Раздел 4. Экономика с производством

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012
Темы: Частичное равновесие: случай совершенной конкуренции.
План
1. Частичное равновесие: описание модели; определение равновесия; совокупный спрос и
совокупное предложение; графическая иллюстрация поиска равновесия.
Основные определения
Потребители: Пусть в экономике два товара: x и m и M потребителей с квазилинейными
функциями полезности u k ( x k , m k )  ( x k )  m k , u k (0, 0)   k (0)  0 , причем ( k )  0 ,
( k )  0 x k  0 . Пусть цена товара m равна p m  1 , а цену товара x обозначим через p . У
каждого потребителя имеется первоначальный запас блага m , равный потребителя,  mk и нет
запаса блага x .
Фирмы: Пусть в экономике J фирм, производящих товар x из товара m в соответствии с
функцией издержек c j ( y j ) , причем с j (.)  0, c j (.)  0 y j  0 , где y j - уровень выпуска блага
x фирмой j . Обозначим через  kj – долю потребителя k в прибыли фирмы j ,  j , т.е.  jk  0 ,

k
j
 1.
k
Определение равновесия: Равновесием называется распределение ( ~
x 1 ,..., ~
x M ) , (~
y1 ,..., ~
y J ) и цена
~p , такие, что
1) j : ~y j является решением задачи фирмы max py j  c j ( y j ). при цене ~p ;
y j 0
x k является решением задачи потребителя k max
 k ( x k )   k    jk  j ( p)  px k
2) k : ~
k
x 0
j
при цене ~p ;
3) рынок уравновешен:
M
J
k 1
j 1
 ~x k   ~y j , т.е. совокупный спрос на благо x равен совокупному
предложению этого блага.
Замечание 1: В определение равновесия можно было бы также включить распределение блага
m и соответственно баланс на этом рынке. При сбалансированности рынка товара x как
следствие закона Вальраса баланс на рынке товара m выполняется автоматически.
Замечание 2: В условиях, характеризующих равновесие (условиях первого порядка задач
потребителей, фирм и условии уравновешенности рынка) ни в каком виде не присутствуют
первоначальные запасы потребителей и доли участи в прибыли фирмы. В связи с этим можно
сделать вывод, равновесное распределение и цена не зависят от распределения первоначальных
запасов и долей участия в прибыли в фирмы. Этот результат является следствием
квазилинейности предпочтений потребителей.
Спрос:
Условия первого порядка задачи потребителя (необходимые и достаточные в силу строгой
вогнутости функции полезности):
1
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012
 k ( x k )  p;
.

 k ( x k )  p, если x k  0
Для каждого возможного уровня p  0 мы можем определить единственное значение x k ,
которое обозначим через x k ( p) , удовлетворяющее условию первого порядка (это (прямая)
функция спроса потребителя k ).
Из условий первого порядка следует, что x k ( p)  0 при p   k (0) , причем функция спроса
x k ( p ) не возрастает по p для любого p  0 и строго убывает при p   k (0) (поскольку по
теореме о дифференцировании обратной функции x k  ( p)  1 /  k  ( x k ( p))  0 ).
Совокупный спрос: Графически для того, чтобы получить совокупный спрос на благо x , нужно
горизонтально
сложить
индивидуальные
кривые
спроса.
Совокупный
спрос
 x ( p)  0, если p  max  k  (0)
k

k
.
x( p )  
k

 x k ( p)  0, если p  max  (0)
 k
Предложение:
Условия первого порядка задачи фирмы (необходимые и достаточные):
 p  c j ( y j );

 p  c j ( y j ), если y j  0.
Условия первого порядка задачи фирмы определяют ее функцию предложения y j ( p ) : для
любого p  0 мы можем определить единственный уровень выпуска y j , удовлетворяющий
условию первого порядка. Функция y j ( p ) не убывает при любом p  0 и строго возрастает при
p  c j (0)
(поскольку
по
теореме
о
дифференцировании
обратной
функции
y j ( p)  1 / c j ( y j ( p))  0 ), причем при p  c j (0) предложение фирмы равно нулю: y j ( p )  0 .
Совокупное предложение: Графически для того, чтобы получить совокупное предложение блага
x , нужно горизонтально сложить индивидуальные кривые предложения. Совокупное
предложение:
 y j ( p)  0, если p  min c j (0)
 j
y( p)  
.

y
(
p
)

0
,
если
p

min
c
(
0
)
j
 j
 j
Равновесие:
Чтобы найти равновесную цену блага нам нужно только найти такую цену ~p , где совокупный
p)  y( ~
p ) , т.е. графически нужно найти точку
спрос равен совокупному предложению: x( ~
пересечения кривых совокупного спроса и совокупного предложения, и такая точка будет
соответствовать положительному уровню блага x , если max  k  (0)  min c j (0) . Причем,
k
j
2
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012
поскольку при p  min c j (0) функция совокупного предложения является строго возрастающей,
а при
p  max  k  (0) функция совокупного спроса является строго убывающей, то эта
k
равновесная цена определена единственным образом.
Индивидуальные уровни спроса и предложения блага в равновесии определяются как
~
y j  y j (~
p ) для всех производителей.
x k  xk ( ~
p ) для всех потребителей и ~
3
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012
Темы: Частичное равновесие: случай совершенной конкуренции (сравнительная статика);
монополия
План
1. Частичное равновесие: случай совершенной конкуренции: сравнительная статика –
введение потоварного налога; равновесие и оптимальность.
2. Монополия: задача монополиста, характеристика решения; сравнительная статика:
введение потоварного налога.
Основные определения
1. Сравнительная статика. Предположим, на рынке действует потоварный налог t на товар x .
Введение налога для потребителей эквивалентно увеличению цены на величину t , то
совокупный при введении налога t и цене p составит x ( p  t ) . Таким образом, равновесная
рыночная цена при введении налога (которую и получает производитель), обозначим ее через
~
p (t ) , должна удовлетворять условию: x( ~
p (t )  t )  y ( ~
p (t )) .
x ( ~
p (t )  t )
p (t )  0 . Таким образом, цена ~
p (t ) , получаемая
Тогда ~
, т.е.  1  ~
p (t )   ~
~
x ( p (t )  t )  y ( p (t ))
производителями, снижается с ростом налога, тогда как совокупные издержки приобретения
p (t )  t растут, а следовательно совокупное количество
товара для потребителей ~
приобретаемого и производимого блага сокращается.
p (t ))   (кривая совокупного предложения
Два специальных случая: 1) если y ( ~
~
горизонтальна), то p (t )  0 , т.е. на цену, получаемую фирмами, налог никакого влияния не
p (t ))  0 (кривая совокупного
оказывает - все бремя налога несут потребители; 2) если y ( ~
~
предложения вертикальна), то p (t )  1 , т.е. влияние налога ощущают на себе только фирмы.
Равновесие и оптимальность: Задача на поиск Парето-оптимальных распределений в данной
экономике сводится к следующей:
max W ( x, y )    k ( x k )   c j ( y j )
x k , y j 0
x
k
k
k 1
j
  yj
j
где W ( x, y ) - индикатор общественного благосостояния.
Условия первого порядка этой задачи совпадают с условиями первого порядка,
характеризующими равновесие, при множителе Лагрнажа равном равновесной цене ~p . Таким
образом, равновесное распределение Парето- оптимально.
2. Монополией называется фирма, являющиеся единственным производителем некоторого
товара. Задача монополиста: max  ( y)  p( y) y  c( y) , где p( y)  x 1 ( p) - обратная функция
y 0
совокупного спроса.
Равновесный выпуск монополиста y m  0 характеризуется условием: p( y m )  y m p' ( y m )  c( y m )
или MR ( y m )  MC ( y m ) , где MR ( y )  p( y )  yp ( y ) - предельный доход (выручка) монополиста
(от англ. marginal revenue), MC  c ( y ) - предельные издержки (от англ. marginal costs).
4
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012
Если обратная функция спроса
p(0)  c (0) , то y m  0 .
p ( y ) и функция издержек c( y )
дифференцируемы и
Сравнительная статика: введение потоварного налога в случае, когда c( y )  cy , c  0 .
Введение потоварного налога приводит к росту предельных издержек на величину налога, а
следовательно к параллельному сдвигу вверх кривой предельных издержек.
Условие первого порядка p( y m )  y m p' ( y m )  c неявным образом описывает зависимость
равновесного объема выпуска монополиста от предельных издержек c . Как изменятся
оптимальный уровень выпуск и равновесная цена при малом увеличении предельных издержек?
Продифференцируем условие первого порядка по c , учитывая, что оптимальный уровень
1
выпуска зависит от c , y m  y c  . Тогда y (c) 
 0 (по условию второго порядка
2 p ( y )  yp ( y )
p ( y )
задачи монополиста) и p (c)  p ( y )  y (c) 
 0 , т.к. p ( y )  0 .
2 p ( y )  yp ( y )
При линейной обратной функции спроса p( y )  a  by , a  c  t , b  0 , p (c)  1 / 2 , т.е. в этом
случае равновесная цена возрастет на половину величины налога с единицы выпуска.
При обратной функции спроса p( y)  2 / y p (c )  2 , т.е. введение потоварного налога t
приводит к росту предельных издержек на величину налога, а равновесная цена возрастает на
величину 2t .
5