Mathematics - liga6.ru

Решить по два варианта каждому и сдать на проверку в первый день учебы.
Вариант №1*
1. В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 166 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?
2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в
Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого
числа впервые выпало миллиметров осадков.
3. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок).
Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
4. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?
5. Найдите решение уравнения:
6.
В треугольнике ABC
, высота CH равна 5. Найдите
.
7. На рисунке изображён график производной y = f'(x) функции y = f(x), определённой на
интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция y = f(x) принимает наименьшее
значение?
8. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке O.
Площадь треугольника ABC равна 28, OS = 12. Найдите объем пирамиды.
9. Найдите значение выражения
10. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное
поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку,
(в Н м) определяется формулой
, где
— сила тока в рамке,
Тл — значение индукции магнитного поля,
м — размер рамки,
— число витков провода в рамке, — острый угол между перпендикуляром к
рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка
может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент был не
меньше 0,63 Н м?
11. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он
летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
.
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
14. В правильной шестиугольной призме
все рёбра равны . Найдите расстояние от точки до плоскости
.
15. Решите неравенство
16. Площадь трапеции ABCD равна 72, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с
вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно.
Найдите площадь четырёхугольника OMPN.
17. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года — у % годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую
сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета
пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.
18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].
19. Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на
пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом
трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное)
оказалось в 5 раза больше истинного. Найдите все три числа или докажите, что так не
могло получиться.
Вариант № 2*
1.Флакон шампуня стоит 200 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на
1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?
2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц
2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах
Цельсия. Определите по приведенной диаграмме, сколько месяцев среднемесячная температура не превышала 14 градусов Цельсия.
3. Вектор
с началом в точке
имеет координаты
. Найдите абсциссу точки
B.
4. За круглый стол на 101 стульев в случайном порядке рассаживаются 99 мальчиков и 2
девочки. Найдите вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик.
5.Найдите корень уравнения:
ответе укажите больший из них.
6.
ной
. Если уравнение имеет более одного корня, в
Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, рав.
7. Материальная точка движется прямолинейно по закону
(где
x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.
8. Площадь боковой поверхности цилиндра равна
высоту цилиндра.
9. Найдите значение выражения
, а диаметр основания — 8. Найдите
.
10. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное
поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку,
(в Н м) определяется формулой
, где
— сила тока в рамке,
Тл — значение индукции магнитного поля,
м — размер рамки,
— число витков провода в рамке, — острый угол между перпендикуляром к
рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка
может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент был не
меньше 0,63 Н м?
11. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15
часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему
присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе.
Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
12. Найдите точку минимума функции
.
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
14. Основанием прямого параллелепипеда
является ромб ABCD, сторона
которого равна
а угол ВАD равен
. Найдите расстояние от точки А до прямой
, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.
15. Решите неравенство
16. В треугольнике
Точка лежит на прямой
причем
Окружности, вписанные в треугольники
и
касаются стороны
в точках и Найдите длину отрезка
17. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных
пунктов (то есть увеличил ставку а% до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?
18. Найдите все значения при которых уравнение
имеет на промежутке
единственный корень.
19. В игре «Дротики» есть 20 наружных секторов, пронумерованных от 1 до 20 и два центральных сектора. При попадании в наружный сектор игрок получает количество очков,
совпадающее с номером сектора, а за попадание в центральные сектора он получает 25
или 50 очков соответственно. В каждом из наружных секторов есть области удвоения и
утроения, которые, соответственно, удваивают или утраивают номинал сектора. Так, например, попадание в сектор 10 (не в зоны удвоения и утроения) дает 10 очков, в зону
удвоения сектора ― 20 очков, в зону утроения ― 30 очков.
а) Может ли игрок тремя бросками набрать ровно 167 очков?
б) Может ли игрок шестью бросками набрать ровно 356 очков?
в) С помощью какого наименьшего количества бросков, игрок может набрать ровно 1001
очко?
Вариант № 3*
1. Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить
на 950 рублей после понижения цены на 25%?
2. На рисунке жирными точками показана цена серебра, установленная Центробанком РФ
во все рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена серебра в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку, какой была цена серебра 30 октября. Ответ
дайте в рублях за грамм.
3. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна
.
4. На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает
один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
5. Найдите корень уравнения
.
6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен
,
угол CAD равен
. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
7. На рисунке изображён график функции и шесть точек на оси абсцисс.
В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
8. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
9. Найдите значение выражения
.
10. Для обогрева помещения, температура в котором равна
, через радиатор
отопления, пропускают горячую воду температурой
. Расход проходящей через
трубу воды
кг/с. Проходя по трубе расстояние (м), вода охлаждается до температуры
, причeм
(м), где
– теплоeмкость воды,
– коэффициент теплообмена, а
– постоянная. До какой температуры (в
градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?
11. Моторная лодка прошла против течения реки 99 км и вернулась в пункт отправления,
затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость
лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите наименьшее значение функции
13. а) Решите уравнение
принадлежащие отрезку
14. Правильные треугольники
на отрезке
.
б) Укажите корни этого уравнения,
и
Точка — середина
Вычислите объём пирамиды
лежат в перпендикулярных плоскостях,
а точка делит отрезок
так, что
15. Решите неравенство
16. На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все
стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 24, а
один из его углов равен 45°.
17. 31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5%), затем
Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он
выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
18. Найдите все значения параметра
при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре решения.
19. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое
число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные
оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания
равняться
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания
равняться
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой
и новой системам оценивания.
Вариант № 4*
1. Среди 45000 жителей города 30% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города
смотрело этот матч?
2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за
каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с положительной среднемесячной температурой.
3.
Найдите площадь параллелограмма, вершины которого
имеют координаты (4; 4), (10; 4), (8; 9), (2; 9).
4. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает?
5. Найдите корень уравнения
.
6. В треугольнике ABC угол C равен 90°,
. Найдите косинус внешнего угла при
вершине B.
7.
Функция y = f(x) определена на промежутке (−6; 4). На
рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция y
= f(x) принимает наибольшее значение.
8.
укажите
Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе
.
9. Найдите значение выражения
при
.
10. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью
острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью
м/с под
(м/с), где
кг — масса скейтбордиста со скейтом, а
кг —
масса платформы. Под каким максимальным углом (в градусах) нужно прыгать, чтобы
разогнать платформу не менее чем до 0,4 м/с?
11. Заказ на 180 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 3 детали больше?
12. Найдите наименьшее значение функции
13. а) Решите уравнение
на отрезке
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
14. Основание прямой четырехугольной призмы
— прямоугольник
,
в котором
Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра
перпендикулярно прямой
если расстояние между прямыми
и
равно
15. Решите неравенство
16. Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
17. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил
на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на
725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
18. Найдите все значения a, при каждом из которых функция
имеет более двух точек экстремума.
19. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее
арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?