математическая модель и исследование региональной

-1МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
И ИССЛЕДОВАНИЕ РЕГИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ
Булгаков В.К., Стригунов В.В.
Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск, Россия
В статье предложена математическая модель макроэкономики региона Российской Федерации на основе производственной B ( x ) -функции. Математическая модель учитывает особенности
существующей бюджетной системы РФ. Исследована стационарная траектория макроэкономической модели. Рассматривается "золотое правило накопления" для региональной экономики Российской Федерации. Проводится сравнение норм накопления "золотого правила" при использовании производственной B ( x ) -функции и функции Кобба-Дугласа.
The mathematical model of regional macroeconomics of the Russian Federation developed on the basis of industrial B ( x ) -function is given in the article. The mathematical model takes into account features of
the existing budget system of the Russian Federation. The stationary trajectory of macroeconomic model is
investigated. The golden rule of accumulation of regional economy of the Russian Federation is considered
in this article. Comparison of norms of accumulation of a golden rule is lead at use industrial B ( x ) -function
and Cobb-Douglas functions.
1. Об инвестициях и потреблении в региональной экономике РФ
Пусть K – основной капитал (фонды), N – число работников, участвующих в производственном процессе экономической системы региона.
Введем переменные (аргументы) производственного процесса  K , g N ,
где  – доля выбывших за год основных производственных фондов, g –
средний годовой доход одного работника. Пусть Y – валовой региональный продукт (ВРП), измеряемый в стоимостном исчислении.
K
Y
Введя безразмерные параметры (переменные) A 
, C
, предgN
gN
ложенную в работах [1, 2] производственную B( x) -функцию можно записать в виде
1



C
B A
BA 

,
(1)
 b 1 e
 1  b  B A 1  e


C


где B , b , C  – параметры производственной B( x) -функции. В рабо-


тах [2, 3] приведены следующие значения, с точностью   10  3 , параметров производственной функции экономики Хабаровского края: B  0.857 ,
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-2b  0.814 , C  10.947 . В переменных x1   K , x2  g N , Y производствен-
ная B( x) -функция имеет вид
x
x
 0.857 1 
1.167 2 


x2
x1
(2)
Y  8.911 x2  1  e
  1.745 x1  1  e
.








Введя нормирующие множители 1 B , C  для переменных A и C , т.е.
C
, производственную функцию (1) представим в виде
x  A B , B( x) 
C
1

 

B( x)  b 1  e   1  b  x 1  e x  .
(3)




Валовой региональный продукт Y следующим образом выражается через
функцию (3)
Y  g N C B(x) .
(4)

x

С точки зрения математического моделирования региональная экономическая система отличается от экономической системы страны тем, что
математическую модель макроэкономики региона нельзя рассматривать
как замкнутую, когда инвестиции и потребление полностью определяются
объемом произведенной продукции. Валовой региональный продукт за
вычетом полного объема налоговых изъятий с рассматриваемой территории определяет только часть региональных инвестиций и потребления.
Необходимо рассматривать процесс воспроизводства основного капитала
региона также с учетом капитальных расходов бюджетов всех уровней
(федерального, регионального, муниципальных бюджетов региона), финансовых потоков естественных монополий на территории (отраслевое
финансирование) и из других источников. Рассмотрим модель суммарного
финансирования капитальных расходов
региона бюджетной системой Российской Федерации, естественными монополиями на территории и из других источников. За основу модели возьмем
схему бюджетной системы РФ (рис. 1).
Пусть Q – полный объем налоговых
изъятий с рассматриваемой территории,
а Q F , QR , QM – налоги, поступающие в
федеральный, региональный, муници-
Рис. 1
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-3-
пальные бюджеты региона. Введем  1 
Q
QF
Q
,  2  R ,  3  M и пропорQ
Q
Q
ции  1 ,  2 возврата средств в порядке перераспределения доходов в долях
от уровня доходов нижестоящих бюджетов, рассчитанные как увеличивающие коэффициенты.
Поступления в региональный и местные бюджеты от естественных
монополий на территории по аналогии с бюджетным регулированием выind
ind


R
M
разим через пропорции
,
в долях от уровня налоговых поступлений регионального и местных бюджетов.
Поступления из других источников (внебюджетной системы РФ и внеот0
0
раслевого финансирования) также выразим через пропорции  R ,  M в до-
лях от уровня налоговых поступлений регионального и местных бюджетов.

Q
Y ),
Введя параметры  – уровень налогового бремени региона [4] (
s – норму накопления, определяемую организаторами производственного
процесса региона, для суммарных инвестиций I и фонда непроизводственного потребления W можем записать:
I  ci Y  ci g N C B(x) ,
(5)
W  cw Y  cw g N C B(x) ,
(6)
где функция B(x) определяется формулой (3), а коэффициенты ci , cw равны:
ci   1    s  ri

(7)
,
c w   1    1  s   rw 
ind
0
здесь ri  S R 1   1   Rind   R0  2   2  3  S M 1   2   M
 M
3 ,
rw
 
 1  S  1  
R
1
  Rind   R0


2
 2  3
 
  1  S 1  
M
2
ind
 M
 
    ,
0
M
3
где S R , S M – доли капитальных расходов регионального и местного бюджетов.
Как нетрудно убедиться, коэффициенты ci , cw удовлетворяют уравнению


ci  c w  q ,

 
(8)
ind
где q   1     1   1   Rind   R0  2  1   2   M
  M0  3  .
Анализ показывает, что q  1.
2. Модель экономики региона на основе производственной
B ( x ) -функции
Рассмотрим математическую модель макроэкономики региона в следующих относительных безразмерных показателях (переменных):
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-4-
K
Y
.
(9)
gN
gN
Здесь x – фазовая (основная) переменная (при g  const x пропорциональна фондовооруженности); экономический смысл переменных i , w ,
y следует из (9).
xB
,
i
I
,
gN
w
W
,
gN
y
Примем следующие допущения.
1. Производственный процесс региона описывается функцией (3).
2. Изменение основного капитала (фондов) в единицу времени определяется инвестициями и износом за единицу времени:
dK
I K.
dt
(10)
3. Изменение в единицу времени численности работников, участвующих в производственном процессе региона, определяется уравнением
1 dN
 ,
N dt
(11)
где  – постоянная, определяющая годовой темп прироста числа занятых за счет демографических процессов.
4. Изменение среднегодового дохода одного работника в единицу
времени определяется уравнением
1 dg
(12)
 ,
g dt
где  – годовой темп прироста среднегодового дохода одного работ-
ника.
Продифференцировав первое соотношение (9):  B K  g N x по времени и воспользовавшись уравнениями (10), (11), (12), нетрудно получить
для переменной x(t ) следующее уравнение (основное уравнение модели):
dx
(13)
 a B( x)   x ,
dt
где a   B ci C ,        , x  C (  ) [0 , ) – в силу свойств функции B(x) ,
t  R 1  {t : 0  t  } . Начальное условие уравнения (13) имеет вид
 K (0)
x(0)  x 1  B
,
x 1  (0 , ) .
g (0) N (0)
Из определения переменных i , w , y следует:
w  cw C B(x) ,
i  ci C B(x) ,
y  C B (x) .
(15)
(14)
Система уравнений (13), (14), (15), (3) представляет собой модель
макроэкономики региона на основе производственной B( x) -функции.
Переменная x(t ) (фазовая, основная) как решение задачи Коши (13),
(14) изменяется во времени, описывая динамику развития региональной
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-5-
экономической системы. Очевидно, что остальные макроэкономические
переменные модели также являются функциями времени:
w  cw C B x(t )  ,
i  ci C B x(t )  ,
y  C B x(t )  .
(16)
Конечно, в рассматриваемой модели вся динамика определяется задачей Коши (13), (14) для переменной x(t ) (поэтому она названа основной).
Исследуем стационарную траекторию макроэкономической модели,
т.е. x  xr  const , i  ir  const , w  wr  const , y  y r  const . В этом случае
предметом исследования является только дифференциальное уравнение
(13). Вопрос о существовании и единственности стационарной траектории
модели решает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть параметры правой части уравнения (13) a ,   0 и
имеет место неравенство
  a,
(17)
тогда уравнение (13) имеет единственную и при этом устойчивую
стационарную точку xr  0 .
Доказательство теоремы приведено в работе авторов [5]. Неравенство
(17) является необходимым и достаточным условием.
Рассмотрим в качестве примера региональную экономическую систему, имеющую параметры [3]: B  0.857 ; b  0.814 ; C  10.947 ;   0.18 ;
ri  0.02 ; rw  0.14 ; q  0.998 ;   0.07 ;    0.0045 ;   0.06 . Используя первое уравнение системы (7), распишем неравенство (17) относительно нормы накопления s , формируемой организаторами регионального производственного процесса, в виде
1

1  1   
s
Вычисления дают:

1  
BC
 ri  .

(17')
s  0.233 .
(17'')
Неравенство (17') является необходимым условием выхода экономики
на стационарную траекторию.
При численном решении уравнения
 ( x)   x  B( x)  0
(18)
для определения величины x r на основе метода Ньютона [6]
 ( xn )
xn 1  xn 
(19)
 ( xn )
необходимо задать начальное приближение x0 , находящееся в области
“притяжения” корня [7]; тогда метод Ньютона сходится (как геометрическая прогрессия). Однако, если точка x0 не находится в области притяжения корня, то метод расходится.
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-6-
Используя свойства производственной B( x) -функции, докажем следующую теорему.
Теорема 2. Если для решения уравнения (18), определяющего стационарную траекторию модели, использовать метод Ньютона (19) и взять
начальное приближение
x 0   1 ,
(20)
то итерационный процесс Ньютона дает монотонно убывающую последовательность  xn   xr .
Действительно, рассмотрим правую часть уравнения (18). В точке
x  1  функция
(21)
 1    1  B 1    0 ,
т.е. точка находится справа от корня x r . Вторая производная функции
 (x) на отрезке l    xr , 1  
 ( x)  0 ,
(22)
т.к. B( x)  0 для x  (0, ) . Как известно [8] неравенства (21), (22) гарантируют, что итерационный процесс Ньютона дает монотонно убывающую
последовательность  xn   xr .
Для региональной экономической системы (параметры которой были
приведены выше) в таблице представлены результаты расчетов стационарных значений x r для нормы накопления
Результаты расчетов
s [0.25, 0.8] , а также приведены значения
xr
Br
s
производственной функции Br  B( xr ) .
0.25
0.40
0.60
0.80
0.3795
1.3259
2.3870
3.3463
0.3226
0.7285
0.8912
0.9461
3. О "золотом правиле накопления" в
региональной экономике
Суть «золотого правила накопления» состоит в том [9], что выбором величины нормы накопления можно максимизировать среднедушевое потребление на стационарном режиме.
Исходя из дифференциального уравнения для основной фазовой переменной x(t ) , записанного в форме
dx
  B ci C B( x)   x ,
(23)
dt
с учетом соотношений ci  q  cw , w  cw C B(x) уравнение динамики для
фазовой переменной x(t ) можно представить в виде
dx
 q B C B( x)   x   B w .
(24)
dt
Напомним, что w – среднедушевое потребление отнесенное к среднегодовому доходу одного работника, а        .
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-7-
Рассмотрим стационарный режим функционирования экономической
системы (
dx
 0 ), тогда среднедушевое потребление на стационарном
dt
участке wr определяется соотношением



wr  q C  B ( x r ) 
x r  .
(25)
q

B
C



В области x r  (0 , ) максимум wr будет иметь место при x r  x opt , определяемом алгебраическим уравнением
(26)
x opt :
B( x r )    0 ,
где постоянная  

. В частности, для параметров экономики Хаq  B C
баровского края вычисления дают   0.1914 .
Производная B(0)  1 , в области 0  x r   B( x r ) строго монотонно убывающая до 0 функция. Поэтому имеет место следующее утверждение.
Утверждение. При   1 уравнение (26) имеет единственное положительное решение xopt .
Нетрудно убедиться [5], что итерационный процесс Ньютона
B( x n )  
x n 1  x n 
x0  0
,
B( x n )
дает монотонно возрастающую последовательность {x n }  xopt .
Величина x r  x opt определяет по формуле (25) максимальное среднедушевое потребление на стационарном участке функционирования региональной
экономики wr max .
dx
 0 ) из уравнения (23) получаем следующую
dt
зависимость между оптимальной нормой накопления ci opt и x opt :
На стационарном участке (
ci opt  q 
xopt
(27)
B ( xopt )
или, используя (26),
ci opt  q B( xopt )
xopt
B( xopt )
.
(28)
Норма накопления ci региональной макроэкономики формируется из
нормы накопления s , определяемой организаторами производственного
процесса региона, а также из бюджетов всех уровней, внебюджетных источников. Связь между нормами накопления ci и s определяется первой
зависимостью (7), используя которую из (27) можно записать выражение
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-8-
для оптимальной нормы накопления sopt , определяемой организаторами производственного процесса региона:
sopt 

xopt
1 
q
 ri  .

1    B( xopt )

(29)
На рис. 2 кривой 1 показана зависимость wr от нормы накопления
s [0.25 , 0.9] , посчитанная по уравнениям
q
( x r  x r (s) ),
B( x r ) 
x  0,
1    s  ri r
wr  q C B( x r )   x r .
Здесь же нанесена точка sopt , wr max .
Рис. 2
Рассмотрим "золотое правило накопления" региональной экономической системы для случая, когда используется производственная функция
Кобба-Дугласа [10]. В переменных x , y функцию Кобба-Дугласа можно
записать в форме

y  A1 x 1 ,
(30)
где A1 ,  1 – эмпирические коэффициенты, аппроксимирующие производственную B( x) -функцию y  C B (x) .
Траектория фазовой переменной x(t ) при использовании функции
Кобба-Дугласа описывается уравнением
dx

 q B A1 x 1   x   B w .
dt
(31)
Среднедушевое потребление на стационарном участке wr в этом случае определяется уравнением

wr 1  q A1 x r 1   1 x r ,
(32)


Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
-9-
где постоянная  1 

q  B A1
. Максимум wr 1 имеет место при
1
x opt 1
   1
  1  1
 1 
(33)
1
   1 
и wr max 1  q A1 1   1   1  1 .
 1 
На стационарном участке функционирования экономической системы
(
dx
 0 ) из уравнения баланса
dt
dx

  B ci A1 x 1   x
dt
получаем следующую зависимость между оптимальной нормой
накопления ci opt 1 и x opt 1 :
1
x opt 1
 1
 1 
 
c i opt 1  1 .
 q 1

Откуда из (33), (34) получаем:
ci opt 1  q 1.
(34)
(35)
Аналогично, используя первую зависимость (7) получаем следующее
выражение для оптимальной нормы накопления sopt 1 , определяемой организаторами производственного процесса региона:
sopt 1 
1
q 1  ri .
1 
(36)
На рис. 2 кривой 2 показана зависимость wr1 , посчитанная по формуле
1
 1 

1  1
wr 1  q A1  1  c i  
c i  1 ,
q  q1 

где c i  1    s  ri . Здесь же нанесена точка sopt 1 , wr max1 .
Сопоставление значений sopt и sopt 1 , представленных на рис. 1 (для
данных Хабаровского края), показывает, что величина оптимальной нормы накопления существенно зависит от принятой производственной
функции, особенно на этапе становления экономики, характерном малым
объемом статистических данных и значительным разбросом их. Поэтому
утверждение о том, что на практике имеет место недонакопление (норма
накопления меньше оптимального значения) может не соответствовать
истине.
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
- 10 -
Из результатов аппроксимации производственной B( x) -функции, а
также из статистических расчетов разных авторов для различных базовых
временных промежутков [11, 12] следует, что параметр  1 производственной функции Кобба-Дугласа лежит внутри промежутка 0.1   1  0.9 .
Введем комплекс
xopt ( )

( ,  1 ) 
,
(37)
 1 B ( xopt ( ))
где xopt ( ) – есть решение уравнения (26) для значений   (0 , 1) . Тогда для
отношения оптимальных норм накопления ci opt , определяемого зависимостью (27), к ci opt 1 , определяемого формулой (35) можем записать
ci opt
ci opt 1
 ( ,  1 ) .
(38)
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть ci opt – оптимальная норма накопления, соответствующая максимальному среднедушевому потреблению на стационарном режиме функционирования экономической системы, в случае, когда
производственный процесс описывается B( x) -функцией, а ci opt 1 – оптимальная норм накопления, когда производственный процесс описывается
функцией Кобба-Дугласа (30).
Пусть 0.1   1  0.9 , 0    1. Тогда:
1) существует   ( 1 )  0 , являющееся корнем уравнения
(39)
( ,  1 )  1 ,
такое, что при     ci opt  ci opt 1 ;
2) для   (0 ,   ) ci opt  ci opt 1 ;
3) для   (  , 1) ci opt  ci opt 1 .
Рис. 3
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1
- 11 -
Справедливость теоремы следует из анализа рис. 3, на котором проиллюстрированы результаты расчетов зависимости ( ,  1 ) на отрезке
0.001    0.999 для  11  0.1 ,  12  0.3 ,  10  0.577 ,  13  0.7 ,  14  0.9 . Для
рассмотренных вариантов   ( 11 )  0.026 ,   ( 12 )  0.128 ,   ( 10 )  0.377 ,
  ( 13 )  0.530 ,   ( 14 )  0.820 .
__________________________________
1. Булгаков В.К., Булгаков О.В. Макроэкономическое моделирование региональных экономических систем России: Препринт № 59 ВЦ ДВО РАН. Хабаровск, 2002.
2. Булгаков В.К., Булгаков О.В. Моделирование динамики обобщающих показателей развития региональных экономических систем России // Экономика и мат. методы. Т. 42. № 1.
2006.
3. Булгаков В.К., Булгаков О.В. Экономико-математическая модель региональных экономических систем России, регионального воспроизводства основного капитала. Численные исследования экономики Хабаровского края // Динамика пространственной структуры экономической системы Российской Федерации: Материалы Всероссийской научной конференции / Под общ. ред. Н.Н. Михеевой; РАН ДВО. Ин-т экон. исслед. Хабаровск, 2003.
4. Балацкий Е.В. Воспроизводственный цикл и налоговое бремя // Экономика и мат. методы.
№ 1. 2000.
5. Булгаков В.К., Стригунов В.В. Исследование одной математической модели макроэкономики региона РФ, решение задачи оптимального управления: Препринт № 96 ВЦ ДВО РАН.
Хабаровск, 2006.
6. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука. 1978.
7. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.
8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука.
1970.
9. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ. 2002.
10. Cobb G.W., Douglas P.H. Theory of Production – American Economic Review, March, Supplement, 1928, № 18.
11. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике.
М.: Дело и Сервис, 2004.
12. Терехов Л.Л. Производственные функции. М.: Статистика, 1974.
Управление общественными и экономическими системами 2007 № 1