ГЛОССАРИЙ ПО МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Дидактика – отрасль педагогики, разрабатывающая теорию
образования и обучения. Предметом дидактики являются закономерности и
Абстракция – результат мысленного отвлечения (абстрагирования) тех принципы обучения, его цели, научные основы содержания образования,
или иных определенных свойств от множества свойств рассматриваемого
методы, формы и средства обучения.
объекта.
Дифференцированное обучение математике – создание групп
Алгоритм – точное предписание (правило) о выполнении в
учащихся, различающиеся по содержанию обучения, формам и уровню
определенном порядке указанных операций (шагов алгоритма),
учебных требований к ним.
позволяющее решать все задачи определенного вида.
Доказательство – установление (обоснование) истинности
Анализ – мысленное расчленение предмета познаний на части.
высказывания (суждения, предложения); логическое действие, в процессе
Анализ урока – разбор и оценка урока в целом или отдельных его
которого истинность данного высказывания обосновывается с помощью
сторон. Анализ урока необходим: для повышения профессионального
других высказываний.
мастерства учителя; как средство улучшения преподавания и внедрения
Знания – понимание, сохранение в памяти и умение воспроизводить и
чего-то нового в практику работы учителей школы; как средство контроля применять на практике основные научные факты и теоретические
и обучения учителя в работе; для методической подготовки студентов; с
обобщения. Любое знание выражается в понятиях, категориях, принципах,
целью оценки всех возможных сторон учебно-воспитательного процесса на законах, закономерностях, фактах, идеях, символах, концепциях, теориях,
уроке.
гипотезах. Математические знания представляют собой математические
Арифметика – наука о числах и операциях над ними.
понятия, законы, символику, математический язык и т.д.
Вид – каждый класс объектов, который входит в объем более широкого
Идеальный (абстрактный) объект – не существующий реально, но
класса объектов.
отображающий определенные свойства (например, форму) некоторых
Видовое понятие – понятие, входящее в состав более общего понятия,
реальных объектов и служащий для научного изучения этих реальных
которое называется родовым.
объектов.
Видовой признак – свойство, отличающее объекты одного вида от
Индуктивное определение – такое определение понятия, которое
объектов других видов, входящих в один и тот же род.
позволяет из некоторых исходных объектов путем применения к ним
Внутрипредметные связи – взаимозависимость и взаимообусловопределенных операций строить другие объекты этого понятия.
ленность математических понятий, которые разделены лишь временем их
Классификация – распределение объектов некоторого рода на виды;
изучения. Внутрипредметные связи представляют собой объединение
деление объема понятия на виды.
преемственных, рекурсивных связей и взаимосвязей между главными
Количество – совокупность свойств, указывающих на величину
линиями и идеями развития науки математики.
предмета, его размер.
Генетическое определение – определение, в котором указывается
Конкретизация:
способ создания (построения) объектов определенного вида.
- мысленный переход от общего к единичному, частному;
Гуманизация – (от лат. humanus – человечный) «очеловечивание»
- восхождение от абстрактно-общего к частному, путем выявления
знания, необходимость дифференциации и индивидуализации обучения.
различных свойств и признаков объекта.
Гуманизация математического обучения – это, прежде всего, воспитание
Математическая модель – приближенное описание какого-либо класса
четких представлений об этических нормах и осознание невозможности
явлений, выраженное на языке математической теории (с помощью
отступления от них.
алгебраических функций или их систем, дифференциальных или
Гуманитаризация (от лат. humanitas – человеческая природа, духовная интегральных уравнений или неравенств, системы геометрических
культура) математического образования – обучение, направленное на
предложений или других математических объектов).
приобщение школьников к духовной культуре, истории развития науки,
Математические способности – определенная совокупность
творческой деятельности (что, в конечном счете, реализуется в увеличении некоторых качеств творческой личности, сформированных в процессе
числа часов в учебных планах на изучение гуманитарных дисциплин).
математической деятельности.
ГЛОССАРИЙ ПО МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Математический аппарат – совокупность предложений (теорем,
формул и т.д.) математики, дающих возможность строить математические
модели в различных науках и решать задачи.
Математический метод – метод (общий способ, путь)
математического изучения закономерностей природы и общества. В
частности, совокупность правил и приемов построения математических
моделей реальных явлений и процессов.
Математический язык – система математических знаков и символов,
операции с которыми совершаются по особым правилам, устанавливаемым
в математике.
Математическое образование – процесс и результат овладения
учащимися системой математических знаний, познавательных умений и
навыков, формирования на этой основе мировоззрения, нравственных и
других качеств личности, развития ее творческих сил и способностей.
Метод – путь, способ исследования или изучения объектов (явлений),
общий способ решения каких-либо задач.
Метод обучения – упорядоченный комплекс дидактических приемов и
средств, с помощью которых реализуются цели обучения и воспитания.
Методы обучения включают взаимосвязанные, последовательно
чередующиеся способы целенаправленной деятельности учителя и
учащихся.
Методика преподавания математики –1. Наука о математике как
учебном предмете и закономерностях процесса обучения математике
учащихся различных возрастных групп и способностей. 2. Педагогическая
наука о задачах, содержании и методах обучения математике. Она изучает и
исследует процесс обучения математике в целях повышения его
эффективности и качества. 3. Раздел педагогики, исследующий
закономерности обучения математике на определенном уровне ее развития
в соответствии с целями обучения подрастающего поколения,
поставленными обществом.
Модель – объект, подобный другому объекту (оригиналу), служащий для
изучения (исследования) оригинала. Например, уравнение, составленное по
условию задачи, является моделью этой задачи.
Мышление – активный процесс отражения объективного мира в
сознании человека.
Навыки – элементы умения, т.е. автоматизированные действия,
доведенные до высокой степени совершенства.
Обобщение – мысленное выделение:
- общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объектах и
объединение этих объектов на основе выделенной общности;
- существенных свойств объекта в результате анализа их в виде общего
понятия для целого класса объектов (научно-теоретическое обобщение).
Объект – то, что является предметом рассмотрения. Изучения,
воздействия.
Объем понятия – совокупность (множество) объектов, входящих в
данное понятие.
Определение понятия:
– логическая операция, в процессе которой раскрывается содержание
понятия;
– предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т.е.
совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса
объектов, принадлежащих определяемому понятию.
Педагогическая деятельность – совокупность деятельностей, котрая
включает умения:
- анализировать психолого-педагогическую литературу, нормативные
документы, учебные планы, программы, методические пособия,
дидактический материал и др.;
- отбирать с учетом возрастных особенностей определенных групп
учащихся учебный материал, необходимый для изучения;
- конструировать предметное содержание образование;
- планировать свою работу (уроки, мероприятия и т.д.);
- организовывать различные виды деятельности учащихся;
- помогать школьникам выполнять запланированное путем умелой и
рациональной организации учебной деятельности;
- управлять деятельностью учащихся;
- оценивать деятельность учащихся с целью ее коррекции.
Переменная величина – величина, которая принимает различные
значения.
Понятие – целостная совокупность суждений об отличительных
свойствах объектов некоторого класса.
Предложение – суждение, выражающее общее свойство некоторого
понятия.
Признак – свойство объектов понятия, по которому их отличают от
объектов других понятий.
Принципы обучения – это руководящие идеи, нормативные требования
к организации и проведению дидактического процесса. Принципы
обучения – это система важнейших требований, соблюдение которых
обеспечивает эффективное и качественное развитие учебного процесса.
Дидактические принципы обучения математике представляют. По
существу, совокупность единых требований, которым должно
удовлетворять обучение математике, и включают принципы: научности;
воспитания; наглядности; доступности; сознательности и активности;
прочности усвоения знаний; систематичности; последовательности; учета
возрастных особенностей; индивидуализации обучения; воспитывающего
обучения.
Проблема или проблемная задача – задача, создающая проблемную
ситуацию. Признаки проблемы: порождение проблемной ситуации;
определенные готовность и интерес решающего к поиску решения;
возможность неоднозначного пути решения, обусловливающая наличие
различных направлений поиска. Следует различать проблемную задачу и
проблему. Проблема шире, она распадается на последовательную или
разветвленную совокупность проблемных задач. Проблемную задачу
можно рассматривать как простейший, частный случай проблемы,
состоящий из одной задачи.
Проблемная ситуация – осознанное затруднение, порождаемое
несоответствием между имеющимися знаниями и теми знаниями, которые
необходимы для решения предложенной задачи.
Проблемное обучение – это дидактическая система, основанная на
закономерностях творческого усвоения знаний и способов деятельности,
включающая сочетание приемов и методов преподавания и учения,
которым присущи основные черты научного поиска.
Проблемный метод обучения – обучение, протекающее в виде снятия
(разрешения) последовательно создаваемых в учебных целях проблемных
ситуаций.
Род – класс объектов, в состав (объем) которого входят другие классы
объектов, являющиеся видами этого рода.
Самоанализ урока – расчленение и разбор урока учителем в целях
построения целостной системы обучения и достижения оптимального
результата обучения в оптимальных условиях.
Свойство – то, что присуще объектам, что их отличает от других
объектов или делает их похожими на другие объекты. Свойство является
существенным для определения понятия, если оно присуще всем объектам
этого понятия (является общим свойством) и без него объекты этого
понятия не существуют. Свойство объекта (предмета) является
существенным для решения задачи, если это свойство используется в
процессе решения. Несущественные свойства для определения понятия (не
общие, случайные) могут быть существенными для решения конкретной
задачи.
Синтез – мысленное соединение отдельных элементов в единое целое. В
реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются
совместно.
Следствие – суждение, получающееся в результате умозаключения из
одного или нескольких суждений.
Содержание понятия – совокупность свойств, присущих всем объектам
данного понятия.
Софизм – умышленно ложное умозаключение, которое выдается за
истинное.
Сравнение – мыслительная операция, которая заключается в
сопоставлении объектов познания с целью нахождения сходства
(выделение общих свойств) и различия (выделения особенных свойств)
между ними. Сравнение лежит в основе всех других мыслительных
операций.
Суждение – форма мысли, в которой утверждается или отрицается чтолибо относительно объектов (предметов, явлений). Суждения могут быть
истинными или ложными.
Технология – определенная последовательность процедур для
достижения тех или иных целей.
Технология обучения – способ реализации содержания обучения
(предусмотренного учебными программами), представляющий систему
форм, методов и средств обучения, обеспечивающую наиболее
эффективное достижение поставленных целей.
Умения – это владение способами, приемами применения усваиваемых
знаний на практике. Умения включают знания и навыки.
Умозаключение – логическое действие, в результате которого из одного
или нескольких известных суждений получают новое суждение,
содержащее новое знание.
Урок – логически законченный, целостный, ограниченный
определенными рамками времени отрезок учебно-воспитательного
процесса, где представлены все основные элементы этого процесса (цели,
содержание, средства, методы, формы организации). Урок представляет
собой форму организации деятельности учителя и учащихся.
Формы обучения – виды учебных занятий, способы организации
учебной деятельности учителя и учащихся, направленные на овладение
учащимися знаниями, умениями и навыками. На воспитание и развитие их
в процессе обучения.
Эвристика – 1. Наука, изучающая закономерности поиска решения
задач. 2. Прием (правило) поиска решения задач.
МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
I. Понятие. Процесс формирования понятия. Содержание и объем
понятия.
Любой математический объект – это результат выделения из
предметов и явлений окружающего мира особых количественных и
пространственных свойств и отношений и мысленного отвлечения от всех
других свойств. Математические объекты реально не существуют, все они
существуют в человеческом сознании. Математические объекты – это
идеальные объекты, отражающие реальные объекты.
Любой математический объект обладает какими-то свойствами.
Свойство является существенным, если без него объект не существует.
Свойство является несущественным, если оно не влияет на существование
объекта.
Целостная совокупность суждений о существенных свойствах объекта,
или форма мышления, в которой отражены существенные свойства объекта
изучения – понятие.
Понятие фиксируется в речи с помощью слова или сочетания слов –
термин.
Схема формирования понятия:
1.Ощущения (смотреть, слушать, трогать);
2.Восприятие (отражение реальной действительности в мозгу человека);
3.Представление (образы реальных объектов, возникающие в процессе
представливания)
4.Понятие.
Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и объему.
Содержание понятия – это множество всех существенных свойств
данного понятия. Содержание понятия раскрывается с помощью
определения.
Объем понятия – множество объектов, (к которым применимо данное
понятие), или отношений. Объем раскрывается с помощью классификации.
Чем шире содержание понятия, тем уже объем, и наоборот.
Переход от более широкого понятия (понятия большего объема) к более
узкому (понятию меньшего объема) называется ограничением понятия.
Понятие большего объема называется родовым понятием. Понятие
меньшего объема называется видовым понятием.
Переход от рода к виду называется ограничением понятия, а переход от
вида к роду – обобщением понятия.
II. Определение математических понятий. Виды определений.
Правила определения понятий
Определить понятие – это значит указать существенные
(характеристические) свойства, которых достаточно для его определения.
Определение понятия – это предложение, в котором раскрывается
содержание понятия, т.е. совокупность условий, каждое из которых
необходимо, а все вместе достаточны для выделения класса объектов,
принадлежащих данному понятию.
Виды определений математических понятий:
1. Через род и видовые отличия
Пример: «Ромб – это параллелограмм, у которого две смежные стороны
равны».
2. Описательные (неявные определения)
Пример: «Проведем прямую и отметим на ней точку О. Эта точка
разделяет данную прямую на две части, каждая из которых называется
лучом, исходящим из точки О».
3. Генетические (в качестве видового отличия указывается способ
построения фигуры)
Пример: «Прямой круговой конус – это геометрическое тело,
образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного
из катетов».
4. Индуктивные или рекуррентные (если можно записать с помощью
равенства)
Пример: Числовая последовательность, каждый член которой, начиная
со второго, равен предшествующему, сложенному с одним и тем же
числом, называется арифметической прогрессией, т.е. если an  an1  d ,
где n  2 , то a n  - арифметическая прогрессия.
5. Аксиоматические (понятие описывается с помощью системы аксиом).
Пример: «Площадь – это положительная величина, численное значение
которой обладает следующими свойствами:
1) Равные фигуры имеют равные площади.
2) Если фигура разбита на части, то площадь этой фигуры равна сумме
площадей ее частей.
3) Площадь квадрата, сторона которого равна одному, равна одному».
6. Условные (в основе лежит условное соглашение)
Пример: « a 0  1, a  0 ».
7. Через абстракцию (основано на первичных понятиях)
Пример: «Фигура – множество точек».
Правила определения понятий (Л.М. Фридман):
Правило 1. Определения должны быть научно правильными (т.е. при
определении понятия не искажать его научный смысл).
Пример: «Модулем числа называется число без знака».
Правило 2. Определения не должны содержать «порочного круга».
Пример:
«Угол
называется
прямым,
если
его
стороны
перпендикулярны»; «Прямые называются перпендикулярными, если при
пересечении образуют прямой угол».
Правило 3. Определения должны содержать указание на ближайшее
родовое понятие.
Пример: «Квадрат – это параллелограмм, у которого две смежные
стороны равны».
Правило 4. Определения должны быть достаточными (т.е. в
определении должно быть указано достаточно существенных свойств).
Пример: «Биссектрисой угла треугольника называется отрезок, который
делит угол треугольника пополам».
Правило 5. Определения не должны быть тавтологией (т.е. повторять
другими словами то, что уже сказано).
Пример: «Симметричные фигуры – это фигуры, которые расположены
симметрично».
Правило 6. Определение не должно быть избыточным (т.е. не должно
указываться лишних существенных свойств).
Пример: «Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые».
III. Классификация математических понятий
Классификация понятий – это логическая операция, с помощью которой
объем понятия разбивается на подклассы по какому-нибудь признаку.
1) мотивация введения понятия (подчеркивается важность изучения
понятия)
2) формулировка определения понятия
3) выявление существенных свойств
4) применение понятия в конкретных ситуациях
5) связь данного понятия с ранее изученными понятиями; обобщение
понятия, конкретизация понятия.
МЕТОДИКА РАБОТЫ НАД ТЕОРЕМОЙ
I.
Основные виды умозаключений в математике
Процесс получения нового суждения из одного или нескольких
данных называется умозаключением. Основными видами умозаключений в
математике являются аксиомы и теоремы.
Аксиома – математическое предложение, принимаемое без
доказательства. Аксиомы и первичные понятия образуют фундамент
математической теории. Требования, предъявляемые к системе аксиом:
непротиворечивость, независимость, полнота.
Теорема – математическое предложение, истинность которого
доказывается посредством доказательства.
II.
Теорема. Виды теорем
Структура теоремы: объект, условие, заключение.
Например: В равнобедренном треугольнике углы при основании
Требования классификации:
равны.
1) Основание деления должно быть одним и тем же при всем делении;
Объект – углы
2) Подклассы должны быть не пустыми;
Условие – треугольник – равнобедренный.
3) Подклассы не должны содержать общих элементов;
Заключение – углы при основании равны.
4) Подклассы должны исчерпывать весь объем понятия.
Два вида формулировки: условная (с помощью слов «если», и «то») и
категоричная (без использования этих слов).
IV. Пути введения математических понятий
Существует два основных пути введения понятий:
Например: (условная форма) Если параллелограмм – ромб, то его
диагонали взаимно перпендикулярны.
а) конкретно-индуктивный
1) мотивация введения понятия (подчеркивается важность изучения
(категоричная форма) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
понятия)
Виды теорем:
2) связь данного понятия с ранее изученными понятиями;
1) прямая: А  В ;
3) выявление существенных свойств понятия
2) обратная: В  А ;
4) формулировка определения понятия
3) противоположная: А  В ;
5) применение понятия в конкретных ситуациях.
4)
контрпозитивная
(обратная
противоположной
или
б) абстрактно-дедуктивный
противоположная обратной): В  А .
Одновременно истинны или ложны: 1 и 4; 2 и 3.
Условная формулировка теоремы позволяет выразить ее с помощью
понятий необходимого и достаточного условий.
А В
А – достаточно для В, В – необходимо для А.
Теоремы-свойства и теоремы-признаки:
Свойство – то, что присуще предметам, что отличает их от других
предметов или делает их похожими на другие предметы.
Признак – все то, в чем предметы, явления сходны друг с другом или
в чем они отличаются друг от друга; показатель, сторона предмета или
явления, по которой можно узнать, определить или описать предмет или
явление.
Каждый признак является свойством, но далеко не каждое свойство
является признаком.
Самое трудное в доказательстве – это найти последовательность
посылок, применение которых приведет к конечному результату.
Например:
Теорема 1.(свойство равнобедренной трапеции)
В равнобедренной трапеции углы при основании равны.
Из условия теоремы имеем:
В
С
1. АВСD равнобедренная (дано)
трапеция, ВС ǁ АD
(рис.а)
2. АВ = СD
А
Рис.а
D
3. Требуется доказать, что углы при каждом основании равны.
Требуется доказать, что углы при каждом основании равны, т.е.
требуется доказать, что ∠ВАЕ=∠СDА и ∠АВС=∠DСВ. Что для этого надо
знать (построить, вычислить)? Для этого можно вспомнить, в какой еще
фигуре углы при основании равны. Это – равнобедренный треугольник.
Значит можно построить равнобедренный треугольник, а для этого следует
III.
Методика обучения доказательствам
провести отрезок ВЕ параллельный CD.
При изучении теорем учитель математики обычно придерживается
4. Проведем отрезок ВЕ, параллельно стороне СD. (построение) (рис.б)
следующей схемы:
Теперь мы видим треугольник АВЕ и параллелограмм ВСDЕ. Чтобы
1.
Постановка вопроса (создание проблемной ситуации).
доказать равенство ∠ВАЕ=∠СDА можно доказать, что треугольник АВЕ –
2.
Обращение к опыту учащихся.
равнобедренный, воспользоваться свойством равенства углов при
3.
Высказывание предположений.
основании равнобедренного треугольника, а затем свойством углов,
4.
Поиск возможных путей решения.
образованных при пересечении параллельных прямых ВЕ и СD секущей
5.
Доказательство найденного факта.
АD.
6.
Оформление доказательства.
5. BCDE – параллелограмм В
С
7.
Установление зависимости доказанной теоремы от ранее
(1, 4, определение
доказанных.
параллелограмма)
Рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо факта
6. ВЕ = СD (5, свойство
называется доказательством.
противолежащих
A
E
D
При доказательстве теоремы ее сводят к ранее доказанным теоремам,
сторон
параллелограмма)
Рис.б
а те в свою очередь еще к другим теоремам и т.д. Очевидно, что этот
7. АВ = ВЕ (2, 6)
процесс должен быть конечен, и поэтому всякое доказательство сводит
8.Треугольник
АВЕ
равнобедренный
(7,
определение
доказываемую теорему к исходным определениям и аксиомам.
равнобедренного треугольника)
Каждый шаг доказательства состоит из трех частей:
1) посылка (или аргумент) – предложение, на основе которого
9. ∠ВАЕ = ∠ВЕА (8, свойство углов при основании равнобедренного
производится этот шаг (аксиома, определение, ранее доказанная теорема); треугольника)
2) логическое рассуждение, в процессе которого посылка применяется
10. ∠ВЕА = ∠СDА (5, свойство соответственных углов, образованных
к условиям теоремы или ранее полученным следствиям;
при пересечении двух параллельных прямых секущей)
3) логическое следствие применения посылки к условиям или ранее
11.∠ВАЕ = ∠СDА (9, 10)
полученным следствиям.
Аналогично можно доказать, что ∠АВС = ∠DСВ.