Выполнение работы и обработка результатов измерений

Введение
Лабораторный практикум является обязательной составляющей изучения курса
физики на естественных факультетах. В течение каждого семестра изучения
физики студенты должны выполнить лабораторные работы, тематика и
количество которых определены учебной программой курса для данного
направления.
Цели лабораторного физического практикума:
1. Изучение основ физики с использованием экспериментальных методов.
2. Знакомство с методикой проведения физического эксперимента.
3. Приобретение опыта проведения измерений физических величин и оценки их
погрешностей.
Для успешного выполнения лабораторной работы и получения зачета за
отведенное время студент обязан заранее подготовится к занятию и составить
конспект лабораторной работы в соответствии с требованиями методических
указаний. Если в течение аудиторного занятия студент не успел получить зачет по
лабораторной работе, он должен провести необходимую обработку результатов
измерений во внеучебное время, правильно оформить работу и представить ее для
получения зачета на следующем по расписанию лабораторном занятии.
Организация учебного процесса в лабораториях осуществляется в соответствии с
утвержденными на кафедре общей физики нормами и правилами проведения
лабораторных работ, с которыми студенты знакомятся на первом занятии.
Этапы выполнения лабораторной работы:
1. получение допуска к лабораторной работе;
2. правильное и самостоятельное проведение измерений;
3. обработка результатов измерений;
4. получение зачета по лабораторной работе.
3
Подготовка к допуску осуществляется с использованием методических указаний к
лабораторной работе и рекомендованной литературы. Проводится оформление
раздела «Краткая теория» в конспекте лабораторной работы.
Допуск студентов к лабораторной работе преподаватель проводит в виде
собеседования со студентом. Подготовка к получению допуска к лабораторной
работе является основой для ее правильного, грамотного и наиболее быстрого
выполнения. В течение подготовки к допуску, которую необходимо проводить
заранее во внеучебное время, студент должен выполнить следующее:
1. Подготовить конспект лабораторной работы по установленной форме.
2. Изучить основы теории физического явления, исследуемого в лабораторной
работе, и запомнить формулировки понятий, используемых в теории.
3. Разобраться с выводом основных формул, которые используются в
лабораторной работе. Понять вид функций и графиков, которые должны быть
получены в работе, а также значения или оценки рассчитываемых величин.
4. Понять процедуру проведения измерений и последовательность обработки
результатов измерения.
После получения допуска каждый студент самостоятельно проводит обработку
результатов измерения и их представление в соответствии с методическими
рекомендациями к лабораторной работе.
Итогом работы служит предоставление оформленного отчета по лабораторной
работе и получение зачета у преподавателя.
4
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 305
Эффект Керра
Оборудование: ячейка Керра, источник высокого напряжения, He-Ne лазер,
поляризатор, оптическая скамья, фотоэлемент, цифровой мультиметр.
Цель работы: определение постоянной Керра.
Краткая теория
⃗ и
Cветовые волны поперечны: векторы напряженностей электрического Е
магнитного
⃗Н
⃗
полей
волны
взаимно
перпендикулярны
и
колеблются
перпендикулярно вектору скорости 𝑣 распространения волны (перпендикулярно
лучу).
Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множества
атомов. Атомы же излучают световые волны независимо друг от друга, поэтому
световая волна, излучаемая телом в целом, характеризуется всевозможными
равновероятными колебаниями светового вектора (рис. 1, а; луч перпендикулярен
плоскости рисунка). Свет со всевозможными равновероятными ориентациями
⃗ (и, следовательно, Н
⃗⃗ ) называется естественным.
вектора Е
Рисунок 1- а - естественный свет, б – частично поляризованный свет, в –
плоскополяризованный свет
Свет, в котором направления колебаний светового вектора каким-то образом
упорядочены, называется поляризованным. Так, если в результате каких-либо
5
внешних воздействий появляется преимущественное (но не исключительное!)
направление колебаний вектора ⃗Е (рис. 1, б), то имеем дело с частично
⃗)
поляризованным светом. Свет, в котором вектор ⃗Е (и, следовательно, ⃗Н
колеблется только в одном направлении, перпендикулярном лучу (рис. 1, в),
называется плоскополяризованным (линейно поляризованным).
Плоскость, проходящая через направление колебаний светового вектора
плоскополяризованной волны и направление распространения этой волны,
называется плоскостью поляризации.
Естественный свет можно преобразовать в плоскополяризованный, используя так
называемые поляризаторы, пропускающие колебания только определенного
направления (например, пропускающие колебания, параллельные главной
плоскости
поляризатора,
и
полностью
задерживающие
колебания,
перпендикулярные этой плоскости). В качестве поляризаторов могут быть
использованы среды, анизотропные в отношении колебаний вектора ⃗Е, например
кристаллы.
Все прозрачные кристаллы (кроме кристаллов кубической системы, которые
оптически изотропны) обладают способностью двойного лучепреломления, т. е.
раздваивания каждого падающего на них светового пучка.
Если на толстый кристалл исландского шпата направить узкий пучок света, то из
кристалла выйдут два пространственно разделенных луча, параллельных друг
другу и падающему лучу (рис. 2).
Даже в том случае, когда первичный пучок падает на кристалл нормально,
преломленный пучок разделяется на два, причем один из них является
продолжением первичного, а второй отклоняется (рис. 3). Второй из этих лучей
получил название необыкновенного (е), а первый - обыкновенного (о).
6
Рисунок 2 – Двойное лучепреломление
Рисунок 3 – Обыкновенный и необыкновенный лучи
В кристалле исландского шпата имеется единственное направление, вдоль
которого двойное лучепреломление не наблюдается. Направление в оптически
анизотропном кристалле, по которому луч света распространяется, не испытывая
двойного луче преломления, называется оптической осью кристалла. В данном
случае речь идет именно о направлении, а не о прямой линии, проходящей через
какую-то точку кристалла. Любая прямая, проходящая параллельно данному
направлению, является оптической осью кристалла.
Вышедшие
из
кристалла
лучи
плоскополяризованы
во
взаимно
перпендикулярных плоскостях. Плоскость, проходящая через направление луча
света и оптическую вектора перпендикулярны оптической оси кристалла, поэтому
обыкновенный луч распространяется по всем направлениям с одинаковой
скоростью и, следовательно, показатель преломления n0 для него есть величина
7
постоянная. Для необыкновенного же луча угол между направлением колебаний
светового вектора и оптической осью отличен от прямого и зависит от
направления
луча,
поэтому
необыкновенные
лучи
распространяются
по
различным направлениям с разными скоростями. Следовательно, показатель
преломления пе необыкновенного луча является переменной величиной,
зависящей от направления луча. Таким образом, обыкновенный луч подчиняется
закону
преломления
(отсюда
и
название
«обыкновенный»),
а
для
необыкновенного луча этот закон не выполняется. После выхода из кристалла,
если не принимать во внимание поляризацию во взаимно перпендикулярных
плоскостях, эти два луча ничем друг от друга не отличаются.
Т.к. естественный свет – результат излучения независимых атомов источника
света, испускающих отдельные некоррелированные друг с другом цуги волн. Эти
цуги участвуют в образовании обыкновенной и необыкновенной волн в
кристалле. Однако вклад каждого отдельного цуга в эти две волны не одинаков.
Этот вклад больше в ту волну, плоскость поляризации которой составляет
меньший угол с плоскостью поляризации данного цуга.
Т.е. обыкновенная и необыкновенная волны в основном порождаются разными
цугами, входящими в состав естественного света. Поэтому обыкновенная и
необыкновенная
волны,
распространяющиеся
в
одноосном
кристалле
и
выходящие из него (при падении естественного света), некогерентны.
Эти волны можно сделать когерентными, если на пути естественного света
установить поляризатор P перед кристаллической пластинкой, причем так, чтобы
плоскость его пропускания составляла некоторый угол 𝜑 ≠ 0 с оптической осью
кристалла (обычно угол φ делают равным 45̊). В этом случае колебания каждого
цуга разделяются между обыкновенной о и необыкновенной е волнами. Именно
поэтому волны о и е оказываются когерентными.
8
Интерференция волн невозможна, если складываемые волны поляризованы во
взаимно перпендикулярных плоскостях. Эта проблема решается, если на пути
вышедшего из пластинки света поставить еще один поляризатор. Он сводит два
взаимно ортогональных когерентных колебания к одной плоскости.
Схема наблюдения интерференции поляризованных волн представлена на рис.4.
Картина
интерференции
бывает
наиболее
отчетливой,
когда
амплитуды
складываемых волн одинаковы. Это означает, что угол φ между плоскостью
пропускания поляризатора Р и оптической осью ОО` должен быть равным 45̊.
Рисунок 4 – Схема наблюдения интерференции поляризованных волн
Рассмотрим частные случаи расположения поляризаторов.
1.
Плоскости пропускания поляризаторов параллельны друг другу Ṕ ∥ P
(рис.5, а).
Свет распространяется перпендикулярно плоскости рисунка.
а)
б)
Рисунок 5 – Интерференция поляризованных волн
а) Ṕ ∥ P; б) Ṕ ⊥ P.
9
Плоскополяризованная волна с амплитудой Е (после поляризатора Р) разделяется
пластинкой на обыкновенную и необыкновенную взаимно ортогональные волны с
одинаковыми амплитудами Е0 и Ее. затем колебания этих волн приводятся
поляризатором Р́ к одной плоскости с одинаковыми амплитудами 𝐸0` и 𝐸е` :
𝐸
𝐸0` = 𝐸е` = .
(1)
2
Результат интерференции этих волн будет зависеть от разности фаз δ, которую
они приобретут в пластинке.
Предположим, что в кристаллической пластине отстает по фазе на δ
обыкновенная волна. Этот случай представлен на фазовой (векторной) диаграмме
(рис. 6). Согласно теореме косинусов и, учитывая (1), получим:
𝐸 2
𝐸 2
𝐸`2 = 2 ( ) + 2 ( ) 𝑐𝑜𝑠𝛿 = 𝐸 2
2
2
1+𝑐𝑜𝑠𝛿
2
𝛿
= 𝐸 2 𝑐𝑜𝑠 2 .
2
(2)
Таким образом, при Ṕ ∥ P интенсивность прошедшего света
𝛿
𝐼`∥ = 𝐼𝑐𝑜𝑠 2 .
2
Рисунок 6 – Фазовая диаграмма
2.
Плоскости пропускания поляризаторов перпендикулярны друг другу Ṕ ⊥
P (поляризаторы скрещены) (рис.5, б).
Векторы Е`o и Е`е направлены взаимно противоположно (даже при δ→0). Значит
кроме разности фаз δ, вносимой пластинкой, надо добавить еще π, которая
обусловлена скрещенным расположением поляризаторов. Тогда в формуле (2)
надо вместо δ написать δ+π, и получим вместо косинуса синус. Формула (2) для
этого случая примет вид:
10
𝛿
𝐼`⊥ = 𝐼𝑠𝑖𝑛2 .
(3)
2
Интенсивности 𝐼`∥ и 𝐼`⊥ в сумме дают интенсивность I света, прошедшего через
поляризатор Р.
Интенсивность выходящего из поляризатора Р` света можно изменять, изменяя
разность фаз δ. Поскольку δ определяется как
𝛿 = 2𝜋
ℎ|𝑛𝑜 −𝑛𝑒 |
𝜆
,
(4)
то изменения δ можно достигнуть либо меняя λ – это приводит к изменению
окраски (т.е. максимумы пропускания будут соответствовать различным длинам
волн), либо меняя толщину h пластинки.
Обычные прозрачные тела, не обладающие двойным лучепреломлением, при
определенном воздействии на них становятся двупреломляющими. Одним из
способов
получения
искусственного
двойного
лучепреломления
является
воздействие на аморфные тела электрического поля – эффект Керра.
Описание установки и теория метода
Рисунок 7 - Экспериментальная установка для изучения эффекта Керра
Между скрещенными поляризатором и анализатором располагают ячейку Керра –
конденсатор, заполненный прозрачным изотропным веществом. Плоскость
11
поляризации падающего на ячейку излучения составляет угол 450 с направлением
электрического поля. В отсутствие поля свет не проходит через анализатор. При
включении электрического поля среда приобретает анизотропные свойства,
соответственно,
фазовые
скорости
волн,
поляризованных
вдоль
поля
(необыкновенный луч) и перпендикулярно полю (обыкновенный луч) станут
различными. Эти две компоненты исходной волны, проходя через вещество,
приобретают разность фаз и, складываясь на выходе, дают эллиптически
поляризованный свет, частично проходящий через анализатор.
Величина фазового сдвига определяется выражением:

2  h
 (ne  no ) ,

(5)
где h - длина пути луча в веществе,
 - длина волны света в вакууме (в данной работе она равна 633 нм),
n e - показатель преломления необыкновенного луча,
n o - показатель преломления обыкновенного луча.
При разности хода обыкновенного и необыкновенного лучей в

на выходе будет
2
линейно поляризованная волна, плоскость поляризации которой повернута на 900
относительно падающей волны.
В небольших по величине электрических полях величина фазового сдвига
пропорциональна квадрату напряженности поля:
  2  K  h  E 2 ,
(6)
где K - постоянная Керра, которая зависит от длины волны, температуры,
агрегатного состояния вещества, структуры молекул вещества.
Напряженность
внешнего
электрического
поля
можно
определить,
зная
прикладываемое напряжение U и расстояние между пластинами конденсатора 𝑑:
E
U
d
12
(7)
Если I 0 - интенсивность света, падающего на анализатор, а I - интенсивность
света на выходе из анализатора при ненулевом электрическом поле, приложенном
к ячейке Керра и направленном под углом 450 к скрещенным анализатору и
поляризатору, то можно записать следующее выражение:
I  I 0  sin 2

(8)
2
Подставляя (6) и (7) в (8), получим:
I  I 0  sin
2
  K  h U 2
d2
(9)
Эффект Керра исследуется на образце состава Pb0,9125La0,0875Zr0,65Ti0,3503 (PLZT).
Ячейка Керра с образцом PLZТ внутри (рисунок 5) соединяется с источником
высокого напряжения (0 – 1000 В), параллельно присоединяется цифровой
вольтметр.
Внимание! Нельзя во время эксперимента превышать напряжение 1000 В, иначе
произойдет разрушение PLZТ! Также, после каждого изменения величины
подаваемого напряжения на ячейку Керра необходимо выдерживать 5 минут и
затем проводить измерения! Длина образца 1,5 мм – это также длина пути h луча
света в веществе. Ширина образца – 1,4 мм – это также расстояние d между
пластинами конденсатора.
Рисунок 8 - Ячейка Керра
13
На рисунке 8: 1 – образец PLZT; 2 – силиконовая прокладка; 3 – изолятор; 4 –
стеклянная пластина; 5 – Канадский бальзам; 6 – провод; 7 – оправа.
В качестве источника излучения используется гелий-неоновый лазер мощностью
1 мВт. Лазер необходимо включать за 1 час до начала эксперимента, чтобы
стабилизировать его излучение! Свет лазера проходит через поляризатор
(плоскость поляризации вертикальна), далее через PLZТ-элемент, установленном
под углом 450 к вертикали. Плоскость анализатора устанавливается под углом 900
к плоскости поляризатора. За анализатором помещается фотодиод с усилителем.
Необходимо помнить, что предыстория поляризации образца и небольшое
количество неполяризованного света (фон) могут искажать результаты.
Положения техники безопасности
1. Во время проведения эксперимента нельзя превышать напряжение 1000 В,
иначе произойдет разрушение элемента!
2. После каждого изменения величины подаваемого напряжения на ячейку Керра
необходимо выдерживать около 5 минут и затем проводить измерения!
3. Все измерения следует проводить в темной комнате!
Выполнение работы и обработка результатов измерений
1. Соберите установку, как показано на рисунке 7. Ячейку Керра установите под
углом 450 к плоскости поляризатора. Плоскость анализатора установите
параллельно плоскости поляризатора.
2. Установите плоскость анализатора под углом 900 к плоскости поляризатора.
Изменяя напряжение на ячейке Керра от 300 В до 1000 В (не превышайте это
значение!) с шагом 50 В, проведите измерения интенсивности света,
падающего на анализатор.
3. В качестве I0 необходимо взять максимальную интенсивность, полученную в
ходе проведения опыта.
14
4. Сделайте расчет величин:

I
I
и  arcsin
, где I 0 - максимальное значение
2
I0
I0
интенсивности света, падающего на анализатор.
5. Занесите полученные данные в таблицу.
I
d=1,5∙10-3 м
h=1,5∙10-3 м
U,В
6. Постройте зависимость
«напряжение для
U2,
I
I0
В2
  arcsin
I
,
I0
град
I
( U ). Определите по графику так называемое
I0

»: при этом напряжении внешнего электрического поля
2
разность фаз обыкновенного и необыкновенного лучей, прошедших данный
образец,
становится
равной
900.
Следовательно,
этому
напряжению
соответствует максимум на графике.
7. Используя метод наименьших квадратов, найдите постоянную Керра по
формуле:
𝐾=
𝑑2
𝐼
∑𝑖 𝑈𝑖2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√ 𝑖
𝜋ℎ
∑𝑖 𝑈𝑖4
𝐼0
.
Контрольные вопросы
1. Что называется поляризацией света?
2. Что такое линейно поляризованная волна? Что такое циркулярно право- и
левополяризованные волны?
15
3. В чем состоит электрооптический эффект Керра?
4. Что такое двойное лучепреломление?
5. Что называют обыкновенным и необыкновенным лучами?
6. От чего зависит постоянная Керра?
7. Какие вещества называют сегнетоэлектриками?
8. Получите формулу (9).
16
Заключение
План оформления лабораторной работы:
1. Номер лабораторной работы.
2. Название лабораторной работы.
3. Цель работы.
4. Оборудование.
5. Краткая теория.
6. Описание установки.
7. Ход работы и обработка результатов измерений.
Все
расчеты,
необходимые
для
получения
окончательных
результатов
лабораторной работы, должны быть представлены в конспекте в форме,
доступной для проверки преподавателем. Все расчеты должны проводиться в
международной системе единиц измерения СИ.
На основе проведенных расчетов в конспекте лабораторной работы (если это
требуется) должны быть построены экспериментальные графики зависимостей
физических величин, предусмотренные методическими указаниями.
Требования по оформлению графиков:
1. Графики строятся на миллиметровой бумаге;
2. на графике: оси декартовой системы, на концах осей — стрелки, индексы
величин, единицы измерения, множители;
3. на каждой оси указывается масштаб;
4. под графиком указывается его полное название;
5. на графике должны быть отмечены экспериментальные точки
Результаты расчета физических величин, которые должны быть получены как
итог выполнения лабораторной работы. Окончательный результат должен быть
представлен в виде среднего значения измеренной физической величины с
указанием ее доверительного интервала.
17
Вывод по лабораторной работе должен включать в себя сравнение полученных
результатов с теоретическими положениями.
18
Приложение А
Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для
оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные
ошибки.
Метод
наименьших
квадратов
применяется
также
для
приближённого
представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто
оказывается полезным при обработке измерений.
Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например,
длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится
много раз, и за окончательный результат берут среднее арифметическое из всех
отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на
соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов
отклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше,
чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было
другой величины. Само правило арифметической середины представляет,
следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.
Пример 1
Рисунок 1 - Кривая, проведённая через точки, имеющие нормально
распределённое отклонение от истинного значения
19
Пример 2
Пусть надо решить систему уравнений
(1)
число которых более числа неизвестных x, y,
Чтобы решить их по способу наименьших квадратов, составляют новую систему
уравнений, число которых равно числу неизвестных и которые затем решаются по
обыкновенным правилам алгебры. Эти новые, или так называемые нормальные
уравнения составляются по следующему правилу: умножают сперва все данные
уравнения на коэффициенты у первой неизвестной x и, сложив почленно,
получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на
коэффициенты у второй неизвестной y и, сложив почленно, получают второе
нормальное уравнение и т. д. Если обозначить для краткости:
то нормальные уравнения представятся в следующем простом виде:
(2)
20
Легко заметить, что коэффициенты нормальных уравнений весьма легко
составляются из коэффициентов данных, и притом коэффициент у первой
неизвестной во втором уравнении равен коэффициенту у второй неизвестной в
первом, коэффициент у первой неизвестной в третьем уравнении равен
коэффициенту у третьей неизвестной в первом и т. д. Для пояснения сказанного
ниже приведено решение пяти уравнений с двумя неизвестными:
Составив значения [aa], [ab], получаем следующие нормальные уравнения:
,
откуда
x = 3,55;
y = − 0,109
При составлении обычной регрессионной модели используется та же методика, и
данные коэффициенты представляют собой коэффициенты уравнения регрессии.
Уравнения (1) представляют систему линейных уравнений, то есть уравнений, в
которых все неизвестные входят в первой степени. В большинстве случаев
уравнения, связывающие наблюдаемые и искомые величины, бывают высших
степеней и даже трансцендентные, но это не изменяет сущности дела:
предварительными изысканиями всегда можно найти величины искомых с таким
приближением, что затем, разложив соответствующие функции в ряды и
пренебрегая высшими степенями искомых поправок, можно привести любое
уравнение к линейному.
21
Рекомендуемая литература
1. И.В. Савельев. Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм. C-Пб.М.-Краснодар: ЛАНЬ, 2008.
2. Т.И. Трофимова. Курс физики: учебное пособие для вузов. М.: Издательский
центр «Академия», 2008.
3. И.Е.Иродов. Волновые процессы. Основные законы. Учебное пособие для
вузов. 4-е издание. Издательство: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2010.
22