Методичка по элемматем 2015 г. часть 2
advertisement
Оглавление Введение................................................................................................................................... Тема 5. Построение сечений призмы и пирамиды плоскостью, заданной тремя точками, методом внутреннего проектирования (вспомогательных сечений)…………………………………………………............................................…….... Основные теоретические положения………………………………………........................ Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений…………………………………………………………………………………….. Задачи………………………………………………………………………………………….. Тема 6. Построение сечений призмы и пирамиды плоскостью с использованием признаков и свойств параллельности прямых и плоскостей (комбинированный метод).......................................................................................................................................... Основные теоретические положения……………………………………………………….. Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений…………………………………………………………………………………..... Задачи………………………………………………………………………………………….. Тема 7. Некоторые метрические задачи на проекционном чертеже…................................ Основные теоретические положения……………………………………………………….. Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений…………………………………………………………………………………..... Задачи………………………………………………………………………………………….. Тема 8. Нахождение расстояний и углов в пространстве конструктивным методом…………………........................................................................................................... Основные теоретические положения………………………………………………………... Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений…………………………………………………………………….......................... Задачи………………………………………………………………………………………….. Ответы………………………………………………………………………………………… 4 5 5 5 8 9 9 10 12 13 13 13 17 19 19 21 29 Контрольная работа………………………………………………………………………….. 31 32 Список литературы.................................................................................................................. 32 3 Введение В пособии представлена вторая часть раздела «Стереометрия. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Задачи на построение в пространстве». В пособии [3] представлены примерный тематический план изучения раздела, формируемые компетенции, диагностируемые цели и первая часть раздела. Раздел содержит две дидактические единицы: геометрия прямых и плоскостей в пространстве; геометрия построений в пространстве. В разработке каждой дидактической единицы представлено следующее содержание: систематизированный теоретический материал; задачи, иллюстрирующие применение этого материала; комментарии к поиску и решению ключевых задач, в которых отражены основные методы и приёмы поиска и решения задач; список задач для аудиторной и самостоятельной работы студентов. Для каждой дидактической единицы запланированы следующие виды учебной деятельности студентов. 1. Аудиторные занятия: лекции и практикумы. 2. Самостоятельная работа студентов: подготовка к практическим занятиям: изучение математической литературы по каждой теме, анализ учебников по математике для школы, выполнение практических заданий, подготовка к выступлению (по теории или с решением конкретных задач); разработка материалов для проведения микросреза (теоретического характера) по конкретной теме; разработка материалов для проведения микросреза (практического характера) по конкретной теме; создание «методической копилки» (подбор упражнений для конкретной темы, наглядные пособия, дидактические материалы, творческие упражнения, дифференцированные задания и др.); самостоятельное изучение отдельных тем; подготовка к контрольной работе. 3. Контроль самостоятельной работы студентов: текущий контроль (выполнение кратких письменных работ; создание «банка» задач; решение задач из списков); промежуточный контроль (выполнение контрольной работы; отчёт по спискам задач); зачёт. Для организации самостоятельной деятельности студентов в пособие включены, кроме списков задач, список литературы и контрольная работа. Список литературы содержит источники, в которых находится достаточно теоретического и задачного материала для подготовки к практическим занятиям, подборки заданий для микросрезов, создания собственного «банка» задач по конкретной теме. Контрольная работа отражает уровень обязательных требований к знаниям и умениям студентов по данному разделу и предназначена для подготовки к аудиторной контрольной работе. Задачи, представленные в пособии, частично заимствованы из литературы, частично составлены авторами. 4 Тема 5. Построение сечений призмы и пирамиды плоскостью, заданной тремя точками, методом внутреннего проектирования (вспомогательных сечений) Основные теоретические положения В пособии [3] в теме 4 были раскрыты понятия проекционного чертежа, секущей плоскости и сечения многогранника, рассмотрено построение сечений призмы и пирамиды плоскостью, заданной тремя точками, методом следов. Но при использовании этого метода достаточно часто след секущей плоскости на плоскости грани или прямой, содержащей ребро многогранника, оказывается за пределами чертежа или вообще не существует в случае параллельности соответствующих прямых или плоскостей, что затрудняет дальнейшее решение задачи. Поэтому следует рассмотреть более универсальный метод построения сечений - метод внутреннего проектирования (вспомогательных сечений). При его применении, в отличие от метода следов, сначала строятся следы секущей плоскости на прямых, содержащих рёбра многогранника, чаще всего боковые, т.е. следы секущей плоскости на проектирующих прямых. Напомним, что изображение призмы (пирамиды) принято считать проекционным чертежом, на котором каждая точка изображена вместе с её параллельной (центральной) проекцией на плоскость основания. В призме направление проектирования определяется боковым ребром. В пирамиде центром проектирования является её вершина. В итоге, сущность метода внутреннего проектирования заключается в нахождении по элементам сечения многогранника их проекций и в обратном получении исходных прообразов. Построения, выполняемые при использовании этого метода, получаются более «скученными», т.к. все они в основном выполняются внутри многогранника. Далее на примерах решённых задач рассмотрим более подробно основные аспекты метода внутреннего проектирования. Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений Задача 1. Дан проекционный чертёж треугольника A0 В0 С0 и одна из проектирующих прямых - прямая р 0 , пересекающая плоскость проекций в точке Х 0 / (рис. 1а). Постройте изображение точки пересечения прямой р 0 с плоскостью A0 В0 С0 . Построение. Строим точку М / - точку пересечения прямых A / С / и В / Х / (рис. 1б). Через точку М / проводим проектирующую прямую, которая в пересечении с прямой AС даёт точку М . Искомой будет точка X - точка пересечения прямых BМ и р . Комментарий к задаче 1) Задача иллюстрирует последовательность выполняемых построений при поиске следа плоскости, заданной тремя точками, на проектирующей прямой: - построить точку пересечения двух прямых, задаваемых парами точек, являющихся соответственно проекциями трёх точек рассматриваемой 5 плоскости и точкой пересечения проектирующей прямой с плоскостью проекций; а Рисунок-1 б - найти прообраз полученной точки как точку пересечения проектирующей прямой с соответствующей прямой, задаваемой двумя точками рассматриваемой плоскости; - построить точку пересечения проектирующей прямой с прямой, задаваемой оставшейся точкой рассматриваемой плоскости и полученным прообразом. 2) Задача всегда имеет единственное решение, т.к., во-первых, всегда можно на основе четырёх точек (проекций трёх точек рассматриваемой плоскости, не лежащих на одной прямой, и точки пересечения проектирующей прямой с плоскостью проекций) задать две прямые, которые будут пересекаться в единственной точке. Во-вторых (на основе свойств проектирования (см. [3], тема 3, I), для полученной точки пересечения всегда единственным образом найдётся соответствующий прообраз в рассматриваемой плоскости и в итоге будет построена искомая точка. Задача 2. Постройте сечение призмы ABCA1 B1C1 плоскостью, проходящей через точки М , N и P (рис. 2), где точка М принадлежит грани AA1C1C , точка N - грани AA1 B1 B , а точка P - ребру BС . Построение. Сначала построим след секущей плоскости MNP на прямой, содержащей боковое ребро AA1 призмы. Для этого спроектируем точки М , N и P на плоскость нижнего основания. Т.к. точка М принадлежит грани AA1C1C , то точка М / - проекция точки М - лежит на ребре AC , где ММ / АА1 . Т.к. точка N принадлежит грани AA1 B1 B , то точка N / - проекция точки N - 6 Рисунок-2 лежит на ребре AB , где NN / АА1 . Т.к. точка P задана на ребре BC , то проекцией точки P будет она сама. Строим точку Х / - точку пересечения прямых М / N / и AP . Находим прообраз полученной точки Х / - точку X как точку пересечения проектирующей прямой ( ХХ / АА1 ) с прямой МN . Строим точку К - точку пересечения прямых РХ и AА1 . Итак, следом секущей плоскости MNP на прямой, содержащей боковое ребро AA1 призмы, является точка К . Далее проводим прямую KМ и получаем отрезок KLL KM AC . Проводим прямую KN и получаем отрезок KQQ KN BB1 . В итоге KLPQ искомое сечение. Комментарий к задаче Задача наглядно иллюстрирует применение метода внутреннего проектирования (вспомогательных сечений) при построении сечения призмы. Для нахождения точки К была полностью пройдена вся последовательность построений, необходимых для поиска следа секущей плоскости, заданной тремя точками, на проектирующей прямой AA1 , выделенная в задаче 1. Аналогично можно было найти следы секущей плоскости на проектирующих прямых ВВ1 и СС1 , но в данной задаче это уже было излишним. Задача 3. Постройте сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки P SC , R SAB и Q SAD (рис. 3). Построение. Сначала построим след секущей плоскости PQR на прямой, содержащей боковое ребро SD пирамиды. Для этого спроектируем точки P , Q и R на плоскость основания. Т.к. точка P задана на ребре SC , то проекцией точки P будет точка C . Т.к. точка Q принадлежит грани SAD , то точка Q / проекция точки Q - лежит на ребре / AD Q SQ AD . Т.к. точка R принадлежит грани Рисунок-3 SAB , то точка R / - проекция точки R - лежит на ребре AВ R / SR AB . Строим точку F - точку пересечения прямых R / D и Q / C . Находим прообраз полученной точки F - точку F1 как точку пересечения проектирующей прямой SF с прямой QP . Строим точку V - точку пересечения прямых RF1 и SD . Итак, следом секущей плоскости PQR на прямой, содержащей боковое ребро SD пирамиды, является точка V . Далее проводим прямую QV и получаем отрезок UV U QV SA . Проводим прямую RU и получаем отрезок TU T RU SB . В итоге TUVP искомое сечение. 7 Комментарий к задаче В задаче методом внутреннего проектирования (вспомогательных сечений) стоится сечение пирамиды, поэтому используется центральное проектирование с центром проектирования в вершине пирамиды. Но последовательность построений остаётся аналогичной той, что проводилась в задаче 2. Задачи В задачах 4-12 требуется построить сечение указанного многогранника методом внутреннего проектирования (вспомогательных сечений). 4. Постройте сечение пирамиды DABC плоскостью MNP , если точки M DAC , N DAB и P BC . 5. Постройте сечение четырёхугольной пирамиды плоскостью, заданной: а) тремя точками на трёх боковых рёбрах пирамиды; б) двумя точками на боковых рёбрах пирамиды и точкой на её боковой грани, не содержащей этих рёбер; в) точкой на боковом ребре пирамиды и двумя точками на её боковых гранях, не содержащих это ребро; г) тремя точками на боковых гранях пирамиды. 6. Постройте сечение призмы ABCA1 B1C1 плоскостью, заданной точками P , Q и R , где: а) P лежит в грани AA1 B1 B , Q лежит на ребре AC , R лежит в грани BB1C1C ; б) P лежит на ребре A1 B1 , Q - точка отрезка DC1 , где точка D лежит на ребре AB , R лежит на продолжении ребра BC , причём точка C лежит между точками B и R . 7. Постройте сечение четырёхугольной призмы плоскостью, заданной: а) тремя точками на трёх боковых рёбрах призмы; б) двумя точками на боковых рёбрах призмы и точкой на её боковой грани, не содержащей этих рёбер; в) точкой на боковом ребре призмы и двумя точками на её боковых гранях, не содержащих это ребро; г) тремя точками на боковых гранях призмы. 8. Постройте сечение четырёхугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками, из которых: а) одна принадлежит нижнему основанию, а две – боковым рёбрам; б) одна принадлежит верхнему основанию, а две – боковым граням; в) одна принадлежит плоскости нижнего основания, одна – плоскости верхнего основания и одна – боковой грани призмы. 9. На рёбрах A1 B1 и DD1 призмы ABCDA1 B1C1 D1 заданы соответственно точки P и Q , а на диагонали AC1 призмы – точка R . Постройте сечение призмы плоскостью PQR . 10. Постройте сечение пирамиды SABC плоскостью MNP , если точки M , N и P заданы вне пирамиды. 11. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, заданной тремя точками на трёх его попарно скрещивающих рёбрах. 12. На рёбрах AA1 , CC1 и EE1 призмы ABCDEA1 B1C1 D1 E1 заданы соответственно точки P , Q и R . Постройте сечение призмы плоскостью PQR . 8 Тема 6. Построение сечений призмы и пирамиды плоскостью с использованием признаков и свойств параллельности прямых и плоскостей (комбинированный метод) Основные теоретические положения В пособии [3] в теме 4 и выше в теме 5 были раскрыты особенности построений сечений призмы и пирамиды плоскостью, заданной тремя точками, методом следов и методом внутреннего проектирования (вспомогательных сечений). Но при решении задач на построение сечений многогранников зачастую эти два метода используются совместно, приводя к более рациональному решению. Также достаточно часто встречаются ситуации, когда след секущей плоскости на плоскости грани или прямой, содержащей ребро многогранника, вообще не существует в случае параллельности соответствующих прямых или плоскостей. Тогда возникает необходимость в применении комбинированного метода построения сечений. В итоге, суть этого метода состоит в использовании теорем о параллельности прямых и плоскостей в сочетании с методом следов и методом внутреннего проектирования (вспомогательных сечений). Основные теоремы, которые применяются при построении сечений комбинированным методом: А. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какойнибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости (признак параллельности прямой и плоскости, [1, п. 6]). Б. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой (свойство параллельности прямой и плоскости, [1, п. 6]). В. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны (свойство параллельных плоскостей, [1, п. 11]). Теорема В особенно часто используется при построении сечений призмы, в частности, параллелепипеда, т.к. плоскости оснований призмы (противоположных граней параллелепипеда) параллельны. Поэтому, например, при решении задачи 82 ([3], тема 4, с. 29-30) для упрощения построения можно было учитывать, что прямые QХ и PЕ параллельны как линии пересечения плоскостей оснований призмы с секущей плоскостью. Также комбинированный метод применяется в тех случаях, когда секущая плоскость задаётся, например, как плоскость, проходящая через данную точку (прямую) и параллельная данным прямым (данной прямой) или данной плоскости. Далее рассмотрим примеры таких задач. 9 Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений Задача 13. Постройте сечение пирамиды DABC плоскостью MNP , где точки M , N , P - середины рёбер DA, АB, ВC соответственно. Построение. Т.к. M , N , P - середины рёбер DA, АB, ВC соответственно, то MN и NP - средние линии треугольников DAB и ABC соответственно (рис. 4). Значит MN DB , NP AC . Тогда плоскость сечения MNP параллельна прямым DB и AC (теорема А). Следовательно по теореме Б плоскость MNP должна пересекать плоскости граней DBC и DAC по прямым, соответственно параллельным прямым DB и AC , т.е. содержащим средние линии РТ и МТ треугольников DBC и DAC . Рисунок-4 В итоге MNPT - искомое сечение. Комментарий к задаче Задача наглядно иллюстрирует применение комбинированного метода при построении сечения многогранника. Именно использование соответствующих теорем о параллельности прямой и плоскости делает решение наиболее рациональным и полностью обосновывает верность проводимых построений. Задача 14. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 плоскостью, проходящей через точку К СС1 (рис. 5) параллельно прямым DC1 и A1С . Построение. Т.к. плоскость сечения параллельна прямой DC1 и проходит через точку К СС1 , то по теореме Б след секущей плоскости на плоскости грани DD1C1C - прямая КL DC1 , L DС . Далее следует учесть условие, что плоскость сечения параллельна прямой A1С . Тогда рассмотрим диагональную плоскость АA1С1С и в ней построим прямую КР А1С, Р А1С1 (теорема Б). Достраиваем сечение методом следов: Рисунок-5 KL DD1 X , KL D1C1 Y , YP B1C1 F , YP A1 D1 N , NX AD M . В итоге KLMNF - искомое сечение. Комментарий к задаче В задаче секущая плоскость однозначно задаётся как плоскость, проходящая через данную точку и параллельная двум данным скрещивающимся прямым. Поэтому при построении сечения комбинированным методом становится необходимым построение двух прямых, проходящих через заданную точку и 10 параллельных заданным прямым. Каждая из этих прямых является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью, заданной данной точкой и одной из данных прямых. В результате построенные прямые однозначно фиксируют на поверхности параллелепипеда три точки, задающие плоскость сечения. На основе этих трёх точек идёт достраивание сечения методом следов. В ходе построения сечения можно было также учитывать теорему В и строить следы секущей плоскости на плоскостях соответствующих граней параллелепипеда попарно параллельными ( МL NF ,MN KF ). Задача 15. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 плоскостью, проходящей через точку К DC (рис. 6) параллельно плоскости PQR , где P AA1 , Q B1C1 , R ( ABC ) . Построение. Сначала строим сечение NPLQM параллелепипеда плоскостью PQR методом следов: ХR - след плоскости PQR на плоскости нижнего основания параллелепипеда, где точка А - проекция точки P АА1 , точка Q / ВС - проекция точки Q В1С1 ( QQ / BB1 ), точка Х - точка пересечения прямых РQ и АQ / , N XR AD , М XR ВС ; NP - след плоскости PQR на плоскости грани AA1 D1 D , Y PN A1 D1 ; YQ - след плоскости PQR на плоскости верхнего основания параллелепипеда, L YQ A1 B1 . При построении сечения NPLQM можно было также учитывать теорему В и строить следы плоскости PQR на плоскостях соответствующих граней параллелепипеда попарно параллельными ( NP МQ,LQ NM ). Рисунок-6 Т.к. плоскость сечения параллельна плоскости PQR и проходит через точку К DC , то по теореме В след секущей плоскости на плоскости нижнего основания параллелепипеда - прямая КN1 МN , N1 AD . Т.к. плоскость сечения параллельна плоскости PQR и проходит через точку N1 AD , то по теореме В след секущей плоскости на плоскости грани AA1 D1 D - прямая N1 P1 NP, P1 AA1 . Продолжая аналогичные построения в плоскостях соответствующих граней параллелепипеда, получаем Р1 L1 PL,L1 А1 B1 , L1Q1 LQ,Q1 B1C1 , Q1 M 1 QM ,M 1 CC1 . В итоге KN1 P1 L1Q1M1 - искомое сечение. При построении сечения KN1 P1 L1Q1M1 можно было также учитывать теорему В и строить следы секущей плоскости на плоскостях соответствующих граней параллелепипеда попарно параллельными ( L1Q1 N1 K ,Q1 M 1 P1 N1 , M 1 K L1 P1 ). 11 Комментарий к задаче В задаче секущая плоскость однозначно задаётся как плоскость, проходящая через данную точку и параллельная данной плоскости. Поэтому при построении сечения комбинированным методом становится необходимым сначала построить сечение параллелепипеда заданной плоскостью – вспомогательное сечение. Далее легко строится искомое сечение, стороны которого (по теореме В) попарно параллельны соответствующим сторонам вспомогательного сечения. Задачи 16. Постройте сечение пирамиды DABC плоскостью, проходящей через точку M DAB параллельно плоскости ABC . 17. Постройте сечение пирамиды DABC плоскостью, проходящей через точку M AB параллельно прямым AC и DB . 18. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 плоскостью, проходящей через точку M AA1 B параллельно плоскости: а) ABC , б) BB1C , в) BDD1 . 19. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 плоскостью, проходящей через: а) ребро CC1 и точку пересечения диагоналей грани AA1 D1 D , б) точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости AB1C1 . 20. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали BD1 . 21. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 плоскостью MNК , где точки M , N , К лежат соответственно на рёбрах: а) ВВ1 , АА1 , АD , б) CC1 , АD, ВB1 . 22. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 плоскостью, проходящей через точку М ВС параллельно плоскости BDС1 . 23. Постройте сечение четырёхугольной пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания и параллельной боковому ребру, не пересекающему эту диагональ. 24. Постройте сечение правильной четырёхугольной пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания и параллельной апофеме боковой грани. 25. Постройте сечение правильной четырёхугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точку на основании пирамиды и параллельной апофемам двух её: а) смежных, б) противоположных боковых граней. 26. На рёбрах AB, SC и SA пирамиды SABC заданы соответственно точки P, Q и R . Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через: а) прямую PQ параллельно прямой CR , б) прямую CR параллельно прямой PQ . 12 27. На ребре AА1 призмы ABCA1 B1C1 задана точка P , а в грани ABC - точка Q . Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через: а) прямую B1Q параллельно прямой BP , б) прямую BP параллельно прямой B1Q . 28. На ребре AА1 призмы ABCA1 B1C1 задана точка P , а в грани ABC - точка Q . Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через: а) прямую B1Q параллельно прямой BP , б) прямую BP параллельно прямой B1Q . 29. На рёбрах AА1 ,CС1 и DC призмы ABCDA1 B1C1 D1 заданы соответственно точки K , P и Q . Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку K параллельно прямым AQ и DP . Тема 7. Некоторые метрические задачи на проекционном чертеже Основные теоретические положения В пособии [3] в теме 3 было рассмотрено решение метрических задач на построение на изображениях плоских фигур. Пришло время рассмотреть решение метрических задач на построение на изображениях пространственных фигур, т.е. на проекционном чертеже. Чтобы сделать чертёж метрически определённым изображение фигуры должно сопровождаться текстом, поясняющим вид фигуры, указывающим некоторые условия. Например, рисунок 7 с пояснением, что ABCDA1 B1C1 D1 - куб, рисунок 8 с пояснением, что DABC - правильный тетраэдр, являются метрически определёнными проекционными чертежами. Далее рассмотрим примеры метрических задач в пространстве: построение прямой, перпендикулярной к прямой (плоскости); построение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых; построение сечения, перпендикулярного прямой (плоскости). Другие примеры можно посмотреть в [6] и [7]. Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений Задача 30. На изображении куба ABCDA1 B1C1 D1 постройте: а) в плоскости грани ВВ1С1С прямую, проходящую через точку М ВВ1С (рис. 7) и перпендикулярную к прямой СА1 , б) сечение куба плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой СА1 . Построение. а) ABCDA1 B1C1 D1 - куб, значит чертёж метрически определён. Тогда СВ1 - ортогональная проекция прямой СА1 на плоскость грани ВВ1С1С (рис. 7). Т. к. ВC1 СВ1 (как диагонали квадрата), то ВC1 СА1 (по Рисунок-7 обобщённой теореме о трёх перпендикулярах). Поэтому m - искомая прямая, где М m, m BC1 . 13 б) Рассмотрим вспомогательную плоскость ВС1 D (рис. 7). В пункте а) доказано, что ВC1 СА1 . Аналогично доказывается, что C1 D CA1 . Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости CА1 (ВС1 D) . Значит искомая плоскость должна проходить через точку М параллельно плоскости ВС1 D . Строим искомое сечение комбинированным методом (тема 6), учитывая тот факт, что стороны сечения попарно параллельны соответствующим сторонам вспомогательного сечения: N m B1C1 , R m BB1 , NE BD,E C1 D1 , RQ C1 D,Q АB , EL C1 D, L DD1 , QT BD,T AD . В итоге NRQTLE - искомое сечение. Комментарий к задаче 1) В пункте а) рассмотрено решение метрической задачи на построение прямой, перпендикулярной к прямой. Искомая прямая была получена как прямая, проходящая через данную точку и параллельная вспомогательной прямой, лежащей в данной плоскости и перпендикулярной к заданной прямой. Тогда по определению параллельных прямых, теореме о параллельных прямых [1, п. 4] и лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой [1, п. 15] полученная прямая действительно удовлетворяет требованию задачи. Следует также отметить, что вспомогательная прямая (на основе обобщённой теоремы о трёх перпендикулярах) определяется как прямая, перпендикулярная к ортогональной проекции заданной прямой на данную плоскость. 2) В пункте б) рассмотрено решение метрической задачи на построение сечения, перпендикулярного прямой. Искомое сечение было построено комбинированным методом (тема 6) как сечение плоскостью, проходящей через данную точку и параллельной вспомогательной плоскости, перпендикулярной к заданной прямой. При этом вспомогательная плоскость определяется как плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми, перпендикулярными к данной прямой. Задача 31. На изображении правильного тетраэдра DABC постройте: а) прямую, проходящую через точку М АВD (рис. 8) и перпендикулярную к плоскости ABC , б) сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую AМ и перпендикулярной к плоскости ABC . Построение. а) DABC - правильный тетраэдр, значит чертёж метрически определён. Рассмотрим DO - высоту правильного тетраэдра DABC , т.е. DO ( АВС ) , где O - точка пересечения медиан треугольника ABC (рис. 8). Поэтому m - искомая прямая, где М m, m DO . б) Плоскость, проходящая через Рисунок-8 прямую AМ и перпендикулярная к плоскости ABC , 14 будет задаваться пересекающимися прямыми AМ и m , т.к. m АВС (см. пункт а)). Поэтому, чтобы получить искомое сечение, построим точку пересечения прямой m с плоскостью ABC . Учитывая параллельность m и DO , находим Q точку пересечения прямых m и NO (рис. 8), где точка N - проекция точки M N DM AB . Строим искомое сечение методом следов ([3], тема 4): Т АМ DB , K AQ BC . В итоге АКТ - искомое сечение. Комментарий к задаче 1) В пункте а) рассмотрено решение метрической задачи на построение прямой, перпендикулярной к плоскости. Искомая прямая была получена как прямая, проходящая через данную точку и параллельная вспомогательной прямой, перпендикулярной к заданной плоскости. Тогда по теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости [1, п. 16] полученная прямая действительно удовлетворяет требованию задачи. Следует также отметить, что зачастую вспомогательную прямую, перпендикулярную к заданной плоскости, на рисунке указать трудно. В этом случае используется другой способ построения искомой прямой: рассматривается вспомогательная плоскость, которая проходит через данную точку и с заданной плоскостью взаимно перпендикулярны, далее строится прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная к линии пересечения этих плоскостей. Указанный способ рассмотрен подробно в [2]. 2) В пункте б) рассмотрено решение метрической задачи на построение сечения, перпендикулярного плоскости. Искомое сечение было построено на основе прямой, перпендикулярной к заданной плоскости, что обосновывается признаком перпендикулярности двух плоскостей [1, п. 23]. Задача 32. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 . Постройте общий перпендикуляр прямых BB1 и AC1 . Построение. Прямые BB1 и AC1 скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых), т.к. BB1 лежит в плоскости грани AA1 B1 В , а прямая AC1 эту плоскость пересекает в точке А ВВ1 (рис. 9а). Существование общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых и его единственность доказаны, например, в [1, № 186] , [2, с.15-16]. Рассмотрим два способа построения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. Рисунок-9а 1 способ: Рассмотрим плоскость диагонального сечения AA1С1С , которая содержит прямую AC1 и параллельна прямой BB1 (рис. 9а). 15 Ортогонально спроектируем прямую BB1 на эту плоскость. Для этого построим плоскость диагонального сечения BB1 D1 D . Т.к. ABCDA1 B1C1 D1 - куб, то ( BB1 D) ( AA1C) , в частности, BD ( AA1C) и B1 D1 ( AA1C) . В пересечении плоскостей получим прямую ОО1 - ортогональную проекцию прямой BB1 на плоскость AA1C , причём ОО1 ВВ1 (тема 6, теорема Б). Т.к. прямые BB1 и AC1 скрещиваются, то прямые ОО1 и AC1 пересекаются в точке М . Далее нужно построить точку М 1 , лежащую на прямой BB1 , для которой точка М является ортогональной проекцией, т.е. нужно провести через точку М проектирующую прямую ММ 1 ВD . Из построений следует, что отрезок ММ 1 перпендикулярен плоскости AA1C . Следовательно, он перпендикулярен прямым ОО1 и AC1 . В силу параллельности прямых BB1 и ОО1 получаем, что ММ 1 ВВ1 . Таким образом, отрезок ММ 1 - искомый общий перпендикуляр прямых BB1 и AC1 . 2 способ: Рассмотрим плоскость нижнего основания ABCD , перпендикулярную к прямой BB1 , ВВ1 АВС В (рис. 9б). Ортогонально спроектируем прямую AC1 на эту плоскость. Т.к. ABCDA1 B1C1 D1 - куб, то АС - ортогональная проекция прямой AC1 на плоскость ABC . Проведём перпендикуляр из точки B к прямой АС . Это будет отрезок ВO - половина диагонали ВD квадрата ABCD, O BD AC . Далее нужно построить точку М , лежащую на прямой AC1 , для которой точка О является Рисунок-9б ортогональной проекцией, т.е. нужно провести через точку О проектирующую прямую МО ВВ1 . Затем через точку М проведём отрезок ММ 1 ВО, М 1 ВВ1 . Получаем, что ММ 1 ВВ1 , т.к. ММ 1 ВО , ВO лежит в плоскости ABC , BB1 АВС , т.е. BB1 ВО . Также ММ 1 АС1 , т.к. ММ 1 ВО , ВO АС , где АС - ортогональная проекция прямой AC1 на плоскость ABC , т.е. ВO АС1 (по обобщённой теореме о трёх перпендикулярах). Таким образом, отрезок ММ 1 искомый общий перпендикуляр прямых BB1 и AC1 . Из построений следует, что ММ 1 ВО как противоположные стороны прямоугольника ММ 1 ВО . Комментарий к задаче В задаче рассмотрены два способа построения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. Выделим последовательность выполняемых построений для каждого из способов. 16 1 способ: 1) Ввести в рассмотрение плоскость, которая содержит одну из скрещивающихся прямых и параллельна другой. 2) Построить ортогональную проекцию второй прямой на эту плоскость. 3) Найти точку пересечения первой прямой с проекцией второй прямой. 4) Построить точку на второй прямой, для которой полученная точка пересечения является ортогональной проекцией. 5) Полученные две точки задают искомый перпендикуляр. Следует отметить, что решая задачу первым способом, получаем две вспомогательные плоскости, каждая из которых проходит соответственно через одну из данных скрещивающихся прямых и перпендикулярна к плоскости, которая вводится в рассмотрение на первом шаге решения. В данной задаче это плоскости BB1 D и АС1 М 1 . Именно линия пересечения этих плоскостей содержит искомый общий перпендикуляр. 2 способ: 1) Ввести в рассмотрение плоскость, перпендикулярную к одной из скрещивающихся прямых. 2) Построить ортогональную проекцию второй прямой на эту плоскость. 3) Из точки пересечения первой прямой с плоскостью провести перпендикуляр к проекции второй прямой. 4) Построить точку на второй прямой, для которой основание полученного перпендикуляра является ортогональной проекцией. 5) Через построенную точку провести отрезок, параллельный полученному перпендикуляру, до пересечения с первой прямой. В ходе решения задачи вторым способом было доказано, что длина вспомогательного перпендикуляра, построенного на третьем шаге решения, равна длине общего перпендикуляра двух данных скрещивающихся прямых. Следует отметить, что решая задачу вторым способом, получаем несколько вспомогательных плоскостей, которые рассматривались и при решении задачи первым способом: плоскость AA1С , где ( AA1С) ВВ1 , АС1 ( АА1С) , плоскость BB1 D , где ВВ1 (ВВ1 D), (BB1 D) ( AA1C) . Задачи 33. На изображении куба ABCDA1 B1C1 D1 постройте: а) в плоскости грани DD1С1С прямую, проходящую через точку М DD1С и перпендикулярную к прямой DB1 , б) сечение куба плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой DB1 . 34. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1 B1C1 D1 , длины рёбер AB, АD и AA1 которого пропорциональны числам 3,2 и 1 . Постройте из точки A1 перпендикуляр к прямой: а) AD1 , б) AB1 , в) BD , г) BD1 . 35. На изображении правильного тетраэдра DABC постройте: а) прямую, проходящую через точку М АВС и перпендикулярную к плоскости ABD , 17 б) сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую DМ и перпендикулярной к плоскости ABD . 36. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 и точка М . Постройте перпендикуляр из точки М к плоскости грани А1 BD , если М принадлежит: а) ребру AA1 , б) ребру СС1 , в) ребру ВС , г) грани АBСD , д) грани ВВ1С1С . 37. Дана правильная призма ABCA1 B1C1 , у которой все рёбра равны. Постройте прямую, проходящую через вершину A1 и перпендикулярную к плоскости AB1C1 . 38. Постройте сечение куба ABCDA1 B1C1 D1 плоскостью, перпендикулярной диагонали АС1 и проходящей через точку: а) B1 , б) М АА1 , в) N АВ , г) Р А1С , д) Q , лежащую внутри куба. 39. Дана правильная пирамида SABC , боковое ребро которой вдвое больше ребра основания. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину A и перпендикулярной ребру SB . 40. Высота правильной призмы ABCDA1 B1C1 D1 составляет 3 стороны основания. 4 Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через вершину В и перпендикулярной к диагонали СА1 . 41. Дана правильная пирамида SABCD , у которой все рёбра равны. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и перпендикулярной боковой грани, противолежащей этой стороне. 42. Постройте сечение правильной четырёхугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую, лежащую в плоскости боковой грани, и перпендикулярной диагональной плоскости. 43. Постройте сечение правильного тетраэдра DABC плоскостью, которая проходит через середину ребра АD , перпендикулярна грани DBC и параллельна прямой BC . 44. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 . Постройте общий перпендикуляр прямых: а) AA1 и BC , б) AA1 и BC1 , в) AA1 и MN , где M ВВ1 и N В1С1 , г) AA1 и BD , д) AA1 и BD1 , е) AA1 и MN , где M ( AВВ1 ) и N (CС1 D) , ж) BD и CD1 . 45. Постройте общий перпендикуляр двух скрещивающихся диагоналей смежных граней куба. 46. Дан правильный тетраэдр DABC . Постройте общий перпендикуляр медиан: а) DМ и CN соответственно граней DAB и DBC , б) DМ и ВN соответственно граней DAB и DBC . 18 Тема 8. Нахождение расстояний и углов в пространстве конструктивным методом Рассмотрим конструктивный метод решения задач на нахождение расстояний и углов в пространстве. Суть и применение других методов при решении задач данного вида можно посмотреть в [2]. Основные теоретические положения I. Определение: Рассмотрим две фигуры F1 и F2. 1) Если они имеют хотя бы одну общую точку, то расстояние между ними равно нулю. 2) Если же фигуры не имеют общих точек, то рассматриваются всевозможные расстояния между каждой точкой фигуры F1 и каждой точкой фигуры F2. Наименьшее из этих расстояний (если оно существует) принимается за расстояние между фигурами F1 и F2. Среди геометрических задач чаще встречаются такие, в которых требуется найти расстояния между точками, точкой и прямой, точкой и плоскостью, прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями. Исходя из содержания понятия расстояния между двумя фигурами, определим понятия расстояний между перечисленными выше объектами. Расстояние от точки до прямой: 1) Если точка принадлежит прямой, то расстояние между ними равно нулю. 2) Если точка не принадлежит прямой, то расстояние между ними равно длине перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной прямой. Расстояние от точки до плоскости: 1) Если точка принадлежит плоскости, то расстояние между ними равно нулю. 2) Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние между ними равно длине перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной плоскости. Расстояние между прямой и плоскостью: 1) Если прямая лежит в плоскости или её пересекает, то расстояние между ними равно нулю. 2) Если прямая параллельна плоскости, то расстояние между ними равно расстоянию от любой точки этой прямой до данной плоскости. Расстояние между плоскостями: 1) Если плоскости пересекаются, то расстояние между ними равно нулю. 2) Если плоскости параллельны, то расстояние между ними равно расстоянию от любой точки одной из них до другой плоскости. Расстояние между прямыми: 1) Если прямые пересекаются, то расстояние между ними равно нулю. 2) Если прямые параллельны, то расстояние между ними равно расстоянию от любой точки одной из них до другой прямой. 3) Если прямые скрещиваются, то расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра. 19 Следует отметить, что расстояние между скрещивающимися прямыми может находиться не только на основе построения их общего перпендикуляра. В силу существования свойства скрещивающихся прямых: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна, нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми можно свести к нахождению расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью или между двумя параллельными плоскостями. Более подробно рассмотренные выше понятия раскрыты в [1] ,[2]. II. В пространстве рассмотрим углы между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями. Угол между двумя прямыми не зависимо от их взаимного расположения можно определить следующим образом: углом между двумя прямыми называется не больший из углов между лучами, параллельными этим прямым. Тогда, в частности, угол между параллельными прямыми равен 0°. Угол между двумя пересекающимися прямыми равен величине плоского угла, не превосходящей величины каждого из остальных углов, образовавшихся при пересечении прямых. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым. Таким образом, угол между прямыми есть величина, принадлежащая отрезку [0°; 90°]. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Как известно, прямая может лежать в плоскости, быть параллельна ей и пересекать плоскость. Если прямая лежит в плоскости или параллельна ей, то угол между ними считается равным 0°. Прямая, пересекающая плоскость, либо перпендикулярна, либо не перпендикулярна ей. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому естественно считать, что угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90°. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой (прямой, наклонной к плоскости) называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость. Таким образом, угол между прямой и плоскостью также есть величина, принадлежащая отрезку [0°; 90°]. Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются. Угол между параллельными плоскостями считается равным 0°. Углом между пересекающимися плоскостями называется величина двугранного угла, не превосходящая величин каждого из остальных двугранных углов, образовавшихся при пересечении плоскостей. 20 Таким образом, угол между плоскостями также есть величина, принадлежащая отрезку [0°; 90°]. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Более подробно рассмотренные выше понятия раскрыты в [1], [2]. III. Решить задачу на нахождение расстояния или угла в пространстве конструктивным методом – это значит непосредственно построить отрезок, длина которого является искомым расстоянием, или угол, величина которого является искомым углом или связана с величиной искомого угла. Т.е. данный метод основан на построении, конструировании определенных фигур, часто – на дополнительных построениях. Такой метод называют так же синтетическим, поскольку при решении используются определения и теоремы синтетической геометрии. Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений Задача 47. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 с ребром 12 . Найдите расстояние: а) от точки C до плоскости BC1 D , б) между плоскостями AB1 D1 и BDC1 . Решение. а) Т.к. точка C не принадлежит плоскости BC1 D , то расстояние между ними равно длине перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной плоскости. Докажем, что это часть диагонали CА1 куба (рис. 10а), т.е. что CА1 ( ВС1 D) . Т.к. ABCDA1 B1C1 D1 - куб, то ортогональной проекцией диагонали CА1 на плоскость АВC является диагональ СА . Т. к. CА ВD (как диагонали квадрата), то CА1 ВD (по обобщённой теореме о трёх перпендикулярах). Аналогично доказывается, что CА1 ВС1 . Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости CА1 (ВС1 D) . Найдём точку пересечения прямой CА1 с плоскостью BC1 D - точку К . Т. к. диагональ CА1 лежит в диагональной плоскости АСС1 , то точка К должна принадлежать линии пересечения плоскостей BC1 D и АСС1 , т.е. прямой, которая проходит через точки C1 и О , где О – точка пересечения прямых АС и BD . Т.е. точка К - точка пересечения прямых CА1 и C1О . СК – искомое расстояние. Найдём длину отрезка СК . BC1 D – правильный, т.к. его стороны равны как Рисунок-10а 21 диагонали равных квадратов и равны 12 2 . Т.к. СB CD СC1 (как рёбра куба), то их проекции КB, КD, КC1 на плоскость BC1 D также равны, т.е. точка К - центр правильного BC1 D , значит КB КD КC1 12 2 3 2 4 6 2 3 (по формуле высоты правильного треугольника и свойству точки пересечения медиан треугольника). Рассмотрим СС1 К – прямоугольный ( СКС1 90 0 ). Применим в нём теорему Пифагора: СК СС1 2 С1 К 2 12 2 4 6 4 3 . 2 б) Плоскости AB1 D1 и BDC1 параллельны по признаку параллельности плоскостей, т.к. две пересекающиеся прямые AB1 и AD1 плоскости AB1 D1 соответственно параллельны двум прямым DC1 и BC1 плоскости BDC1 как соответствующие диагонали противоположных граней куба (рис. 10б). Тогда расстояние между параллельными плоскостями равно длине перпендикуляра, построенного из любой точки одной из них к другой плоскости. Рисунок-10б В пункте а) доказано, что CА1 (ВС1 D) . Значит диагональ CА1 содержит перпендикуляр, построенный из некоторой точки К1 плоскости AB1 D1 к плоскости BDC1 . По аналогии с точкой К (см. пункт а)) точка К1 получается как точка пересечения прямых CА1 и АО1 , где О1 – точка пересечения прямых А1С1 и B1 D1 . Значит искомое расстояние между плоскостями AB1 D1 и BDC1 – отрезок КК1 . Найдем длину отрезка КК1 . КК1 СА1 СК А1 К1 . По аналогии с пунктом а) выводится, что А1 К1 СК 4 3 . Как диагональ куба СА1 12 3 . Тогда КК1 12 3 2 4 3 4 3 . Ответ. а) 4 3 , б) 4 3 . Комментарий к задаче 1) В процессе решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости, во-первых, возникает необходимость построения перпендикуляра из точки к плоскости (прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости). Этот вопрос рассмотрен в теме 7 и в [2]. Например, в данной задаче обосновать перпендикулярность прямой и плоскости позволили обобщённая теорема о трёх перпендикулярах и признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее находится длина построенного перпендикуляра как 22 длина стороны прямоугольного треугольника. В [2] подробно раскрыты другие аспекты нахождения расстояния от точки до плоскости. 2) Когда в задаче требуется найти расстояние между двумя плоскостями, вопервых, необходимо выяснить их взаимное положение, а именно доказать, что они параллельны. На этом этапе чаще всего используется признак параллельности плоскостей. Далее нахождение расстояния между плоскостями сводится к нахождению расстояния от точки до плоскости. 3) Следует отметить, что в пункте б) неявно доказывается тот факт, что диагональ куба делится перпендикулярными ей плоскостями на три равные части. Задача 48. Каждое ребро четырехугольной пирамиды МABCD равно 11 . Найдите расстояние между: а) прямой AD и прямой, проходящей через середину ребра МB и параллельной прямой BC , б) прямыми AD и МС . Решение. а) Пусть МО – высота пирамиды МABCD , т.е. перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды М к плоскости основания ABCD (рис. 11а). По условию наклонные МA МB МC МD , значит равны и их проекции на плоскость основания, т.е. точка О - центр окружности, описанной около ABCD . Тогда ABCD – квадрат, т.к. является ромбом (все рёбра пирамиды равны) с описанной около него окружностью. Пусть точка К – середина отрезка МB , k - прямая, проходящая через К и параллельная прямой BC . Тогда N k , где N – середина отрезка МC (по признаку средней линии треугольника). Значит KN BC , KN 1 11 BC (по свойству средней линии 2 2 треугольника). Но AD BC (свойство противоположных сторон квадрата (параллелограмма)), значит, KN AD . Тогда расстояние между параллельными прямыми AD и KN равно длине перпендикуляра, проведённого из любой точки одной из них к другой прямой. Опустим перпендикуляр NН к прямой AD , Н AD . AK ND 33 как медианы 2 и высоты равных равносторонних треугольников МAB и МCD . Тогда Рисунок-11а AKND – равнобедренная трапеция, где NН – её высота. По свойству равнобедренной трапеции 23 НD AD KN 11 . Рассмотрим DNH 2 4 – прямоугольный ( DHN 90 0 ). 2 2 33 11 Применим в нём теорему Пифагора: NH ND HD 4 2,75 . 2 2 2 б) Прямые AD и MC являются скрещивающимися (по признаку скрещивающихся прямых), т.к. АD лежит в плоскости основания ABCD , а прямая MC эту плоскость пересекает в точке C АD (рис. 11б). Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Вопрос построения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых рассмотрен в теме 7. Поэтому начнём построение этого перпендикуляра для данных прямых AD и MC . Рассмотрим плоскость, перпендикулярную прямой AD . Она (в силу доказанного в пункте а)) проходит через высоту пирамиды МО и середины Е и Р сторон основания AD и ВC - плоскость МЕР . Прямая MР будет проекцией прямой MC на плоскость МЕР . Далее строим перпендикуляр ЕТ из точки Е к прямой MР - высоту в треугольнике МЕР . И на этом можно остановиться, не доходя до конца построение общего перпендикуляра, т.к. в силу доказанного в теме 7 длина перпендикуляра ЕТ равна расстоянию между прямыми AD и MC , т.к. равна длине их общего перпендикуляра. Найдём длину отрезка ЕТ . Треугольники МОР и ЕТР подобны (по двум углам). Тогда MO МР МО ЕР , т.е. ЕТ . Т.к. ABCD – квадрат, ЕТ ЕР МР то ЕР АВ 11 . МР 33 как медиана и высота 2 равностороннего треугольника МСB . Из прямоугольного треугольника МОР : МО МР 2 ОР 2 2 2 33 1 22 11 2 2 2 Тогда ЕТ 22 11 2 2 33 Ответ. а) 2,75 , б) 66 . 3 66 . 3 Комментарий к задаче 1) Когда в задаче требуется найти расстояние между двумя прямыми, вопервых, необходимо выяснить их взаимное положение. В пункте а) прямые Рисунок-11б 24 параллельны, в пункте б) – скрещиваются, но в обоих случаях нахождение расстояния между прямыми свелось к нахождению расстояния от точки до прямой, что потребовало построения перпендикуляра из точки к прямой. Этот вопрос рассмотрен подробно в [2]. Далее находится длина построенного перпендикуляра решением стандартной планиметрической задачи, в частности, в рассматриваемой задаче используются известные из планиметрии сведения для нахождения высоты треугольника (в пункте б)) и равнобедренной трапеции (в пункте а)). 2) В задаче потребовал подробного рассмотрения вопрос построения одной из прямых, расстояние между которыми требуется найти. Она задаётся как прямая, проходящая через заданную точку и параллельная заданной прямой. Это одна из основных задач на воображаемые построения (см. [3], тема 2, III, 2)), которая в данной задаче решается на метрически определённом чертеже. 3) Следует отметить, что в пункте б) расстояние между скрещивающимися прямыми можно было искать не только на основе построения их общего перпендикуляра (тем более что и не пришлось доходить до конца в его построении). Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми можно было свести к нахождению расстояния между прямой AD и параллельной ей плоскостью МСB , содержащей прямую MC . Но для этого всё равно пришлось бы рассматривать плоскость МЕР , перпендикулярную прямой AD . В итоге пришли бы к выводу, что ( ЕМР) ( МСВ) и по свойству перпендикулярных плоскостей построенный отрезок ЕТ (МСВ) , т.е. является расстоянием между AD и (МСB ) . Задача 49. Точка О – середина бокового ребра АА1 прямой призмы Найдите угол между: а) прямыми АС1 и В1О , б) прямой АВ1 и плоскостью грани AA1C1С . Решение. а) Прямые АС1 и В1О являются скрещивающимися (по признаку скрещивающихся прямых), т.к. АС1 лежит в плоскости грани AA1C1С , а прямая В1О эту плоскость пересекает в точке О АС1 (рис. 12а). Тогда угол между прямыми АС1 и В1О равен углу между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым. Найдём прямую, параллельную прямой В1О и пересекающуюся с прямой АС1 . Для этого отметим точку К – середину ребра ВВ1 . Рассмотрим четырёхугольник АКВ1О . Он является параллелограммом (по признаку), т.к. АО КВ1 , АО КВ1 . Тогда ABCA1 B1C1 . АК В1О АА1 20 5 , АВ ВС 20, АС 32 . и КАС1 ( АС1 , В1О) , если КАС1 90 , в противном случае ( АС1 , В1О) 180 КАС1 . Найдём этот угол из КАС1 , используя теорему косинусов: КС1 2 АК 2 АС1 2 2 АК АС1 cos КАС1 . AК и КC1 находим по 25 теореме Пифагора как гипотенузы в равных прямоугольных треугольниках АКВ и C1 КВ1 : AК KC1 20 2 10 5 2 30 . AC1 находим по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника АCC1 : AC1 32 2 20 5 Тогда cos КАС1 2 12 21 . 30 2 (12 21) 2 30 2 2 30 12 21 21 , 5 21 . 5 а КАС1 arccos б) Прямая АВ1 пересекает плоскость грани AA1C1С и не перпендикулярна ей (рис. 12б). Тогда угол между прямой АВ1 и плоскостью грани AA1C1С равен углу между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость. Рисунок-12а Построим ортогональную проекцию прямой АВ1 на плоскость грани AA1C1С . Рассмотрим В1Т - медиану и высоту равнобедренного треугольника A1 B1C1 ( А1 В1 В1С1 ). Тогда В1Т А1С1 и В1Т АА1 ( ABCA1 B1C1 - прямая призма). Значит В1Т ( АА1С1 ) , т.е. АТ - проекция АВ1 на плоскость грани AA1C1С . В итоге ( AВ1 , ( АА1C1 )) В1 АТ . Найдём этот угол из В1 АТ - прямоугольного: sin В1 АТ В1Т . АВ1 2 В1Т АВ1 1 А1 В1 А1Т 20 32 12 . 2 2 2 2 АВ 2 ВВ1 20 2 20 5 2 Тогда sin В1 АТ 12 20 6 ( AВ1 , ( АА1C1 )) arcsin Рисунок-12б 21 2 20 6 . 6 ,а 10 6 . 10 6 , б) arcsin Ответ. а) arccos . 10 5 Комментарий к задаче 1) Задача наглядно иллюстрирует алгоритм, по которому можно действовать при нахождении угла в пространстве конструктивным методом: 26 1) построить (изобразить) или найти (если есть на рисунке) искомый угол согласно определению; 2) выбрать треугольник, одним из углов которого является искомый угол или дополняющий его до 180°; 3) найти этот угол из треугольника (если треугольник прямоугольный, то используются свойства его острых углов или определения синуса, косинуса или тангенса; если же треугольник непрямоугольный, то используются теоремы косинусов, синусов и другие теоремы планиметрии); 4) найти искомый угол; 5) записать ответ [2]. Будем применять данный алгоритм и при решении последующих задач на нахождение углов в пространстве. 2) В задаче можно было выстроить другую цепочку рассуждений в пункте а) при нахождении угла между прямыми АС1 и В1О , проведя через точку О прямую, параллельную прямой АС1 , а в пункте б) доказать перпендикулярность прямой В1Т к плоскости АА1С1 на основе свойства перпендикулярных плоскостей, т.к. ( А1 В1С1 ) ( АА1С1 ) . Но от этого решение существенно не меняется. Задача 50. Основанием пирамиды SABC является прямоугольный равнобедренный треугольник ABC . Вершина пирамиды проектируется в точку О АВ . Найдите угол, образованный плоскостями граней: а) SAC и SBC , б) АBC и SBC , в) SAВ и SAC , если SA SB AC BC . Решение. а) Угол между пересекающимися плоскостями SAC и SBC равен величине двугранного угла, не превосходящей величин каждого из остальных двугранных углов, образовавшихся при пересечении этих плоскостей. Но на рисунке (рис. 13) показан только двугранный угол АSСB между этими плоскостями, поэтому углом между плоскостями SAC и SBC будет либо величина двугранного угла АSСB , либо величина двугранного угла, равного 180 АSСB . Построим линейный угол двугранного угла АSСB . Т.к. SA SB AC BC , то SAC SBC (по трём сторонам). Тогда равные высоты (и одновременно медианы) АН и ВН этих равнобедренных треугольников действительно сходятся в одной точке (середине ребра SС ) и образуют линейный угол АНВ двугранного угла АSСB (по определению). Найдём этот угол из АНВ , используя теорему косинусов: АВ 2 АН 2 ВН 2 2 АН ВН cos АНВ . Пусть SA SB AC BC а . Тогда Рисунок-13 АВ а 2 как гипотенуза прямоугольного 27 равнобедренного треугольника ABC . Т. к. вершина пирамиды проектируется в точку О АВ и SA SB , то AO OB (как проекции равных наклонных). Но ABC - прямоугольный ( АВ - гипотенуза), значит CO AO OB . Тогда SC SA SB (как наклонные с равными проекциями). Значит SAC 2 а 3 а 2 2 2 а 3 ВН . Тогда cos АНВ равносторонний и АН 2 2 а 3 2 2 2 1 , т.е. 3 1 1 АНВ является тупым. Значит (( SAC ), ( SBC )) 180 arccos arccos . 3 3 б) Рассуждая аналогично пункту а), построим линейный угол двугранного угла АBCS (рис. 13). Для этого воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах: по условию SO ( ABC ) , построим OK - высоту и медиану равнобедренного треугольника COВ , тогда SK BC и OKS - линейный угол двугранного угла АBCS (по определению). Найдём этот угол из OKS прямоугольного: sin OKS SO OC SO . SK 1 а 2 АВ как медианы и высоты в равных (по трём сторонам) 2 2 прямоугольных равнобедренных треугольниках ABS и ABC . SK высота правильного треугольника SBC . Тогда sin OKS а 2 2 2а 3 а 3 как 2 6 , а 3 6 . (( АВС ), ( SBC )) arcsin 3 в) Рассуждая аналогично пунктам а) и б), построим линейный угол двугранного угла ВSАС (рис. 13). Для этого воспользуемся тем фактом, что плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла, т.е. построим сечение пирамиды такой плоскостью, которая будет перпендикулярна к SА (вопрос построения такого сечения рассмотрен в теме 7). Строим СТ - медиану и высоту правильного треугольника SAC . Далее, учитывая, что ABS - прямоугольный ( АВ - гипотенуза) и О - середина АВ , рассматриваем ОТ - среднюю линию ABS . По свойству средней линии треугольника ОТ SB , т.е. OT SA и CTO - искомое сечение. Значит CTO линейный угол двугранного угла ВSАС (по определению). Рассмотрим 28 треугольники CTO и SKO . Они равны по гипотенузе и катету, значит 6 . CTO SKO arcsin 3 6 6 1 Ответ. а) arccos , б) arcsin , в) arcsin . 3 3 3 Комментарий к задаче 1) В задаче были проиллюстрированы три возможных способа построения линейного угла для двугранного угла: - на основе определения линейного угла (пункт а)); - на основе теоремы о трёх перпендикулярах или ей обратной (пункт б)); - на основе построения плоскости, перпендикулярной к ребру двугранного угла (пункт в)). В данной задаче все три способа равносильны по сложности проводимых построений. В более сложных задачных ситуациях один из способов обычно становится более предпочтительным. 2) Следует ещё раз особо подчеркнуть, что очень часто возникает такая ситуация, когда угол между гранями многогранника не совпадает с углом между плоскостями этих граней (см. пункт а)). Тогда, находя угол между плоскостями граней многогранника, следует обращать особое внимание на величину получившего в ходе решения задачи линейного угла для рассматриваемого двугранного угла, и в случае, если он оказался тупым углом, то находить величину угла, смежного с ним. Задачи 51. Прямая СD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABС . Через центр O этого треугольника проведена прямая OK , параллельная прямой СD . Известно, что AB 16 3 , OK 12, СD 16 . Найдите расстояния от точек D и K до вершин A и B треугольника. 52. Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10см . На каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведённая к гипотенузе, равна 5см ? 53. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABС равно 4см . Найдите расстояние от точки М до плоскости ABС , если AB 6см . 54. Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABС . Известно, что AB АС 5см, ВС 6см, АD 12см . Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС . 55. Стороны треугольника равны 17см,15см,8см . Через вершину А меньшего угла треугольника проведена прямая АМ , перпендикулярная к его плоскости. 29 Определите расстояние от точки М до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если известно, что АМ 20см . 56. Через центр O окружности, вписанной в треугольник ABС , проведена прямая OK , перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки K до сторон треугольника, если AB ВС 10см, ОК 4см, АС 12см . 57. В треугольнике ABС дано: AB ВС 13см, АС 10см . Точка М удалена от 2 3 прямых АВ, ВС и АС на 8 см . Найдите расстояние от точки М до плоскости ABС , если её проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника ABС . 58. Через вершину А прямоугольника АBCD проведена прямая AK , перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что КB 7см, KС 9см, KD 6см . Найдите расстояние: а) от точки K до плоскости прямоугольника АBCD , б) между прямыми AK и CD . 59. Через вершину В ромба АBCD проведена прямая ВМ , перпендикулярная к плоскости ромба. Найдите расстояния от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АB 25см, ВМ 12,5см, ВАD 60 . 60. В прямоугольном параллелепипеде дано: ABCDA1 B1C1 D1 D1 B d , AС m, АB n . Найдите расстояние между: а) прямой A1С1 и плоскостью ABС , б) плоскостями ABB1 и DСС1 , в) прямой DD1 и плоскостью AСС1 . 61. Ребро куба равно a . Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба, б) диагональ куба и диагональ грани куба. 62. АBCD – квадрат со стороной 4 . Точка М лежит на стороне СD и делит её в отношении 3 : 1, считая от D . Прямая ТМ перпендикулярна плоскости квадрата и ТМ 4 . Найдите расстояние между прямыми: а) ТD и AB ; б) ТD и ВС ; в) TС и АD ; г) TB и СD . 63. Найдите угол между скрещивающимися прямыми AB и PQ , если точки P и Q равноудалены от концов отрезка AB . 64. Из точки A , удалённой от плоскости на расстояние d , проведены к этой плоскости наклонные AB и AC под углом 30 к плоскости . Их проекции на плоскость образуют угол в 120 . Найдите BC . 65. В правильном тетраэдре АBCМ с ребром 6 проведено сечение через 2 середину ребра АB параллельно плоскости грани АCМ . Найдите расстояние между плоскостью сечения и плоскостью грани АCМ . 66. Высота правильной четырехугольной призмы ABCDA1 B1C1 D1 равна 2 3 , сторона основания равна 2 . Найдите угол между прямыми ВВ1 и DC1 . 30 67. Высота правильной пирамиды SABCD равна 1 , сторона основания равна 6 . Точки М и N – середины ребер SC и CD соответственно. Найдите градусную меру угла между прямой MN и плоскостью основания пирамиды. 68. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости , а катет наклонён к этой плоскости под углом в 30 . Найдите угол между плоскостью и плоскостью треугольника. 69. Угол между плоскостями правильных треугольников ABС и ABD равен 60 , AB 4 . Найдите расстояние от точки D до плоскости ABС . 70. Параллельные прямые АВ и СD лежат в разных гранях двугранного угла, равного 60 . Точки А и D удалены от ребра двугранного угла соответственно на 8см и 6,5см . Найдите расстояние между прямыми АВ и СD . 71. Ребро СD тетраэдра АBCD перпендикулярно к плоскости ABС . AB ВС АС 6, ВD 3 7 . Найдите угол между плоскостями: а) ABС и АСD , б) АBC и АВD , в) ВСD и АСD . 72. Докажите, что если все рёбра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы. 73. Точка С является проекцией точки D на плоскость треугольника ABС . S , где S - площадь cos треугольника ABС , а - угол между плоскостями ABС и ABD . Докажите, что площадь треугольника ABD равна 74. Правильные треугольники ABС и СBD расположены так, что вершина D проектируется в центр треугольника ABС . Вычислите угол между плоскостями этих треугольников. 75. Проекцией прямоугольника АBCD на плоскость является квадрат АBC1 D1 . Вычислите угол между плоскостью и плоскостью прямоугольника АBCD , если АB : ВC 1 : 2 . 76. Основание параллелепипеда ромб ABCDA1 B1C1 D1 – АBCD . А1 АB А1 АD 45 , ВАD 60 . Найдите угол между плоскостями граней AA1 D1 D и AA1 B1 B . Ответы 51. 32;20 ; 52. 5 3см ; 53. 2см ; 54. 4см;4 10см ; 55. 25см ; 56. 5см ; 57. 8см ; 58. а) 2см ; б) 4 2см ; 59. 12,5см;25см ; 60. а) d 2 m 2 ; б) m 2 n 2 ; в) 61. а) n m2 n2 ; m a 2 a 6 16 ; б) ; 62. а) 4 ; б) 3,2 ; в) ; г) 2 2 ; 63. 90 ; 64. 3d ; 65. 0,5 ; 2 6 17 31 66. 30 ; 67. 30 ; 68. 45 ; 69. 3 ; 70. 217 1 см ; 71. а) 90 ; б) 45 ; в) 60 ; 72. arccos ; 2 3 1 74. arccos ; 75. 60 ; 76. 90 . 3 Контрольная работа 1. Через данную прямую а проведите плоскость, перпендикулярную данной плоскости. 2. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 плоскостью MNP , если точки M , N и P принадлежат соответственно ребру АD , граням AA1 B1 В и CС1 D1 D . Рассмотрите все возможные случаи. 3. Дан равнобедренный треугольник ABС , ВС АС 10см, ВСА 120 . Отрезок РВ перпендикулярен к плоскости ABС и равен 5см . Найдите: а) расстояние между прямыми РВ и AC ; б) расстояние от точки Р до прямой AC ; в)расстояние от точки В до плоскости ACР ; г) угол между плоскостями ABС и ACР ; д) угол между прямой AB и плоскостью ACР ; е) угол между прямыми AC и ВМ , где М – середина отрезка РА . Список литературы 1. Геометрия: учебник для 10-11 классов средней школы/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - М., 2010. 2. Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И. Расстояния и углы в стереометрии: учеб.метод. пособие. – Н.Новгород, 2010. 3. Кириллова С.В. Элементарная математика: Стереометрия. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Задачи на построение в пространстве. Часть 1: учеб.-метод. пособие/ С.В. Кириллова, О.К. Огурцова. - Н.Новгород, 2014. 4. Аргунов Б. И., Балк М. Б. Элементарная геометрия.- М., 1966. 5. Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. Ч. II. Стереометрия. – М., 1992. 6. В помощь учителю математики (методические рекомендации по решению стереометрических задач на построение и отыскание множеств точек). – Горький, 1984. 7. Гусев В. А., Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Геометрия. - М., 1992. 8. Пособие по элементарной математике: методы решения задач. Ч. 2/ Т.П. Григорьева, Л.И. Кузнецова, Е.Н. Перевощикова, А.Н. Пыжьянова – Н.Новгород, 2000. 9. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. – М., 1995. 10.Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы/А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. – М., 1983. 32