В1 Скорость, ее компоненты по декартовым координатным осям
advertisement
В1 Скорость, ее компоненты по декартовым координатным осям. Скорость – производная
радиус-вектора частицы по времени. V=dr/dt; Координатный способ: r=x(t)ex+y(t)ey+z(t)ez; Vx=dx/dt;
Vy=dy/dt; Vz=dz/dt; V=Vxex+Vyey+Vzez; |V|=(x|2+y|2+z|2)1/2
Вычисление пройденного пути и перемещения. Перемещение – вектор, соединяющий начальное и
конечное положения частицы. Путь – длина траектории, вдоль которой двигалась частица.
limt0(s/r)=1; |V|=V=|lim(r/t)|=lim(|r|/t)=lim(s/t)=ds/dt (все при t0); Следовательно: s=|V|dt;
r=Vdt (от t1 до t2);
В2 Ускорение, его компоненты о декартовым координатным осям.
Ускорение: W=dV/dt=V|; W x=dVx/dt=Vx|=x||;
В3 Нормальное и тангенциальное ускорение. an - Нормальное ускорение составляющая полного ускорения, перпендикулярная вектору скорости. Это
ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скорости.
an=V2/r, где r-радиус кривизны траектории в той точке, где имеет место данное
нормальное ускорение.
* Тангенциальное ускорение – составляющая полного ускорения,
параллельная вектору скорости. Это ускорение характеризует быстроту
изменения модуля вектора скорости: a=dV/dt.
* Полное ускорение представляют как сумму двух векторов, один из которых (a) параллелен
скорости, а другой (an) перпендикулярен скорости: a=an+ a.
В4 Угловая скорость и угловое ускорение. Связь между угловыми и линейными скоростями и
ускорениями. <>=/t – средняя угловая скорость; =limt0(/t)=d/dt=| - величина угл
скорости; Условно вводится единичный вектор e , направленный по правому винту. =e=|e псевдовектор; =d/dt. Если ось Z совп с осью вращения: z=|; =d/dt – угловое ускорение;
=(e)|=|e+e|; При вращении отн неподвиж оси e=const e|=0 =|e; ||=|= ; Связь меж
угл и лин величинами: r.d=dr r.d/dt=dr/dt r=V,(ещё раз диф-ем по dt) r=W .
В5 Законы Ньютона, границы применимости классической механики. Внимание! Законы
справедливы только для материальных точек. [1] (о существовании инерциальных систем отсчёта):
всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока
взаимодействие со стороны других тел не заставит изменить это состояние. [2] F=dp/dt; p=mV; Если
m=const, то F=mW; [3] Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и
противоположны по направлению. F12=-F21; … Границы применимости: 1) для материальных точек; 2)
V<<c; 3) Расстояния относительно небольшие, потому что предполагается, что взаимодействие
передаётся мгновенно.
В6 Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Механическое движение
относительно. … Все уравнения динамики не изм при переходе из одной инерциальной системы в
другую. … Все механические явления во всех инерциальных системах от-та протекают одинаковым
образом. (инерциальные сис-мы от-та – такие сис-мы, в которых тела покоятся или движутся
равномерно и прямолинейно). V0–относительная скорость двух систем от-та K и K|; Пусть K| движется
относительно K со скоростью V0 (V0<<c) вдоль оси X. Тогда: {x=x|+V0t; y=y|; z=x|; t=t|} – преобр Галилея.
Продифференцируем обе части по времени: {Vx=V|x+V0; Vy=V|y; Vz=V|z;} правило сложения скоростей:
V=V0+V|; Ещё раз продифференцируем: W=W| F=F| (законы движения инвариантны).
В7 Силы трения. Сухое и жидкое трение. Если к телу прикасается твердая поверхность, то со
стороны этой поверхности на тело могут действовать две силы: N – Сила нормальной реакции –
направлена всегда перпендикулярно к поверхности, со стороны которой она действует.
Сила трения – Fтр – направлена всегда параллельно поверхности. Эта сила мешает скользить по
поверхности. По своей природе она является результатом взаимного притяжения молекул тела и
поверхности, а также зацепления микронеровностей тела и поверхности. FтрN – есть скольжение,
Fтр<N – нет скольжения, - коэффициент трения между телом и поверхностью, зав. от материала и
степени шероховатости.
* Трение покоя – трение, возникающее при отсутствии относительного перемещения,
соприкасающихся тел. Равна по модулю той силе, которая пытается вывести тело из состояния покоя.
* Трение скольжение – сила, возникающая при скольжении тела по поверхности другого. F=-N,
направлена против движения скользящего тела.
* Трение качения – сила, возникающая при качении тела по другому телу.
* Сухое трение – трение между двумя поверхностями без жидкой прослойки. Сила трения скольжения
не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.
* Силы трения, возникающие между поверхностью твердого тела и жидкостью, и их слоями
называется жидкими. Эти силы зависят от скорости тела относ. среды и напр. против V: F=-V.
В8 Сила тяжести и вес. Сила тяжести – сила гравитационного притяжения тел к земле вблизи её
поверхности. Fт=mg, g – ускорение свободного падения. Вес тела – сила с которой тело действует на
опору или подвес вследствие гравитационного притяжения к Земле. … {Fт=-N; P=-N} Fт=P=mg; Но
вес может быть не равным силе тяжести, если опора или подвес движется в вертикальном
направлении с ускорением P=m(g+a). Состояние, когда вес равен нулю называется состоянием
невесомоcти. Величина g зависит от геогр широты и высоты над уровнем моря.
В9 Закон Кулона, сила Лоренца. З-н Кулона опр электростатическое взаимодействие между
точечными зарядами. Fk=kq1q2/r2; Fk=( kq1q2/r3)r. В СИ k=1/(40); Сила Лоренца опр электромагнитное
взаимодействие: F=k|q[V,B], V – скорость частицы, B – вектор магнитной индукции (B=k||(Nmax/IS) [Вб],
где I – сила тока в рамке, S – площадь сечения рамки, Nmax – макс момент сил, действующих на рамку).
В10 Кинетическая энергия материальной точки и системы материальных точек. Уравнение
движения: mV|=F, F – результирующая сила; умножим на dr=Vdt; mV|Vdt=Fdr;
m(dV/dt)Vdt=mVdV=md(V2/2)=d(mV2/2); Fdr=d(mV2/2); Если система замкнута, то F=0 d(mV2/2)=0
mV2/2=const; T=mV2/2 – сохраняющаяся величина, кинетическая энергия. Если у нас система частиц,
то Tсис=Ti.
В11 Работа и мощность. Работа центральных сил и сил однородного силового поля. Pабота
силы F на пути dS: A=FSdS; Два слова о кинетической энергии: mV|=F; dS=Vdt; mVV|dt=FdS
mVV|dt=mVdV=md(V2/2)=d(mV2/2) FdS=d(mV2/2); 12d(mV2/2)=12FdS; T2-T1=12FdS=12FSdS=A12
работа результирующей всех сил, действующих на тело, равна приращению его кинетической энергии.
dA=(Fi)dS=FidS=Ai; Если dS=Vdt, то A=FVdt A=t1t2FVdt. Если F=const (и модуль и направление),
то A=F12dS=FS=FSF; S – вектор перемещения из 1 в 2; Мощность – производная работы по времени.
P=dA/dt=FV; Центральная сила – сила, приложенная к телу, линия действия которой всегда проходит
через некоторую точку, называемую центром силового поля (независимо от положения тела).
F(r)=f(r)er; f(r)={-r (упруг(-коэф жесткости, r-радиус вектор смещения из положения равновесия));
-m1m2/r2 (грав); kq1q2/r2 (кулон)}; Работа центральных сил: A=12Fdr=12f(r)erdr; erdr=|er||dr|cos=dScos;
A=r1r2F(r)dr зависит только от начала и конца траектории. Работа сил однородного поля: Если x,y,z
F(x,y,z)=const поле однородное; A=12Fdr=Fr1r2dr=F(r2-r1) не зависит от формы пути.
В12 Потенциальная энергия частицы во внешнем поле сил.
P
APO=Fdr=U(r), U(r) – потенциальная энергия частицы в данном силовом поле.
1
O 1
A12=A10+A02=A10-A20; U1-U2=U0+A10-(U0+A20)=A10-A20=A10+A02=A12
2
2 A12=U1-U2=-U; Работа сил поля на пути 1-2 равна убыли потенциальной
0
энергии частицы в данном поле.
Энергия – количественная мера движения материи.
Потенциальная энергия – энергия тела, которой он обладает, находясь в силовом поле или
вследствие взаимодействия с другими телами.
В13 Связь между потенциальной энергией и силой. dA=-dU(r)=-dU(x,y,z)=Fdr=Fxdx+Fydy+Fzdz;
Fx=-U/x; Fy=-U/y; Fz=-U/z; F=exFx+eyFy+ezFz=-(exU/x+eyU/y+ezU/z).
Вектор с компонентами /x, /y, /z, где -скалярная функция координат x,y,z, называется
градиентом функции и обозначается символом grad либо (-набла). Из определения градиента
следует, что =ex/x+ey/y+ez/z.
Применив к нашему выражению получим: -(exU/x+eyU/y+ezU/z)=-gradU=-U.
В14 Закон сохранения энергии для частицы, движущейся в консервативном поле сил.
Если в системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы
сохраняется постоянной. {A12=EP1-EP2; A12=EK2-EK1} EP1-EP2=EK2-EK1 EP1+EK1=EP2+EK2
E=EP+EK=U+K=const; E – полная механическая энергия системы;
* Если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не совершают работы в течение интересующего
нас времени, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил
остается постоянной за это время: E=T+U=const.
В15 Полная механическая энергия в замкнутой системе материальных точек. Если на
интересующую нас систему частиц материальных точек не действуют внешние сторонние силы и нет
внутренних диссипативных сил, то полная механическая энергия такой системы остается постоянной:
E=T+Uсобств+Uвнеш=const, Uсобств-энергия взаимодействия между частями системы; Uвнеш=потенциальная
энергия во внешнем поле.
В16 Потенциальная энергия взаимодействия. Потенциальная энергия взаимодействия
обусловлена работой сил взаимодействия частиц в системе. Силы центральные: F12=-F21;
A12=F12dr1+F21dr2=F21(dr2-dr1)=F21d(r2-r1)=F21dr21; Алгебраическая сумма работ пары сил в
произвольной системе отсчёта равна элементарной работе сил, действующих на одно тело, в системе,
где второе тело покоится. F21 – консервативная A12=-U12(r12)=-dU12; Uвз(r12)=U12=U21=1/2(U12+U21); В
общем случае: Uвз=1/2(i=1NUi)=1/2(i=1N(k=1(ki)Uik)); A=-Uвз (конс силы); Работа внутренних
консервативных сил равна убыли Uвз.
В17 Закон сохранения энергии для системы взаимодействующих материальных точек.
A1=Aвнешн.конс.=E’P1-E’P2; A2=Aвнутр.конс.=E’’P1-E’’P2; {A1+A2=(E’P1-E’P2)+(E’’P1-E’’P2)=E’P1-E’P2+E’’P1-E’’P2;
A1+A2=EK=EK2-EK1;} E’P1+E’’P1+EK1=E’P2+E’’P2+EK2; E=E’P+E’’P2+EK1=const.
В18 Потенциальная энергия деформированной пружины.
A=Fxdx=kxdx=kx2/2 U=kx2/2 (т.к. U(0)=0); Зависимость U(x)-парабола.
В19 Потенциальная яма и потенциальный барьер. Некоторый промежуток, содержащий максимум
потенциальной энергии, в который тело не может проникнуть, имея данный запас энергии, называется
потенциальным барьером. Некоторый промежуток, содержащий минимум потенциальной энергии, из
которого тело не может выбраться, имея данный запас энергии, называется потенциальной ямой.
Движение, не приводящее к удалению на бесконечность называется финитным (в противном случае
инфинитным). Движение в потенциальной яме финитное, финитно так же движение с отрицательной
полной энергией (если считать что U()=0).
Условия равновесия механической системы. (по учебнику Савельева) Fi=F=0; (сумма внешних
сил равна нулю); F=-U U=0 (U/x)i+(U/y)j+(U/z)k=0; U/x=0, U/y=0, U/z=0 – условия
равновесия по соответствующим направлениям; 2U/x>0, 2U/y>0, 2U/z>0 – условия устойчивого
равновесия по соответствующим направления. Условию равновесия соответствует экстремум U(r):
минимум – устойчивое равновесие, максимум – неустойчивое равновесие.
В20 Закон сохранения импульса системы взаимодействующих частиц. Система центра масс.
(p)|=F; (p1)|=F12+F13+...+F1N+F1внеш; (pN)|= FN2+FN3+...+FN(N-1)+FNвнеш; i=1N(pi)|=i=1N(Fiвнеш) (т.к. Fik+Fki=0);
dp/dt=Fiвнеш если Fiвнеш=0, то p=const; Импульс замкнутой системы материальных точек величина
постоянная. В незамкнутой системе, если проекция внешних сил на некоторую ось равна нулю, то
проекция импульса на эту ось сохраняется. Систе́ма це́нтра масс — невращающаяся система отсчёта,
связанная с центром масс механической системы. (Pi=miVi) Pi=mi(Vi-Vc)=mi(Vi-mkVk/m); Pi=miVimkVkmi/m=0 – суммарный импульс в системе центра масс равен 0.
В21 Центр масс. Движение центра масс материальных точек. Центр масс – такая точка, движение
которой можно рассматривать как движение всей системы как целого. rc=miri/m; Vc=miVi/m=p/m
p=mVc; Если Vc=0, то система частиц как целое покоится. dp/dt=Fiвнеш m(Vc)|=Fвнеш; Центр масс
движется так, будто вся масса сосредоточена в этой точке, а результирующая сила приложена именно
к ней.
В22 Абсолютно упругое и абсолютно неупругое центральное соударение двух шаров.
Соударение двух тел, система замкнутая, относительная скорость довольно большая Uвз0; Лаб
сис-ма: m1, V1, m2, V2; Ц-система: Vc=(m1V1+m2V2)/(m1+m2); p1~=p1-m1Vc=m1(V1-(m1V1+m2V2)/(m1+m2))=
m1m2+(V1-V2)/(m1+m2); =m1m2/(m1+m2) – приведённая масса; p1~=Vотн=(V1-V2); p2~=m2(V2-Vc)=(V2V1)=-Vотн; p~=Vотн-Vотн=0;
T~=(p1~)2/(2m1)+(p2~)2/(2m2)=1/2(p1~)2(1/m1+1/m2)=(2(Vотн)2(m1+m2))/(2m1m2)=(Vотн)2/2; (а) Абсолютно
неупругий удар ((T~)|=0 – кинетическая энергия шаров в ц-системе после слипания):
(T~)0=(Vотн)2/2=1/2(m1m2(V1-V2)2/(m1+m2)); (V12)|=Vc=(m1V1+m2V2)/(m1+m2); (б) Абсолютно упругий удар –
не сопровождается переходом механической энергии в другие формы (T~=(T~)|). Т.к. T~ сохраняется:
T~=(p1~)2/(2)=((p1~)|)2/(2) |p1~|=|(p1~)|| меняется только направление; до столкновения:
(V1~)0=(p1~)0/m1=m2Vотн/(m1+m2), (V2~)0=(p2~)0/m2=m1Vотн/(m1+m2); после столкновения: (V1~)|= -(V1~)0,
(V2~)|= -(V2~)0; В лаб сис-ме от-та после столк-ия: (V1)|=(V1~)|+Vc=-(V1~)0+Vc=-m2(V1-V2)/(m1+m2)+
(m1V1+m2V2)/(m1+m2)=V1(m1-m2)/(m1+m2)+V2.2m2/(m1+m2); Итого: (V1)|= Vc+(V1~)| =Vc+m2(V1-V2)/(m1+m2),
(V2)|= Vc+(V2~)| =Vc+m1(V1-V2)/(m1+m2).
В23-24 Момент импульса и момент силы относительно точки и относительно оси.
(1) Относительно точки: M=[r,p] – “аксиальный вектор”, момент импульса; момент импульса создаёт
правовинтовую тройку. |M|=r.p.sin; l=r.sin - плечо импульса; |M|=lp=lmV;
N=dM/dt=[r|,p]+[r,p|]=[V,mV]+[r,F]=[r,F] – момент силы; (2) относительно оси: Mz=[r,p]z, Nz=[r,F]z; введём
полярную систему координат: ,,z; M=[|e e ez|| 0 z||p p pz|] (векторное произведение,
расписанное в виде определителя) Mz=pez; Mz=Pz=mV; P=mz; Mz=m2z; Nz=F; dMz/dt=Nz;
Если Nz=0 Mz=const;
В25 Закон сохранения момента импульса системы взаимодействующих материальных точек.
Момент импульса системы материальных точек определяется как векторная сумма моментов
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ 𝑖 , где все Мi определены одной точки О; dM/dt=∑𝑛𝑖=1 𝑴𝒊
импульсов ее отдельных частиц: M=∑𝑛𝑖=1 ⃗𝑴
𝑑𝑡
⃗⃗ ′𝑖 + ∑ 𝑵
⃗⃗⃗⃗𝑖 , где Ni – моменты внешних сил, N’i – моменты внутренних сил.
dM/dt=∑ 𝑵
Момент сил – характеризует не только силу но и где она приложена.
Внутренние силы – это силы взаимодействия между частицами системы эти пары сил
компенсируют друг друга, значит суммарный момент внутренних сил равен нулю: N’i=0;
dM/dt=Nвнеш, Nвнеш=Ni – суммарный момент всех внешних сил.
Момент импульса системы может изменяться со временем только под действием суммарного
𝑡
момента всех внешних сил M=∫0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑴вн 𝑑𝑡.
Эти уравнения справедливы как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета (в
неинерциальных следует учитывать силы инерции, как внешние силы).
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы частиц остается
постоянным, т.е. не меняется со временем, причем это справедливо для момента импульса, взятого
относительно любой точки инерциальной системы: M=∑𝑛𝑖=1 𝑴𝑖 (𝑡)=const; Момент импульса может
сохраняться и в неинерциальных системах отсчета, для этого необходимо лишь, чтобы суммарный
момент внешних сил (включая и силы инерции), был равен нулю: Ni=0.
В26 Силы инерции. Fin=-m(a – a')=-mw; w – разность ускорений.
Уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета: ma’=F+Fin;
Введение сил инерции дает возм. описывать движение тел в любых
системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения.
tg=Fin/mg;
Принцип эквивалентности сводится к тому, что масса гравитационная
и масса инерционная неразличимы.
Центробежные силы инерции: R=l+l; Силу
инерции, возникающую во вращающейся
системе отсчета, называют центробежной силой инерции (Fцб).
Если тело в этой системе покоится, то Fцб=m2R;
Если тело движется с некой скростью V’, то Fцб=m[,V’]=m[,[r’,]].
Сила Кориолиса: Fin=-ma; ma=mV2/R, V=V’+R;
mV2/R=m(V’+R)2/R=m/R(V’2+2V’R+2R2)=mV’2/R+2m[V’,]+m2R; FК=2m[V’,].
В27 Момент инерции. Теорема Штейнера. Момент инерции – мера инертности тела при
вращательном движении (характеризует не только массу, но и как она распред. отн. оси вращ.).
* Ось, положение которой в пространстве остаётся неизменным при вращении вокруг неё называется
свободной осью тела. У любого тела существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие
через центр масс, которые могут служить свободными осями, они называются главными осями тела.
=miRi2; =limv0(m/v)=dm/dv; m=ivi; =iRi2vi; Если =const, то =Ri2vi; Вообще: =R2dm=
R2dv; Теорема Штейнера: =c+ma2, где а – расстояние до новой оси, параллельной исходной оси,
проходящей через центр масс. Д-во: 0=miri2=mi(rc+r’i)2=mi(rc2+r’i2+2rcr’i)=rc2m+mir’i2+2rcmir’i=
mrc2+c+0 Стержень: ml2/12; Обруч: mR2; Диск (перпендикулярно плоскости): mR2/2; Диск (параллельно
плоскости): mR2/4; Шар: 2mR2/5;
В28 Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
dM/dt=Nвнеш; Mi=[ri, miVi]=m[ri,Vi]; |M|=miriVi=miriRi; Mi</2, z – ось вращения.
Mzi=Micos=miriRicosi=mi(ricos)Ri=miRi2z; Mz=zmiRi2=zz; z=miRi2=r2dv; M=Mi=(mi[ri,Vi]);
Если тело вращается относительно неподвижной оси, тогда и только тогда M=;
В29 Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Vi=[,ri]; T=1/2miVi2;
Vi2=[,ri]=2Ri2; T=1/2miRi22=1/2(2)=(2)/2;
В30 Работа, совершаемая внешними силами при вращении твердого тела относительно
неподвижной оси. U=const dT=A; d(1/2(2))=1/2(.2zdz)= zzdt= zd (т.к. zdt=dz и zdt=d);
z=Nz; dT=Nzd=A A=12(Nzd);
В31 Кинетическая энергия тела при плоском движении. Любое плоское движение можно разложить
на поступательное и вращательное. Vi=Vc+[,ri]; ri – радиус-вектор точки mi относительно центра масс.
Ti=1/2miVi2; Vi2=Vc2+2Vc[,ri]+[,ri]2; T=1/2{mi(Vc)2+2Vc[,miri]+2mi(Ri)2}, miri=mrc=0, mi(Ri)2=c
T=m(Vc)2/2+c2/2.
В32 Законы динамики твёрдого тела. {mWc=Fвнеш, dM/dt=Nвнеш}; N=, M= (если ось вращения
является осью симметрии); Eпол=mghc+(mV2)/2+(2/2); З-н сохр имп-са: если Fвнеш=0 mVc=const; З-н
сохр момента имп-са: если Nвнеш=0 M=const; соотв и для проекций на оси.
В33 Прецессия гироскопа. Гироскоп – массивное симметричное тело, вращающееся вокр своей оси
симметрии. Движение оси симметрии гироскопа относит-но вер напр-ия наз-ся прецессией гироскопа.
Если ось неподвижна: M=; | - угловая скорость прецессии. рез=+|; Mрез=’|+; ’ ; Считаем,
что |<<, тогда MрезM, рез; Считаем, что M и совпадают с осью вращения гироскопа.
N0внеш=[rc,mg]; За dt dM0=N0внешdt. |=d/dt; - угол между осью вращения и вертикалью.
|dM0|=M0sind; dM0=[d,M0]; |[|,M0]|=|N0|; |||=|N0|/|M0|; |M0|=sin; |N0|=mgl=rcsinmg;
|||=(rcsinmg)/(sin)=(rcmg)/()~1/; Итого: |=(rcmg)/()~1/;
В34 Энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек. Гравитационное
взаимодействие осуществляется посредством гравитационного поля. Всякое тело изменяет свойства
окружающего его пространства – создает в нем гравитационное поле. Это поле проявляет себя в
том, что на помещенное в него другое тело действует сила.
F(r)=-Gm1m2/r2; A12=r1r2F(r)dr=-Gm1m2 r1r2dr/r2=-Gm1m2 r1r2d1/r=-Gm1m2/r r1|r2=-Gm1m2/r1+Gm1m2/r2;
Ер вз-я=1/2(i=1N(k=1(ki)Eik)); Ер вз-я=-Gm1m2/r;
В35 Космические скорости. I-я к.с. – скорость необходимая для того чтобы тело стало искусственным
спутником Земли. m((V1)2/R)=mg V1=(gR)1/28км/с; II-я к.с. – та скорость, которую надо сообщить
телу, чтоб оно вышло из сферы земного притяжения. Выв из з-на сохр энергии: Eпол=m(V2)2/2-G(Mm/R),
на бесконечности (куда мы собственно летим) Eпол=0 V2=((2GM)/R)1/2; если gR=GM/R, то
V2=(2gR)1/211км/с. Для справки: III-я к.с. необх для того чтоб выйти за пределы Солн сис-мы 17-73
км/с (в зависимости от того в какую сторону полетим).
В36 Преобразования Лоренца. 1-й постулат СТО: все физич явления протекают одинаково во всех
инерциальных сис-мах от-та и уравн-ия их описывающие инвариантнтны. 2-й постулат СТО: скорость
света в вакууме не зависит от движения источника и одинакова во всех инерциальных сис-мах от-та.
Преобр Лоренца: Сис-ма К| движ вдоль оси x относительно сис-мы К со скоростью V0, то: x0=V0t, и
x’0=-V0t’. Система К и К’ движутся в противоположных направлениях относительно друг друга. y=y’,
z=z’, x=(x’+V0t’), =const; x’=(x-V0t), т.к. К и К’ равноправны. Учитывая постоянство скорости света:
x=ct; x’=ct’; ct=(ct’+V0t’)=t’(c+V0); ct’=(ct-V0t)=t(c-V0); c2tt’=2tt’(c2-V02); =1/√1 − 𝑉02 /𝑐 2; =V0/c, тогда
x=(x’+V0t’)/√1 − 𝛽 2 ;
В37 Относительность понятия одновременности. Пусть в системе K| произошло 2 события в одном
и том же месте, x|=a, 1-е в мом врем t1|, 2-е в мом врем t2|;(из преобразований Лоренца) K:
t1=(t1+V0a/c2), t2=(t2+V0a/c2); t=t2-t1, = t2|-t1| - собственное время; =t/; <t движущиеся часы
идут медленнее, чем покоящиеся. Собственное время явл инвариантным, т.к. в любой системе от-та
измеряется по часам, покоящимся отн частицы (по учеб Савельева). Пусть в сис-ме K x2>x1, имеет
место два события, причём одновременно в мом врем t, но в координатах x1 и x2; в сис-ме K: t1|=(tVx1/c2), t2|=(t-Vx2/c2); t|=t2|-t1|=((x1-x2)V/c2); x1x2 t|0 одновременность относительна.
𝑉
В38 Длина тела в разных системах отсчёта. {x1=(x’1+Vt)/, x2=(x’2+Vt)/}; =√1 − ( 𝑐 )2 ; Из определения
длины следует, что относительность длины данного стержня является следствием относительности
понятия одновременности. Это же относится и к форме любого тела – его размеры в направлении
𝑉
движения также различны в различных ИСО. l0=x2-x1=(x’2+Vt-x’1-Vt)/√1 − ( 𝑐 )2 =(x’2-x’1)/; l’=x’2-x’1=
𝑉
(x2-x1) l=l0√1 − ( 𝑐 )2 ; Длина l’ движущегося стержня оказывается меньше его собственной длины l0, и
в разных ИСО она будет иметь свое значение.
В39 Промежуток времени между событиями в разных системах отсчёта. Относительность
понятия одновременности. Пусть в системе K| произошло 2 события в одном и том же месте, x|=a,
1-е в мом врем t1|, 2-е в мом врем t2|;(из преобразований Лоренца) K: t1=(t1+V0a/c2), t2=(t2+V0a/c2); t=t2t1, = t2|-t1| - собственное время; =t/; <t движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся.
Собств время явл инвар, т.к. в любой системе отсч-та измер по часам, покоящихся отн частицы.
Интервал. Временеподобные и пространственноподобные интервалы. l=(x2+y2+z2)1/2;
S=(c2t2-x2-y2-z2)1/2 – интервал, инвариантная величина. Д-во инвар-ти интервала: S=(c2t2l2)1/2=ct(1-(l/(ct))2)1/2=ct(1-V2/c2)1/2=c, c=const, =invar S=invar; Типы интервалов: а) S2>0
ct>(x2+y2+z2)1/2; Можно найти систему K|, где x|=0, y|=0, z|=0 (события происх в одном месте, но
в разное время), это временеподобный интервал; S2<0, можно найти сис-му, где t|=0, это
пространственноподобный интервал.
В40 Интервал. Его инвариантность.
S=(c2t2-x2-y2-z2)1/2 – интервал, инвариантная величина. Д-во инвар-ти интервала: S=(c2t2-l2)1/2=
ct(1-(l/(ct))2)1/2=ct(1-V2/c2)1/2=c, c=const, =invar S=invar;
В41 Релятивистское преобразование скорости. Пусть в К – системе (x,y,t) движется частица с
V=Vxex+Vyey; Найдем с помощью преобразований Лоренца проекции скорости этой частицы V’x и V’y в
K’ – системе, движущейся со скоростью V: {V’x=dx’/dt’=(dx’/dt)/(dt’/dt); V’y=dy’/dt’=(dy’/dt)/(dt’/dt)]}; (bp
𝑉
преобразований Лоренца, для x’, y’, t’) V’x=(Vx-V)/(1-VxV/c2); V’y=(Vy√1 − ( 𝑐 )2 )/(1-VxV/c2);
V’=√𝑉𝑥′2
+
𝑉𝑦′2
𝑉
(𝑉𝑥 −𝑉)2 +𝑉𝑦2 (1−( )2
=√
𝑐
1−𝑉𝑥 𝑉/𝑐 2
– Релятивистский закон преобразования скорости.
В42 Релятивистское выражение для энергии. d/dtP=F – Ньютоновская механика; P=mV/√1 − 𝛽 2 –
релятивистский импульс (=V/c). Подставим и умн-м обе части на dS=Vdt; d/dt(mV/√1 − 𝛽 2 )Vdt=FdS;
FdS=dA=dT; dT=d/dt(mV/√1 − 𝛽 2 )Vdt=Vd(mV/√1 − 𝛽 2 ; dT=V(mdV/√1 − 𝛽 2 + mV(VdV/c2)/(1-2)3/2)=
md(V2/2)/(1-2)3/2=mc2d(V2/c2)/2(1-2)3/2=d(mc2/√1 − 𝛽 2 ); T=mc2/√1 − 𝛽 2 +C; при V=0, T=0, тогда 0=mc2+C;
C=-mc2; T=mc2/√1 − 𝛽 2 - mc2=mc2(1/√1 − 𝛽 2 – 1). Соответственно, при V<<с: Tmc2(1+1/2V2c2-1)=mV2/2;
Энергия покоя – внутренняя энергия частицы, не связанная с движением частицы как целого: Е0=mc2;
В полную энергию Е частицы входит сумма кинетической энергии и энергии покоя тела: E=mc2/√1 − 𝛽 2 ;
Выражение полной энергии частицы через импульс Р: E=c√𝑃2 + 𝑚2 𝑐 2; при P<<mc: E=mc2+P2/2m;
P=E/c2V; E=mc2dt/d;
В43 Релятивистское преобразование импульса и энергии. Полная энергия Е и импульс Р не
являются инвариантами. (=V/c) dx=(dx’+V0dt’)/ √1 − 𝛽 2, dy=dy’, dz=dz’, cdt=(cdt’+V0/cdx’)/√1 − 𝛽 2 ,
умножаем эти четыре уравнения на m/d; mdx/d=(m(dx’/d)+V0m(dt’/d))/√1 − 𝛽 2 ; mdy/d=mdy’/d;
mdz/d=mdz’/d; mcdt/d=(mc(dt’/d)+V0/cm(dx’/d))/√1 − 𝛽 2 ; т.к. mdx/d=Px, mdx’/d=P’x и т.д., тогда:
Px=(P’x+(E’/c))/ √1 − 𝛽 2 , Py=P’y, Pz=P’z, E/c=(E’/c+P’x)/√1 − 𝛽 2 - 4 формулы преобразования
импульса и энергии.
В44 Теорема о неразрывности струи. Линии тока – линии, вдоль которых вектор скорости течения
жидкости направлен по касательной. Часть жидкости, ограниченная линиями тока наз-ся трубкой тока.
Частицы при своём движении не пересекают стенок трубки тока. Жидкость несжимаемая =const;
Теорема о неразрывности струи: S1V1=S2V2=const; Д-во: возьмём трубку тока достаточно тонкую, чтоб
в любом её перпендикулярном сечении скорость была постоянная. Объём жидкости, прох через сеч S1
и S2 в ед времени должен быть постоянным (т.к. жидкость несжимаемая): S1V1t=S2V2t S1V1=S2V2
ч.т.д. (т.к. S1 и S2 были выбраны произвольно).
В45 Уравнение Бернулли. За t v1=v2=v в силу неразрывности струи. Возьмём l достаточно
малый, чтоб в выделенном объёме v V, p, h можно было считать const. E=((v(V2)2)/2+vgh2)-(
(v(V1)2)/2+vgh1) – з-н сохр энергии. Жидкость идеальная, значит изменение энергии равно работе
сил давления: E=A=p1S1l1-p2S2l2=(p1-p2)v; (p1-p2)v=v(((V2)2)/2+gh2-((V1)2)/2-gh1);
((V1)2)/2+gh1+p1=((V2)2)/2+gh2+p2 (т.к. S1 и S2 были выбраны произвольно), но учитывая допущение
S10, S20 трубка тока вырождается в линию. Вывод: в стационарно текущей идеальной жидкости
вдоль любой линии тока выполняется условие: (V2)/2+gh+p=const;
В46 Силы внутреннего трения в жидкостях. Идеальная жидкость является астракцией. Все
жидкости в большей или в меньшей степени обладают вязкостью, или внутренним трением.
Fтр=V0/d, где -вязкость, -плотность
