10-ый класс Задача 1. Лепестки ромашки.

10-ый класс
Задача 1. Лепестки ромашки.
Девочка идет по берегу вдоль быстрого ручья по направлению течения со скоростью
V1 = 4 км/ч и непрерывно бросает в воду лепестки ромашек. Ее подружка сидит на берегу
и вылавливает все проплывающие мимо лепестки. Чему равна скорость течения в ручье
V2, если за одну минуту подружка собирает в 3 раза больше лепестков, чем девочка
бросает каждую минуту?
Решение:
Решение следует из сравнения скоростей девочки и подружки относительно воды:
3(V2 - V1) = V2,
V2 = 3V1/2 = 6 км/ч,
где учтено что относительно воды, на поверхности которой лепестки покоятся, скорости
девочки и подружки соответственно равны (V2 - V1) и V2.
Ответ: V2 = 3V1/2 = 6 км/ч.
Критерии оценивания:
Шаги выполнения задания
3(V2 - V1) = V2
Решение и ответ
Сумма баллов:
Число баллов
6
4
10
Задача 2. Падение с высоты.
С какой высоты H упало тело без начальной скорости, если последние h = 200 м оно
прошло за время t = 4 с? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2, сопротивлением
воздуха можно пренебречь.
Решение:
Из условия того, что время падения с высоты H равно сумме времени падения с высоты
(H - h) и времени t на участке h, получаем:
(2H/g)1/2 = [2(H - h)/g]1/2 + t,
2H/g = 2(H - h)/g + 2t[2(H - h)/g]1/2 + t2,
2h/g - t2 = 2t[2(H - h)/g]1/2,
(2h/g - t2)2 = 8t2(H - h)/g,
H = (gt2 + 2h)2/(8gt2).
Ответ: H = (gt2 + 2h)2/(8gt2) = 245 м.
Критерии оценивания:
Шаги выполнения задания
1/2
Время (2H/g)
Время [2(H - h)/g]1/2
Уравнение (2H/g)1/2 = [2(H - h)/g]1/2 + t
Решение и ответ
Сумма баллов:
Число баллов
1
1
4
4
10
Задача 3. Конструкция с пружинами.
Верхняя планка прикреплена к потолку тремя пружинами. К ней на двух
пружинах прикреплена нижняя планка. К нижней планке прикреплена одна
пружина. Когда к нижнему концу нижней пружины подвесили некоторый
груз, то этот конец сместился вниз на h = 22 мм. На какую величину при
этом от своих положений равновесия сместились верхняя h1 и нижняя h2
планки? Все пружины одинаковые. Зависит ли ответ, если планки не
являются невесомыми и имеют некоторые массы?
Решение:
Из геометрии системы следует, что растяжение верхних пружин равно h1, средних - (h2 h1) и нижней - (h - h2). Если k - коэффициент жесткости каждой пружины, то с учетом
закона Гука для пружин условие равновесия верхней и нижней планок записывается
соответственно в виде:
3kh1 = 2k(h2 - h1),
2k(h2 - h1) = k(h - h2).
После сокращения k в этой системе двух уравнений ее решение дает
h1 = 2h/11 = 4 мм,
h2 = 5h/11 = 10 мм.
Поскольку здесь h, h1 и h2 - величины дополнительного смещения концов пружин при
подвесе шара, то ответ от массы планок не зависит.
Ответ: h1 = 2h/11 = 4 мм, h2 = 5h/11 = 10 мм, от массы планок не зависит.
Критерии оценивания:
Шаги выполнения задания
растяжение средних пружин (h2 - h1)
растяжение нижней - (h - h2).
3kh1 = 2k(h2 - h1)
2k(h2 - h1) = k(h - h2).
Решение и ответ
Сумма баллов:
Число баллов
2
2
2
2
2
10
Задача 4. Стрельба по движущейся цели.
В деревянный брусок массой m1 = 80 г, вертикально движущийся со
скоростью V1 = 20 м/с, попадает и застревает в нем пуля массой m2 = 20 г,
которая летит горизонтально со скоростью V2 = 100 м/с. Найдите
а) модуль скорости V бруска после столкновения,
б) количество теплоты Q, выделившееся при столкновении.
Решение:
Из закона сохранения импульса в горизонтальном и вертикальном направлениях
m2V2 = (m1 + m2)Vx,
m1V1 = (m1 + m2)Vy
находим проекции скорости бруска на горизонтальную Vx и вертикальную Vy оси и
модуль его скорости
V = (Vx2 + Vy2)1/2 = [(m1V1)2 + (m2V2)2]1/2/(m1 + m2) = 25,6 м/с.
Из закона сохранения энергии получаем
Q = m1V12/2 + m2V22/2 - (m1 + m2)V2/2 = m1m2(V12 + V22)/[2(m1 + m2)] = 83,2 Дж.
Ответ: а) V = [(m1V1)2 + (m2V2) 2]1/2/(m1 + m2) = 25,6 м/с; б) Q = m1m2(V12 + V22)/[2(m1 +
m2)] = 83,2 Дж.
Критерии оценивания:
Шаги выполнения задания
m2V2 = (m1 + m2)Vx
m1V1 = (m1 + m2)Vy
V = (Vx2 + Vy2)1/2 = [(m1V1)2 + (m2V2)2]1/2/(m1 + m2) = 25,6 м/с
Закон сохранения энергии
Q = m1V12/2 + m2V22/2 - (m1 + m2)V2/2 = m1m2(V12 + V22)/[2(m1 + m2)] = 83,2
Дж.
Сумма баллов:
Число баллов
2
2
2
1
3
10
Задача 5. Нагревание воды.
В таз с водой при температуре t1 = 20 °С вливают чайник кипятка при температуре t0
= 100 °С и температура воды становится равной t2 = 40 °С. Сколько N всего чайников
кипятка потребуется вылить в таз, чтобы температура воды в нем стала равной t3 = 70 °С?
Во сколько раз первоначальная масса воды в тазу больше массы воды в чайнике?
Решение:
Пусть M и m - масса первоначальной воды в тазу и чайнике соответственно, c - удельная
теплоемкость воды. Тогда уравнения теплового баланса для двух случаев "заливки"
одного и N чайников записываются в виде:
Mct1 + mct0 = (M + m)ct2,
Mct1 + Nmct0 = (M + Nm)ct3.
Из решения системы этих двух уравнений относительно N и M получаем:
N = (t0 - t2)(t3 - t1)/[(t0 - t3)(t2 - t1)] = 5,
M = m(t0 - t2)/(t2 - t1),
M/m = (t0 - t2)/(t2 - t1) = 3.
Ответ: N = (t0 - t2)(t3 - t1)/[(t0 - t3)(t2 - t1)] = 5, M/m = (t0 - t2)/(t2 - t1) = 3.
Критерии оценивания:
Шаги выполнения задания
Mct1 + mct0 = (M + m)ct2
Mct1 + Nmct0 = (M + Nm)ct3
Решение для M = m(t0 - t2)/(t2 - t1)
Решение для M = m(t0 - t2)/(t2 - t1)
Решение для M/m = (t0 - t2)/(t2 - t1) = 3
Сумма баллов:
Число баллов
2
3
2
2
1
10