Цель работы: изучить зависимость резонансной частоты

Лабораторная работа №306
Изучение резонансной частоты резонаторов Гельмгольца
Цель работы: изучить зависимость резонансной частоты резонатора
Гельмгольца от его объема
Оборудование:
резонаторы
различного
объема,
стеклянная
трубка,
штангенциркуль, измерительный цилиндр, микрофон с усилителем, Кобра 3,
ПК.
Краткая теория
Под звуковыми волнами обычно понимают упругие волны в воздухе, частоты
которых лежат в пределах примерно от 20 до 20 000 колебаний в секунду.
Звуковая волна представляет собой последовательные сжатия и разрежения
воздуха, распространяющиеся со скоростью, зависящей от свойств среды
(воздуха). В звуковой волне, как и в случае отдельного импульса, сжатия и
разрежения происходят столь быстро, что обмен теплом не успевает
происходить и процесс протекает адиабатически. Поэтому скорость
распространения звуковых волн
𝑝
𝑣 = √𝛾 ,
(1)
𝜌
где 𝑝 и 𝜌 – среднее давление и средняя плотность воздуха, 𝛾 - показатель
адиабаты для воздуха.
Скорость звука в воздухе при температуре 0°С равна 334 м/с. Таким образом,
частотам от 20 до 20000 Гц составляющим пределы звукового диапазона,
соответствуют звуковые волны в воздухе длиной примерно от 15 м до 15 мм
Звуковая волна, как и всякая упругая волна, представляет собой волны
смещений,
скоростей
и
деформаций,
связанные
между
собой
и
распространяющиеся вместе в среде. В гармонической звуковой волне в
каждой точке смещения, скорости и деформации (сжатия) меняются по
1
синусоидальному закону. Вместе с тем в каждой точке происходят изменения
давления, обусловленные изменением степени сжатия газа. Изменения
давления, вызванные звуковой волной, накладываются на то среднее
давление, которое существует в газе (в случае свободной атмосферы —
атмосферное давление). Эти изменения давления называют избыточным
звуковым давлением или просто звуковым давлением.
Установим связь между звуковыми давлениями и скоростями частиц в
звуковой волне. Ограничимся для простоты случаем плоской волны
(основные выводы будут справедливы и для других типов волн). Пусть
плоская волна возбуждается бесконечной пластинкой, колеблющейся в
направлении х по закону
𝜉 = 𝐴 sin 𝜔𝑡.
(2)
Волна распространяется также в направлении х; смещение частиц, лежащих в
каждой плоскости, нормальной к этому направлению, происходит по закону
𝑥
𝜉 = 𝐴 sin 𝜔(𝑡 − ).
(3)
𝑣
Тогда относительное изменение толщины слоя, лежащего между двумя
бесконечно близкими плоскостями, есть
𝜕𝜉
𝜕𝑥
𝐴
𝑥
𝑣
𝑣
= − 𝜔 cos 𝜔(𝑡 − ).
(4)
Этому изменению расстояния соответствует такое же относительное изменение
объема слоя, заключенного между двумя плоскостями. Если относительное сжатие
газа, т. е. относительное уменьшение объёма −
𝜂=−
𝜕𝜉
𝜕𝑥
Δ𝑉
𝑉
𝐴
𝑥
𝑣
𝑣
обозначить через 𝜂, то:
= 𝜔 cos 𝜔(𝑡 − )
(5)
С другой стороны, скорость частицы
𝑢=
𝜕𝜉
𝜕𝑡
𝑥
= 𝐴𝜔 cos 𝜔(𝑡 − ).
𝑣
(6)
Сопоставляя два последних выражения, получим связь между сжатием и
скоростью частиц в звуковой волне
2
𝑢 = 𝑣𝜂.
Относительное сжатие 𝜂 = −
Δ𝑉
𝑉
(7)
есть вместе с тем относительное увеличение
плотности газа в объеме, т.е.
𝜂=−
Δ𝜌
𝜌
(8)
или
Δ𝑝
𝜂=𝛾
𝑝
.
(9)
Используя формулы (7) и (9), получим выражение для звукового давления
Δ𝑝 =
γp
𝑣
𝑢 = 𝜌𝑢𝑣.
(10)
Как видно из (9), 𝛾𝑝 представляет собой коэффициент пропорциональности между
избыточным давлением и вызванным им уменьшением объема. Величину 𝜅 = 𝛾𝑝
принято в акустике называть модулем сжатия. Применяя эту величину можно
упростить запись соотношений (1, 9, 10):
𝜅
𝑣=√ ,
𝜌
(11)
Δ𝑝 = 𝜅𝜂,
(12)
κ
Δ𝑝 = 𝑢.
𝑣
(13)
Звуковая волна несет с собой потенциальную энергию – энергию упругой
деформации газа и кинетическую энергию движущихся частиц газа. Подсчитаем
потенциальную энергию, заключенную в элементе объема, ограниченном двумя
стенками площади S, находящимися на расстоянии Δ𝑥. Если относительное сжатие
в слое есть 𝜂, то по (12) сила, действующая на стенку площади S, есть 𝑆Δ𝑝 = 𝑆𝜅𝜂.
При изменении относительного сжатия на 𝑑𝜂 стенка перемещается на Δ𝑥𝑑𝜂, и при
этом совершается работа
𝑑𝐴 = 𝑆Δ𝑥𝜅𝜂𝑑𝜂.
3
Чтобы подсчитать работу, затраченную на изменение относительного сжатия от 0
до 𝜂, нужно проинтегрировать dA в этих пределах. Этот интеграл
𝜂
𝑈 = 𝑆Δ𝑥𝜅 ∫0 𝜂𝑑𝜂 = 𝑆Δ𝑥
𝜅𝜂 2
2
и выражает энергию упругой деформации в объёме 𝑆Δ𝑥. Следовательно, плотность
энергии упругой деформации
𝑤𝑢 =
𝜅𝜂 2
(14)
2
С другой стороны, кинетическая энергия этого же объёма 𝑆Δ𝑥 есть
𝑇 = 𝜌𝑆Δ𝑥
𝑢2
2
и плотность кинетической энергии
𝑤𝑇 =
𝜌𝑢2
2
.
(15)
Но в каждой точке волны соблюдается соотношение (7) между 𝑢 и 𝜂. Подставляя в
него значение 𝑣 из (11) и сопоставляя с (15), убеждаемся, что 𝑤𝑢 = 𝑤𝑇 , т. е.
плотность потенциальной и кинетической энергии в каждой точке звуковой волны
одна и та же.
Звуковая волна несёт с собой одинаковые потенциальную и кинетическую
энергии, так что как та, так и другая энергия составляет половину полной энергии
волны. Энергия, которую несёт с собой звуковая волна, распространяется вместе с
волной и течёт всё время в том направлении, в котором распространяется волна.
Это следует из того, что, как видно из выражений (5)и (6), сжатие и скорость
частиц в волне совпадают по фазе. Когда какой-либо элемент объёма сжат, то он
вместе с тем движется в сторону положительных значений х, т. е. в направлении
распространения волны. В этом же направлении течёт и энергия. В тот момент,
когда знак деформации меняется, сжатие превращается в разрежение —
изменяется и направление скорости, а энергия продолжает течь в прежнем
направлении.
4
Энергия эта в разных сечениях волны различна, т. к. различны сжатия и скорости.
Для характеристики действия звуковых волн во многих случаях удобно
пользоваться средней энергией, которую несёт с собой звуковая волна. Для
определения средней энергии нужно подсчитать энергию, содержащуюся в слое,
заключённом между стенками, отстоящими на расстоянии длины волны 𝜆 друг от
друга. Разделив всю эту энергию на объём слоя, получим среднюю плотность
энергии, которую несет с собой звуковая волна. Т. к. 𝑤𝑢 = 𝑤𝑇 , то плотность всей
энергии звуковой волны
𝑤 = 𝜅𝜂2 ;
𝜂 в звуковой волне меняется от точки к точке по закону
𝑥
𝜂 = 𝜂0 cos 𝜔(𝑡 − ),
𝑣
где 𝜂0 - амплитуда относительного сжатия. В слое сечения S и толщины 𝜆
содержится энергия
𝑥+𝜆
𝑊 = ∫𝑥
𝑥+𝜆
𝜅𝜂2 𝑆𝑑𝑥 = 𝑆𝜅𝜂02 ∫𝑥
𝑥
𝜅𝜂02
𝑣
2
𝑐𝑜𝑠 2 𝜔(𝑡 − )𝑑𝑥 = 𝑆𝜆
.
Средняя плотность энергии в звуковой волне
𝑤ср =
𝜅𝜂02
2
.
(16)
Т. к. соотношение (12) справедливо для всяких мгновенных значений Δр и 𝜂 то
оно справедливо и для амплитудных значений и, следовательно,
𝑤ср =
(Δ𝑝0 )2
2𝜅
,
(17)
где р0 — амплитуда звукового давления.
Поток звуковой энергии, который падает за единицу времени на единицу площади,
нормальной к направлению распространения волны, характеризует интенсивность
звуковой волны. За единицу времени на эту площадь упадет вся энергия,
заключённая в столбе с основанием, равным единице, и высотой, равной 𝑣 .
Следовательно, интенсивность звука
5
𝐼 = 𝑤ср 𝑣 =
(Δ𝑝0 )2 𝑣
2𝜅
или
𝐼=
(Δ𝑝0 )2
2𝜌𝑣
.
(18)
Стенки, ограничивающие объём воздуха, существенно влияют на характер
звуковых колебаний в этом объёме. Рассмотрим некоторые наиболее важные
случаи звуковых колебаний в объёмах.
Пусть звуковая волна распространяется в трубе, диаметр которой меньше длины
волны, но всё же не слишком тонкой и обладающей гладкими стенками. При этих
условиях стенки не вносят заметного затухания; их роль сводится лишь к тому,
чтобы обеспечить распространение колебаний в одном направлении – вдоль трубы.
Если в один из концов трубы вставлен поршень, совершающий гармонические
колебания, то по столбу воздуха, заключённому внутри трубы, распространяется
звуковая волна, которая по своему характеру совершенно аналогична плоской
волне в свободном воздухе. Труба делает возможным существование «куска
плоской волны», размеры которого меньше длины волны. (В отсутствие стенок
такой «кусок плоской волны» не мог бы распространяться прямолинейно из-за
дифракции.) Если второй конец трубы закрыт твёрдой стенкой, то звуковая волна
будет отражаться от этой стенки, причём фаза волны деформаций останется
прежней, а фаза волны скоростей изменится на π (скорость изменяет знак на
обратный). В трубе установятся стоячие звуковыe волны, причём на закрытом
конце трубы образуются пучность деформаций и узел скоростей.
На открытом конце трубы также будет происходить отражение звуковой волны, но
с изменением фазы деформации на π — сжатие будет превращаться в разрежение, и
наоборот. Действительно, когда сжатие в падающей волне подходит к отверстию
трубы, частицы воздуха имеют скорость, направленную в ту сторону, в которую
распространяется волна, т. е. из трубы наружу. Но снаружи эти частицы уже не
вызовут такого сжатия, какое существовало в падающей волне. Т. к. снаружи трубы
6
давление воздуха может выравниваться во всех направлениях, то сжатие будет
гораздо меньше, чем в волне, распространяющейся внутри трубы. Поэтому
частицы воздуха, вышедшие из трубы, к тому моменту, когда их остановит
давление лежащего впереди слоя воздуха, сместятся дальше, чем смещаются
частицы внутри трубы, и на конце трубы возникнет разрежение. Точно так же,
когда разрежение подходит к концу трубы, в трубу устремляются частицы воздуха
из слоя, имеющего сечение большее, чем сечение трубы. Эти частицы, приобретя
скорость за счёт разности давлений, не только скомпенсируют разрежение в конце
трубы, но и создадут в нём сжатие. Таким образом, в обоих случаях фаза
деформаций изменяется на π. Т. к. скорости частиц при этом не меняют знака, то
энергия начнёт течь в обратном направлении, а это и значит, что у открытого конца
трубы будет происходить отражение падающей волны.
Открытый конец трубы является источником сферических волн в окружающем
воздухе. Отражение звуковой волны у открытого конца трубы будет тем менее
заметно, чем больше диаметр трубы, В самом деле, причиной отражения является
выравнивание давлений в воздухе, прилегающем к открытому концу трубы. Но т.
к. выравнивание давлений происходит со скоростью звука, то в выравнивании
давлений будут участвовать только области, отстоящие от краев трубы на
расстоянии, малом по сравнению с длиной волны. (Выравнивание давлений играет
заметную роль лишь в том случае, когда оно может происходить за промежуток
времени, малый по сравнению с периодом звуковых колебаний.) Поэтому, если
диаметр трубы мал по сравнению с длиной волны, то слои, участвующие в
выравнивании давлений, имеют размеры, сравнимые с диаметром трубы, и
выравнивание давлений играет заметную роль. Если же диаметр трубы
превосходит длину волны, то выравнивание давлений перестаёт играть роль —
отражение от открытого конца трубы становится всё менее и менее заметным. Но
пока диаметр трубы мал по сравнению с длиной волны, от открытого конца трубы
7
происходит почти полное отражение звуковых волн и в трубе устанавливаются
стоячие волны. При этом на открытом конце трубы образуются узел деформаций и
пучность скоростей.
Вследствие отражения звуковых волн у концов трубы столб воздуха, заключённый
в трубе конечной длины, так же как и стержень конечной длины, представляет
собой колебательную систему, обладающую определёнными нормальными
колебаниями — основным тоном и гармоническими обертонами.
Одной из задач прикладной акустики является выделение гармонических
составляющих из сложных (негармонических) звуковых колебаний. Такая задача
возникает при конструировании ряда акустических приборов, например,
приемников звука, когда хотят сделать их более чувствительными к колебаниям
одной частоты по сравнению с другими (выделение «полезного сигнала» из всей
массы звуков) и т. д. Специальный интерес представляет гармонический анализ
звуков, т. е. определение амплитуд гармонических составляющих, содержащихся в
том или ином звуке. Ухо человека снабжено множеством резонаторов (так
называемые кортиевы органы), которые и позволяют человеку различать высоту
звука, т. е. частоту основного тона звуковых колебаний и его тембр («окраску»),
т.е. содержание обертонов в этом звуке.
Роль
акустического
резонатора
может
играть
всякий
объём
воздуха,
ограниченный стенками и обладающий поэтому собственными частотами
колебаний, например, кусок трубы конечной длины. Однако такой кусок трубы
обладает множеством нормальных колебаний и поэтому будет резонировать
(отзываться) на множество гармонических колебаний. Удобнее применять такие
резонаторы, которые отзываются на одну определённую частоту внешнего
гармонического воздействия. Такими свойствами облагают, например, сосуды
шаровой формы с горлом (Рисунок 1) —так называемые резонаторы Гельмгольца.
8
Рисунок 1 – резонатор Гельмгольца
Резонатор Гельмгольца можно рассматривать как предельный случай трубы
переменного сечения. Обертоны такой сплошной системы вследствие ее
неоднородности не гармоничны и лежат далеко от основного тона. Основной же
тон резонатора можно определить, рассматривая его как систему, в которой масса и
упругость сосредоточены в разных местах.
Т. к. диаметр горла резонатора мал, то при колебаниях скорость воздуха в нём
гораздо больше, чем в сосуде; поэтому роль колеблющейся массы играет, главным
образом, масса воздуха в горле. С другой стороны, т. к. объём воздуха в горле
гораздо меньше, чем в сосуде, то абсолютными изменениями объёма воздуха в
горле при колебаниях можно пренебречь и считать, что весь этот объём
колеблется как целое, изменяется же только объем воздуха в сосуде и воздух играет
роль пружины. Иначе говоря, воздух в горле можно заменить поршнем массы
m = ρ S l , где S — сечение, а l — длина горла. Объём V резонатора можно заменить
некоторой пружиной, упругость которой определим следующим образом. Из
соотношения (12), связывающего сжатие 𝜂 с изменением давления, получаем:
Δ𝑝 = 𝛾𝑝
Δ𝑉
𝑉
= 𝛾𝑝
SΔx
𝑉
,
где 𝛥𝑥 — смещение «поршня» в горле. Сила, действующая на «поршень»,
9
Δ𝐹 = 𝑆𝛥𝑝 =
𝑆 2 𝛾𝑝
𝑉
𝛥𝑥,
пропорциональна смещению поршня, т. е. объем воздуха в сосуде действует как
пружина с коэффициентом упругости
𝑘=
𝑆 2 𝛾𝑝
𝑉
.
Частота колебаний массы т, удерживаемой пружиной, с коэффициентом
упругости k, как известно, есть 𝑓 =
1
2𝜋
𝑘
√ . Подставляя в это выражение найденные
𝑚
значения для k и т и используя (1) получим:
𝑓=
𝑣
2𝜋
𝑆
√ .
𝑉𝑙
(19)
Изменяя размеры сосуда и горла, можно получить резонаторы с собственными
частотами, охватывающими весь диапазон звуковых частот.
Резонатор Гельмгольца выделяет из всех действующих на него гармонических
колебаний то колебание, частота которого совпадает с собственной частотой
резонатора. Индикатор, помещённый в горле резонатора или в специальном
отростке, расположенном против горла, позволяет судить об амплитуде колебаний
резонатора. Располагая большим набором резонаторов, частоты которых лежат
достаточно близко друг к другу, можно определить амплитуды различных
гармонических составляющих того или иного звука, т. е. произвести
гармонический анализ звуков.
Описание установки
Стеклянная колба, представляющая собой резонатор Гельмгольца, закреплена с
помощью зажима на штативе в вертикальном положении. В верхнюю треть
сферической части колбы помещена стеклянная трубка (в колбы малого объема
микрофон помещается без трубки), внутри которой находится звуковой зонд
(микрофон), оснащенный усилителем. Микрофон через универсальный блок Кобра
3 подключен к USB-разъему ПК.
10
Рисунок 2 - Экспериментальная установка для изучения характеристических
колебаний в полости резонатора.
Ход работы и обработка результатов измерений
1. С помощью штангенциркуля измерьте длину 𝑙 и диаметр 𝑑 горлышка колбы.
2. Рассчитайте площадь сечения горлышка по формуле:
𝑆=
𝜋𝑑 2
4
.
3. Соберите установку как показано на рисунке 2.
4. Запустите программу Measure и в меню Gauge выберите модуль «Анализатор
частоты».
5. Установите значение параметров измерения (Рисунок 3). Отрегулируйте
усиление микрофона, выбрав средний уровень.
11
Рисунок 3 – Значения параметров измерения
6. Запишите спектр, нажав кнопку «Сохранить». (В данном эксперименте
важную роль играет шум окружающей среды. Если в помещении слишком
тихо, создайте шум искусственно, иначе сигнал записываться не будет.)
7. Используя функцию «Анализ пика», определите резонансную частоту колбы
(Рисунок 4).
8. Налейте в колбу некоторый объем воды (объем воды определяйте с помощью
измерительного цилиндра), тем самым изменив объем воздуха V в колбе, и
измерьте резонансную частоту для колбы с водой.
9. Повторите п. 7 для 5 значений объема воздуха в колбе.
12
f
Рисунок 4 – Акустический спектр круглодонной колбы
𝑖=1
∑ 𝑉𝑖−1 𝑓𝑖2 , м−3 ∙ Гц2
5
𝑓 2 , Гц2
𝑓, Гц
𝑖=1
∑ 𝑉𝑖−2 , м−6
5
𝑉 −2 , м−6
𝑉 −1 , м−3
𝑉, м3
𝑉, мл
№
𝑉 −1 𝑓 2 , м−3 ∙ Гц2
10.Результаты измерений занесите в таблицу:
1
2
3
4
5
11.Постройте график зависимости квадрата частоты 𝑓 2 от V-1. Объясните его
вид.
12.Используя метод наименьших квадратов (Приложение 1) рассчитайте
скорость звука в воздухе по формуле:
13
𝑙 ∑5𝑖=1 𝑉𝑖−1 𝑓𝑖2
𝑣 = 2𝜋√ ∙ 5
𝑆 ∑𝑖=1 𝑉𝑖−2
Контрольные вопросы
1. Что представляют собой звуковые волны?
2. Дайте определение звукового давления.
3. Запишите уравнение плоской волны и объясните физический смысл всех
величин, входящих в это уравнение.
4. Выведите выражение для плотности энергии упругой деформации звуковой
волны.
5. Что представляет собой акустический резонатор?
6. Объясните принцип действия резонатора Гельмгольца.
7. Выведите формулу для резонансной частоты круглодонной колбы.
14
Приложение А
Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для
оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные
ошибки.
Метод
наименьших
квадратов
применяется
также
для
приближённого
представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто
оказывается полезным при обработке измерений.
Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например,
длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится
много раз, и за окончательный результат берут среднее арифметическое из всех
отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на
соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов
отклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем
сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой
величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно,
простейший случай метода наименьших квадратов.
Пример 1
Рисунок 8 - Кривая, проведённая через точки, имеющие нормально распределённое
отклонение от истинного значения
15
Пример 2
Пусть надо решить систему уравнений
(1)
число которых более числа неизвестных x, y,
Чтобы решить их по способу наименьших квадратов, составляют новую систему
уравнений, число которых равно числу неизвестных и которые затем решаются по
обыкновенным правилам алгебры. Эти новые, или так называемые нормальные
уравнения составляются по следующему правилу: умножают сперва все данные
уравнения на коэффициенты у первой неизвестной x и, сложив почленно,
получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на
коэффициенты у второй неизвестной y и, сложив почленно, получают второе
нормальное уравнение и т. д. Если обозначить для краткости:
то нормальные уравнения представятся в следующем простом виде:
(2)
16
Легко заметить, что коэффициенты нормальных уравнений весьма легко
составляются из коэффициентов данных, и притом коэффициент у первой
неизвестной во втором уравнении равен коэффициенту у второй неизвестной в
первом, коэффициент у первой неизвестной в третьем уравнении равен
коэффициенту у третьей неизвестной в первом и т. д. Для пояснения сказанного
ниже приведено решение пяти уравнений с двумя неизвестными:
Составив значения [aa], [ab], получаем следующие нормальные уравнения:
,
откуда
x = 3,55;
y = − 0,109
При составлении обычной регрессионной модели используется та же методика, и
данные коэффициенты представляют собой коэффициенты уравнения регрессии.
Уравнения (1) представляют систему линейных уравнений, то есть уравнений, в
которых все неизвестные входят в первой степени. В большинстве случаев
уравнения, связывающие наблюдаемые и искомые величины, бывают высших
степеней и даже трансцендентные, но это не изменяет сущности дела:
предварительными изысканиями всегда можно найти величины искомых с таким
приближением, что затем, разложив соответствующие функции в ряды и
пренебрегая высшими степенями искомых поправок, можно привести любое
уравнение к линейному.
17
Рекомендуемая литература
1. С.Э. Хайкин. Физические основы механики. C-Пб.: ЛАНЬ, 2008.
2. И.Е. Иродов. Волновые процессы. Основные законы. М.-С-Пб.: БИНОМЛаборатория знаний, 2009.
3. Курс физики. Учебник для вузов/под. ред. проф. В.Н. Лозовского. СПб: Лань,
2009. Т.2
4. Т.И. Трофимова. Краткий курс физики. Учебное пособие для вузов. М:
КноРус, 2010.
18