Document 4342540

28 января
11е
Определение положения основания высоты пирамиды или призмы.
1) Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью
основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо через центр
окружности, вписанной в треугольник основания, либо через центр одной из
вневписанных окружностей этого треугольника.
2) Каждая из боковых граней треугольной пирамиды образует с плоскостью
основания угол в 60◦.Стороны основания равны 10, 10, 12. Найдите объём
пирамиды. (Объем пирамиды вычисляется по формуле 𝑉 = 13 𝑆осн ∙ 𝐻, где 𝐻 − высота пирамиды или
i
расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания). Ответ. 48√3, 192√3, 128√3, 128√3.
3) Основание пирамиды — ромб с острым углом в 30◦. Боковые грани наклонены к
плоскости основания под углом в 60◦. Найдите объём пирамиды, если радиус
8√3
вписанного в ромб круга равен 𝑟.
Ответ.
𝑟3
3
4) В четырёхугольной пирамиде OABCD плоскости боковых граней OAB, OBC,
OCD, OAD образуют с плоскостью основания углы, равные 60◦, 90◦, 45◦, 90◦
соответственно. Основание ABCD—равнобедренная трапеция, ребро AB равно 2,
площадь основания равна 2. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Ответ. 6√2−√6+4.
Многогранные углы.ii
5) Сколько существует различных пирамид, все рёбра которых равны 1? (Ответ. 3)
6) В каких пределах может изменяться плоский угол трёхгранного угла, если два
других плоских угла соответственно равны: а) 70◦ и 100◦; б) 130◦ и 150◦?
(Ответ. а) 30◦ <𝛼<170◦; б) 20◦ < 𝛼 <80◦)
7) В пространстве взяты точки A, B, C и D, для которых AD=BD=CD, ∠ ADB=90◦,
∠ ADC=50◦, ∠ BDC=140◦. Найдите углы треугольника ABC. (Ответ. 25◦, 45◦, 110◦)
8) Докажите, что каждый плоский угол выпуклого четырёхгранного угла меньше
суммы трёх остальных.
9) Докажите, что сумма внутренних двугранных углов трёхгранного угла больше
180◦ и меньше 540◦.
10)
Первая теорема косинусов для трёхгранного угла.
11)
Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла.
12)
Найдите двугранные углы трёхгранного угла, плоские углы которого
равны 90◦, 90◦ и 𝛼.
Ответ. 90◦, 90◦ и 𝛼.
13)
Каждый двугранный угол трехгранного угла имеет величину 𝛼. Найти
величины его плоских углов и допустимые значения 𝛼. (№5.25)
14)
Найдите двугранные углы трёхгранного угла, плоские углы которого
𝜋 𝜋
1
равны , и arccos . (№ 5.26)
3 6
√3
15)
Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит ромб
ABCD со стороной a и острым углом 60◦. Ребро AA1 также равно a и образует с
рёбрами AB и AD углы 45◦. Найдите объём параллелепипеда. (Объем параллелепипеда
вычисляется по формуле 𝑉 = 𝑆осн ∙ 𝐻, где 𝐻 − высота пирамиды или расстояние от вершины одного
основания до плоскости другого основания).
i
ii
Калинин, Терешин. Стереометрия-10, § 9.2. И разобрать решения примеров 9.2,9.3, 9.4.
Калинин, Терешин. Стереометрия -10, § 5.4, §5.5.
Ответ.
1
2
𝑎3 .