Расчёт физически нелинейных оболочек вращения на основе

УДК 539.3
РАСЧЁТ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
НА ОСНОВЕ МКЭ В СМЕШАННОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ
ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ
Д. П. Арьков, Н. А. Гуреева
Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия, Волгоград, Россия
1. Деформации оболочки вращения при осесимметричном нагружении. В
декартовой системе координат xOz отсчётный меридиан оболочки вращения описывается
радиус-вектором R  xi  rk , где i , k – орты декартовой системы координат, х –
координата точки М, r – радиус её вращения.
Векторы локального базиса точки М определяются выражениями
a1  R,s  x,s i  r,s k , a  a1  j  x, s k  r, s i ,
(1.1)
где s – меридиональная координата точки М, j – орт оси у.
Производные векторов (1.1) можно представить разложенными по векторам
локального базиса
 a    m  a  ,
(1.2)
,s
a   a
T
где
,s
1, s
a, s  ,
a   a1 a  ,
m11  x, ss x, s  r, ss r,s ,
m12   x, ss r, s  r, ss x, s ,
m21  r, ss x, s  x, ss r, s , m22  r, ss r, s  x, ss x, s .
Положение точки Мt, отстоящей на расстоянии t от отсчетного меридиана,
определяется радиус-вектором Rt  R  ta .
Векторы локального базиса g1 g3 точки Мt определяются выражениями
g1  Rt  R, s  tа,s  a1 (1  tm21 )  atm22 , g3  Rt,t  a .
Под действием заданной нагрузки точка Мt получает смещение, определяемое
вектором в базисе точки М
(1.3)
V  V 1a1  Va .
Производные вектора (1.3) с использованием (1.2) запишутся в виде
V,s  a1 (V ,1s m11V 1  m21V )  a (V 1m12  V,s  m22V ); V,t  V ,1t a1  V , ta.
Деформации в точке Мt определяются соотношениями [1]
 ss  g1 *V ,s  V ,1s 1  tm21   V 1 m11 (1  tm21 )  tm22 m12   V , s tm22  V 1  tm21  m21  tm22 m22  ,
 tt  g3 *V ,t  V ,t , 2 st  g1 *V ,t  g3V,s  V ,1t (1  tm21 )  V ,t tm22  V1m12  V , s Vm22 .
(1.4)
Окружная деформация точки М определяются выражением
t
r,
x,
2 r *t  2 r t
 V 1 ts  V ts ,
(1.5)
t
2 r
r
r
где r t , r *t – радиусы вращения точки Мt в исходном и деформированном состояниях.
Соотношения (1.4), (1.5) можно представить в матричном виде
 
    LV  ;
4 х1
(1.6)
4 х 2 2 x1

где     ss   tt 2 st  – матрица-строка деформаций в точке Мt, V   V 1 V
T
T

–
матрица-строка компонент вектора перемещения точки Мt, [L] – матрица алгебраических
и дифференциальных операторов.
2. Физические соотношения. На основании гипотезы теории малых
упругопластических деформаций [2] о пропорциональности компонент девиатора
деформаций компонентам девиатора напряжений зависимости деформаций от
напряжений определяются соотношениями
 ss 

3 i
3 i
3 i
 ss   c 1 ,  
    c 1 ,  tt 
 tt   c 1 , 2 st  i 3 st ,
2 i
2 i
2 i
i
(2.1)
где  i ,  i – интенсивность деформаций и напряжений;  С – среднее напряжение,
1  2 3  i
1 

,  – коэффициент поперечной деформации; Е – модуль упругости
E
2 i
материала.
Соотношения между приращениями деформаций и напряжений на j-ом шаге
определяются дифференцированием (2.1) и представляются в матричном виде
   C П    ,
T
 tt 2 st  ,     ss  
(2.2)
 tt  st  .
где     ss 
При расчётах в геометрически линейной постановке соотношения между
приращениями деформаций и приращениями перемещений имеют вид
T

   LV  ,

(2.3)
где V   V 1 V – матрица-строка приращений перемещений на шаге нагружения,
T
 L – определена в (1.6).
3. Матрица деформирования конечного элемента на шаге нагружения. В
качестве конечного элемента принят четырёхугольник с узлами i, j, k, l [3]. Узловыми
неизвестными приняты приращения перемещений и приращения напряжений.
Для выполнения численного интегрирования по четырехугольному дискретному
элементу он отображается на квадрат с локальными координатами –1 ≤ ξ, η ≤ 1. Связь
между глобальными координатами s, t и локальными координатами ξ, η определялась с
использованием билинейных функций
    ,  y  ,
T
(3.1)
где под символом  понимается координата s или t; y    i  j  k  l  – строка узловых
T
значений глобальной координаты  .
Дифференцированием (3.1) определяются производные s, , s, , t , , t , ,  , s ,  ,t ,
 , s ,  ,t . Аппроксимация приращений перемещений и приращений напряжений
внутренней точки конечного элемента осуществлялась с использованием билинейных
функций формы   ,  [3]
T
V    AVy  ;     S  y  ,
где V   V 1 V  ,
T
1x 2
 
T
1x 4
V   V
T
(3.2)
V 1 j V 1k V 1l V i V j V k V l  ,
1i
y
1x 8
  ss    tt  st  ,  y    ss i   j  tt k  st l ........... st l  .
T
1 x16
Для формирования матрицы деформирования конечного элемента на шаге
нагружения использовалось равенство возможных и действительных работ внешних и
внутренних сил

1
1
T
(3.3)
    dF   V  q  qdl ,
2
2



F
l
где F площадь дискретного элемента, l – часть контура, на котором действует внешняя
нагрузка.
Заменяя действительную работу приращений внутренних сил разностью полной и
дополнительной работы на шаге нагружения
1
1
T
T
T
            С П    ,
2
2
функционал (3.3) можно представить в виде
  

T
1
    dF      dF  2   
T
T
F
T
F
C П   dF 
F
.
1
T
T
  V  qdl   V  qdl
2l
l
(3.4)
С учётом аппроксимирующих выражений (2.2), (2.3) и (3.2) равенство (3.4) запишется в
виде
    В dF V       S   B dF V 
T
T
F
T
1
 y 

2 1х16
1х 4
y
8 х1
4 х8
y
1х16
  S  C   S  dF   V 
T
П
F 16 x 4
y
16 x1
4 x16
y
1х8
T
F 16 x 4
y
8 х1
4 x8
T
1
A
q
dl


V






y
l 8 x 2 2 x1 2 1х8
T
  A q dl  0.
T
l 8x2
В результате минимизации (3.5) по узловым неизвестным
(3.5)
2 x1
V 
T
и
y
 
T
y
получается система уравнений
T
T
Q  y    f p   f p     B   dF  0 ; QT Vy    H  y   0 ,
(3.6)
F
где Q    S   B  dF ,  H     S  C П   S  dF ,  f p     A qdl , f p     A qdl .
T
T
16 x 8
F 16 x 4
4 x8
16 x16
T
F 16 x4
4x4
4 x16
l
T
l
Система (3.6) может быть представлена в традиционной конечно-элементной
   H   Q 
 16 x16 16 x8 
формулировке в виде  k  Z y    f  , где  k   
T
 – матрица деформирования
24 x 24
24 x1
Q
0
24 x 24 24 x1






8 x8 
 8 x16
конечного элемента,
Z 
конечного элемента,
f
T
y
T
  V   – вектор строка узловых неизвестных
 0 f    R  – вектор узловых усилий на шаге
T

T
y
y
T
T
T
p
нагружения, R   f p     B    dF – невязка на шаге нагружения.
T
F
Алгоритм реализован на примере нагружения давлением усеченной эллиптической
оболочки. Условие равновесия в направлении оси х выполняются при значительных
пластических деформациях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Демидов С.П. Теория упругости. – М.: Высшая школа, 1979. – 432 с.
2. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. – М.:
Машиностроение. 1975. – 400 с.
3. Гуреева Н.А. Использование аппроксимации тензорных полей в МКЭ при расчете
осесимметрично нагруженных оболочек вращения // Изв. вузов. Строительство. – 2009. –
№ 2. – С. 17–23.