Топологическая классификация особых точек первой степени

2 0 0 2
г
№7
Тру ды
ФО РА
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ
КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК
ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ СИСТЕМЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С
РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ В СЛУЧАЕ Y0
Д. К. Мамий
Адыгейский государственный университет, г. Майкоп
Рассматривается система дифференциальных уравнений, определяемая дифференциальным уравнением второго порядка с разрывной правой частью x  f ( x, x ) . Получена
топологическая классификация особых точек первой степени негрубости, не лежащих на
прямой y  0.
G  R 2 конечная область и L — кривая, удовлетворяющая следующим условиям:
k
1. L — гладкая кривая класса C ,
2. L —имеет конечную длину,
3. L — делит область G на две области G1 и G2 .
4. Пересечение кривой L с прямой y  0 состоит из конечного числа компонент: точек и отПусть
2
резков. Всюду ниже будем считать ориентацию плоскости R заданной. Зададим некоторую ориентацию кривой L. Пусть  касательный вектор к кривой L в некоторой ее точке, а  — вектор нормали в этой точке, такой что базис ,  задает ориентацию, согласованную с ориентацией плоскости
R2 . Тогда область, внутрь которой направлен вектор , обозначим за G1, а вторую область за G2 .
Рассмотрим дифференциальное уравнение
x  f ( x, x ),
(1)
где f — функция, определенная в G , принадлежащая в каждой из областей
вплоть до линии
Gi классу C k , k  1,
L.
Уравнению (1) соответствует система F — дифференциальных уравнений в области
 x  y ,

 y  f ( x, y ),
где
G
(2)
f ( x, y )  f i ( x, y ), ( x, y)  Gi , i  1, 2.
Метрическое пространство систем вида (2) с метрикой
~
~
 k  ( F , F )  max f i ( x, y )  f i ( x, y )
i 1, 2
будем обозначать
k
U Gk , L .
Свойства грубости систем (2) будем рассматривать относительно возмущений в пространстве
U Gk , L ,
то есть возмущений, не меняющих первое уравнение системы (2).
В работе [2] построена топологическая классификация грубых особых точек системы (2), не
лежащих на прямой y  0.
В данной работе исследуются особые точки первой степени негрубости системы (2), не лежащие на прямой y  0.
© Д.К. Мамий
Д.К. Мамий
38
O( x0 , y0 ), y0  0, — особая точка системы (2), лежащая на линии разрыва L , G —
окрестность точки O( x0 , y0 ), и в этой окрестности L задается уравнением  ( x, y )  0,
Пусть
  C k 1.
В [2] показано, что особая точка
O может иметь только типы 2 или 3 и линия разрыва L в
k 1
окрестности O является в этом случае графиком функции   C . Пусть G — малая окрестность
точки
O , тогда в этой окрестности система (2) может быть записана в следующем виде:
 x  y ,

 y  f ( x, y )  f i ( x, y ), ( x, y )  Gi ,
f i ( x, y )  ci  ai ( x  x0 )  bi ( y  y 0 )  Ai ( x  x0 ) 2  Di ( y  y 0 ) 2 
(3)
 Bi ( x  x0 )( y  y 0 )   i ( x, y ),

где  i ( x, y )  o x  x0 , y  y 0
2
 при x  x ,
0
y  y0 ,
( x, y)  Gi , i  1, 2.
G1  {( x, y )  G, y   ( x)}, G2  {( x, y)  G, y   ( x)}.
Линия разрыва L локально является графиком функции
y   ( x )  y 0   ( x  x0 )   ( x  x0 ) 2   ( x  x0 ) 3  o( x  x0 ) 3 , x  x0 ,   C 3 .
В [2] показано, что система F локально диффеоморфна системе F следующего вида, с особой точкой O (0,1) :
 x  y

 y  f ( x, y)  fi ( x, y), x, y U i , i  1, 2,
2
2
где f i ( x, y )  ci  ai x  bi ( y  1)  Ai x  Bi x ( y  1)  Di ( y  1)   i ( x, y ),

где  i ( x, y )  o x, y  1
2
(4)
, при x  0, y  0, ( x, y) U , i  1, 2.
i
U1  {( x, y) U 0 , y  1}, U 2  {( x, y) U 0 , y  1},
U 0 — окрестность точки O , являющаяся диффеоморфным образом G.
Точка O (0,1) имеет тип 2 относительно системы F тогда и только тогда, когда c1  0,
c2  0 или c1  0, c2  0, а тип 3, если c1  0, c2  0. Исследуем сначала точки типа 2.
Т е о р е м а 1 . Пусть система
F  U G2 , L имеет вид (4) и в точке O (0,1) выполнены условия
c1  0, c2  0 или c1  0, c2  0. Если ci  0 (i  1 или i  2), то точка O имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда
ai  0, Ai  0
(5)
При этом особая точка имеет следующие топологические типы.
а) Если c1  0, a1  0, A1  c2  0 или c2  0, a2  0, A2  c1  0, то H H (см.[1]).
2
2
2
2
б) Если с1  0, a1  0, A1  c2  0 или c2  0, a2  0, c1  A2  0, то Q Q K K .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждения а), б) теоремы, относящиеся к топологической классифи2
кации следуют из [1]. Условия (5) говорят о том, что одна из функций
2
Fni  fi (x,1) системы F име-
ет нуль кратности 2 в точке x  0, а вторая функция в этой точке в нуль не обращается. Поэтому, в
силу следствия 1 теоремы 2 §19[1], особая точка O (0,1) имеет первую степень негрубости в классе
C 2 . Отсюда получаем, что в классе U G2 , L точка O (0,1) либо груба, либо имеет первую степень неТруды ФОРА, №7, 2002 г.
© 2002 Физическое Общество РА
Топологическая классификация особых точек первой степени негрубости системы… 39
грубости. В силу теоремы 1[2] при указанных в теореме 1 условиях особая точка не является грубой.
Отсюда следует достаточность условий (5). Бифуркации, испытываемые исследуемыми особыми точками описаны в [1]. Они определяются бифуркациями корней функции
Fni при малых возмущениях
Fn1 имеет при x  0 нуль второго порядка, а Fn2 (0)  0. Тогда, если
~
~1
система F близка системе F , то функция Fn либо не имеет корней, либо имеет корень кратности 2,
либо два корня кратности 1. Поэтому особая точка O (0,1) при малых возмущениях системы F мосистемы F . Пусть функция
2
жет или сохраниться или исчезнуть или распасться на две грубые особые точки типа K K
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
H H Q Q . При этом при бифуркации особой точки H H точки типа K K и H H Q Q
2
2
и
2
соединены линейной особенностью типа AA1 (рис. 1), а при бифуркации точки Q Q K K не соединены (рис. 2).
Докажем теперь необходимость условий (5). Если c1  0, c2  0, a1  0 или c2  0, c1  0,
a2  0, то в силу теоремы 1[2] особая точка является грубой. Пусть теперь c1  a1  A1  0,
c2  0. Рассмотрим однопараметрическое семейство систем F () :
 x  y,

x 2  f1 ( x, y ), ( x, y )  U1 ,


y



 f 2 ( x, y ), ( x, y )  U 2 .

Если  — мало, то системы F ( ) и F сколь угодно близки. Если   c2  0, то точка O имеет тип
H 2 H 2 , если же   c2  0, то O имеет тип Q 2Q 2 K 2 K 2 , причем в обоих случаях точка O имеет
первую степень негрубости. Следовательно, степень негрубости особой точки O системы F больше 1. Случай c2  0, a2  0, A2  0, c1  0 рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Рис. 1
Рис. 2
Выражения коэффициентов ci , ai , bi , Ai системы F через коэффициенты ci , a i , bi , Ai ,
Bi , Di системы F , полученные в лемме 1[2], позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия первой степени негрубости для особых точек типа 2 системы (3).
Труды ФОРА, №7, 2002 г.
© 2002 Физическое Общество РА
Д.К. Мамий
40
F  U G2 , L имеет вид (3) и в точке O( x0 , y0 ) выполнены
С л е д с т в и е 1 . Пусть система
условия:
Если
c1    y0 , c2    y0 или c1    y0 , c2    y0 .
c1    y0 ( i  1 или i  2), то точка O имеет первую степень негрубости тогда и только
тогда, когда
a i  bi 
2 Ai  c i  Bi  2Di  2 bi 
 2 bi
y0
ci
y0
 2 y 0 ,
 a i   2 bi  2 c i 
 2 ci
y0
 6y 02  2y 0 .
Необходимое и достаточное условие первой степени негрубости особой точки
мы (3) можно сформулировать и через функции
С л е д с т в и е 2 . Пусть система
O( x 0 , y 0 ) систе-
Fni .
F U G2 , L
имеет вид (3) и выполняются условия
Fn1 ( x0 )  0, Fn2 ( x0 )  0 или Fn1 ( x0 )  0, Fn2 ( x0 )  0. Точка O( x 0 , y 0 ) имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда x  x0 является корнем кратности 2. для одной из функций
Fni (i  1, 2) и не является корнем другой.
Исследуем теперь особые точки типа 3.
F  U G2 , L имеет вид (4) и в точке O (0,1) выполнены условия:
Т е о р е м а 2 . Пусть система
c1  0, c2  0.
Точка O имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия.
1) a1  0,
a2  0.
2) Если a1  0,
a2  0, то T1  T2 , где Ti 
Ai  ai bi
, i  1, 2.
ai
(6)
Особая точка имеет следующие топологические типы:
а) Если a1  a2
 0, то H 2 H 2 .
б) Если a1  0, a2  0, то H Q Q H Q Q .
в) Если a1  0, a2  0, T1  T2 , то ( LL )1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждения а) и б) следуют из [1], где проведена топологическая классификация особых точек типа 3. Условие a1  0, a2  0 свидетельствует о принадлежности особой
2
2
2
2
2
2
точки классу LL . В этом случае также как в §19 [1] для особой точки определяется обобщенная
функция последования . С помощью формул, полученных в §19 [1] легко показать, что
2
(T2  T1 )  x02  o( x02 ), x0  0.
3
Отсюда получаем, что если a1  0, a2  0, T1  T2 , то малая окрестность точки O не содержит
замкнутых политраекторий и поэтому особая точка имеет тип ( LL )1.
( x0 ) 
Достаточность условий (6) следует из теоремы 4 §19[1] и теоремы 1 [2], в силу которой особые
точки типа 3 не являются грубыми в классе
вия
U G1 , L . Бифуркация особых точек описаны в §19[1]. Усло-
a1  0, a2  0 означают, что функции Fni , i  1, 2 имеют в точке x  0 простой нуль. Тогда
Труды ФОРА, №7, 2002 г.
© 2002 Физическое Общество РА
Топологическая классификация особых точек первой степени негрубости системы… 41
~
F  U G2 , L близка F , то функции Fni обращаются в нуль либо в одной точке, либо в
двух разных точках. Поэтому особая точка O при возмущениях системы F либо сохраняется, либо
если система
распадается на две грубые особые точки типа 2.
Если
a1  a2  0, то особая точка H 2 H 2 распадается на две особые точки типов K 2 K 2 и
H 2 H 2Q 2Q 2 , соединенные линейной особенностью AA1 (рис.3). Если a1  0, a2  0, то особая
2
2
2
2
2
точка типа H Q Q H Q Q
же
2
2
2
2
распадается на две особые точки типа H H Q Q
2
(рис.4). Если
a1  0, a2  0, T1  T2 , то особая точка типа ( LL )1 распадается на две особые точки типа
K 2 K 2 (рис.5).
H 2H 2
Рис. 3
H 2Q 2Q 2 H 2Q 2Q 2
Рис. 4
( LL )1
Рис. 5
a1  0, a2  0, T1  T2 . Тогда также как в тео~
2
реме 4 §19[1] показывается, что существует сколь угодно близкая к F система F U G , L , имеющая
в малой окрестности точки O замкнутую политраекторию. При этом O негрубая особая точка си~
стемы F . Следовательно, система F и ее особая точка не могут иметь первую степень негрубости.
Пусть теперь a1  a2  0, например a1  0, a2  0. Рассмотрим однопараметрическое семейство систем F ( ) вида
 x  y,

x  f1 ( x, y ), ( x, y )  U1 ,

 y   f ( x, y ), ( x, y )  U .
2
 2

Докажем необходимость условий (6). Пусть
Труды ФОРА, №7, 2002 г.
© 2002 Физическое Общество РА
Д.К. Мамий
42
Если
  a2  0, то особая точка имеет тип H 2 H 2 , если же   a2  0, то особая точка имеет тип
H 2Q 2Q 2 H 2Q 2Q 2 или относится к классу LL . Во всех этих случаях степень негрубости особой
точки не меньше 1. Поэтому если a1  0, a2  0, то особая точка системы F имеет степень негрубости больше 1. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Теорема доказана.
Сформулируем необходимые и достаточные условия первой степени негрубости для особых точек типа 3 системы (3). Сделаем это для случая y0  0.
С л е д с т в и е 1 . Пусть система
полнены условия
F  U G2 , L имеет вид (4) и в точке O( x 0 , y 0 ), y0  0 вы-
c1    y 0 , c 2    y 0 .
Точка
O( x 0 , y 0 ) имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда выполняются
ci
следующие условия. 1) a i  bi 
 2 y 0 , i  1, 2.
y0
c1
c
2) Если a1  b1 
 2 y 0 , a 2  b2  2  2 y 0 , то T1  T2 , где
y0
y0
1
2 Ai  ci  Bi  2Di  2 bi   2 bi  a i   2 bi  2 ci
y0
Ti 

ci
a i  bi 
 2 y 0
y0
 2 ci





c
1
 6y 02  2y 0   a i  bi  i  2 y 0  bi  2
0
y0
y


, i  1, 2.
ci
a i  bi 
 2 y 0
y0
С л е д с т в и е 2 . Пусть
система
F  U G2 , L
имеет
вид (4)
и
выполняются
условия
Fn1 ( x0 )  0, Fn2 ( x0 )  0. Точка O( x 0 , y 0 ) имеет первую степень негрубости тогда и только тогда,
когда
x  x0 грубый корень каждой из функций Fni , i  1, 2.
Мы провели полное исследование особых точек первой степени негрубости системы (2), не лежащих на оси y  0.
Литература
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука,
1985.
2. Мамий Д.К. Топологическая классификация грубых особых точек систем определяемой дифференциальным уравнением второго порядка с разрывной правой частью в случае y  0.
The topological classification of first degree unstructurally stable singular
points of the system, determined by the second-order differential equation
with discontinuous right-hand side in case y  0.
D.K. Mami
The system of differential equations determined by the second-order differential equation with discontinuous right-hand side is considered. The topological classification of first degree structurally un stable singular points, not lying on the line y  0 is given.
Труды ФОРА, №7, 2002 г.
© 2002 Физическое Общество РА