математика в музыке

Городская научно-практическая конференция
«Путь к успеху».
«Математика в музыке»
Секция « Математика вокруг нас».
Автор: Аниськина Ксения Игоревна
7 «А» класса МБОУ лицей №21
Руководитель: Учитель математики
Уланова Татьяна Николаевна
МБОУ лицей № 21
г.Дзержинск
2012 год
1
План:
Введение
1. Историческая справка и некоторые понятия теории музыки
1.1.Высказывания великих людей в области теории музыки
1. 2.Математический уровень музыкальных рассуждений
1. 3.Семёрка в музыке
1. 4.Чем полезна математика в музыке
1. 5.Законы пифагорейской музыки
2. Практическая часть.
2.1.Математическое описание построения музыкальной гаммы
2. 2.Как соотносятся объемы данных нотного текста и звучащего
произведения
2.3.Примеры
2.4Опрос
Заключение
2
Введение.
Целью моей работы было рассказать о тесной связи музыкального искусства
и науки математики, есть ли что-нибудь общее между музыкой и
математикой? Если музыка связана с окружающим миром, то, наверное, она
как-то взаимодействует и с наукой? Мне стало интересно самой узнать, что
же общего между таким прекрасным видом искусства как музыка и такой
сложной, наукой, как математика.
Математика и музыка - два школьных предмета, два полюса человеческой
культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая
задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том,
что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.
Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако
связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне,
несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка наиболее отвлеченный вид искусства.
В музыке, что обычно забывается, немало математики. Мы используем
западноевропейской нотную систему, основа которой – две вполне строгие
шкалы частоты и времени.
"Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и
противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на
крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами
ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность
человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в
области науки и искусства."
Г. Нейгауз
3
1. Историческая справка и некоторые понятия теории музыки
1.1.Высказывания великих людей в области теории музыки
Почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве
чувств. Он утверждал, что достоинства её должны восприниматься умом, и
потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической
гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами
одной октавы. (Плутарх)
Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного
процесса.(Альберт Эйнштейн)
Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не
сознавая.(Готфрид Лейбниц)
Пройдут миллионы лет, и если музыка в нашем смысле будет ещё
существовать, то те же семь основных тонов нашей гаммы, в их
мелодических и гармонических комбинациях, оживляемые ритмом, будут всё
ещё служить источником новых музыкальных мыслей. (Пётр Чайковский)
Чрезвычайная бедность, шаткость и разрозненность существующих основ
музыкальной эстетики побуждает нас пытливо всматриваться во всякое
закономерное явление, относящееся к этой области, в надежде приподнять
хотя бы уголок изидовой завесы, скрывающей от нашего умственного взора
таинственные творческие законы природы. (Э.Розенов)
Она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для
музыкантов - остроты современников по поводу «новой теории музыки».
(Леонард Эйлер)
Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я
пришёл к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах
человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и
определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между
ними размещается всё, что человечество создало в области науки и
искусства. (Генрих Нейгауз)
Музыка - это математика интуиции. (Олег Гуцуляк)
4
1.2.Математический уровень музыкальных рассуждений
Математика является вполне подходящим средством для описания
музыкальных моделей. Могут ли чисто математические результаты иметь
интересную интерпретацию в музыке, является для автора спорным.
Пифагор, по распространенной версии, пытался свести всеобщую гармонию
к числам. Мы же будем к таким идеям подходить более осторожно.
Как обычно – четких границ между уровнями нет. Одно и то же явление
может простираться через несколько уровней. Почему, например, интервал
октава звучит для человека очень приятно? Можно представить это как
аксиому биологического уровня, а можно свести к физическому: звуки,
различающиеся по частоте вдвое, дают то же множество обертонов, что и
нижний из них. Поэтому они практически сливаются. А математически
октава описывается числом 2, которое является наименьшим простым
числом. На любом уровне, однако, существуют явления, несводимые к
предыдущему уровню.
1.3.Семёрка в музыке
Октава – расстояние между двумя звуками в семь ступеней. По-другому, ряд
из семи звуков – называется звукоряд: до, ре, ми, фа, соль, ля, си. Звуков
всего семь. При помощи повторений в разных регистрах и различных
сочетаний между собой образуется множество прекрасных мелодий.
Интересная семёрка.
В древнем Вавилоне были известны 7 планет, к которым причисляли Солнце
и Луну. Все непонятные явления природы приписывались богам, и
постепенно представление о богах соединилось с 7 планетами. 7 священное
число, т.к. человек воспринимает мир через 7 отверстий в голове: два глаза,
два уха две ноздри и рот. Приписывая числу 7 таинственную силу, знахари
вручали больному 7 разных лекарств, настоянных на 7 травах, и советовали
5
пить их семь дней. Одиссей 7 лет был в плену у нимфы Калипсо. У
вавилонян подземное царство окружено 7 стенами. У мусульман небесный
свод состоит из 7 небес, и все угодные Богу попадают на седьмое небо
блаженства. У индусов есть обычай дарить на счастье 7 слоников. В Библии
– 7 ангелов.
В эпоху Средневековья (с конца XII – начала XIII века) вся совокупность
знаний делилась на 7 основных наук: тривиум – начальный курс образования,
включавший в себя грамматику, риторику и диалектику; квадриум –
повышенный курс светского образования, куда музыка входила так же, как и
у пифагорейцев вместе с арифметикой, геометрией и астрономией.
Математика не включена в число смежных дисциплин и находится в стороне
от музыкального искусства, скорее музыкальное искусство в некоторых
своих проявлениях прибегает к использованию математического аппарата.
6
1.4.Чем полезна математика в музыке
Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два
искусства – музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни
гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность
мышления и дополняют друг друга. Пространственное представление,
столь необходимое ребенку в овладении письмом, столь же важно и в
математике. Из-за его отсутствия дети не могут подписать в столбик
цифры при арифметических действиях, правильно понять условие задач,
особенно на время, скорость и расстояние, ошибаются в устном
арифметическом счете. При дальнейшем обучении у таких детей
обнаруживается неспособность следить за правильной
последовательностью выполнения арифметических действий, например,
сложение и вычитание производить только после выполнения
умножения и деления. А когда наступает время знакомства с геометрией,
попытки одолеть ее полностью терпят крах, потому что овладение этим
предметом без пространственного представления невозможно. Кроме
того, школьники часто делают математические ошибки из-за того, что не
владеют математическими символами: они не могут следить за
математическими знаками «+» и «–», путают знак «<» со знаком «>».
Музыка помогает преодолеть эти затруднения на самом начальном этапе,
так как знание музыкальной символики приучает к владению
обозначениями любыми, в том числе и математическими.
1.5.Законы пифагорейской музыки
Еще в Древней Греции математика и музыка назывались родными
сёстрами, а со времён Пифагора наука о музыке входила в
пифагорейскую систему знаний, наряду с арифметикой (наукой о
7
числах), геометрией (наукой о фигурах и их измерений) и астрономией
(наукой о строении Вселенной).
Пифагор перенёс числовые соотношения на гармонию Вселенной.
Согласно его учению Земля, Солнце, Луна и планеты располагаются на
небесных сферах и совершают вместе с ними круговое вращение.
Вследствие трения об эфир они издавали музыкальные звуки, которые
объединялись в созвучия. Так возникла чудесная мировая музыка или
«гармония сфер», без которой мир бы не мог существовать как единое
целое. Земная человеческая музыка, по мнению Пифагора, - слабые
отголоски музыкальных небесных сфер; она дана человечеству в
утешение, и создаёт её тот, кто способен услышать в себе мировую
музыку. Пифагор был уверен, что музыка звучит совершенными
консонансами (благозвучными интервалами): тон, издаваемый Землёй
принимался за тонику, сфера Луны звучала квартой, Солнце – квинтой, а
звёзды и планеты – октавой.
В основе этой музыкальной системы были два закона, которые
носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы:
1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины
относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4,
т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1)
(n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
2.
Частота
колебания
w
звучащей
струны
обратно
пропорциональна ее длине l .
w=a:l,
где а - коэффициент, характеризующий физические свойства
струны.
Математическая стройность музыкального искусства потрясала не
8
только древних мыслителей. Многие великие умы более поздних эпох и
современности обращали на это внимание и использовали близость
музыки и математики.
9
2. Практическая часть.
2.1.Математическое описание построения музыкальной гаммы.
Основой музыкальной шкалы–гаммы пифагорейцев был интервал –
октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для
построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить
октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные
пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами:
арифметическим, гармоническим.
Среднее арифметическое частот колебаний тоники (w1) и ее октавного
повторения (w2) помогает найти совершенный консонанс квинту.
Т.к. w2 = 2w1, то w3 = (w1 + w2) : 2 = 3w1 : 2 или w3 : w1 = 3 : 2 (w3 –
частота колебаний квинты).
Длина струны l3, соответствующая квинте, по второму закону ПифагораАрхита будет средним гармоническим длин струн тоники l1 и ее
октавного повторения l2.
Т.к. l2 = l1 : 2, то l3 = 2 l1 l2 : (l1 + l2) = 2 l1 l1 : 2 : (l1 + l1 : 2) = l12 : ((2 l1 + l1 )
: 2) = 2 l12 : :3 l1 = 2 l1 : 3; или l3 : l1 = 2 : 3.
Взяв далее среднее гармоническое частот основного тона w1 и октавы w2,
получим w4 = = 2w1w2 : (w1 + w2 ) = 2w1 2w1 : ( w1 + 2w1 ) = 4w12 : 3w1 =
4w1 :
Значит w4 : w1 = 4 : 3. В результате находим еще один совершенный
консонанс – кварту.
Определим, как связаны длины струн найденных частот (l4 и l1 ):
l4 = ( l1 + l2 ) : 2 = ( l1 + l1 : 2 ) : 2 = ( 2 l1 + l1 ) : 2 : 2 = 3 l1 : 4; l4 : l1 = 3 : 4.
Это значит, что длины струн l1 , l2 и l4 связаны между собой средним
арифметическим.
10
2.2.Как соотносятся объемы данных нотного текста и звучащего
произведения?
Простой пример – небольшой менуэт Ф.Э.Баха включает 107 нот, помимо
этого в нотном тексте содержится 38 специальных указаний. Не сложно
подсчитать, что если на кодировку нот использовать по 3 байта (старт, стоп и
номер ноты), по байту на специальные указания, то все произведение вполне
можно закодировать в файле размером в 0,5 Кb.
2.3.Пример.
Дважды два – четыре,
Дважды два – четыре,
А не три, а не пять – это надо знать!
Дважды два – четыре,
Дважды два – четыре,
А не шесть, а не семь – это ясно всем!
Трижды три навеки – девять,
Ничего тут не поделать!
И нетрудно сосчитать,
Сколько будет пятью пять!
Пятью пять – двадцать пять!
Пятью пять – двадцать пять!
Совершенно верно!
сл. М.Пляцковского, муз. В.Шаинского
Если вслушаться в эту песенку, то на её примере можно выдвинуть гипотезу,
что занятия музыкой помогают изучению математики. С помощью этой
песенки можно легко запомнить некоторую часть таблицы умножения. Мы
думаем, что ни один человек в мире не может прожить без математики и без
музыки.
11
На первых же уроках сольфеджио – так называются уроки музыкальной
грамоты – ученики музыкальных школ сразу же сталкиваются с
математикой. В музыке все считать надо. Как и в математике.7 нот, 5 линеек
нотного стана, интервалы. Чтобы записать слова – мы используем буквы,
числа – цифры, а музыку – ноты.
При записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность).Здесь и
происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного
числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби.
Предлагаю рассмотреть нотную запись отрывка пьесы Петра Ильича
Чайковского «Сладкая греза», исполняемого на блок-флейте.
В этой нотной записи:
Целые ноты не используются.
Половинки используются 3 раза. Например, нота до.
Четверти используются 12 раз. Например, нота ре.
Восьмые используются 3 раза. Например, нота ми.
Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея
сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент.
Именно здесь мы сталкиваемся с математической операцией сравнения. В
музыке, как и в математике, тоже есть понятие параллельности.
Параллельные тональности, а ещё линии нотного стана всегда параллельны,
то есть никогда не пересекаются. Кроме вышеупомянутых понятий, с
понятием последовательность в математике мы встречаемся крайне часто.
Обычно цель при встрече с ними – отгадать следующее число или символ.
Все музыкальные произведения тоже записываются нотами в определенной
музыкальной последовательности.
12
Мы знаем, что при записи мелодии, звуки имеют свою длину
(длительность).Сопоставление целого числа и целой длительности.
Музыка
математика
( длительность нот)
Целое число - торт
Целая нота
Делим пополам - половина торта
Половина целой ноты - половинная
Делим торт на четыре части - одна
Делим целую ноту на четыре части –
четвертая
четвертная
На восемь - одна восьмая
На восемь - восьмая, восьмушка
На шестнадцать - одна шестнадцатая
На шестнадцать - Шестнадцатая
Итак, мы видим, ноты записываются с помощью знаков, а их протяженность
определяется длительностями, математическим счетом.
2.4.Опрос учащихся МБОУ лицея № 21«Зачем нужна математика в
музыке?»
Матукина Анастасия 7-«Б» класс: «Математика нужна в музыке для того,
чтобы музыка звучала приятно».
Малиновская Екатерина 7-«В» класс: «Математика нужна для гармонии в
музыке».
Кучина Анна -8 «А» класс: “Математика приводит музыку в порядок, делает
ее приятной для слуха»
Аниськин Илья 5-«Б» класс “Математические законы делают музыку
лечебной»
13
Заключение.
Музыковед Э.Розенов, проанализировав наиболее популярные и любимые
произведения
гениальных
композиторов
И.С.Баха,
В.А.Моцарта,
Л.В.Бетховена, Ф.Шопена, Р.Вагнера, М.И.Глинки, а также произведения
народного творчества древнего происхождения, заметил, что моменты
наиболее ярко выраженного эмоционального напряжения приходятся именно
на точки золотого сечения. Искусствоведы составили подробные схемы, в
которых содержится геометрический анализ великой музыки. Наиболее
удачным в этом отношении примером является Хроматическая фантазия и
Фуга ре минор И.С.Баха. Слушая это замечательное произведение, не только
восторгаешься красотой музыки, но и чувствуешь ее скрытую музыкальную
гармонию. А математика открывает еще одну грань гениальности великого
композитора.
Этот рассказ о связи математики, техники и музыки далеко не полный.
В истории культуры достаточно много примеров, когда люди придумывали
механические устройства для сочинения музыки. Это происходило и в
средние века, и в наше время. Математик из колумбийского университета
Дж. Шиллингер в 1940 году опубликовал разработанную им математическую
систему музыкальной композиции в виде отдельной книжечки под названием
"Калейдофон". Считают, что Дж.Гершвин, работая над оперой "Порги и
Бесс", пользовался той же системой. В 1940 году Эйгор Вилли Лобос,
используя описанный способ, превратил силуэт Нью-Йорка в пьесу для
фортепиано.
Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно
посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно
укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось
найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не
знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего
14
неповторимую
мелодию.
Гениальное
произведение
-
это
результат
вдохновения и мастерства его создателя. А еще своеобразная тайна, постичь
которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы
открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что
неподвластно выражению словом...
15
Список литературы.
1.
«Элементарная теория музыки» В.Вахромеев.
2.
Р.Глиэр. О профессии композитора и воспитании молодежи.
«Советская музыка», 1954, №8
3.
Электронная энциклопедия.
Список использованных источников информации:
http://www.o-detstve.ru/forchildren/research-project/4579.html
http://ru.wikiquote.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D
0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B2_%D0%BC%D1%83%
D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%B5
http://fdstar.com/2007/09/01/muzyka_-_eto_matematika.html
16
17