Задачи 1. Потенциальная энергия системы есть ... ция от всех координат с показателем степени

Задачи
1. Потенциальная энергия системы есть степенная функция от всех координат с показателем степени n . Найдите соотношение между средними значениями кинетической и потенциальной энергии.
Пусть состояние системы описывается функцией x, y, z  .
Средние
значения
кинетической
и
потенциальной
энергии
2
T   *
dV , U    *UˆdV .
2m
Пусть масштаб длины изменился в a раз, r  ar . Так как
функция x, y, z  нормирована, то произведение *dV не изменится с изменением масштаба. Оператор Лапласа в интеграле
кинетической энергии получит дополнительный множитель
T

  2 , то есть T  2 , а оператор потенциальной энергии
a
a
U

a n U , тогда среднее значение функции
по условию задачи
Гамильтона H  T  U преобразуется следующим образом:
Ha 
T
 an U .
a2
Поскольку среднее значение оператора Гамильтона в стационарном состоянии постоянно, то производная ее равна нулю
 Ha
T
 2 3  nan 1 U  0 ,
a
a
откуда
2
U  n2 T .
na
Возвращаясь к пространству исходного масштаба a  1 , получим соотношение
2
U  T .
n
Так, для электрического взаимодействия n  1
U
U
 U 
U  2 T , H  
.
2
2
1
Ответ: U  2 T .
2. Оператор кинетической энергии в декартовых координатах имеет вид:
2  2
2
2 
 2  2  2  .
Tˆ  
2m  x
y
z 
Запишите этот оператор в сферических координатах. Выразите оператор кинетической энергии через оператор момента
импульса.
Выражение, заключенное в скобки, есть оператор Лапласа,
который в сферических координатах
x  r sin  cos ,
y  r sin  sin ,
z  r cos 
имеет вид:
 2
2
2 
 2  2  2
 x
y
z 

1   2  
1
 
 
1
2
 2
.
r
 2
 sin    2 2
  r sin   2 
r r  r  r sin   
Оператор кинетической энергии в сферических координатах
имеет вид:
2    2  
1  
 
1 2 

.
Tˆ  
r

sin






  sin 2   2  
2mr 2  r  r  sin   
Поскольку оператор квадрата момента импульса в сферических координатах имеет вид:
   
1  
 
1 2
Lˆ2   2  r 2  
,
 sin   
r  r  sin   
  sin 2   2 
то оператор кинетической энергии связан с оператором квадрата
момента импульса:
Lˆ2
2   2  
Tˆ 

r
,
2mr 2 2mr 2 r  r 
где в знаменателе mr 2  I – момент инерции частицы относительно оси Oz .
2
Ответ:
2    2  
1  
 
1 2 

,
Tˆ  
r

sin






  sin 2   2  
2mr 2  r  r  sin   
Lˆ2
2   2  
Tˆ 

r
.
2mr 2 2mr 2 r  r 
Найдите
3.
коммутатор
операторов
кинетической
2

Tˆ  

2m
Uˆ x, y, z  .
и потенциальной энергии частицы в поле
Найдем действие коммутатора TˆUˆ  UˆTˆ на произвольную
функцию x, y, z  .
TˆUˆ  UˆTˆ    2m U   U 2m  
2
 
тогда
2
 2

2
2
2
2
U  U
  U
  
U   
U  ,
2m
2m
2m
2m
 2m

2
TˆUˆ  UˆTˆ  
U .
2m
2
U .
Ответ: TˆUˆ  UˆTˆ  
2m
4. Найдите общее решение одномерного временного уравнения Шредингера.
Будем
искать
решение
одномерного
уравнения
Шредингера

 2  2
i

t
2m x 2
в виде x, t   T t X x  (уравнение допускает разделение переменных). Тогда
i T
2 2 X

a.
T t
2mX x 2
3
Чтобы X было конечным на бесконечности, необходимо, чтобы
2ma
a было положительным. Обозначим
 k 2 , получим два
2
уравнения
T k 2  2
2 X
2
i


T 0,
и

k
X

0
t
2m
x 2
решения которых
X x   e
Общее решение имеет вид
ikx
и T t   e

x, t    C k e
ikx  i
i
k 2
t
2m
k 2
t
2 m dk
.
.


Ответ: x, t    C k e
ikx  i
k 2
t
2 m dk
.

5. Частица с импульсом p x движется вдоль оси Ox в свободном пространстве. Найдите волновую функцию частицы.
Уравнение на собственные функции оператора импульса
̂

p  p
спроецируем на ось Ox :
p̂ x   p x 
и учтем явный вид оператора импульса:

pˆ x  i x  i ,
x
тогда уравнение

 i
 px 
x
дает решение
p
ln   i x x  ln C

после потенцирования
i
px
x
 .
  Ce
Волновая функция является периодической, ее период по оси
Ox равен  , можем найти его из соотношения
4
px
2
,
  2 ,  

px
этот период имеет смысл длины волны де Бройля, а волновая
функция – волна де Бройля без учета времени, где C – амплитуда
этой волны. Тогда волновое число
2 p x
.
k



Ответ:   Ceikx .
6. Запишите временное уравнение Шредингера для заряженной частицы в электромагнитном поле.
Временное уравнение Шредингера

r , t  ˆ 
i
 Hr , t  ,
t
где Ĥ – оператор Гамильтона. В классической механике функция Гамильтона


p2
H
 U r 
2m
для заряженной частицы в электромагнитном поле импульс пере

 e 
ходит в сумму p  p  A , где A – векторный потенциал элекc
тромагнитного поля. К потенциальной энергии следует добавить
потенциальную
энергию взаимодействия заряда с полем


U r   U r   e , тогда функция Гамильтона имеет вид:
2
 ˆ e 
 p  A

c 
Hˆ  
 Uˆ r   e .
2m
Тогда уравнение Шредингера имеет вид
2



r , t  
  i  e c A
 
i

 Uˆ r   er , t  .
t
2m





2




r , t    i  e c A
 

 Uˆ r   er , t  .
Ответ: i
t
2m








5