Математика, Кишко Н. (9 класс)

Министерство образования и науки
Российской Федерации
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 22»
РЕФЕРАТ
по математике
«Окружность и касательные»
Выполнила
учащаяся 9 класса «А»
Кишко Марина Владимировна
Учитель математики
Охота Наталья Сергеевна
Тверь, 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………………………..3
Глава I. Окружность
1.1 Что такое окружность?......................................................................................4
1.2 Основные термины…………………………………………………………5-6
1.3 Вписанная окружность……………………………………………………..7-8
1.4 Описанная окружность……………………………………………………9-10
1.5 «Замечательные» точки треугольника……………………………………..11
Глава II. «Прямая Эйлера». Окружность девяти точек
2.1 Что такое прямая Эйлера?.........................................................................12-14
2.2 Окружность девяти точек………………………………………………..15-16
2.3История теорем окружности девяти точек……………………………...17-18
Глава III.Построение окружности с помощью циркуля и линейки
3.1 Основные понятия………………………………………………………..19-21
3.2 Деление отрезков ………………………………………………………...22-23
3.3 Известные задачи………………………………………………………...24-26
3.4 Неразрешимые задачи...……………………………………………………..27
3.5 Интересные факты…………………………………………………………...28
Заключение……………………………………………………………………...29
Список литературы…………………………………………………………….30
Приложение 1…………………………………………………………………...31
Приложение 2…………………………………………………………………...32
Приложение 3…………………………………………………………………...33
Приложение 4………………………………………………………………..34-35
2
ВВЕДЕНИЕ
Когда-то геометрия включала всю математику. Но математика росла и
развивалась особенно бурно в последние 200 лет. Возникли новые
направления: математический анализ, теория множеств, топология, совсем
иначе стала выглядеть алгебра. Конечно, развивалась и геометрия, однако
некоторые математики начали в последнее время относить ее к числу
второстепенных математических направлений. Это мнение нашло свое
отражение и в содержании школьных программ по математике. Как мало мы
знаем о природе геометрии и об успехах, которые были достигнуты ее
исследователями! Геометрия и сейчас обладает всеми теми достоинствами, за
которые ее ценили педагоги прошлых поколений.
Самая простая из кривых линий – окружность. Это одна из древнейших
геометрических фигур. Философы древности придавали ей огромное
значение. Согласно Аристотелю, небесная материя, из которой состоят
планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой
совершенной фигуре – окружности. Сотни лет астрономы считали, что
планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было
опровергнуто лишь в XVII в. учением Коперника, Галилея, Кеплера и
Ньютона.
Определение касательной к прямой, имеющей с окружностью одну
общую точку, встречается впервые в учебнике «Элементы геометрии»
французского математика Лежандра (1752 - 1833). В «Началах» Евклида
дается следующее определение; прямая касается круга, если она встречает
круг, но при продолжении не пересекает его.
Цель данного реферата состоит в том, чтобы вспомнить некоторые из
полузабытых вещей, касающихся окружностей и касательных к ним, вывести
новые теоремы. Узнать способы деления отрезков с помощью циркуля и
линейки.
Задача реферата: 1. Изучить понятия окружности и касательных.
Особенности и свойства; 2. Окружность девяти точек; 3. Рассмотрение задач
на деление отрезков с помощью циркуля и линейки.
3
Глава I. Окружность
1.1
Что такое окружность?
Окружность (рис.1) — геометрическое место всех точек плоскости,
равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное
неотрицательное расстояние, называемое её радиусом.
(рис.1)
Другие определения:
 Окружность диаметра AB — это фигура, состоящая из точек A, B
и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым
углом.
 Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости,
для каждой из которых отношение расстояний до двух данных
точек равно данному числу, отличному от единицы.
 Также фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из
которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна
заданной величине, большей половины квадрата расстояния
между данными точками.
4
1.2
Основные термины.
 Радиус (рис.2) — не только величина расстояния, но и отрезок,
соединяющий центр окружности с одной из её точек.
А
r
ОА = r - радиус
(рис.2)
О
 Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (рис.3).
В
(рис.3)
О
АВ - диаметр
А
 Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку,
называется касательной (рис.4) к окружности, а их общая точка называется
точкой касания прямой и окружности.
а
О
(рис.4)
а - касательная
С
 Прямая, проходящая через две различных точки окружности,
называется секущей (рис.5).
А
О
В
(рис.5)
АВ – секущая
5
 Центральный угол (рис. 6)— угол с вершиной в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.
А
(рис.6)
∠АОВ − центральный угол
О
В
 Вписанный угол (рис. 7) — угол, вершина которого лежит на
окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен
половине градусной меры дуги, на которую опирается.
С
D
О
(рис. 7)
∠CDE − вписанный угол
E
6
1.3
Вписанная окружность.
Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла
и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит
на биссектрисе этого угла.
Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она
лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих
через его стороны.
В многоугольнике (рис.8):
Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то
биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной
точке, которая является центром вписанной окружности.
(рис.8)
В треугольнике (рис.9):

В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только
одну.
Центр O вписанной окружности называется инцентром, он
равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения
биссектрис треугольника.

В
(рис.9)
О
С
7
А
В четырехугольнике:
 Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность (рис.10)
 В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных
сторон равны (АВ + СD = a + b + c + d, BC+ AD = a + b + c + d, поэтому
AB + CD = BC + AD) (рис.11)
 Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника
равны, то в него можно вписать окружность
B
b
b
с
с
а
A
(рис.10)
а
C
(рис.11)
d
d
D
8
1.4
Описанная
содержащая все
Описанная окружность.
окружность многоугольника
(рис.12) — окружность,
вершины многоугольника. Центром является точка
пересечения серединных перпендикуляров к
сторонам многоугольника.
(рис.12)
В многоугольнике (рис.12):
Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке
пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как
следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все
серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной
точке (центре окружности).
 Около
любого правильного многоугольника можно
описать
окружность, и притом только одну.

В треугольнике:

Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её
центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров
(рис.13).

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит
внутри (рис.14) , у тупоугольного — вне треугольника (рис.15),
у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис.16).
9
В
В
О
С
С
А
А
(рис. 13)
(рис.14)
В
В
А
О
С
А
(рис.15)
С
(рис.16)
10
1.5
«Замечательные» точки треугольника.
В четвертой книге «Начал» Евклид решает задачу: «Вписать в данный
треугольник круг». Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних
углов треугольника пересекаются в одной точке – центр вписанного круга.
Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры тоже
пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В «Началах» не
говорится о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке,
называемой ортоцентром (греческое слово «ортос» означает прямой,
правильный). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу,
Проклу. Четвертой особенной точкой треугольника являлась точка
пересечения медиан. Архимед доказала, что она является центром тяжести
(барицентром) треугольника
На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание.
Начиная с XVII в. они были названы «замечательными» или «Особенными»
точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с
этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви
элементарной математики – «геометрии треугольника» (развитие этой
геометрии стало особенно заметным начиная с 70-х годов прошлого века),
или «новой геометрии треугольника», одним из родоначальников которого
был Леонард Эйлер.
В 1765 г. Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр,
барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной
позже «прямой Эйлера». В 20-х годах в. французские математики Ж.
Понселе, Ш. Бриашон и другие установили независимо друг от друга
следующую теорему: основание медиан, основание высот и середин
отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника,
лежат на одной и той же окружности.
Эта окружность называется «окружностью девяти точек» или
«окружностью Фейербаха», или «окружностью Эйлера». К.Фейербах
установил, что центр этой окружности лежит на «прямой Эйлера».
11
Глава II. «Прямая Эйлера». Окружность девяти точек.
2.1 Что такое прямая Эйлера?
Так что же такое «прямая Эйлера»? Введем это понятие. Треугольник,
полученный соединением середин сторон данного треугольника, назовем
серединным треугольником. На рис. 17 треугольник А*В*С* есть
серединный треугольник треугольника ABC. Рассмотрим также медианы
AА* и ВВ*, пересекающиеся в точке G (АА*∩ВВ* = G ); две высоты
треугольника АВС, пересекающиеся в точке H (AD∩BE = H); и две высоты
треугольника А*В*С*, пересекающиеся в точке О (A*M∩B*N = O).
Поразительно как много можно обнаружить, лишь изучая этот рисунок.
А
Е
С*
В*
М
Р
O
(рис.17)
G
Н
В
D
N
А*
С
Во-первых, стороны треугольника А*В*С* параллельны сторонам
треугольника АВС (B*C*||BC, A*B*||AB, A*C*||AC), поэтому эти
треугольники подобны => С*В* =1/2ВС, поэтому отношение длин двух
соответствующих отрезков (а не только соответствующих сторон) будет
равно 1 : 2. Кстати, точка Р – середина отрезка В*С* – также является и
серединой отрезка АА*.
Далее мы видим, что AС*А*В* – параллелограмм, следовательно,
прямая АА* делит пополам отрезок В*С*. Поэтому медианы треугольника
12
А*В*С* лежат на медианах треугольника ABC, а это означает, что оба
треугольника имеют один и тот же центроид G.
Высоты треугольника А*В*С*, изображенные нами на рисунке,
являются серединными перпендикулярами сторон АВ и ВС треугольника
АВС. Отсюда мы делаем вывод, что точка О – ортоцентр треугольника
A*B*C* – является в то же время и центром окружности, описанной около
треугольника АВС.
Так как точка Н – ортоцентр треугольника АВС, а точка О – ортоцентр
подобного ему треугольника А*В*С*, то АН = 2ОА*. Вспомним, что AG =
=2GА*. И, наконец, так как оба отрезка, AD и OА*, перпендикулярны
стороне ВС, то они параллельны.
Следовательно, ∠HAG = ∠OА*G, △НА*G ∼ △OA*G, и ∠AGH = ∠A*GO.
Этим показано, что точки O, G, H лежат на одной прямой и OH = 2CO, то
есть справедлива.
= > Теорема. Ортоцентр, центроид и центр описанной окружности
произвольного треугольника лежат на одной прямой. Центроид делит
расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в
отношении 2:1.
Прямая, на которой лежат эти точки, и называется прямой Эйлера этого
треугольника.
Изучим рисунок 17 более тщательно. Мы отметили точку N, где прямая
Эйлера HO пересекает прямую, проходящую через точку Р перпендикулярно
отрезку В*С*. Все три прямые АН, РН и А*О перпендикулярны отрезку
В*С*, параллельны. Так как |АР| = РА*, то прямая PN равноудалена от
прямых AH и А*О. Следовательно, точка N – середина отрезка НО.
До сих пор в наших рассуждениях фигурировала сторона В*С*
треугольника А*В*С*. Если мы проведем те же рассуждения, но
применительно к какой-либо другой стороне этого треугольника, то отрезок
НО останется тем же и он будет делиться серединным перпендикуляром к
новой стороне. Так как у отрезка НО одна середина, то мы можем
утверждать, что серединные перпендикуляры всех трех сторон треугольника
А*В*С* будут проходить через точку N. Другими словами, точка N должна
быть центром окружности, описанной вокруг треугольника А*В*С*.
13
Итак, центр окружности, описанной вокруг серединного треугольника
НО прямой Эйлера исходного треугольника. Кроме того, так кА треугольник
А*В*С* подобен треугольнику АВС, то радиус окружности, описанной
вокруг серединного треугольника, равен половине радиуса окружности,
описанной вокруг исходного треугольника.
14
2.2 Окружность девяти точек.
Стоит также подробно остановится на окружности девяти
точек. Чтобы облегчить восприятие дальнейшего, мы уберем
некоторые линии на рисунке 17 и добавим несколько других; в
результате получим рисунок 18. Рассмотрим внимательно новый
чертеж, на котором K, L, M – середины отрезков АН, ВН, СН,
лежащих на высотах.
А
K
С*
В*
(рис.18)
F
H
L
В
D
M
А*
С
Так как ВС – общая сторона двух треугольников АВС и НВС, а точки
С*, В* и L, M являются серединами других их сторон соответственно, то
отрезки С*В* и LM параллельны прямой ВС (а их длины равны половине
отрезка ВС).
Аналогично, так как АН – общая сторона двух треугольников ВАН и
САН, то оба отрезка С*L и В*М параллельны прямой АН (а их длины равны
половине длины отрезка АН). Следовательно, А*К, В*L, C*M являются
тремя диаметрами окружности, как показано на рисунке 19.
15
А
К
Е
С*
В*
F
N
О
H
В
М
L
D
(рис.19)
С
А*
Так как ∠А*DK – прямой, эта окружность (построенная на отрезке А*K,
как на диаметре) проходит через точку О. Точно так же она проходит через
точки Е и Р.
Учитывая вышесказанное, получаем:
Теорема. Основания трех высот произвольного треугольника,
середины трех сторон которого и середины трех отрезков, соединяющих
его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности радиуса 1/2R.
Следуя Ж.В. Понселе, мы называем ее окружности девяти точек этого
треугольника. Так как три точки K, L, M диаметрально противоположны
точкам А*, В*, С* то каждый из двух треугольников KLM или A*B*C*
может быть получен из другого поворотом на 180° вокруг центра этой
окружности. Очевидно, что этот поворот, который меняет местами эти два
конгруэнтных треугольника, должен также поменять и их ортоцентры
Н
и О. Следовательно, центром окружности девяти точек является середина
НО, которую уже ранее мы обозначили через N, имея в виду ее будущую
роль центра окружности девяти точек. Другими словами:
Теорема. Центр окружности девяти точек лежит на прямой
Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром
описанной окружности.
16
2.3 История теорем окружности девяти точек.
История этих двух теорем несколько запутана. Задача Б.Бивана,
опубликованная в английском журнале в 1804 году, по-видимому, указывает
на то, что эти теоремы уже давно известны. Иногда они ошибочно
приписываются Эйлеру, который уже в 1765 году доказал, что ортоугольник
и серединный треугольник имеют общую описанную окружность. И в самом
деле, европейские авторы часто называют эту окружность «окружностью
Эйлера». По-видимому, первое полное доказательство было опубликовано в
1821 году Понселе. К.Фейербах переоткрыл частичный результат Эйлера еще
позже и добавил новое свойство, которое является настолько замечательным,
что побуждает многих авторов называть окружность девяти точек
«окружностью Фейербаха». Имя Эйлера появляется столь часто и в столь
многих областях математики, что нельзя не сказать о нем несколько слов.
Леонард Эйлер родился в 1707 году в г. Базеле (Швейцария). В 1727
году он был приглашен в Россию в Санкт-Петербургскую академию. В 1741
году он уехал в Берлин, чтобы получить кафедру математики Прусской
академии. Он вернулся в Санкт-Петербург в 1766 году и жил там до конца
своих дней. Умер в 1783 году.
Эйлер был неутомимым работником, его деятельность обогатила
каждую область математики. Куда ни глянешь, всюду в жизни явления или
предметы – либо теорема Эйлера, либо формула Эйлера, либо метод Эйлера.
Эйлер написал 473 мемуара, которые были опубликованы после его смерти,
и еще 61 мемуар, которые были изданы позже. И все это не смотря на то, что
в 1753 году он перестал видеть одним глазом, а в 1766 году обоими. Он
обладал исключительным комбинаторным даром, и его интуитивное
понимание математики было огромным.
Продолжим. Напомним, что вневписанной окружностью треугольника
АВС, соответствующей стороне АВ (или – вершине С), называется
окружность, касающаяся стороны АВ или являющаяся продолжением сторон
АС и ВС. Легко видеть, что у любого треугольника существует ровно три
вневписанных окружности. При этом центр вневписанной окружности
треугольника АВС, соответствующей вершине С, - это точка пересечения
биссектрисы угла С и внешних углов А и В треугольника АВС. Таким
17
образом, если три прямые образуют треугольник, то существуют ровно
четыре окружности, каждая из которых касается всех трех прямых (рис. 20)
(рис.20)
18
Глава III. Построение окружности с помощью циркуля и
линейки
3.1. Основные понятия
Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой
геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и
линейка считаются идеальными инструментами, в частности:
Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины,
но только одну.

Циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно
малый раствор (то есть может чертить окружность произвольного
радиуса).

Возьмем на рассмотрение задачу на бисекцию. С помощью циркуля и
линейки разбить данный отрезок АВ на две равные части. Одно из решений
показано на рисунке 21:




Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.
(рис.21)
19
Также:
В задачах на построение рассматриваются множество всех точек
плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех
окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:
1. Выделить точку из множества всех точек:
1.
произвольную точку
2.
произвольную точку на заданной прямой
3.
произвольную точку на заданной окружности
4.
точку пересечения двух заданных прямых
5.
точки пересечения/касания заданной прямой и
заданной окружности
6.
точки пересечения/касания двух заданных
окружностей
2. «С помощью линейки» выделить прямую из множества всех прямых:
1.
произвольную прямую
2.
произвольную прямую, проходящую через заданную
точку
3.
прямую, проходящую через две заданных точки
3. «С помощью циркуля» выделить окружность из множества всех
окружностей:
произвольную окружность с центром в заданной точке
1.
произвольную окружность с радиусом, равным
расстоянию между двумя заданными точками
2.
окружность с центром в заданной точке и с радиусом,
равным расстоянию между двумя заданными точками
В условиях задачи задается некоторое множество точек. Требуется с
помощью конечного количества операций из числа перечисленных выше
допустимых операций построить другое множество точек, находящееся в
заданном соотношении с исходным множеством.
Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:
1.
Описание способа построения заданного множества.
2.
Доказательство того, что множество, построенное
описанным способом, действительно находится в заданном
соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство
построения производится как обычное доказательство теоремы,
опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
20
3.
Анализ описанного способа построения на предмет его
применимости к разным вариантам начальных условий, а также на
предмет единственности или неединственности решения, получаемого
описанным способом.
21
3.2 Деление отрезков
1)
Если вам требуется разделить отрезок на две или четыре части,
воспользуйтесь циркулем. Из концов отрезка А и В при помощи циркуля
проведите две дуги окружности радиуса R. Радиус окружности сделайте
несколько большим половины отрезка АВ. Доведите дуги до взаимного
пересечения. Таким образом вы получите точки C и D, равноудаленные от
отрезка АВ. Проведите через точки С и D прямую линию, пересекающую
отрезок АВ. Точка пересечения этой линии и отрезка будет искомой точкой
Е, в которой отрезок АВ разделяется на две равных части (рис. 22).
(рис.22)
2)
Чтобы разделить отрезок на четыре равных части, проделайте
описанную выше процедуру последовательно с каждым из двух
получившихся равных отрезков АЕ и ЕВ (рис. 23) .
22
(рис.23)
3)
Пусть потребуется отрезок АВ (рис. 24) разделить на 5 равных
частей. Проведем от одного конца этого отрезка, например, от В, под
произвольным углом прямую ВС. На этой прямой отложи от конца В пять раз
какой-нибудь отрезок; получим точки 1, 2, 3, 4, 5. Последнюю точку 5
соединим с концом А данного отрезка и через точки 1, 2, 3, 4 проведем
прямые, параллельные прямой A5. Можно указать, что эти прямые разделят
отрезок АB на 5 равных частей в точках I, II, III, IV.
23
3.3 Известные задачи
Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных
окружностей. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри
другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.
В своем сочинении «Касания» Аполлоний имел в виду три окружности
контактной геометрии, то есть окружности с радиусом от 0 (точка) до
бесконечности (прямая). Таким образом, для задачи Аполлония существует
10 глобальных случаев (рис.25):

(рис.25)
4) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех
точек.
Решение: Соединим эти точки. Проведем к получившимся
отрезкам серединные перпендикуляры. Они пересекутся в одной
точке. Эта точка — центр искомой окружности.
5) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух
точек (далее Α и Β) и прямой (далее а). Сначала проведем прямую ΑΒ.
Решение:
1.
Если АВ не параллельна а, то найдем их пересечение С.
Построим среднее геометрическое отрезков ΑС и ΒС. Отложим
24
равный ему отрезок СΚ на прямой а. Окружность, описанная
около ΔΑΒΚ — искомая.
2.
Если ΑΒ||а, то проведем серединный перпендикуляр к
отрезку ΑΒ и отметим точку Κ его пересечения с прямой a.
Окружность, описанная около ΔΑΒΚ — искомая.
6) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся
точки и двух прямых.
Решение:
1.
Если прямые не параллельны, то возьмем точку их
пересечения. Назовем угол между этими прямыми α. Соединим
точку пересечения прямых с заданой точкой Μ. Назовем
получившийся отрезок а. Впишем в угол α произвольную
окружность, которая пересечет а, и отметим её центр Ο и точку
пересечения с а (каждая даст свое решение) Α. Проведем прямую
ΑΟ. Проведем параллельную ей прямую через Μ и биссектрису
угла α. Их пересечение будет центром искомой окружности.
2.
Если прямые параллельны, построим прямую ΑΒ (Α и Β —
точки пересечения с задаными прямыми), перпендикулярную им.
Проведем к отрезку ΑΒ серединный перпендикуляр b. Проведем
окружность с центром в заданой точке и радиусом, равным
половине ΑΒ. Её пересечение с b будет центром искомой
окружности.
7) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех
прямых.
Решение:
1.
Если среди них нет параллельных, то отметим точки их
пересечения Α, Β и С. Окружность, вписанная в ΔΑΒС —
искомая.
2.
Если все три прямые параллельны друг другу, то
окружности не существует.
8) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух
точек (далее Α и Β) и окружности (далее ω).
Решение:
1.
Если А и В не лежат на ω, то проведем окружность Ω,
содержащую точки А и В и имеющую с ω общие точки.
Проведем радикальную ось Ω и ω и пересечем её с АВ. Проведем
из точки их пересечения касательную к ω и отметим точку
касания Κ. Опишем окружность около ΔΑΒΚ. Она — искомая.
Каждая касательная даст свое решение.
25
2.
Если А и В лежат на ω, ω — искомая.
9) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся
точки и двух окружностей.
10) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся
двух прямых и окружности.
11) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся
прямой и двух окружностей.
12)
построить с помощью циркуля и линейки окружность,
касающуюся точки, прямой и окружности.
13) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся
трех окружностей.
Задача Брахмагупты о построении вписанного четырехугольника по
четырем его сторонам.
Построить с помощью циркуля и линейки вписанный четырехугольник
по четырем его сторонам.

Одно из решений использует окружность Аполлония (рис.26).
(рис.26)
26
3.4 Неразрешимые задачи
Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в
античности:

Трисекция угла (рис. 27) — задача о делении заданного угла на три
равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря,
необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три
равные части.
(рис.27)

Удвоение куба (рис.28) — классическая античная задача на построение
циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма
заданного куба.
(рис.28)

Квадратура круга (рис.29) — построить квадрат, равный по площади
данному кругу.
(рис.29)
Только в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при
использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения
полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.
27
3.5 Интересные факты
Узор на флаге Ирана (рис.30) описывается как построение с помощью
циркуля и линейки.
(рис.30)
28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Окружность еще древние греки считали самой совершенной и
гармоничной из всех геометрических фигур. В их ряду окружность является
простейшей кривой, а ее совершенство заключается в том, что все
составляющие ее точки располагаются на одинаковом расстоянии от ее
центра, вокруг которого она "скользит сама по себе". Неудивительно, что
способы построения окружности начали интересовать математиков еще в
древности.
В школьной программе изучается раздел, такой как окружность. Но к
сожалению, здесь не рассматривается более подробно некоторые темы, такие
прямая Эйлера и окружность девяти точек. Ведь это очень интересные и
познавательные темы.
Мы вспомнили основные понятия, которые используются при
рассмотрении тем окружностей.
Познакомились с теорией девяти точек окружности.
Также мы рассмотрели построение окружности с помощью циркуля и
линейки. Узнали и рассмотрели всевозможные способы построения
окружностей. Рассмотрели примеры самых известных и неразрешимых задач
на построение окружности.
Все это мы узнали из данного нами материала. Теперь мы можем
ответить на ряд следующих вопросов: «Теорема девяти точек окружностей»,
«Способы построения окружности с помощью циркуля и линейки».
Теперь мы можем поделиться своими знаниями на уроках математики на
тему: «Окружность и касательные»
29
Список литературы
1 Геометрия 7 - 9класс
2 Математика. 10-11
классы.
3 Новая геометрия
треугольника
4 О прямых Эйлера и
окружности девяти
точек. Математика
5 Шедевры школьной
математики
6 Геометрия
Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для
общеобразоват. учреждений / [ Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. ]. – 19-е изд.
– М. : Просвещение, 2009. – 384с. : ил. – ISBN
978-5-09-021136-9
Математика. 10-11 классы / сост. Т.Н. Видеман
и др. – Волгоград: Учитель, 2009. – 287с.: ил.
ISBN 978-5-7057-1758-3
Зитель, С.И. Новая геометрия треугольника
[Текст] / С.И. Зитель – М.: Учпедгиз, 1962
Куланин, Е.О прямых Эйлера и окружности
девти точек. Математика [Текст] / Е. Куланин.
– 2000. - №43
Кушнир, И. Шедевры школьной математики
[Текст] Кн.2 / И. Кушнир. – Киев: Астарта,
1995
Шарыгин, И.Ф. Геометрия [Текст]: задачник /
И.Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 1996
30
Приложение 1.
Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла.
Построить биссектрису угла А.
Построение. (рис.31) Проведем окружность произвольного радиуса с
центром в вершине данного угла А. Пусть В и С – точки пересечения этой
окружности со сторонами угла (1). Из точек В и С тем же радиусом проведем
окружность. Точку пересечения этих окружностей обозначим D (2).
Проведем луч AD: это луч является биссектрисой угла А, что следует из
равенства треугольника CADи BAD (3).
(рис.31)
31
Приложение 2.
Построение с помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой.
Дано:
.
Построить прямую, перпендикулярную прямой п и проходящую через
данную точку С.
Построение (рис. 32).
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке С. Пусть В и
A — точки пересечения этой окружности с прямой (2). Из точек В и А
радиусом АВ проведем окружность, точку пересечения этих двух
окружностей обозначим через О (3), проведем прямую СО (4).
Перпендикулярность прямых СО и п следует из равенства треугольников
АОС и ВОС.
(рис.32)
32
Приложение 3.
Дано:
.
Построить прямую, перпендикулярную прямой п и проходящую через
данную точку С.
Построение (рис. 33).
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке С. Пусть В .
A — точки пересечения этой окружности с прямой п (2). Из точек Б и А тем
же радиусом проведем окружности и точки пересечения этих двух
окружностей обозначим через С1 и С (3). Проведем прямую C1C (4).
Докажем перпендикулярность прямых СгС и п. Точку пересечения прямых
CjC и п обозначим через О. Треугольники АСЕ иАСВ равны по третьему
признаку равенства треугольников. Поэтому СОВ = CAO. Тогда
треугольники САО и С1АО равны по первому признаку равенства
треугольников. Отсюда следует, что углы СОА и СОА равны. А так как они
смежные, то они прямые. Следовательно, СО — перпендикуляр, опущенный
из точки С на прямую п.
(рис.33)
33
Приложение 4.
Число π.
Любой школьник вычисляет теперь длину окружности по диаметру
гораздо точнее, чем мудрейший жрец древней Страны пирамид или самый
искусный архитектор великого Рима. Древние египтяне считали, что
окружность длиннее диаметра в 3,16 раза, а римляне в 3,12, между тем как
правильное отношение 3,14159… Египетские и римские математики
определили отношение окружности к диаметру не строгим геометрическим
расчетом, как позднейшие математики, а нашли его просто из опыта. Но
почему получились у них такие ошибки? Разве не могли они обтянуть какуюнибудь круглую вещь ниткой и затем, выпрямив нитку, просто измерить ее?
Без сомнения, они так и поступали, но не следует думать, что
подобный способ должен непременно дать хороший результат. Вообразите,
например, вазу с круглым дном диаметром в 100 мм. Его окружность должна
равняться 314 мм. Однако на практике, измеряя ниткой, вы едва ли получите
эту длину: легко ошибиться на один миллиметр, и тогда ваше π окажется
равным 3,13 или 3,15. А если примете во внимание, что диаметр и диаметр
вазы нельзя измерить вполне точно, что и здесь ошибка в 1 мм весьма
вероятна, то убедитесь, что для π получаются довольно широкие пределы
между
313
100
и
315
99
,
то есть в десятичных дробях, между
3,09 и 3,18.
Вы видите, что определяя π указанным способом, мы можем получить
результат, не совпадающий с 3,14: один раз 3,1, в другой 3,12, в третий 3,17 и
т.п. Случайно окажется среди них и 3,14, но в глазах вычислителя это число
не будет иметь больше веса, чем другие.
Взяв круглый предмет большого размера – например, колесо, - мы
вправе ожидать, что для π получится более точный результат. На практике
ожидание это не оправдывается: обтянуть аккуратно колесо ниткой, чтобы
она притом лежала на одной плоскости, не легко. Ошибка в измерении длины
окружности может достигать здесь целого сантиметра (вспомним, что обод
колеса редко бывает строго геометрическим кругом). Еще менее точные
34
результаты получились бы на практике, если бы, начертив на земле большой
круг, измерить его длину и диаметр.
Теперь становится более понятным, почему Древний мир не знал
правильного отношения длины окружности к диаметру и понадобится гений
Архимеда, чтобы найти для π значение 3 1⁄7 - найти без всяких измерений, а
одним лишь геометрическим рассуждением.
Архимедово число, 3 1⁄7, не есть, как известно, вполне точное
выражение отношения окружности к диаметру.
Теоретически доказано, что отношение это вообще не может быть
выражено числом совершенно точно. Мы можем написать его лишь с тем
или иным приближением, - впрочем, далеко превосходящая точность,
необходимую для самых строгих требований практической жизни.
Математик XVI века Лудольф, в Лейдене, имел терпение вычислить его с 25
десятичными знаками и завещал вырезать это для π на его могильном
памятнике.
Вот оно: 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88.
Для обычных вычислений с π вполне достаточно запомнить два знака после
запятой 3,14, а для более точного – четыре знака 3,1416
35