(Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 2. М.: Сов.... 1968. 504 с. Гл. 3.6, 6.1.)

ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА
КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
(Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 2. М.: Сов. Радио.
1968. 504 с. Гл. 3.6, 6.1.)
В
настоящее
время
в
результате
значительного
прогресса
в
области
вычислительных средств и микроэлектроники наряду с традиционными методами прямых
измерений параметров сигналов становятся все более популярными косвенные измерения,
состоящие в оценке параметров сигналов по наблюдаемым на конечном интервале
времени их реализациям. Типичным примером такого подхода к измерениям являются
продукты фирмы National Instruments. Преимущества такого подхода состоят в
универсальности, гибкости, многофункциональности и способности к модернизации
измерительных средств.
В этом разделе нами будут рассмотрены алгоритмы оценок амплитуды, фазы,
частоты и других параметров сигнала на основе критерия максимального правдоподобия,
а также основные свойства этих оценок.
Будем считать, что x(t) – наблюдаемая на интервале (-Т, Т) реализация процесса,
представляющего сумму
x(t )  (t )  s(t , 1,..., m ),
(3.1)
где (t) – нормальный случайный процесс с нулевым средним и известной
корреляционной функцией B(t,y), s(t,1,…,m) – детерминированный процесс, зависящий
от неизвестных параметров (1,…,m). Задача состоит в том, чтобы, используя
наблюдаемую
реализацию
x(t),
оценить
неизвестные
параметры
(1,…,m)
детерминированного слагаемого. Будем искать оценку, соответствующую максимуму
функционала отношения правдоподобия
l[ x(t ) | 1 ,..., m ]  lim N 
WN ( x1 ,..., xN | 1 ,..., m )
,
WN ( x1 ,..., xN | s(t )  0)
(3.2)
где WN – N–мерные функции распределения плотности условной вероятности N отсчетных
значений реализации процесса x(t) или функции правдоподобия.
В том случае, если параметры (1,…,m) являются случайными величинами,
необходимо получать байесовские оценки, минимизирующие средний риск. Однако, в
1
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
приложении к задаче измерений обычно можно полагать, что дисперсия априорного
распределения случайного параметра i - M2{i} много больше дисперсии оценки
~
максимального правдоподобия (дисперсии ошибки измерений) М2{ i  i0 }. При этом
байесовская оценка приближается к оценке максимального правдоподобия.
Для того чтобы найти удобное для поиска максимума выражение функционала
отношения правдоподобия, представим случайный процесс (t) в виде разложения в ряд
по системе ортогональных функций k(t):

(t )    k
k 1
k (t )
,
k
где k – координаты случайного процесса, причем m1{k} = 0.
k(t) и k – собственные функции и собственные числа линейного
Если
интегрального уравнения
T
(t )    B(t , y )( y )dy, | t | T ,
T
то эти координаты попарно некоррелированы и имеют одинаковые, равные единице
дисперсии. Действительно,
T
m1{k m}   k  m  B(t , y)k (t )m ( y)dtdy 
T
С
T
0, k  m
m
k ( y)m ( y)dy  
.

 k T
1, k  m
учетом нормального распределения процесса
(t), его координаты попарно
статистически независимы.
 W ( x ,..., xN | s1 ) 
Запишем логарифм отношения правдоподобия ln  N 1
 в виде
WN ( x1,..., xN | s0 ) 
ln l ( x1 ,..., xN )  

1 N
[( xk  bk )2 ( xk  ak )2 ] 

2 k 1
N
1 N 2
2
(
a

b
)

xk (bk  ak ),
 k k 
2 k 1
k 1
T
xk   k
 x(t ) (t )dt ,
k
T
T
где ak   k
 s (t ) (t )dt ,
0
k
T
T
bk   k
 s (t ) dt
1
k
T
- координаты соответствующих процессов.
2
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
N
Обозначим VN (t )    k (bk  ak )k (t )dt ,
k 1
s (t )  s1 (t ) 

тогда ln l ( x1 ,..., xN )   VN (t )  x(t )  0
dt.
2


T
T
Если
N

k 1
k
(ak  bk ) 2  , то существует конечный предел lim N  VN (t )  V (t ),
являющийся решением неоднородного линейного интегрального уравнения
T
N
T
k 1
 B(t, u)V (u)du  
N
bk
a
k (t )  k k (t )  s1 (t )  s0 (t ), | t | T .
k
k
k 1
Тогда логарифм функционала отношения правдоподобия
s (t )  s1 (t ) 

ln l[ x(t )]   V (t )  x(t )  0
dt.
2


T
T
Сразу заметим, что для белого шума B(t,y) = N0(t-y) k = 1/N0, а k(t) – любая
полная система функций, ортогональных на |t|T, а N0 – двусторонняя спектральная
плотность мощности шума. При этом, V (t ) 
ln l[ x(t )] 
1
N0
T
1
s1 (t )  s0 (t ), а
N0
 s1 (t )  s0 (t )x(t )dt 
T
1
2 N0
 s (t )  s (t )dt.
T
2
1
2
2
T
В случае комплексного представления процессов x(t), s1(t), s0(t) выражение
логарифма функционала отношения правдоподобия перепишется в таком виде:
s (t )  s1 (t ) 

ln l[ x(t )]  2 Re  V (t )  x(t )  0
 dt ,
2


T
T
*
V(t) = VRe(t) + jVIm(t); и VRe(t) , VIm(t) – решения уравнений
T
 B
T
Re x
T
T
T
 B
T
(t , u )  B Im x (t , u )V Re (u )du   B Re x Im x (t , u )  B Im x Re x (t , u )V Im (u )du  Res1 (t )  s 0 (t ).
T
Re x
(t , u )  B Im x (t , u )V Im (u )du   B Im x Re x (t , u )  B Iex Im x (t , u )V Re (u )du  Ims1 (t )  s 0 (t ).
T
Если полагать сигнал s0(t)  0, |t|T, то координаты максимума функционала
отношения правдоподобия определяются системой уравнений

ln l x(t ) | 1 ,...,  m   0, i  1,..., m или
 i
3
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ

1
1



T  i V (t , 1 ,...,  m ) x(t )  2 s(t , 1 ,...,  m ) dt  2 TV (t , 1 ,...,  m )  i s(t , 1 ,...,  m )dt  0 .
T
T
Заменяя во втором слагаемом этого уравнения s(t,1,…,m) на
T
s(t,1,…,m) =
 B(t , u )V (u,  ,..., 
1
m
)du ,
T
можно получить
T
 V (t ,  ,..., 
1
T
m
)

s (t ,1 ,...,  m )dt 
 i
T


  V (t , 1 ,...,  m )   B(t , u )
V (u , 1 ,...,  m )du  dt 
 i
T
 T

T
T


V
(
u
,

,...,

)
1
m   B (t , u )V (t , 1 ,...,  m ) dt  du 
T  i
 T

T

T

 

T
V (u , 1 ,...,  m ) s(u , 1 ,...,  m )du.
i
Подставляя этот результат в систему уравнений для координат максимума функционала
отношения правдоподобия, окончательно получим
T

 
T
V (t , 1 ,...,  m )[ x(t )  s(t , 1 ,...,  m )]dt  0, i  1,..., m
i
При обобщении полученной системы уравнений на случай комплексного
представления процессов получим
T

 
T
T


 
T
V (t , 1 ,...,  m )[ x(t )  s (t , 1 ,...,  m )] * dt 
i
V * (t , 1 ,...,  m )[ x(t )  s(t , 1 ,...,  m )]dt  0, i  1,..., m
i
Если процесс представляет белый шум, то V (t , 1 ,...,  m ) 
1
s(t , 1 ,...,  m ), и
N0
система уравнений упрощается
T

 
T
s(t , 1 ,...,  m )[ x(t )  s(t , 1 ,...,  m )]dt  0, i  1,..., m
i
В частности, для одного неизвестного параметра  получим
T

  V (t , )[ x(t )  s(t , )]dt  0,
T
4
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
T
а для белого шума:

  s(t , )[ x(t )  s(t , )]dt  0.
T
3.1. Оценка амплитуды
В качестве первого примера рассмотрим оценку амплитуды детерминированного
процесса as(t), т.е.
x(t )  (t )  as (t ),
(3.3)
где а – неизвестная амплитуда детерминированного процесса.
Уравнение максимума правдоподобия получаем дифференцированием по а
уравнения
1


ln l[ x(t ) | a ]   V (t )  x(t )  as (t )dt
2


T
T
и с учетом
(3.4)
aV (t )
 V (t ) имеем
a

ln l[ x(t ) | a ]   V (t )[ x(t )  as (t )]dt
a
T
T
(3.4')
где V(t) – решение линейного интегрального уравнения
T
 B(t , u )V (u)du  s(t ), | t | T .
(3.5)
T
Приравняв к нулю выражение (3.4'), найдем значение оценки амплитуды
a~ ,
максимизирующее функционал отношения правдоподобия:

ln l[ x(t ) | a ]
  V (t )[ x(t )  a~s (t )]dt  0
a
~
aa
T
T
(3.6)
Тогда оценка максимального правдоподобия
T
a~ 
 V (t ) x(t )dt
T
T
,
(3.7)
 V (t )s(t )dt
T
В том случае, если нормальный случайный процесс (t) является белым шумом, т.е.
B(t , u)  N 0 (t  u),
(3.8)
где N0 – двусторонняя спектральная плотность мощности шума,
5
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
T
a~ 
 s(t ) x(t )dt
T
T
s
(3.9)
.
2
(t )dt
T
Обозначим
h(t )  V (t )
(3.10)
T
 V (t )s(t )dt.
T
Тогда оценку (3.7) можно записать в виде
a~ 
T
 h(t ) x(t )dt ,
(3.11)
T
т.е. оценка максимального правдоподобия амплитуды детерминированного слагаемого
является результатом линейного преобразования реализации входного процесса.
Рассмотрим основные свойства оценки (3.11). Прежде всего, ясно, что эта оценка
несмещенная. Действительно,
T
T
T
T
m1 {a~}   h(t )m1 {x(t )}dt  a  h(t ) s (t )dt  a,
(3.12)
т.к. m1{x(t )}  as(t ), m1{(t )}  0.
Дисперсия оценки a~ равна
M 2 {a~}  m1 {( a~  a) 2 } 
T T

  h(t )h(u )m {[ x(t )  as(t )][ x(u )  as(u )]}dtdu 
1
T T
T T

  h(t )h(u ) B(t , u )dtdu
(3.13)
T T
Или с учетом (3.10) и (3.5)
T T
M 2 {a~} 
  V (t )V (u) B(t , u)dtdu
T T
T

  V (t ) s(t )dt 


 T

2

1
T
.
(3.14)
 V (t )s(t )dt
T
Из неравенства Рао – Крамера
6
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
~
M 2 {} 
1  db() 
d

2
2
 
 
m1  ln l[ x(t ) | ]  
 
 
(3.15)
,
~
где b() = m1{  } -  - смещение оценки, следует, что минимально возможная дисперсия
оценки соответствует случаю, когда неравенство (3.15) обращается в равенство, и для
несмещенной оценки равна
~
M 2 {} min 
1
2
 
 
m1 
ln l[ x(t ) | ]  
 
 
(3.16)
.
Учитывая (3.4) и (3.5), запишем
2
 
 
m1 
ln l[ x(t ) | ]   
 
 
T T

 m1    V (t )V (u )[ x(t )  as (t )][ x(u )  as (u )]dtdu  
 T T

T T


T
 V (t )V (u ) B(t , u )dtdu   V (t )s(t )dt
T T
(3.17)
T
Из (3.17) видно, что (3.14) эквивалентно (3.16), т.е. оценка (3.11) имеет минимальную
дисперсию
в
классе
всех
возможных
оценок
амплитуды
детерминированной
составляющей, иначе говоря, является "эффективной".
Так как оценка (3.11) является линейным функционалом от реализации
нормального случайного процесса, она представляет нормальную случайную величину со
средним значением а (в силу несмещенности) и дисперсией М2{ a~ } в соответствии (3.14).
Это дает возможность довольно просто указать доверительную вероятность оценки:
a
1
P{a (1  )  a~  a (1  )} 
2
M2


a
exp(  u
2
 a
)du  2 F 
2
 M
2


  1  ,


(3.18)
M2
где
F ( x) 
1
2
x
 exp(  t

2
2
)dt
- интеграл Лапласа. Отсюда следует, что длина
доверительного интервала равна
T

2a  2  V (t ) s(t )dt 
 T

1
2
x 1  ,
(3.19)
2
7
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
где x 1  - процентная точка нормального распределения, определяемая по коэффициенту
2
доверия . Так для  = 0.68, x 1  =1; для  = 0.95, x 1  =1.96; для  = 0.997, x 1  =2.96774.
2
2
В случае белого шума V (t ) 
2
1
s (t ) и минимальная дисперсия оценки a~
N0
определяется по формуле
M 2 {a~} 
N0
или
T
s
2
M 2 {a~}
(t )dt
a
2

N0
,
Es
(3.20)
T
T
где E s  a 2  s 2 (t )dt - энергия сигнала.
T
Следует отметить, что оценка (3.11) остается несмещенной и минимальной в классе
линейных оценок для процессов (t), отличных от нормального.
3.2. Совместные оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала
Будем полагать s(t) = Acos(0t - ), где 0 – известная частота сигнала, а А и  неизвестные
амплитуда
и
фаза.
Воспользуемся
комплексными
представлениями
наблюдаемой реализации и сигнала
x(t )  Re Z (t ) exp( j 0 t ),
s(t , A, )  Re A exp(  j) exp( j 0 t ) ,
(3.21)
где z(t) – комплексная огибающая входного процесса.
Система уравнений минимизирующая отношение правдоподобия,

ln l x(t ) | 1 ,...,  m   0, i  1,..., m ,
 i
эквивалентная системе уравнений
T

 
T
V (t , 1 ,...,  m )[ x(t )  s(t , 1 ,...,  m )]dt  0, i  1,..., m ,
(3.22)
i
в этом случае сводится к системе
T
T
T
T
T
T
T
T
e  j  U (t ) z * (t )e  j0t dt  A  U (t )e  j0t dt e j  U * (t ) z (t )e j0t dt  A  U * (t )e j0t dt  0 (3.23)
8
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
e
 j
T
 U (t ) z
*
(t )e
 j 0 t
dt  e
j
T
T
U
*
(t ) z (t )e j0t dt  0
(3.23')
T
где V(t,A,) = Aexp(-j)U(t) и U(t) определяется из интегрального уравнения
T
B
z
(t  y )U ( y )dy  exp( j 0 t ), | t | T .
(3.24)
T
~
~:
Складывая (3.23) и (3.23'), получаем уравнение, связывающее оценки А и 
T
~ ~
A e j 
 U (t ) z
*
(t )e  j0t dt
T
(3.25)
.
T
Re  U (t )e
 j 0 t
dt
T
Отсюда непосредственно следуют формулы для оценки неизвестных амплитуды и фазы:
T
~
A
 U (t ) z
*
(t )e  j0 t dt
T
,
T
Re  U (t )e
 j 0 t
(3.26)
dt
T
~  arctg Im Y ,

Re Y
(3.26')
T
где Y   U * (t ) z (t )e  j0t dt
(3.26")
T
Если аддитивный шум белый, то
U (t ) 
1
exp( j 0 t ) и
N0
1
~ ~
A e j 
2T
(3.27)
T
 z (t )dt ,
(3.28)
T
где z(t) = A(t) + jC(t) представлена в виде суммы квадратурных составляющих. Получим
1
~
A
2T
T
1
T z(t )dt  2T
2
T
 T

  A(t )dt     C (t )dt 

 

 T
  T

2
(3.29)
T
~  arctg

 C (t )dt
T
T
(3.29')
 A(t )dt
T
9
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
Если полагать процесс x(t) узкополосным, т.е. считать функции A(t) и C(t)
медленно меняющимися по сравнению с cos0t, то в формулах (3.29) и (3.29') можно
сделать замену
T
T
T
T
1
1
A(t )dt   x(t ) cos  0 tdt,
C (t )dt   x(t ) sin  0 tdt.

2 T
2 T
T
T
Рассмотрим основные свойства сделанных оценок. Прежде всего отметим, что
интегралы
1
2T
T
1
T A(t )dt и 2T
T
 C (t )dt
T
представляют независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальному закону
распределения с параметрами (Acos, N0/T) и (Asin, N0/T) соответственно.
Примечание: 2 = i2/n = | (n = 2T/(2F)-1 = 4FT, i2 = 2N02F, F – макс. частота,
2(2F) - двусторонняя полоса частот)| = N0/T.
~ ~
Отсюда следует, что оценки А и 
- это модуль и фаза плоского вектора с независимыми
нормально распределенными компонентами, имеющими одинаковую дисперсию, т.е.
подчиняются обобщенному распределению Рэлея с параметрами (А, N0/T):
~
W ( A) 
2

~ )  1 exp   A T 1  A
W (
 2 N 
2
0 



 
~2
 A
 A2   A
exp 
I 0 
 N0 
 2N 0    N 0

 T

T     T
 


~
A
 T

 N0





 
(3.30)
~  )  


 A 2 T cos 2 (
T
~
~  ) 
2 cos(  ) exp 
F
A
cos(





N0
N0


 
 
(3.30')
где I0(x) – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
~
Среднее значение оценки А равно
A
~
m1 { A} 
dT
  d T2
1 
2 
2
  d T2
I 0 
  4
 
 d T2  d T2 
 d T2




 2 I 1  4  exp   4








(3.31)
2
где d T2  TA N , I1(x) - модифицированная функция Бесселя первого рода первого
0
~
порядка. То есть оценка А является смещенной. Однако, при dT2  (отношение энергии
сигнала
к
спектральной
плотности
мощности
шума
много
больше
единицы)
распределение оценки амплитуды стремится к нормальному (является асимптотически
10
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
~
нормальным). При этом m1 { A}  A(1  1
2d T2
)  A , т.е. оценка является асимптотически
несмещенной.
~
Дисперсия оценки А
~
M 2 { A}  A 2 (1  2
d
2
T
~
)  m12 { A},
(3.32)
при dT2>>1 ()
N
A2
~
M 2 { A}  2 (1  1 2 )  0 .
4
d
dT
T
T
(3.33)
Так как распределение плотности вероятности оценки фазы относительно ее
~ является несмещенной. Если
истинного значения есть функция четная (3.30'), то оценка 
dT2>>1, то из (3.30') следует, что распределение фазы – асимптотически нормальное с
нулевым средним и дисперсией
~}  1
M 2 {
d
2
T

N0
TA 2
.
(3.34)
~
~ запишем элементы
Для оценки совместной эффективности оценок А и 
информационной матрицы
2

 



 

m1  ln l[ x(t ) | A, ]  
m1  ln l[ x(t ) | A, ]
ln l[ x(t ) | A, ] 


 A
 
 A


Q
2
 
 


 

ln l[ x(t ) | A, ]
m1  ln l[ x(t ) | A, ]  
 m1  ln l[ x(t ) | A, ]


A
 

 
 

Примечание: элементы главной диагонали этой матрицы определяют количество
информации (по Фишеру), содержащейся в выборке x(t), о соответствующем параметре,
т.е. равны обратной величине минимально возможной дисперсии его оценки по данной
выборке, а элементы побочной диагонали – обратные величины коэффициентов
ковариации параметров, см. (3.16).
Используя подстановку (3.27) в левых частях системы (3.23) и вычисляя средние
значения с учетом распределений (3.30) и (3.30'), получим
 d T2
Q   A2

 0

0 
.

d T2 
(3.35)
Обратная информационной матрица
11
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
Q
1
 1 2
 dT

 0



.
2
A 2
dT 
0
(3.36)
~ ~
Получаем, что оценки А и 
по (3.29) и (3.29') совместно асимптотически эффективны и
состоятельны, т.к. дисперсии оценок стремятся к нулю, при dT2, (Т).
Таким образом, рассмотренные оценки максимального правдоподобия амплитуды
и фазы сигнала в аддитивном нормальном белом шуме асимптотически несмещенные,
совместно эффективны и нормальны, причем оценка фазы несмещенная при любом
отношении сигнал/шум.
3.3. Оценки параметров узкополосного сигнала на фоне аддитивного белого шума
Рассмотрим узкополосный сигнал
s (t , A, , 1 ,...,  m )  A Re a(t , 1 ,...,  m )e  j e j0t ,
(3.37)
который кроме амплитуды A>0 и фазы  содержит еще m неизвестных параметров
комплексной огибающей. Требуется определить оценки максимального правдоподобия
этих параметров по реализации процесса x(t) = Re z(t) exp (j0t), представляющего
аддитивную смесь сигнала и нормального белого шума со спектральной интенсивностью
N0 (двусторонней).
Используя комплексную форму выражения (3.4) и учитывая, что для белого шума
V (t ) 
A
a(t , 1 ,...,  m ) exp(  j), запишем выражение для логарифма от функционала
N0
отношения правдоподобия в виде
T
 A2
2 A   j
*
ln l z (t ) | A, , 1 ,...,  m  
Re e  a(t ,1 ,...,  m ) z (t )dt  
N0
T

 N0
T
 | a(t ,  ,..., 
1
m
) | 2 dt .
T
Примечание: а(t)- безразмерная величина, z(t) – размерная величина.
(3.38)
Пусть сигналы нормированы таким образом, что при любых 1,…,m
1
2T
T
 | a(t ,  ,..., 
1
m
) | 2 dt  1
(3.39)
T
Это условие означает постоянство энергии сигнала на интервале наблюдения, т.к.
E
T
T
T
T
2
2
2
2
2
 s (t , A, , 1 ,...,  m )dt  A  | a(t , 1 ,...,  m ) | cos [ 0 t  arg a(t , 1 ,...,  m )  ]dt  A T
Учитывая (3.39), перепишем (3.38), дополнив его до полного квадрата, в виде
12
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
ln lz (t ) | A, , 1 ,...,  m  
1

2TN 0
2
T
2T j
1
*
T a (t ,1 ,...,  m ) z (t )dt  A N 0 e  2TN
0
2
T
a
*
(t ,1 ,...,  m ) z (t )dt . (3.40)
T
~ ~ ~
~
Пусть A, 
, 1 ,...,  m - оценки максимального правдоподобия. Так как первый член
в (3.40) положительный и не зависит от А и , то максимум отношения правдоподобия по
параметрам А и  достигается при условии обращения в нуль второго слагаемого. Отсюда
находим соотношение между оценками
1
~ ~
A e j 
2T
T
a
*
(t , 1 ,...,  m ) z (t )dt ,
(3.41)
T
откуда
1
~
A
2T
T
a
*
(t , 1 ,...,  m ) z (t )dt ,
(3.41')
T
T
~  arctg

Im  a * (t , 1 ,...,  m ) z (t )dt
T
T
(3.42)
,
Re  a * (t , 1 ,...,  m ) z (t )dt
T
Заметим, что при a(t)  1 формула (3.42) переходит в (3.27).
Теперь задача состоит в определении максимума максиморума первого слагаемого
(3.40), т.е. следующей функции параметров 1,…,m:
1
Q(1 ,...,  m ) 
2TN 0
2
T
a
*
(t , 1 ,...,  m ) z (t )dt .
(3.43)
T
В рассматриваемой задаче известно, что наблюдаемая реализация
Z (t )  A0 a(t , 10 ,...,  0m ) exp(  j 0 )  z1 (t ),
(3.44)
где z1(t) – комплексный нормальный стационарный случайный процесс с равномерным
спектром, а А0, 0, 1,…,m представляют истинные значения параметров сигнала,
которые необходимо оценить по наблюдаемой реализации x(t) = Re z(t) exp (j0t).
Подставляя (3.44) в (3.43), представим функцию Q в виде


2TA02
2
Q(1 ,...,  m ) 
h(1 ,...,  m )  2 Re  (1 ,...,  m )(1 ,...,  m ) exp( j 0 )  (1 ,...,  m ) ,
N0
(3.45)
где обозначено
13
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
1
h(1 ,...,  m )   (1 ,...,  m ) 
2TA0
2
(1 ,...,  m ) 
2
T
 a(t , 
,...,  )a (t , 1 ,...,  m )dt ;
(3.45')
(t , 1 ,...,  m ) z1 (t )dt ,
(3.45")
0
1
0
m
*
T
1
2TA0
T
a
*
T
причем функции h и  - детерминированные, а (1,…,m) – нормальная случайная
M 2 {}  1
величина с нулевым средним и дисперсией
1
2T
T
 z (t )dt 
1
T
d
2
T

N0
TA02
, (т.к. дисперсия
N0
, а а(t, 1,…,m) – нормирована на единицу).
T
При фиксированных значениях 10,…,m0 функцию, зависящую только от формы
огибающей сигнала и ее параметров, называют функцией неопределенности.
 (1 ,...,  m ) 
1
2T
T
 a(t , 
0
1
,...,  0m )a * (t , 1 ,...,  m )dt ,
(3.46)
T
Согласно неравенству Буняковского – Шварца
1
(1 ,...,  m )  
 2T
T
1
0
0
T a(t, 1 ,...,  m ) dt  2T
2
T

a(t , 1 ,...,  m
T
2

dt 

1
2
(3.46')
или с учетом (3.39)
(1 ,..., m )  1 .
(3.46')
Максимальное значение, равное единице, функция || достигает при i = i0 , i = 1,…,m.
Это соответствует случаю, когда шумовое слагаемое в (3.44) исчезает, т.е. когда dT2 .
Среднее по множеству реализаций функции Q равно


m1{Q(1 ,..., m )}  2dT2 h(1 ,..., m )  1 2 .
dT 

Примечание: среднее от  = 0, а среднее от ||2 = 2 = 1/dT2 – это средняя мощность
процесса (t).
Ограничиваясь в дальнейшем условием dT2 >> 1, будем пренебрегать последним
слагаемым в (3.45), считать, что из-за воздействия шума функция Q незначительно
~
смещается от главного максимума, так что оценки  i близки к истинным значениям i0 и
разложим Q(1,…,m) в ряд Тейлора около точки 10,…,m0, ограничиваясь членами
второго порядка малости. Кроме того, будем считать h/k = 0 в точке (10,…,m), т.к. в
14
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
этой точке функция h(1,…,m) имеет максимум. С учетом сделанных замечаний получим
из (3.45)
1  10
Q(1 ,..., m )
Q(1 ,..., m )  Q(10 ,..., 0m )   (k  0k )
...

k
k 1
0
 m  m
m
1  10
1
 Q(1 ,..., m )
  (k  0k )( j  0j )
... ,
2 k 1 j 1
k  j
m  0m
m
2
m


где Q(10 ,..., 0m )  2dT2 1  2 Re (10 ,..., 0m ) exp( j0 ) ,
Q(1 ,..., m )
k

1  10
1  10 






(

,...,

)


(

,...,

)
1
m
1
m
...
 4dT2 Re exp( j0 ) 
 (1 ,..., m )
... 

k
k

   0 

m  0m
m
m

Дифференцируя полученное разложение Q по k и приравнивая результат к нулю,
находим систему уравнений правдоподобия
m
Q
j 1
kj
( j   0j )   k , k  1,..., m
(3.47)
где обозначено
Q (1 ,...,  m )
k  
 k
1  10
...
,
0
m  m
1  10
1  Q (1 ,..., m )
Qkj 
... .
2
k  j
m  0m
(3.47')
2
(3.47")
Если детерминант матрицы Q = [Qkj] отличен от нуля, то существует обратная
матрица Q-1 = [qkj]. Тогда решение системы линейных уравнений (3.47) относительно
~
ошибки ( j   0j ) будет иметь вид
m
~
( j   0j )    k q kj , j  1,..., m
(3.48)
k 1
где
15
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
T

 1
1

 k  4dT2 Re exp( j0 )
[a* (t , 10 ,..., 0m )

2TA0 T

 2T


T
0
0
 a(t, 1 ,..., m )
T
a* (t , 10 ,..., 0m ) 
dt  
k

a * (t , 1 ,...,  m )

]z1 (t )dt .
 k

(3.48')
Отметим, что k – линейная функция от z1(t) и величины k и qkj случайные, зависящие от
шумового слагаемого реализации. Однако, сохраняя степень приближения, связанную с
пренебрежением последним (квадратичным относительно ) членом в (3.45), следует в
выражении (3.47") для Qkj сохранить вклад лишь от детерминированного слагаемого
(3.45). Тогда при dT2 >>1
1  10
 h(1 ,...,  m )
Q kj  d T2
... ,
 k  j
 m   0m
2
(3.49)
т.е. элементы матрицы Q равны произведению величины dT2 и смешанной второй
производной квадрата модуля функции неопределенности в точке, соответствующей
истинным значениям оцениваемых параметров.
~
Учитывая (3.49), приходим к выводу, что ошибки ( j   0j ) (3.48) представляют
взвешенные (с весами qkj) суммы нормальных случайных величин k с нулевыми средними
и ковариациями
 (1 ,..., m )
 * (1 ,..., m ) 
m1{ k  j }  8dT4 Re m1 
 (1 ,..., m )

k
k


1  10 
 (1 ,..., m )
 (1 ,..., m ) 

 (1 ,..., m )

 ... 
 j
 j

   0 
m
m
*
(3.50)
При выводе формулы (3.50) учитываем, что Re m1{exp(j20)}=1/2.
~
Отсюда следует, во-первых, что оценки  j асимптотически (при dT2>>1)
нормальны, их средние значения равны (3.48)
~
m1 { j }   0j ,
(3.51)
т.е. оценки (асимптотически при dT2>>1) несмещенные. Элементы корреляционной
матрицы ошибок равны
m m
~
~
m1 {(  k   0k )( n   0n )}   q ki q jn m1 { i  j }
(3.52)
i 1 j 1
16
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
Из приведенных выше соотношений можно показать, что
 2 h(1 ,..., m )
m1{ i  j }  2dT2
k  j
1  10
... ,
m  0m
(3.53)
или с учетом (3.49)
m1{ i  j }  2Qij ,
(3.53')
Подставляя (3.53') в (3.52), находим
m m
~
0 ~
0
m1{( k  k )(n  n )}  2 qki q jnQij
(3.54)
i 1 j 1
Но так как qij – элементы матрицы Q-1, то из Q-1Q = 1 следует:
m
q
j 1
jn
1, i  n
Qij  
0, i  n
(3.54')
Соединяя (3.54) и (3.54'), приходим к окончательному выражению для корреляционной
матрицы ошибок:
~
~
m1{( k  0k )(n  0n )}  2qkn
(3.55)
С точностью до знака элементы корреляционной матрицы ошибок совпадают с
элементами матрицы, обратной матрице, составленной из средних значений смешанных
производных логарифма отношения правдоподобия в точке, соответствующей истинным
значениям оцениваемых параметров, т.е. совпадают с элементами матрицы, обратной
информационной матрице (как (3.35) и (3.36)). Отсюда следует, что оценки (3.48)
совместно эффективны (при dT2>>1). Следует отметить, что в соответствии с (3.49) и
(3.47"), средние значения смешанных вторых производных логарифма отношения
правдоподобия отличаются от смешанных вторых производных квадрата модуля функции
неопределенности лишь множителем 2dT2.
3.4. Измерение времени прихода сигнала
В качестве первого примера, иллюстрирующего результаты раздела 3.3,
рассмотрим узкополосный сигнал вида
s(t , A, , )  A Re a(t  ) exp(  j) exp( j 0 t ),
(3.56)
где комплексная огибающая сигнала a(t) = U(t)exp(j(t)), а U(t) и (t) – действительные
функции, и  - неизвестное время прихода сигнала.
Функция неопределенности такого сигнала согласно (3.46) равна
17
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
T
1
 (t ) 
2T
 a(t  
0
)a * (t  )dt ,
(3.57)
T
где 0 – истинное значение параметра .
Переписывая (3.57) в виде  (t   0 ) 
1
2T
T  0
 a(t )a
*
(t     0 )dt , замечаем, что
T   0
функция неопределенности в этом случае совпадает с временной корреляционной
функцией комплексной огибающей сигнала. Матрица Q теперь состоит из одного
элемента, равного (3.49),
d T2
d2
2
 (   0 )
2
d
 d T2 2 Re (0)  [ (0)] 2 .
 0
(3.58)
Определим спектральную плотность мощности огибающей сигнала через энергетический
спектр огибающей сигнала
1
Ga () 
2T
(Вспомним, (3.39) что
1
2T
2
T  0
 a(t ) exp(  jt )dt
(3.59)
.
T   0
T
2
 | a(t , 1 ,...,  m ) | dt  1 , тогда
T

1
Ga ()d  1. )
2 
Тогда

 (   0 ) 
1
G a () exp[ j(   0 )]d.
2 
(3.60)
Разлагая левую и правую части формулы (3.60) в ряд Тейлора в окрестности точки 0,
получим

1
  ' ( 0) 
Ga ()d  * ,

2  
(3.61)

1
  (0) 
 2 G a ()d   2* ,

2  
(3.62)
где * и *2 – средняя частота и второй момент спектральной плотности мощности
огибающей сигнала с учетом нормировки (3.39).
Подставляя (3.62) и (3.61) в (3.58), получаем

d2
2
 (   0 )
2
d
 0
 2(*2  *2 )  22 ,
(3.63)
где 2 – среднеквадратическая девиация частоты спектра огибающей.
18
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
Так как в рассматриваемом случае обратная матрица Q-1 содержит только один
элемент, равный – 1/(dT222), то из (3.48), (3.48'), (3.49) и (3.63) находим следующее
асимптотическое выражение (при dT2>>1) оценки ~
T
 a* (t  )
~    4 Re exp( j 1

0
0

22 
2TA0 T 

0


 j*a* (t  0 ) z (t )dt .


(3.64)
Эта оценка несмещенная, а ее дисперсия согласно (3.55) равна
M 2 {~}  1
d T2  2
.
(3.65)
При симметричном спектре огибающей * = 0 и выражение (3.64) можно
переписать в виде
T
 a* (t  )
~    2 Re exp( j 1

0
0

2*
2TA0 T 


 0


 z (t )dt .


(3.64')
Из (3.41') и (3.42) находим также оценки амплитуды и фазы:
1
~
A
2T
T
a
*
(t  ~ ) z (t )dt ,
(3.66)
T
T
~  arctg

Im  a * (t  ~ ) z (t )dt
T
T
,
(3.66')
Re  a (t  ~ ) z (t )dt
*
T
в которых ~ подставляется из (3.64).
3.5. Совместное измерение времени прихода и частоты сигнала
В качестве второй иллюстрации к разделу 3.3 рассмотрим узкополосный сигнал
более сложного вида:
s(t , A, , , )  A Re a(t  ) exp(  j) exp( j(t  )) exp( j0 (t  )),
(3.67)
где  = 1 - 0 – смещение истинной частоты сигнала 1 от ожидаемой частоты 0
(например, доплеровский сдвиг). Задача состоит в совместной оценке параметров  и .
Функция неопределенности сигнала (в таком виде – функция неопределенности
Вудворта) равна
1
 (   0 ,    0 ) 
2T
T
 a(t  
0
)a * (t  ) exp(  j 0 (t   0 )) exp(  j(t  )) dt 
T
19
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
T  0
1
 exp( j(   0 ))
2T
 a(t )a
*
(t     0 ) exp( j (   0 )t )dt.
(3.68)
T   0
Вводя спектральную плотность огибающей сигнала
T
 a(t )e
f T () 
 j t
dt ,
T
можно переписать функцию неопределенности в виде

1
 (   0 ,    0 )  exp( j(   0 ))
22T
f
T
() f T* (     0 ) exp( j(   0 ))d. (3.69)

Элементы матрицы Q размером 22 равны:
Q11  dT2
Q 22  d T2
 1
 2d 
 2T

2
T
2
2
 (  0 ,   0 )   0,   0  2dT22 ,
2

(3.70)
2
2
 (   0 ,    0 )    0,    0 
2

2

1
Tt a(t  0 ) dt   2T
T
2

2
2
  2dT2 2 ,
t
a
(
t


)
dt
0
T


T
(3.71)
2
где  =
2
t*2
T
 1 T

1 2
2
  t a(t  0 ) 2 dt  , t* - среднее время, а t*2 – (t ) =
t
a
(
t


)
dt

0

 2T

2T T
 T

* 2
среднеквадратическая длительность (квадрат эффективной длительности) сигнала.
Q12  Q21  d T2
 1
2d T2 
 2

 Ga ( )d

1
2T
2
2
 (   0 ,    0 )    0,    0 


)( a * (t   0 ))  a * (t   0 )( a(t   0 )) tdt 
T

2
* *
*
(3.72)
 2dT ( t   ),
T
 t a(t   0 ) dt 
2
T
j
2T
 a(t  
T
0

где через * обозначена безразмерная величина, характеризующая частотную модуляцию
сигнала:
1
  Im
T
*
1
, то  
T
j(t)
(Если a(t)=U(t)e
*
T
 tU
T
2
(t )
T
 ta(t  
0
)( a * (t   0 )) dt.
(3.73)
T
d (t )
dt ).
dt
Таким образом, матрица Q имеет вид:
  2
 *t *  * 

Q  2dT2  * * *
  2 
  t  
(3.74)
20
ИЗМЕРЕНИЯ В ЦИФРОВЫХ КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3. ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПО НАБЛЮДАЕМОЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
ВРЕМЕНИ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ
Нетрудно найти обратную матрицу. Вычисляя детерминант матрицы
det[Q]  4dT4 22  (*t * ) 2 ],
(3.75)
находим корреляционную матрицу ошибок
 2 Q 1  2
  2
 *t *  * 
(2dT2 )

.
4dT4 [ 22  (*t * ) 2 ]2   *t *  *
 2 
(3.74)
На главной диагонали матрицы Q-1 находятся дисперсии оценок времени прихода и сдвига
частоты, а на побочной – ковариация этих оценок (с точностью до знака).
Можно несколько упростить формулу (3.76), если надлежащим выбором начала
координат в плоскости время – частота обратить в нуль величины t* и *. Тогда
1
 2Q  4
2 2
d T [2* t*  *2 ]2
1
 t*2 * 
 *

   2 .
* 

(3.77)
Используя (3.48), (3.48') и (3.77), находим следующие асимптотические выражения
~:
(при dT2 >> 1) для совместных оценок ~ и 
~   
0
T

 2 a* (t  )
2
1
Re
exp(
j

)
  0 

0
t*
*2t*2  *2 
2TA0 T 



 j* ta * (t   0 ) exp(  j 0 (t   0 )) z (t )dt ,

~
  0 
(3.78)
T

 * a* (t  )
2
1
Re exp( j0 )
  0 

*2t*2  *2 
2TA0 T 



 j*2 ta * (t   0 ) exp(  j 0 (t   0 )) z (t )dt ,

(3.79)
В том случае, когда частотная модуляция отсутствует (* =0), оценки времени
прихода и сдвига частоты становятся некоррелированными, а их дисперсии равны
M 2{~}  1 2 2
dT * ,
~
1
M 2{} 
dT2t*2 .
(3.80)
Итак, в этом разделе мы получили соотношения для оценок максимального
правдоподобия неизвестных параметров детерминированного сигнала с аддитивным
стационарным гауссовым шумом и показали, что эти оценки являются асимптотически
(при большом отношении сигнал/шум) нормальными, несмещенными и совместно
эффективными.
21