Глава 3. Интересные факты о числе π

Муниципальное автономное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №1»
Учебно-исследовательская работа
Замечательное число Пи
Автор: Четвертных Екатерина
8б класс
Руководитель: Пирумова НА
учитель математики
г.Верещагино
2015
Оглавление
Введение ................................................................................................................. 3
Глава 1. С чего все начиналось? .......................................................................... 5
1.1. История числа π ........................................................................................... 5
1.2. Периоды в истории развития числа π ...................................................... 5
Глава 2. Экспериментальные способы получения числа π ............................... 7
2.1. Простейшие измерения ............................................................................. 8
2.2. Взвешивания ................................................................................................ 8
2.3. Метод Бюффона («падающей иголки») .................................................. 9
2.4. Метод Монте-Карло (метод «дождя») .................................................... 10
2.5. Метод соотношений человеческого тела.............................................. 11
Глава 3. Интересные факты о числе π ............................................................. 14
Заключение .......................................................................................................... 16
Литература ........................................................................................................... 17
2
…пи …загадочное число…, которое лезет в
дверь, в окно и через крышу
Август де Морган
Введение
Числа много тысячелетий назад вошли в жизнь и быт людей. Человек их использует
не только при счёте и вычислениях, он придумал различные игры с числами, шарады.
Некоторые числа наделил сверхъестественными свойствами, например: 13; 666. Среди
бесконечного множества действительных чисел существуют ещё особенные, и не только
для математиков. Они имеют свои собственные обозначения, так как их нельзя записать
точно с помощью цифр. Эти числа могут заворожить своей непокорностью, в особенности
π.
Большинство школьников сегодня знают, чему приближенно равно число π. Первое
знакомство с числом происходит в 6 классе, при
вычислении длины окружности и
площади круга. Но, к сожалению, знания о числе π остаются для многих формальными и
уже через год – два мало кто помнит о смысловом содержании числа π и с трудом
вспоминают его численное значение.
Этому числу удавалось в течение тысячелетий держать в плену мысли и чувства не
только математиков и астрономов, но и философов, и художников. Тратились годы для
вычисления нескольких десятичных знаков числа π. И хотя изучение числа π длится не
менее 4000 лет, оно продолжает открывать перед нами новые грани мира. В десятичном
хвосте числа π можно отыскать любую задуманную последовательность цифр: ваш номер
телефона, номер банковского счета, дату рождения и т.д. и не один раз.
Во многих книгах по занимательной математике мы непременно найдем историю
уточнения значения числа π. Сначала в древних Китае, Египте, Вавилоне и Греции для
расчетов использовали дроби, например, 22/7 или 49/16. В Средние века и эпоху
Возрождения европейские, индийские и арабские математики уточнили значение пи до 40
знаков после десятичной точки, а к началу компьютерной эпохи усилиями многих
энтузиастов количество знаков было доведено до 500. Для простого бытового
использования этих знаков уже достаточно. Но ученые продолжали вычислять десятичные
знаки числа π. Зачем они это делают?
Во-первых, для очень точных вычислений какой-нибудь орбиты спутника желательно
иметь этих знаков побольше, а то можно и на Луну не попасть. Во-вторых, это число имеет
3
и собственную научную ценность. В процессе вычислений этих знаков было открыто
множество разных научных методов и целых наук. Но самое главное – в десятичной части
числа π нет повторений, как в обычной периодической дроби, а число знаков после запятой
у него – бесконечно. Поскольку в последовательности знаков числа π нет повторений – это
значит, что последовательность знаков  подчиняется теории хаоса, точнее, число – это и
есть хаос, записанный цифрами.
Гипотеза: мы предполагаем, что используя
известные экспериментальные методы
вычисления числа  в условиях повседневной жизни, мы получим результаты разной
степени точности.
Цель работы: выявить метод, дающий наиболее точное значение числа π.
Цель реализуется через выполнение следующих задач:
1. Познакомиться с историей открытия числа π.
2. Провести практическую работу по нахождению числа π.
3. Найти занимательные факты и правила для числа π.
Объект исследования: методы вычисления числа π .
Предмет исследования: зависимость точности вычисления от метода, формирующего
точное значение числа π .
Методы исследования: теоретический анализ литературы, эмпирическое сравнение,
обобщение, эксперимент.
4
Глава 1. С чего все начиналось?
1.1. История числа 
Открывателями числа  можно считать людей доисторического времени, которые при
плетении корзин заметили, что для того, чтобы получить корзину нужного диаметра,
необходимо брать прутья в 3 раза длиннее его. Найдены таблички из обожженной глины в
Месопотамии, на которых зафиксирован данный факт. Письменная история числа

начинается с египетского папируса 2000 г. до нашей эры.
Обозначение числа π происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια —
окружность, периферия и περίμετρος — периметр. Впервые это обозначение использовал в
1706 году английский математик Уильям Джонс, но общепринятым оно стало после того,
как его (начиная с 1736 года) стал систематически употреблять Леонард Эйлер.[1]
1.2. Периоды в истории развития числа 
Древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии.[1]
Египет и число  (2596/81)
Великая Пирамида является фантастическим шедевром инженерного искусства не только
благодаря своим гигантским размерам. Основание Пирамиды, покоящееся на гранитной
поверхности, представляет собой почти идеальный квадрат (максимальное отклонение 3
минуты 33 секунды) со сторонами около 230 метров.
Вавилон и число  (25/8)
Как считают специалисты, это число было открыто вавилонскими магами. Вавилоняне
пользовались лишь грубым приближением, определив числом "3". Число использовалось
при строительстве знаменитой Вавилонской башни. Однако недостаточно точное
исчисление значения привело к краху всего проекта.
Греция и число  (223/71<<22/7)
В Древней Греции появилась архитектура, а где архитектура – там и расчеты.
Идею заменить длину окружности периметром описанного (вписанного) многоугольника
применил Архимед (III век до н.э.). Начав с 6-угольника, перешел к 12-угольнику, затем к
24-угольнику, и так далее - до 96-угольника.
Архимед доказал, что число "пи" одинаково для любого круга.
Математический метод Архимеда подводил к познанию геометрической формы, к которой
предметы более или менее приближаются, и законы которой необходимо знать, если мы
хотим воздействовать на материальный мир.
5
Китай и число 
Высокого
расцвета
достигла
в
Китае
вычислительная
техника,
основанная
на
приближенных вычислениях. Примером служит вычисление отношения длины окружности
к ее диаметру китайским математиком Цзу Чун-чжи (430-501), который получил
приближение 355/113, дающее 7 верных значащих цифр, и показал, что число лежит в
пределах: 3,1415296 <  < 3,1415297
Индия и число  (339/108)
Наиболее древняя формулировка нахождения числа
 содержится в стихах индийского
Арьябхатта (родился 476 г.н.э.). Прибавь 4 к сотне и умножь на 8, потом ещё 62 000
прибавь. Когда поделишь результат на 20 000, тогда откроется тебе
значенье длины
окружности к двум радиусам отношенье. Он нашел точное значение 3,1416 или
62832/20000. Число 377/120 вычислил Будхайян. Он в 6 веке дал варианты действий того,
что известно как Теорема Пифагора. Число  =3927/1250 вычислил Бхаскара (родился в
1114 г.н.э.).
Древний Израиль (Иудея)
«Он (Соломон) выстроил круглый бассейн из литого металла размерами десять мер от
обода до обода (диаметр=10) и пять мер высотой. Это дало линию вокруг тридцать мер
длиной» [2].
Поиски более точного приближения  продолжались и в дальнейшем.
В России у наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со
времен
Петра
I они
занимались
геометрическими
расчетами
в
астрономии, в
машиностроении, в корабельном деле, в электротехнике. Для запоминания числа π было
придумано двустишие:
«Кто и шутя, и скоро пожелатъ,
«Пи» узнать число – ужъ знаетъ.»
Персидский
математик аль-Каши (первая половина 15 в.) в Трактате об
окружности (1427) вычислил 17 десятичных знаков .
В Европе такое же значение было найдено в 1597 году. Для этого пришлось
вычислять сторону правильного 800 335 168-угольника. Нидерландский ученый Лудольф
Ван Цейлен (1540–1610) нашел для него 32 правильных десятичных знака (опубликовано
посмертно в 1615г.). Это приближение называется лудольфовым числом.
В 1658 англичанин Уильям Броункер (1620–1684) нашел представление числа  в
виде бесконечной непрерывной дроби
6
однако неизвестно, как он пришел к этому результату.
В 1665 Джон Валлис (1616–1703) доказал, что
или
Эта формула носит его имя. Для практического нахождения числа
 она мало пригодна, но
полезна в различных теоретических рассуждениях. В историю науки она вошла как один из
первых примеров бесконечных произведений.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) в 1673 установил следующую формулу:
[3]
Эра цифровых компьютеров. С помощью компьютера было вычислено десятичных знаков:

1949 год — 2037 десятичных знаков

1958 год — 10000 десятичных знаков

1961 год — 100000 десятичных знаков

1973 год — 10000000 десятичных знаков

1986 год — 29360000 десятичных знаков

1987 год — 134217000 десятичных знаков

1989 год — 1011196691 десятичный знак

1991 год — 2260000000 десятичных знаков

1994 год — 4044000000 десятичных знаков

1995 год — 4294967286 десятичных знаков

1997 год — 51539600000 десятичных знаков

1999 год — 206 158 430 000 десятичных знаков
В 2010 году математик Николас Чже (Nicholas Sze), работающий в компании Yahoo смог
установить в числе «Пи» два квадрильона знаков после запятой – это 2, умноженное на 10 в
15-й степени. Чтобы только записать все эти знаки шириной хотя бы 2 мм каждый,
получится длина числа «Пи» более 2 миллиардов километров. То есть конец этого числа
ушел бы уже за пределы Солнечной системы.
По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после запятой.[3]
7
Глава 2. Экспериментальные способы получения числа π
2.1. Простейшие измерения
Оборудование: картон, ножницы, нить, рулетка, линейка.
Ход работы: начертить на плотном картоне окружность диаметра d; вырезать
получившийся круг и обмотать вокруг него тонкую нить. Измерив длину С одного полного
оборота нити, разделить С на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет
приближенным значением числаπ, т. е. π= С / d. [4].
Предмет
С, см
d,см
π
Клей
9,5
3
3,16
Конус
65
20,5
3,17
Табурет
63
20
3,15
Стакан
21
6,6
3,18
Ваза
37
11,8
3,13
Цилиндр
15
4,67
3,19
Флакон
15
4,7
3,19
Среднее
3,16
Вывод: в результате проведенного
эксперимента мы выяснили, что максимально
приближенными к значению числа π стали значения, полученные при измерении вазы и
табурета.
2.2. Взвешивания
Оборудование: картон, ножницы, электронные весы.
Ход работы: на листе картона начертить квадрат, вписать в него круг. Вырезать квадрат.
Определить массу картонного квадрата с помощью весов. Вырезать из квадрата круг.
Взвесить его. Зная массы квадрата mкв и вписанного в него, круга mкр воспользоваться
формулами
m= ρ*V,
V=S*h, где ρ и h –соответственно плотность и толщина
картона, S – площадь фигуры. Рассмотреть равенства:
mкв= ρ Sкв*h= ρ*4*R2h
Отсюда
mкр =ρ Sкр*h= ρ*π*R2h
𝑚кр ρπR2 h
𝑚кв
=
ρ4R2 h
=
4𝑚кр
π
4
2R
,
π= 𝑚
кв
8
4𝑚кр
𝑚кв
mкв
mкр
1
10
8
3,2
2
2
2
4
3
5
4
3,2
Опыт
𝜋=
Среднее
3,46
Вывод: из трех взвешиваний лучшими результатами для числа π стали результаты 1 и 3
взвешиваний. Приближенное значение π зависит от точности взвешивания. [5]. Если
взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможен более точный
результат.
2.3. Метод Бюффона («падающей иголки»)
В
1777
году
французский
естествоиспытатель
Ж.Бюффон
(1707-1788)
сформулировал задачу, впоследствии получившую его имя. Вот «упрощенно» ее суть. [6].
Плоскость разграфлена параллельными прямыми. На плоскость наудачу бросается игла
меньшей длины, чем расстояние между прямыми. Требуется определить вероятность того,
что игла пересечёт какую-нибудь прямую. Так вот, как показал Бюффон, эта вероятность
выражается через число π. Такие эксперименты в позапрошлом и прошлом веке ставились
многими учёными. Ниже приводится таблица, заимствованная из статьи А.Н. Зайделя [7].
Экспериментатор
Вольф
Смит
Фокс
Лаццарини
Год
1850
1855
1894
1901
Число бросаний иглы
5000
3204
1120
3408
Экспериментальное значение
3,1596
3,1553
3,1419
3,1415929
Наиболее замечательный результат принадлежит Лаццарини (1901г.), сделавшему 3408
бросаний. Попробуем повторить.
Оборудование: лист бумаги А3, линейка, карандаш, игла.
Ход работы: взять обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе провести
несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны длине
иголки или превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы
случайно брошенная игла не упала за его пределами. Ввести обозначения: а - расстояние
между прямыми, l – длина иглы.
9
Число бросков
а, см
Число попаданий
π
3
21
2,38
4
15
3,33
3
45
2,22
4
29
3,44
3
89
2,25
4
72
2,77
3
211
2,35
4
172
2,91
4
363
2,75
(игла 2 см)
50
100
200
500
Среднее
3
2,35
4
2,95
Вывод: точность вычислений зависит от числа бросков (чем больше бросков, тем точнее
результат), а также более точный результат был показан на листах, где расстояние между
параллельными линиями составляло 4 см.
2.4. Метод Монте-Карло (метод «дождя»)
Это фактически метод статистических испытаний [6]. Одним из простейших приборов,
генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Можно получить случайные
числа и при помощи …дождя.
Оборудование: лист бумаги А3, разведенная краска.
10
Ход работы: приготовить кусок картона, нарисовать на нем квадрат и вписать в квадрат
четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его
поверхности останутся следы капель. Подсчитать число следов внутри квадрата и внутри
четверти круга.
Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих
фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр –
число капель в круге, Nкв – число капель в квадрате, тогда если а - сторона квадрата, то:
𝑁кв
𝑆
= 𝑆кв =
𝑁кр
кр
а2
𝜋а2
4
4
= 𝜋 , отсюда 𝜋 =
4𝑁кр
𝑁кв
.
№ опыта
Nкв
Nкр
1
122
87
2,85
2
996
763
3,06
Среднее
𝜋=
4𝑁кр
𝑁кв
2,95
Вывод: в результате проведенных двух экспериментов лучшим значением =3,06.
2.5. Метод соотношений человеческого тела
Многим известна “золотая пропорция”, или “золотое сечение”. Золотая пропорция деление отрезка на две неравные части так, что длина большей части (а) превышает длину
меньшей части (в) ровно во столько раз, во сколько раз весь отрезок превышает длину
большей части.
𝑎
𝑏
=
𝑎+𝑏
𝑎
, Число Фидия Ф =
1+√5
2
.
В таком отношении точка М делит отрезок АВ, если большая его часть АМ так относится к
меньшей части МВ, как длина всего отрезка АВ относится к большей части АМ.
Отношение часто обозначают буквой Ф в честь древнегреческого скульптора Фидия (V в.
до н. э.), поскольку в пропорциях частей знаменитого храма Афины Парфенона, созданного
Фидием, исследователи находят “золотую пропорцию”.
11
Сравнительно недавно публицист, поэт и исследователь старины Андрей Чернов
предложил идею так называемого “серебряного сечения”. Согласно данному им
определению, точка М делит отрезок АВ именно в пропорции “серебряного сечения”,
когда AM : MB = . Андрей Чернов нашёл такую “серебряную пропорцию” в мерных
саженях XII века, в архитектуре древнерусских храмов и даже… в архитектонике
пушкинского “Медного всадника”! Он заметил, что в поэме А.С. Пушкина "Медный
всадник" 477 строк. Если это число разделить на количество строк во второй части поэмы,
то получится 3,16 – число, очень близкое к числу 
Отношение размаха рук человека к его росту равно
2Ф
𝜋
≈ 1,03; 2Ф≈3,24.
Оборудование: рулетка.
Ход работы: измерить рост и размах рук человека. Вычислить значение числа 𝜋 =
Объект
Рост,см
Размах рук,см
исследования
(Н)
(h)
Я
158
153
3,15
Мама
161
160
3,22
Папа
168
170
3,27
Сестра
132
131
3,21
Наталия Александровна
153
152
3,22
Тетенова Елена
185
185
3,24
Гында Мария
163
165
3,28
Мальцев Алексей
173
176
3,29
Кудрина Лана
170
172
3,27
Среднее
𝜋=
2Фℎ
Н
2Фℎ
Н
3,24
Вывод: в результате использования данного метода самый лучший результат получился у
меня.
Итак, подведем итоги. Нами было вычислено значение числа π пятью способами.
Полученные опытным путём значение числа π отличаются от приближённого значения,
используемого в повседневной жизни. Проанализировав полученные результаты, мы
пришли к выводу, что наименьшая погрешность получилась при применении метода
простейших измерений; наибольшую погрешность дал метод Бюффона.
12
Способы вычисления
π≈3,14
а
Простейшие измерения
3,16
Абсолютная
Относительная
погрешность ∆=
погрешность 𝛿 =
∆
|3,14 − а|
|3,14 − 3,16|
𝜋
∆
𝜋
100%
0,02
100%=3,14 = 0,6%
= 0,02
Взвешивания
3,46
|3,14 − 3,46|
∆
0,32
𝜋
100%=3,14 = 10%
∆
0,79
= 0,32
Метод Бюффона
(«падающей иголки» )
2,35
|3,14 − 2,35|
100%=3,14 = 25%
𝜋
= 0,79
2,95
|3,14 − 2,95|
∆
𝜋
0,19
100%=3,14 = 6%
= 0,19
Метод Монте-Карло
2,85
|3,14 − 2,85|
∆
𝜋
0,29
100%=3,14 = 9%
= 0,29
3,06
|3,14 − 3,06|
∆
𝜋
0,08
100%=3,14 = 2,5%
= 0,08
Метод соотношений
человеческого тела
3,24
|3,14 − 3,24|
∆
𝜋
0,1
100%=3,14 = 3%
= 0,1
13
Глава 3. Интересные факты о числе π
π- День рождения числа
14 марта в мире отмечается один из самых необычных праздников — Международный день
числа «Пи». Эта дата совпала с днем рождения Альберта Эйнштейна –
ученого
ХХ столетия.
Эксплораториуме
«Отцом» праздника стал Ларри Шоу.
выдающегося
20 лет назад в музее
(Сан-Франциско) устроили Праздник числа . Главная церемония
проходит в музее. Кульминация приходится на 1час 59 минут 26 секунд после полудня.
Участники праздника маршируют вдоль стен Круглого зала, распевая песни о числе, а
потом едят и пьют на-Пи-тки и играют в игры со словами Пи. В центре зала размещают
латунную тарелку, на которой выгравировано число  с первыми 100 знаками после
запятой. В честь него непременно следует приготовить какую-то вкусную ПИщу и даже
выПИть – в общем, устроить ПИр. Итальянцы, наверное, в этот день готовят ПИццу,
англичане – жареную ПИкшу, немцы ставят на стол свиной шПИк, французы непременно
готовят что-нибудь ПИкантное. В России же пекут ПИроги. [8].
π-Архитектура и памятники
Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что
посвятил ему целый дворец Кастельдель Монте, в пропорциях которого можно вычислить
Пи. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО. Металлическая
скульптура числа π установлена на ступенях перед зданием в начале пешеходной зоны.
[9], [10].
π –Ароматы
Аромат назван в честь загадочного числа «пи» - основы многих вычислений, открытий и
инноваций.
Этот
аромат
был
создан
под
руководством
Александра
МакКуина
(AlexanderMcQueen) - коренного англичанина в Париже, поэтому он не мог не получиться
неординарным и уникальным, ведь в нем смешалось два мира: английское спокойствие и
французская любовь к праздникам. Флакон аромата - отдельное произведение искусства.
Он был создан знаменитым дизайнером Сержем Мансо (SergeMansau) и представляет собой
прозрачную пирамиду с вытесненными геометрическими узорами. [10].
π – Музыка
Выход нового диска Кейт Буш "Aerial" заставил сердца математиков забиться сильнее. В
песне, которую певица так и назвала – "Пи", прозвучали 124 числа из знаменитого
числового ряда 3,141… [11].
π - В картинках [12].
π – Мнемоника
14
Запомнить знаки  человечество пытается уже давно. Но как уложить в память бесконечность?
Любимый вопрос мнемонистов-профессионалов. Разработано множество уникальных теорий и
приёмов освоения огромного количества информации. Многие из них опробованы на .
Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз;
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам заняться,
Оказать старинке честь,
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть,
Надо только постараться,
И запомнить все как есть
Три — четырнадцать —
пятнадцать — девяносто два и шесть!
(С. Бобров «Волшебный двурог»)

22 совы скучали
На больших сухих суках.
22 совы мечтали
О 7 больших мышах
О мышах довольно юрких
В аккуратных серых шкурках.
Слюнки капали с усов
У огромных серых сов.
(Ф. Магницкий)
«» пишем - «Пи» в уме
1) 100лет – юбилей известной константы
2) астры – осенние цветы
3) жон – количество жен у него равно числу 
4) рог – волшебный зверь, приравненный к 3,14 единорогам
5) Утанный – осведомленный о 
6) тон – разновидность тритона [6], [14], [15].
15
Заключение
В ходе выполнения исследовательской работы мы узнали об истории открытия
числа π, способах его вычисления и сферах использования и применения.
При использовании пяти экспериментальных методов вычисления числа π, выявили
различную степень погрешности числа π. Наиболее точное значение числа π было получено
при использовании метода простейших измерений. Наша гипотеза подтвердилась.
Мы нашли занимательные факты и правила запоминания для числа π.
Задачи, поставленные в работе, выполнены.
16
Литература
1.Число  [Электронный ресурс] // Википедия.- Режим доступа: www.Wikipedia.org;
2.Библия. - М.: Российское библейское общество, 1999. - стр. 367;
3.[Электронный ресурс].- Режим доступа: www.krugosvet.ru;
4.[Электронный ресурс] - Режим доступа: http://habrahabr.ru;
5.[Электронный ресурс].- Режим доступа: www.distedu.ru;
6.[Электронный ресурс].- Режим доступа: www.obivatel.com;
7.А.Н. Зайдель. Обман или заблуждение// “Квант” -1983.- №5. стр. 24-28;
8.[Электронный ресурс].- Режим доступа: www.calend.ru;
9.[Электронный ресурс].- Режим доступа: www. itlm.ru;
10.[Электронный ресурс].- Режим доступа: www.appl-e.ru;
11.[Электронный ресурс].- Режим доступа: www.manwb.ru;
12.[Электронный ресурс].- Режим доступа: www. яндекс. Картинки;
13.Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. - М.: Просвещение, 1981.- стр. 9;
14.Перельман Я.И. Занимательная геометрии. - М.: ТРИАДА-ЛИТЕРА,1994. - стр. 213;
15.[Электронный ресурс].- Режим доступа: http://mathematic.su/rebuses.html;
16.[Электронный ресурс].- Режим доступа: www.sciteclibrary.ru.
17