Последовательности

Последовательности
Задача 1. Построить две последовательности строго возрастающих
натуральных чисел an (n=1, 2,…) bn (n=1, 2,…), для которых an-bn=(-1)nn (n=1,
2,…).
Решение. Положим a(n)=2n2+(-1)nn и b(n)=2n2. Для них a(n)-b(n)=(-1)nn.
Последовательность b(n) строго возрастает.
Докажем то же самое про a(n). Заметим, что a(n+1)-a(n)=2(n+1)2+(1)n+1(n+1)-2n2-(-1)n= =2n2+4n+2-(-1)nn-(-1)n-2n2-(-1)nn= 4n-2(-1)nn+2-(-1)n 2n+1.
Следовательно, a(n+1)>a(n) для любого натурального n. То есть, a(n)
строго возрастает.
Задача 2. Пусть a1<a2<…<ak бесконечная последовательность
натуральных чисел. Доказать, что в ней существует либо бесконечная
подпоследовательность, любые два члена которой не кратны друг другу, либо
бесконечная подпоследовательность, каждый член которой кратен
предыдущему.
Решение. Рассмотрим те члены заданной последовательности, которые
не являются делителями других членов последовательности.
Если их число бесконечно, то они образуют бесконечную
подпоследовательность, любые два члена которой не кратны друг другу и
утверждение задачи доказано.
Если их число конечно, то вычеркнув их и все их делители из исходной
последовательности, мы получим бесконечную последовательность, в которой
каждый член является делителем по крайней мере еще одного члена
последовательности.
Из последней мы можем выбрать подпоследовательность, в которой
каждый последующий член будет кратен предыдущему.
А это и требовалось доказать.
Задача 3. Могут ли числа 2 , 3 и 5 быть членами (не обязательно
последовательными) одной геометрической прогрессии?
Решение. Предположим, что данные числа могут быть членами одной
геометрической прогрессии.
3 =b1qk,
5 =b1qm, где b1 – первый член этой
Тогда 2 =b1qn,
прогрессии, а q – ее знаменатель. При этом n<k<m.
Так как b12q2n=2, b12q2k=3, b12q2m=5, то (q2)m-k=5/3, (q2)k-n=3/2.
Отсюда (3/2)m-k=(q2)(k-n)(m-k)=(5/3)k-n, т.е. 3m-n=5k-n2m-k. Последнее равенство
невозможно, т.е. предположение неверно.
Ответ: не могут
Задача 4. Построить две последовательности строго возрастающих
натуральных чисел an (n=1, 2,…) bn (n=1, 2,…), для которых an-bn=(-1)nn (n=1,
2,…).
Решение. Положим a(n)=2n2+(-1)nn и b(n)=2n2. Для них a(n)-b(n)=(-1)nn.
Последовательность b(n) строго возрастает.
Докажем то же самое про a(n). Заметим, что a(n+1)-a(n)=2(n+1)2+(1)n+1(n+1)-2n2-(-1)n= =2n2+4n+2-(-1)nn-(-1)n-2n2-(-1)nn= 4n-2(-1)nn+2-(-1)n 2n+1.
Следовательно, a(n+1)>a(n) для любого натурального n. То есть, a(n)
строго возрастает.
Задача 5. Пусть m и n натуральные числа, для которых n  m . С их
помощью построена последовательность натуральных чисел a0 , a1,, a2 k по
правилу: a0  n, a1  m, ai  2 есть остаток от деления ai на ai 1 . Доказать, что 2k  n .
Решение: Заметим, что для некоторого натурального ki (неполное
частное)
ai  ki ai 1  ai  2
с
0  ai  2  ai 1 .
ai  ki ai 1  ai  2  ki (ki 1ai  2  ai  3 )  ai  2  (ki ki 1  1)ai  2  ki ai  3  2ai  2
Поэтому
Отсюда находим, что
n  a0  2a2  22 a4    2i a2i    2k a2 k . Следовательно, 2k  n / a2 k  n .
Задача 6. На полке стоят 666 книг по черной и белой магии, причём
никакие 2 книги по белой магии не стоят через 13 книг (т.е. между ними не
может стоять 13 книг). Какое наибольшее число книг по белой магии может
стоять на полке?
Решение: Разобьем книги на цепочки книг, идущих через 13:1-я, 15-я, 20я, ..., 2-я, 16-я, …, 14-я, 28-я, …. Из того, что 666=14·47+8 следует, что мы
получим 8 цепочек по 48 книг и 6 по 47 книг.
В каждой из цепочек, по условию, книги по белой магии не могут быть
соседними. Значит, в любой цепочке длины 48 их наибольшее количество
равно 24, и в цепочке длины 47 их также может быть 24 (цепочка начинается и
заканчивается такой книгой). Всего 14·24=336 книг.
Ответ: 336
Задача 7. Найдите все бесконечные ограниченные последовательности
натуральных чисел a1, a2, a3, …, для всех членов которых, начиная с третьего,
выполнено
.
Решение: Ответ: a1 = a2 = … = 2. Пусть для каких-то двух членов
последовательности ak и ak + 1 их НОД равен 1. Тогда НОД (ak,ak + 1) =
НОД (ak + ak + 1,ak + 1) = НОД (ak + 2,ak + 1), т.е. для всех последующих
членов последовательности НОД тоже будет равен 1. При этом, начиная с k-го
члена, последовательность превращается в последовательность an = an – 1 + an
– 2, которая неограниченно возрастает.
Итак, НОД всегда должен быть не меньше 2. Если какие-то члены
последовательности ak и ak + 1 не равны друг другу, то ak + 2 < max (ak,ak + 1)
и ak + 1 ≠ ak + 2.
Аналогично, ak + 3 < max (ak + 1,ak + 2) < max (ak,ak + 1).
Мы получили, что максимальное число в парах идущих подряд членов
последовательности монотонно убывает, т. е. когда-то станет равным 1, и тогда
НОД у каких-то членов тоже станет равен 1, что не должно случиться.
Итак, все члены последовательности должны равняться друг другу и их
НОД = 2, т.е. an = 2.
Задача 8. Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 ..... 998 999.
Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?
Решение: Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то
двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из
трехзначных чисел ряда.
Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа.
Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа, т.е. это
число оканчивается на 20. Таких чисел 9: 120, 220, .........., 920.
Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то
соответствующее трехзначное число начинается на 20. Таких чисел 10: 200,
201, .........., 209.
Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.
Ответ: 19
Задача 9. Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую,
каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих
прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.
Решение. Пусть a, a+d, a+2d, a+3d — искомая арифметическая
прогрессия, b, bq, bq2, bq3 — искомая геометрическая прогрессия. По условию
a+b=27, a+d+bq=27, a+2d+bq2=39, a+3d+bq3=87.
Вычтем из второго уравнения первое, из третьего второе, из четвёртого
третье: d+b(q - 1)=0, d+bq(q - 1)=12, d+bq2(q - 1)=48.
Из первого уравнения получаем b(q - 1)= - d; подставим это выражение во
второе и третье уравнения: d - dq=12, d - dq2=48.
Поделив последнее уравнение на предпоследнее, получим q=3.
Следовательно, d= - 6, b=3 и a=24. Таким образом, искомые прогрессии — это
24, 18, 12, 6; 3, 9, 27, 81.
Ответ: 24, 18, 12, 6; 3, 9, 27, 81