Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия

Арифметическая прогрессия. Геометрическая
прогрессия. Основные формулы.
Определение арифметической прогрессии
Последовательность  an  , каждый член которой, начиная со второго, равен
предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется
арифметической прогрессией. Число d - разность прогрессии. Таким
образом, арифметическая прогрессия есть последовательность, заданная
рекуррентно равенством an1  an  d .
Разность арифметической прогрессии: d  an1  an



Если d  0 , то  an  - возрастающая
Если d  0 , то  an  - убывающая
Если d  0 , то  an  - постоянна
Последовательность  an  является арифметической прогрессией тогда и
только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним
арифметическим предшествующего и последующего членов.
Сумма членов арифметической прогрессии, равноудаленных от концов
прогрессии, есть величина постоянная, то есть a1  an  a2  an1  ...
Формула n-го члена арифметической прогрессии: an  a1  d  n 1
Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:
Sn 
a1  an
n
2
Sn 
2a1  d  n  1
n
2
Определение геометрической прогрессии
Последовательность  bn  , первый член которой отличен от нуля и каждый
член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же
отличное от нуля число q, называется геометрической прогрессией. Число
q - знаменатель прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия есть
последовательность, заданная рекуррентно равенством bn1  bn q , где bn  0 ,
q  0.
Отношение
любого
члена
геометрической
прогрессии
предшествующего члена, равно одному и тому же числу q: q 


и
ему
bn 1
bn
Если q  0, q  1 , то  bn  - монотонна
Если q  1 , то  bn  - постоянна
Последовательность  bn  является геометрической прогрессией тогда и
только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее
геометрическое соседних с ним членов, то есть bn21  bn  bn 2 , n  .
Произведение членов геометрической прогрессии, равностоящих от концов
прогрессии, есть величина постоянная.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии: bn  b1  q n1 , n 
Формулы суммы n членов геометрической прогрессии:
1. Sn 
2. Sn 
bn q  b1
, q 1
q 1
b1  q n  1
q 1
, q 1
3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при q  1 равна
Sn 
b1
.
q 1
Примеры
1. В арифметической прогрессии сумма четвертого, восьмого,
девятнадцатого и двадцать третьего членов равна 30.Найдите сумму 26
первых членов прогрессии.
Решение: Составим уравнение, исходя из условий задачи:
a4  a8  a19  a23  30 ;
Запишем данной уравнение через первый член арифметической
прогрессии a1 и разность арифметической прогрессии d :
a1  3d  a1  7d  a1  18d  a1  22d  30 ;
4a1  50d  30 или 2a1  25d  15 .
Запишем формулу суммы арифметической прогрессии:
Sn 
S26 
2a1   n  1 d
n;
2
2a1  25d
15
 26   26  15 13  195 .
2
2
Ответ: 195.
2. О геометрической прогрессии  bn  известно, что b1  3 , b4  24 .
Найдите b6 .
Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена
геометрической прогрессии bn  b1q n 1 и составим уравнение:
b4  b1q 3 .
Из данного уравнения найдем знаменатель геометрической прогрессии
q
q3 
b4 24

8  q  2.
b1
3
b6  b1q 5  3  25  96 .
Ответ: -96.
3. Найдите сумму первых трех членов геометрической прогрессии  bn  , в
которой b1  4 , b3  16 , а знаменатель - число положительное.
Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена
геометрической прогрессии bn  b1q n 1 и составим уравнение:
b3  b1q 2 .
Из данного уравнения найдем знаменатель геометрической прогрессии
q
q2 
b3 16

 4  q  2 .
b1
4
Но по условию сказано, что знаменатель – число положительное,
следовательно q  2 .
Найдем сумму первых трех членов геометрической прогрессии:
Sn 
S3 
bn q  b1
;
q 1
16  2   4 
 32  4  28 .
2 1
Ответ: -28
4. Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна
14. Если от первого числа отнять 15,а второе и третье увеличить
соответственно на 11 и 5, то полученные три числа составят
арифметическую прогрессию. Найдите исходные три числа.
Решение:
Запишем соотношения между членами геометрической и
b1  15  a1
b1  a1  15

арифметической прогрессий: b2  11  a2  b2  a2  11 .
b  5  a
b  a  5
3
3
 3
 3
По условию сумма исходных чисел равна 14, т.е.:
b1  b2  b3  14 ;
a1  15  a2  11  a3  5  14  3a1  3d  15  a1  d  5 или a2  5 .
По характеристическом свойству геометрической прогрессии имеем:
b22  b1  b3 ;
Запишем данное
прогрессии:
соотношение
 a2  11
 a2  11
2
2
через
члены
  a1  15    a3  5  ;
  a2  d  15    a2  d  5  .
Подставим найденное значение a2 :
 5  11
2
  5  d  15    5  d  5  ;
36   20  d   d ;
d 2  20d  36  0 ;
арифметической
2
D b
2
    ac   10   1 36  100  36  64 ;
4 2
d1,2
b
D
 
4  10  8 ;
 2
a
1
d1  18 и d 2  2 .
При d1  18
a1  13
a2  5
a3  23
b1  2
b2  6
b3  18
a1  3
a2  5
a3  7
b1  18
b2  6
b3  2
При d1  2
Ответ: 2; -6; 18 или 18; -6; 2
Практика.
1. В арифметической прогрессии сумма восьми первых членов
равна 32, а сумма двадцати первых членов равна 200. Найдите
сумму первых 28 членов прогрессии.
2. В арифметической прогрессии отношение суммы первых семи
членов к сумме последних семи членов равно -0,2, а отношение
суммы всех членов без первых двух к сумме всех членов без
последних двух равно 3. Найдите число членов арифметической
прогрессии.
3. Найдите сумму членов геометрической прогрессии с
пятнадцатого по двадцать первый включительно, если сумма
первых семи членов прогрессии равна 14, а сумма первых
четырнадцати ее членов равна 18.
4. В геометрической прогрессии с четным числом членов сумма
всех ее членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на
нечетных местах. Найдите знаменатель прогрессии.
5. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию,
равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 1 и 9,
то получатся три числа, составляющих геометрическую
прогрессию. Найдите исходные три числа.
6. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют
геометрическую прогрессию, а последние три составляют
арифметическую прогрессию, причем сумма крайних чисел равна
32, а сумма средних чисел равна 24.