3. Найдите значение выражения

Арктангенс и арккотангенс
𝜋
𝜋
2
2
Арктангенсом числа b называется угол α, такой, что tgα=b и − < 𝛼 < .
Арктангенс числа b обозначается arctgb. Таким образом, arctgb – это угол,
𝜋
𝜋
удовлетворяющий двум условиям: tg(arctgb)=b и − < 𝑏 < .
2
2
Арккотангенсом числа b называется угол α, такой, что сtgα=b и 0 < 𝛼 < 𝜋.
Арккотангенс числа b обозначается arcсtgb. Таким образом, arcсtgb – это
угол, удовлетворяющий двум условиям: сtg(arcсtgb)=b и 0 < 𝑏 < 𝜋.
𝜋
𝜋
2
2
tg (arctg 𝑥) = 𝑥, −∞ < 𝑥 < ∞; arctg(tg 𝑥) = 𝑥, − < 𝑥 <
ctg (arcctg 𝑥) = 𝑥, −∞ < 𝑥 < ∞; arcctg(ctg 𝑥) = 𝑥, 0 < 𝑥 < 𝜋
Примеры решения задач
Пример 1. Найти значение выражения arctg(−
Решение. arctg (−
√3
)
3
𝜋
𝜋
𝜋
6
2
6
√3
).
3
= − , так как − < − <
𝜋
𝜋
и tg (− ) = −
2
6
√3
.
3
Ответ: −
𝜋
6
Пример 2. Найти значение выражения arcctg(−√3) + arctg(−√3).
Решение. arcctg(−√3) + arctg(−√3)=
5𝜋
6
𝜋
5𝜋−2𝜋
3
6
+ (− )=
=
3𝜋
6
𝜋
= .
2
Ответ:
𝜋
Ответ:
1
2
Пример 3. Найти значение выражения ctg(arctg3).
𝜋
1
2
tg𝛼
Решение. Пусть arctg3=α, тогда tgα=3 и 0 < 𝛼 < . ctgα=
1
= ,
3
3
Пример 4. Найти значение выражения sin(arcctg 3).
Решение. Пусть arcctg3=, тогда ctg=3. Воспользуемся формулой
1
1
1
1
sin 𝛼 =
; sin2 𝛼 =
= , тогда sin= .
2
2
1+ctg 𝛼
1+9
10
√10
Ответ:
1
√10
1
Пример 5. Вычислить cos(2arctg (− )).
3
1
1
1
Решение. cos(2arctg (− ))=cos(2arctg )=2cos 2 (arctg ) − 1.
3
3
3
1
1
1
3
cos2 𝛼
Пусть arctg =, тогда tg= . 1+tg2=
cos2=2·
9
10
4
3
9
; cos2= .
10
Отсюда
- 1= .
5
Ответ:
4
5
40
Пример 6. Вычислить ctg(arccos(− )).
41
40
40
40
40
41
cos 𝛼 40
41
41
41
Решение. ctg(arccos(− ))=ctg(arccos ). Пусть arccos =, cos= .
sin=√1 −
9
cos 2 𝛼= .
41
ctg=
sin 𝛼
= .
9
Ответ:
1
5
2
13
40
9
Пример 7. Вычислить tg ( arcsin ).
Решение.
5
Пусть
12
𝛼
13
2
cos=√1 − sin2 𝛼= . tg
5
arcsin =,
tg
sin= .
13
13
𝛼
2
=√
1−cos 𝛼
1+cos 𝛼
.
1
= .
5
Ответ:
1
5
Упражнения
1. Вычислите:
1) arctg √3
2) arcctg √3
3) arcctg 1
4) arcctg 1
6) arctg 1
7) arctg 0
8) arcctg (−√3)
9) arctg
√3
3
2. Сравните значения выражений:
2) arctg0 и arcctg( - 1)
1) arctg√3 и arctg1
3) arcctg(−
5) arcctg
1
) и arctg(−√3)
√3
1
√3
4) arctg( - 1) и arcctg( - 1)
6) arctg√3 и arcctg(−√3)
и arctg√3
1
7) arcctg1 и arcctg√3
8) arcctg(−
9) arctg( - 1) и arcctg( - 1)
10) arcctg(−
√3
3
) и arctg( )
√3
1
) и arctg(−
√3
3. Найдите значение выражения:
1) arctg0 + arcctg(−√3) + arctg(−
2) arccos (−
3)
4)
√3
)
2
+ arcsin (−
√3
)
2
1
) + arcctg0
√3
+ arctg(−√3)
√3
)
3
5) arсctg
√3
3
10) arctg(−
√3
)
3
5) arctg(−1) + 2arcctg (−
√3
)
3
− 3arctg√3 + arcctg(−1)
6) 2arcctg1 + 3arctg0 + arcsin(−1)
7)
8) arcctg√3 + arctg√3 + arcctg(−
√3
)
3
1
9) arctg(−√3) + arcctg0 + 3arctg
2
√3
3
10)
4. Найдите значение выражения:
13𝜋
7
1) tg(arctg3,7)
2) arctg(tg
5) ctg(arctg( - 4))
6) tg(arcctg( - 5))
9
8
)
12𝜋
9) tg(arctg((− ))
10) arctg(ctg
8
5
3) ctg(arcctg(− ))
4) arctg(tg(−
7) ctg(arcctg9,2)
8) arct(tg
5
15𝜋
7
9𝜋
5
))
)
)
5. Вычислить:
2
1
1) 4√5tg (arccos )
3
2) √6tg (arccos )
3
3) 18√7tg (arccos )
5
1
4
4
4) √2tg (arccos )
2
5) 8tg (arccos )
3
6) 4√21tg (arccos )
5
3
5
1
7) 9tg (arccos )
8) 2√35tg (arccos )
5
6
5
9) 10√11tg (arccos )
6
1
10) 3√15tg (arccos )
4
6. Найдите значение выражения:
1) sin(arcctg
8
8
15
3) tg(arcsin( -
- arcsin )
17
12
3
13
5
)+arcsin )
5) tg(arcctg2 + arcctg3)
1
3
4
5
7) cos(2arctg +arccos )
1
9) sin(2arcctg (− ) + 10arctg(−1))
5
3
12
4
5
2) cos(arctg - arcctg( -
))
1
4) sin(9arcctg √3 + arcsin )
3
2
6) tg(2 arcsin (− ) + arccos(−1))
3
8) cos(1,5arctg(−√3) + 4arcctg2)
10) sin(arcsin
√2
2
+ 2arctg 1)
tg(arccos1 − 2arctg (−
4
2
5
√5
√3
))
3
1
3
2
5
tg( arccos - 2arctg( - 2))
ctg(arcsin +arccos )
3
1
5
√5
tg(arcos( - )+arcsin( -
1
2
2
5√5
sin(arcctg( - )+arccos
)
cos(arcsin( -
√2
)
2
– arcctg0)
12
sin(2arctg2+arctg3)
))
3
tg(arcsin (− ) + arcsin )
13
5
3
12
4
5
cos(arctg − arcctg(− ))
7. Найдите значение выражения:
1) ctg (51arctg (−1))
4) arctg(ctg
√2
)
2
7)
2) cos(217arcctg(−√3))
3) sin(2 arcctg (−3))
5)
6)
8)
9)
10)
8. Докажите тождество:
𝜋
1) arctgx+arcctgx=
3) sin(arctg 𝑥) =
5) ctg(arctgx)=
7) sin(arctgx)=
9) arctg
1
𝑥
2) arcsin 𝑥 = arctg
2
𝑥
4) arctg 𝑥 = arcsin
√1+𝑥 2
1
𝑥
√1−𝑥 2
𝑥
√1+𝑥 2
6) 2arctg 𝑥 = arctg
𝑥
𝑥
8) tg(arcsinx)=
√1+𝑥 2
2𝑥
1−𝑥 2
, −1 < 𝑥 < 1
, −∞ < 𝑥 < ∞
,0 ≤ 𝑥 < 1
𝑥
√1−𝑥 2
10) arctg (tg 2) = 2 − 𝜋
= arctg 𝑥, 𝑥 ≠ 0
9. Решите уравнение:
1) arctg 2 𝑥 −
5𝜋
12
arctg 𝑥 +
𝜋2
24
=0
3) arctg(6𝑥 − 1) = arctg(12 − 5𝑥)
3𝑥−1
2) arcctg(3 − 4𝑥) = arcctg(11 + 8𝑥)
4) arctg(2x-1)= −
=𝜋
6)
7) 4arctg 2 𝑥 − 3𝜋arctg𝑥 − 𝜋 2 = 0
8)
5) 4arctg
𝑥+3
9) arctg2𝑥 + arctg3𝑥 = −
3𝜋
4
10. Найдите значение выражения:
10) arcctg(2-3x)=
𝜋
4
3𝜋
4
1) tg (arccos
√2
)
2
+ ctg (2 arcsin
1
)
√2
3) cos(2arctg 1) + cos (2 arctg(−1))
1
5) tg (arccos(− ) + sin (arctg(−√3)
2
7) tg(arcsin 0) − ctg (arccos(−
√2
)
2
9)
2) ctg (arcsin
4)
6)
8)
10)
Дополнительные задания
1. Решите неравенство:
1) arctg(5x2 – 3x)>arctg(5x- 3)
4) arcctg (𝑥 − 2) <
7)
10)
5𝜋
2)
3)
5)
6)
8)
9)
6
√3
)
2
+ ctg (2 arcctg(−√3)
Арктангенс и арккотангенс
1. Найдите значение
выражения
2. Найдите значение
выражения
3. Найдите значение
выражения
4. Найдите значение
выражения
Вариант 1
Вариант 2
arcctg √3
arctgn 1
arctg(−
√3
)
3
−arcctg √3
tg(arctg(− 1))
arctg (−
ctg(arcctg
√3
)
3
√3
) − arcctg 1
3
arcctg(−1) + arctg
5𝜋
4
arcctg(−1) +
√3
3
5. Найдите значение
выражения
arctg 1 +
6. Найдите значение
выражения
𝜋
arctg (ctg )
4
tg(arcctg √3)
7. Найдите значение
выражения
tg(3 arctg 1 + arcctg 0,8)
ctg(arcctg 0,6 − arctg 0,6)
8. Решите уравнение
9. Решите уравнение
10. Докажите тождество
1+2𝑥
arcctg
3
=
2𝜋
3
arctg(𝑥 2 − 4𝑥 + 3) = 0
π
arctgx+arcctgx=
2
𝑥+2
arctg
4
3𝜋
2
=−
𝜋
3
arcctg(𝑥 2 − 3𝑥 + 0,5) =
ctg(arctgx)=
1
𝑥
𝜋
4