Графические методы решения задач

Графические методы решения задач
2. Построение графиков циклов идеального газа
Пусть требуется построить график цикла идеального газа, заданный
в каких-либо двух координатных осях из тройки р, V, Т (например,
показанный на рис. 1), в другой паре осей.
Рис.1
Как безошибочно выполнить такое построение?
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева.
pV 
m

RT
(1)
Если масса газа не изменяется (т = const), то уравнение
состояния может быть записано в виде:
pV
 c,
T
(2)
где
c
m

R-
константа для данной задачи.
Уравнение (2) называется уравнением Клапейрона, именно оно
является нашей главной рабочей формулой и справедливо в каждой
точке заданного и искомых графиков. Вспомним, как выглядят
графики изопроцессов и как на них влияет третий (отсутствующий
параметр
а) Изотермы.
Рис.2
б) Изобары.
в) Изохоры.
а) Изотермы: чем выше Т, тем выше идёт гипербола
pV  cT
б) Изобары: чем выше р, тем меньше наклон прямой V   c T .
 p
в) Изохоры: чем больше V, тем меньше наклон прямой p   c T .
V 
2.Если график цикла задан в координатах V, Т, новые
координаты логичнее расположить так, как показано, на рис. 3.
Рис.3
Пусть цикл идеального газа задан в координатах р, Т.
Требуется найти вид этого цикла в координатах р, V и V, Т.
Строим новые координаты удобным образом, записываем
соответствующие каждому участку графика формулы, используя
уравнение (2), переносим заданные значения рi и Тi (рис.4)
Находим точку или линию, где третий (отсутствующий, на
исходном графике) параметр имеет максимальное значение. В нашем.
случае, это объём: Vmax  V2 . Задаём масштаб по координате V, проводя
линии V  V2 в координатах p,V и V,Tи определяя тем самым
положение точки 2 в этих координатах.
Процесс 1-2 в координатах V,T -это прямая линия
 c 
T ,
V  
 p1.2 
которая проходит через начало координат и точку 2. Проводим её и
находим точку 1 на пересечении этой линий с вертикалью T  T1.4 .
Отмечаем значение V1 в координатах- V,T и p,V.
Теперь самое трудное: в координатах р, V надо построить две
гиперболы, проходящие через точки 1и 2. Проще всего выполнить это
построение по клеткам: в точке 2 pV  6  2  12 клеток. Так как для
каждой точки искомой. гиперболы должно выполняться: pV = 12,
легко найти следующие точки,: (р = 6, V = 2); (р = 4, V = 3); (р= 3, V
= 4). Строим по этим точкам гиперболу и на её пересечении с линией
p  p3.4 находим тояку 3. Чуть труднее построение для точки 1, т.к.
p1V1  3 : (р = 3, V = 1); (р = 6, V= 0,5) и т.д. - находим точку 4
.Значения V3 и V4 наносим, на ось.V в координатах V,Т. и p,V (рис.
5). Если гиперболы построены правильно, то эти точки должны
оказаться- на одной -прямой, проходящей через начало координат.
Рис.5
4, График цикла идеального газа, изображённый на рис. 6 в
координатах р,V, надо построить в координатах р,Т и V,T.
Рис. 6
Переход 1-2 не является изопроцессом, все три параметра р,V и Т
являются переменными, и в координатах р,V и V,T этот, переход
уже не будет описываться прямой линией. Тем не менее наши
действия и их последовательность остаются прежними.
Ясно, что Тmaх = Т2, процесс 2-3 отображается прямой линией
 c 
T
V  
 p2.3 
в координатах V, T;
 c 
T
 V1.3 
Процесс 1 – 3 – прямой линией V  
в координатах p,T.
Уравнений процесса 1—2 в координатах р,V задаётся уравнением
p  V , где  - константа(тангенс угла наклона заданной прямой):
V 
1

p,
так, что уравнение (2) можно записать как
Отсюда получаем
Из
pV
p2

c
T
T
V
c

получаем
T
, т.е. V ~
p  T c ,
Т
pV V 2

 c.
T
T
.
т.e. р ~
Т
.
Теперь можно через точки 1 и 2 и начало координат провести
приблизительные кривые р ~ Т в координатах р, Т и V ~ Т . в
координатах V, Т и получить искомые графики (рис. 7).
Рис.7
5. График цикла идеального газа, изображённый на рис. 8 в
координатах р,V, построить в координатах р,Т и V,Т.
Изображаем все три системы координат.
Записываем уравнения переходов 1-2 и 43:
p1, 2   1V
; p3, 4   2V  V1.2 
p
1
; V3.4 
p
2
, где  1 и  2 - константы (наклоны
линий 1-2 и 4-3,  1 >  2 ).
Из уравнения Клапейрона (2) получаем:
p1.2V1.2  1V12.2
c

 c ; V1.2 
T
T
T
1
;
p3.4V3.4  2V32.4
c

 c ; V3.4 
T.
T
T
2
Легко видеть, что с  c , так
1  2
что в координатах V, Т кривая 1-2
пройдёт ниже кривой 4-3. Далее получаем из (2):
p1, 2  T 1c 
p3, 4  T  2 c 
Задаём масштаб по Т: проводим линию Т = Т2, находим
положение линии Т = Т1,. Достраиваем остальные кривые.
6: График цикла идеального газа, изображённый на рис. 9 в
координатах р, V, построить в координатах р, Т и V, Т.
Ход решения - записать уравнение линии 2-3, выразить р(V) и
V(p) и с помощью уравнения Клапейрона (2).найти вид функций
р(Т) и V(T).
Для каждой точки М(р, V), принадлежащей линии 2-3, из подобия
треугольников (заштрихованного и цикла 1-2-3) можно записать:
p  p1 p 2  p1

 tg
V3  V V3  V1
p  p1 
p 2  p1
p  p1
 V3  2
V
V 3V1
V 3V1
p p
p p
2
1
2
1
Отсюда: p  V V  V3  p1  V V  V  p0  k1V
3
1
3
1
где p0 
p2  p1
p  p1
 V3  p1 ; k1  2
V 3V1
V 3V1
.
Вообще, зная общий вид уравнения прямой 2-3 в координатах
р,V, можно было сразу записать р = р0 – k1V и, аналогично,
V = VQ – k2p, где р0 и V0 - точки, в которых прямая 2-3 пересекает
оси р и V (рис. 10).
Подставим р = р0 – k1V в уравнение (2)
Рис.10
pV V  p0  k1V 

 c  p0V  k1V 2  cT 
T
T
p
k
k 
p
T   1 V 2  0 V V 0  1 V 
c
c
c 
 c
В координатах V, Т - это парабола, проходящая через начало
координат и пересекающая ось V в двух точках: V1 = 0 и V2 = p0 .
k1
Очевидно, что вершина этой, параболы Ттах определяется из
соотошения V  V1  V2  p0 или, по правилу T V   0 .
2
2k1

p
p
2k1
V  0  0 V  0
c
c
2k1
В этой задаче лучше не искать Ттаx, а из вида заданного цикла
задать Tmin. Очевидно, что
Тmin= Т1
Итак:
- располагаем новые оси р, Т и V, Т;
- переносим на них известные данные;
- определяем для каждого участка вид функций р(Т), V(T) и Т(V);
- задаём, масштаб по температуре, проводя вертикаль Г = Т1
(находим точку 1);
 c 
T
 V1.2 
- строим прямые p  
 c 
T ;
 p1.3 
и V  
- находим точки 2 и 3 в координатах р,Т иV,Т;
- в координатах р,Т через точки 2, 3 И начало координат
проводим (приблизительно) параболу и, проведя касательную к её
вершине, находим. Тmax;
- завершаем построение параболой в координатах V,Т через
точки 2, 3 и начало координат с касанием в точке Ттax.