11_Tema_10_urok_3

(Класс 11, модуль X, урок 3)
Урок 3. Простейшие
производными
уравнения
с
неизвестной
функцией
и
ее
План урока
 3.1. Пример нахождения закона движения точки
 3.2. Представление об уравнениях с неизвестной функцией и ее
производной
 3.3. Пример нахождения закона движения точки с ускорением
 3.4. Задача о полете снаряда
 3.5. Задача о выравнивании температур
 3.6. Уравнения с разделенными переменными
 3.7. Закон изменения скорости падения тела
 Тесты
 Домашнее задание
Цели
урока:
рассмотреть
примеры
задач,
приводящих
к
дифференциальным уравнениям, и ознакомиться с приемами решения
дифференциальных уравнений, которые основаны на сведении задач к
вычислению неопределенных интегралов. Общая формула для решения
уравнения имеет вид y ( x)  F ( x)  C , где C – произвольная константа.
Значение ее находится из дополнительных условий, присутствующих
обычно в рассматриваемой практической задаче. Решение более сложных
дифференциальных уравнений осуществляется путем приведения их к
простейшему виду с помощью тех или иных искусственных приемов.
Некоторые из таких приемов описаны в пунктах 2.3-2.7.
3.1. Пример нахождения закона движения точки
Рассмотрим следующий пример.
Пример 1. Предположим, что нам нужно установить закон движения
точки по прямой, если известно, что точка движется с постоянной
скоростью v  4 км/час и в момент времени t0  0 5 часа находится на
расстоянии 3 км от начальной точки отсчета.
Для ответа на этот вопрос обозначим через S (t ) функцию,
выражающую зависимость от времени t расстояния между движущейся
точкой и начальной точкой отсчета. Тогда по определению скорости имеем
равенство S (t )  4 в каждый момент времени t . Это равенство задает связь
между производной от неизвестной функции S (t ) и известной функцией
v(t )  4 Следовательно, мы должны решить уравнение, в котором
неизвестная функция S (t ) входит со знаком производной, и при этом
выбрать такое из решений S (t ) , что выполняется равенство S (0 5)  3
Найти все решения уравнения S (t )  4 позволяет понятие
первообразной, так как если S (t )  4 при всех t то по определению
функция S (t ) является первообразной для функции v(t )  4 По основному
свойству первообразных все решения можно задать формулой S (t )  4t  C 
где C — произвольная постоянная. На рисунке 1 изображены графики
некоторых решений уравнения S (t )  4
Из всех найденных функций S (t )  4t  C  нам нужна такая такая
функция, что S (0 5)  3 Это выполняется, если S (0 5)  4  0 5  C  3
Отсюда C  1 а поэтому искомый закон движения точки имеет вид
S (t )  4t  1 (рисунок 2).
Вопрос. На каком расстоянии от начальной точки отсчета будет
движущаяся точка через 8 часов?
3.2. Представление об уравнениях с неизвестной функцией и ее
производной
Уравнение S (t )  4 из пункта 3.1 является одним из уравнений вида
y  f ( x)
где f ( x) — заданная функция, а y — неизвестная функция, которую
требуется найти. На каждом из промежутков области определения функции
f ( x ) все решения такого уравнения можно найти с помощью
первообразных.
В самом деле, если для каждого x из промежутка D выполняется
равенство y( x)  f ( x) то по определению функция y ( x) есть
первообразная для функции f ( x ) Найдя одну из первообразных F ( x) для
функции f ( x) на промежутке D все решения уравнения y  f ( x) на этом
промежутке можно записать в виде
y  F ( x)  C 
где C — произвольная постоянная.
1
Пример 2. Найти все решения уравнения y   2 на промежутке
x
(0)
1
Решение. Так как f ( x)  2  x 2 , то одной из первообразных для
x
1
функции f ( x) служит функция F ( x)   . Поэтому множество функций
x
1
y    C , где C — произвольная постоянная, на промежутке (0) задает
x
все решения. На рисунке 3 изображены некоторые из решений.
Решения уравнения, содержащего неизвестную функцию и ее
производные, иногда называют его интегралами, а процесс решения —
интегрированием. Графики получаемых решений называют также
интегральными кривыми.
Вопрос. Какие решения имеет
1
y ( x )  2 на промежутке ( 0)
x
дифференциальное
уравнение
3.3. Пример нахождения закона движения точки с ускорением
Рассмотрим пример.
Пример 3. Пусть точка движется по прямой с постоянным
ускорением a  2 м/сек 2 , в момент времени t0  3 сек находится на
расстоянии S0  4 м от точки отсчета и при этом имеет скорость
v0  5 м/сек.
Для установления закона движения обозначим через S (t ) расстояние
от точки отсчета до движущейся точки. Тогда S (t )  v(t ) где v (t ) —
скорость точки в момент времени t и v(t )  ( S (t ))  S (t )  a  2 .
Следовательно, для ответа на поставленный вопрос нужно найти решения
уравнения
S (t )  2
и выбрать из них такое, чтобы выполнялись равенства S (3)  4 S (3)  5
Это можно сделать, если обозначить S (t )  v(t ) Тогда
v(t )  2 S (t )  v(t )
Уравнение v(t )  2 решается аналогично тому, как это рассмотрено в
пункте 3.1. В результате получаем v(t )  2t  C1 где C1 — постоянная. Для
определения C1 подставим t0  3 и получим v(t0 )  5  2t0  C1  6  C1 .
Отсюда C1  1 и v(t )  2t  1
После этого уравнение S (t )  v(t ) запишется в виде S (t )  2t  1 По
правилам нахождения первообразных получаем
1
S (t )  2  t 2  t  C2  t 2  t  C2 
2
где C2 — постоянная. Для определения C2 подставим t0  3 и получим
S (t0 )  4  32  3  C2  откуда C2  2 В итоге S (t )  t 2  t  2
Найденное решение представляет собой функцию, график которой
изображен на рисунке 4.
Вопрос. В каком месте находилась движущаяся точка в момент
времени t0  0
3.4. Задача о полете снаряда
Рассмотрим следующий пример.
Пример 4. Рассмотрим задачу о полете снаряда, выброшенного из
орудия с начальной скоростью v0 под углом  к горизонту. Для простоты
силу сопротивления воздуха учитывать не будем.
Точку вылета снаряда из ствола примем за начало координат, и будем
считать, что движение происходит в плоскости Oxy причем ось Ox
выбрана горизонтально, а ось Oy направлена вертикально вверх
(рисунок 5).
Движение снаряда является результатом сложения двух движений:
движения со скоростью vx вдоль оси x под действием силы Fx и движения
со скоростью v y вдоль оси y под действием силы Fy . Так как на снаряд
действует только сила тяжести, направленная вертикально вниз, то Fx  0 и
Fy   mg , где m — масса снаряда, g — ускорение свободного падения.
По закону Ньютона
mvx (t )  0 и mv y (t )  mg 
Отсюда vx (t )  0 v y (t )   g 
Таким образом, решение поставленной задачи сводится к решению
двух дифференциальных уравнений vx  0 и v y   g  Интегрируя, найдем
vx  C1  v y   gt  C2 
В
момент
времени
t 0
имеем:
vx (0)  v0 cos  
v y (0)  v0 sin  
Следовательно, C1  v0 cos   C2  v0 sin   В результате получаем
vx  v0 cos   v y   gt  v0 sin  
Поскольку vx  x(t ) v y  y (t ) то
x(t )  v0 cos  
Интегрируя, находим
y(t )   gt  v0 sin  
gt 2
 v0  sin   t  C4 
2
При t  0 имеем x(0)  C3  0 y(0)  C4  0 Подставляя C3  0 и
C4  0 в уравнения, получим
1
x  v0 cos   t  y   gt 2  v0  sin   t 
2
x
Выражая t из первого соотношения, получим t 
.
v0 cos 
x
Подставляя t 
во второе соотношение, найдем уравнение
v0 cos 
траектории снаряда в декартовых координатах x и y 
x  v0 cos   t  C3 
y
gx 2
y  x tg  

2
2v0 cos 2 
Таким образом, траекторией движения снаряда является дуга
параболы.
Вопрос. Как вычислить дальность полета снаряда?
3.5. Задача о выравнивании температур
В этом пункте рассмотрим задачу на выравнивание температур.
Пример 5. Вода в комнате охлаждается за 10 мин от 100 до 60 
Температура в комнате 20  Через какое время вода остынет до 25 
Решение. Пусть T (t ) — температура воды в момент времени t По
условию
T (0)  100  T (10)  60 
Из физики известно, что скорость охлаждения пропорциональна разности
температур тела и окружающей среды. Поэтому
T (t )  k (T (t )  20)
где k — постоянная. Перепишем теперь полученное дифференциальное
уравнение в виде
T
k,
T  20
где T  T (t ) . Интегрируя правую и левую части по переменной t и
учитывая, что T  20 , получим
ln(T  20)  kt  a T  20  ekt  , T (t )  e  ekt  20,
где a — постоянная.
Записывая a в виде a  ln c будем иметь
T (t )  cekt  20
Полагая t  0 получаем c  20  100 , c  100  20  80 В результате
функция T (t ) примет вид T (t )  80  ekt  20
По условию при t  10 имеем T (10)  60 откуда 60  80  e10 k  20
t

ln 2 kt
, e  2 10 . Таким образом,
e10 k  1 . Следовательно, k  
2
10

t
T (t )  80  2 10  20
Время t 0 остывания воды до 25 найдем из уравнения
25  80  2
Решая его, получим 24  2

t0
10

t
10
 20
, откуда t0  40 (мин).
Вопрос. Через сколько минут вода в комнате остынет до 30 
3.6. Уравнения с разделенными переменными
Рассмотренная в предыдущем пункте задача является примером,
приводящим к уравнению вида
g ( y )  y  f ( x)
где f  g — заданные функции, а y — та функция, которую требуется
найти. Такие уравнения иногда называют дифференциальными уравнениями
с разделенными переменными.
Способ решения уравнения с разделенными переменными
основывается на том, что если функция G ( z ) является первообразной для
функции g ( z ) то при произвольной дифференцируемой функции y ( x)
функция g ( y ( x))  y( x) имеет первообразную G ( y ( x)) Поэтому по
основному свойству первообразных из равенства g ( y )  y  f ( x) вытекает
равенство
G ( y )  F ( x)  С
где F ( x) — первообразная для функции f ( x ) а С — произвольная
постоянная.
Вопрос. Как записать дифференциальное уравнение xy  y в виде
уравнения с разделенными переменными?
3.7. Закон изменения скорости падения тела
В этом пункте найдем закон изменения скорости v (t ) падения тела
массы m сброшенного с высоты с начальной скоростью v(0)  v0 
предполагая, что кроме силы тяжести на тело действует тормозящая сила
сопротивления воздуха, пропорциональная скорости тела с коэффициентом
пропорциональности k  0
По второму закону Ньютона m  v(t )  F  где F — сила,
действующая в направлении движения, и v(t ) – ускорение тела. Сила F
складывается из двух сил: силы тяжести mg и силы сопротивления
воздуха — kv которую берем с минусом, так как она направлена в сторону,
противоположную направлению скорости.
Значит, F  mg  kv(t ) и в результате получаем дифференциальное
уравнение
m  v(t )  mg  k  v(t )
Для краткости скорость v (t ) обозначим через v и проинтегрируем
уравнение
mv  mg  kv
Переписав его в виде
v
 k ,
mg
m
v
k
приходим к уравнению с разделенными переменными. Первообразная левой
mg
части есть ln v 
первообразная правой части есть  k t . Записывая
m
k
постоянную интегрирования в виде ln C получим
ln v 
mg
  k t  ln C 
m
k
kt
kt
mg
mg
mg
m
Отсюда либо v 
, если v 
, либо v 
 C e
 C  e m , если
k
k
k
mg
. Оба случая можно объединить одной записью
v
k
kt
m
mg
,
v  C e

k
если предполагать, что константа принимает значение любого знака.
mg
При t  0 по условию имеем v(0)  v0  Следовательно, v0  C 
,
k
mg
откуда C  v0 
.
k
Таким образом, искомая зависимость скорости от времени t
выражается формулой
k
mg   m t mg

v(t )   v0 

e
k 
k

Если мы хотим пренебречь силой сопротивления воздуха и найти
закон изменения скорости v (t ) то мы должны вернуться к начальному
дифференциальному уравнению mv  mg  kv и положить в нем k  0
Тогда получится уравнение v  g  откуда v  gt  C  При t  0 будем иметь
C  v(0)  v0  Следовательно, при отсутствии сопротивления воздуха закон
изменения скорости примет вид
v(t )  v0  gt
Вопрос. Как доказать, что при k  0 скорость v (t ) падающего тела не
может неограниченно возрастать?
Мини-исследование.
Задача о форме зеркала прожектора. Постановка задачи следующая:
требуется найти уравнение такой зеркальной поверхности, что свет
испускаемый точечным источником, выходит после отражения
параллельным пучком.
1) Для упрощения выкладок поместим источник света F в начало
системы координат; будем считать, что пучок выходит в
направлении, параллельном оси Ox . Плоскость, проходящая
через эту ось, рассекает поверхность зеркала по некоторой кривой
y  y ( x) .
2) Пусть луч, выходя из точки F , отражается от зеркала в точке
M ( x; y ) . Если угол падения, равный углу отражения, обозначить
,
то
y  tg  .
Кроме
того,
y ( x)
 tg 2 .
x
Получаем
y
2 y
.

x 1  y 2
3) Разрешите полученное квадратное уравнение относительно y ,
y
выразив y через .
x
y
4) Обозначив
через u ( u – новая неизвестная функция), получим,
x
y  ux , y  u x  u . Подставив это в выражение для y из 3) и
умножив полученное равенство на u , получите соотношение
дифференциальное уравнение
uu  u 2  1  1  u 2 .
5) Сделав еще одну замену: v 2  1  u 2 и разделив переменные,
v
1
 . Интегрирование этого уравнения
получите уравнение
1  v x
дает равенство  ln 1  v  C1  ln x , откуда C1  ln x(v  1) .
6) Выразив v через x и y , получите соотношение C 
x2  y 2  x
C
для подходящей константы C  e 1 .
7) Получите равенство y 2  2C ( x  C ) . Почему эти уравнения
задают семейство парабол?
8) Напишите уравнения параболоидов, полученных вращение этих
парабол вокруг оси Ox .
9) В какую точку F нужно поместить источник света, чтобы после
отражения от поверхности y 2  z 2  2 x свет вышел параллельным
пучком?
Проверь себя. Простейшие уравнения с неизвестной функцией и ее
производными
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
решение дифференциального уравнения y   y имеет вид
y ( x)  Ce x , где C – константа. Какие из интегральных кривых проходят
через точку ( 1; 2) :
 1. y  2e x ;  2. y  2e x  1 ;  3. y  2e x  1 ;  4. y  e x  2 ?
Общее
(Правильный вариант: 3)
Общее решение дифференциального уравнения y   x  1 имеет вид
y( x)  ln x  C , где C – константа. Какие из интегральных кривых проходят
через точку ( e; 3) :
 1. y  ln x  4 ;  2. y  ln( x)  3 ;  3. y  ln x  2 ;  4. y  ln( x)  2 ?
(Правильный вариант: 4)
Какое из указанных множеств функций является общим решением
дифференциального уравнения y  3x 2 y 2 :
 1. y  13  C ;  2. y   13  C ;  3. y  3 1 ;  4. y  3 1 , где C –
x
x
x C
x C
константа?
(Правильный вариант: 4)
Какие из указанных множеств функций являются общим решением
дифференциального уравнения y  x :
y
 1.
 2.
 3.
 4.
y  x  C, y   x  C ;
y  x C, y   x C ;
y  2 x  C, y   2 x  C ;
y  2 x  C , y   2 x  C , где C – константа?
(Правильный вариант: 4)
Проверь себя. Простейшие уравнения с неизвестной функцией и ее
производными
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Какие из указанных функций S (t ) являются решением дифференциального
уравнения S (t )  4 :
 1. S (t )  4t 2  8t  1 ;  2. S (t )  2t 2  5t  3 ;
 3. S (t )  4t 2  3t  2 ;  4. S (t )  2t 2  18t  1 ?
(Правильные варианты: 2, 4)
Какие из указанных функций T (t ) являются решением дифференциального
уравнения T (t )  2(T (t )  1) :
 1. T (t )  3e 2t  1 ;  2. T (t )  2et  1 ;
 3. T (t )  5e2t  1 ;  4. T (t )  2e2t  1 ?
(Правильные варианты: 1, 3)
Какие из указанных функций y ( x) являются решением дифференциального
уравнения y( x)  y ( x)  0 :
 1. sin x ;  2. cos x ;  3. sin x  cos x ;  4. 2sin x  3cos x ?
(Правильные варианты: 1, 2, 3, 4)
Какие из указанных функций y ( x) являются решением дифференциального
уравнения y  y 2  1 :
 1. tg x   ;  2. tg x  2 ;  3. ctg x ;  4. 1  ctg x ?
3
(Правильные варианты: 1, 3)


Домашнее задание
Найдите решения уравнения:
а) y  sin x  cos x
1.
x4 1

x3
2**. Найдите решения уравнения ( y)2  5 y  6  0
3. Найдите решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному
условию:
а) y  x 2  x5  y(3)  1 
2
б) y  cos 2 x y   0
4
2

в) x y  1 y(1)  2
4**. Найдите решения
уравнения:
а) y  xy
3x
б) y  
y
в) yy  x  1
5**. Найдите решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному
условию:
а) y  2 y  y(0)  1
б) y 
 
б) y  y sin 2 x  0
 
y   1
4
2y
 y (1)  1
x
6*. Снаряд вылетает из орудия со скоростью 80 м/сек. Определите дальность
стрельбы, если угол вылета   30 
7*. Найдите наивысшую точку траектории снаряда, вылетающего из орудия
с начальной скоростью v0 под углом  к горизонту.
в) y 
8*. При каком угле вылета снаряда с начальной скоростью v0 дальность
стрельбы наибольшая?
9*. По какой траектории будет двигаться шарик, брошенный горизонтально
с высоты h с начальной скоростью v0 (сопротивлением воздуха
пренебречь)?
10**. Найдите кривые, для которых угловой коэффициент любой
касательной равен ординате точки касания.
11**. Найдите кривые, у которых отрезок любой касательной, заключенный
между точкой касания и осью Ox делится осью Oy пополам.
12**. Одно тело имеет температуру 200  а другое 100  Через 10 минут
остывания этих тел на воздухе с температурой 0 первое тело остыло до
температуры 100  а второе до 80  Через сколько минут температуры тел
сравняются?
13**. Скорость распада радия Q(t ) в каждый момент времени t
пропорциональна имеющемуся наличному количеству Q(t ) радия. Найдите
закон распада радия, если начальное количество радия равно Q(0)  Q0 и
известно, что через 1600 лет останется лишь половина этого количества.
Словарь терминов
Интеграл дифференциального уравнения, интегрирование,
интегральная кривая – решения уравнения, содержащего неизвестную
функцию и ее производные, иногда называют его интегралами, а процесс
решения — интегрированием. Графики получаемых решений называют
также интегральными кривыми.
Уравнение с разделенными переменными – уравнение вида
g ( y )  y  f ( x)
где f  g — заданные функции, а y — та функция, которую требуется
найти.
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 10-15-01.EPS
Рисунок 2. 10-15-02.EPS
Рисунок 3. 10-15-03.EPS
Рисунок 4. 10-15-04.EPS
Рисунок 5. 10-15-05.EPS