Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Факультет технической кибернетики Кафедра измерительных информационных технологий Лабораторная работа №2 «Спектры простых сигналов» Выполнила: студентка гр. 3085/2 Ефремова М.С. Проверила: Богач Н.В. Санкт-Петербург, 2013 год _____________________________________________________________________________ Цель Получить представление о тестовых сигналах во временной и частотной областях. Реализовать операцию свертки сигналов. Постановка задачи В командном окне MATLAB и в среде Simulink промоделировать следующие тестовые сигналы: полигармонический сигнал o y sin x sin 3x o y sin x cos x o y sin x 3sin 3x 5sin 5x треугольный сигнал меандр треугольный сигнал путем свертки двух меандров. Получить их спектры. Теоретическое обоснование Полигармонические сигналы составляют наиболее широко распространенную группу периодических сигналов непосредственно функцией s(t) = y(t kTp), k = 1,2,3,..., где Тр - период одного полного колебания сигнала y(t), заданного на одном периоде. Значение fp=1/Tp называют фундаментальной частотой колебаний. Полигармонические сигналы представляют собой сумму определенной постоянной составляющей (fо=0) и произвольного (в пределе - бесконечного) числа гармонических составляющих с произвольными значениями амплитуд An и фаз n, с частотами, кратными фундаментальной частоте fp. Другими словами, на периоде фундаментальной частоты fp, которая равна или кратно меньше минимальной частоты гармоник, укладывается кратное число периодов всех гармоник, что и создает периодичность повторения сигнала. Частотный спектр полигармонических сигналов дискретен, в связи с чем второе распространенное математическое представление сигналов - в виде спектров (рядов Фурье). Математическое описание сигнала задается формулой: s(t) = Akcos(2fkt+k), где: Ak = {5, 3, 4, 7} - амплитуда гармоник; fk = {0, 40, 80, 120} - частота в герцах; k = {0, 0.4, -0.6, -0.8} - начальный фазовый угол колебаний в радианах; k = 0, 1, 2, 3. Фундаментальная частота сигнала 40 Гц. Спектр (спектральная плотность) Ф(f) в общем случае представляют собой комплексную функцию: Φ(𝑓) = |Φ(𝑓)|𝑒 𝑖𝜓(𝑓) . Модуль этой функции |Φ(𝑓)| называют спектром амплитуд, а зависимость 𝜓(𝑓) – спектром фаз. Спектр произведения двух сигналов равен свертке спектров этих сигналов, а спектр свертки сигналов равен произведению этих спектров. Ход Работы Построим полигармонический сигнал и его спектр в MatLab. Для этого выполним следующий фрагмент кода: %полигармонические сигналы x = 0:0.01:4*pi; f=100*(0:255)/512; %сигнал y=sin(x)+sin(3x) figure y1 = sin(2*pi*x)+sin(2*pi*3*x); plot(x(1:200),y1(1:200)) grid %спектр сигнала y=sin(x)+sin(3x) figure s1 = fft(y1,512); ss1 = s1.*conj(s1)/512; plot(f,ss1(1:256)) grid %сигнал y=sin(x)+cos(x) figure y2 = sin(2*pi*x)+cos(2*pi*x); plot(x(1:200),y2(1:200)) grid %спектр сигнала y=sin(x)+cos(x) figure s2 = fft(y2,512); ss2 = s2.*conj(s2)/512; plot(f,ss2(1:256)) grid %сигнал y=sin(x)+3sin(3x)+5sin(5x) figure y3 = sin(2*pi*x)+3*sin(2*pi*3*x)+5*sin(2*pi*5*x); plot(x(1:200),y3(1:200)) grid %спектр сигнала y=sin(x)+cos(x) figure s3 = fft(y3,512); ss3 = s3.*conj(s3)/512; plot(f,ss3(1:256)) grid 1. Результат работы: Рис 1. Сигнал sin(x)+sin(3*x) Рис 2 Спектр sin(x)+sin(3*x) Рис 3 Сигнал sin(x)+cos(x) Рис 5 Сигнал sin(x)+3*sin(3*x)+5*sin(5*x) 2. Рис 4 Спектр sin(x)+cos(x) Рис 6 Спектр sin(x)+3*sin(3*x)+5*sin(5*x) Построим треугольный сигнал и его спектр в командном окне MATLAB, выполняя сл. фрагмент кода: %треугольный сигнал x = 0:0.01:4*pi; f=100*(0:255)/512; %сигнал figure y = abs(x-ceil(x)+0.5); plot(x(1:200),y(1:200)) grid %спектр figure s = fft(y,512); ss = s.*conj(s)/512; plot(f,ss(1:256)) axis([-1 max(f) 0 10]) grid Результат выполнения: Рис. 7 Треугольный сигнал 3. Рис 8 Спектр треугольного сигнала Построим меандр и его спектр в командном окне MATLAB, выполняя сл. фрагмент кода: %меандр figure y=[ones(1,100) zeros(1,100)]; plot(y) grid %спектр figure s = fft(y,512); ss = s.*conj(s)/512; plot(ss(1:256)) grid Результат выполнения: 20 1 18 0.9 0.8 16 0.7 14 0.6 12 0.5 10 0.4 8 0.3 6 0.2 4 0.1 2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Рис 9 Сигнал меандра 4. 0 0 50 100 150 200 250 300 Рис 10 Спектр меандра Построим треугольный сигнал, полученный из меандра и его спектр в командном окне MATLAB, выполняя сл. фрагмент кода: %треугольный сигнал путем свертки меандров figure yy=[ones(1,100) zeros(1,100)]; %меандр y = conv(yy,yy); plot(y) grid %спектр figure s = fft(y,512); ss = s.*conj(s)/512; plot(ss) axis([0 300 0 50]) grid Результат выполнения: 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Рис 11 Треугольный сигнал, образованный путем свертки 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 50 100 150 200 250 300 Рис 12 Спектр треугольного сигнала Теперь проделаем всю ту же самую работу, только в среде Simulink 1. Полигармонический сигнал и его спектр в среде Simulink Схема simulink для визуализации сигнала y sin x sin 3x и его спектра Рис 13 Осциллограмма сигнала y sin x sin 3x Рис 14 Спектр сигнала Схема simulink для визуализации сигнала Рис 15 Осциллограмма y sin x cos x Схема simulink для визуализации сигнала y sin x sin 3x y sin x cos x и его спектра Рис 16 Спектр сигнала y sin x cos x y sin x 3sin 3x 5sin 5x и его спектра Рис 17 Осциллограмма сигнала и спектр сигнала 2. y sin x 3sin 3x 5sin 5x Треугольный сигнал и его спектр в среде Simulink Схема simulink для визуализации треугольного сигнала и его спектра Рис 18 Осциллограмма треугольного сигнала Рис 19 Спектр треугольного сигнала 3. Меандр и его спектр в среде Simulink Схема simulink для визуализации меандра и его спектра Рис 20 Осциллограмма меандра Рис 21 Спектр меандра 4. Треугольный сигнал, полученный из меандра и его спектр в среде Simulink Схема simulink для визуализации треугольного сигнала, полученного из меандра, и его спектра Рис 22 Осциллограмма треугольного сигнала (свертка) Рис 23 Спектр треугольного сигнала (свертка) Вывод Треугольные импульсы длительностью r по основанию с площадью, равной Р, могут быть получены сверткой двух прямоугольных импульсов длительностью r/2 с амплитудой 2Р/r, откуда: s(t) = Пr/2(t) * Пr/2(t) Û S(w) = Пr/2(w)Пr/2(w), S(w) = P sinc2(wr/4). Спектр треугольного импульса также имеет лепестковую структуру с шириной лепестков 4p/r. Соответственно, база треугольного импульса равна 4p. Спектральная функция за счет квадратирования интегрального синуса имеет только положительные значения. Данный процесс и обосновывает использование фильтра с прямоугольным окном.