5x2+5y2-10x+20y=0.
22. 2x2+2y2-4x+9=0.
23. 3x2+3y2-6x+12y-5=0.
24. 4x2+4y2-32x-3=0.
25. 5x2+5y2-20x+10y-7=0.
26. 2x2+2y2-16x+4y-3=0.
Задача 5
1.
x
3
Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет   , директрисы
5
50
. Построить кривую.
3
3
Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет   , эллипс
5
2
2
вписан в окружность x +y =100. Построить кривую
25
3. Найти каноническое уравнение эллипса, если директрисы x   , расстояние
2
между фокусами 16. Построить кривую
12
4. Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет   , малая ось
13
равна 20. Построить кривую
5. Найти каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами 12,
отношение осей 5:4. Построить кривую
289
6. Найти каноническое уравнение эллипса, если директрисы эллипса x  
,
15
отношение осей 17:8. Построить кривую
3
7. Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет   , отрезок
5
между вершинами AB= 41 . Построить кривую
8. Найти каноническое уравнение эллипса, если отношение осей 13:12 и
окружность x2+y2=144 вписана в эллипс. Построить кривую
9. Найти каноническое уравнение эллипса, если директрисы эллипса x=6,
отношение его осей 6 : 5 . Построить кривую
10. Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет =0, малая ось
равна 10. Построить кривую
11. Найти каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами
эллипса 20, отношение осей 13:12. Построить кривую
5
12. Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет   , расстояние
17
между фокусами 30. Построить кривую.
3
13. Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет   , директрисы
5
100
x
. Построить кривую.
3
25
14. Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет   , малая ось
7
равна 48. Построить кривую.
3
15. Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет   , эллипс
5
2
2
вписан в окружность x +y =100. Построить кривую.
338
16. Найти каноническое уравнение эллипса, если директрисы x  
, расстояние
5
между фокусами равно 20. Построить кривую.
2.
17. Найти каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами
эллипса 20 и отношение осей 13:12. Построить кривую.
18. Найти каноническое уравнение эллипса, если малая полуось равна 6 и эллипс
вписан в окружность x2+y2=13. Построить кривую.
19. Найти каноническое уравнение эллипса, если малая полуось эллипса равна 48 и
отношение осей 13:12. Построить кривую.
4
20. Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет   , директрисы
5
25
x   . Построить кривую.
2
2
21. Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет   , расстояние
3
между фокусами 4. Построить кривую.
22. Найти каноническое уравнение эллипса, если директрисы эллипса x  9 ,
отрезок между вершинами AB= 2 14 . Построить кривую.
5
23. Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет   , расстояние
7
меду фокусами равно 10. Построить кривую.
49
24. Найти каноническое уравнение эллипса, если директрисы эллипса x  
и
5
окружность x2+y2=24 вписана в эллипс. Построить кривую.
25. Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет =0 малая ось
равна 20. Построить кривую.
3
26. Найти каноническое уравнение эллипса, если эксцентриситет   , расстояние
4
меду фокусами равно 12. Построить кривую.
Задача №6
каноническое
уравнение
гиперболы,
если
директрисы
144
гиперболы x  
и асимптоты 5x12y=0. Построить кривую.
3
2. Найти каноническое уравнение гиперболы, если директрисы гиперболы
18
x   , фокусы лежат на окружность x2+y2=100. Построить кривую.
5
3. Найти каноническое уравнение гиперболы, если
директрисы гиперболы
144
x
, действительная ось равна 24. Построить кривую.
13
25
4. Найти каноническое уравнение гиперболы, если директрисы гиперболы x  
13
и отношение осей 5:12. Построить кривую.
5. Найти каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы
29
  , действительная полуось равна 40. Построить кривую.
20
6. Найти каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы
=2,6 и действительная полуось равна 20. Построить кривую.
9
7. Найти каноническое уравнение гиперболы, если директрисы гиперболы x  
5
2 2
и касается окружности x +y =9. Построить кривую.
1.
Найти
8. Найти каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы
25
576
  , ее директрисы x  
. Построить кривую.
24
25
9. Найти каноническое уравнение гиперболы, если директрисы гиперболы
x  5 2 и асимптоты перпендикулярны. Построить кривую.
10. Найти каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы
=2,6 и фокусы лежат на окружность x2+y2=676. Построить кривую.
11. Найти каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы
25
  , расстояние меду фокусами равно 50. Построить кривую.
24
12. Найти каноническое уравнение гиперболы, если действительная полуось равна
14 и асимптоты 24x7y=0. Построить кривую.
13. Найти каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы
25
  , асимптоты 3x4y=0 и фокусы лежат на окружность x2+y2=625. Построить
24
кривую.
14. Найти каноническое уравнение гиперболы, если директрисы гиперболы
32
x
и действительная полуось равна 16. Построить кривую.
5
15. Найти каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы
5
  , расстояние меду фокусами равно 20. Построить кривую.
3
16. Найти каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы
5
  , общий фокус с параболой y2=80x. Построить кривую.
3
17. Найти каноническое уравнение гиперболы, если директрисы гиперболы
64
x
и асимптоты 3x4y=0. Построить кривую.
5
18. Найти каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы
7
  , и действительная полуось равна 10. Построить кривую.
5
19. Найти каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы
7
9
  , ее директрисы x   . Построить кривую. Построить кривую.
3
7
20. Найти каноническое уравнение гиперболы, если действительная полуось равна
16 и фокус в центре окружности x2+y2-18x=0. Построить кривую.
21. Найти каноническое уравнение гиперболы, если ее асимптоты 4x3y=0 и
расстояние меду фокусами равно 10. Построить кривую.
22. Найти каноническое уравнение гиперболы, если директрисы гиперболы
49
x
и действительная полуось равна 14. Построить кривую.
11
23. Найти каноническое уравнение гиперболы, если расстояние меду фокусами
равно 7 2 и асимптоты перпендикулярны. Построить кривую.
24. Найти каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы
  2, действительная полуось равна 2. Построить кривую.
18
25. Найти каноническое уравнение гиперболы, если директрисы гиперболы x  
5
и она касается окружности x2+y2=36. Построить кривую.
26. Найти каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы
13
  , фокусы лежат на окружность x2+y2=169. Построить кривую.
12
Задача №7
Найти каноническое уравнение параболы, если ее директриса совпадает с
x2 y2
правой директрисой эллипса

 1 . Построить кривую.
16 9
2. Найти канонические уравнения парабол, если их фокусы совпадают с фокусами
x2 y2
гиперболы  
 1 . Построить кривую.
16 9
3. Найти каноническое уравнение параболы, если ее фокус совпадает с центром
окружности x2+4x+y2-21=0. Построить кривую.
4. Найти канонические уравнения парабол, если ее директрисы совпадают с
x2 y2

 1 . Построить кривую.
директрисами эллипса
9 25
5. Найти каноническое уравнение параболы, если ее фокус совпадает с нижней
x2 y2
вершиной эллипса

 1 . Построить кривую.
64 100
6. Найти каноническое уравнение параболы, если ее директриса y=5. Построить
кривую.
7. Найти канонические уравнения парабол, если они имеют общие фокусы с
x2 y2

 1 . Построить кривую.
эллипсом
25 21
8. Найти каноническое уравнение параболы, если ее фокусы совпадают с
x2 y2

 1 . Построить кривую.
вершинами гиперболы
14 16
9. Найти каноническое уравнение параболы, если она проходит через точку (-2,4).
Построить кривую.
10. Найти каноническое уравнение параболы, если ее полярное уравнение =12:(1cos). Построить кривую.
11. Найти каноническое уравнение параболы, если ее фокус совпадает с центром x26y+y2=0. Построить кривую.
12. Найти каноническое уравнение параболы, если ее расстояние фокуса до
директрисы равно радиусу окружности x2+y2=9. Построить кривую.
13. Найти каноническое уравнение параболы, если она симметрична относительно
Oy и касается x-y-2=0. Построить кривую.
14. Найти каноническое уравнение параболы, если ее директриса y=10. Построить
кривую.
x2 y2

 1.
15. Найти канонические уравнения парабол софокусных с гиперболой
64 36
Построить кривую.
16. Найти каноническое уравнение параболы, если она проходит через точки (4,2).
Построить кривую.
17. Найти каноническое уравнение параболы, если она касается прямых y=x-2.
Построить кривую.
1.
18. Найти
x2
гиперболы

16
19. Найти
канонические уравнения парабол, если их директрисы касаются
y2
 1 . Построить кривую.
9
канонические уравнения парабол, если их фокусы совпадают с
x2 y2
вершинами эллипса

 1 . Построить кривую.
25 16
20. Найти каноническое уравнение параболы, если она касается прямых xy+2=0.
Построить кривую.
x2 y2
21. Найти канонические уравнения парабол, если их общие фокусы с  
 1.
64 36
Построить кривую.
22. Найти каноническое уравнение параболы, если ее фокус совпадает с центром
x2+y2+6y=9. Построить кривую.
23. Найти канонические уравнения парабол, если их директрисы касаются
2
x
y2

 1 . Построить кривую.
25 16
24. Найти каноническое уравнение параболы, если ее фокус лежит на окружности
2 2
x +y =25. Построить кривую.
25. Найти каноническое уравнение параболы, если она касается прямых x+y-2=0.
Построить кривую.
26. Найти каноническое уравнение параболы, если гипербола x2+y2=25 проходит
через ее фокус. Построить кривую.
Задача 8
Определить вид кривой
1. a) 17x2-2xy+y2-3x-y-3=0;
c) 32x2+60xy+7y2-16x-2y+1=0;
2. a) x2+y2-4x+4=0;
c) 4x2+12xy+9y2-2x+1=0;
3. a) x2-4xy+5y2-2x+6y-1=0;
c) x2-2xy+y2+2x-2y+1=0;
4. a) x2-4xy+4y2+2x+6y=0;
c) x2-2xy+y2+2x+6y-1=0;
5. a) 4x2+y2-2x-6y+5=0;
c) x2+8xy-y2+4x-10=0;
6. a) 6xy+8y2-12x-26y+11=0;
c) x2+2xy+y2+2x+2y-8=0;
7. a) x2+2xy-8y2+8x-4y+4=0;
c) 4x2+2xy+y2-8x+16y=0;
8. a) 4x2+y2-2x+4y-9=0;
c) x2+y2+4x+4=0;
9. a) x2+4xy+4y2+6x+12y+9=0;
c) x2-4xy+y2-12x+10y=0;
10. a) x2+4xy+4y2+6x+12y+9=0;
c) x2+2xy+y2-12y+5=0;
11. a) 5x2+8xy-5y2+18x-18y=0;
c) 2xy-4x+2y-3=0;
12. a) x2+2y2+4x-4y+1=0;
c) x2+2xy+y2+2x+12y=0;
b) 4x2-28xy+49y2-3x-15y+2=0;
d) x2-y2+6x-2y+8=0;
b) x2-8xy+3y2-4x=0;
d) x2+8xy+y2+-2x+2y=0;
b) x2-8xy+3y2-4x=0;
d) x2-2xy+y2-4x+1=0;
b) x2-4xy+y2+2x+6y=0;
d) x2+2xy+y2+25=0.
b) x2-y2+2x-2y=0;
d) 4x2+4xy+y2-2x+6y-7=0.
b) x2+2xy+4y2-8y+5=0;
d) x2+2xy+y2+2x-2y-11=0.
b) x2+2xy+y2-8x=0;
d) 4x2+16xy+y2-8x+2y-1=0.
b) x2-2xy-y2-2x+4y+11=0;
d) x2+4xy+4y2-10x=0.
b) x2-4xy+4y2-10x+9=0;
d) 9x2+2xy+y2-6x+4y-1=0.
b) 4x2-2xy+y2-6x+1=0;
d) x2+y2-4y+4=0.
b) x2-4xy+4y2-5x=0;
d) 3x2-2y2+6x+4y+1=0.
b) 2xy-4y2+6x+6y -1=0;
d) 4x2-12xy+9y2-2x+3y-2=0.
13. a) 6xy-8y2+12x-26y=0;
c) x2-4xy+y2+2x-14y=0;
14. a) 9x2+24xy+16y2-40x+30y=0;
c) 7x2+16xy-23y2-14x-16y=0;
15. a) x2+2xy-4y-4=0;
c) xy+x+y-10=0;
16. a) 9x2+24xy+16y2-10x+1=0;
c) 5x2+6xy+5y2-10=0;
17. a) x2+6xy+9y2-2x+1=0;
c) 2x2+y2-4x-4y=0;
18. a) 4x2+y2+4x+1=0;
c) 6x2+2xy+3y2-4x+2y=0;
19. a) 3x2+2xy+y2-2x+5=0;
c) 10x2+20xy+10y2-2x+1=0;
20. a) 4x2+6xy+12y2-2x+1=0;
c) x2+24xy+y2-6x=0;
21. a) 3x2+6xy+5x-2y-2=0;
c) x2+4y2-6x-4y+1=0;
22. a) 6x2+2xy+y2-2x+5=0;
c) 4x2+12xy+9y2-16x+3=0;
23. a) 4x2-y2-12x+9=0;
c) 4x2-2xy+3y2-4x+2y=0;
24. a) x2+2xy+y2-4x+5=0;
c) x2-2xy+16y2+8x+3=0;
25. a) 4x2+9y2+8x+4=0;
c) 4x2+2xy+y2+6x+8y=0;
26. a) x2+2xy+y2-4x=0;
c) 9x2+2xy+y2-4x+5=0;
b) 2x2-4xy+5y2-6x-8y-1=0;
d) 9x2-12xy+4y2+3x-2y-2=0.
b) 5x2+8xy+5y2-18x-18y=0;
d) x2+4xy+4y2-1=0.
b) 4x2+4x+2y-1=0;
d) 5x2+8xy+5y2-18x+1=0.
b) 7x2-24xy-38x+24y-1=0;
d) x2+2xy+y2+1=0.
b) x2-4y2+6x-8y-4=0;
d) x2+y2+4x+4=0.
b) 3x2+6xy+y2-2x=0;
d) 16x2-24xy+9y2-10x+1=0.
b) x2-6xy+y2-6x+2y=0;
d) 3x2+4xy-4y2+4x+8y=0.
b) 3x2-6xy+3y2+2x-5=0;
d) 4x2+8xy+4y-1=0.
b) 2xy+2x+2y-11=0;
d) x2+6xy+9y2-12x+1=0.
b) x2-10xy+y2-4x+1=0;
d) x2-y2-4x+4y=0.
b) x2-12xy+2y2-6x+1=0;
d) 16x2+8xy+y2-2x+5=0.
b) x2+2xy-y2+8x+1=0;
d) x2+4y2+4x+4=0.
b) x2-8xy+y2+2x+1=0;
d) 4x2+4xy+y2-6x+5=0.
b) 4x2+16xy+y2-6y+1=0;
d) x2+4xy+4y2+1=0.
Задача 9
Записать формулы преобразования ДСК на плоскости при новом начале O * и угле
поворота  . Найти старые координаты точки M .
N O*
N O*


M*
M*
1 (3,-2)
(5,-1)
16 (3,-2)
0
330 
(0,2 3 )


2 (-2,1)
(0,1)
17
(4,-5)
(1,3)
30
0
3 (0,0)
18 (1,-1)
45
30 
(0, 2 )
(-2 3 ,2)


4 (1,0)
(2,-8)
19 (-1,3)
60
45
( 2, 2)


5 (2,3)
(5,7)
20 (0,-1)
90
60
( 3 ,1)


6 (1,0)
21 (1,2)
(1,-2)
90
120
( 3 ,-1)
7
(3,-2)
135 
8
(1,-2)
150

180

9
(4,-3)
210

11 (0,1)
225

12 (3,1)
240 
13 (2,1)
270

14 (3,0)
300

15 (4,2)
315
10 (2,-3)
(1,-1)
22 (3,-2)
120 
(2 3 ,0)
(3,5)
23 (-1,1)
135

24 (0,1)
150 
(4 3 ,2)
25 (0,0)
180

( 2 ,0)
26 ( 3 ,- 3 )
27 (1,1)
210 
(2,0)
225
( 2 ,0)
(2,0)
(2 3 ,2)
(2,0)
(2, 2 3 )
(1,1)

(3, 3 )
(1,1)
(-2 3 ,2)
(1,1)
28 (1, 3 )
29 (-3,1)
240
270 
(3,0)
30 (0,0)
300 
(2,2 3 )
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Задача 1
 

В декартовом базисе i, j даны векторы a , b . Найти c , который с данными образует
треугольник, площадь треугольника и косинус угла между данными векторами,


скалярную и векторную проекцию вектора a на b .




N Вектор a
N Вектор a
Вектор b
Вектор b




1 a (3,4)
16 a (10,24)
b (3,15)
b (21,20)




2 a (8,15)
17 a (10,21)
b (5,12)
b (4,3)




3 a (5,12)
18 a (3,4)
b (24,7)
b (15,8)




4 a (7,24)
19 a (8,15)
b (24,10)
b (12,5)




5 a (10,24)
20 a (5,12)
b (24,7)
b (21,20)




6 a (20,21)
21 a (7,24)
b (4,3)
b (24,10)




7 a (4,3)
22 a (10,24)
b (8,15)
b (21,20)




8 a (15,8)
23 a (20,21)
b (5,12)
b (15,8)




9 a (12,5)
24 a (8,15)
b (7,24)
b (5,12)




10 a (24,7)
25 a (12,5)
b (7,24)
b (10,24)




11 a (24,10)
26 a (24,7)
b (3,4)
b (20,21)




12 a (20,21)
27 a (4,7)
b (4,3)
b (12,5)




13 a (3,4)
28 a (15,8)
b (15,8)
b (24,8)




14 a (8,15)
29 a (4,3)
b (24,7)
b (5,12)




15 a (7,24)
30 a (10,24)
b (4,3)
b (24,10)
Задача 2
В тетраэдре ABCD найти объем V, площадь S основания ABC , высоту H  DK и высоту
h  CL основания.
N A
C
B
D
B (0,4,7)
C (5,16,12)
D(0,4,22)
1 A(1,2,5)
B (3,1,9)
C (3,3,2)
D(4,1,19)
2 A(2,3,1)
B (4,3,2)
C (9,9,3)
D(9,1,7)
3 A(3,5,4)
B (5,2,3)
C (5,6,11)
D(6,2,21)
4 A(4,2,5)
B (0,1,3)
C (8,11,23)
D(9,13,40)
5 A(1,3,5)
B (3,5,5)
C (6,7,13)
D(2,17,2)
6 A(2,1,3)
B ( 4,1,5)
C (5,1,17)
D(4,3,15)
7 A(2,3,1)
B(3,3,11)
C (5,5,1)
D (6,1,16)
8 A(2,1,3)
B(1,6,5)
C (4,24,5)
D(2,26,8)
9 A(2,4,3)
B (3,1,7)
C ( 4,3,1)
D(4,1,10)
10 A(2,3,1)
B (4,0,1)
C (4,4,9)
D(4,6,23)
11 A(3,2,1)
B (5,0,1)
C (16,26,11)
D (11,14,24)
12 A(4,2,3)
B(4,5,6)
C (5,7,14)
D (5,1,9)
13 A(3,1,2)
B(4,1,9)
C (7,13,9)
D (3,3,0)
14 A(3,5,1)
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
B (0,0,2)
B (3,1,1)
B (3,1,1)
B(5,1,12)
B (3,1,2)
B(3,2,7)
B (3,6,8)
B(0,1,10)
B(4,3,3)
B (0,8,5)
B (4,1,0)
B (3,1,6)
B(4,2,6)
B ( 4,2,9)
B (2,3,0)
B(2,9,11)
A(1,2,0)
A(2,5,9)
A(2,3,5)
A(4,3,4)
A(2,3,4)
A(2,6,1)
A(2,3,6)
A(1,3,2)
A(3,1,5)
A(1,4,3)
A(3,1,2)
A(2,3,2)
A(3,4,8)
A(3,2,1)
A(3,1,2)
A(1,5,3)
Задача 3  


C (8,12,28)
C (5,9,13)
C (5,1,11)
C (6,3,6)
C (5,7,8)
C (3,10,7)
C ( 4,4,10)
C (3,11,8)
C (15,29,9)
C ( 2,0,7)
C (12,13,26)
C (4,3,0)
C (6,2,8)
C (4,6,5)
C (0,11,6)
C (5,3,7)
D(9,14,15)
D (6,5,32)
D (6,1,17)
D(6,1,4)
D(6,9,9)
D(4,6,28)
D ( 4,0,15)
D ( 2,3,8)
D(3,2,5)
D(3,4,26)
D(1,1,0)
D(4,1,2)
D (7,0,5)
D(5,2,24)
D(2,3,2)
D(0,3,3)

Найти 1) b : b a ;
 

2) b a , если дан b .


N a
b

1 a (1,2,2)
9

2 a (2,3,6)
14

3 a (1,4,8)
9

4 a (4,4,7)
18

5 a (2,6,9)
20

6 a (6,6,7)
33

7 a (3,4,12)
26

8 a (2,5,14)
30

9 a (1,2,2)
6

10 a (2,3,6)
21

11 a (1,4,8)
18

12 a (7,4,4)
18

13 a (9,6,2)
22

14 a (6,7,6)
33

15 a (4,12,3)
26
N
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

a

a (5,14,2)

a ( 2,1,2)

a (6,3,2)

a (4,1,8)

a (7,4,4)

a (6,9,2)

a (6,7,6)

a (4,12,3)

a (14,5,2)

a ( 2,2,1)

a (2,6,3)

a (4,1,8)

a (7,4,4)

a (6,9,2)

a (2,9,6)

b
30
12
21
18
27
33
22
13
30
9
21
18
27
22
33
Задача 4
  
Найти c  a ,b , если:


N a
b


1 a (1,2,2)
b (6,14,7)


2 a (1,4,8)
b (1,0,1)

c
30
16
18
17
N

a

a (8,4,1)

a (2,2,1)

b

b (6,4,1)

b (16,2,3)

c
9
15

a ( 2,2,1)

a ( 4,8,1)

a ( 2,1,2)

a (8,1,4)

a (1,2,2)

a (1,4,8)

a ( 2,1,2)

a (4,1,8)

a (2,1,2)

a (4,1,8)

a ( 2,2,1)

a (8,4,1)

a ( 2,2,1)
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

b (14,28,9)

b (4,6,1)

b (16,3,2)

b ( 5,2,4)

b (3,10,4)

b (3,4,4)

b (6,1,8)

b (0,1,1)

b (14,6,7)

b ( 4,1,6)

b (7,14,6)

b (1,0,1)

b ( 28,14,9)
60
18
9
19
30
20
18
21
15
22
27
23
15
24
18
25
30
26
9
27
30
28
36
29
15
30

a (8,4,1)

a (2,2,1)

a (8,4,1)

a (2,1,2)

a (4,1,8)

a ( 2,1,2)

a (4,1,8)

a ( 2,1,2)

a ( 4,1,8)

a ( 2,2,1)

a ( 4,8,1)

a (2,2,1)

a (4,8,1)
Задача 5. Найти косинус угла между векторами AB и AC .
1.
A 1, 2, 3 , B  0, 1, 2  , C  3, 4, 5 .
2. A  0,
3, 6  , B  12, 3, 3 , C  9, 3, 6 .
3.
A  3, 3, 1 , B  5, 5, 2  , C  4, 1, 1.
4.
A  1, 2, 3 , B  3, 4, 6  , C 1, 1, 1.
5. A  4,
2, 0  , B  1, 2, 4  , C  3, 2, 1.
6.
A  5, 3, 1 , B  5, 2, 0  , C  6, 4, 1.
7.
A  3, 7, 5 , B  0, 1, 2  , C  2, 3, 0 .
8.
A  2, 4, 6  , B  0, 2, 4  , C  6, 8, 10 .
9.
A  0, 1, 2  , B  3, 1, 2  , C  4, 1, 1.
10.
A  3, 3, 1 , B 1, 5, 2  , C  4, 1, 1.
11.
A  2, 1, 1 , B  6, 1, 4  , C  4, 2, 1.
12. A  1,
13.
2, 1 , B  4, 2, 5  , C  8, 2, 2 .
A  6, 2, 3 , B  6, 3, 2  , C  7, 3, 3.
14. A  0,
0, 4  , B  3, 6, 1 , C  5, 10, 1.
15. A  2,
8, 1 , B  4, 6, 0  , C  2, 5, 1.

b (5,4,2)

b (4,10,3)

b (4,4,3)

b (6,1,8)

b (0,1,1)

b (14,6,7)

b (4,1,6)

b (14,9,28)

b (4,2,5)

b (2,16,3)

b (4,4,3)

b (10,4,3)

b (0,1,1)
18
45
18
15
27
30
36
15
9
45
18
15
18
16. A  3,
6, 9  , B  0, 3, 6  , C  9, 12, 15 .
17.
A  0, 2, 4  , B 8, 2, 2  , C  6, 2, 4 .
18.
A  3, 3, 1 , B  5, 1, 2  , C  4, 1, 1.
19.
A  4, 3, 0  , B  0, 1, 3 , C  2, 4, 2 .
20.
A 1, 1, 0  , B  2, 1, 4  , C 8, 1, 1.
21.
A  7, 0, 2  , B  7, 1, 3 , C 8, 1, 2 .
22. A  2,
3, 2  , B  1, 3, 1 , C  3, 7, 3.
23.
A  2, 2, 7  , B  0, 0, 6  , C  2, 5, 7 .
24.
A  1, 2, 3 , B  0, 1, 2  , C  3, 4, 5 .
25.
A  0, 3, 6  , B  9, 3, 6  , C 12, 3, 3.
26.
A  3, 3, 1 , B  5, 1, 2  , C  4, 1, 3.
27.
A  2, 1, 1 , B  2, 3, 2  , C  0, 0, 3.
28.
A 1, 4, 1 , B  2, 4, 5 , C 8, 4, 0 .
29.
A  0, 1, 0  , B  0, 2, 1 , C 1, 2, 0 .
30.
A  4, 0, 4  , B  1, 6, 7  , C 1, 10, 9 .
31. A  2,
4, 6  , B  0, 2, 4  , C  6, 8, 10 .
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Задача 1
По данным найти уравнения плоскости: общее, нормальное, в отрезках. Найти расстояние
от точки М0 до плоскости.
№
вар.
1
2
Точки плоскости
Направляющие векторы
M0
a (4,0,1)
(3,5,7)
(7,-2,3)
3
4
5
M 1 (3,-1,2), M 2 (0,3,4)
M 1 (2,1,0), M 2 (3,-2,1), M 3 (4,0,-1)
M 1 (3,1-2)
M 1 (4,0,-1), M 2 (2,3,0)
M 1 (3,0,-1), M 2 (1,0,-2), M 3 (5,1,3)
a (1,0,4), b (2,1,0)
a (3,5,-1)
(5,0,0)
(4,1,0)
(4,1,0)
6
M 1 (4,0,-1)
a (2,0,-1), b (0,2,1)
(-3,1,5)
7
8
M 1 (4,0,2), M 2 (3,1,4)
M 1 (2,4,0), M 2 (0,-3,1), M 3 (5,1,3)
M 1 (5,0,1)
M 1 (3,5,1), M 2 (0,-2,3)
M 1 (3,4,-5), M 2 (4,4,-7), M 3 (5,6,-6)
a (2,3,-4)
(4,-5,1)
(2,1,3)
a (1,0,-2), b (5,3,1)
a (4,5,0)
(6,0,2)
(7,0,-2)
(4,-6,7)
M 1 (2,2,0)
M 1 (3,-2,1), M 2 (2,0,4)
M 1 (2,-1,3), M 2 (0,1,3), M 3 (0,3,1)
M 1 (3,2,4)
M 1 (3,-2,0), M 2 (4,0,-3)
M 1 (6,0,0), M 2 (1,-2,3), M 3 (2,3,3)
a (-2,1,3), b (3,2,0)
a (2,0,1)
(-1,2,5)
(1,-7,2)
(2,1,5)
a (2,1,0), b (1,2,-3)
a (0,1,3)
(4,1,-5)
(5,0,-2)
(4,1,-5)
a (0,-1,2), b (3,1,2)
a (1,2,0)
(2,0,5)
(2,3,-5)
(5,6,-2)
21
22
23
M 1 (2,3,-4)
M 1 (-2,-3,1), M 2 (-4,0,2)
M 1 (3,1,2), M 2 (0,-2,1), M 3 (4,1,4)
M 1 (3,-2,2)
M 1 (2,3,-5), M 2 (0,3,1)
M 1 (2,3,-1), M 2 (0,1,3), M 3 (3,-1,0)
a (2,-1,0), b (3,2.4)
a (1,3,2)
(4,5,0)
(1,-1,5)
(2,3,5)
24
25
26
M 1 (2,-4,1)
M 1 (3,-1,0), M 2 (2,4,1)
M 1 (2,0,-1), M 2 (1,3,5), M 3 (3,1,-2)
a (1,2,-1), b (4,01)
a (2,0,1)
(5,-1,6)
(-2,3,6)
(3,-5,1)
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Задача 2.
Найти расстояние от точки M 0 до плоскости, проходящей через точки M 1 , M 2 , M 3 .
1. M1  3, 4, 7  , M 2 1, 5,
4  , M 3  5, 2, 0  , M 0  12, 7, 1.
2. M1  1, 2, 3 , M 2  4, 1, 0  , M 3  2, 1,
3. M1  3, 1, 1 , M 2  9, 1,
2  , M 0 1, 6, 5 .
2  , M 3 3, 5, 4  , M 0  7, 0, 1.
4. M1 1,
1, 1 , M 2  2, 0, 3 , M 3  2, 1, 1 , M 0  2, 4, 2 .
5. M1 1,
2, 0  , M 2 1, 1, 2  , M 3  0, 1, 1 , M 0  2, 1, 4 .
6. M1 1,
0, 2  , M 2 1, 2, 1 , M 3  2, 2, 1 , M 0  5, 9, 1.
7. M1 1,
2, 3 , M 2 1, 0, 1 , M 3  2, 1, 6  , M 0 3, 2, 9 .
8. M1  3, 10,
1 , M 2  2, 3, 5  , M 3  6, 0, 3 , M 0  6, 7, 10 .
9. M1  1,
2, 4  , M 2  1, 2, 4  , M 3  3, 0, 1 , M 0  2, 3, 5 .
10. M1  0,
3, 1 , M 2  4, 1, 2  , M 3  2, 1, 5  , M 0  3, 4, 5 .
11. M1 1,
3, 0  , M 2  4, 1, 2  , M 3  3, 0, 1 , M 0  4, 3, 0 .
12. M1  2,
1, 1 , M 2  0, 3, 2  , M 3  3, 1, 4  , M 0  21, 20, 16 .
13. M1  3,
5, 6  , M 2  2, 1, 4  , M 3  0, 3, 1 , M 0 3, 6, 68 .
14. M1  2,
4, 3 , M 2  5, 6, 0  , M 3  1, 3, 3 , M 0  2, 10, 8 .
15. M1 1,
1, 2  , M 2  2, 1, 2  , M 3 1, 1, 4  , M 0  3, 2, 7 .
16. M1 1,
3, 6  , M 2  2, 2, 1 , M 3  1, 0, 1 , M 0 5, 4, 5 .
17. M1  4,
18. M1  7,
2, 6  , M 2  2, 3, 0  , M 3  10, 5, 8  , M 0  12, 1, 8 .
2, 4  , M 2  7, 1, 2  , M 3  5, 2, 1 , M 0 10, 1, 8 .
19. M1  2, 1,
4  , M 2  3, 5, 2  , M 3  7, 3, 2  , M 0  3, 1, 8 .
20. M1  1, 5, 2  , M 2  6, 0,
21. M1  0,
22.
3 , M 3  3, 6, 3 , M 0 10, 8, 7 .
1, 1 , M 2  2, 3, 5 , M 3 1, 5, 9  , M 0  4, 13, 6 .
M1  5, 2, 0  , M 2  2, 5, 0  , M 3 1, 2, 4  , M 0  3, 6, 8 .
23. M1  2,
1, 2  , M 2 1, 2, 1 , M 3 5, 0, 6  , M 0 14, 3, 7 .
24. M1  2, 0, 4  , M 2  1, 7, 1 , M 3  4,
25. M1 14,
26. M1 1,
27.
4, 5 , M 2  5, 3, 2  , M 3  2, 6, 3 , M 0  1, 8, 7 .
2, 0  , M 2  3, 0, 3 , M 3  5, 2, 6  , M 0  13, 8, 16 .
M1  2, 1, 2  , M 2 1, 2, 1 , M 3  3, 2, 1 , M 0  5, 3, 7 .
28. M1 1, 1,
29. M1  2,
30.
8, 4  , M 0  6, 5, 5 .
2  , M 2  1, 1, 3 , M 3  2, 2, 4  , M 0  2, 3, 8 .
3, 1 , M 2  4, 1, 2  , M 3  6, 3, 7  , M 0  5, 4, 8 .
M1 1, 1, 1 , M 2  2, 3, 1 , M 3  3, 2, 1 , M 0  3, 7, 6 .
31. M1 1,
5, 7  , M 2  3, 6, 3 , M 3  2, 7, 3 , M 0 1, 1, 2 .
Задача 3.
Написать канонические уравнения прямой.
1.
2 x  y  z  2  0, 2 x  y  3z  6  0.
2.
x  3 y  2 z  2  0, x  3 y  z  14  0.
3.
x  2 y  z  4  0, 2x  2 y  z  8  0.
4.
x  y  z  2  0, x  y  2 z  2  0.
5.
2 x  3 y  z  6  0, x  3 y  2 z  3  0.
6.
3x  y  z  6  0, 3x  y  2 z  0.
7.
x  5 y  2 z  11  0, x  y  z  1  0.
8.
3x  4 y  2 z  1  0, 2x  4 y  3z  4  0.
9.
5 x  y  3z  4  0, x  y  2 z  2  0.
10.
x  y  z  2  0, x  2 y  z  4  0.
11.
4 x  y  3z  2  0, 2x  y  z  8  0.
12.
3x  3 y  2 z  1  0, 2x  3 y  z  6  0.
13.
6 x  7 y  4 z  2  0, x  7 y  z  5  0.
14.
8 x  y  3z  1  0, x  y  z  10  0.
15.
6 x  5 y  4 z  8  0, 6x  5 y  3 z  4  0.
16.
x  5 y  z  5  0, 2x  5 y  2 z  5  0.
17.
2 x  3 y  z  6  0, x  3 y  2 z  3  0.
18.
5 x  y  2 z  4  0, x  y  3z  2  0.
19.
4 x  y  z  2  0, 2x  y  3z  8  0.
20.
2 x  y  3z  2  0, 2x  y  z  6  0.
21.
x  y  2 z  2  0, x  y  z  2  0.
22.
x  5 y  z  11  0, x  y  2 z  1  0.
23.
x  y  z  2  0, x  2 y  z  4  0.
24.
6 x  7 y  z  2  0, x  7 y  4 z  5  0.
25.
x  5 y  2 z  5  0, 2x  5 y  z  5  0.
26.
x  3 y  z  2  0, x  3 y  2 z  14  0.
27.
2 x  3 y  2 z  6  0, x  3 y  z  3  0.
28.
3x  4 y  3z  1  0, 2x  4 y  2 z  4  0.
29.
3x  3 y  z  1  0, 2x  3 y  2 z  6  0.
30.
6 x  5 y  3z  8  0, 6x  5 y  4 z  4  0.
31.
2 x  3 y  2 z  6  0, x  3 y  z  3  0.