КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Решение задач по теме 7:

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Решение задач по теме 7:
Задачи
1. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного гармонического осциллятора.
Будем искать решение уравнения Шредингера:
 2 d 2 x  m2 x 2


x   Ex  .
2m dx2
2

x
Сделаем обезразмеривающую замену  
, x0 
и
m
x0
2E
обозначим
  . Уравнение примет вид:

 2   
    2     0 .
 2
Легко убедиться, что при    волновая функция имеет вид

e

2
2

. Это легко сделать, пренебрегая  по сравнению с  2 .

2
2
Тогда функция должна иметь вид    f  e . Будем искать
решение уравнения
 2 f  
f  
 2
   1 f    0
2



в виде степенного ряда f     ak  k . Подставим этот ряд в
k  k0
уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
 , получим ряд соотношений
k0 k0  1ak0  0 при  k0  2 ,
k 0 k 0  1ak0 1  0 при  k0 1 ,
k  2k  1ak  2    1  2k ak
1
 0 при  k , если k  k 0 .
Первые два уравнения являются тождествами, если положить
k 0  0 , a0  0 , a1  0 . Из последнего уравнения получаем рекуррентную формулу для коэффициентов ряда
2k  1  
ak  2  ak
.
k  2k  1
Все четные a k можно определить через a0 , а нечетные – через a1 .
Бесконечный степенной ряд в общем случае не является сходящимся. Следовательно, его следует сделать конечным, то есть
оборвать на некотором члене. То есть в рекуррентной формуле
следует положить некоторое an  2  0 . Откуда   2n  1 ,


2n  1 дискретны, а уравнеE
 , уровни энергии En 
2
2
ние на собственные функции примет вид:
2 fn
f
 2 n  nf n  0 ,
2


ему удовлетворяют полиномы Чебышева-Эрмита
H n     1 e 
n
2
2
d n e 
.
d n
Волновая функция имеет вид:

2
2
 n    Сe H n   .
Пронормируем ее.
2
2
2
2
2
  n x  dx  x0   n  d  x0 Cn  e H n d  1
Один из полиномов представим в явном виде и проведем n
раз интегрирование по частям, получим
n
n 
2
 1  d e n H n d  x0 Cn 2  e  d H nn d ,
d
d
2
1  x0 C n
так как
2
n
d n H n  
 2 n  n! , то C n
d n
2

x0
1
.
 2  n!
n
2


Ответ: En 
2n  1,  n   4 x0 n e 2 H n  .
2
 2 n!
2
3
2. Найдите уровни энергии и собственные функции
трехмерного гармонического осциллятора вида
m12 x 2 m22 y 2 m32 z 2
U  x, y , z  


.
2
2
2
Рассмотрите случай изотропного осциллятора.
Будем искать решение трехмерного уравнения Шредингера:
2

  U  E ,
2m
в виде x, y, z   X x   Y  y   Z z  . Уравнение примет вид:
 2
2
2 
2mE
 2  2  2  XYZ   2 12 x 2  22 y 2  32 z 2 XYZ  2 XYZ  0 ,
 x

y
z 


2 X
 2Y
2Z
YZ

XZ

XY 
x 2
y 2
z 2
2mE
 12 x 2  22 y 2  32 z 2 XYZ  2 XYZ  0 ,

разделим все уравнение на XYZ .
2
2
 1 2 X
2mE
2 2 1  Y
2 2  1  Z
2 2








x



y

1
2
 X x 2
  Y y 2
  Z z 2  3 z     2 ,

 
 

каждое из слагаемых в левой части зависит только от одной переменной, их сумма – постоянная, следовательно, каждое из этих
слагаемых тоже константа.
Тогда уравнения примут вид
2mE
2 X
 12 x 2 X  2 1 X  0 ,
2
x

2
2mE 2
 Y
 22 y 2Y 
Y  0,
2
y
2
2mE
2Z
 32 z 2 Z  2 3 Z  0 ,
2
z

где E  E1  E2  E3 . Решения этих уравнений аналогичны решению уравнений для одномерного гармонического осциллятора:


X n1   С1e



2
2
1

H n1  , En1  1 n1   ,
2

4
Yn2   С 2 e

2
2
1

H n2  , En2  2  n2   ,
2

2
2
1

H n3   , En3  3  n3   ,
2

m3
m1
m2
где  
x, 
y, 
z.



Тогда волновая функция
Z n3    С3e

 n1n2 n3 , ,    Сe
с учетом нормировки
 n1n2 n3 , ,   
и энергия
4

 2  2   2
2
m 12 3 e
3
 4
3

H n1 H n2 H n3   ,
 2  2   2
2
2 n1  n3  n3 n1!n2 !n3!
H n1 H n2 H n3  
1
1
1



E  1 n1    2  n2    3  n3   .
2
2
2



Заметим, что в случае изотропного осциллятора
1  2  3   уровни энергии являются вырожденными:
3

E   n1  n2  n3   .
2

Так, например, если n1  n2  n3  1 , то значению энергии
5
E   соответствуют три набора квантовых чисел n1; n2 ; n3  –
2
(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), а следовательно, три различные волновые
функции. Если n1  n2  n3  2 , то n1; n2 ; n3  могут быть (2;0;0),
7
(1;1;0), (1;0;1), (0;2;0), (0;1;1), (0;0;2) – уровень энергии E  
2
шесть раз вырожден, в общем случае если n1  n2  n3  N , то
1
3

уровень энергии E   N   вырожден N  1N  2 раз.
2
2

1
1
1



Ответ: E  1 n1    2  n2    3  n3   ,
2
2
2



5
 n1n2 n3 , ,   
4
m 12 3 e
3
 4
3

 2  2   2
2
2 n1  n3  n3 n1!n2 !n3!
H n1 H n2 H n3   .
3. Найдите возможные значения энергии E квантового
гармонического осциллятора с частотой  , находящегося в
состоянии, описываемом волновой функцией:
2 2
2 2
а)   x   Ae  a x , б)  x   Axe  a x .
Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с
частотой  :
 2 d 2 m2 x 2


  E
2
dx 2
даст значение энергии осциллятора: а)


1  2 d 2 m2 x 2
 2 Aa 2 4a 2 x 2  2 e  a x
m2 x 2





2 2
 2m dx2
2
2
2mAe  a x
2 2 a 4 x 2  2 a 2 m2 x 2



.
m
m
2
Поскольку энергия не может зависеть от координаты, вероятно,
слагаемые, содержащие координату, в сумме равны нулю:
2 2 a 4 x 2 m2 x 2
m

, a2 
,
m
2
2
тогда
 2 m  
E

;
m 2
2
2 2
1  2 d 2 m2 x 2
 2 A 4a 4 x 3  6a 2 x e  a x
m2 x 2





б) E  
2 2
 2m dx2
2
2
2mAxe a x
2 2 a 4 x 2 3 2 a 2 m2 x 2



,
m
2m
2
m
аналогично a 2 
,и
2
3 2 m 3
E

.
m 2
2
E

6
2 2

Ответ: а) E 
x
2

3
, б) E 
.
2
2
4. Вычислите среднее значение квадрата координаты
и среднюю потенциальную энергию одномерного гармо-
нического осциллятора, находящегося на n -ом энергетическом уровне.
По определению среднего значения кинетическая энергия
2
xˆ 2    * x 2 dx   x 2  dx .
При  

x
, где x0 
m
x0

2
2
H n   , где Cn 
x0
1
.
 2  n!
Подставим явный вид функции в формулу
 n  Cn e
n
2
3
3
2

  2 2   2
2  2
2  2 2
xˆ  Cn 
   e H n  d  Cn 
   e H n d .


 m 
 m 


n 2
n 2 d e
Заменяя один из полиномов H n     1 e
и интегрируя
d n
2
2
xˆ
2
 Cn
3
2
n 
 2
n
2 2 2 d e



1

e
e
H n  d 



d n
 m 
2
 Cn

3

  2  2 d n H n   2
d .

 e
d n
 m 
2
Очевидно,
d n H n   2
n  2!  2  n!a .
dn

an  n  2  an  2  n  ...  an
n2
n
n
2!
d
d
По рекуррентной формуле
2k  1  
ak  2  ak
,
k  2k  1




7
nn  1
.
4
Подставляя производную в интеграл, получаем
a n  2 n , an  2  an
3
  2  2  n  2! 2

xˆ 2  Cn 
  n!an  2 d .
  e  an
2!
 m 


Эти интегралы легко взять при помощи интеграла Пуассона



 x2
2  x2
:
 e dx   и  x e dx 
2


2
3

  2  n n  2! 
nn  1
xˆ  Cn 
 2n
n!   
 2

2
2
4
 m  


1

 
1

2n
n!n  2n  1  nn  1 
n   .
n
4
m 
2
m  2  n!
Тогда средняя потенциальная энергия
m2 x 2
m2  
1   
1 E
U 

n   
n    n .
2
2 m 
2 2 
2 2

1


1




Ответ: xˆ 2 
n  , U 
n  .
m 
2
2 
2
2
2
5 Вычислите среднюю кинетическую энергию одномерного гармонического осциллятора, энергия которого равна
5
 .
2
Для одномерного осциллятора оператор кинетической энергии
2 d 2
,
Tˆ  
2m dx2
то средняя кинетическая энергия
8
2
2
2
 2 d
* d 
Tˆ  
dx

dx .


2m
2 M dx
dx 2
5
В данном случае энергия
 соответствует номеру уровня
2

x
n  2 , волновая функция осциллятора при  
, где x0 
m
x0
2
1 2
2 
e H 2   , H 2  4 2  2 .
2
 2  2!
Подставим явный вид функции в формулу
x0
2
   2
 
d
2
ˆ
T 
  e 2 4  2   dx ,

16   d 

 
2



6
4
2
Tˆ 
 e 4  20  25 dx .
4 
Эти интегралы легко взять, если к интегралу Пуассона


 x 2
 e dx 


применить интегрирование по параметру
k

1  3  ... 2k  1

     x 2
2 k  x 2
,
 x e dx      e dx 
k
2 k 1
2

   

то
5 E2
.
Tˆ 

4
2
5
Ответ: Tˆ 
.
4





6. Определите минимальную энергию одномерного квантового осциллятора, пользуясь соотношением неопределенностей.
Среднее значение энергии одномерного квантового осциллятора можно записать
E
p 2 m2 x 2 p 
m2 x 



.
2m
2
2m
2
2
9
2
Из соотношения неопределенностей x  
2
2
E
p 2  m2  2
2
2m
8p 
4p 
2
.
Найдем минимум энергии, как функции p 2 :
1
m 2 2
m
,

 0 , p 2 
2
2m 
2
2
8 p  


тогда среднее значение энергии
m 2m2  2 
E


.
4m
8m
2

Ответ: E 
.
2
7. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного заряженного гармонического осциллятора, помещенного в однородное электрическое поле напряженностью

 , направленной вдоль оси колебаний. Заряд осциллятора q .
Потенциальная энергия такого осциллятора
m2 x 2
U
 qx .
2
Будем искать решение уравнения Шредингера:
 2 d 2 x  m2 x 2


x   qxx   Ex  .
2m dx2
2
Выделим в потенциальной энергии полный квадрат
2
2 2
m2  2 2q
 q   q 
U
x 
x




2 
2
2 
m2
 m   2m
10
2
m2 
q 
q 2 2
m2 2 q 2  2



x 
,
x

2 
2
m2  2m2
2m2
q
где сделана замена x  x 
, тогда уравнение с учетом замеm2
q 2 2
ны E   E 
примет вид:
2m2
 2 d 2 x m2 x 2


x  E x ,
2m dx 2
2
решение которого известно:
2


2n  1,  n   4 x0 n e 2 H n  .
En 
2
 2 n!
Уровни энергии осциллятора в электрическом поле смещены:
2 2

2n  1  q  2 ,
En 
2
2m
x 
q 
а в волновых функциях  
 x
 x0 .
x0 
m2 
2
2 2


Ответ: En 
2n  1  q  2 ,  n   4 x0 n e 2 H n  ,
2
2m
 2 n!
x 
q 
где  
 x
 x0 .
x0 
m2 
11