Лекции по математике для 2 курса ТО

Комитет образования и науки Курской области
областное бюджетное профессиональное образовательное
учреждение
«Железногорский горно-металлургический колледж»
Лекции по математике для студентов 2 курса
специальности
«Техническое обслуживание и ремонт автомобильного
транспорта»
Преподаватель: Косенкова Л.В.
2015
ЛЕКЦИЯ
Дифференциальное исчисление функции
одной переменной.
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел
отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он
существует.
f ( x)  lim
x 0
f ( x  x)  f ( x)
x
у
f(x)
f(x0 +x)
P
f
f(x0)
M


0
x0
x
x0 + x
x
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда tg 
f
 тангенс
x
угла наклона секущей МР к графику функции.
lim tg  lim
x 0
x 0
f
 f ( x0 )  tg ,
x
где  - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными,
проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой: y  y0  f ( x0 )( x  x0 )
Уравнение нормали к кривой: y  y 0  
1
( x  x0 ) .
f ( x0 )
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения
функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения
(изменения координат) – мгновенная скорость движения.
Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости,
т.е. ускорение.
2
Односторонние производные функции в точке.
Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0
f
называется правое (левое) значение предела отношения
при условии, что это
x
отношение существует.
f  ( x 0 )  lim
x  0 
f
x
f  ( x 0 )  lim
x  0 
f
x
Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в
этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Вопервых функция может иметь разрыв в точке х 0, а во- вторых, даже если функция
непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.
Например: f(x) = x- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную,
непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x)
имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Понятно, что это условие не является достаточным.
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u  v) = u  v
2) (uv) = uv + uv

 u  u v  v u
3)   
, если v  0
v2
v
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производные основных элементарных функций.

9) sin x   cos x

10) cos x    sin x
1

11) tgx  
cos 2 x
1)С = 0;
2)(xm) = mxm-1;

1
3) x 
2 x

1
1
4)     2
x
 x

5) e x  e x
 

12) ctgx   
1
sin 2 x
1

13) arcsin x  
1 x2
1

14) arccos x   
1 x2
1

15) arctgx 
1 x2
 
   a
6) a x
x
ln a
 1
7) ln x  
x
3

8) log a x  

16) arcctgx   
1
x ln a
1
1 x2
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в
область определения функции f.
Тогда
y   f (u )  u 
Доказательство.
y y u


x u x
y
y
u
lim
 lim
 lim
x 0 x
u 0 u x  0 x
( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)
Тогда
dy dy du


dx du dx
Теорема доказана.
4
ЛЕКЦИЯ
Логарифмическое дифференцирование.
ln x, при x  0
Рассмотрим функцию y  ln x  
.
ln(  x), при x  0
1
( x) 1
 1
 .
Тогда (lnx)= , т.к. ln x   ; (ln(  x)) 
х
x
x
x
 f ( x)
Учитывая полученный результат, можно записать ln f ( x)  
.
f ( x)
f ( x )
Отношение
называется логарифмической производной функции f(x).
f ( x)
Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала
находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой
функции по формуле
f ( x)  (ln f ( x) )  f ( x)
Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для
нахождения производных сложных, особенно показательных и показательностепенных функций, для которых непосредственное вычисление производной с
использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.
Производная показательно- степенной функции.
Функция называется показательной, если независимая переменная входит в
показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и
основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет
показательно – степенной.
Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.
Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:
lny = vlnu

y
u
 v  ln u  v
y
u
 u

y   u v  v  v  ln u 
 u

u   vu
v
u   u v v ln u
v 1
Пример. Найти производную функции f ( x)  ( x 2  3x) x cos x .
v  x cos x;
По полученной выше формуле получаем: u  x 2  3x;
Производные этих функций: u   2 x  3; v   cos x  x sin x;
Окончательно:
f ( x)  x cos x  ( x 2  3x) x cos x 1  (2 x  3)  ( x 2  3x) x cos x (cos x  x sin x) ln( x 2  3x)
5
Производная обратных функций.
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная
ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:
1  g ( y ) y 
1
y 
g ( y )
т.к. g(y)  0
dy
1

dx dx
dy
т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Пример. Найти формулу для производной функции arctg.
Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная
может быть найдена следующим образом:
y  tgx;
x  arctgy;
1
;
cos 2 x
По приведенной выше формуле получаем:
1
y 
;
d (arctgy) / dx
Известно, что y   (tgx) 
1
 1  tg 2 x  1  y 2 ;
2
cos x
производной арктангенса:
Т.к.
d (arctgy)
1

dy
1 / cos 2 x
то можно записать окончательную формулу для
1
;
1 y2
Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса
и других обратных функций, приведенных в таблице производных.
(arctgy) 
6
ЛЕКЦИЯ
Дифференциал функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:
y
lim
 f ( x)
x 0 x
y
 f (x )   , где 0, при х0.
Тогда можно записать:
x
Следовательно: y  f ( x)  x    x .
Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)xглавная часть приращения у.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня
линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f(x)x или
dy = f(x)dx.
Можно также записать: f ( x) 
dy
dx
Геометрический смысл дифференциала.
y
f(x)
K
dy
y
M
L

x
x + x
x
Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты
касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то
непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u  v) = (u  v)dx = udx  vdx = du  dv
2) d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv
7
3) d(Cu) = Cdu
 u  vdu  udv
4) d   
v2
v
Дифференциал сложной функции.
Инвариантная форма записи дифференциала.
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у - сложная функция.
dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.
Тогда
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х
независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта
форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.
Однако, если х - независимая переменная, то
dx = x, но
если х зависит от t, то
х  dx.
Таким образом, форма записи dy = f(x)x не является инвариантной.
1
Пример. Найти производную функции y  x cos x sin x  cos 2 x .
2
1
1
sin 2 x  cos 2 x
2
2
1
1
1
1
y   sin 2 x  x 2 cos 2 x  2 cos x( sin x)  sin 2 x  x cos 2 x  sin x cos x  x cos 2 x.
2
2
2
2
Сначала преобразуем данную функцию: y 
2
x 2e x
Пример. Найти производную функции y  2
.
x 1
2
2
2
2
2
2
2
2
(2 xe x  x 2 2 xe x )( x 2  1)  (2 x) x 2 e x
2 x 3 e x  2 x 5 e x  2 xe x  2 x 3 e x  2 x 3 e x
y 


( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
2
2 xe x ( x 4  1  x 2 )

( x 2  1) 2
Пример. Найти производную функции y  ln tg
x
x

2 sin x
1 sin x  x cos x
1
sin x  x cos x sin x  sin x  x cos x
 




2
x
x
x
sin x
sin 2 x
sin 2 x
2 x 2
tg
cos
2 sin cos
2
2
2
2
x cos x

sin 2 x
y 
1

1
8
Пример. Найти производную функции y  arctg
2x 4
1  x8
8 x 3 (1  x 8 )  (8 x 7 )2 x 4 (1  x 8 ) 2 (8 x 3 8 x11  16 x11 ) 8 x 3  8 x11
y 




(1  x 8 ) 2
(1  x 8 ) 2 (1  x 8 ) 2
(1  x 8 ) 2

4x8 
1 

8 2 
 (1  x ) 
8 x 3 (1  x 8 )
8x 3


(1  x 8 ) 2
1  x8
1
2
Пример. Найти производную функции y  x 2 e x ln x

y  x 2e x
2
 ln x  x e
2
x2


2
2
2
2
2
1
 2 xe x  x 2 e x 2 x ln x  xe x  2 xe x (1  x 2 ) ln x  xe x 
x
2
 xe x (1  2 ln x  2 x 2 ln x)
9
ЛЕКЦИЯ
Формула Тейлора.
Тейлор (1685-1731) – английский математик
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее
окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до
порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой
окрестности}.
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х  а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:
f (a)
f (a)
f ( n ) (a)
f ( n1) ( )
2
n
f ( x)  f ( a ) 
( x  a) 
( x  a)  ... 
( x  a) 
( x  a) n1
1!
2!
n!
(n  1)!
-
это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
f ( n1) ( )
( x  a) n1  Rn1 ( x)
(n  1)!
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x),
значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его
производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.
Pn (a)  f (a); Pn (a)  f (a); Pn(a)  f (a); ... Pn( n ) (a)  f ( n ) (a)
(1)
Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем
ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.
Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:
Pn ( x)  C 0  C1 ( x  a)  C 2 ( x  a) 2  ...  C n ( x  a) n
(2)
Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена
в точке х = а и составляем систему уравнений:
 Pn ( x)  C1  2C 2 ( x  a)  3C3 ( x  a) 2  ...  nC n ( x  a) n 1

n2
 Pn( x)  2C 2  3  2C3 ( x  a)  ...  n(n  1)C n ( x  a)

..........................................................................................
 P ( n ) ( x)  n(n  1)( n  2)...2  1C
n
 n
Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:
f (a)  C0
f (a)  C1
f (a)  2 1C2
f (a)  3  2  1C3
10
(3)
…………………….
f (a)  n(n  1)( n  2)...2  1C n
Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:
(n)
Pn ( x)  f (a) 
f (a)
f (a)
f ( n ) (a)
( x  a) 
( x  a) 2  ... 
( x  a) n
1
2
n!
Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е.
отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда:
f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)
Теорема доказана.
Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x).
y
f(x)
Rn+1(x)
Pn(x)
0
a
x
Как видно на рисунке, в
точке х = а значение многочлена в точности совпадает со значением функции.
Однако, при удалении от точки х = а расхождение значений увеличивается.
x
Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка (a, x), то найдется
такое число  из интервала 0 <  < 1, что  = a + (x – a).
Тогда можно записать:
f ( n1) [a   ( x  a)]
Rn1 ( x) 
( x  a) n1
(n  1)!
Тогда, если принять a = x0, x – a = x, x = x0 + x, формулу Тейлора можно записать в
виде:
f ( n ) ( x0 )
f ( n1) ( x0  x)
f ( x)
f ( x)
f ( x0  x)  f ( x0 ) 
x 
(x) 2  ... 
(x) n 
(x) n1
1!
2!
n!
(n  1)!
где 0 <  < 1
Если принять n =0, получим: f(x0 + x) – f(x0) = f(x0 + x)x – это выражение
называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский
математик и механик).
Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических
преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций,
интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.
При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые
особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.
11
Формула Маклорена.
Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n
f ( x)  f (0) 
x
x  ... 
x  Rn ( x )
1!
2!
n!
f ( n1) (x) n1
Rn ( x) 
x ;
0  1
(n  1)!
Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в
форме Лагранжа.
Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы
Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к.
вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке,
естественно, при условии, что эти производные существуют.
Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в
том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно
близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении
тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции
практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для
получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы
Тейлора, что неудобно.
Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение
функции отличается от найденного по формуле Тейлора.
Кроме того, можно показать, что остаточный член Rn+1(x) является бесконечно
малой функцией при ха, причем долее высокого порядка, чем (х – а)m, т.е.
Rn 1 ( x)   ([ x  a] n ) .
Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.
Представление некоторых элементарных функций
по формуле Тейлора.
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд
широко используется и имеет огромное значение при проведении различных
математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых
функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции
степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений
тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также
может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.
Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то
значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью.
Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной
степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после
десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.
Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на
ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных
технических задач.
12
Функция f(x) = ex.
Находим:
Тогда: e x  1 
f(x) = ex, f(0) = 1
f(x) = ex, f(0) = 1
……………………
(n)
f (x) = ex, f(n)(0) = 1
x x2 x3
xn
x n1 x


 ... 

e ,
1 2! 3!
n! (n  1)!
0  1
Функция f(x) = sinx.
Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0
f(x) = cosx = sin( x + /2); f(0) = 1;
f(x) = -sinx = sin(x + 2/2); f(0) = 0;
f(x) = -cosx = sin(x + 3/2); f(0)=-1;
…………………………………………
f(n)(x) = sin(x + n/2);
f(n)(0) = sin(n/2);
(n+1)
f (x) = sin(x + (n + 1)/2);
f(n+1)() = sin( + (n + 1)/2);
sin x  x 
Итого:
R2 n ( x ) 
x3 x5
x 2 n 1

 ...  (1) n 1
 R2 n ( x )
3! 5!
(2n  1)!
f ( 2 n 1) ( ) 2 n 1
cos 
x

x 2 n 1
(2n  1)!
(2n  1)!
Функция f(x) = cosx.
Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:
cos x  1 
x2 x4
x 2n

 ...  (1) n
 R2 n 1 ( x)
2! 4!
(2n)!
R2 n 1 ( x) 
f ( 2 n  2 ) ( ) 2 n  2
cos 
x

x 2n2
(2n  2)!
(2n  2)!
Функция f(x) = (1 + x).
( - действительное число)
f ( x)   (1  x) 1 ;
f (0)   ;
f ( x)   (  1)(1  x) ; f (0)   (  1);
…………………………………………………..
( n)
f ( x)   (  1)(  2)...(  (n  1))(1  x) n ; f ( n ) (0)   (  1)(  2)...(  n  1)
 2
13
Тогда:
(1  x)  1 

x
 (  1)
x 2  ... 
 (  1)...(  n  1)
2 1
n!
 (  1)...(  n)
Rn 1 ( x) 
(1  x) ( n 1) ;
(n  1)!
1
x n  Rn 1 ( x)
0  1
Если в полученной формуле принять  = n, где n- натуральное число и
f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда
(1  x) n  1 
n
n(n  1) 2
x
x  ...  x n
1!
2!
Получилась формула, известная как бином Ньютона.
Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем
количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать
такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого
числа легко вычисляется.
Для примера вычислим значение sin200.
Предварительно переведем угол 200 в радианы: 200 = /9.
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами
разложения:



3
5
1  
1  
      0,348889  0,007078  0,000043  0,341854
9 9 3!  9  5!  9 
В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.
sin 20 0  sin

Функция f(x) = ln(1 + x).
Получаем:
f(x) = ln(1 + x);
f(0) = 0;
1
f (0)  1;
f(x) =
;
1 x
1
f (0)  1;
f ( x ) 
;
(1  x) 2
 1  ( 2 )
f (0)  2;
f ( x) 
;
(1  x) 3
………………………………………
(n  1)!
f ( n ) ( x)  (1) n 1
;
f ( n ) ( x)  (1) n1 (n  1)!;
(1  x) n
Итого: ln( 1  x)  x 
1 2 1 2 3
(1) n1 (n  1)! n
x 
x  ... 
x  Rn 1 ( x);
2
3!
n!
x2 x3
(1) n 1 n

 ... 
x  Rn1 ( x)
2
3
n
n 1
(1) n n!  x 
Rn 1 ( x) 

 ;
(n  1)!  1   
ln( 1  x)  x 
14
Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не
только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример
вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем –
расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения.
Точность достигает 0,0003.
ln1,5 = 0,405465108108164381
0,5 2 0,53 0,5 4 0,55 0,5 6 0,5 7
ln 1,5  ln( 1  0,5)  0,5 





 0,4058035
2
3
4
5
6
7
Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится
в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для
подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено
непосредственно.
15
ЛЕКЦИЯ
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью
приращения х.
Также можно воспользоваться формулой
dy  f ( x)dx
Тогда абсолютная погрешность
y  dy
Относительная погрешность
y  dy
dy
Более подробно применение дифференциала к приближенным вычислениям
будет описано ниже.
Теоремы о среднем.
Теорема Ролля.
(Ролль (1652-1719)- французский математик)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале
(а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b)
существует точка , a <  < b, в которой производная функция f(x) равная нулю,
f() = 0.
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении
условий теоремы на интервале (a, b) существует точка  такая, что в соответствующей
точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может
быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой
точки.
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f(x)
на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти
значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M  m.
Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное
значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за 
можно принять любую точку интервала.
Пусть М = m. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из
значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b]. Обозначим , a <  < b
точку, в которой f() = M. Так как М- наибольшее значение функции, то для любого х
( будем считать, что точка  + х находится внутри рассматриваемого интервала) верно
неравенство:
f() = f( + x) – f()  0
16
f ( )  0, если x  0

x
 0, если x  0
Но так как по условию производная в точке  существует, то существует и
f ( )
предел lim
.
x  0 x
f ( )
f ( )
 0 и lim
 0 , то можно сделать вывод:
Т.к. lim
x  0 x
x  0 x
x  0
x  0
При этом
lim
x 0
f ( )
 0, т.е.
x
f ( )  0.
Теорема доказана.
Теорема Ролля имеет несколько следствий:
1) Если функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет теореме Ролля, причем
f(a) = f(b) = 0, то существует по крайней мере одна точка , a <  < b, такая, что f() = 0.
Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная
функции равна нулю.
2) Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную (n-1)- го
порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка
интервала, в котором производная (n – 1) – го порядка равна нулю.
Теорема Лагранжа.
(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на
интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка 
f (b)  f (a )
 f ( ) .
a <  < b, такая, что
ba
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия
теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке
равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы
Лагранжа.
f (b)  f (a )
Отношение
равно угловому коэффициенту секущей АВ.
ba
у
В
А
0
а 
b
17
x
Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b)
существует точка  такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная
параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько,
но одна существует точно.
Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию
F(x) = f(x) – yсек АВ
Уравнение секущей АВ можно записать в виде:
f (b)  f (a )
y  f (a) 
( x  a)
ba
f (b)  f (a)
F ( x)  f ( x)  f (a) 
( x  a)
ba
Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке
[a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы
одна точка , a <  < b, такая что F() = 0.
Т.к.
F ( x)  f ( x) 
f (b)  f (a )
f (b)  f (a )
 0 , следовательно
, то F ( )  f ( ) 
ba
ba
f (b)  f (a )
ba
Теорема доказана.
f ( ) 
Определение. Выражение f (b)  f (a)  f ( )(b  a) называется формулой
Лагранжа или формулой конечных приращений.
В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства
самых разных теорем.
Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:
y  f ( x  x)x ,
где 0 <  < 1, x = b – a, y = f(b) – f(a).
Теорема Коши.
( Коши (1789-1857)- французский математик)
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на
интервале (a, b) и g(x)  0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна
точка , a <  < b, такая, что
f (b)  f (a) f ( )
.

g (b)  g (a) g ( )
Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению
производных в точке .
Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно
воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для
каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление
ошибочно, т.к. точка  для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в
некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих
18
функций, но это - очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть
использовано для доказательства теоремы.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
f (b)  f (a)
F ( x)  f ( x)  f (a) 
( g ( x)  g (a)) ,
g (b)  g (a)
которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что
при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка ,
a <  < b, такая, что F() = 0. Т.к.
f (b)  f (a)
F ( x)  f ( x) 
g ( x) , то
g (b)  g (a)
f (b)  f (a)
F ( )  0  f ( ) 
g ( )
g (b)  g (a)
А т.к. g ( )  0 , то
f (b)  f (a) f ( x)

g (b)  g (a) g ( x)
Теорема доказана.
19
ЛЕКЦИЯ
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда,
дифференцируя ее, получаем первую производную
df ( x)
y   f ( x) 
dx
Если найти производную функции f(x), получим вторую производную
функции f(x).
d 2 f ( x)
y   f ( x) 
dx 2
d 2 y d  dy 
т.е. y = (y) или
  .
dx 2 dx  dx 
Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.
d n y d  d n1 y 
.
 
dx n dx  dx n1 
Общие правила нахождения высших производных.
Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то
1) (Сu)(n) = Cu(n);
2) (u  v)(n) = u(n)  v(n);
3) (u  v) ( n )  vu ( n )  nu ( n 1) v  
n(n  1) ( n  2)
n(n  1)...[ n  (k  1)] ( n  k ) ( k )
u
v   ... 
u
v  ...
2!
k!
...  uv ( n ) .
Это выражение называется формулой Лейбница.
Также по формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n- го порядка.
Исследование функций с помощью производной.
Возрастание и убывание функций.
Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и
возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна,
т.е. f(x)  0.
2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема
на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на
отрезке [a, b].
Доказательство.
1) Если функция f(x) возрастает, то f(x + x) > f(x) при x>0 и f(x + x) < f(x) при
х<0,
тогда:
f ( x  x)  f ( x)
f ( x  x)  f ( x)
 0,
lim
 0.

x

0
x
x
20
2) Пусть f(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем x1<x2.
Тогда по теореме Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f()(x2 – x1), x1 <  < x2
По условию f()>0, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т.е. функция f(x) возрастает.
Теорема доказана.
Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на
отрезке [a, b], то f(x)0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x)
убывает на отрезке [a, b].
Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на
отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).
Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:
y
y



x

x
Точки экстремума.
Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой
точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х 1.
Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +x) > f(x2) при любом х (х может
быть и отрицательным).
Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и
минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать
максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке –
это понятия принципиально различные.
Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками
экстремума.
Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x)
дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то
производная функции обращается в нуль в этой точке.
Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1
максимум.
Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:
f ( x1  x)  f ( x1 ) , т.е.
f ( x1  x)  f ( x1 )  0
21
Тогда
По определению:
f ( x1  x)  f ( x1 )
0
x
f ( x1  x)  f ( x1 )
0
x
lim
x 0
при х  0
при х  0
f ( x1  x)  f ( x1 )
 f ( x1 )
x
Т.е. если х0, но х<0, то f(x1)  0, а если х0, но х>0, то f(x1)  0.
А возможно это только в том случае, если при х0 f(x1) = 0.
Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается
аналогично.
Теорема доказана.
Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в
некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет
экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в
точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не
максимум или минимум.
Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых
производная функции не существует или равна нулю.
Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования
экстремума, но этого недостаточно.
Пример: f(x) = x
Пример: f(x) =
y
3
х
y
x
x
В точке х = 0 функция имеет минимум, но
не имеет производной.
В точке х = 0 функция не имеет ни
максимума, ни минимума, ни производной.
Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная
не существует или равна нулю.
Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)
22
Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит
критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме,
может быть, самой точки х1).
Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x)
меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если
производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.
Доказательство.
 f ( x)  0 при x  x1
Пусть 
 f ( x)  0 при x  x1
По теореме Лагранжа:
f(x) – f(x1) = f()(x – x1),
Тогда: 1) Если х < x1, то  < x1;
f()>0;
где x <  < x1.
f()(x – x1)<0, следовательно
f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).
2) Если х > x1, то  > x1 f()<0;
f()(x – x1)<0, следовательно
f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).
Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x1) в любых точках вблизи х1, т.е.
х1 – точка максимума.
Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.
Теорема доказана.
На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при
нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
1)
2)
3)
4)
Найти критические точки функции.
Найти значения функции в критических точках.
Найти значения функции на концах отрезка.
Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
23
ЛЕКЦИЯ
Исследование функции на экстремум с помощью
производных высших порядков.
Пусть в точке х = х1 f(x1) = 0 и f(x1) существует и непрерывна в некоторой
окрестности точки х1.
Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если
f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0.
Доказательство.
Пусть f(x1) = 0 и f(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f(x1) будет
отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.
Т.к. f(x) = (f(x)) < 0, то f(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но
f(x1)=0, т.е. f(x) > 0 при х<x1 и f(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе
через точку х = х1 производная f(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция
f(x) имеет максимум.
Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.
Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения
требуется дальнейшее исследование.
Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба.
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если
все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная
выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз –
называется вогнутой.
у
x
На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.
Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции
f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Доказательство. Пусть х0  (a, b). Проведем касательную к кривой в этой
точке.
24
Уравнение кривой: y = f(x);
Уравнение касательной: y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ).
Следует доказать, что y  y  f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) .
По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0):
y  y  f (c)( x  x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) , x0 < c < x.
y  y  ( x  x0 )[ f (c)  f ( x0 )]
По теореме Лагранжа для f (c)  f ( x0 ) : y  y  f (c1 )(c  x0 )( x  x0 ),
x0  c1  c
Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию
f (c1 )  0 , следовательно, y  y  0 .
Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т.к. по условию f (c1 )  0, то
y  y  0.
Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x)
вогнута на интервале (a, b).
Теорема доказана.
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой,
называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая
производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а f(x)
меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
Доказательство. 1) Пусть f(x) < 0 при х < a и f(x) > 0 при x > a. Тогда при
x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.
2) Пусть f(x) > 0 при x < b и f(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена
выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.
Теорема доказана.
25
ЛЕКЦИЯ
Асимптоты.
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки
кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от
переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность
стремится к нулю.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть
прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое
значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика
кривой.
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и
пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике
функции y  x  e

x
3
sin x . Ее наклонная асимптота у = х.
10
5
- 10
-5
5
10
-5
- 10
- 15
- 20
Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.
Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если lim f ( x)   или lim f ( x)  
x a  0
x a 0
или lim f ( x)   , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).
xa
Например, для функции f ( x) 
2
прямая х = 5 является вертикальной
x5
асимптотой.
Наклонные асимптоты.
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.
26
15
12. 5
10
7. 5
5
2. 5
1
2
3
4
M

N

P
Q
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р –
точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью
Ох обозначим . Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.
Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = y - ордината точки N на
асимптоте.
По условию: lim MP  0 ,
x 
NMP = ,
NM 
MP
cos 
.
Угол  - постоянный и не равный 900, тогда
lim MP  lim NM cos   lim NM  0
x
x
x
NM  MQ  QN  y  y  f ( x)  (kx  b)
Тогда lim [ f ( x)  (kx  b)]  0 .
x 
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой
прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:
b
 f ( x)
lim x 
k   0
x 
x
 x
b
b
 f ( x)
 k    0 , т.к. b = const, то lim  0; lim k  k .
Т.к. х, то lim 
x


x 
x 
x
x
 x
Тогда lim
x 
f ( x)
 k  0  0 , следовательно,
x
27
k  lim
x 
f ( x)
.
x
Т.к. lim  f ( x)  (kx  b)  0 , то lim  f ( x)  kx  lim b  0 , следовательно,
x 
x 
x 
b  lim  f ( x)  kx
x 
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных
асимптот при k =0.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции y 
1) Вертикальные асимптоты: y+
вертикальная асимптота.
x0-0:
y-
x 2  2x  1
.
x
x0+0, следовательно, х = 0-
2) Наклонные асимптоты:
x 2  2x  1
 2 1 
 lim 1   2   1
2
x 
x 
x
 x x 
k  lim
 x 2  2x  1

 x 2  2x  1  x 2 
1
 2x  1 

  lim 
b  lim ( f ( x)  x)  lim 
 x   lim 
 lim  2    2

x 
x 
x
x
x

 x
 x x  x
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
-2
Пример. Найти асимптоты и построить график функции y 
9x
.
9  x2
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.
28
Найдем наклонные асимптоты: k  lim
x 
9
0
9  x2
9
x
9x
 lim
0
x  9  x 2
x  9
1
x2
y = 0 – горизонтальная асимптота.
b  lim
6
4
2
- 7. 5
-5
- 2. 5
2. 5
5
7. 5
-2
-4
-6
x 2  2x  3
Пример. Найти асимптоты и построить график функции y 
.
x2
Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.
k  lim
x 
x  2x  3
x  2x  3
 lim
 lim
x


x 
x( x  2)
x 2  2x
2
2
2 3

x x 2  1.
2
1
x
1
3
4
 x 2  2x  3

 x 2  2x  3  x 2  2x 
 4x  3
x  4
  lim
b  lim 
 x   lim 
 lim
x 
x


x


x


2
x2
x2
 x2



1
x
Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.
20
15
10
5
- 10
-5
5
-5
- 10
- 15
- 20
29
10
Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее
полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо
отыскать:
1) Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
2) Точки разрыва. (Если они имеются).
3) Интервалы возрастания и убывания.
4) Точки максимума и минимума.
5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6) Области выпуклости и вогнутости.
7) Точки перегиба.(Если они имеются).
8) Асимптоты.(Если они имеются).
9) Построение графика.
30
ЛЕКЦИЯ
Интегральное исчисление.
Первообразная функция.
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции
f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F(x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть
бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F1(x) = F2(x) + C.
Неопределенный интеграл.
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется
совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C.
Записывают:  f ( x)dx  F ( x)  C ;
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке
является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства:
 f ( x)dx  ( F ( x)  C )  f ( x);
2. d  f ( x)dx   f ( x)dx;
1.
3.  dF ( x)  F ( x)  C ;
4.  (u  v  w)dx   udx   vdx   wdx; где u, v, w – некоторые функции от х.
1.
 C  f ( x)dx  C   f ( x)dx;
Пример:  ( x 2  2 sin x  1)dx   x 2 dx  2 sin xdx   dx 
1 3
x  2 cos x  x  C ;
3
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с
нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно
сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных
интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных,
тригонометрических, показательных и др.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных
функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма
объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации
функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются
следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с
помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных
функций.
31
1
2
3
4
5
6
7
8
Интеграл
 tgxdx
 ctgxdx
 a dx
x
dx
 x2
dx
 x2  a2
dx
a
2

x2  a2

 x dx

dx
x
Значение
-lncosx+C
9
lnsinx+ C
10
ax
C
ln a
1
x
arctg  C
a
a
1
xa
ln
C
2a x  a
11
ln x  x 2  a 2  C
14
x  1
 C ,   1
 1
15
ln x  C
12
13
16
Интеграл
x
 e dx
Значение
ex + C
 cos xdx
 sin xdx
sinx + C
1
-cosx + C
dx
tgx + C
1
 sin 2 x dx
dx
-ctgx + C
 cos
2
x

a2  x2
1
 cos x dx
1
 sin x dx
arcsin
x
+C
a
 x 
ln tg    C
2 4
x
ln tg  C
2
Методы интегрирования.
Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о
возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения
дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным
инструментом проверки результатов интегрирования.
Рассмотрим применение этого метода на примере:
dx
Требуется найти значение интеграла  . На основе известной формулы
x
 1
дифференцирования ln x  
можно сделать вывод, что искомый интеграл равен
x
ln x  C , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны
ln(  x)    1  (1)  1 . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:
x
x
dx
 x  ln x  C
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения
производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения
производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы
недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать,
конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили
32
к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на
знания таблиц производных и первообразных.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только
для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с
ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются
способы, описанные ниже.
Способ подстановки (замены переменных).
Теорема: Если требуется найти интеграл
 f ( x)dx ,
но сложно отыскать
первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:
 f ( x)dx   f ((t ))(t )dt
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:
d  f ( x)dx  d  f [(t )](t )dt


По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:
f(x)dx = f[(t)] (t)dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема
доказана.
Пример. Найти неопределенный интеграл

sin x cos xdx .
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
2 3/ 2
2 3/ 2
1/ 2
 t dt   t dt  3 t  C  3 sin x  C.
Пример.
 x( x
2
 1) 3 / 2 dx.
dt
; Получаем:
2x
t 5/ 2
( x 2  1) 5 / 2
C 
C 
 C;
5
5
Замена t  x 2  1; dt  2 xdx; dx 
t
3/ 2
dt 1 3 / 2
1 2
  t dt   t 5 / 2
2 2
2 5
Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для
различных типов функций.
Интегрирование по частям.
Способ основан на известной формуле производной произведения:
(uv) = uv + vu
где u и v – некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем:
 d (uv)   udv   vdu , а в соответствии с приведенными
выше свойствами неопределенного интеграла:
uv   udv   vdu
или
33
 udv  uv   vdu ;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить
интегралы многих элементарных функций.
u  x 2 ; dv  sin xdx; 
2
Пример.  x sin xdx  
   x cos x   cos x  2 xdx 
du  2 xdx; v   cos x
u  x; dv  cos xdx;
2
2

   x cos x  2 x sin x   sin xdx   x cos x  2 x sin x  2 cos x  C.
du  dx; v  sin x 
2


Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям
позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
u  e 2 x ; du  2e 2 x dx; 
2x
2x
Пример.  e cos xdx  
  e sin x   sin x  2e dx 
dv  cos xdx; v  sin x
2x


u  e 2 x ; du  2e 2 x dx; 
2x
2x
2x
2x

  e sin x  2  e cos x    cos x  2e dx  e sin x 
dv  sin xdx; v   cos x;
 2e 2 x cos x  4 cos xe2 x dx
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не
удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем
не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
5 e 2 x cos xdx  e 2 x (sin x  2 cos x)
e2x
(sin x  2 cos x)  C.
5
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.
2x
 e cos xdx 
Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов
функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов
приведением их к табличным.
Пример.
1 21 1
t 21
(2 x  1) 21
20
20 1


(
2
x

1
)
dx

2
x

1

t
;
dt

2
dx
;

t

dt

t


C


C

C

 2 21 2
42
42
Пример.
u  ln x; dv  xdx; 
2
x2 1
x 2 ln x 1
x 2 ln x x 2

 x
2
x
ln
xdx


ln
x


dx


xdx


C 


1
x

2 x
2
2
2
4
; 2
du  dx; v 
x
2 

2
x

(2 ln x  1)  C.
4
34
ЛЕКЦИЯ
Определенный интеграл.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
y
M
m
0
a
xi
b
x
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]
Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.
x0 < x1 < x2 < … < xn
Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn;
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение
функции.
[x0, x1]  m1, M1; [x1, x2]  m2, M2; … [xn-1, xn]  mn, Mn.
Составим суммы:
S n = m1x1 + m2x2 + … +mnxn =
n
 m x
i 1
S n = M1x1 + M2x2 + … + Mnxn =
i
i
n
 M x
i 1
i
i
Сумма S называется нижней интегральной суммой, а сумма S – верхней
интегральной суммой.
Т.к. mi  Mi, то S n  S n, а m(b – a)  S n  S n  M(b – a)
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .
x0 < 1 < x1, x1 <  < x2, … , xn-1 <  < xn.
Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется
интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
n
Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn =
 f (  ) x
i 1
Тогда можно записать: mixi  f(i)xi  Mixi
35
i
i
Следовательно,
n
n
n
 m x   f ( )x   M x
i
i 1
i
i
i 1
i
i 1
i
i
Sn  Sn  Sn
Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x)
ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.
Обозначим maxxi – наибольший отрезок разбиения, а minxi – наименьший.
Если maxxi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.
n
Если S n   f ( i )xi , то
i 1
lim
max xi  0
n
 f ( )x
i
i 1
i
 S.
Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxxi 0 и
n
произвольном выборе точек i интегральная сумма S n   f ( i )xi стремится к
i 1
пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
b
 f ( x)dx.
Обозначение :
a
а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок
интегрирования.
Определение:
lim
max xi  0
Если
для
функции
f(x)
существует
предел
b
n
 f ( )x   f ( x)dx, то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].
i 1
i
i
a
Также верны утверждения:
lim
max xi 0
lim
max xi 0
n
b
i 1
a
n
b
 mi xi   f ( x)dx
 M x   f ( x)dx
i 1
i
i
a
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема
на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
1)
b
b
a
a
 Af ( x)dx  A f ( x)dx;
b
2)
 ( f ( x)  f
1
a
2
b
b
a
a
( x)) dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx
a
3)
 f ( x)dx  0
a
36
b
b
a
a
4) Если f(x)  (x) на отрезке [a, b] a < b, то  f ( x)dx   ( x)dx
5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на
отрезке [a, b], то:
b
m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a)
a
6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом
отрезке существует точка  такая, что
b
 f ( x)dx  (b  a) f ()
a
Доказательство: В соответствии со свойством 5:
b
1
m
f ( x)dx  M
b  a a
т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все
значения от m до М. Другими словами, существует такое число  [a, b], что если
b
b
1
a    b, тогда  f ( x)dx  (b  a) f () . Теорема
f ( x)dx   и  = f(), а
b  a a
a
доказана.
7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в
него интегралов.
8)
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x) непрерывны на
отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует
точка , такая, что
b
b
a
a
 f ( x)( x)dx  f () ( x)dx
Вычисление определенного интеграла.
b
Пусть в интеграле
 f ( x)dx
нижний предел а = const, а верхний предел b
a
изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение
интеграла.
37
x
Обозначим
 f (t )dt
= Ф(х).
Найдем производную функции Ф(х) по
a
переменному верхнему пределу х.
x
d
f (t )dt  f ( x)
dx a
Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего
предела.
Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на
этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.
Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в
x
соответствии с приведенной выше теоремой, функция
 f (t )dt
- первообразная
a
функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных,
которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то
x
 f (t )dt  F ( x)  C
a
при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:
a
 f (t )dt  F (a)  C
a
0  F (a)  C
C   F (a )
x
Тогда
 f (t )dt  F ( x)  F (a) .
a
b
А при х = b:
 f (t )dt  F (b)  F (a)
a
Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Теорема доказана.
b
Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .
a
Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению
определенных интегралов.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они
практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были
рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.
38
Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод
интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для
тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью
является только то, что при применении этих приемов надо распространять
преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы
интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить
соответственно пределы интегрирования.
Замена переменных.
b
Пусть задан интеграл
 f ( x)dx , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].
a
Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t).
Тогда если
1) () = а, () = b
2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ]
3) f((t)) определена на отрезке [, ], то

b
 f ( x)dx   f [(t )](t )dt

a
Тогда




 f [(t )](t )dt  F[(t )]
 F[()]  F[()]  F (b)  F (a)
Пример.
/2
/2
 x  sin t ;
 /2
1
2
2
2
1

x
dx


1

sin
t
cos
tdt

cos
tdt

(1  cos 2t )dt 


0

0
2 0
  0;    / 2 0
1 1

 /2  1
  t  sin 2t    sin   .
2 2
4 4
4
 0
1
При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что
вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть
непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение
формулы приводит к абсурду.
Пример.


 dx  x   , с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,
0
0



0
dx
dx
dt

 tgx  t  
0
2
2
2
2
2
sin
x

cos
x
cos
x
(
1

tg
x
)
1

t
0
0
0
0
Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло изза того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке
интегрирования разрыв (в точке х = /2). Поэтому в данном случае такая подстановка
неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно
следить за выполнением перечисленных выше условий.
 dx  
39
Интегрирование по частям.
Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также
непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования
по частям:
b
b
b
a
a
a
 udv  uv   vdu.
Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования
по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен
выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.
40
ЛЕКЦИЯ
Приближенное вычисление определенного интеграла.
Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от
которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения
интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы,
суть которых заключается в том, что подинтегральная функция заменяется “близкой” к
ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.
Формула прямоугольников.
Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , xm, то в
качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m,
значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.
b
b
a
a
 f ( x)dx   P( x)dx
Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей x 
ba
. При этом:
n
y0 = f(x0), y1 = f(x1), …. , yn = f(xn).
Составим суммы: y0x + y1x + … + yn-1x
y1x + y2x + … + ynx
Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует
вписанной ломаной, вторая – описанной.
b
ba
Тогда  f ( x)dx 
( y0  y1  ...  y n1 ) или
n
a
b
ba
( y1  y 2  ...  y n ) - любая из этих формул может
n
a
применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется
общей формулой прямоугольников.
 f ( x)dx 
Формула трапеций.
Эта формула является более точной по
сравнению с формулой прямоугольников.
Подинтегральная функция в этом случае
заменяется на вписанную ломаную.
у
y1
у2
a
x1 x2
уn
b
x
Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей
вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала,
тем с большей точностью будет вычислен интеграл.
41
Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:
y0  y1
y  yn
y1  y 2
x;
x; ... , n1
x
2
2
2
b
y0  y1
y n1  y n
y1  y 2
a f ( x)dx  2 x  2 x  ...  2 x
После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:
b
b  a  y0  y n

a f ( x)dx  n  2  y1  y2  ...  yn1 
Формула парабол
(формула Симпсона или квадратурная формула).
(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)
Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь
криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии,
параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).
Для каждой пары отрезков построим такую параболу.
у
0
х0 х1
х2 х3
х4
х
Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С
могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.
y 0  Ax02  Bx 0  C
y1  Ax12  Bx1  C
(1)
y 2  Ax  Bx 2  C
2
2
Обозначим 2h  x2  x0 .
x2
 x3
 x2
x2
S   ( Ax 2  Bx  C )dx   A  B
 Cx
2
 3
 x0
x0
h
Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то S  (2 Ah 2  6C )
3
Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид:
y 0  Ah 2  Bh  C
y1  C
y 2  Ah 2  Bh  C
42
(2)
C учетом этого: y 0  4 y1  y 2  2 Ah 2  6C .
h
S  ( y 0  4 y1  y 2 )
Отсюда уравнение (2) примет вид:
3
Тогда
x2
h
x f ( x)dx  3 ( y0  4 y1  y 2 )
0
x2
h
 f ( x)dx  3 ( y
2
 4 y3  y 4 )
x2
...............................................
Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:
b
ba
a f ( x)dx  6m y0  y2m  2( y2  y4  ...  y2m2 )  4( y1  y3  ...  y2m1 )
Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.
Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла
8

x 3  16dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10
2
частей.
8

2
По формуле Симпсона получим:
82
x 3  16dx 
[ y (2)  y (8)  2[ y (0)  y (2)  y (4)  y (6)]  4[ y (1)  y (1)  y (3)  y (5) 
65
 y (7)]].
m
x
f(x)
0
1
-2
-1
2.828 3.873
8

2
x 3  16dx 
2
0
4
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
11.874
15.232
18.947
22.978
4.123 4.899 6.557 8.944
82
[2.828  22.978  2[4  4.899  8.944  15.232]  4[3.873  4.123  6.557 
65
 11.874  18.947]]  91.151
Точное значение этого интеграла – 91.173.
Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность
полученного результата вполне удовлетворительная.
8

2
Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.
b  a  y0  yn
 8  2  2.828  22.978
x 3  16dx 
 y1  y 2  ...  y n 1  
 3.873  4  4.123 


n  2
10 
2

 4.899  6.557  8.944  11.874  15.232  18.947)  91.352
Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой
Симпсона.
43
Несобственные интегралы.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда она
непрерывна на любом отрезке [a, b].
b
Определение: Если существует конечный предел lim
b 
 f ( x)dx , то этот предел
a
называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ).
Обозначение: lim
b
b

a
a
 f ( x)dx   f ( x)dx
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный
интеграл сходится.
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл
расходится.
Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:
b
b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx
a 



c
f ( x)dx 



a

f ( x)dx   f ( x)dx
c
Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.
Пример.

b
b
 cos xdx  lim  cos xdx  lim sin x  lim (sin b  sin 0)  lim sin b - не существует.
b
0
0
b
b
0
b 
Несобственный интеграл расходится.
Пример.
1
1
dx
dx
 1  1
 1

lim

lim
1    1 - интеграл сходится
 x 2 b b x 2 b  x  b  blim

 b
Теорема: Если для всех х (x  a) выполняется условие 0  f ( x)  ( x) и


a
a
интеграл  ( x)dx сходится, то
 f ( x)dx


a
a
тоже сходится и  ( x)dx 
 f ( x)dx .
Теорема: Если для всех х (x  a) выполняется условие 0  ( x)  f ( x) и

интеграл  ( x)dx расходится, то
a

 f ( x)dx
тоже расходится.
a
44

Теорема: Если


f ( x) dx сходится, то сходится и интеграл
a
 f ( x)dx .
a

В этом случае интеграл
 f ( x)dx
называется абсолютно сходящимся.
a
Интеграл от разрывной функции.
Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то
c

b
f ( x)dx  lim
bc 0
a
 f ( x)dx
a
b
Если интеграл

c
f ( x)dx существует, то интеграл
a
b
 f ( x)dx
a
 f ( x)dx
- сходится, если интеграл
a
c
не существует, то
 f ( x)dx
- расходится.
a
c
Если в точке х = а функция терпит разрыв, то
 f ( x)dx 
a
c
lim
b a  0
 f ( x)dx .
b
Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то
с

a
b
c
a
b
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Таких точек внутри отрезка может быть несколько.
Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.
45
ЛЕКЦИЯ
Геометрические приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур.
у
+
0
+
a
-
b
x
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график
расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график
расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.
b
Для нахождения суммарной площади используется формула S 
 f ( x)dx .
a
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью
определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
6
5
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
-1
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:
2
 x3 x2  2 8 4 1 1 5 2
2
S   x dx   xdx          (ед )
21 3 2 3 2 6
3
1
1
2
46
ЛЕКЦИЯ
Функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным
описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут
справедливы для функций произвольного числа переменных.
Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из
некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или
несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух
переменных.
z = f(x, y)
Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция
называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.
Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар
(х, у), при которых функция z существует.
Определение: Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется
совокупность всех точек
(х, у), которые удовлетворяют условию
x  x0 2   y  y0 2
r.
Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении
точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа  > 0 найдется такое число r >0,
что для любой точки М(х, у), для которых верно условие
MM 0  r
также верно и условие f ( x, y)  A   .
Записывают: lim f ( x, y )  A
x  x0
y  y0
Определение: Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения
функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0),
если
lim f ( x, y )  f ( x0 , y 0 )
(1)
x  x0
y  y0
причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.
Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется
точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0).
2) Не существует предел lim f ( x, y ) .
x  x0
y  y0
3) Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и
ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка
N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство
f(x0, y0, …)  f(x, y, …)
47
а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство
f(x01, y01, …)  f(x, y, …)
тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m –
наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.
Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по
крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой
ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее
значения функции в этой области, то для любой точки   [m, M] существует точка
N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = .
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все
промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить
заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней
мере один раз обращается в ноль.
Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области
D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек
области верно неравенство f ( x, y,...)  K .
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой
ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для
любого положительного числа  существует такое число  > 0, что для любых двух
точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем , выполнено
неравенство
f ( x1 , y1 )  f ( x2 , y2 )  
Приведенные выше свойства
аналогичны свойствам функций одной
переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных.
Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем
произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина
xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.
Можно записать
 x z f ( x  x, y)  f ( x, y)
.

x
x
xz
называется частной производной функции z = f(x, y) по х.
x 0 x
z
f ( x, y )
; z x ;
; f x ( x, y ).
Обозначение:
x
x
Тогда lim
Аналогично определяется частная производная функции по у.
48
z
f ( x, y  y )  f ( x, y )
 lim

y

0
y
y
z
) является
x
тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению
поверхности плоскостью у = у0.
Геометрическим смыслом частной производной (допустим
Полное приращение и полный дифференциал.
Определение. Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y) – f(x, y)
называется полным приращением.
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  f ( x, y  y )  f ( x, y  y )   f ( x  x, y  y )  f ( x, y  y ) 
  f ( x, y  y )  f ( x, y )
Применим теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к выражениям, стоящим в
квадратных скобках.
f ( x, y )
y
f ( x , y  y )
f ( x  x, y  y )  f ( x, y  y )  x
x
x  ( x, x  x)
здесь y  ( y, y  y );
f ( x, y  y)  f ( x, y )  y
Тогда получаем
z  x
f ( x , y  y )
f ( x, y )
 y
x
y
Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
f ( x , y  y ) f ( x, y )
lim

x 0

x
x
y 0
lim
x  0
y  0
f ( x, y ) f ( x, y )

y
y
f ( x, y )
f ( x, y)
x 
y  1 x   2 y
x
y
называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где 1 и 2
– бесконечно малые функции при х  0 и у  0 соответственно.
Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется
главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).
dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy
Определение.
z 
Выражение
Для функции произвольного числа переменных:
f
f
f
df ( x, y, z,..., t ) 
dx  dy  ...  dt
x
y
t
49
2
Пример. Найти полный дифференциал функции u  x y z .
du 
u
u
u
dx 
dy 
dz
x
y
z
2
2
2
u
u
u
 y 2 zx y z 1 ;
 x y z ln x  2 yz;
 x y z ln x  y 2 ;
x
y
z
du  y 2 zx y
2
z 1
2
2
dx  2 x y z yz ln xdy  y 2 x y z ln xdz
Пример. Найти полный дифференциал функции z 
y
.
x  y2
2
z
 2 yx
 2
x ( x  y 2 ) 2
z y ( x 2  y 2 )  y (2 y ) x 2  y 2  2 y 2
x2  y2



y
(x 2  y 2 )2
(x2  y 2 )2
(x 2  y 2 )2
dz  
2 xy
x2  y2
dx

dy
(x2  y 2 )
(x2  y 2 )2
50