Глава 4 4.1. Касательная к графику. Дифференцируемость. Условие

Глава 4. Диффренциальное исчисление.
4.1. Касательная к графику. Дифференцируемость. Условие
дифференцируемости. Непрерывность дифференцируемой в точке
функции.
Формула линеаризации(Ф.Л.). Производная. Формула для вычисления
производной. Уравнение касательной и Ф.Л. через производную.
Дифференциал и его графический смысл. Примеры вычисления
производных.
4.2 Арифметические свойства производных. Примеры. Производная
сложной функции. Таблица производных.
4.3 Точки экстремума. Необходимое условие ( Теорема Ферма). Свойства
функций, имеющих производную на интервале.(Теоремы Роля, Лагранжа,
Коши)
4.4 Применение первой производной к исследованию функций:
достаточные условия монотонности и экстремума через первую
производную. Примеры.
4.5 Производные высших порядков. Достаточные условия экстремума с
использованием второй производной.
Определения точек вогнутости, выпуклости
и перегиба. Вывод достаточных условий вогнутости, выпуклости и перегиба.
4.6 Асимптоты к графику. Их виды. Формулы для нахождения.
4.7 Схема полного исследования функций с построением графика.
Примеры .
4.8 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора. Стандартные разложения по формуле
Маклорена.
4.9 Правило Лопиталя. Примеры
Глава 4. Диффренциальное исчисление.
4.1. Касательная к графику. Дифференцируемость. Непрерывность
дифференцируемой в точке функции.
Производная. Формула линеаризации(Ф.Л.) и уравнение касательной
через производную. Формула для вычисления производной.
Графическое определение дифференциала иформула для его
вычисления. Примеры вычисления производных.
Самыми простыми из известных функций являются линейные.
Рассматривая графики элементарных функций , можно заметить, что вблизи
точки из области определения они похожи на линейные. И сходство тем
больше, чем в меньшей окрестности точки мы их рассматриваем.
На рис 1 изображен график такой функции вблизи точки,
рассматриваемый в микроскоп с увеличением в 10, 100 и 1000 раз.
Мы видим, что в последнем случае его трудно отличить от прямой линии.
Такие функции называются дифференцируемыми в точке. Их мы и будем
изучать в этой главе. Далее дадим строгие определения.
Определение 1(касательной к графику).
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.
Тогда касательной в точке (x0,f(x0)) к графику функции f(x) называется
прямая y=f(x0)+A(x-x0), проходящая через эту точку, с которой график
функции стремится совпасть при x  x0 .
Это будем понимать так, что отличие приращения функции в данной
точке от приращения касательной прямой есть величина, очень маленькая
по сравнению с расстоянием от x до x0:
f(x)-f(x0)=A(x-x0)+o(x-x0)
Замечание 1.
Если угловой коэффициент касательной
A  0,
то приращение касательной A(x-x0) есть главное слагаемое в приращении
функции f(x)-f(x0) и приращение касательной эквивалентно приращению
функции.
Замечание2. Такая прямая единственна при A  0, , т.к. 2 прямые через
точку, приращения которых в этой точке эквивалентны, совпадают.
Действительно, отношение приращений прямых постоянно (это отношение
угловых коэффициентов), и для эквивалентных прямых равно своему
пределу, т.е. 1. При A=0
f(x)-f(x0) очень мало по сравнению с (x-x0) и не может быть эквивалентно
A1(x-x0) при другом
A1  0,
Замечание 3.
Касательная к графику может не существовать. Например , для f ( x)  x
нет касательной в x0=0. Действительно, справа от 0 график есть прямая y=x
, и, значит, ее приращению эквивалентно приращение графика при x  0 
. Наоборот, слева от 0 график есть прямая y=-x и ее приращение
эквивалентно приращению функции при x  0  .
Но эти прямые не совпадают, поэтому общей касательной и справа и слева
не существует.
Определение 2.
F(x) называется дифференцируемой в точке x0 , если ее график имеет
касательную в этой точке.
Выведем отсюда стандартное условие дифференцируемости.
Теорема 1
F(x) дифференцируема в x0 тогда и только тогда, когда при x  x0 имеет
место формула:
f ( x)  f ( x)  f ( x0 )  A( x  x0 )  o( x  x0 ), где – A- постоянное число,
являющееся угловым коэффициентом касательной.
Замечание. В математическом анализе эта формула называется
асимптотической формулой линеаризации. Слово «асимптотическая»
указывает здесь на
справедливость этой формулы только в процессе предельного перехода при
x  x0 , ибо она содержит символ «о», имеющий смысл только в указанном
предельном процессе.
Доказательство.
Функция f(x)дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда
существует касательная, проходящая через (x0, f(x0)) с угловым
коэффициентом A. А тогда из определения касательной имеем требуемое
равенство
f ( x)  f ( x)  f ( x0 )  A( x  x0 )  o( x  x0 ),
Следствие(непрерывность дифференцируемой функции)
Для дифференцируемой функции найдем
lim f ( x)  f ( x0 )  lim A( x  x0 )   ( x)( x  x0 )  a * 0  0 * 0  0. Т.е.
x  x0
x  x0
lim f ( x)  lim ( f ( x)  f ( x
x  x0
x  x0
0
)  f ( x0 )  0  f ( x0 ). Предел вычисляется
подстановкой, значит дифференцируемая функция непрерывна .
Определение 3.
Производной в точке x 0 для дифференцируемой в этой точке функции
f(x)называется угловой коэффициент наклона касательной в этой точке.
Производная от f(x) в точке x 0 обозначается . f ( x0 ).
Теорема3.(уравнение касательной)
Если f(x) имеет касательную в x0 . то ее уравнение будет:
y кас  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ).
Доказательство.
Касательная имеет угловой коэффициент A и проходит через (x0, f(x0)).
Т.е.
y кас
y кас  f ( x0 )
 A, (рис.2, вместе с рис.1 выше) или
x  x0
определение _ производной
 f ( x0 )  A( x  x0 )

f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ).
Сформулируем в этих обозначениях теорему 1.
Теорема 1а
F(x) дифференцируема в x0 тогда и только тогда, когда при x  x0 имеет
место формула:
f ( x)  f ( x)  f ( x0 )  A( x  x0 )  o( x  x0 )
При этом
A  f ( x0 ).
Определение 4.( формула линеаризации)
Пусть f(x) дифференцируема в x0 .Тогда при x близких к x0 имеет место
приближенная формула, называемая формулой линеаризации:
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) или
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )
Эта формула и
меет место при x, близких к x0, так как получается отбрасыванием в точной
формуле
f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o(x-x0)
слагаемого.очень маленького по сравнению с (x-x0).
Теорема 4.(формула для вычисления производной)
f ( x0 )  lim
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0
Доказательство.
Приращение дифференцируемой функции
f ( x)  f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )  o( x  x0 )  f ( x0 )( x  x0 )   ( x)( x  x0 )
по свойству «очень маленькой» функции, где
 (x )
бесконечно малая
при x  x0 .
Разделим это равенство на
(x-x0):
f ( x) f ( x)  f ( x0 )

 f ( x0 )   ( x).
x  x0
x  x0
f ( x) f ( x)  f ( x0 )
Итак, функция x  x0 
отличается от числа
x  x0
f ( x0 ) _ на _ бесконечно _ малую _  ( x).
По основному свойству конечных пределов
f ( x)
lim x  x
x  x0
0
 lim
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
 f ( x0 ) , что и требовалось.
x  x0
Теорема 2 . (еще необходимое и достаточное условие
дифференцируемости)
f(x) дифференцируема в x0 тогда и только тогда, когда существует
lim
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
 A,
x  x0
который будет в этом случае равен производной.
Доказательство.
По свойству конечных пределов
f ( x)  f ( x0 )
 A   ( x),
x  x0
где
 ( x)  бесконечно _ малая.
Умножая на x-x0, получим эквивалентное соотношение
f ( x)  f ( x0 )  A( x  x0 )  o( x  x0 )
-уже полученное условие дифференцируемости(теорема 1а)
Определение 5 (дифференциала).
Пусть f(x) дифференцируема в x0. Тогда дифференциалом f(x)в точке x0
называется приращение касательной к графику в той точке. Дифференциал
обозначается df(x0)
Теорема 5 (формула для дифференциала).
Пусть f(x) дифференцируема в x0. Тогда дифференциал от f(x) в x0 есть
произведение производной f ( x0 ) в этой точке на приращение икса dx:
df(x0)= f ( x0 ) dx
Доказательство.
Тангенс наклона касательной есть по определению f ( x0 ) .
Дифференциал по определению приращение касательной, т.е. произведение
ее углового коэффициента ни приращение икса:
df(x0)= f ( x0 ) dx.
Пример.
Примеры вычисления производных.(рис.3)
1. Производная константы есть 0. Действительно, график константы
есть горизонтальная линия, являющаяся касательной к самой себе в
любой точке. Ее угловой коэффициент равен 0 и равен производной.
2. x  1. Действительно, касательной к прямой является она сама. Ее
угловой коэффициент равен 1. И он равен производной.
3. sin x  cos x.
Вычислим по формуле (теорема 4)
x
x
2 sin
cos( x  )
sin( x  x)  sin x
2
2 
sin x   lim .
 lim
x
x
x 0
x 0
lim cos( x 
x 0
1 _ замечательный _ предел
x
sin
2
*
lim
x
x 0
( )
2
x
0
)  1 * cos( x  )  cos x
2
2
Второй из пределов вычисляется подстановкой в непрерывную
функцию предельного значения.
4.(e x )  e x
x
e x  x  e x
1
x e

(e )  lim
 lim e
x
x
x 0
x 0
x
e x  1
 e lim
x
x 0
x
вынесение _ константы _ за _ предел

один _ из _ замечательных _ пределов

e x *1  e x .
4.2 Арифметические свойства производных. Примеры. Производная
сложной функции. Производная обратной функции. Таблица
производных.
Теорема 6.(производная суммы, произведения и произведения на
константу)
Если f(x) и g(x) дифференцируемы в x0 , то дифференцируема и их сумма и
произведение Если c–число, то дифференцируема cf(x).
Если g ( x)  0, ,то дифференцируемо частное
f ( x)
.
g ( x)
При этом
( f ( x)  g ( x))  f ( x)  g ( x), _(cf ( x))  cf ( x),
( f ( x) g ( x))  f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)
f ( x)
f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)
(
) 
.
g ( x)
g 2 ( x)
Доказательство.
Вычислим пределы для производных, получив требуемые равенства.
а) для суммы функций:
lim
x 0
f ( x  x)  g ( x  x)  ( f ( x)  g ( x)
( f ( x  x)  f ( x))  ( g ( x  x)  g ( x))
 lim
x
x
x 0
предел _ суммы

lim
x 0
f ( x  x)  f ( x)
g ( x  x)  g ( x)
 lim
 f ( x)  g ( x).
x
x
x 0
б) для произведениия на число:
cf ( x  x)  cf ( x)
f ( x  x)  f ( x)
 lim c
lim
x
x
x 0
x 0
линейность _ пределов

cf ( x)
в) для произведения:
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
f ( x  x) g ( x  x)  f ( x) g ( x)
x
вычтем _ и _ прибавим _ одно _ и _ то _ же _ в _ числит.

f ( x  x) g ( x  x)  f ( x) g ( x  x)  f ( x) g ( x  x)  f ( x) g ( x)

x
предел _ суммы
g ( x  x)( f ( x  x)  f ( x))  f ( x)( g ( x  x)  g ( x))

x
f ( x  x)  f ( x)
g ( x  x)  g ( x)
g ( x  x)
 lim f ( x)
lim
x
x
x 0
x 0
lim g ( x  x) lim
x 0
x 0
2 раза _ предел _ произведения

f ( x  x)  f ( x)
g ( x  x)  g ( x)
 f ( x) lim
 g ( x) f ( x)  f ( x) g ( x)
x
x
x 0
(в последней строчке применяются формулы для производных и
вычисление подстановкой предела непрерывной из-за дифференцируемости
функции g(x)).
г)для частного; сначала найдем (
1
) через предел:
g ( x)
1
1

g ( x)  g ( x  x)
1
g ( x  x)  g ( x)
1
g ( x  x) g ( x)
 lim

(
)

lim
lim
x
g ( x) x0
x
g ( x  x)
x 0
x 0 g ( x  x) g ( x) x
g ( x)
g ( x)

 2
(в последней строчке применяются формулы для
g ( x) g ( x)
g ( x)
производной и вычисление подстановкой предела не прерывной из-за
дифференцируемости функции g(x))
Найдем теперь по формуле предыдущего пункта
f ( x)
1
1
1
(
)  ( f ( x)
)  f ( x)(
)  f ( x)(
)
g ( x)
g ( x)
g ( x)
g ( x)
предыдущая _ формула

f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)


что и требовалось.
g ( x)
g 2 ( x)
g 2 ( x)
Примеры. 1.При натуральном n
( x n )  nx n1 . Это верно для n=1. Будем доказывать по индукции. Пусть
утверждение верно для какого-то n. Докажем его для n+1. Т.е. надо
доказать, что ( x n1 )  (n  1) x n . Действительно,
производная _ произведения
(x
n 1
)  ( x x)
n
предпол. _ индукции
( x ) x  x x 

n
n

nx n 1 x  x n *1  nx n  x n  (n  1) x n
что и требовалось. Например, x2’=2x, x3’=3x2 и т.д.
2.При целом n  0
1
( x )  (  n )
x
n
производная _ дроби
1 x  n  ( x  n )
 (n) x  n 1


 nx n 1 , та же формула!
2n
2n
x
x
При n=0 она тоже верна (проверьте!)
4. tgx  
tgx 
1
sin x
. По теореме о производной дроби
. Имеем tgx 
2
cos x
cos x
sin x cos x  sin x cos x cos x cos x  sin x( sin x) cos 2 x  sin 2 x
1



.
2
2
2
cos x
cos x
cos x
cos 2 x
Теорема 7(производная сложной функции)
Пусть g (x ) дифференцируема в x0 ,f(y) дифференцируема в y0=g(x0). Тогда
сложная функция f(g(x)) дифференцируема в x0 и ее производная равна
( f ( g ( x0 ))  f ( g ( x0 ) g ( x0 ).
Доказательство.
Вычислим производную: при g  0 в O ( x0 ). имеем
lim
x 0
y  g ( x0  x), y 0  g ( x0 )

f ( g ( x0  x)  f ( g ( x0 )) 
 при _ x  0 _ будет _ y  y 0 из _ непрерывности _ g ( y ).
x

умножим _ и _ поделим _ на _ y  y 0  g  0

 lim
x 0
y  y0
lim
y  y0
f ( y)  f ( y0 ) y  y0
f ( y )  f ( y 0 ) g ( x0  x)  g ( x0 )
 lim
y  y0
x
y  y0
x
x 0
предел _ произведения

y  y0
f ( y)  f ( y0 )
g ( x0  x)  g ( x0 )
 f ( y0 ) g ( x0 )  f ( g ( x0 )) g ( x0 ).
lim
y  y0
x
x 0
Есди
g  0 в точках любой окрестности
O ( x0 ), то g ( x0 )  0 . И отношение
0, при y  g ( x0  x)  y 0  g ( x0 )

f ( g ( x0  x)  f ( g ( x0 )) 

 f ( g ( x0 ) * g ( x0 )  0 _, если ).
x
 умножим _ и _ поделим _ на _ y  y  g  0
0

То есть предел
0  f ( g ( x0 )) g ( x0 ).
Пример.
сложная, _ внешняя _ e x , внутр.  x ln a
(a x )  (e x ln a )

e x ln a ( x ln a)  a x ln a.
Теорема 8(производная обратной функции)
Пусть f(x) дифференцируема в x0, причем f ( x0 )  0, f ( x0 )  y0 . Пустьf(x)
имеет в некоторой окрестности x0 обратную функцию g(y), определенную в
окрестности y0. Тогда g(x) дифференцируема в y0,причем g ( y 0 ) 
1
.
f ( x0 )
Графическое пояснение к доказательству(рис.4, вместе с рис.3 выше)
.Дифференцируемость означает наличие касательной к графику в точке .
Так как график обратной функции g(x) симметричен графикуf(x)
относительно y=x , и точка x0 симметрична точке y0 , то график g(x) будет
иметь касательную в y0, симметричную касательной для f(x) в x0. В силу
симметрии угол наклона касательной угловой коэффициент касательной к
графику g(x) в y0 будет дополнять угол наклона  касательной к графику

и его тангенс, равный производной g ( y 0 ) будет равен
2

1
1
tg (   )  ctg 

. Так как производная-это угловой коэффициент
2
tg
f ( x0 )
f(x) в x0 до
касательной, то
существует g ( y 0 ) 
1
.
f ( x 0 )
Примеры.
1. ex- обратная к lnx.. Условия теоремы 8 выполнены для всех точек
x= ey из области определения lnx. Поэтому ln x  
1
ey


1 1
 ..
ey x
2 arcsinx обратная к sinx. Условия теоремы 8 выполнены для всех
точек x= siny из области определения arcsinx . Поэтому
arcsin x  
1
1
1
1



.
sin y  cos y
1  sin 2 y
1 x2
3 arctgx обратная к tgx. Условия теоремы 8 выполнены для всех точек
x= tgy из области определения arctgx . Поэтому
1
1
1


.
2
1
1  tg y 1  x 2
(
cos 2 y )
4 Покажем, что для любого альфа ( x )  x  1 .
сложная _ функция

( ln x )

 ln x
Имеем x  e . Тогда ( x )  (e
)

e ln x ( ln x) 
arctgx  
= x 
1

tgy 
1
 x  1 .
x
Итак, приведем основные производные, через которые вычисляются
остальные.

x   x  1 ,

a x  ln a * a x ,
1
log a x  
,
ln a * x
sin x   cos x,
cos x    sin x,
1
tgx  
,
cos 2 x
1
,
sin 2 x
1
arcsin x 
,
1 x2
1
arctgx  
.
1 x2
ctgx   
4.3 Точки экстремума. Необходимое условие ( Теорема Ферма).
Свойства функций, имеющих производную на
интервале.(Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши)
Определение 6.(точки экстремума).
Пусть f(x) определена в окрестности точки x0.
а) x0 называется точкой максимума функции, если значание
функции в этой точке не менее значений ее в некоторой проколотой
окрестности точки. Максимум называется строгим , если функция в
точке строго больше ее значений в некоторой проколотой
окрестности этой точки.
б) x0 называется точкой минимума функции, если значение
функции в этой точке не превосходит ее значений в некоторой
проколотой окрестности точки. Минимум называется строгим , если
функция в точке строго меньше ее значений в некоторой проколотой
окрестности точки.
Точки максимума и точки минимума функции называются точками
экстремума.
Примеры.
1.y=x2. x=0 – точка экстремума (строгого минимума).
2. y= x . x=0 -точка экстремума (строгого минимума).


2
2
3.y=sinx, x=  n, n  целое -точки экстремума. Причем

  ( 2n  1), n–
целое- точки минимума.  2n , n–целое- точки максимума, (см. рис. 5).
2
Заметим, что на первом и последнем рисунке все касательные в точках
экстремума горизонтальны, а на втором рисунке касательная в точке
экстремума не существует. Это будет верно и в общем случае. А именно,
справедлива
Теорема 9(т.Ферма, необходимое условие экстремума)
Пусть x0 –точка экстремума для функции f(x) . Тогда либо производная этой
функции в x0 не существует, либо она равна 0.
Доказательство.
Пусть производная в точке экстремума существует. Тогда она равна
f ( x0 )  lim
x  x0
lim
x  x0 
f ( x)  f ( x 0 )
x  x0
связь _ двустороннего _ предела _ с _ односторонними

f ( x)  f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )
 lim
. Пусть для определенности x0–точка
x  x0
x  x0
x x 0
минимума(в точке максимума все аналогично). Тогда всегда f(x)-f(x0)
неотрицательно. x-x0 имеет разные знаки справа и слева от x0. Поэтому
выражение под знаком предела x  x0  неположительно, а под знаком
предела x  x0  неотрицательно. По теореме о переходе к пределу в
неравенствах сам предел при x  x0  будет неположителен, а при x  x0 
неотрицателен. Но эти пределы совпадают, поэтому оба равны 0, что и
требовалось.
Далее доказаны несколько теорем для дифференцируемых на интервале
и непрерывных на отрезке функций.
Теорема 10 (Ролля)
Пусть f(x) дифференцируема на интервале (a,b) и непрерывна на отрезке
[a,b], причем f(x) принимает одинаковые значения в концах отрезка:
f(a)=f(b).
Тогда внутри интервала есть точка c , где f (c)  0.
Доказательство.
Так как f(x) непрерывна на отрезке, то по второй теореме Вайерштрасса
на отрезке есть точки, где f(x) принимает максимальное и минимальное
значения.
Если максимальное значение совпадает с минимальным, то функции
постоянна на отрезке, и ее производная равна 0 во всех точках интервала и
все доказано.
Если минимальное значение строго меньше максимального, то хотя бы
одно из них принимается не в концах отрезка, так как там значения
совпадают.
Пусть это точка с  (a, b) . Там максимум либо минимум на всем отрезке, а
значит и локальный экстремум. В этой точке интервала существует
производная по условию теоремы. Но по теореме Ферма(т.9) эта
производная равна 0: f (c)  0, что и требовалось доказать.
Замечание. По определению производной касательная в точке, где
f (c)  0, горизонтальна, параллельна оси OX ,
и прямой, соединяющей граничные точки графика (рис. 6)
Аналогичная ситуация имеет место и в случае несовпадающих значений на
концах.
Теорема 11(Лагранжа)
Пусть f(x) дифференцируема на интервале (a,b) и непрерывна на отрезке
[a,b]. Тогда внутри интервала есть точка c , где ,касательная параллельна
прямой, соединяющей граничные точки графика, т.е.
f (c) 
f (b)  f (a )
.
ba
Доказательство.
По рис.7(выше, вместе с рис.6).
видно, что угловой коэффициент прямой ,соединяющей граничные точки
графика, есть
f (b)  f (a )
. Поэтому достаточно найти
ba
точку с таким значением производной f(x). Заметим, что по угловому
коэффициенту и начальной точке уравнение прямой, соединяющей концы
графика будет. y   ( x)  f (a)  ( x  a)
f (b)  f (a )
. Причем эта функция
ba
дифференцируема во всех точках и производная ее равна угловому
коэффициенту. Ее значения на концах отрезка совпадают со значениями
f(x).
Поэтому разность f(x)-  (x ) дифференцируема на интервале, непрерывна на
отрезке и принимает равные значения на концах. Значит по предыдущей
теореме 10 существует точка , в которой производная разности равна 0.
Это значит, что в ней производные f(x) и  (x ) совпадают. Так как
производная линейной функции всегда равна угловому коэффициенту
графика, то также
f (c) 
f (b)  f (a )
(угловому коэффициенту прямой), что
ba
и требовалось.
Теорема 12(Коши)
Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a,b) и непрерывны на
отрезке [a,b], причем g(x) строго монотонна и ее производная не
обращается в 0 на интервале. Тогда внутри интервала есть точка c , где
f (c) f (b)  f (a)
.

g (c) g (b)  g (a)
Доказательство.
Пусть h(x)–обратная к g(x). По теореме о непрерывности обратной она
непрерывна на отрезке, по теореме о дифференцируемости обратной она
дифференцируема на интервале, причем ,если g(c)=x, то h( x) 
1
.
g (c)
При этом h(x) определена на отрезке с концами g(a), g(b) и имеет
областью значений [a,b]. Причем h(g(a)=a, h(g(b)=b. Поэтому можно
рассмотреть сложную функцию
f(h(x),определенную на отрезке с концами g(a), g(b) и . с f(h(g(a)))=f(a),
f(h(g(b))=f(b). Она непрерывна на отрезке с концами g(a), g(b),
дифференцируема на соответствующем интервале. Поэтому по теореме
Лагранжа существует где x,
f (b)  f (a)
. При этом по теореме о производной сложной
g (b)  g (a)
функции ( f (h( x)))  f (h( x)) h( x) . Если h(x)=c, то по теореме о производной
1
обратной функции h( x) 
. Тогда ( *) перепишется как
g (c)
1
f (c) f (b)  f (a)
что и требовалось.
f (c) *


g (c) g (c) g (b)  g (a)
( f (h( x)) 
(*)
4.4 Применениепервой производной к исследованию функций:
достаточные условия монотонности и экстремума через первую
производную. Примеры.
Перейдем к применению производной к исследованию функций.
Теорема 13(достаточные условия монотонности)
Пустьf(x) дифференцируема на интервале (a,b) и непрерывна на отрезке[a,b] ,
причем ее производная сохраняет знак на интервале. Тогда f(x) строго монотонна
на отрезке. Причем если f ( x)  0 , то f(x) строго возрастает, если f ( x)  0 , то f(x)
строго убывает.
Доказательство.
Пусть a  x1  x2  b . Тогда по теореме Лагранжа существует точка
с  ( x1 , x2 )  (a, b) ,такая, что f ( x2 )  f ( x2 )  f (c)( x2  x1 ) . Так как x2>x1 , то разность
f(x2)-f(x1) имеет знак производной, т.е. положительна при положительной f (c ) и
отрицательна при отрицательной производной. В первом случае имеем строгое
возрастание, во втором строгое убывание, т.е. всегда функция строго монотонна.
Пример. Найти интервалы монотонности функцииf(x)= x3-12x+1.
Для этого вычисляем ее производную.
f ( x)  3x 2  12 и находим ее интервалы знакопостоянства, приравнивая ее к нулю
3x2-12=0;
x2=4;
x  2;
Далее наносим нули производной на ось и определяем знаки на интервалах между
нулями, либо по поведению квадратного трехчлена, либо просто беря пробные
точки. Результат можно представить схемой рисунка 8.
По этой сxеме видно, что функция имеет локальный максимум в -2 , локальный
минимум в 2, до -2 возрастает, после 2 тоже возрастает. Посчитав значения в 2,+2 и пределы на   , можно приблизительно набросать график.
f(-2)=17;
f(2)=-15;
берем _ главное _ слагаемое _
3

lim x  12 x  1
lim x  .
3
x 
x 
“Табличка с этими результатами и график приведены на рис. 8 (выше, вместе с
рис.6,7).
Для уточнения можно вычислить еще
f(0)=1. Найти пересечение графика с осью OX .т.е. решить уравнение 3 степени
x3-12x+1=0 известными вам методами здесь не удается.
В примере видно, что между интервалами монотонности производной разных
знаков находятся локальные экстремумы. Этот факт доказывается далее .
Предварительно дадим следующее определение.
Определение 7.
Пусть f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0.
Говорят, что функция f(x) меняет знак в точке x0, если существует окрестность
точки O ( x0 ) , такая, что в правой ( x0, x0   ) и левой ( x0   , x0 ) ее полуокрестностях
функция имеет постоянные, но разные знаки.
Пример.
f(x)=x2-4=(x+2)(x-2) меняет знаки в x=-2 с “+” на “-“, в x=+2 с “–“ на” +”.
Теорема 14(достаточные условия экстремума через 1 производную).
Пусть f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки x0,
Причем ее производная равна 0 в точке x0 и меняет в ней знак .
Тогда x0-точка экстремума для f(x). Причем если знак производной меняется в x 0
с «+» на «-», то x0-точка максимума, если с «-» на «+», то x0-точка минимума.
Доказательство.
Разберем случай, когда знак производной меняется с «-» на «+», в противном
случае доказательство аналогично. В этом случае f (x) отрицательна на
некоторой левой полуокрестности ( x0   , x0 )
точки x0 и положительна в
( x0 , x0   )
.
Поэтому по теореме 13
f(x) строго убывает в ( x0   , x0 ] и строго возрастает в [ x0 , x0   ). Значит во всей
проколотой окрестности ( x0   )  ( x0   ) функция строго больше f ( x0 ). (см. рис.
9) А это определение строгого минимума в точке x 0 .
4.5 Производные высших порядков и их использование: Достаточные
условия экстремума с использованием второй производной.
Определения точек вогнутости, выпуклости
и перегиба. Вывод достаточных условий вогнутости, выпуклости и перегиба.
Для исследования функций используются также производные высших
порядков, в основном второго. Определим эти понятия.
Определение 8(производные порядка n).
Пусть f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0 .
Тогда второй производной f ( x0 ) функции f(x) в точке x0 называется
производная от ее производной:
f ( x0 )  ( f ( x))
x  x0
.
Аналогично, если определена производная порядка n в некоторой окрестности
точки, то n+1-ой производной от f (x) в точке x 0 называется производная от ее
n-ой производной в этой точке:
f
( n 1)
( x0 )  ( f
(n)
( x))
x  x0
.
1
x
Пример. (ln( x))  ((ln x))  ( )  ( x 1 )   x 2  
arctgx   ((( arctgx)))  ((
1
.
x2
1
))  (( x 2  1) 1 ))  (2 x( x 2  1)  2 )  2( x 2  1)  2 
x 1
2
4 x( x 2  1) 3  ( x 2  1) 3 (2 x 2  2  4 x)  8
( x  1) 2
.
( x 2  1) 3
Теорема 15(достаточные условия экстремума через 2 производную)
Пусть f(x) имеет в окрестности x0 вторую производную, которая там сохраняет
знак. Причем f ( x0 )  0. . Тогда x0 –точка экстремума, максимума, если f ( x0 )  0
и минимума, если f ( x0 )  0.
Доказательство.
Пусть f (x) сохраняет знак в O ( x0 ) и пусть этот знак «+»(случай знака «-»
аналогичен). Так как вторая производная есть производная от первой, то по
теореме 13 f (x) строго возрастает в этой окрестности. Так как она равна 0 в x0,то
в левой полуокрестности она <0, а в правой >0. То есть f (x) меняет знак в с «-»
на «+» в точке x0.
Тогда по теореме 14 x0- точка минимума.
Следствие. Вторая производная будет сохранять знак в окрестности точки x0,
если она непрерывна в некоторой ее окрестности и f ( x0 )  0 (Знак непрерывной
функции сохраняется в окрестности точки). Поэтому теорема выполнена в этом
случае, если f ( x0 )  0.
Пример. y=x2, y   2 x, _ y (0)  0, _ y ( x)  2  0 _ и непрерывна всюду, в частности в
окрестности 0. Поэтому 0-точка минимума по следствию теоремы 15.
Через вторую производную можно также определить характер выпуклости
графика.
Определение 9(выпуклость, вогнутость)
Пусть f(x) имеет вторую производную в точке.
Тогда график функции называется вогнутым в точке x0, если в некоторой
окрестности точки он лежит выше касательной к графику в точке x0.
График называется выпуклым в точке x0, если в некоторой окрестности
точки он лежит ниже касательной к графику в точке x0.
График функции называется вогнутым(выпуклым) на интервале, если он
вогнутый(выпуклый) в каждой точке этого интервала.
Пример (рис.10, выше вместе с рис.9))
y=x2 вогнута в любой точке.
y=lnx выпукла в любой точке.
1
x
Заметим, что ( x 2 )  2  0, (ln x)  ( )  
1
 0 в области определения
x2
натурального логарифма. Эту закономерность доказывает следующая теорема.
Теорема 16(достаточные условия вогнутости и выпуклости)
Пусть вторая производная функции сохраняет знак на интервале. Тогда если это
знак «+», то график функции вогнут на этом интервале, если это знак «-», то
график там выпуклый.
Доказательство.
Пусть знак второй производной f(x) на (a,b) будет «+»(для знака «-»
рассуждаем аналогично). Пусть x0  (a, b) . Так как вторая производная есть
производная от первой, то по теореме 13 первая производная строго возрастает
на интервале при положительной второй. А значит и возрастает коэффициент
наклона касательной к графику. Рассмотрим касательную к графику в точке x0.
Если x1 из интервала лежит справа от x0 и график в этой точке ниже касательной
в x0, то наклон хорды графика между x0 и x1 меньше наклона касательной в x0. Но
по теореме Лагранжа между x0 и x1 также справа от x0 найдется x2, с наклоном
касательной в ней , равным наклону хорды и меньшему, чем наклон касательной
в x0. Это противоречит возрастанию наклона касательной на интервале.
Т.е. справа от x0 график лежит над касательной в x0. Аналогично слева от x0
график также не может лежать под этой касательной (рис.11).
Поэтому всюду на интервале график лежит над касательной в x0 и, значит,
является выпуклым в x0.
Так как x0-любая точка интервала (a,b), то график будет выпуклым на этом
интервале.
Пример y=x3. y   3x 2 , _ y   6 x. Производная всегда положительна. Значит по
теореме 13 функция строго возрастает на оси. Поэтому локальных экстремумов
нет, хотя поизводная обращается в 0 в точке x=0. Но знак она в этой точке не
меняет, и экстремума там нет. Вторая производная равна 0 в точке x=0. Она
отрицательна слева от 0 и положительна справа от 0. По достаточному условия
Вогнутости-выпуклости (теорема 16) слева от 0 график выпуклый, справа от 0вогнутый. В нуле выпуклость меняется на вогнутость, график в ней имеет
характерный «изгиб»(рис.12, ниже вместе с рис.14). Это должно быть изображено
не графике.
Такие точки называются «точками перегиба». Дадим им точное определение.
Определение 10(точка перегиба)
Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0 и непрерывна в этой
точке, причем ее график имеет разный характер выпуклости в левой и правой
проколотых полуокрестностях. Тогда точка x0 называется точкой перегиба
графика функции f(x).
Пример точки перегиба приведен перед этим определением. Приведем
достаточные условия точки перегиба, используя достаточные условия
выпуклости-вогнутости.
Теорема 17(достаточные условия точки перегиба)
Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0 , причем имеет в
проколотой окрестности вторую производную, которая меняет знак в точке x0
(см. определение 7) Тогда x0- точка перегиба графика функции f(x).
Доказательство.
o
Так как вторая производная меняет знак в x0, то в некоторой окрестности O  ( x0 )
в левой и правой ее полуокрестностях ( x0   , x0 ) _ и _( x0 , x0   ) вторая производная
имеет разные знаки. Тогда по теореме 15 в этих полуокрестностях будет разный
характер выпуклости-вогнутости, т.е. x0-точка перегиба.
Замечание. Если вторая производная непрерывна в x0, то в условиях теоремы
она равна там 0. Но это не обязательно, что покажет следующий пример.
Пример.
y  3 x , _ y ( x) _ y ( x)
определены всюду , кроме x=0. y ( x) 
1
3
3 x
2
, _ y   
2
3
9 x
5
.
Производная положительна в ее области определения и непрерывная функция
возрастает на всей прямой по теореме 13.
Вторая производная меняет знак в 0(хотя и не существует в 0!) Поэтому по
теореме 17 x=0-точка перегиба графика функции.
4.6 Асимптоты к графику. Их виды. Формулы для нахождения.
1
x
Пример. y  . Функция не определена в 0 и
1
1
lim x  , _ lim x  . При
x 0
x 0
Это выражается на графике в том, что он и слева и справа бесконечно
приближается к вертикальной прямой x=0. Это нужно отмечать на графике(рис.
14).
А прямая x=0 называется вертикальной асимптотой к графику функции.
Определение 11(вертикальной асимптоты к графику)
Пусть функция f(x) определена в правой ( или левой) полуокрестности точки
x0 и предел функции при x  x0  (или при x  x0  ) равен   . Тогда прямая
x=x0 называется вертикальной асимптотой к графику f(x).
В примере перед определением прямая x=0 является двусторонней
асимптотой. Приведем пример односторонней асимптоты.
Пример.
y
1
x
. Функция определена только справа от x=0.
lim
1
x
x 0 
 .
Прямая x=0-односторонняя вертикальная асимптота(рис.15-выше вместе с
рис.14).
Пример. y=arctgx. Имеем

lim arctgx   2 . На графике это выражается тем,
x 
он бесконечно приближается к горизонтальной прямой y 
горизонтальной прямой y  

2

2
на   и к
на   (рис.16 выше вместе с рис.14).). Эти
прямые называются горизонтальными асимптотами и должны быть видны на
графике.
Определение 12(горизонтальной асимптоты к графику)
Если функция f(x) определена в окрестности   (или в окрестности   )
и имеет конечный предел lim f ( x)  a (или lim f ( x)  a ), то прямая y=a
x  
x  
называется горизонтальной асимптотой к графику f(x) на   (или на   ).
В подготовительном примере имеем две разные асимптоты на   и на   .
Бывает только одна асимптота, так y=ex имеет горизонтальную асимптоту
y=0 на   (рис.17).
Бывают общие асимптоты на   и на   как у y  arctg x
(рис.18–выше вместе с рис.17), общая горизонтальная асимптота на   и на   :
y

2
.
Замечание. По свойствам конечных пределов при наличии горизонтальной
асимптоты y=a на   при x   _ имеем _ f ( x)  a   ( x), _ где _  ( x)  бесконечно
малая при x  .
График функции может приближаться не только к вертикальным или
горизонтальным прямым, но и к наклонным. Это может быть только на  
и по аналогии с горизонтальными асимптотами выражается следующим опре-
делением.
Определение 13(наклонной асимптоты к графику)
Пусть функция f(x) определена в окрестности   (или в окрестности   )
и приближается на   (или на   ) к прямой y=kx+b, k  0 , что выражается
следующим равенством
f ( x)  kx  b   ( x), _ где _  ( x)  бесконечно _ малая _ при _ x  (или _ x  ).
Тогда прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой к графику функции
при x   (или при x   ).
1
1
1
. Так как 1  2  1  2 при x   , то
2
x
x
2x
1
1
1
1
1
1
1  2  1  2  o( 2 ) _ или _ 1  2  1  2  o( 2 ).
x
2x
2x
x
2x
2x
x
1
1
1
1
1
Отсюда y  x (1  2  o( 2 ))  x  2  o( )   x   o( ) _ при _ x  .
x
2x
x
2x
2x
2x
1
1
Так как   o( )   ( x)  бесконечно малая при x   , то получим
2x
x
Пример. y  x 2  1  x 1 
y  x 2  1   x   ( x) и по определению прямые y   x будут наклонными
асимптотами к графику на   .
Далее мы получим формулы для вычисления наклонных асимптот, которые
позволяют получить их проще.
Замечание. Если y=kx+b –наклонная асимптота к графику f(x) при
x   или x   , тогда по определению
f ( x)  kx  b   ( x), _ где _  ( x)  бесконечно _ малая _ при _ x  (или _ x  ).
Так как k  0 , то  ( x)  (kx  b)
 ( x)
kx  b
 (kx  b)  ( x)  o(kx  b) . Поэтому
1) f ( x) ~ kx  b ~ kx при
x   или x   .
f ( x)
f ( x)
 1, _(или _ lim
 1) . Это при k  0 эквивалентно
x  kx
x  kx
f ( x)
k
lim
x
x 
f ( x)  kx  b   ( x), _ где _  ( x)  бесконечно _ малая _ при _ x  (или _ x  ).
2) lim
3)
Это по основному свойству конечных пределов означает
lim f ( x)  kx  b
x  
Итак, получена
Теорема 18.
Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой к графику функции f(x)
при x   (или при x   ) тогда и только тогда, когда
f ( x)
lim x  k
2) lim f ( x)  kx  b
1)
x 
x  
Например, для y=lnx
ln x
 0 (по шкале бесконечности). Наклонных асимптот нет. Но могут быть
x  x
горизонтальные. Проверяем: lim ln x   . Горизонтальных асимптот тоже нет.
lim
x  
Так как элементарные функции непрерывны в области определения, то для них
вертикальные асимптоты могут быть только на границах области определения.
Граница области определения lnx есть x=0. lim ln x   . x=0 –вертикальная
x 0 
асимптота.
4.7 Схема полного исследования функций с построением графика. Примеры
Теперь нами уже разобраны все моменты построения графика, которые мы
можем объединить в общую схему.
Для полного исследования функции надо последовательно найти следующее:
1. Область определения функции.
2. Четность, нечетность, периодичность.
3. Пересечения с осями координат(нули, значение в нуле), интервалы
знакопостоянства функции.
4. Пределы на границах области определения (в частности на   ).
(Здесь определяются вертикальные и горизонтальные асимптоты).
5. Нули, интервалы знакопостоянства производной. (Здесь определяются
интервалы монотонности и экстремумы самой функции).
6. Нули, интервалы знакопостоянства второй производной.(Здесь
определяются интервалы выпуклости-вогнутости, точки перегиба самой
функции)
7 Вычисление наклонных асимптот.
Далее приступаем к построению графика. В начале необходимо составить
табличку значений функции по возрастанию x :
x
0
вычислить вычислить вычислить
y вычислить
0
вычислить вычислить
y


0

y 
знак
знак
знак
0
Все полученные точки наносятся в самом начале.
Можно, конечно, вычислять значения производной во всех этих точках, что даст
направление касательной к графику в точках, но это имеет смысл только при
одинаковом масштабе по осям и при точном соблюдении масштаба на чертеже.
Например, это может делать компьюторная программа.
После этого стоит нарисовать пунктиром все асимптоты.
Затем полученные точки соединяются слева направо гладкими кривыми
линиями с соблюдением характера выпуклости по знаку 2 производной и
учитывая приближение к нарисованным асимптотам.
В случае четной или нечетной функции можно строить график на полуоси,
Потом продолжить симметрично. В случае периодической надо сделать это на
одном периоде и еще хотя бы один нарисовать со сдвигом на период.
Пример .
y  x2 1
1.Область определения- вся прямая.
2. Функция четная.
3.y(0)=1, нулей нет, значит, график не пересекает ось OX. Знак всегда «+».
4. lim x 2  1  . Горизонтальных и вертикальных асимптот нет.
x 
5. y  
x
x 1
2
. _ y ( x)  0  x  0, _ Производная положительна на (0,),
отрицательна на (-  ,0). Соответственно, функция убывает на (,0),
возрастает на (0,).
x2 1 
x2
x2 1

x2 1
6. y  
1
( x  1)
2
3
2
. Вторая производная не обращается в 0 и
Всегда положительна. Поэтому график везде вогнутый.
7. Наклонные асимптоты для этой функции были найдены в примере
к определению 13. Там они найдены были непосредственно без использования
формул теоремы 18. Сейчас мы найдем их по этим формулам. Результат должен
быть тем же самым. Найдем пределы.
lim
x 
lim
x  
f ( x)
x2 1
 lim
x
x
x 
x 2  1  x  lim
x  
выделим _ главное _ слагаемое _ под _ корнем
x

 lim  1  k.
x  x
x2 1 x2
x2 1  x
 lim
x 
1
x 1
1
 x
x2
 lim
x  
1
 0  b.
2x
Итак, оба предела конечны, поэтому получили наклонные асимптоты на
  _ у   x.
Строим табличку значений функции.
x
y
y
y 
0
1
0

Здесь получилась 1 точка
Порядок нанесения графика см.на рис. 19(-выше вместе с рис.17,18)
4.8 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора. Стандартные разложения по
формуле Маклорена.
Ранее мы могли по значению функции и ее производной в точке написать
формулу линеаризации - приближенное значение функции в окрестности точки.
Возникает вопрос, можно ли получить лучшее приближение функции в
окрестности точки, используя значения ее производных высших порядков.
Что касается многочлена степени n, то оказывается, что его можно полностью
воссстановить по значениям функции и n ее производных в какой-то точке. Это
Доказывает следующая теорема.
Теорема 19 (восстановление м-на степени n по n производным).
Пусть дан многочлен n –ой степени Pn ( x)  a n x n  a n1 x n1  ...  a1 x  a0 .
Тогда для его коэффициентов верна формула:
ak 
Pn
(k )
(0)
, k  0,...n.
k!
Доказательство.
Имеем

a k x k  a k kx k 1 ,

a k x k  a k k (k  1) x k  2 ,
.....................................
ak x k
(s)
 a k k (k  1)...( k  s  1) x k  s ,
......................................
ak x k
(k )
ak x k
 a k k (k  1)....( k  k  1)  a k k!
( k 1)
0
как и все остальные производные.
Причем в точке x=0 все производные равны нулю, кроме k-ой, которая равна
ak x k
(k )
x 0
 ak k!.
Pn ( x)  a n x n  a n 1 x n 1  ..  a k x k  a k 1 x k 1  ...  a1 x  a 0
(k )
Поэтому
Pn (0)  ak k!.
Следствие 1. Любой многочлен степени n равен


(n)
Pn (0)
Pn (0) 2
Pn (0) n
x
x  ... 
x .
(*) Pn ( x)  Pn (0) 
1!
2!
n!
Следствие 2. В силу следсвия 1 многочлен степени n восстанавливается по
значению в нуле его самого и его n производных.
Заметим, что многочлен в правой части (*) мы можем записать для любой
функции, имеющей в точке 0 n производных. Этот многочлен имеет
специальное название.
Определение 14 (многочлена Тейлора)
Пусть функция f(x) имеет в точке x=x0 производные до порядка n.
Тогда многочлен
Tn ( x  x0 )  f ( x0 ) 
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n
1!
2!
n!
называется многочленом Тейлора порядка n в точке x0 для функции f(x).
Следствие 1 к теореме 19 можно теперь переформулировать так:
«Многочлен порядка n равен своему многочлену Тейлора порядка n в точке 0 (на
самом деле в любой точке x0)».
Конечно функция, которая не является многочленом, не может совпадать со
своим многочленом Тейлора любого порядка, но можно предполагать, что
функция
хорошо приближается своим многочленом Тейлора высокого порядка в
окрестности точки x0 . И это предположение оправдывается. Действительно,
формула линеаризации, которой мы уже пользовались для приближения функции
в окрестности точки, является не чем иным, как многочленом Тейлора порядка 1
в этой точке. Правда при использовании этой формулы для приближения не была
дана оценка погрешности этого приближения. Для приближения функции
многочленом Тейлора оценка погрешности приближения будет указана в
следующей теореме. Для ее доказательства нам понадобится следующая лемма.
Лемма.
Пусть функция f(x) имеет в точке x=x0 производные до порядка n.
Тогда значения в точке x=x0 многочлена Тейлора порядка n и всех его n
производных совпадают с соответствующими значениями функции f(x) и ее n
производных.
Доказательство. Даем для случая x0=0. Для других точек это получается
заменой x-x0=y (Проверьте!).
Применим теорему 19 к многочлену Тейлора
Tn ( x)  a n x n  ...  a k x k  ...  a1 x  a0 
Здесь будет a k 
f ( n ) (0) n
f ( k ) (0) k
f (0)
x  ... 
x  ... 
x  f (0).
n!
k!
1!
f ( k ) (0)
k!
По теореме 19
k
Tn (0)
f ( k ) (0)
 ak 
k!
k!
для k=0,1,2,…n.
Поэтому
f ( k ) (0)  Tn (0), _ k  0,1,...n что и требовалось.
(k )
Теорема 20(формула Тейлора для x0=0 в форме Пеано)
Пусть f(x) имеет в окрестности точки 0 производную порядка n,непрерывную в
этой точке. Тогда справедлива следующая формула, называемая формулой
Тейлора:
f(x)=Tn(x)+0(xn) при x  0 , где Tn(x)-многочлен Тейлора для f(x) порядка n в
точке 0.
Доказательство.
Достаточно доказать, что h(x)=f(x)-Tn(x)=o(xn), или, что то же самое
lim
x 0
h( x)
 0.
xn
Из условия и арифметических свойств производных h(x) имеет в окрестности
точки 0 все производные до порядка n, из которых сама функция и n-1
производная непрерывны в этой окрестности, а n-ая производная непрерывна в 0.
Функция xn обладает теми же свойствами. Поэтому к h(x) и xn, равно как и к n-1
их производной применима теорема Коши (теорема 12)
Сделаем это, воспользовавшись тем, что по лемме значение функции h(x) и ее n
производных в точке 0 равны 0. То же самое верно для xn .
Пусть x принадлежит окрестности, где определена n-ая производная функции
h(x). Имеем существование точки x1 между 0 и x, x2 между 0 и x1 и т.д.:
h( x) h( x)  h(0)

xn
x n  0n
h( x 2 )
n(n  1) x 2
n2
формула _ Коши
h(0)  0
формула _ Коши _ для _ пр  х
h( x1 )
h( x1 )  h(0)



n 1
n 1
nx1
nx1  n0 n 1
h(0)  0

h( x 2 )  h(0)
n(n  1) x 2
n2
 n(n  1)0 n  2
 ... 
h ( n) ( xn )
n(n  1)...( n  n  1) x n
nn
h ( n) ( xn )

0 ,
n!
x  x0
т.к. h(n)(x) непрерывна в 0, xn лежит между 0и x, которое стремится к 0.
Поэтому xn также стремится к 0.
Как следствие заменой переменной получается отсюда формула Тейлора для
любого x0.
Теорема 20а ( формула Тейлора для любого x0 в форме Пеано)
Пусть f(x) имеет в окрестности точки x0 производную порядка n,непрерывную в
этой точке. Тогда справедлива следующая формула, называемая формулой
Тейлора:
f(x)=Tn(x-x0)+0((x-x0) n) при x  x0 , где Tn(x)-многочлен Тейлора для f(x)
порядка n в точке x0.
Доказательство.
Сделаем замену x-x0=t . Тогда f(x)=f(t+x0). Причем как производная сложной
функции f t (t  x 0 )  f x ( x)(t  x0 )t  f x ( x),... f t ( n ) (t  x0 )  f x( n ) ( x) и f(t+x0) имеет
производную порядка n в окрестности 0, непрерывную в t=0. Поэтому для нее
верна формула Тейлора:
f(t+x0)=Tn(t)+0(tn).
Вернемся обратно к x, положив t=x-x0:
f(x)=Tn(x-x0)+o((x-x0)n), что требовалось доказать.
Эта формула оценивает порядок погрешности при замене исходной функции
многочленом Тейлора. Существует другая форма формулы Тейлора, которая
позволяет оценить эту погрешность численно.
Теорема 21(формула Тейлора для x0 =0 в форме Лагранжа)
Пусть f(x) имеет в окрестности точки 0 производную порядка n+1. Тогда
справедлива следующая формула, называемая формулой Тейлора в форме
Лагранжа
f(x)=Tn(x)+
f ( n1) ( xn1 ) n1
x где xn+1 между 0 и x, а Tn(x)-многочлен Тейлора для
(n  1)!
f(x) порядка n в точке 0.
Доказательство
Проводится аналогично теореме 20. Формула Коши применяется к
f ( x)  T n ( x)
x n 1
n+1 раз с получением так же обозначенных точек xk, монотонно
Приближающихся от x к 0 при k=1,2,…,n+1 .
Аналогично существует формула Тейлора в форме Лагранжа для любого
x0:
Теорема 21а ( формула Тейлора для любого x0 в форме Лагранжа)
Пусть f(x) имеет в окрестности точки x0 производную порядка n+1. Тогда
справедлива следующая формула, называемая формулой Тейлора в форме
Лагранжа:
f(x)=Tn(x-x0)+
f ( n1) ( xn1 )
( x  x0 ) n1 где xn+1 между 0 и x, а Tn(x-x0)-многочлен
(n  1)!
Тейлора для f(x) порядка n в точке x0.
Доказательство.
Аналогично теореме 20а получается из теоремы 21 заменой t=x-x0.
Пример. Применим формулу Тейлора в форме Лагранжа для оценки
погрешности формулы линеаризации для x0=0, x=0.1, f(x)=ex. По формуле
Тейлора в форме Лагранжа порядка 2 имеем:
e0.1=e0+e0* 0.1+
e x2
* 0.12
2
при этом формула линеаризации
e0.1  1+0.1=1.1
имеет погрешность
.
e x2
e 0.1
3
0.01 
0.01  0.01 , что является очень грубой оценкой.
* 0.12 
2
2
2
Заметим, что формула Тейлора при x0 =0 применяется чаще и имеет
специальное название.
Определение 15 (формула Маклорена)
Формулой Маклорена называется формула Тейлора для x0 =0 .
Примеры стандартных разложений по формуле Маклорена в форме Пеано..
Функции ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)a имеют любое количество производных
в какой-то окрестности 0.
Напомним, что многочлен Тейлора для x0 =0 порядка n имеет вид:
Tn ( x) 
f ( n ) (0) n
f ( k ) (0) k
f (0)
x  ... 
x  ... 
x  f (0)
n!
k!
1!
,
а формула Маклорена в форме Пеано будет
f(x)=Tn(x)+0(xn) при x  0
и нужно только посчитать производные указанных функций в 0.
Сделаем это.
1. f(x)=ex.
f ( n ) ( x)  e x ; f ( n ) (0)  1 _
ex  1 x 
.
для всех n. Формула Маклорена в форме Пеано
x2
xn
 ... 
 o( x n ).
2!
n!
2.f(x)=sinx.
f ( 2n) ( x)  (1) n sin x ; f ( 2n) (0)  0 _; f ( 2n1) ( x)  (1) n cos x, _ f ( 2n1) (0)  (1) n
для
.
всех n. Формула Маклорена порядка 2n+1 и 2n+2 будет одинаковой,
так как 2n+2-я производная в 0 равна 0. Поэтому приведем последнюю:
sin x  0  x 
x3
(1) n x 2 n1
 ... 
 o( x 2 n 2 ).
3!
(2n  1)!
3.f(x)=cosx.
f ( 2n) ( x)  (1) n cos x ; f ( 2n) (0)  (1) n _; f ( 2n1) ( x)  (1) n1 sin x, _ f ( 2n1) (0)  0
.
всех n. Формула Маклорена порядка 2n и 2n+1 будет одинаковой,
так как 2n+1-я производная в 0 равна 0:
cos x  1 
для
x2 x4
(1) n x 2 n

 ... 
 o( x 2 n1 ).
2! 4!
(2n)!
4.f(x)=ln(1+x).
1
1
1* 2
, _ f (0)  1, _ f ( x)  
, _ f (0)  1, _ f ( x) 
, _ f (0)  2!, _
2
1 x
(1  x)
(1  x) 3
1* 2 * 3
(n  1)!
f ( 4 ) ( x)  
, _ f ( 4) (0)  3!, _ ..., f ( n ) ( x)  (1) n 1
, _ f ( n ) (0)  (1) n 1 (n  1)!,... .
4
n
(1  x)
(1  x)
f ( x) 
Формула Маклорена в форме Пеано будет:
x 2 2! x 3
(n  1)! x n

 ...  (1) n 1
 o(( x n )). Сделав сокращения, получим
2
3!
n!
2
3
n
x
x
x
ln( 1  x)  x 

 ...  (1) n1
 o(( x n )).
2
3
n
ln( 1  x)  x 
5.f(x)= (1+x)a .
f ( x)  a(1  x) a 1 , _ f (0)  a, _ f ( x)  a(a  1)(1  x) a  2 , _ f (0)  a(a  1), _
f ( x)  a(a  1)( a  2)(1  x) a 3 , _
f (0)  a(a  1)( a  2), _ f ( 4) ( x)  a(a  1)( a  2)( a  3)(1  x) a  4 , _ f ( 4) (0)  a(a  1)( a  2)( a  3), _ ...,
f ( n ) ( x)  a(a  1)( a  2)...( a  n  1)(1  x) a  n , _ f ( n ) (0)  a(a  1)( a  2)...( a  n  1),... .
a(a  1)...( a  k  1) k
x .
k!
k 1
n
(1  x) a  1  
4.9 Правило Лопиталя. Примеры
Последний параграф этой главы - правило Лопиталя. Сформулируем общую
теорему.
Теорема 22(правило Лопиталя)
Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в проколотой для точки
окрестности B(любой из b+, b-,b,   ). g ( x), g ( x) _ не
обращаются в этой окрестности в 0. Кроме того
f ( x)
f ( x)
0

lim g ( x) " 0 " , либо lim g ( x) "  " -неопределенности.
xB
xB
При этом существует
f ( x)
Lim g ( x)  A (любой из всевозможных пределов).
x B
Тогда существует
f ( x)
lim g ( x)  A.
x B
Докажем теорему в простейшем случае:B –точка b, f(x), g(x) дифференцируемы
в b и обращаются там в 0.
Тогда по формуле Коши
f ( x)
g ( x)
f (b)  g (b)  0
формула _ Коши
f ( x)  f (b)
f (c)
, где c между b и x и стремится



g ( x)  g (b)
g (c)
к b вместе с x.
Поэтому
f ( x)
f (c)
lim g ( x)  lim g (c)  A , что доказывает теорему.
x b
c b
Примеры.
Вычислим пределы уже встречавшихся неопределенностей:
ln x 
 . Применимо правило Лопиталя.

x  x
1
1
f ( x)
ln x  , x  1, _ lim
 0. По правилу Лопиталя существует lim
 0.
x
x   g ( x )
x  x *1
1  cos x 0
sin x 0
 . Применим правило Лопиталя. lim
 . Опять применимо
2. lim
2
0
2x
0
x
x 0
x 0
1. lim
правило Лопиталя.
cos x 1
 .
2
2
x 0
1  cos x

lim
x2
x 0
lim
По правилу Лопиталя
lim
x 0
1
..
2
sin x 1
 . И еще раз по правилу Лопиталя
2x
2