Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере

А. А. Черевко, к.ф.-м.н.
Ин-т гидродинамики СО РАН
(Россия, 630090,
Новосибирск, пр. Лаврентьева, 15,
тел.(383) 3331964, Е-mail: cherevko@mail.ru )
А. П. Чупахин, д.ф.-м.н.
Ин-т гидродинамики СО РАН
(Россия, 630090,
Новосибирск, пр. Лаврентьева, 15,
тел.(383) 3331964, Е-mail: chupakhin@hydro.nsc.ru )
Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере.
Аннотация. Исследуется модель мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере,
описывающая крупномасштабные движения газа в атмосфере планет и жидкости в
Мировом океане. Дано описание простых стационарных волн, в которых все величины
зависят лишь от широты. Доказано существование двух типов решений (сверх- и
докритического), описывающих движение газа в сферическом поясе такое, что одна из
граничных параллелей является источником, а другая — стоком. Даётся интерпретация
полученных решений как крупномасштабных циркуляционных ячеек в атмосфере.
Введение. Выводится модель мелкой воды на вращающейся сфере, описывающая
крупномасштабные движения в атмосферах планет и Мировом океане.
Предполагается, что слой, занимаемый несжимаемой сплошной средой (воздух
или вода) на поверхности планеты, тонок по сравнению с радиусом планеты и
движением в радиальном направлении можно пренебречь. Как отмечается в [1],
такие предположения возможны в том случае, когда эффект вращения оказывает
существенное влияние на движение среды. Рассматриваются движения с
достаточно большими временными масштабами. Кроме того, для
крупномасштабных геофизических движений траектории жидких частиц очень
слабо отклоняются в радиальном направлении.
Предложенная модель совпадает с уравнения газовой динамики на
вращающейся сфере для политропного уравнения состояния газа с показателем
адиабаты   2 , описывающим движения на поверхности сферы, независящие от
радиуса r  x2  y 2  z 2 . Система уравнений, записанная в неинерциальной
системе координат, вращающейся вместе со сферой с постоянной угловой
скоростью  0 , имеет вид
1
Dv  w2ctg  r0 w cos   r02 sin  cos   f 0 h 
4
Dw  vwctg  r0 w cos   f 0 (sin  ) 1 h 
(1)
Dh  (sin  )1 h( w  (v sin  ) )  0
где D  t  v  (sin  )1 w — полная производная вдоль поверхности сферы.
Уравнения (1) записаны в сферической системе координат:
0    —
дополнение до широты, 0    2 — долгота; v — меридиональная, w —
долготная компоненты скорости; h  0 — глубина слоя. Положительными
1
считаются направления с севера на юг и с запада на восток. Безразмерные
параметры r0 и f 0 связаны с числами Россби R0 и Фруда F
R0 
V0
 F
2a00
V0
gH 0
(2)
соотношениями
r0  R01
f0  F 2 
(3)
В (2) через V0  H 0 обозначены характерные масштабы касательной к сфере
компоненты скорости и глубины слоя, a0 — радиус сферы, g — ускорение
свободного падения (рис. 1).
Рисунок 1. Постановка задачи.
Параметр мелкой воды   H 0  a0 предполагается малым по сравнению с r0
и f 0 . Последние для Земли имеют один порядок малости, следовательно,
эффекты вращения и гравитации оказывают сопоставимое влияние на движение
газа. Описание этого движения и является нашей основной задачей.
Особенностью модели является компактность многообразия определения
решения.
Модель мелкой воды (1) допускает состояние равновесия, в котором
относительные компоненты скорости v  w  0 , профиль глубины имеет вид
h  02 (k02  sin 2  )
(4)
где 02  r02  8 f0  k02  8 f0h0  r02  h0  0 — постоянные. Скорость звука на данном
решении c  (r0  2 2)(k02  sin 2  )1 2 . Уравнение
r  02 (k02  sin 2  )
2
(5)
при   (0  ) задаёт в пространстве R 3 ( x) поверхность вращения,
характеризующую равновесный профиль глубины, отличный от сферического.
На рис. 2 изображена равновесная поверхность (5).
Рисунок 2. Поверхность равновесия.
Простые стационарные волны. Рассмотрим простые стационарные волны для
системы уравнений (1), в которых все искомые функции v w и h зависят лишь от
широты  . В этом случае уравнения (1) сводятся к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений
r02
sin  cos   f 0 h
4
vw  vwctg  r0v cos  
vh sin   h(v sin  )  0
vv  w2ctg  r0 w cos  
(6)
где штрих означает производную по  . Система (6) интегрируется в конечном
виде. Впервые этот класс решений был описан в [5].
Существует два типа решений, в первом из них v  0 , во втором v  0 .
Рассмотрим решения системы (6), в которых v  0 . Второе и третье уравнения (6)
интегрируются и дают следующие представления для компонент скорости
v
q0
w
r
 w  0  0 sin  
h sin 
sin  2
(7)
где q0  w0 — постоянные интегрирования. Интеграл Бернулли на данных
решениях имеет вид
r02
1 2
2
(v  w )  f 0 h  sin 2   b0 
(8)
2
8
где b0  const. Подставляя в (8) представления (7), получим алгебраическое
уравнение третьей степени для определения глубины
h3   h 2    0
где
3
(9)

w02
1 
  0  2
2 f0 
sin 

q02
  0  2b0  w0 r0 
   
2 f 0 sin 2 

(10)
Решив (9), найдём профиль глубины h  h( ) , подставив найденное значение
h в представления (7) для v , найдём вектор скорости. Таким образом, решение
задачи о простых стационарных волнах свелось к анализу ключевого уравнения
(9).
Изучение уравнений (9), (10) позволяет сделать следующие выводы.
1. Решение вида (7), (9) существует лишь для определённых значений
параметров q0  w0 .
2. Соответствующее течение газа определено между параллелями 1 и 2 в
некотором сферическом поясе, симметричном относительно экватора.
3. Этот пояс может быть сколь угодно широк, исключая малые диски вокруг
полюсов сферы.
4. При допустимых фиксированных значениях параметров q0  w0 существуют
два различных типа течения, соответствующие двум различным положительным
корням h1 и h2 уравнения (9).
5. При одинаковой широте пояса существуют различные течения,
определяемые различными наборами параметров q0 и w0 .
Меньшему корню h1  0 уравнения (9) соответствует сверхкритическое
(сверхзвуковое), а большему h2 — докритическое (дозвуковое) течение.
Типичные профили глубины hi  hi ( ) изображены на рис. 3. Сверхкритический режим изображен сплошной линией, а докритический режим - штриховой
линией.
Рисунок 3. Типичные профили глубины.
Описание движения газа. Уравнения линий тока течения
d sin  d

v
w
4
на решении (7), (9) приводится к виду


1 h( )( w0  (r0  2)sin 2  )
d 
q0 
sin 
(11)
0
где (00 ) — стартовая точка на граничной параллели, например 1 , откуда
исходит линия тока (11). В силу вращательной симметрии решения любая линия
тока получается из (11) поворотом её на угол 0 . На рис. 4 представлены картины
течений, полученные в результате численного интегрирования уравнения (11) при
различных значениях параметра r0  2w0 .
Рисунок 4. Линии тока. Слева докритический режим, справа --- сверхкритический.
Наличие двух решений, отвечающих двум корням h1 и h2 уравнения (8)
позволяет построить решение в виде ячейки. Движение начинается из параллели
источника 1 и является, например, сверхкритическим (меньший корень h1 ),
заканчиваясь на параллели 2 , отвечающей стоку. Эта параллель является
одновременно источником для докритического течения, соответствующего
5
большему корню h2 , газ течёт в обратном направлении, стекая в сток,
расположенный вдоль 1 (см. рис. 3).
Интересной особенностью решения при w0  0 является возможность
обращения в нуль окружной компоненты скорости w на некоторых параллелях
  0    0 , расположенных симметрично относительно экватора. Согласно (7)
это происходит при 2w0  r0  1 для значений  0 , являющихся решением
уравнения
sin 0  2w0  r0 
(12)
Если уравнение (12) имеет решение, то окружная компонента скорости
меняет свой знак при переходе через параллели   0    0 , течение меняет своё
направление по долготе на противоположное.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 08-01-00047a,
Программы поддержки ведущих научных школ, НШ–2826.2008.1., Интеграционного
проекта СО РАН № 2.15
Список литературы
1. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика, Т. I, II. М.: Мир, 1984.
2. Bila N., Mansfield E. L., Clarkson P.A. Symmetry group analysys of the shallow water and semigeostropic equations // Q. Jl. Mech. Appl. Math. 2005. V. 59. № 1. P. 95–123.
3. Чесноков А. А. Симметрии и точные решения уравнений мелкой воды на пространственном
сдвиговом потоке // ПМТФ
4. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.
5. Черевко А. А., Чупахин А. П.. Модель мелкой воды на сфере и её подмодели // Тез. докл. Межд.
конф. “Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике”, 27 – 31 мая 2005 г. ,
Новосибирск, ИГИЛ СО АН. С. 87–88.
6. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.:
Изд-во ЛГУ, 1990.
7. Атмосфера (справочные данные, модели). Л.: Гидрометеоиздат, 1991.
6