ВЫСШАЯ ГЕОДЕЗИЯне редактированая

Тема 1:Основы теории потенциала силы тяжести
1.Общие сведения. Краткий очерк развития теории фигуры Земли.
№1.
В курсе сфероидической геодезии изучались методы определения координат
точек на сфероиде или эллипсоиде. При этом считалось, что параметры зем.
Эллипсоида известны, а именно известны большая полуось а и сжатие α.
Положение точки на эллипсоиде определяется координатами И, L, Н.
Н – расстояние по нормам к эллипсоиду от поверхности эллипсоида до т. М
До появления искусственных спутников Земли геодезическая высота
состояла из 2 частей Н= Н𝛾 + 𝜉.
Н𝛾 - нормальная высота , отсчитываемая от уровня моря по нормали до т. М
ξ-высота уровня геоида над эллипсоидом, аномалия высоты
Очевидно, что для определения положения т. М необходимо решить
следующие задачи:
1) Определить параметры земного эллипсоида а , α.
2) Определить высоту геоида над эллипсоидом ξ.
Решение этих задач и является предметом физической геодезии.
Физическая геодезия – дисциплина геодезии, изучающая методы
определения фигуры Земли на основе физики и геодезических измерений.
Исторически существовали следующие представления о фигуре Земли:
1) Земля плоская
Оно действительно для относительно малых объектов , протяжённостью
до 20 км.
2) Земля шар
Об этом знали в Др. Греции ещё 2 тысячи лет тому назад.
Эратосфен определил радиус земли исходя из определения широт 2 точек 1 и
2.
Δφ=φ2- φ1
l=2-3км точность
360⁰ Δφ
2𝜋𝑅
=
; R=
𝑙
360⁰𝑙
2𝜋Δφ
Это геометрический метод определения R полагая, что α=0. В 16веке Ньютон
доказал, что Земля имеет сжатие порядка 1/300 и что её форма эллипсоид
или сфероид.На те времена понятия F, V было открыто понятие потенциал,
т.е. работы материальной точки.
А= FS
Если т. О принять за исходную то можно вычислить А1 и А2. Тогда раьота на
пути А1 и А2
ΔА=А1,2=F(S2-S1) – разность потенциалов
Эту теорию Ньютон применил к силе тяжести
F=f
𝑚1𝑚2
𝑟2
m1,m2-массы 2 тел
r- расстояние между ними
f-гравитационная постоянная
F-сила взаимного притяжения точек
Если m1=M (Масса Земли), ar=R(радиус Земли) и m2=1,тогда сила
притяжения мат. Точки единицы массы будет
F=
𝑓𝑀
𝑅2
Поскольку притяжение обратно прапорционально расстоянию R , то для
R=∞,F=0.Если точка движется из ∞ до зем. поверхности, то она
осуществляет работу относительно зем. поверхности.В ∞ А∞=F∞R, так как
A∞=F∞=0.Когда точка приближается к поверхности Земли
𝑀
𝑀
𝑅
𝑅
АR=FR=f 2R=f .
Разность таких работ ΔА=АR-A∞
𝑀
ΔА= f
𝑅
Ньютон определил, что потенциал мат. Точки на зем. поверхности равен
работе совершаемой этой точкой от ∞ до зем. поверхности при движении её
от ∞.
𝑀
Потенциал обозначается W= f .
𝑅
Потенциал- функция , производная которой по расстоянию равно силе.
𝑊
= −𝑅
𝐹
Исходя из этого следует , что радиус Земли или другие её параметры можно
определить исходя из значения силы притяжения Земли и потенциала силы
притяжения. На этом базируется физический метод определения фигуры
Земли.
В 19 веке было сформировано 3 представление о фигуре Земли , как о геоиде.
Геоид- одна из уровенных поверхностей Земли или поверхностей равного
потенциала , совпадающая с поверхностью мирового океана в его
невозмущённом состоянии.
Это представление связано с именем английского математика Стокса.Он
установил, что по измерениям силы тяжести на поверхности геоида можно
определить его высоту относительно эллипсоида.
В середине 20 века было сформировано 4 , окончательное , представление о
фигоре Земли , как о физической поверхности.
Советским учёным Молоденским в 50-60 гг. 20 века было установлено , что
по измерениям силы тяжеси на земной поверхности можно определить
положение уровня моря относительно эллипсоида, а
с помощью
нивилирования и положения точки земной поверхности относительно уровня
моря.
Определяется Н𝛾 ,ξ, Н. Стокс решал задачу на уровне моря , а Молоденский
на земной поверхности . Эта теория
является окончательной к
сегоднешнему времени.
Замечание: земля является вращающемся телом вокруг своей оси , поэтому
на точку земной поверхности действует 2 силы : сила притяжения и
центробежная сила, поэтому потенциал точки определяется этими 2 силами.
Равнодействующая этих сил называется силой тяжести и потенциал
называется потенциалом силы тяжести
Обозначим потенциал притяжения как V , а центробежный потенциал Q,
тогда потенциал силы тяжести будет
W= V + Q
Fц=ω²ρ
Потенциал силы притяжения будет
Q= ω²ρ²/2
W= V+ ω²ρ²/2
Это 1 основная формула теории потенциалов на основе
определяется параметры земного эллипсоида.
которой
2. Земля рассматривается как тело неоднородное с различной
плотностью в каждой ее точки. На приведенном рисунке
р`- элементарная точка Земли;
р – точка, в которой определяется потенциал
ρ – расстояние от центра Земли до точки Р.
На следующем чертеже приведены координаты которыми определяли
положение точки Р`.
Будем составлять выражение потенциала силы тяжести. Запишем его
упрощенный вид
M 2 2
  n.
W V Q, W  f
R 2
Данные выражения справедливы для случая, когда масса Земли
сконцентрирована в одной точке. Если же допустить, что масса различной
плотности, то
n     cos
.
M  2 2
W f
   cos2 
R
2
Поскольку Земля неоднородное тело
M
dm
,
 f 
R
 r
где r – расстояние от текущей точки Земли до определенного
потенциала,
dm – элементарная масса в точке Земли,
τ – элементарный объем.
dm  2 2 2
W  f 
  cos  .
2
 r
Распишем левую составляющую через плотности масс Земли
dm
V  f 
 r ,
dm    d
где δ – плотность текущей точки Земли,
dτ – элементарный объем.
   ( ,  ,  )
,

V  f  ( ,  ,  )d
 r
где dτ – элементарный объем для τ.
Выразим через dθ`, dα`, dρ`
f
Дуги соответственно δλ` и δθ` равны
S   
.
S   n 
Тогда имеем элементарную площадку
d  S  S      n 
n   sin  
d   2 sin   
d  d  d    2 sin      d 
Тогда потенциал притяжения равен
1
V  f   ( ,  ,  )   2 sin  d d d  .
 r
В теории потенциала Земли значение V выражают через угол ψ. Через
угол ψ между направлениями на точку Р и точку Р`. Поскольку по теореме
cos
r   2   2 2   cos
  n
,
1
1


P
(cos

)

n 1 n
r
 2   2 2   cos n0 
Pn (cos ) - номинал Лежандра в степени n полученный ряда Тейлора.
Без вывода
  n
V (    )  f   n 1 Pn (cos )   (   )  d .
 n 0 
Формулу несколько преобразуют
 1
V (   )  f 
 (   ) Pn (cos )d .
n 1 

n0

Введем обозначения
Z n (,  )  f  (  ,  ,  )  n Pn (cos )d

 1
V (  , ,  )  
 Z n (,  )
n 1

n0
cosψ выразим через координаты точек Р и Р`
cos  cos cos  (cos cos   sin  sin  ) sin  sin 
 1 
.
V (  , ,  )   n 1 (  Dk n cosk  E k n sin k )  Pn ()
n0  k 0
Величины D k n и E k n называют постоянными Стокса. Это
фундаментальная формула определения потенциала силы притяжения. С тем,
чтобы на её основе вывести потенциал притяжения эллипсоида в ней
выделяют элементы n=0, n=1, n=2. Тогда после преобразований и
пренебрежения членами третьих и выше степеней, потенциал притяжения
можно записать в следующем виде
fM
A C 3
1
V (  , ,  ) 
 f m 3 ( cos2   ) .


2
2
3.Нормальный потенциал – это потенциал к создаваемой эллипсоидом той же
массы М что и Земля.
Нормальный потенциал вывел Клеро. В основу вывода положен потенциал
притяжения.
V(ρ,θ,λ)=fM/ρ+f(Am-C)/ρ3 * (3cos2θ/2-1/2)
Если к этому потенциалу прибавить потенциал центробежной силы :
Ϣ2
𝜃=
∗ 𝜌2 sin2 𝜃
2
то получим потенциал силы тяжести эллипсоида .
𝑀
𝐴𝑚 − 𝐶
3
1
Ϣ2
𝑊 =𝑓∗ +𝑓∗
∗(
− )+
∗ 𝜌2 sin2 𝜃
𝜌
𝜌3
2 cos 2 𝜃 2
2
На основе этого выражения Клеро вывел уравнение эллипсоида из
следующих рассуждений:
θ=П/2 , ρ=а а- большая полуось эллипсоида
после подстановки этих выражений , он получил значение потенциала силы
тяжести на поверхности эллипсоида в плоскости экватора.
𝑓𝑀 𝑓(𝐴𝑚 − 𝐶)
𝑎2
2
𝑊 =
−
+𝑀
𝑎
2𝑎3
2
0
Им составлено выражение W=W0 .
𝑓𝑀 𝑓(𝐴𝑚 − 𝐶)
3
1
Ϣ2
+
∗(
− )+
𝜌
2𝜌3
2 cos 2 𝜃 2
2
𝑓𝑀 𝑓(𝐴𝑚 − 𝐶)
𝑎2
2
2
2
∗ 𝜌 sin 𝜃 =
−
+𝑀
𝑎
2𝑎3
2
Исходя из этого он записал:
𝜌 = 𝑎 ∗ (1 − (3 ∗
𝐶−𝐴𝑚
2𝑀𝑎2
𝑔
+ ) ∗ cos 2 𝜃 - это есть уравнение эллипсоида Клеро.
2
g- это отношение центробежной силы Fц к силе тяжести Fс.т.
g = Fц/ Fс. т
Fц = Ϣ2 ∗ 2
Fс. т. =
𝑓𝑀
𝑎2
𝑎3
𝑔=Ϣ ∗
𝑓𝑀
2
Им доказано , что величина 3 ∗
𝐶−𝐴𝑚
2𝑀𝑎2
𝑔
+ =α
2
α- сжатие эллипсоида
с учётом донного обозначения потенциал силы тяжести на поверхности
эллипсоида будет таким:
𝑊о =
𝑓𝑀
𝑎
𝛼
𝑔
3
3
∗ (1 + + )
Исходя из этого выражения Клеро вывел теорему , позволяющую
определить параметры земного эллипсоида а и α .
Теорема Клеро : Для вывода теоремы в качестве исходного Клеро принял
следующие выражения потенциала:
𝑓𝑀 𝑓(𝐴𝑚 − 𝐶)
3
1
Ϣ2
𝑊о =
+
∗(
− )+
∗ 𝜌2 sin2 𝜃
3
2
𝜌
2𝜌
2 cos 𝜃 2
2
Поскольку сила тяжести равна производной потенциала силя тяжести по
расстоянию, то обозначая эту силу через G получим:
𝐺𝑜 =
𝑑𝑊𝑜 𝑓𝑀 3𝑓(𝐴𝑚 − 𝐶)
3
1 𝑓𝑀𝜌
= 2 +
∗
−
(
) ∗ 3 ∗ 𝜌 sin2 𝜃
𝑑𝜌
𝜌
2𝜌4
2 cos 2 𝜃 2
𝑎
Заменяя ρ на а получим :
𝐺𝑜 =
если θ=90 ,то 𝐺𝑒 =
если θ=0 ,то 𝐺𝑝 =
𝑓𝑀
3
5
(1
+
𝛼
−
∗
𝑔
+
∗ 𝑔 − 𝛼) cos 2 𝜃 )
(
𝑎2
2
2
𝑓𝑀
𝑎2
𝑓𝑀
𝑎2
3
∗ (1 + 𝛼 − ∗ 𝑔)
2
∗ (1 + 𝑔)
𝐺𝑒
𝐺𝑝 + 𝐺𝑒 5
=𝛼+
= ∗𝑔
𝐺𝑝
𝐺𝑒
2
𝐺𝑝 + 𝐺𝑒
=𝛽
𝐺𝑒
5
𝛼 + 𝛽 = ∗ 𝑔 - Теорема Клеро
2
𝐺𝑜 = 𝐺𝑒(1 + 𝛽 cos 2 𝜃 )
𝐺𝑜 = 𝐺𝑝(1 + 𝛽 sin2 𝜑 )
Сведём вместе формулы теоремы Клеро.
𝐺𝑜 = 𝐺𝑝(1 + 𝛽 sin2 𝜑 )
𝛼+𝛽 =
𝑊о =
𝑓𝑀
𝑎
5
∗𝑔
2
𝛼
𝑔
3
3
∗ (1 + + )
3
𝑓𝑀 = 𝐺𝑒 ∗ 𝑎2 ∗ (1 − 𝛼 + ∗ 𝑔)
2
4. Как известно параметры земного эллипсоида можно определить по
формулам Клеро, которые базируются на теории нормального потенциала,
т.е. потенциала создаваемого земным эллипсоидом с параметрами а, α,
массой М и угловой скоростью вращения Земли вокруг своей оси ω. Эти 4
параметра являются базовыми для определения формы Земли.
Современные космические и наземные средства позволяют определить
эти параметры.
Клеро, а после Молоденский вывели замкнутую формулу определения
нормального потенциала эллипсоида:
𝑓𝑀
Uo=
𝑎
𝑎 √𝑎2−𝑏2
√𝑎2−𝑏2 1
+
𝑏
2
arctg
ω2a2
Здесь фундаментальными параметрами земного эллипсоида являются:
а- большая полуось;
b- малая полуось;
М- масса Земли;
ω- угловая скорость.
Определение параметров земного эллипсоида исходя из этой
формулы является первым путем решения задачи теории фигуры Земли.
Его недостатком является то, что он определяет лишь параметры
земного эллипсоида. Неизвестным остается положение геоида
относительно эллипсоида и соответственно точек внешней поверхности
Земли относительно эллипсоида.
Для решения задачи определения положения точек земной
поверхности Земли Стокс предложил следующее:
1. определить значения нормального потенциала Uo и
соответственно задаться параметрами земного эллипсоида
(первое приближение к определению фигуры Земли).
2. определяется реальный потенциал Земли W и находится
разность:
W-U=T,
где
T- возмущающий потенциал в данной точке;
U- нормальный потенциал.
Возмущающий потенциал в точке запишем как:
T=Wo-U
Значение U выразим через Uо и ζ:
U=Uo -
𝑑𝑈
𝑑𝐻
ζ,
𝑑𝑈
где γ=
- значение нормального ускорения или нормальной
𝑑𝐻
силы
тяжести в точке.
Тогда T=Wo-Uo+ γζ
Стокс предложил следующее допущение:
Wo=Uo, отсюда получим формулу Брунса:
ζ=
𝑇
γ
Таким образом задача решается, необзодимо лишь знать возмущающий
потенциал:
γ=
𝑑𝑈
𝑑𝐻
=
𝑑𝑈
𝑑𝑎
=
𝑑𝑈𝑜
𝑑𝑎
, где
а- большая полуось.
Таким образом основной задачей в теории фигуры Земли является
теория сгущающих потенциалов.
Ясно, что это есть первое приближение в фигуре Земли. В продолжении
решения задачи фигуры Земли Молоденский дополнил теорию Стокса.
Он положил, что нужно определять сразу положение точки М на земной
поверхности привлекая для этого геодезические измерения (нивелирование).
Пусть от поверхности эллипсоида (от точки М) отложена нормальная
высота Hγ и получена точка N.
Hγ- высота полученная из геометрического нивелирования относительно
уровня моря, т.е. она получена в результате проложения нивелирного хода от
Кранштатского фунтштока до точки М.
Расстояние МN= ζ
Величину ζ необходимо определить. Вместе с нормальной высотой она
определяет высоту точки М относительно эллипсоида.
Исходя из рисунка можно допустить, что отрезки М0N и OM примерно
одинаковы. Близость этих отрезков Молоденский определил следующим
равенством.
U0-UN=W0-WM
Это строгое равенство положено в основу вывода ζ.
UN=UM+
U0-(UM+
𝑑𝑈
𝑑𝐻
ζ
𝑑𝑈
𝑑𝐻
𝑑𝑈
𝑑𝐻
ζ)=W0-WM
=γM
U0-(UM + γMζ)=W0-WM
U0-UM - γMζ = W0-WM
U0- W0+ WM- UM = γMζ
W0- UM =T
U0- W0+T= γMζ
ζ=
U0− W0+T
γM
Определение возмущающего потенциала T= WM- UM найдем производную
этого выражения по высоте.
𝑑𝑇
𝑑𝐻
=
𝑑𝑊𝑀
𝑑𝐻
𝑑𝑈𝑀
−
𝑑𝐻
, очевидно что
𝑑𝑊𝑀
𝑑𝐻
=gM , а
𝑑𝑈𝑀
𝑑𝐻
=γM – значение нормальной
силы тяжести в точке М.
𝑑𝑇
𝑑𝐻
= gM- γM , для определения возмущающего потенциала необходимо знать
разность силы тяжести в точке М, реальной и нормальной.
γM= γN𝑑𝑇
𝑑𝐻
𝑑𝛾
𝑑𝐻
ζ
= g M- γN +
𝑑𝛾
𝑑𝐻
ζ
gM- γN=Δg , или смешанной аномалией силы тяжести.
𝑑𝑇
𝑑𝐻
𝑑𝛾
= Δg + ζ
𝑑𝐻
ζ=
𝑑𝑇
𝑇
γ
= Δg +
𝑑𝐻
𝑑𝛾 𝑇
𝑑𝐻 γ
𝑑𝛾
= γ – нормальная сила притяжения создаваемая эллипсоидом массой М. В
𝑑𝐻
данном случае эллипсоид можно заменить шаром с массой М.
𝛾=𝑓
𝑀
𝑟2
𝑑𝛾 𝑑𝛾
2𝑟𝑀
𝑑𝐻 𝑑𝑟
𝑟4
= =-𝑓
𝑑𝛾
𝑑𝐻
=-𝑓
2𝑀
𝑟3
Будем считать, что точка находится на поверхности шара и r=R, тогда
𝑑𝛾
𝑑𝐻
𝑑𝑇
𝑑𝐻
=-𝑓
𝑑𝐻
𝑟2
𝑟
= Δg - 𝛾
ζ=
𝑑𝑇
2𝑀 1
=
𝑑𝛾
𝑑𝑟
2
2
𝑟
𝑅
=-𝛾 =-𝛾
2
𝑅
𝑇
𝛾
= Δg -
2𝑇
𝑅
Это есть дифференциальное уравнение первого порядка относительно
функции Т. Функция Т- возмущающий потенциал, в этом уравнении связано
с величиной Δg, тоесть со смешанной аномалией силы тяжести. Эти
аномалии измеряются на поверхности Земли, форму которой мы определяем.
Поэтому записанное дифференциальное уравнение справедливо лишь для
поверхности Земли. Поскольку поверхность Земли является границей между
внутренним пространством Земли и внутренним, то данное
дифференциальное уравнение называется граничным или краевым условием.
Решение задач с краевыми условиями является предметом математического
функционала. Широко известны 3 задачи с краевым условием.
1) Третья краевая задача.
𝑑𝑇
𝑑𝐻
= Δg -
2𝑇
𝑅
,где
Δg- смешанная аномалия силы тяжести
2) Вторая краевая задача.
𝑑𝑇
𝑑𝐻
= gM- γM
gM- γM- чистая аномалия силы тяжести
gM- γM= δg
𝑑𝑇
𝑑𝐻
= δg
δg – измерено на земной поверхности
Задача Неймана
3) Первая краевая задача.
T= WM- UM
Если измерена сама функция Т, а потом находится ее аналитическое
выражение координат BLH, то такая задача называется первой краевой
задачей.
T=f(B,L,H)
Задача Дирихле
Тема: Уклонение отвеса
1. Общие сведения об уклонениях отвеса
2. астрономограмметрические и грамметрические уклонения отвеса.
1) Общие сведения об уклонениях отвеса.
Уклонение отвеса решает 2 задачи:
1. уточнение параметров земного эллипсоида. Уточнение высоты земной
поверхности над эллипсоидом.
2. при измерении широт и долгот астрономическим способом определяют
их астрологические значения ϕ,λ. Оси вращения астрономических
приборов совпадают с реальной силой тяжести, т.е. направление
отвеса.
Карты земной поверхности явл. проекциями поверхности земли на
эллипсоиде, положение точки определяется геодезическими координатами В,
L. Положение, значение этих координат определены положениями нормали
на эллипсоиде. Нормали на эллипсоиде не совпадают с отвесной линией.
Угол между нормалью эллипсоида и отвесной линии наз. уклонением отвеса,
тогда ϕ,λ стремиться к В, L можно только через уклонение отвеса.
Выводим уклонение отвеса через
астрономические и геодезические
координаты. Пусть в т. М проходит линия
отвеса и нормаль эллипсоида угол между
ними называется U; Р- полюс земли; Zгеодезический зенит; Zа- астрономический
зенит ; U- дуга сферы соответствующий
уклонению отвеса;͜ PZa – в угловой мере.
PZa= 90-ϕ
PZ=90-В
Угол В в точке Р между дугами PZ и PZa= L-λ
Угол U и ͜ PZ PZa. разложим на 2 составляющие; по-первому вертикалу т.е.
плоскости перпендикулярны поверхности шара и меридиана. Составляющие
по первому вертикалу Ƞ угол А =90, ͜ ZaА. Составляющая вдоль
меридиана ξ ͜ ZА. Рассмотрим сферические треугольники PАZa и PZaZ.
Поскольку L-λ стремиться к 0, то для геодезических целей можно принять,
что 90-ϕ=90-В+ξ
ξ=В-ϕ
Треугольник В PАZa. Запишем теорему синусов sin/sin(L-λ)=sin(90-ϕ)/sin90
sinȠ=sin(L-λ)sin(90-ϕ)/sin90=sin(L-λ)sin(90-ϕ)
Учитывая что L-λ стремиться к 0, sin можно заменить значением угла в
радианах
Ƞ=(L-λ)cosϕ
Таким образом компоненты или составляющие уклонения отвеса
выражаются через астрономические и геодезические так:
ξ=В-ϕ
Ƞ=(L-λ)cosϕ
Эти формулы в дальнейшем применяются для уточнения параметров
земного эллипсоида. Вычисленные по ним компоненты отвесных линий
называют астромогеоидами уклонениями
отвеса. Однако, уклонением отвеса
можно вычислить и по составляющей
силы тяжести.
U- уклонение овеса
g –имеет 3 соответствующие:
gx/gz=tgξ
gy/gz=tgȠ
ξ=gx/gz
Ƞ=gy/gz
gx=dw/dx
gy=dw/dy
dz=dw/dz
w=U+T
Величины U есть постоянная для эллипсоида, поэтому
gx=dw/dx=du/dx+dT/dx=dT/dx
gy=dw/ dу=du/dy+dT/dy=dT/dy
gz=dw/dz=du/dz+dT/dz=dT/dz
ξ=1/gz*dT/dx
du/dx=du/dy=0
Ƞ=1/dz*dT/dy
Поскольку направление отвесных линий противоположны осям х,у оси z то
Ƞ=1/dz*dT/dy
ξ=-1/gz*dT/dx
dx можно выразить через приращение широты dx=MdB , где М-радиус
меридианы, а dу – через приращение параллели dу=rdL, где r-радиус
параллелей .
ξ=-1/٧*dT/MdB
Ƞ=-1/٧*dT/rdL
Поскольку r=NcosB
Ƞ=-1/٧*dT/Ncos*BdL
ξ=-1/g*dT/MdB
Эти формулы называются гравиметрическими отвесных линий.
2. Астрономо-гравиметрические и геодезические уклонения отвеса.
‫ﻉ‬ar = B – φ
ηar = (L – λ)cosφ. Гравиметрическое уклонение
1
𝑑𝑇
х
𝑀𝑑𝐵
‫ =ﻉ‬- =
1
𝑑𝑇
𝛾
𝑁𝑐𝑜𝑠𝐵𝑑𝑙
η=- *
(T=+(B,L….)
Геод-е уклоны должны давать один и тот же результат. Для геод-х
уклонение отвесов. В каждой точке необходимо измерять астрономические
координаты φ и λ и знать геод координаты В, L это громоздкий путь
вычисления уклонения отвеса. Работа упрощается значительно. Если будем
использовать гравиметрические определение. Суть задачи сводиться к
следующему : пусть имеется редкая сеть астрономо - геодезических пунктов,
на которых измеряются астрономические уклонение.
В этих же пунктах и на внутренних измерениях гравии уклонение найдены
разности ‫ ﻉ‬Атi - ‫ﻉ‬i
ηAтi – ηi =→i=1…..6.
для каждого пункта выразим разность
‫ﻉ‬Aг - ‫=ﻉ‬а*φ+в*λ+l
ηАг-η=α*φ+βλ+γ
Значение в левой части известно φ и λ можно определить старой карте .
Неизвестными являются координаты а,в,е,α,β,γ.
Для их определяет необходимы составить 6 уравнений предст вида и более.
Для этого достаточно 3 астрономо – геодезических пунктов обычно их
больше.
То φ=∑6𝑖=1
(‫ﻉ‬Aгi-‫ﻉ‬i)² + (ηAгi – ηi)²=min
Тогда астон- геод уклонение отвеса
‫ﻉ‬Aг = ‫ﻉ‬+аφ+вλ+с
ηАг=η+2φ+βλ+γ
мы отметили ранние что уклон отвеса необходимы для определение вр-ры
земли направление для определение высоты. если направление задается
общей точкой геод и эллипсоида, то по уклонениям отвесам можно найти
превышение следующей точки геоида над эллипсоидом. Эти превышения
находятся из астрономического и астрономо – геодезического
нивелирования.
ММ´- точки местности.
dH – высота ММ´ над эллип.
Dh- высота т.М над геоидом.
Q – уклонение отвесной линии в доль определенного направление
Q=‫ﻉ‬cosA+ηsinA
Найдем связь между всеми линиями dH и dh.
Dh=МС+СД
МО=dl
𝑙𝐸
𝑀𝑂
=sinQ
CE=MOsinQ=dlsinQ
Dh=d+cosQ+dlsinQ
Dh=dh+dlQ ( в рад )
Для того, что бы узнать высоту.
H=Hγ-‫ﻉ‬
Dh=dhγ+d‫ﻉ‬
Dhγ+d‫=ﻉ‬dh- dl*Q
Настоящая формула устанавливает зависимость между приращение высот
геоида d‫ ﻉ‬и отклонением отвесной линии Q. Можно найти превышение точек
геоида относительно эллипсоида. Выражая превышение геоида через
аномалию силы тяжести.
𝐷
𝐵
1
𝐵
∫𝐴 − d‫ =ﻉ‬- 𝛾𝑚 ∫𝐴 ( g – γ)dh - ∫𝐴 𝑄 агdl
𝐷
1
𝐵
𝐵
∫𝐴 − ‫ﻉ‬А= - 𝛾𝑚 ∫𝐴 ( g – γ)dh - ∫𝐴 𝑄 агdl
Q – значение астрономо – геодезического отклонения отвесной линии. На
всем протяжении линии АВ.
𝐵
∫𝐴 𝑄𝑑𝑙 =∑𝐵𝐴 𝑄𝑖𝐿𝑖 = 𝑄1𝐿1 + 𝑄2𝐿2 + ⋯ . 𝑄𝑛𝐿𝑛
Определение внешнего потенциала и поверхности земли с
использованием возмущающего потенциала
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Общая постановка задачи
Притяжение точки плоским слое
Потенциал двойного слоя
Формулы Грина
Фундаментальные формулы Грина
Интегральные уравнения для определения возмущающего
потенциала
1.Мы знаем что, задаваясь параметрами земного элипсоида, а так же его
массой можно определить потенциал точки вне элепсоида, его называют
нормальным потенциалом(U). Если знать значение возмущающего
потенциала в точке T то можно вычислить значение потенциала
притяжения земли W = U + T , это второй путь решения задачи по
определению реального потенциала земли. Первый путь нами был
рассмотрен на прежних лекциях. Значение возмущающего потенциала
важно так же для определения высоты геоида над элипсоидом, а так же
для определения уклонений от веса, соответствующие формулы нами
были выведены ранее. Таким образом возмущающий потенциал T
необходим для определения реального потенциала земли (W), высоты
геоида над элипсоидом (S) и компонентов отвеса линий(ξ, η)
3.Двойной слой – слой состоящий из двух простых, расстояние между
которыми бесконечно мало. Формулы потенциала двойного слоя будут
приняты для определения возмущающего потенциала. Введем обобщенное
понятие плотности двойного слоя ν.
Точки А и В стремятся к точке С. При чем точка В внутренняя, а А –
внешняя. На самом слое потенциал точки W0. Тогда если точку В приблизить
на бесконечно малое расстояние к точке А, то потенциал в этой точке будет
равен величине:
𝑊𝑙 = 𝑊0 − 2𝜋𝑓𝜈
Если точки приблизить на бесконечно малое расстояние к точке С, то
потенциал будет:
𝑊𝑙 = 𝑊0 + 2𝜋𝑓𝜈
Мы рассмотрим два подхода к определению возмущенного потенциала.
Первый подход базируется на его выражении как потенциала простого слоя,
а второй базируется на его выражении как потенциала двойного слоя.
Рассмотрим положение возмущающего потенциала на основе потенциала
двойного слоя. Для того чтобы решить настоящую задачу рассмотрим и
применим формулы Остроградского и Грина.
Введем обозначения: R, dR, dz.
∭
𝜏
𝑑𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝑅 cos(𝑛, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑧
Где (n,z) – угол между нормалью к поверхности и осью z.
Введем функции Q и P, тогда
∭
𝜏
𝑑𝑄
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝜃 cos(𝑛, 𝑥) 𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝜏
∭
𝜏
𝑑𝑃
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝑃𝑑𝑥𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝜏
Найдем сумму этих интегралов. Тогда:
∭(
𝜏
𝑑𝑅 𝑑𝑄 𝑑𝑃
+
+ ) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬(𝑅𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑃𝑑𝑥𝑑𝑧)
𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝜏
В правой части интеграла различные дифференциалы. Приведем их к одному
виду:
𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑑𝜎 cos(𝑛, 𝑧)
𝑑𝑥𝑑𝑧 = 𝑑𝜎 cos(𝑛, 𝑧)
𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑑𝜎 cos(𝑛, 𝑧)
∭(
𝜏
𝑑𝑅 𝑑𝑄 𝑑𝑃
+
+ ) 𝑑𝜏 = ∬(𝑅 cos(𝑛, 𝑧) + 𝑄(𝑛, 𝑧) + 𝑃 cos(𝑛, 𝑧)) 𝑑𝜎
𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝜎
Эта формула позволяет объемный интеграл заменить поверхностным, что
упрощает интегрирование. Для вывода формулы Грина, на основе формулы
Остроградского, введем непрерывные функции 𝑈𝑖 и 𝑉𝑖 . Грин построил
функции P, Q, R следующего вида:
𝑃 = 𝑈𝑖
𝑑𝑉𝑖
𝜕𝑥
𝑄 = 𝑈𝑖
𝜕𝑉𝑖
𝜕𝑦
𝑅 = 𝑈𝑖
𝜕𝑉𝑖
𝜕𝑧
Находим производные этих функций по х, у, z:
𝑑𝑃 𝑑𝑈𝑖 𝑑𝑉𝑖
𝜕 2 𝑉𝑖
=
+ 𝑈𝑖
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝜕𝑥 2
𝑑𝑄 𝑑𝑈𝑖 𝑑𝑉𝑖
𝜕 2 𝑉𝑖
=
+ 𝑈𝑖
𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑦
𝜕𝑦 2
𝑑𝑅 𝑑𝑈𝑖 𝑑𝑉𝑖
𝜕 2 𝑉𝑖
=
+ 𝑈𝑖 2
𝑑𝑧
𝑑𝑧 𝑑𝑧
𝜕𝑧
Эти выражения складывают и получают их сумму:
𝑑𝑃 𝑑𝑄 𝑑𝑅
+
+
= 𝐷(𝑈, 𝑉) + 𝑈∆𝑉
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
где 𝐷(𝑈, 𝑉) =
𝜕𝑈𝑖 𝜕𝑉𝑖
𝜕𝑥𝜕𝑥
+
𝜕𝑈𝑖 𝜕𝑉𝑖
𝜕𝑦𝜕𝑦
+
𝜕𝑈𝑖 𝜕𝑌𝑖
∆𝑉 =
𝜕𝑧𝜕𝑧
𝜕2𝑉 𝜕2𝑉 𝜕2𝑉
+
+
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
Настоящее выражение подставим в формулу Остроградского:
∭(𝐷(𝑈, 𝑉) + 𝑈∆𝑉)𝑑𝜏
𝜏
= ∬𝑈(
𝜎
Выражение в скобках:
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑉
cos(𝑛, 𝑥) +
cos(𝑛, 𝑦) +
cos(𝑛, 𝑧)) 𝑑𝜎
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
cos(𝑛, 𝑥) +
𝜕𝑉
𝜕𝑦
cos(𝑛, 𝑦) +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
cos(𝑛, 𝑧) =
𝜕𝑉
𝜕𝑛
𝜕𝑉
∭𝜏 (𝐷(𝑈, 𝑉) + 𝑈∆𝑉)𝑑𝜏 = ∬𝜎 𝑈 𝜕𝑛 𝑑𝜎 - первая формула Грина.
Однако, для практики вычисления возмущающего потенциала имеет
значение вторая формула Грина. Для ее вывода в первой формуле Грина
поменяем местами функции U и V тогда можем записать второе выражение
для первой формулы Грина:
∭(𝐷(𝑉, 𝑈) + 𝑉∆𝑈)𝑑𝜏 = ∬ 𝑉
𝜏
𝜎
𝜕𝑈
𝑑𝜎
𝜕𝑛
Разность этих двух выражений дают вторую формулу Грина:
∭(𝑈∆𝑉 − 𝑉∆𝑈) 𝑑𝜏 = ∬ (𝑈
𝜏
𝜎
𝑑𝑉
𝜕𝑈
+ 𝑉 ) 𝑑𝜎
𝜕𝑛
𝜕𝑛
Вторая формула Грина является исходной для определения возмущающего
потенциала двойного слоя. При этом преобразуем вторую формулу Грина
следующим образом: предположим что функция U является гармонической
формулой:
𝜕2𝑈 𝜕2𝑈 𝜕2𝑈
∆𝑈 =
+
+
=0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
∆ - оператор Лапласа. Будем считать, что функция V есть потенциал.
Очевидно, что тогда формулу Грина можно записать:
∭ 𝑈∆𝑉𝑑𝜏 = ∬ (𝑈
𝜏
𝜎
𝜕𝑉
𝜕𝑈
− 𝑉 ) 𝑑𝜎
𝜕𝑛
𝜕𝑛
Из этой формулы будем находить значение потенциала. В качестве функции
U примем 𝑈 =
1
𝑟
V – потенциал:
∆𝑉 =
𝜕2 𝑉
𝜕2 𝑉
𝜕2 𝑉
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 2
+
2
+
2
= −4𝜋𝑓𝛿 (уравнение Пуассона)
Потенциальная формула удовлетворяет следующим условиям:
1
∆𝑉 = −4𝜋𝑓𝛿 и 𝑈 = , во второй формуле Грина:
𝑟
∭ 𝑈∆𝑉𝑑𝜏 = ∬ (𝑈
𝜏
𝜎
𝜕𝑉
𝜕𝑈
𝛿
− 𝑉 ) 𝑑𝜎 − 4𝜋𝑓 ∭ 𝑑𝜏
𝜕𝑚
𝜕𝑛
𝑟
1
𝜕( )
1 𝜕𝑉
= ∬(
− 𝑉 𝑟 ) 𝑑𝜎
𝑟 𝜕𝑛
𝜕𝑛
𝜎
𝜎
𝛿
𝑓 ∭ 𝑑𝜏 = 𝑉
𝑟
𝜏
1 𝜕𝑉
−4𝜋𝑉 = ∬𝜎 (
−𝑉
𝑟 𝜕𝑛
1
𝑟
𝜕( )
𝜕𝑛
) 𝑑𝜎 – фундаментальная формула Грина.
V=T
1
𝜕( )
1
1 𝜕𝑇
𝑇=−
∬(
− 𝑇 𝑟 ) 𝑑𝜎
4𝜋
𝑟 𝜕𝑛
𝜕𝑛
𝜎
Производную
𝜕𝑇
𝜕𝑛
нужно выражать через аномалии силы тяжести,
записанные в 3 краевом условии:
𝜕𝑇
2𝑇 𝜕𝑇
= ∆𝑔 −
=
𝜕𝐻
𝑅
𝜕𝑛
1
𝜕( )
1
1
2𝑇
𝑇 = − ∬ ( (∆𝑔 − ) − 𝑇 𝑟 ) 𝑑𝜎
4𝜋
𝑟
𝑅
𝜕𝑛
𝜎
Поскольку значение Т находится под знаком интеграла и вынести его за знак
интеграла невозможно, то аналитического решения этого уравнения нет.