Дифференциальное исчисление функции
advertisement
Содержание КВМ Часть 2.
КУРС
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
Краткий конспект лекций
ЧАСТЬ 2
2001
Дифференциальное исчисление функции
одной переменной.
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел
отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он
существует.
f ( x) lim
x 0
f ( x x) f ( x)
x
у
f(x)
f(x0 +x)
P
f
f(x0)
M
0
x0
x
x0 + x
x
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда tg
f
тангенс
x
угла наклона секущей МР к графику функции.
lim tg lim
x 0
x 0
f
f ( x0 ) tg ,
x
где - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными,
проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой: y y0 f ( x0 )( x x0 )
Уравнение нормали к кривой: y y 0
1
( x x0 ) .
f ( x0 )
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения
функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения
(изменения координат) – мгновенная скорость движения.
2
Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости,
т.е. ускорение.
Односторонние производные функции в точке.
Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0
f
называется правое (левое) значение предела отношения
при условии, что это
x
отношение существует.
f
x 0 x
f
x 0 x
f ( x 0 ) lim
f ( x 0 ) lim
Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в
этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Вопервых функция может иметь разрыв в точке х 0, а во- вторых, даже если функция
непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.
Например: f(x) = x- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную,
непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x)
имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Понятно, что это условие не является достаточным.
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u v) = u v
2) (uv) = uv + uv
u u v v u
3)
, если v 0
v2
v
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производные основных элементарных функций.
9) sin x cos x
10) cos x sin x
1
11) tgx
cos 2 x
1)С = 0;
2)(xm) = mxm-1;
1
3) x
2 x
1
1
4) 2
x
x
5) e x e x
12) ctgx
1
sin 2 x
1
13) arcsin x
1 x2
3
a
6) a x
x
14) arccos x
ln a
1
7) ln x
x
8) log a x
15) arctgx
1 x2
1
1 x2
16) arcctgx
1
x ln a
1
1
1 x2
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в
область определения функции f.
Тогда
y f (u ) u
Доказательство.
y y u
x u x
y
y
u
lim
lim
lim
x 0 x
u 0 u x 0 x
( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)
Тогда
dy dy du
dx du dx
Теорема доказана.
Логарифмическое дифференцирование.
ln x, при x 0
Рассмотрим функцию y ln x
.
ln( x), при x 0
1
( x) 1
1
.
Тогда (lnx)= , т.к. ln x ; (ln( x))
х
x
x
x
f ( x)
Учитывая полученный результат, можно записать ln f ( x)
.
f ( x)
f ( x )
Отношение
называется логарифмической производной функции f(x).
f ( x)
Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала
находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой
функции по формуле
f ( x) (ln f ( x) ) f ( x)
4
Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для
нахождения производных сложных, особенно показательных и показательностепенных функций, для которых непосредственное вычисление производной с
использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.
Производная показательно- степенной функции.
Функция называется показательной, если независимая переменная входит в
показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и
основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет
показательно – степенной.
Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.
Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:
lny = vlnu
y
u
v ln u v
y
u
u
y u v v v ln u
u
u vu
v
u u v v ln u
v 1
Пример. Найти производную функции f ( x) ( x 2 3x) x cos x .
По полученной выше формуле получаем: u x 2 3x;
v x cos x;
Производные этих функций: u 2 x 3; v cos x x sin x;
Окончательно:
f ( x) x cos x ( x 2 3x) x cos x 1 (2 x 3) ( x 2 3x) x cos x (cos x x sin x) ln( x 2 3x)
Производная обратных функций.
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная
ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:
т.к. g(y) 0
1 g ( y ) y
1
y
g ( y )
dy
1
dx dx
dy
т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
5
Пример. Найти формулу для производной функции arctg.
Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная
может быть найдена следующим образом:
y tgx;
x arctgy;
1
;
cos 2 x
По приведенной выше формуле получаем:
1
y
;
d (arctgy) / dx
Известно, что y (tgx)
1
1 tg 2 x 1 y 2 ;
2
cos x
производной арктангенса:
Т.к.
d (arctgy)
1
dy
1 / cos 2 x
то можно записать окончательную формулу для
1
;
1 y2
Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса
и других обратных функций, приведенных в таблице производных.
(arctgy)
Дифференциал функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:
y
lim
f ( x)
x 0 x
y
f (x ) , где 0, при х0.
Тогда можно записать:
x
Следовательно: y f ( x) x x .
Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)xглавная часть приращения у.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня
линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f(x)x или
dy = f(x)dx.
Можно также записать: f ( x)
dy
dx
Геометрический смысл дифференциала.
6
y
f(x)
K
dy
y
M
L
x
x + x
x
Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты
касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то
непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u v) = (u v)dx = udx vdx = du dv
2) d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv
3) d(Cu) = Cdu
u vdu udv
4) d
v2
v
Дифференциал сложной функции.
Инвариантная форма записи дифференциала.
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у - сложная функция.
Тогда
dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х
независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта
форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.
Однако, если х - независимая переменная, то
dx = x, но
если х зависит от t, то
х dx.
Таким образом, форма записи dy = f(x)x не является инвариантной.
7
1
Пример. Найти производную функции y x cos x sin x cos 2 x .
2
1
1
sin 2 x cos 2 x
2
2
1
1
1
1
y sin 2 x x 2 cos 2 x 2 cos x( sin x) sin 2 x x cos 2 x sin x cos x x cos 2 x.
2
2
2
2
Сначала преобразуем данную функцию: y
2
x 2e x
Пример. Найти производную функции y 2
.
x 1
2
2
2
2
2
2
2
2
(2 xe x x 2 2 xe x )( x 2 1) (2 x) x 2 e x
2 x 3 e x 2 x 5 e x 2 xe x 2 x 3 e x 2 x 3 e x
y
( x 2 1) 2
( x 2 1) 2
2
2 xe x ( x 4 1 x 2 )
( x 2 1) 2
Пример. Найти производную функции y ln tg
x
x
2 sin x
1 sin x x cos x
1
sin x x cos x sin x sin x x cos x
2
x
x
x
sin x
sin 2 x
sin 2 x
2 x 2
tg
cos
2 sin cos
2
2
2
2
x cos x
sin 2 x
1
y
1
Пример. Найти производную функции y arctg
2x 4
1 x8
8 x 3 (1 x 8 ) (8 x 7 )2 x 4 (1 x 8 ) 2 (8 x 3 8 x11 16 x11 ) 8 x 3 8 x11
(1 x 8 ) 2
(1 x 8 ) 2 (1 x 8 ) 2
(1 x 8 ) 2
4x8
1
8 2
(
1
x
)
3
8
8 x (1 x )
8x 3
(1 x 8 ) 2
1 x8
1
y
2
Пример. Найти производную функции y x 2 e x ln x
y x 2e x
2
ln x x e
2
x2
2
2
2
2
2
1
2 xe x x 2 e x 2 x ln x xe x 2 xe x (1 x 2 ) ln x xe x
x
2
xe x (1 2 ln x 2 x 2 ln x)
8
Формула Тейлора.
Тейлор (1685-1731) – английский математик
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее
окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до
порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой
окрестности}.
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:
f (a)
f (a)
f ( n ) (a)
f ( n1) ( )
2
n
f ( x) f ( a )
( x a)
( x a) ...
( x a)
( x a) n1
1!
2!
n!
(n 1)!
-
это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
f ( n1) ( )
( x a) n1 Rn1 ( x)
(n 1)!
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x),
значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его
производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.
Pn (a) f (a); Pn (a) f (a); Pn(a) f (a); ... Pn( n ) (a) f ( n ) (a)
(1)
Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем
ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.
Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:
Pn ( x) C 0 C1 ( x a) C 2 ( x a) 2 ... C n ( x a) n
(2)
Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена
в точке х = а и составляем систему уравнений:
Pn ( x) C1 2C 2 ( x a) 3C3 ( x a) 2 ... nC n ( x a) n 1
n2
Pn( x) 2C 2 3 2C3 ( x a) ... n(n 1)C n ( x a)
..........................................................................................
P ( n ) ( x) n(n 1)( n 2)...2 1C
n
n
Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:
f (a) C0
f (a) C1
f (a) 2 1C2
f (a) 3 2 1C3
9
(3)
…………………….
f (a) n(n 1)( n 2)...2 1C n
Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:
(n)
Pn ( x) f (a)
f (a)
f (a)
f ( n ) (a)
( x a)
( x a) 2 ...
( x a) n
1
2
n!
Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е.
отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда:
f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)
Теорема доказана.
Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x).
y
f(x)
Rn+1(x)
Pn(x)
0
a
x
Как видно на рисунке, в
точке х = а значение многочлена в точности совпадает со значением функции.
Однако, при удалении от точки х = а расхождение значений увеличивается.
x
Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка (a, x), то найдется
такое число из интервала 0 < < 1, что = a + (x – a).
Тогда можно записать:
f ( n1) [a ( x a)]
Rn1 ( x)
( x a) n1
(n 1)!
Тогда, если принять a = x0, x – a = x, x = x0 + x, формулу Тейлора можно записать в
виде:
f ( n ) ( x0 )
f ( n1) ( x0 x)
f ( x)
f ( x)
f ( x0 x) f ( x0 )
x
(x) 2 ...
(x) n
(x) n1
1!
2!
n!
(n 1)!
где 0 < < 1
Если принять n =0, получим: f(x0 + x) – f(x0) = f(x0 + x)x – это выражение
называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский
математик и механик).
Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических
преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций,
интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.
При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые
особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.
Формула Маклорена.
10
Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n
x
x ...
x Rn ( x )
1!
2!
n!
f ( n1) (x) n1
Rn ( x)
x ;
0 1
(n 1)!
f ( x) f (0)
Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в
форме Лагранжа.
Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы
Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к.
вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке,
естественно, при условии, что эти производные существуют.
Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в
том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно
близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении
тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции
практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для
получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы
Тейлора, что неудобно.
Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение
функции отличается от найденного по формуле Тейлора.
Кроме того, можно показать, что остаточный член Rn+1(x) является бесконечно
малой функцией при ха, причем долее высокого порядка, чем (х – а)m, т.е.
Rn 1 ( x) ([ x a] n ) .
Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.
Представление некоторых элементарных функций
по формуле Тейлора.
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд
широко используется и имеет огромное значение при проведении различных
математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых
функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции
степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений
тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также
может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.
Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то
значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью.
Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной
степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после
десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.
Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на
ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных
технических задач.
11
Функция f(x) = ex.
Находим:
Тогда: e x 1
f(x) = ex, f(0) = 1
f(x) = ex, f(0) = 1
……………………
(n)
f (x) = ex, f(n)(0) = 1
x x2 x3
xn
x n1 x
...
e ,
1 2! 3!
n! (n 1)!
0 1
Пример: Найдем значение числа е.
В полученной выше формуле положим х = 1.
1 1 1
1
e 1 1 ...
e
2 3! 4!
(n 1)!
Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003
Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451
Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553
2. 75
2. 5
2. 25
2
1. 75
1. 5
1. 25
2
4
6
8
10
На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа
членов разложения в ряд Тейлора.
Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства
практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.
Функция f(x) = sinx.
Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0
f(x) = cosx = sin( x + /2); f(0) = 1;
f(x) = -sinx = sin(x + 2/2); f(0) = 0;
f(x) = -cosx = sin(x + 3/2); f(0)=-1;
…………………………………………
f(n)(x) = sin(x + n/2);
f(n)(0) = sin(n/2);
f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1)/2);
f(n+1)() = sin( + (n + 1)/2);
12
sin x x
Итого:
R2 n ( x )
x3 x5
x 2 n 1
... (1) n 1
R2 n ( x )
3! 5!
(2n 1)!
f ( 2 n 1) ( ) 2 n 1
cos
x
x 2 n 1
(2n 1)!
(2n 1)!
Функция f(x) = cosx.
Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:
2n
x2 x4
n x
cos x 1
... (1)
R2 n 1 ( x)
2! 4!
(2n)!
f ( 2 n 2 ) ( ) 2 n 2
cos
R2 n 1 ( x)
x
x 2n2
(2n 2)!
(2n 2)!
Функция f(x) = (1 + x).
( - действительное число)
f ( x) (1 x) 1 ;
f (0) ;
f ( x) ( 1)(1 x) ; f (0) ( 1);
…………………………………………………..
( n)
f ( x) ( 1)( 2)...( (n 1))(1 x) n ; f ( n ) (0) ( 1)( 2)...( n 1)
2
Тогда:
(1 x) 1
x
( 1)
x 2 ...
( 1)...( n 1)
2 1
n!
( 1)...( n)
Rn 1 ( x)
(1 x) ( n 1) ;
(n 1)!
1
x n Rn 1 ( x)
0 1
Если в полученной формуле принять = n, где n- натуральное число и
f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда
(1 x) n 1
n
n(n 1) 2
x
x ... x n
1!
2!
Получилась формула, известная как бином Ньютона.
Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с
любой степенью точности.
На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения
функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов
разложения.
13
4
2
- 10
- 5
5
10
- 2
- 4
Рис. 1. Два члена разложения
4
2
- 10
- 5
5
10
- 2
- 4
Рис. 2. Четыре члена разложения
4
2
- 10
- 5
5
10
- 2
- 4
Рис. 3. Шесть членов разложения
4
2
- 10
- 5
5
10
- 2
- 4
Рис. 4. Десять членов разложения
Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем
количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать
14
такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого
числа легко вычисляется.
Для примера вычислим значение sin200.
Предварительно переведем угол 200 в радианы: 200 = /9.
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами
разложения:
3
5
1
1
sin 20 sin 0,348889 0,007078 0,000043 0,341854
9 9 3! 9 5! 9
В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.
0
1
2
3
4
5
0. 344
0. 346
0. 348
На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в
зависимости от количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя
членами разложения, то достигается точность до 0,0002.
Выше говорилось, что при х0 функция sinx является бесконечно малой и
может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую
функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в
точности ограничиться первым членом разложения, т.е. sinx x.
Пример: Вычислить sin2801315.
Для того, чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся
соотношениями:
10 =
1
1
28 01315
180
28
;
180
13
13
;
60 180
15
15
;
60 60 180
280
;
60 180
;
60 60 180
;
28
13
15
28 60 60 60 13 15
0,492544 рад
180 60 180 60 60 180 180
60 60
Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами,
x3 x5
0,492544 0,019915 0,000242 0,472871 .
получим: sinx = x
6 120
Сравнивая полученный результат с более точным значением синуса этого угла,
15
sin 28 01315 = 0,472869017612759812,
видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила
0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.
Функция f(x) = ln(1 + x).
Получаем:
f(x) = ln(1 + x);
f(0) = 0;
1
f (0) 1;
f(x) =
;
1 x
1
f (0) 1;
f ( x )
;
(1 x) 2
1 ( 2 )
f (0) 2;
f ( x)
;
(1 x) 3
………………………………………
(n 1)!
f ( n ) ( x) (1) n 1
;
f ( n ) ( x) (1) n1 (n 1)!;
n
(1 x)
Итого: ln( 1 x) x
1 2 1 2 3
(1) n1 (n 1)! n
x
x ...
x Rn 1 ( x);
2
3!
n!
x2 x3
(1) n 1 n
...
x Rn1 ( x)
2
3
n
n 1
(1) n n! x
Rn 1 ( x)
;
(n 1)! 1
ln( 1 x) x
Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не
только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример
вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем –
расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения.
Точность достигает 0,0003.
ln1,5 = 0,405465108108164381
ln 1,5 ln( 1 0,5) 0,5
0,5 2 0,53 0,5 4 0,55 0,5 6 0,5 7
0,4058035
2
3
4
5
6
7
Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится
в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для
подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено
непосредственно.
Ниже будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к
приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных
уравнений и к вычислению интегралов.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
16
Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью
приращения х.
Также можно воспользоваться формулой
dy f ( x)dx
Тогда абсолютная погрешность
y dy
Относительная погрешность
y dy
dy
Более подробно применение дифференциала к приближенным вычислениям
будет описано ниже.
Теоремы о среднем.
Теорема Ролля.
(Ролль (1652-1719)- французский математик)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале
(а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b)
существует точка , a < < b, в которой производная функция f(x) равная нулю,
f() = 0.
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении
условий теоремы на интервале (a, b) существует точка такая, что в соответствующей
точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может
быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой
точки.
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f(x)
на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти
значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M m.
Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное
значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за
можно принять любую точку интервала.
Пусть М = m. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из
значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b]. Обозначим , a < < b
точку, в которой f() = M. Так как М- наибольшее значение функции, то для любого х
( будем считать, что точка + х находится внутри рассматриваемого интервала) верно
неравенство:
f() = f( + x) – f() 0
17
f ( ) 0, если x 0
x
0, если x 0
Но так как по условию производная в точке существует, то существует и
f ( )
предел lim
.
x 0 x
f ( )
f ( )
0 и lim
0 , то можно сделать вывод:
Т.к. lim
x 0 x
x 0 x
x 0
x 0
При этом
lim
x 0
f ( )
0, т.е.
x
f ( ) 0.
Теорема доказана.
Теорема Ролля имеет несколько следствий:
1) Если функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет теореме Ролля, причем
f(a) = f(b) = 0, то существует по крайней мере одна точка , a < < b, такая, что f() = 0.
Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная
функции равна нулю.
2) Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную (n-1)- го
порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка
интервала, в котором производная (n – 1) – го порядка равна нулю.
Теорема Лагранжа.
(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на
интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка
f (b) f (a )
f ( ) .
a < < b, такая, что
ba
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия
теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке
равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы
Лагранжа.
f (b) f (a )
Отношение
равно угловому коэффициенту секущей АВ.
ba
у
В
А
18
0 а
b
x
Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b)
существует точка такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная
параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько,
но одна существует точно.
Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию
F(x) = f(x) – yсек АВ
Уравнение секущей АВ можно записать в виде:
f (b) f (a )
y f (a)
( x a)
ba
f (b) f (a)
F ( x) f ( x) f (a)
( x a)
ba
Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке
[a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы
одна точка , a < < b, такая что F() = 0.
Т.к.
F ( x) f ( x)
f (b) f (a )
f (b) f (a )
0 , следовательно
, то F ( ) f ( )
ba
ba
f (b) f (a )
ba
Теорема доказана.
f ( )
Определение. Выражение f (b) f (a) f ( )(b a) называется формулой
Лагранжа или формулой конечных приращений.
В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства
самых разных теорем.
Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:
y f ( x x)x ,
где 0 < < 1, x = b – a, y = f(b) – f(a).
Теорема Коши.
( Коши (1789-1857)- французский математик)
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на
интервале (a, b) и g(x) 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна
точка , a < < b, такая, что
f (b) f (a) f ( )
.
g (b) g (a) g ( )
Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению
производных в точке .
Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно
воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для
каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление
19
ошибочно, т.к. точка для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в
некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих
функций, но это - очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть
использовано для доказательства теоремы.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
f (b) f (a)
F ( x) f ( x) f (a)
( g ( x) g (a)) ,
g (b) g (a)
которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что
при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка ,
a < < b, такая, что F() = 0. Т.к.
f (b) f (a)
F ( x) f ( x)
g ( x) , то
g (b) g (a)
f (b) f (a)
F ( ) 0 f ( )
g ( )
g (b) g (a)
А т.к. g ( ) 0 , то
f (b) f (a) f ( x)
g (b) g (a) g ( x)
Теорема доказана.
Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным
случаем (при g(x) = x) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко
используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение
полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления
пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже.
Раскрытие неопределенностей.
Правило Лопиталя.
(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
0
; ; 0; 0 ; 1 ;
0
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в
вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0,
то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если
этот предел (конечный или бесконечный) существует.
20
lim
x a
f ( x)
f ( x)
lim
g ( x) xa g ( x)
Доказательство. Применив формулу Коши, получим:
f ( x) f (a) f ( )
g ( x) g (a) g ( )
где - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:
f ( x) f ( )
g ( x) g ( )
f ( x )
стремится к некоторому пределу. Т.к. точка
g ( x )
лежит между точками а и х, то при ха получим а, а следовательно и отношение
f ( )
стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:
g ( )
f ( x)
f ( x)
.
lim
lim
x a g ( x)
x a g ( x )
Пусть при ха отношение
Теорема доказана.
Пример: Найти предел lim
x 1
x 2 1 ln x
.
ex e
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается
0
неопределенность вида
. Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби
0
удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
1
f(x) = 2x + ;
g(x) = ex;
х
lim
x 1
Пример: Найти предел lim
x
f ( x)
g ( x)
1
x 2 1 3 ;
x
e
e
e
2x
2arctgx
3
x
.
e 1
3
3
2
x
g
(
x
)
e
2 ;
f ( x)
;
2
x
1 x
2x 2
2
2
lim
.
3
(0 1) 1 (3) 3
x
(1 x 2 )e x (3)
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка
вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может
быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат.
21
Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в
свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
x
2
xe
.
x x e x
Пример: Найти предел lim
x
2
1
x) ;
g ( x) 1 e x ;
2
x
x
x
x
1
1
x
1
f ( x) e 2 e 2 e 2 e 2 (4 x) ;
g ( x) e x ;
2
2
4
4
x
1 2
1
e (4 x)
(4 x)
4
lim 4
lim
x
x
x
ex
2
e
x
1
1
1
g ( x) e 2 ;
f ( x) ;
lim
0;
x
x
2
4
2e 2
f ( x) e (1
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов
вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может
быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и
др.).
e x e x 2x
Пример: Найти предел lim
.
x 0
x sin x
f ( x) e x e x 2 ;
g ( x) 1 cos x ;
e x ex 2 1 1 2 0
- опять получилась неопределенность. Применим правило
x 0
1 cos x
11
0
Лопиталя еще раз.
lim
f ( x) e x e x ;
lim
x 0
x
e e
sin x
x
g ( x) sin x ;
11 0
- применяем правило Лопиталя еще раз.
0
0
f ( x) e x e x ;
g ( x) cos x ;
e x ex 2
2;
x 0
cos x
1
lim
Неопределенности вида 0 0 ; 1 ; 0 можно раскрыть с помощью
логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов
g ( x)
функций вида y f ( x) , f(x)>0 вблизи точки а при ха. Для нахождения предела
такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).
Пример: Найти предел lim x x .
x0
x 0
22
Здесь y = xx, lny = xlnx.
ln x правило
1/ x
lim
lim x 0;
x 0
x 0
x 0 1
x 0 1 / x 2
x 0
Лопиталя
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x
Следовательно lim ln y ln lim y 0; lim y lim x x 1
lim ln y lim x ln x lim
Тогда
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
.
x 0
x 0
x2
.
x e 2 x
Пример: Найти предел lim
f ( x) 2 x;
g ( x) 2e 2 x ;
lim
x
x
e
2x
; - получили неопределенность. Применяем
правило Лопиталя еще раз.
f ( x) 2;
g ( x) 4e 2 x ;
1
1
0;
2
x
x 2e
lim
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда,
дифференцируя ее, получаем первую производную
df ( x)
y f ( x)
dx
Если найти производную функции f(x), получим вторую производную
функции f(x).
d 2 f ( x)
y f ( x)
dx 2
d 2 y d dy
т.е. y = (y) или
.
dx 2 dx dx
Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.
d n y d d n1 y
.
dx n dx dx n1
Общие правила нахождения высших производных.
Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то
1) (Сu)(n) = Cu(n);
2) (u v)(n) = u(n) v(n);
3) (u v) ( n ) vu ( n ) nu ( n 1) v
n(n 1) ( n 2)
n(n 1)...[ n (k 1)] ( n k ) ( k )
u
v ...
u
v ...
2!
k!
... uv ( n ) .
Это выражение называется формулой Лейбница.
Также по формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n- го порядка.
23
Исследование функций с помощью производной.
Возрастание и убывание функций.
Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и
возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна,
т.е. f(x) 0.
2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема
на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на
отрезке [a, b].
Доказательство.
1) Если функция f(x) возрастает, то f(x + x) > f(x) при x>0 и f(x + x) < f(x) при
х<0,
тогда:
f ( x x) f ( x)
f ( x x) f ( x)
0,
lim
0.
x 0
x
x
2) Пусть f(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем x1<x2.
Тогда по теореме Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f()(x2 – x1), x1 < < x2
По условию f()>0, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т.е. функция f(x) возрастает.
Теорема доказана.
Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на
отрезке [a, b], то f(x)0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x)
убывает на отрезке [a, b].
Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на
отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).
Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:
y
y
x
x
Точки экстремума.
Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой
точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1.
24
Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +x) > f(x2) при любом х (х может
быть и отрицательным).
Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и
минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать
максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке –
это понятия принципиально различные.
Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками
экстремума.
Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x)
дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то
производная функции обращается в нуль в этой точке.
Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1
максимум.
Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:
f ( x1 x) f ( x1 ) , т.е.
f ( x1 x) f ( x1 ) 0
Тогда
f ( x1 x) f ( x1 )
0
при х 0
x
f ( x1 x) f ( x1 )
0
при х 0
x
По определению:
f ( x1 x) f ( x1 )
lim
f ( x1 )
x 0
x
Т.е. если х0, но х<0, то f(x1) 0, а если х0, но х>0, то f(x1) 0.
А возможно это только в том случае, если при х0 f(x1) = 0.
Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается
аналогично.
Теорема доказана.
Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в
некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет
экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в
точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не
максимум или минимум.
Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых
производная функции не существует или равна нулю.
Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования
экстремума, но этого недостаточно.
Пример: f(x) = x
Пример: f(x) =
25
3
х
y
y
x
x
В точке х = 0 функция имеет минимум, но
не имеет производной.
В точке х = 0 функция не имеет ни
максимума, ни минимума, ни производной.
Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная
не существует или равна нулю.
Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)
Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит
критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме,
может быть, самой точки х1).
Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x)
меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если
производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.
Доказательство.
f ( x) 0 при x x1
Пусть
f ( x) 0 при x x1
По теореме Лагранжа:
f(x) – f(x1) = f()(x – x1),
Тогда: 1) Если х < x1, то < x1;
f()>0;
где x < < x1.
f()(x – x1)<0, следовательно
f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).
2) Если х > x1, то > x1 f()<0;
f()(x – x1)<0, следовательно
f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1).
Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x1) в любых точках вблизи х1, т.е.
х1 – точка максимума.
Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.
Теорема доказана.
На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при
нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
26
1)
2)
3)
4)
Найти критические точки функции.
Найти значения функции в критических точках.
Найти значения функции на концах отрезка.
Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
Исследование функции на экстремум с помощью
производных высших порядков.
Пусть в точке х = х1 f(x1) = 0 и f(x1) существует и непрерывна в некоторой
окрестности точки х1.
Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если
f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0.
Доказательство.
Пусть f(x1) = 0 и f(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f(x1) будет
отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.
Т.к. f(x) = (f(x)) < 0, то f(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но
f(x1)=0, т.е. f(x) > 0 при х<x1 и f(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе
через точку х = х1 производная f(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция
f(x) имеет максимум.
Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.
Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения
требуется дальнейшее исследование.
Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба.
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если
все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная
выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз –
называется вогнутой.
у
27
x
На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.
Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции
f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Доказательство. Пусть х0 (a, b). Проведем касательную к кривой в этой
точке.
Уравнение кривой: y = f(x);
Уравнение касательной: y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
Следует доказать, что y y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) .
По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0):
y y f (c)( x x0 ) f ( x0 )( x x0 ) , x0 < c < x.
y y ( x x0 )[ f (c) f ( x0 )]
По теореме Лагранжа для f (c) f ( x0 ) : y y f (c1 )(c x0 )( x x0 ),
x0 c1 c
Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию
f (c1 ) 0 , следовательно, y y 0 .
Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т.к. по условию f (c1 ) 0, то
y y 0.
Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x)
вогнута на интервале (a, b).
Теорема доказана.
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой,
называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая
производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а f(x)
меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
Доказательство. 1) Пусть f(x) < 0 при х < a и f(x) > 0 при x > a. Тогда при
x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.
2) Пусть f(x) > 0 при x < b и f(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена
выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.
Теорема доказана.
Асимптоты.
28
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки
кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от
переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность
стремится к нулю.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть
прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое
значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика
кривой.
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и
пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике
функции y x e
x
3
sin x . Ее наклонная асимптота у = х.
10
5
- 10
-5
5
10
-5
- 10
- 15
- 20
Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.
Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если lim f ( x) или lim f ( x)
x a 0
x a 0
или lim f ( x) , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).
xa
Например, для функции f ( x)
2
прямая х = 5 является вертикальной
x5
асимптотой.
Наклонные асимптоты.
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.
29
15
12. 5
10
7. 5
5
2. 5
1
2
3
4
M
N
P
Q
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р –
точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью
Ох обозначим . Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.
Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = y - ордината точки N на
асимптоте.
По условию: lim MP 0 ,
x
NMP = ,
NM
MP
cos
.
Угол - постоянный и не равный 900, тогда
lim MP lim NM cos lim NM 0
x
x
x
NM MQ QN y y f ( x) (kx b)
Тогда lim [ f ( x) (kx b)] 0 .
x
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой
прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:
b
f ( x)
lim x
k 0
x
x
x
b
b
f ( x)
k 0 , т.к. b = const, то lim 0; lim k k .
Т.к. х, то lim
x
x
x
x
x
x
Тогда lim
x
f ( x)
k 0 0 , следовательно,
x
30
k lim
x
f ( x)
.
x
Т.к. lim f ( x) (kx b) 0 , то lim f ( x) kx lim b 0 , следовательно,
x
x
x
b lim f ( x) kx
x
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных
асимптот при k =0.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции y
1) Вертикальные асимптоты: y+
вертикальная асимптота.
x0-0:
y-
x 2 2x 1
.
x
x0+0, следовательно, х = 0-
2) Наклонные асимптоты:
x 2 2x 1
2 1
k lim
lim 1 2 1
2
x
x
x
x x
x 2 2x 1
x 2 2x 1 x 2
1
2x 1
lim
b lim ( f ( x) x) lim
x lim
lim
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
-2
Пример. Найти асимптоты и построить график функции y
9x
.
9 x2
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.
31
Найдем наклонные асимптоты: k lim
x
9
0
9 x2
9
x
9x
lim
0
x 9 x 2
x 9
1
x2
y = 0 – горизонтальная асимптота.
b lim
6
4
2
- 7. 5
-5
- 2. 5
2. 5
5
7. 5
-2
-4
-6
x 2 2x 3
Пример. Найти асимптоты и построить график функции y
.
x2
Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.
k lim
x
x 2x 3
x 2x 3
lim
lim
x
x
x( x 2)
x 2 2x
2
2
2 3
x x 2 1.
2
1
x
1
3
4
x 2 2x 3
x 2 2x 3 x 2 2x
4x 3
x 4
lim
b lim
x lim
lim
x
x
x
x
2
x2
x2
x2
1
x
Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.
20
15
10
5
- 10
-5
5
-5
- 10
- 15
- 20
32
10
Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее
полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо
отыскать:
1) Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
2) Точки разрыва. (Если они имеются).
3) Интервалы возрастания и убывания.
4) Точки максимума и минимума.
5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6) Области выпуклости и вогнутости.
7) Точки перегиба.(Если они имеются).
8) Асимптоты.(Если они имеются).
9) Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию y
x3
и построить ее график.
x2 1
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения
функции является область (-; -1) (-1; 1) (1; ).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными
асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-; ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
3x 2 ( x 2 1) 2 x x 3 3x 4 3x 2 2 x 4 x 4 3x 2
y
2
( x 2 1) 2
( x 2 1) 2
( x 1) 2
Критические точки: x = 0; x = - 3 ; x =
3 ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
(4 x 3 6 x)( x 2 1) 2 ( x 4 3x 2 )4 x( x 2 1)
y
( x 2 1) 4
(4 x 3 6 x)( x 4 2 x 2 1) ( x 4 3x 2 )( 4 x 3 4 x)
( x 2 1) 4
4 x 7 8 x 5 4 x 3 6 x 5 12 x 3 6 x 4 x 7 4 x 5 12 x 5 12 x 3
( x 2 1) 4
2 x 5 4 x 3 6 x 2 x( x 4 2 x 2 3) 2 x( x 2 3)( x 2 1) 2 x( x 2 3)
.
( x 2 1) 4
( x 2 1) 4
( x 2 1) 4
( x 2 1) 3
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
33
- < x < - 3 ,
- 3 < x < -1,
-1 < x < 0,
0 < x < 1,
1<x < 3,
3 < x < ,
y < 0, кривая выпуклая
y < 0,
y > 0,
y < 0,
y > 0,
y > 0,
кривая выпуклая
кривая вогнутая
кривая выпуклая
кривая вогнутая
кривая вогнутая
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем
знаки производной функции на промежутках.
- < x < - 3 ,
- 3 < x < -1,
-1 < x < 0,
0 < x < 1,
1<x < 3,
3 < x < ,
y > 0, функция возрастает
y < 0, функция убывает
y < 0, функция убывает
y < 0, функция убывает
y < 0, функция убывает
y > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - 3 является точкой максимума, а точка х = 3 является
точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3 3 /2 и
3 3 /2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем
наклонные асимптоты.
x2
1
k lim 2
lim
1;
x x 1
x
1
1 2
x
1
3
3
3
x
x x x
x
lim 2
b lim 2
x lim
lim x 0
2
x x 1
x
x
1
x 1 x
x 1
1 2
x
Итого, уравнение наклонной асимптоты –
Построим график функции:
34
y = x.
4
3
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
Векторная функция скалярного аргумента.
z
A(x, y, z)
r (t ) r0
r
r0
y
х
Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически:
x = (t); y = (t);
z = f(t);
35
Радиус- вектор произвольной точки кривой: r xi yj zk (t )i (t ) j f (t )k .
Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как
некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t
изменяется величина и направление вектора r .
Запишем соотношения для некоторой точки t0:
lim (t ) 0 ; lim (t ) 0 ; lim f (t ) f 0 ;
t t0
t t0
t t0
Тогда вектор r0 0 i 0 j f 0 k - предел функции r (t). lim r (t ) r0 .
t t0
Очевидно, что
lim r (t ) r0 lim
t t 0
t t 0
(t ) 0 2 (t ) 0 2 f (t ) f 0 2
0 , тогда
lim r (t ) r0 .
t t0
Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента,
рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.
dr
dt
r (t )
r (t )
r (t t )
r (t t ) (t t )i (t t ) j f (t t )k ;
r r (t t ) r (t ) ;
r ( (t t ) (t ))i ( (t t ) (t )) j ( f (t t ) f (t )) k
r (t t ) (t ) (t t ) (t ) f (t t ) f (t )
i
j
k
t
t
t
t
или, если существуют производные (t), (t), f(t), то
r
lim
(t )i (t ) j f (t )k r
t 0 t
Это выражение – вектор производная вектора r .
dr dx dy dz
i
j k
dt dt
dt
dt
dr
dt
(t )2 (t )2 f (t )2
Если имеется уравнение кривой:
x = (t); y = (t);
z = f(t);
то в произвольной точке кривой А(xА, yА, zА) с радиус- вектором
36
r xi yj zk (t )i (t ) j f (t )k
x xA y yA z z A
можно провести прямую с уравнением
m
n
p
dr
Т.к. производная
- вектор, направленный по касательной к кривой, то
dt
x xA y yA z z A
.
dx A
dy A
dz A
dt
dt
dt
Свойства производной векторной функции скалярного аргумента.
1)
2)
3)
4)
dr1 dr2 dr3
d
(r1 r2 r3 )
dt
dt
dt
dt
d (r )
dr
, где = (t) – скалярная функция
dt
dt
d (r1 r2 ) dr1 dr2
r2 r1
dt
dt
dt
d (r1 r2 ) dr1 dr2
r2 r1
dt
dt
dt
Уравнение нормальной плоскости к кривой будет иметь вид:
dx A
dy
dz
(x xA ) A ( y y A ) A (z z A ) 0
dt
dt
dt
Пример. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии,
заданной уравнением r i cos t j sin t 3tk в точке t = /2.
Уравнения, описывающие кривую, по осям координат имеют вид:
x(t) = cost;
y(t) = sint;
z(t) = 3t ;
Находим значения функций и их производных в заданной точке:
x(t) = -sint;
x(/2) = -1;
x(/2) = 0;
y(t) = cost;
y(/2) = 0;
y(/2) = 1;
x
y 1
1
0
-
это уравнение касательной.
Нормальная плоскость имеет уравнение:
37
z
3
2
3
z (t ) 3
z(/2)= 3
z(/2)= 3 /2
1 ( x 0) 0 3 ( z
x 3z
3
)0
2
3
0
2
Параметрическое задание функции.
Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений
вида:
x (t )
,
y (t )
производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).
Находим производные:
dx
dt (t )
dy (t )
dt
dy (t )
Теперь можно найти производную
. Далее находятся значения параметра t,
dx (t )
при которых хотя бы одна из производных (t) или (t) равна нулю или не
существует. Такие значения параметра t называются критическими.
Для каждого интервала (t1, t2), (t2, t3), … , (tk-1, tk) находим соответствующий
dy
интервал (x1, x2), (x2, x3), … , (xk-1, xk) и определяем знак производной
на каждом из
dx
полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания
функции.
Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и,
определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.
Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к
которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении
к которым и х и у стремится к бесконечности.
В остальном исследование производится аналогичным также, как и
исследование функции, заданной непосредственно.
На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется,
например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t
выполняет время.
Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы
параметрически заданных кривых.
Уравнения некоторых типов кривых в параметрической
форме.
38
Окружность.
Если центр окружности находится в
начале координат, то координаты любой ее
точки могут быть найдены по формулам:
x r cos t
y r sin t
0 t 3600
Если исключить параметр t, то получим каноническое уравнение окружности:
x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t) = r2
Эллипс.
x2 y2
Каноническое уравнение: 2 2 1 .
a
b
В
C
M(x, y)
t
О
N P
Для произвольной точки эллипса М(х, у) из геометрических соображений
x
y
a из ОВР и
b из OCN, где а- большая полуось
можно записать:
cos t
sin t
эллипса, а b- меньшая полуось эллипса, х и у – координаты точки М.
Тогда получаем параметрические уравнения эллипса:
x a cos t
y b sin t
где 0 t 2
Угол t называется эксцентрическим углом.
Циклоида.
у
39
С
М
О Р
К
В
а
2а
х
Определение. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая
точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.
Пусть окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси х. Тогда из
геометрических соображений можно записать: OB = МВ = at;
PB = MK = asint;
MCB = t; Тогда y = MP = KB = CB – CK = a – acost = a(1 – cost).
x = at – asint = a(t – sint).
x a(t sin t )
Итого:
при 0 t 2 - это параметрическое уравнение циклоиды.
y a(1 cos t )
Если исключить параметр, то получаем:
a y
x 2a a arccos
2ay y 2 ,
a x 2a
a
a y
x a arccos
2ay y 2 ,
0 x a
a
Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в
использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через
другую.
Астроида.
Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиуса a/4,
вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса a.
a/4
a
Параметрические уравнения, задающие изображенную выше кривую,
40
x a cos 3 t
,
y a sin 3 t
0 t 2,
Преобразуя, получим: x2/3 + y2/3 = a2/3(cos2t + sin2t) = a2/3
Производная функции, заданной параметрически.
x (t )
Пусть
,
t0 t T
y (t )
Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = (t) имеет
обратную функцию t = Ф(х).
Тогда функция у = (t) может быть рассмотрена как сложная функция y = [Ф(х)].
dy dy dt d (t ) dФ( x)
dx dt dx
dt
dx
dФ( x)
1
d(t )
dx
dt
d(t )
dy
(t )
Окончательно получаем:
dt
dx d(t ) (t )
dt
Таким образом, можно находить производную
непосредственной зависимости у от х.
т.к. Ф(х) – обратная функция, то
Пример. Найти производную функции
функции,
не
находя
x2 y2
1
a2 b2
Способ 1: Выразим одну переменную через другую y
b
a 2 x 2 , тогда
a
dy
b(2 x)
bx
dx
2a a 2 x 2
a a2 x2
x a cos t
Способ 2: Применим параметрическое задание данной кривой:
.
y b sin t
dy
b cos t
b
dx a sin t atgt
cos 2 t
x2 = a2cos2t;
1
a2 a2 x2
2
2
1
tg
t
tg
t
1
cos 2 t
x2
x2
x2
a2
tgt
Кривизна плоской кривой.
41
dy
bx
a2 x2
;
dx
x
a a2 x2
В
А
А
В
Определение: Угол поворота касательной к кривой при переходе от точки А к
точке В называется углом смежности.
Соответственно, более изогнута та кривая, у которой при одинаковой длине
больше угол смежности.
Определение: Средней кривизной Кср дуги
AB называется отношение
соответствующего угла смежности к длине дуги AB .
K ср
AB
Отметим, что для одной кривой средняя кривизна ее различных частей может
быть различной, т.е. данная величина характеризует не кривую целиком, а некоторый
ее участок.
Определение: Кривизной дуги в точке КА называется предел средней
кривизны при стремлении длины дуги AB 0.
K A lim K ср lim
A B
AB 0
AB
Легко видеть, что если обозначить AB = S, то при условии, что угол функция, которая зависит от S и дифференцируема, то
d
KA
dS
Определение: Радиусом кривизны кривой называется величина R
Пусть кривая задана уравнением y = f(x).
42
1
.
KA
y
B
A +
x
;
S
d
d dx
Если = (x) и S = S(x), то
.
dS dS
dx
lim K cp
Kcp =
В то же время
S 0
dy
dy
tg; arctg
dx
dx
d
;
dS
d2y
d
dx 2
.
2
dx
dy
1
dx
2
Для дифференциала дуги:
dS
dy
1 , тогда
dx
dx
d 2 y / dx 2
d
d dx
d 2 y / dx 2
1 dy / dx
3/ 2
2
dS dS
dy 2
1 dy / dx
1
dx
dx
2
Т.к. K A
d2y
dx 2
d
.
2 3/ 2
dS
dy
1
dx
В других обозначениях: K A
Рассмотрим кривую, заданную уравнением: y = f(x).
A
C(a, b)
43
y
1 ( y )
2 3/ 2
.
Если построить в точке А кривой нормаль, направленную в сторону выпуклости,
то можно отложить отрезок АС = R, где R – радиус кривизны кривой в точке А. Тогда
точка С(a, b) называется центром кривизны кривой в точке А.
Круг радиуса R с центром в точке С называется кругом кривизны.
Очевидно, что в точке А кривизна кривой и кривизна окружности равны.
Можно показать, что координаты центра кривизны могут быть найдены по
формулам:
y (1 y 2 )
1 y2
a x
;
b y
;
y
y
Определение: Совокупность всех центров кривизны кривой линии образуют
новую линию, которая называется эволютой по отношению к данной кривой. По
отношению к эволюте исходная кривая называется эвольвентой.
Приведенные выше уравнения, определяющие координаты центров кривизны
кривой определяют уравнение эволюты.
Свойства эволюты.
Теорема 1: Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.
Теорема 2: Модуль разности радиусов кривизны в любых точках кривой равен
модулю длины соответствующей эволюты.
С3
R2 R1 C1C2
С2
R3 R2 C2 C3
С1
R1
M1
M’1
R2
M2
M’2
R3
M3
M’3
Надо отметить, что какой – либо эволюте соответствует бесконечное число эвольвент.
Указанные выше свойства можно проиллюстрировать следующим образом: если на
эволюту натянута нить, то эвольвента получается как траекторная линия конца нити
44
при ее сматывании или разматывании при условии, что нить находится в натянутом
состоянии.
Пример: Найти уравнение эволюты кривой, заданной уравнениями:
x a(cos t t sin t )
y a(sin t t cos t )
x a( sin t sin t t cos t ) at cos t
y a(cos t cos t t sin t ) at sin t
y
tgt;
1 ( y ) 2 sec 2 t ,
x
d (tgt ) d (tgt ) dt
1 sec 3 t
y
sec 2 t
dx
dt
dx
x
at
2
at sec t
tgt a cos t
p a (cos t t sin t )
sec 3 t
Уравнения эволюты:
2
q a (sin t t cos t ) at sec t a sin t
sec 3 t
p a cos t
Окончательно:
- это уравнения окружности с центром в начале координат
q a sin t
радиуса а. Исходная кривая получается своего рода разверткой окружности.
Ниже приведены графики исходной кривой и ее эволюты.
y
15
10
5
- 10
-5
5
-5
- 10
- 15
45
10
Кривизна пространственной кривой.
z
B
A(x, y, z)
r
r
r r
0
y
x
Для произвольной точки А, находящейся на пространственной кривой,
координаты могут быть определены как функции некоторой длины дуги S.
Приведенное выше
пространстве.
x = (S);
y = (S);
z = f(S);
r r ( S ) ( S )i ( S ) j f ( S )k ;
уравнение называют векторным уравнением
линии
в
Определение: Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус –
вектор r (S ) при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.
AB
r
dr
r
lim
, тогда
- вектор, направленный по касательной к кривой в точке
dS S 0 S
S
AB
А(x, y, z).
AB
dr
Но т.к. lim 1 , то a
- единичный вектор, направленный по
A B
dS
AB
касательной.
dx dy dz
i
j
k.
Если принять r xi yj zk , то a
dS
dS
dS
2
Причем
2
2
dx dy dz
1.
dS dS dS
46
d 2r
d dr da
Рассмотрим вторую производную
;
dS 2 dS dS dS
da
Определение: Прямая, имеющая направление вектора
называется главной
dS
нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается n .
da
K n , где К – кривизна кривой.
dS
d 2r n
;
dS 2 R
Кривизна пространственной кривой может быть найдена по формуле:
r r 2
K
3
r 2
Возможна и другая запись формулы для кривизны пространственной кривой (она
получается из приведенной выше формулы):
2
2
2
2
d 2r
d 2x d 2 y d 2z
d 2r
K 2
2 2 2
dS 2
dS
dS dS dS
1
d 2r
Определение: Вектор
называется вектором кривизны. Величина
2
K
dS
называется радиусом кривизны.
О формулах Френе.
Формулами Френе называются соотношения:
da n
db n
dn
a b
;
;
;
dS R
dS T
dS
R T
n b a;
Последняя формула получена из двух первых.
В этих формулах:
n - единичный вектор главной нормали к кривой,
b - единичный вектор бинормали,
1
R – радиус кривизны кривой R ,
K
Т – радиус кручения кривой.
Определение: Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль к
кривой в точке А называется соприкасающейся плоскостью.
Определение: Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся
плоскости, называется бинормалью. Ее единичный вектор- b .
47
db
1
;
dS T
Величина
db 1
n;
dS T
1
называется кручением кривой.
T
Ниже
рассмотрим
несколько
примеров
исследования
дифференциального исчисления различных типов функций.
методами
Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
y 3 1 x 3 и построить ее график.
1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-; ).
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;
с осью Ох: y = 0; x = 1;
4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;
3
f ( x)
1 x3
1 x3
1
3
k lim
lim
lim
lim 3 3 1 1;
3
x
x
x
x
x
x
x
x
(1 x 3 x 3 )
b lim ( f ( x) kx) lim (3 1 x 3 x) lim
0;
2
x
x
x 3
3
3
2
3
1 x x 1 x x
Итого: у = -х – наклонная асимптота.
5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.
1
y (1 x 3 ) 2 / 3 3x 2 . Видно, что у 0 при любом х 0, следовательно, функция
3
убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая
производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на
возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для
нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.
y
2x
3
(1 x 3 ) 5
y = 0 при х =0 и y = при х = 1.
Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y(1-h) < 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0;
y(h) < 0 для любого h > 0.
6. Построим график функции.
48
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
x3 4
и построить ее график.
x2
Пример: Исследовать функцию y
1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x = 3 4
с осью Оу: x = 0; y – не существует.
lim
y
, следовательно, прямая х = 0 является
4. Точка х = 0 является точкой разрыва
x 0
вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.
f ( x)
x3 4
4
k lim
lim
lim 1 3 1
3
x
x
x
x
x
x
3
x 4
4
b lim ( f ( x) kx) lim 2 x lim 3 0.
x
x
x
x x
Наклонная асимптота у = х.
5. Находим точки экстремума функции.
8
y 1 3 ; y = 0 при х = 2, у = при х = 0.
x
y > 0 при х (-, 0) – функция возрастает,
y < 0 при х (0, 2) – функция убывает,
у > 0 при х (2, ) – функция возрастает.
Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.
Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую
производную.
24
y 4 > 0 при любом х 0, следовательно, функция, вогнутая на всей области
x
определения.
6. Построим график функции.
49
8
6
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
Пример: Исследовать функцию y x( x 1) 3 и построить ее график.
1. Областью определения данной функции является промежуток х (-, ).
2. В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.
3. Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;
с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.
4. Асимптоты кривой.
Вертикальных асимптот нет.
Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.
f ( x)
x( x 1) 3
k lim
lim
- наклонных асимптот не существует.
x
x
x
x
5. Находим точки экстремума.
y x( x 3 3 x 2 3 x 1 x 4 3 x 3 3 x 2 x 4 x 3 9 x 2 6 x 1
Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.
Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.
Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число
х = 1. Тогда:
4x3 – 9x2 + 6x – 1 x - 1
4x3 – 4x2
4x2 – 5x + 1
2
- 5x + 6x
- 5x2 + 5x
x-1
x-1
0
Тогда можно записать (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические
точки: x = 1 и x = ¼.
Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при
нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:
y x( x 1) 3 ( x 1) 3 3x( x 1) 2 ( x 1) 2 ( x 1 3x) ( x 1) 2 (4 x 1)
50
Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:
x = 1, x = ½.
Систематизируем полученную информацию в таблице:
f(x)
f(x)
f(x)
(- ; ¼)
+
убывает
вып.вниз
1/4
+
0
min
( ¼ ; ½)
+
+
возрастает
вып.вниз
1/2
0
+
пере
гиб
(½ ;1)
+
возрастает
вып.вверх
1
0
0
пере
гиб
(1 ; )
+
+
возрастает
вып. вниз
6. Построим график функции.
0. 4
0. 2
- 0. 5
0. 5
1
1. 5
- 0. 2
- 0. 4
Интегральное исчисление.
Первообразная функция.
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции
f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F(x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть
бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F1(x) = F2(x) + C.
Неопределенный интеграл.
51
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется
совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C.
Записывают: f ( x)dx F ( x) C ;
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке
является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства:
f ( x)dx ( F ( x) C ) f ( x);
2. d f ( x)dx f ( x)dx;
1.
3. dF ( x) F ( x) C ;
4. (u v w)dx udx vdx wdx; где u, v, w – некоторые функции от х.
6.
C f ( x)dx C f ( x)dx;
Пример: ( x 2 2 sin x 1)dx x 2 dx 2 sin xdx dx
1 3
x 2 cos x x C ;
3
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с
нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно
сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных
интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных,
тригонометрических, показательных и др.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных
функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма
объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации
функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются
следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с
помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных
функций.
1
2
3
4
5
6
Интеграл
tgxdx
ctgxdx
a dx
x
dx
x2
dx
x2 a2
dx
a
2
x a
2
Значение
-lncosx+C
9
lnsinx+ C
10
ax
C
ln a
1
x
arctg C
a
a
1
xa
ln
C
2a x a
11
ln x x 2 a 2 C
14
12
13
2
52
Интеграл
x
e dx
Значение
ex + C
cos xdx
sin xdx
sinx + C
1
cos
2
-cosx + C
dx
x
1
sin 2 x dx
dx
a x
2
2
tgx + C
-ctgx + C
arcsin
x
+C
a
7
x
8
dx
x
dx
x 1
C , 1
1
ln x C
1
15
cos x dx
16
sin x dx
x
ln tg C
2 4
x
ln tg C
2
1
Методы интегрирования.
Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о
возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения
дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным
инструментом проверки результатов интегрирования.
Рассмотрим применение этого метода на примере:
dx
Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы
x
1
дифференцирования ln x
можно сделать вывод, что искомый интеграл равен
x
ln x C , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны
ln( x) 1 (1) 1 . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:
x
x
dx
x ln x C
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения
производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения
производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы
недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать,
конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили
к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на
знания таблиц производных и первообразных.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только
для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с
ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются
способы, описанные ниже.
Способ подстановки (замены переменных).
Теорема: Если требуется найти интеграл
f ( x)dx ,
но сложно отыскать
первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:
f ( x)dx f ((t ))(t )dt
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:
d f ( x)dx d f [(t )](t )dt
53
По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:
f(x)dx = f[(t)] (t)dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема
доказана.
Пример. Найти неопределенный интеграл
sin x cos xdx .
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
2 3/ 2
2 3/ 2
1/ 2
t dt t dt 3 t C 3 sin x C.
Пример.
x( x
2
1) 3 / 2 dx.
dt
; Получаем:
2x
t 5/ 2
( x 2 1) 5 / 2
C
C
C;
5
5
Замена t x 2 1; dt 2 xdx; dx
t
3/ 2
dt 1 3 / 2
1 2
t dt t 5 / 2
2 2
2 5
Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для
различных типов функций.
Интегрирование по частям.
Способ основан на известной формуле производной произведения:
(uv) = uv + vu
где u и v – некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем:
d (uv) udv vdu , а в соответствии с приведенными
выше свойствами неопределенного интеграла:
uv udv vdu
или
udv uv vdu ;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить
интегралы многих элементарных функций.
Пример.
u x 2 ; dv sin xdx;
2
2
x
sin
xdx
x cos x cos x 2 xdx
du 2 xdx; v cos x
u x; dv cos xdx;
2
2
x cos x 2 x sin x sin xdx x cos x 2 x sin x 2 cos x C.
du dx; v sin x
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям
позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
u e 2 x ; du 2e 2 x dx;
2x
2x
Пример. e 2 x cos xdx
e sin x sin x 2e dx
dv cos xdx; v sin x
54
u e 2 x ; du 2e 2 x dx;
2x
2x
2x
2x
e sin x 2 e cos x cos x 2e dx e sin x
dv sin xdx; v cos x;
2e 2 x cos x 4 cos xe2 x dx
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не
удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем
не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
5 e 2 x cos xdx e 2 x (sin x 2 cos x)
e2x
(sin x 2 cos x) C.
5
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.
2x
e cos xdx
Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов
функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов
приведением их к табличным.
Пример.
1
1 21 1
t 21
(2 x 1) 21
(2 x 1) dx 2 x 1 t; dt 2dx; t 2 dt 21 t 2 C 42 C 42 C
20
20
Пример.
2 x2 2 x2
4 x
x
arcsin
C.
2
4
2 x2 2 x2
dx
Пример.
cos x
dx sin
3
sin x
2 sin 1 / 2 x C
3/ 2
2 x
2
2 x
2
dx
dx
2 x
2
dx
2 x
x cos xdx sin x t; dt cos xdx
2
sin x
2
t
ln x x 2 2
3/ 2
dt 2t 1 / 2 C
C.
Пример.
u x 2 ; dv e 5 x dx;
1 5x
x 2e5x 2
1 5x 2
2 5x
5x
x
e
dx
e
x
e
2
xdx
xe5 x dx
e 5
5
5
5
;
du 2 xdx; v
5
u x; dv e 5 x dx;
1 5 x x 2 e 5 x 2 xe5 x
2
x 2 e 5 x 2 xe5 x
e dx
e 5 x dx
1 5x
5
5 5
5
5
25
25
du dx; v e ;
5
x 2 e 5 x 2 xe5 x 2e 5 x e 5 x 2 2 x 2
.
x
5
25
125
5
5 25
55
Пример.
dx
x 2 2x 8
dt
32 t 2
dx
arcsin
x 2 2x 1 9
dx d ( x 1)
d ( x 1)
9 ( x 1) 2
x 1 t
t
x 1
C arcsin
C.
3
3
Пример.
1
u ln x; dv 3 dx;
ln x
ln x
1 1
ln x 1 dx
ln x
x
2 2 dx 2 3 2
x 3 dx 1
2 x
2x
2x x
2x
2x
du dx; v 1 ;
2
x
2 x
1 1
ln x
1
x 2 C 2 2 C.
2 2
2x
4x
Пример.
u ln x; dv xdx;
2
x2 1
x 2 ln x 1
x 2 ln x x 2
x
2
x
ln
xdx
ln
x
dx
xdx
C
1
x
2 x
2
2
2
2
4
du
dx
;
v
;
x
2
x2
(2 ln x 1) C.
4
e
cos 2 x
e cos
Пример.
2
2
2
sin 2 xdx t e cos x ; dt e cos x 2 cos x sin x sin 2 x e cos x dx; dt t C
2
x
C.
Пример.
dx
( x 1)
x t;
x
dt
1
1
2tdt
dt
2
2 2
2arctgt C 2arctg x C.
dx 2 x 2t
(t 1)t
t 1
Пример.
x
2
dx
dx
1
dx
1
x 3
arctg
C.
2
2
16
6 x 25
( x 3) 16 16 x 3
4
1
4
56
Интегрирование элементарных дробей.
Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:
I.
1
;
ax b
III.
1
;
IV.
(ax b) m
m, n – натуральные числа (m 2, n 2) и b2 – 4ac <0.
II.
Mx N
;
ax 2 bx c
Mx N
(ax bx c ) n
2
Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто
приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.
I.
II.
dx
1 dt 1
1
ln t C ln ax b C.
t
a
a
ax b a
dx
(ax b)
m
1 dt
1
1
C
C;
m
m 1
a t
a(m 1)t
a(m 1)( ax b) m 1
Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.
Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:
A
Ap
(2 x p) B
Ax B
A
2x p
Ap
dx
2
2
dx 2
dx B
2
2
x 2 px q dx
2 x px q
2 x px q
x px q
A
Ap
dx
A
2 B Ap
ln x 2 px q B
ln x 2 px q
2
2
2
2
p
p 2
4q p 2
x q
2
4
2x p
arctg
C
4q p 2
Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным
интегралам.
Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.
Пример.
57
u 6 x 5; du 6dx;
7x 2
84 x 24
84 x 24
3x 2 5 x 4 dx 36 x 2 60 x 48 dx (6 x 5) 2 23 dx x u 5 ;
6
1 14u 70 24
7
udu
23
du
7
23
u
du 2
2
ln( u 2 23)
arctg
C
2
6
3 u 23 3 u 23 6
u 23
3 23
23
7
23
6x 5
ln 36 x 2 60 x 48
arctg
C.
6
3
23
Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по
определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать
указанным выше способом.
Пример.
x
2
u x 3; du dx;
5x 3
5x 3
5u 15 3
udu
dx
dx
du 5 2
2
2
6 x 40
( x 3) 49
u 49
u 49
x u 3;
18
du
5
18 u 7
5
9
x4
ln u 2 49 ln
C ln x 2 6 x 40 ln
C.
14 u 7
2
7 x 10
u 49 2
2
Пример.
3x 4
7 x 6x
13
2
du
16 u 2
dx
u x 3; du dx;
3u 9 4
udu
dx
du 3
2
x u 3;
16 ( x 3)
16 u
16 u 2
3x 4
2
3 16 u 2 13 arcsin
u
x3
C 3 7 x 2 6 x 13 arcsin
C.
4
4
Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.
Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.
dx
Тогда интеграл вида
можно путем выделения в знаменателе полного
2
(ax bx c) n
du
квадрата представить в виде 2
. Сделаем следующее преобразование:
(u s ) n
du
1 s u2 u2
1
du
1
u 2 du
du
.
(u 2 s) n s (u 2 s) n
s (u 2 s) n 1 s (u 2 s) n
Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.
udu
dv1 (u 2 s ) n ; u1 u; du1 du;
Обозначим:
udu
1
v
;
1 (u 2 s ) n
2(n 1)(u 2 s ) n 1
u 2 du
u
1
du
(u 2 s) n (2n 2)(u 2 s) n1 2n 2 (u 2 s) n1 ;
58
Для исходного интеграла получаем:
du
1
du
u
1
du
(u 2 s) n s (u 2 s) n1 s(2n 2)(u 2 s) n1 s(2n 2) (u 2 s) n1
(u
2
du
u
2n 3
du
.
n
2
n 1
2
s (2n 2) (u s ) n 1
s)
s (2n 2)(u s )
Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то
du
получится табличный интеграл 2
.
u s
Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.
u 2ax b; du 2adx;
Mx N
Mx N
n
(ax 2 bx c) n dx (4a) (2ax b) 2 (4ac b 2 ) n dx x u b ; s 4ac b 2 ;
2a
M (u b)
N
n
( 4a )
( 4a ) n M
udu
2aN Mb
du
2
a
du
2
2
n
n
2
2a
2a 2a (u s )
2a
(u s )
(u s) n
В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s
dt
приводится к табличному n , а ко второму интегралу применяется рассмотренная
t
выше рекуррентная формула.
Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида
IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а
универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию
этого метода на ЭВМ.
Пример:
(x
2
u x 2; du dx;
3x 5
3x 5
3u 6 5
dx
dx
du
2
2
2
2
4 x 7)
(( x 2) 3)
(u 3) 2
x u 2;
t u 2 3; 3 dt
udu
du
u
1
du
11
2 11
2
2
2
2
2
2
(u 3)
(u 3)
3 2(u 3) 3 2 u 3
dt 2udu; 2 t
3
11u
11
u
3
11( x 2)
11
x2
arctg
C
arctg
C.
2
2
2
2t 6(u 3) 6 3
2( x 4 x 7) 6( x 4 x 7) 6 3
3
3
3
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование рациональных дробей.
Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить
ее на элементарные дроби.
59
Q( x)
- правильная рациональная дробь, знаменатель P(x)
P( x)
которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей
(отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть
представлен в таком виде: P(x) = (x - a)…(x - b)(x2 + px + q)…(x2 + rx + s) ), то эта
дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:
Теорема: Если R( x)
B
A
A
A2
B1
B2
M x N1
Q( x)
1
...
...
...
21
2
2
P( x) x a ( x a)
( x b) ( x b)
( x a)
( x b)
x px q
R x S
M x N
M x N2
R1 x S1
R2 x S 2
2 2
...
...
...
( x px q) 2
( x 2 px q)
x 2 rx s ( x 2 rx s) 2
( x 2 rx s )
где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.
При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной
дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так
называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что
для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно,
чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.
Пример.
9 x 30 x 2 28 x 88
( x 2 6 x 8)( x 2 4) dx
3
Т.к. ( x 2 6 x 8)( x 2 4) ( x 2)( x 4)( x 2 4) , то
9 x 3 30 x 2 28 x 88
A
B
Cx D
2
2
( x 2)( x 4)( x 4) x 2 x 4 x 4
Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:
A( x 4)( x 2 4) B( x 2)( x 2 4) (Cx D)( x 2 6 x 8) 9 x 3 30 x 2 28x 88
( A B C ) x 3 (4 A 2 B 6C D) x 2 (4 A 4 B 8C 6 D) x (16 A 8B 8D)
9 x 3 30 x 2 28 x 88.
A B C 9
4 A 2 B 6C D 30
4 A 4 B 8C 6 D 28
16 A 8B 8D 88
C 9 A B
D 30 4 A 2 B 54 6 A 6 B
2 A 2 B 4C 3D 14
2 A B D 11
C 9 A B
D 24 2 A 4 B
2 A 2 B 36 4 A 4 B 72 6 A 12 B 14
2 A B 24 2 A 4 B 11
60
C 9 A B
D 24 2 A 4 B
4 A 10 B 50
4 A 5 B 35
C 9 A B
D 24 2 A 4 B
4 A 10 B 50
50 10 B 5 B 35
C 9 A B
D 24 2 A 4 B
4 A 10 B 50
B 3
A 5
B 3
C 1
D 2
Итого:
5
3
x2
x
2
x 2 dx x 4 dx x 2 4 dx 5 ln x 2 3 ln x 4 x 2 4 dx x 2 4 dx
1
x
5 ln x 2 3 ln x 4 ln( x 2 4) arctg C.
2
2
Пример.
6 x 5 8 x 4 25 x 3 20 x 2 76 x 7
dx
3x 3 4 x 2 17 x 6
Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую
часть:
6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7
3x3 – 4x2 – 17x + 6
5
4
3
2
6x – 8x – 34x + 12x
2x2 + 3
3
2
9x + 8x – 76x - 7
9x3 – 12x2 – 51x +18
20x2 – 25x – 25
2
20 x 2 25 x 25
4 x 2 5x 5
2 3
2
2 x 3 3x 3 4 x 2 17 x 6 dx 2 x dx 3dx 5 3x 3 4 x 2 17 x 6dx 3 x 3x
4 x 2 5x 5
5 3
dx
3x 4 x 2 17 x 6
Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3
знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:
3x3 – 4x2 – 17x + 6
x-3
3
2
3x – 9x
3x2 + 5x - 2
2
5x – 17x
5x2 – 15x
- 2x + 6
-2x + 6
0
Таким образом 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тогда:
4 x 2 5x 5
A
B
C
( x 3)( x 2)(3x 1) x 3 x 2 3x 1
A( x 2)(3x 1) B( x 3)(3x 1) C ( x 3)( x 2) 4 x 2 5x 5
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов
раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых
случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод
произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше
61
выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных
коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в
качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби
равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:
40 A 16
A 2 / 5
35 B 21
B 3 / 5
C 1
C 1
Окончательно получаем:
2
dx
dx
dx
6 x 5 8 x 4 25 x 3 20 x 2 76 x 7
2
5
dx = x 3 3 x 3
3
2
3
x2
x3
3x 1
3x 4 x 17 x 6
2 3
5
x 3x 3 ln x 2 2 ln x 3 ln 3x 1 C.
3
3
Пример.
3x 4 14 x 2 7 x 15
A
Bx C
Dx E
( x 3)( x 2 2) 2 dx x 3 dx ( x 2 2) 2 dx x 2 2 dx
Найдем неопределенные коэффициенты:
A( x 2 2) 2 ( Bx C )( x 3) ( Dx E )( x 3)( x 2 2) 3x 4 14 x 2 7 x 15
Ax 4 4 Ax 2 4 A Bx 2 3Bx Cx 3C Dx 4 2Dx 2 3Dx 3 6Dx Ex 3 2 Ex 3Ex 2 6 E
( D A) x 4 (3D E ) x 3 ( A B 2 D 3E 4 A) x 2 (3B C 6D 2 E ) x (2 A 3C 6 E 4 A)
D A 3
3D E 0
B 2 D 3E 4 A 14
3B C 6 D 2 E 7
3C 6 E 4 A 15
D 3 A
E 9 3 A
B 11A 35
3B C 7
3C 22 A 69
D 3 A
E 9 3 A
B 6 2 A 27 9 A 4 A 14
3B C 18 6 A 18 6 A 7
3C 54 18 A 4 A 15
D 3 A
E 9 3 A
11A 35 B
C 7 3B
21 9 B 70 2 B 69
A 3
B 2
C 1
D 0
E 0
Тогда значение заданного интеграла:
dx
2x 1
dx
x
dx
1
3
2
dx 3
2 2
dx 2
3 ln x 3 2
2
2
2
x3
x3
( x 2)
( x 2)
( x 2)
x 2
x
1
x
arctg
C.
2
4( x 2) 4 2
2
62
Интегрирование некоторых тригонометрических
функций.
Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много.
Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому
рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть
проинтегрированы всегда.
Интеграл вида
R(sin x, cos x)dx .
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и
cosx.
x
. Эта подстановка
2
позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.
x
x
2tg
1 tg 2
2
2 2t ,
2 1 t ;
sin x
cos
x
x 1 t2
x 1 t2
1 tg 2
1 tg 2
2
2
2dt
dx
;
Тогда x 2arctgt;
1 t2
2t 1 t 2 2
Таким образом: R(sin x, cos x)dx R
,
dt r (t )dt.
2
2
2
1
t
1
t
1
t
Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки t tg
Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической
подстановкой.
Пример.
2dt
dt
dt
1 t2
2
2 2
2
2
2
2t
1 t
8t 3 3t 5 5t
2t 8t 8
4
3
5
1 t2
1 t2
dt
dt
1
1
2
C
C.
2
x
t2
t 4t 4
(t 2)
tg 2
2
Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью
всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и
вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при
преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция,
интегрирование которой займет много времени и сил.
Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной
этот метод является единственно результативным.
dx
4 sin x 3 cos x 5
Пример.
63
dx
9 8 cos x sin x
2dt
8(1 t )
2t
(1 t 2 ) 9
2
1 t
1 t2
x
tg 1
1
t 1
1
arctg
C arctg 2
C.
2
4
2
4
2
Интеграл вида
2
dt
dt
2
t 2t 17
(t 1) 2 16
2
R(sin x, cos x)dx
если
функция R является нечетной относительно cosx.
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью
универсальной
тригонометрической
подстановки,
рациональнее
применить
подстановку t = sinx.
R(sin x, cos x)
R(sin x, cos x)dx cos x cos xdx
R (sin x, cos x)
Функция
может содержать cosx только в четных степенях, а
cos x
следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно
sinx.
R(sin x, cos x)dx r (sin x) cos xdx r (t )dt.
Пример.
sin x t
cos 7 xdx
(1 t 2 ) 3
1 3t 2 3t 4 t 6
dt
dt
dt
cos
xdx
dt
dt 4 3 2
4
4
sin 4 x
t
t
t
t
cos 2 x 1 sin 2 x
1 3
1
1
3
sin 3 x
3 dt t 2 dt 3 3t t 3
3
sin
x
C.
t
3
3
3t
3 sin 3 x sin x
Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность
функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть
любой, как целой, так и дробной.
Интеграл вида
R(sin x, cos x)dx
если
функция R является нечетной относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.
Тогда R(sin x, cos x)dx r (cos x) sin xdx r (t )dt.
Пример.
64
(t 2) 2 4t 5
cos x t
sin 3 x
1 t2
t 2 4t 4 4t 5
dx
dt
dt
dt
2 cos x
2t
t2
t2
dt sin xdx
2
4t
5
tdt
dt
t
t
t 2
dt tdt 2dt 4
5
2t 5 ln t 2 4
dt
t 2 t 2
t2
t2 2
t2
A
t
t 2 t 2 B
dt
t2
A Bt 2 t t 2
4 dt 2t 5 ln t 2 8 ln t 2 4t
2t 5 ln t 2 8
t2
2
B 1, A 2 2
t
2
1
t 2 t 2
2
t
cos 2 x
2t 3 ln t 2 C
2 cos x 3 ln(cos x 2) C.
2
2
Интеграл вида
R(sin x, cos x)dx
функция R четная относительно sinx и cosx.
Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка
t = tgx.
Тогда R(sin x, cos x)dx r (t )dt
Пример.
1
tgx t ;
2
dx
cos
x
sin 2 x 6 sin x cos x 16 cos 2 x tg 2 x 6tgx 16 dx 1 dx d (tgx) dt
cos 2 x
dt
dt
1 tgx 3 5
1 tgx 2
ln
C ln
C.
2
10 tgx 8
t 6t 16
(t 3) 25 10 tgx 3 5
2
Интеграл произведения синусов и косинусов
различных аргументов.
В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
1 sin( m n) x sin( m n) x
mn
m n
1
1 cos( m n) x cos( m n) x
sin mx cos nxdx 2 sin( m n) x sin( m n) xdx 2 m n m n
1
1 sin( m n) sin( m n)
sin mx sin nxdx 2 cos(m n) x cos(m n) xdx 2 m n m n
1
cos mx cos nxdx 2 cos(m n) x cos(m n) xdx 2
Пример.
65
1
1
1
1
sin 7 x sin 2 xdx 2 cos 5xdx 2 cos 9 xdx 10 sin 5 x 18 sin 9 x C.
Пример.
1
1
sin 10 x cos 7 x cos 4 xdx sin 10 x[cos 7 x cos 4 x]dx 2 sin 10 x cos11xdx 2 sin 10 x cos 3xdx
1
1
1
1
1
1
1
sin 21xdx sin xdx sin 13xdx sin 7 xdx cos 21x cos x cos 13x
4
4
4
4
84
4
52
1
cos 7 x C.
28
Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать
общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.
Пример.
sin
2
dx
4dx
2
dctg 2 x
2ctg 2 x C
2
2
x cos x
sin 2 x dx
sin 2 x
Пример.
2
1
1
1 1
2
2
sin xdx 2 2 cos 2 x dx 4 (1 cos 2 x) dx 4 (1 2 cos 2 x cos 2 x)dx
1
1
1
x 1
1 1
x sin 2 x
dx cos 2 xdx cos 2 2 xdx sin 2 x (1 cos 4 x)dx
4
2
4
4 4
4 2
4
4
1
x sin 2 x x sin 4 x 1 3x
sin 4 x
dx cos 4 xdx
sin 2 x
C.
8
4
4
8
32
4 2
8
4
Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.
Пример.
1
p cos u; dq e u du;
u ln x; du dx;
u
e u cos u
x e cos udu
cos(ln x)dx u
u
dp sin udu; q e ;
x e ; dx e u du;
p sin u; dq e u du;
u
u
u
e sin udu
e cos u e sin u e cos udu;
dp cos udu; q e u ;
u
Итого
e
u
cos udu e u (cos u sin u ) e u cos udu
66
eu
(cos u sin u ) C
2
1
x
x cos(ln x) x dx 2 (cos(ln x) sin(ln x)) C
x
cos(ln x)dx 2 cos 4 ln x C;
u
e cos udu
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный
элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции
следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в
рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.
Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов
иррациональных функций.
Интеграл вида
ax b
n
R
x
,
cx d dx где n- натуральное число.
ax b
t функция рационализируется.
cx d
tn b
ax b
tn b
n
dt ;
t ;
x
;
dx
n
cx d
a ct n
a ct
t n b t n b
ax
b
dx R
Тогда R x, n
a ct n , t a ct n dt r (t )dt.
cx
d
С помощью подстановки
n
Пример.
2dx
4
1 2 x t; dt
4
1 2x 1 2x
4 4 1 2x
dx
3
dx
2t 3 dt
t 2 dt
;
2
t2 t
t 1
2t 3
t
t
1
2
2 t
dt t 2 2 1
dt 2 tdt 2
dt t 2t 2 ln t 1 C
t
1
t
1
t
1
1 2 x 24 1 2 x 2 ln 4 1 2 x 1 C.
Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в
качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему
общему кратному степеней корней, входящих в выражение.
Проиллюстрируем это на примере.
67
Пример.
12 x 1 t ; x 1 t 12 ;
(t 4 t 3 )12t 11dt
t3 t2
dx
12
( x 1) 1 6 x 1
t 2 1 dt
t 12 (1 t 2 )
dx 12t 11dt ;
t3
t2
t
1
tdt
12 2
dt 2
dt 12 t 2
12 dt
dt 1 2
dt 12 tdt 12 2
t
1
t
1
t
1
t
1
t
1
3
x 1 4 x 1
dt
6t 2 12t 6 ln( t 2 1) 12arctgt C 66 x 1 1212 x 1 6 ln( 6 x 1 1)
2
1 t
12arctg12 x 1 C.
12
Интегрирование биноминальных дифференциалов.
Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение
xm(a + bxn)pdx
где m, n, и p – рациональные числа.
Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от
биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции
только в следующих трех случаях:
1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки
t x , где - общий знаменатель m и n.
2) Если
m 1
- целое число, то интеграл рационализируется подстановкой
n
t s a bx n , где s – знаменатель числа р.
m 1
a bx n
p - целое число, то используется подстановка t s
, где s –
n
xn
знаменатель числа р.
3) Если
Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций,
рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.
На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.
Интегралы вида
Rx,
ax 2 bx c dx .
Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В
зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно
применять тот или иной способ.
Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может
быть приведен к виду:
u 2 m2.
68
Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:
1)
2)
3)
R(u,
R(u,
R(u,
m 2 u 2 )du;
m 2 u 2 )du;
u 2 m 2 )du;
1 способ. Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида
R(u,
m 2 u 2 )du подстановкой u m sin t или
u m cos t сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
Пример:
x a sin t ;
a2
2
2
2
2
2
2
2
a
x
dx
a
a
sin
t
a
cos
tdt
a
cos
t
dt
(1 cos 2t )dt
2
dx a cos tdt
a 2t a 2
a 2t a 2
a2
x x
sin 2t C
sin t cos t C
arcsin
a 2 x 2 C.
2
4
2
2
2
a 2
Теорема:
Интеграл
вида
R(u,
m 2 u 2 )du
подстановкой
u mtgt
или u mctgt сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
Пример:
x
4
a
x atgt; dx
dt ;
2
dx
a cos tdt
cos 3 tdt
1 (1 sin 2 t )d sin t
cos t
2
4
4
4
a 4 sin 4 t a 4
cos
ta
tg
ta
sin
t
a2 x2 a2 x2 a ;
cos t
1
1
a2
C
sin
t
1
3a 4 sin 3 t a 4 sin t
a2 x2
Теорема: Интеграл вида
u
R(u,
(a 2 x 2 ) 3 / 2
a2 x2
C.
3a 4 x 3
a4x
a 2 x 2
x
u 2 m 2 )du
подстановкой
u
m
sin t
или
m
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
cos t
69
Пример:
2
2 sin t
dt ;
dx
2 sin t cos tdt
1
x cos t ; dx
cos 2 t
ctg 4 tdt
2
5
5
x( x 2 4) 5 / 2 2
cos t 2 2 tg t 32
x 4 2tgt;
1
1
1
1
1 1
1
ctg 2 t 2 1dt ctg 2 td (ctgt ) ctg 2 tdt ctg 3 t 2 1dt
32
32
32
96
32 sin t
sin t
1
1
t
2
1
1
ctg 3t ctgt
C ctgt
2
3
/
2
2
2
96
32
32
12
(
x
4
)
x
4
16
x
4
1
2
arccos C.
32
x
2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)
1) Если а>0, то интеграл вида
R( x,
ax 2 bx c )dx рационализируется подстановкой
ax 2 bx c t x a .
R( x,
2) Если a<0 и c>0, то интеграл вида
ax 2 bx c )dx рационализируется
ax 2 bx c tx c .
подстановкой
3) Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители
a(x – x1)(x – x2), то интеграл вида
R( x,
ax 2 bx c )dx рационализируется
ax 2 bx c t ( x x1 ) .
подстановкой
Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,
т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким
вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.
3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов:
P( x)dx
I .
;
II . P( x) ax 2 bx c dx;
2
ax bx c
где P(x) – многочлен, n – натуральное число.
III .
dx
( x )
n
ax 2 bx c
;
Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.
Далее делается следующее преобразование:
P( x)dx
ax bx c
2
Q( x) ax 2 bx c
70
dx
ax bx c
2
;
в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени
многочлена P(x), а - некоторая постоянная величина.
Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень
которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного
выражения, затем умножают на
ax 2 bx c и, сравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях х, определяют и коэффициенты многочлена Q(x).
Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше
единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования
рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является
производной подкоренного выражения.
Пример.
3x 3 7 x 2 1
x 2x 5
2
dx ( Ax 2 Bx C ) x 2 2 x 5
dx
x 2x 5
2
.
Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на ax 2 bx c и
сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.
3x 3 7 x 2 1
Ax 2 Bx C
(2 Ax B) x 2 2 x 5
( x 1)
2
2
2
x 2x 5
x 2x 5
x 2x 5
3
2
2
(2 Ax B)( x 2 x 5) ( Ax Bx C )( x 1) = 3x 7 x 2 1
2 Ax 3 4 Ax 2 10 Ax Bx 2 2 Bx 5B Ax 3 Bx 2 Cx Ax 2 Bx C = 3 x 3 7 x 2 1
3 Ax 3 (5 A 2B) x 2 (10 A 3B C ) x 5B C 3x 3 7 x 2 1
A 1
A 1
5 A 2 B 7
B 1
10 A 3B C 0
C 13
5B C 1
7
Итого
3x 3 7 x 2 1
x 2 2x 5
dx ( x 2 x 13) x 2 2 x 5 7
dx
( x 1) 2 4
=
= ( x 2 x 13) x 2 2 x 5 7 ln( x 1 x 2 2 x 5) C.
Пример.
(4 x
2
6 x) x 3dx
2
4 x 4 6 x 3 12 x 2 18 x
(4 x 2 6 x)( x 2 3)
x 3
2
dx ( Ax 3 Bx 2 Cx D) x 2 3
(3 Ax 2 2 Bx C ) x 2 3
( Ax 3 Bx 2 Cx D) x
dx
x2 3
x2 3
x2 3
x2 3
4 x 4 6 x 3 12 x 2 18x (3 Ax 2 2Bx C )( x 2 3) Ax 4 Bx 3 Cx 2 Dx
4 x 4 6 x 3 12 x 2 18 x 3 Ax 4 2 Bx 3 Cx 2 9 Ax 2 6 Bx 3C Ax 4 Bx 3 Cx 2 Dx
4 x 4 6 x 3 12 x 2 18x 4 Ax 4 3Bx 3 (2C 9 A) x 2 (6B D) x 3C
A 1; B 2; C 3 / 2; D 6; 9 / 2;
71
(4 x
2
3
9
6 x) x 2 3dx x 3 2 x 2 x 6 x 2 3 ln x x 2 3 C.
2
2
Пример.
x
3
1
x ;
dx
v 3 dv
v 2 dv
dv
v
( Av B) 1 v 2
1
x 2 1 dx dv
1 v2
1 v2
2
v
1
2
v
v2
v2
( Av B)v
A 1 v2
1 v2
1 v2
1 v2
v 2 A Av 2 Av 2 Bv
v 2 2 Av 2 Bv A
A 1 / 2; B 0; 1 / 2;
v 2 dv
1 v2
v 1 v2 1
1 x2 1
1
arcsin v
arcsin C
2
2
2
2 x
x
Второй способ решения того же самого примера.
sin t
1
tgt
4
x
;
dx
dt
;
dx
cos 2 t dt sin t cos t dt cos 2 tdt
cos
t
cos
t
1
x3 x2 1 2
cos 2 t sin t
x 1 tgt;
tgt
cos 3 t
1
1
1
1 x 2 1
1 cos 2t dt t sin 2t sin 2t 2 sin t cos t 2
2
2
4
x
x
1
1
x 2 1
arccos
C.
2
x
x 2
С
учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением
1
1
arcsin arccos , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы,
x 2
x
полученные различными методами, совпадают.
Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять
различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования
обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того
или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.
72
Пример.
x sin t ;
dx
cos tdt
dt
x
(1 x 2 ) 3 / 2 dx cos tdt; cos 3 t cos 2 t tgt C 1 x 2 C.
2
cos t 1 x
Несколько примеров интегралов, не выражающихся через
элементарные функции.
К таким интегралам относится интеграл вида
R ( x,
P ( x) )dx , где Р(х)-
многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.
Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется
ультраэллиптическим.
Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции,
то он называется псевдоэллиптическим.
Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:
1)
e
x2
dx - интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик
(1781-1840))
2) sin x 2 dx; cos x 2 dx - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский
3)
4)
5)
6)
ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)
dx
ln x - интегральный логарифм
ex
x dx - приводится к интегральному логарифму
sin x
x dx - интегральный синус
cos x
x dx - интегральный косинус
Определенный интеграл.
73
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
y
M
m
0
a
xi
b
x
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]
Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.
x0 < x1 < x2 < … < xn
Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn;
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение
функции.
[x0, x1] m1, M1; [x1, x2] m2, M2; … [xn-1, xn] mn, Mn.
Составим суммы:
S n = m1x1 + m2x2 + … +mnxn =
n
m x
i 1
S n = M1x1 + M2x2 + … + Mnxn =
i
i
n
M x
i 1
i
i
Сумма S называется нижней интегральной суммой, а сумма S – верхней
интегральной суммой.
Т.к. mi Mi, то S n S n, а m(b – a) S n S n M(b – a)
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .
x0 < 1 < x1, x1 < < x2, … , xn-1 < < xn.
Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется
интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
n
Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn =
f ( ) x
i 1
Тогда можно записать: mixi f(i)xi Mixi
Следовательно,
n
n
n
i 1
i 1
i 1
mi xi f ( i )xi M i xi
Sn Sn Sn
74
i
i
Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x)
ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.
Обозначим maxxi – наибольший отрезок разбиения, а minxi – наименьший.
Если maxxi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.
n
Если S n f ( i )xi , то
i 1
lim
max xi 0
n
f ( )x
i
i 1
i
S.
Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxxi 0 и
n
произвольном выборе точек i интегральная сумма S n f ( i )xi стремится к
i 1
пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
b
f ( x)dx.
Обозначение :
a
а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок
интегрирования.
Определение:
n
lim
max xi 0
Если
для
функции
f(x)
существует
предел
b
f ( )x f ( x)dx, то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].
i 1
i
i
a
Также верны утверждения:
lim
max xi 0
lim
max xi 0
b
n
m x f ( x)dx
i 1
i
i
a
n
b
i 1
a
M i xi f ( x)dx
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема
на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
1)
2)
b
b
a
a
Af ( x)dx A f ( x)dx;
b
b
b
a
a
a
( f1 ( x) f 2 ( x))dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx
a
3)
f ( x)dx 0
a
b
b
a
a
4) Если f(x) (x) на отрезке [a, b] a < b, то f ( x)dx ( x)dx
5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на
отрезке [a, b], то:
75
b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a
6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом
отрезке существует точка такая, что
b
f ( x)dx (b a) f ()
a
Доказательство: В соответствии со свойством 5:
b
1
m
f ( x)dx M
b a a
т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все
значения от m до М. Другими словами, существует такое число [a, b], что если
b
b
1
a b, тогда f ( x)dx (b a) f () . Теорема
f ( x)dx и = f(), а
b a a
a
доказана.
7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в
него интегралов.
b
8)
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
b
Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x) непрерывны на
отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует
точка , такая, что
b
a
b
f ( x)( x)dx f () ( x)dx
a
Вычисление определенного интеграла.
b
Пусть в интеграле
f ( x)dx
нижний предел а = const, а верхний предел b
a
изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение
интеграла.
x
Обозначим
f (t )dt
= Ф(х).
Найдем производную функции Ф(х) по
a
переменному верхнему пределу х.
x
d
f (t )dt f ( x)
dx a
76
Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего
предела.
Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на
этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.
Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в
x
соответствии с приведенной выше теоремой, функция
f (t )dt
- первообразная
a
функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных,
которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то
x
f (t )dt F ( x) C
a
при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:
a
f (t )dt F (a) C
a
0 F (a) C
C F (a )
x
Тогда
f (t )dt F ( x) F (a) .
a
b
А при х = b:
f (t )dt F (b) F (a)
a
Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
Теорема доказана.
b
Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .
a
Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению
определенных интегралов.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они
практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были
рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.
Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод
интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для
тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью
является только то, что при применении этих приемов надо распространять
преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы
77
интегрирования. Заменяя переменную
соответственно пределы интегрирования.
интегрирования,
не
забыть
изменить
Замена переменных.
b
Пусть задан интеграл
f ( x)dx , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].
a
Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t).
Тогда если
1) () = а, () = b
2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ]
3) f((t)) определена на отрезке [, ], то
b
f ( x)dx f [(t )](t )dt
a
Тогда
f [(t )](t )dt F[(t )]
F[()] F[()] F (b) F (a)
Пример.
1
0
/2
/2
x sin t ;
/2
1
2
2
1 x dx
1 sin t cos tdt cos tdt (1 cos 2t )dt
2 0
0; / 2 0
0
2
1 1
/2 1
t sin 2t sin .
2 2
4 4
4
0
При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что
вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть
непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение
формулы приводит к абсурду.
Пример.
0
0
dx x , с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,
0
dx
dx
dt
tgx t
0
2
2
2
2
2
0
0 sin x cos x
0 cos x(1 tg x)
0 1 t
Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло изза того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке
интегрирования разрыв (в точке х = /2). Поэтому в данном случае такая подстановка
неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно
следить за выполнением перечисленных выше условий.
dx
Интегрирование по частям.
78
Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также
непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования
по частям:
b
b
b
a
a
a
udv uv vdu.
Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования
по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен
выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.
Приближенное вычисление определенного интеграла.
Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от
которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения
интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы,
суть которых заключается в том, что подинтегральная функция заменяется “близкой” к
ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.
Формула прямоугольников.
Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , xm, то в
качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m,
значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.
b
a
b
f ( x)dx P( x)dx
a
Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей x
ba
. При этом:
n
y0 = f(x0), y1 = f(x1), …. , yn = f(xn).
Составим суммы: y0x + y1x + … + yn-1x
y1x + y2x + … + ynx
Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует
вписанной ломаной, вторая – описанной.
b
ba
Тогда f ( x)dx
( y0 y1 ... y n1 ) или
n
a
b
ba
( y1 y 2 ... y n ) - любая из этих формул может
n
a
применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется
общей формулой прямоугольников.
f ( x)dx
Формула трапеций.
79
Эта формула является более точной по
сравнению с формулой прямоугольников.
Подинтегральная функция в этом случае
заменяется на вписанную ломаную.
у
y1
у2
уn
a
x1 x2
b
x
Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей
вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала,
тем с большей точностью будет вычислен интеграл.
Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:
y0 y1
y yn
y1 y 2
x;
x; ... , n1
x
2
2
2
b
y0 y1
y n1 y n
y1 y 2
a f ( x)dx 2 x 2 x ... 2 x
После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:
b
b a y0 y n
a f ( x)dx n 2 y1 y2 ... yn1
Формула парабол
(формула Симпсона или квадратурная формула).
(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)
Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь
криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии,
параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).
Для каждой пары отрезков построим такую параболу.
у
0
х0 х1
х2 х3
х4
х
Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С
могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.
80
y 0 Ax02 Bx 0 C
y1 Ax12 Bx1 C
(1)
y 2 Ax Bx 2 C
2
2
Обозначим 2h x2 x0 .
x
2
x3
x2
x2
S ( Ax 2 Bx C )dx A B
Cx
2
3
x0
x0
h
Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то S (2 Ah 2 6C )
3
Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид:
y 0 Ah 2 Bh C
(2)
y1 C
y 2 Ah 2 Bh C
C учетом этого: y 0 4 y1 y 2 2 Ah 2 6C .
h
S ( y 0 4 y1 y 2 )
Отсюда уравнение (2) примет вид:
3
Тогда
x2
h
x f ( x)dx 3 ( y0 4 y1 y 2 )
0
x2
h
f ( x)dx 3 ( y
2
4 y3 y 4 )
x2
...............................................
Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:
b
ba
a f ( x)dx 6m y0 y2m 2( y2 y4 ... y2m2 ) 4( y1 y3 ... y2m1 )
Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.
Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла
8
x 3 16dx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10
2
частей.
8
2
По формуле Симпсона получим:
82
x 3 16dx
[ y (2) y (8) 2[ y (0) y (2) y (4) y (6)] 4[ y (1) y (1) y (3) y (5)
65
y (7)]].
m
x
f(x)
0
1
-2
-1
2.828 3.873
2
0
4
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
11.874
15.232
18.947
22.978
4.123 4.899 6.557 8.944
81
8
2
x 3 16dx
82
[2.828 22.978 2[4 4.899 8.944 15.232] 4[3.873 4.123 6.557
65
11.874 18.947]] 91.151
Точное значение этого интеграла – 91.173.
Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность
полученного результата вполне удовлетворительная.
8
2
Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.
b a y0 yn
8 2 2.828 22.978
x 3 16dx
y1 y 2 ... y n 1
3.873 4 4.123
n 2
10
2
4.899 6.557 8.944 11.874 15.232 18.947) 91.352
Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой
Симпсона.
Кроме
вышеперечисленных
способов,
можно
вычислить
значение
определенного интеграла с помощью разложения подинтегральной функции в
степенной ряд.
Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подинтегральную
функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.
Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл
0,5
1 cos x
0 x 2 dx
Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно
воспользоваться для разложения подинтегральной функции формулой Маклорена.
Разложение функции cosx имеет вид:
2n
2n
x2 x4 x6
n x
n x
cos x 1
... (1)
... (1)
2! 4! 6!
(2n)!
(2n)!
n 0
Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:
x2 x4 x6
x 2n
x 2n
1 cos x
... (1) n1
... (1) n1
2! 4! 6!
(2n)!
(2n)!
n 1
В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в
предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате
преобразования.
Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.
82
2 n2
2 n2
1 cos x 1 x 2 x 4
n 1 x
n 1 x
...
(
1
)
...
(
1
)
2! 4! 6!
(2n)!
(2n)!
x2
n 1
Теперь представим наш интеграл в виде:
1 cos x
0 x 2 dx
0,5
0, 5
n 1
(1)
0 n 1
x 2 n2
dx
(2n)!
В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании
ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов
ряда).
Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой
теоремы надо доказать, что ряд сходится и, более того, сходится равномерно на отрезке
интегрирования [0, 0,5]. Эти вопросы будут подробно рассмотрены позже (См.
Действия со степенными рядами.) Отметим лишь, что в нашем случае подобное
действие справедливо хотя бы по свойствам определенного интеграла (интеграл от
суммы равен сумме интегралов).
Итак:
0,5
0,5
2 n2
1 cos x
(1) n 1
(1) n 1 x 2 n 1 0,5
n 1 x
2n2
dx
(
1
)
dx
x
dx
0 x 2
0
(2n)!
2n 1 0
n 1
n 1 ( 2n)! 0
n 1 ( 2n)!
0,5
(1) n 1 0,5 2 n 1
n 1 ( 2n)! ( 2n 1)
Итого, получаем:
0,5
1 cos x
(1) n 1
1
1
1
dx
...
2 n 1
3
0 x 2
4 3 2 4! 5 2 5 6!
n 1 ( 2n)! ( 2n 1) 2
0,25 0,00174 0,0000086 ... 0,248
Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая
точность достигается уже при третьем члене разложения.
Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…
Несобственные интегралы.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда она
непрерывна на любом отрезке [a, b].
83
b
Определение: Если существует конечный предел lim
b
f ( x)dx , то этот предел
a
называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ).
b
Обозначение: lim
b
a
f ( x)dx f ( x)dx
a
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный
интеграл сходится.
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл
расходится.
Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:
b
b
f ( x)dx lim
a
f ( x)dx
a
c
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.
Пример.
b
b
cos xdx lim cos xdx lim sin x lim (sin b sin 0) lim sin b - не существует.
b
0
b
0
b
0
b
Несобственный интеграл расходится.
Пример.
1
1
dx
dx
1 1
1
lim
lim
1 1 - интеграл сходится
x 2 b b x 2 b x b blim
b
Теорема: Если для всех х (x a) выполняется условие 0 f ( x) ( x) и
a
a
интеграл ( x)dx сходится, то
a
a
f ( x)dx тоже сходится и ( x)dx
f ( x)dx .
Теорема: Если для всех х (x a) выполняется условие 0 ( x) f ( x) и
a
a
интеграл ( x)dx расходится, то
f ( x)dx
тоже расходится.
Теорема: Если
f ( x) dx сходится, то сходится и интеграл
a
f ( x)dx .
a
В этом случае интеграл
f ( x)dx
называется абсолютно сходящимся.
a
84
Интеграл от разрывной функции.
Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то
c
f ( x)dx
a
b
lim
bc 0
f ( x)dx
a
b
Если интеграл
c
f ( x)dx существует, то интеграл
a
- сходится, если интеграл
a
b
f ( x)dx
f ( x)dx
c
не существует, то
a
f ( x)dx
- расходится.
a
c
Если в точке х = а функция терпит разрыв, то
f ( x)dx
a
c
lim
b a 0
f ( x)dx .
b
Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то
с
b
c
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Таких точек внутри отрезка может быть несколько.
Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур.
у
+
0
a
+
-
b
x
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график
расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график
расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.
b
Для нахождения суммарной площади используется формула S
f ( x)dx .
a
85
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью
определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
6
5
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
-1
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:
2
x3 x2 2 8 4 1 1 5 2
2
S x dx xdx (ед )
21 3 2 3 2 6
3
1
1
2
Нахождение площади криволинейного сектора.
= f()
О
Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему
координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат,
имеет вид = f(), где - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с
произвольной точкой кривой, а - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.
Подробнее о полярной системе координат и ее связи с декартовой
прямоугольной системой координат см. Полярная система координат. “Курс высшей
математики. Часть 1.”
Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле
86
S
1
f 2 ()d
2
Вычисление длины дуги кривой.
y
y = f(x)
Si yi
xi
a
b
x
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как
n
S n S i .
i 1
Тогда длина дуги равна S
lim
n
max S i 0
S
i 1
Из геометрических соображений: S i
i
.
xi
2
yi
2
y
1 i
xi
2
xi
yi
f ( xi ) f ( xi 1 )
xi
xi
Тогда можно показать (см. Интегрируемая функция.), что
В то же время
b
2
dy
S i 1 dx
max xi 0
dx
i 1
a
n
S lim
b
Т.е. S 1 f ( x) dx
2
a
Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления
производной параметрически заданной функции (см. Производная фунции, заданной
параметрически.), получаем
S
(t )2 (t )2 dt ,
где х = (t) и у = (t).
Если задана пространственная кривая, и х = (t), у = (t) и z = Z(t), то
S
(t )2 (t )2 Z (t )2 dt
Если кривая задана в полярных координатах, то
87
S 2 2 d , = f().
Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.
1 способ. Выразим из уравнения переменную у.
x
Найдем производную y
2
r x2
r
y r 2 x2
r
1
x2
r
xr
S 1 2
dx
dx
r
arcsin
r
2
4
r 0
2
r x
r 2 x2
0
0
Тогда S = 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.
Тогда
2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то
df ()
получим: r2cos2 + r2sin2 = r2, т.е. функция = f() = r,
0 тогда
d
2
S
0
2
0 r d r d 2r
2
0
Вычисление объемов тел.
Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.
Q(xi-1)
Q(xi)
a
xi-1
xi
b
x
Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q,
известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными
сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо
промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на
нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi.
88
Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с
образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно
равны Mixi и mixi здесь xi = xi - xi-1.
Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры,
объемы которых равны соответственно
n
M x
i
i 1
и
i
n
m x
i
i 1
i
.
При стремлении к нулю шага разбиения , эти суммы имеют общий предел:
n
n
b
i 1
a
lim M i xi lim mi xi Q( x)dx
0
0
i 1
Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:
b
V Q( x)dx
a
Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема
необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.
Пример: Найти объем шара радиуса R.
y
R
-R
0
y
x
R
x
В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В
зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле
Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = R 2 x 2 .
Получаем объем шара:
R
x3 R
R3
R 3 4R 3
R 3
.
V ( R 2 x 2 )dx ( R 2 x ) R 3
3 R
3
3
3
R
R2 x2 .
Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью
основания S.
Q
x
S
H
x
При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в
сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур
равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.
89
Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно
коэффициенту подобия в квадрате, т.е.
Q x
S H
2
Отсюда получаем функцию площадей сечений: Q ( x)
H
Находим объем пирамиды: V
S 2
Sx 3
x
dx
0 H 2
3H 2
H
0
S 2
x .
H2
1
SH
3
Объем тел вращения.
Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция
f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию
с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело
вращения.
y = f(x)
x
Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса
R f (x) , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше
формуле:
b
V f 2 ( x)dx
a
Площадь поверхности тела вращения.
Мi
B
А
х
xi
90
Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной
оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных,
вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих
ломаных.
Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин
полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси
получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов,
площадь которых равна Pi. Эта площадь может быть найдена по формуле:
y yi
Pi 2 i 1
S i
2
Здесь Si – длина каждой хорды.
y
S i x y 1 i
xi
2
i
2
i
2
xi
Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к отношению
Получаем:
yi
f ( xi ) f ( xi 1 )
f ( i ),
xi
xi xi 1
y i
.
x i
xi 1 xi
Тогда S i 1 f 2 ( i )xi
yi 1 yi
1 f 2 ( i )xi
2
Площадь поверхности, описанной ломаной равна:
Pi 2
n
Pn f ( xi 1 ) f ( xi ) 1 f 2 ( i )xi
i 1
Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что
P
lim
max xi 0
n
f ( xi 1 ) f ( xi ) 1 f 2 ( i )xi
i 1
lim
max xi 0
n
2 f ( i ) 1 f 2 ( i )xi
i 1
b
Тогда P 2 f ( x) 1 f 2 ( x)dx - формула вычисления площади поверхности тела
a
вращения.
Функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным
описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут
справедливы для функций произвольного числа переменных.
Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из
некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или
несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух
переменных.
z = f(x, y)
91
Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция
называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.
Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар
(х, у), при которых функция z существует.
Определение: Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется
совокупность всех точек
(х, у), которые удовлетворяют условию
x x0 2 y y0 2
r.
Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении
точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа > 0 найдется такое число r >0,
что для любой точки М(х, у), для которых верно условие
MM 0 r
также верно и условие f ( x, y) A .
Записывают: lim f ( x, y ) A
x x0
y y0
Определение: Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения
функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0),
если
(1)
lim f ( x, y ) f ( x0 , y 0 )
x x0
y y0
причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.
Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется
точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0).
2) Не существует предел lim f ( x, y ) .
x x0
y y0
3) Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и
ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка
N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство
f(x0, y0, …) f(x, y, …)
а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство
f(x01, y01, …) f(x, y, …)
тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m –
наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.
Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по
крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой
ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее
значения функции в этой области, то для любой точки [m, M] существует точка
N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = .
92
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все
промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить
заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней
мере один раз обращается в ноль.
Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области
D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек
области верно неравенство f ( x, y,...) K .
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой
ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для
любого положительного числа существует такое число > 0, что для любых двух
точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем , выполнено
неравенство
f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 )
Приведенные выше свойства
аналогичны свойствам функций одной
переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных.
Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем
произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина
xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.
Можно записать
x z f ( x x, y) f ( x, y)
.
x
x
xz
называется частной производной функции z = f(x, y) по х.
x 0 x
z
f ( x, y )
; z x ;
; f x ( x, y ).
Обозначение:
x
x
Тогда lim
Аналогично определяется частная производная функции по у.
z
f ( x, y y ) f ( x, y )
lim
y
0
y
y
93
z
) является
x
тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению
поверхности плоскостью у = у0.
Геометрическим смыслом частной производной (допустим
Полное приращение и полный дифференциал.
Определение. Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y) – f(x, y)
называется полным приращением.
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
z f ( x x, y y ) f ( x, y ) f ( x, y y ) f ( x, y y ) f ( x x, y y ) f ( x, y y )
f ( x, y y ) f ( x, y )
Применим теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к выражениям, стоящим в
квадратных скобках.
f ( x, y )
y
f ( x , y y )
f ( x x, y y ) f ( x, y y ) x
x
x ( x, x x)
здесь y ( y, y y );
f ( x, y y) f ( x, y ) y
Тогда получаем
z x
f ( x , y y )
f ( x, y )
y
x
y
Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:
f ( x , y y ) f ( x, y )
lim
x 0
x
x
y 0
f ( x, y ) f ( x, y )
x 0
y
y
y 0
lim
f ( x, y )
f ( x, y)
x
y 1 x 2 y
x
y
называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где 1 и 2
– бесконечно малые функции при х 0 и у 0 соответственно.
Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется
главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).
dz f x ( x, y )dx f y ( x, y )dy
Определение.
z
Выражение
Для функции произвольного числа переменных:
f
f
f
df ( x, y, z,..., t )
dx dy ... dt
x
y
t
2
Пример. Найти полный дифференциал функции u x y z .
94
du
u
u
u
dx
dy
dz
x
y
z
2
2
2
u
u
u
y 2 zx y z 1 ;
x y z ln x 2 yz;
x y z ln x y 2 ;
x
y
z
du y 2 zx y
2
z 1
2
2
dx 2 x y z yz ln xdy y 2 x y z ln xdz
Пример. Найти полный дифференциал функции z
y
.
x y2
2
z
2 yx
2
x ( x y 2 ) 2
z y ( x 2 y 2 ) y (2 y ) x 2 y 2 2 y 2
x2 y2
2
y
(x 2 y 2 )2
(x2 y 2 )2
(x y 2 )2
2 xy
x2 y2
dz 2
dx 2
dy
(x y 2 )
(x y 2 )2
Геометрический смысл полного дифференциала.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
нормаль
N
касательная плоскость
95
N0
Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость,
которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности,
если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к
нулю расстояние NN0.
Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая,
проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой
поверхности.
В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную
плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция,
дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0))
существует и имеет уравнение:
z f ( x0 , y 0 ) f x ( x0 , y 0 )( x x0 ) f y ( x0 , y 0 )( y y 0 ) .
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
x x0
y y0
z z0
f x ( x0 y 0 ) f y ( x0 , y 0 )
1
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных
f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной
плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+х, у0+у).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух
переменных является пространственным аналогом геометрического смысла
дифференциала функции одной переменной.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z x 2 2 xy y 2 x 2 y
в точке М(1, 1, 1).
z
z
2 x 2 y 1;
2 x 2 y 2
x
y
z
z
1;
2;
x M
y M
Уравнение касательной плоскости:
z 1 ( x 1) 2( y 1);
Уравнение нормали:
x 2 y z 0;
x 1 y 1 z 1
;
1
2
1
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
96
Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное
приращение этой функции:
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
f ( x x, y y ) f ( x, y ) z
Если подставить в эту формулу выражение
f
f
z dz
x y
x
y
то получим приближенную формулу:
f ( x, y )
f ( x, y )
f ( x x, y y ) f ( x, y )
x
y
x
y
Пример.
Вычислить приближенно значение
1,041,99 ln 1,02 , исходя из
значения функции u x y ln z при x = 1, y = 2, z = 1.
Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01,
z = 1,02 – 1 = 0,02.
Найдем значение функции u(x, y, z) = 12 ln 1 1
Находим частные производные:
u
y x y 1
2 1
1
x 2 x y ln z 2 1
u
x y ln x
0
y 2 x y ln z
1
u
1
z
y
z 2 x ln z 2
Полный дифференциал функции u равен:
du 0,04
u
u
u
1
0,01
0,02
1 0,04 0 0,01 0,02 0,04 0,01 0,05
x
y
z
2
1,041,99 ln 1,02 u (1,2,1) du 1 0,05 1,05
Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
Частные производные высших порядков.
Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные
производные f x ( x, y) и f y ( x, y ) тоже будут определены в той же области или ее части.
Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Производные этих функций будут частными производными второго порядка.
2z
f xx ( x, y );
x 2
2z
f yy ( x, y );
y 2
2z
f xy ( x, y);
xy
2 z
f yx ( x, y);
yx
97
Продолжая дифференцировать
производные более высоких порядков.
полученные
Определение. Частные производные вида
равенства,
получим
частные
2z 2z
3 z
3 z
и т.д.
;
;
;
xy yx xyx xyy
называются смешанными производными.
f x, f y , f xy , f yx
Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные
определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение:
2 f
2 f
.
xy yx
Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка
дифференцирования.
Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.
dz f x ( x, y )dx f y ( x, y )
d 2 z d f x ( x, y )dx f y ( x, y )dy f x2 ( x, y )( dx) 2 2 f xy ( x, y )dxdy f y2 ( x, y )( dy ) 2
d 3 z f x3 ( x, y )( dx) 3 3 f x2y ( x, y )( dx) 2 dy 3 f xy2 ( x, y )dx(dy ) 2 f y3 ( x, y )( dy ) 3
…………………
n
d z dx dy f ( x, y )
y
x
Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная
степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения.
n
Экстремум функции нескольких переменных.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области,
в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
f ( x0 , y0 ) f ( x, y)
то точка М0 называется точкой максимума.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области,
в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
f ( x0 , y 0 ) f ( x, y)
то точка М0 называется точкой минимума.
Теорема. (Необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее
частные производные первого порядка равны нулю f x ( x0 , y 0 ) 0, f y ( x0 , y 0 ) 0 , либо
хотя бы одна из них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.
Теорема. (Достаточные условия экстремума).
98
Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет
непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим
выражение:
2
D( x, y) f x2 ( x, y) f y2 ( x, y) f xy ( x, y)
1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если
f x2 ( x0 , y 0 ) 0 - максимум, если f x2 ( x0 , y 0 ) 0 - минимум.
2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума
В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
Условный экстремум.
Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию
u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение
(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.
Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может
быть выражена через нее из уравнения связи.
Тогда u = f(x, y(x)).
du f f dy
dx x y dx
В точках экстремума:
du f f dy
=0
(1)
dx x y dx
Кроме того:
dy
(2)
0
x y dx
Умножим равенство (2) на число и сложим с равенством (1).
f f dy
dy
0
x
y
dx
x
y
dx
f
dy
f
0
x y
y dx
x
Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный
коэффициент так, чтобы выполнялась система трех уравнений:
f
x x 0
f
0
y
y
( x, y ) 0
Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного
экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении
критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.
99
Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа.
Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:
2x + 3y – 5 = 0
u xy (2 x 3 y 5)
u
u
y 2;
x 3;
x
y
y 2 0
x 3 0
2 x 3 y 5 0
5
5
5
;
x ;
y ;
12
4
6
5 5
Таким образом, функция имеет экстремум в точке ; .
4 6
Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции
называется также методом множителей Лагранжа.
Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения
относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего
числа переменных.
Производная по направлению.
Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + x, y + y, z + z).
Проведем через точки М и М1 вектор S . Углы наклона этого вектора к
направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно , , . Косинусы
этих углов называются направляющими косинусами вектора S .
Расстояние между точками М и М1 на векторе S обозначим S.
S x 2 y 2 z 2
Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:
z
M
S
M1
100
S
y
x
Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные
частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее
выражение:
u
u
u
u
x
y
z 1 x 2 y 3 z ,
x
y
z
где величины 1, 2, 3 – бесконечно малые при S 0 .
Из геометрических соображений очевидно:
x
cos ;
S
y
cos ;
S
z
cos ;
S
Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены
следующим образом:
u u
u
u
cos cos cos 1 cos 2 cos 2 cos ;
S x
y
z
u
u u
u
u
lim
cos cos cos
s S 0 S x
y
z
Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление
вектора S .
Из этого уравнения следует следующее определение:
u
называется производной функции u(x, y, z) по
S 0 S
Определение: Предел lim
направлению вектора S в точке с координатами ( x, y, z).
Поясним значение изложенных выше равенств на примере.
Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по
направлению вектора АВ . В (3, 0).
Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора АВ .
101
АВ =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 i 2 j .
Далее определяем модуль этого вектора:
AB = 8 2 2
Находим частные производные функции z в общем виде:
z
z
2x y 2 ;
2 yx;
x
y
z
z
Значения этих величин в точке А :
6;
4;
x
y
Для нахождения направляющих косинусов вектора АВ производим следующие
преобразования:
AB
2
2
i cos j cos
i
j
S=
2 2
2 2
AB
За величину S принимается произвольный вектор, направленный вдоль
заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.
Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора АВ :
2
2
cos =
;
cos = 2
2
z
2
2
6
4
2 - значение производной заданной
s
2
2
функции по направлению вектора АВ .
Окончательно получаем:
Градиент.
Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и
некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции
u в соответствующей точке
u u u
,
;
;
x
y
z
то этот вектор называется градиентом функции u.
gradu
u u u
i
j
k
x
dy
z
При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.
Связь градиента с производной по направлению.
Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов
102
gradu
Тогда производная
u u u
i
j
k.
x
dy
z
u
по направлению некоторого вектора S равняется проекции
s
вектора gradu на вектор S .
Доказательство: Рассмотрим единичный вектор S i cos j cos k cos и
некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов S и
gradu.
u
u
u
gradu S
cos cos cos
x
y
z
Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной
функции u по направлению s.
u
Т.е. gradu S
. Если угол между векторами gradu и S обозначить через ,
s
то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов
на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор S единичный, т.е. его модуль
равен единице, можно записать:
u
gradu cos
s
Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией
вектора gradu на вектор S .
Теорема доказана.
Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что
градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого
скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как
градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть
направление наиболее быстрого роста функции.
С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен
поверхности уровня функции.
Кратные интегралы.
Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако
суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию
кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных
интегралов.
Двойные интегралы.
Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой
f(x, y) = 0.
103
y
0
x
Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем
замкнутой областью . Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на
кривой, область будет называется незамкнутой область .
С геометрической точки зрения - площадь фигуры, ограниченной контуром.
Разобьем область на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от
друга по оси х на расстояние хi, а по оси у – на уi. Вообще говоря, такой порядок
разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки
произвольной формы и размера.
Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади
которых равны Si = xi yi .
В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х i, yi) и составим
интегральную сумму
i n
f (x , y ) S ;
i 1
i
i
i
где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области .
Если бесконечно увеличивать количество частичных областей i, тогда,
очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.
Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области
i n
интегральные суммы
f (x , y ) S
i
i 1
i
i
имеют конечный предел, то этот предел
называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области .
i n
lim f ( xi , yi ) S i f ( x, y)dxdy
n
i 1
С учетом того, что Si = xi yi получаем:
i n
i n i n
f ( x , y )S f ( x , y )y x
i 1
i
i
i
i 1 i 1
i
i
i
i
В приведенной выше записи имеются два знака , т.к. суммирование
производится по двум переменным х и у.
Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор
точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:
104
f ( x, y)dydx lim
x 0
y 0
f ( x, y)yx
Условия существования двойного интеграла.
Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , то двойной
интеграл f ( x, y)d существует.
Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области и непрерывна в
ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл
f ( x, y)d существует.
Свойства двойного интеграла.
1)
f ( x, y) f
1
2)
2
( x, y) f 3 ( x, y)dydx f1 ( x, y)dydx f 2 ( x, y)dydx f 3 ( x, y)dydx
kf ( x, y)dydx k f ( x, y)dydx
3) Если = 1 + 2, то
f ( x, y)dydx f ( x, y)dydx f ( x, y)dydx
1
2
4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению
значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области
интегрирования.
f ( x, y)dydx f ( x , y
0
0
)S
5) Если f(x, y) 0 в области , то
f ( x, y)dydx 0 .
6) Если f1(x, y) f2(x, y), то
f ( x, y)dydx f
1
105
2
( x, y)dydx .
7)
f ( x, y)dydx
f ( x, y) dydx .
Вычисление двойного интеграла.
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной
линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где и - непрерывные функции и
, тогда
( x)
b
( x)
f ( x, y )dxdy f ( x, y )dy dx dx f ( x, y )dy
a ( x )
a
( x )
b
y = (x)
y
y = (x)
a
b
Пример. Вычислить интеграл
( x y)dxdy ,
x
если область ограничена
линиями: y = 0, y = x2, x = 2.
y
4
0
2
106
x
2
x2
2
0
0
0
2
x4 x5 2
y 2 yx
x4
)
( x 3 )dx =
2 y 0 0
2
4 10 0
2
f ( x, y )dxdy dx ( x y )dy ( xy
= 4 3,2 0,8
Теорема.
Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области ,
ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ((y) (y)), то
d
( y)
c
( y)
f ( x, y )dxdy dy
( x
Пример. Вычислить интеграл
2
f ( x, y)dx
y 2 )dxdy , если область ограничена
линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
y
y=x
2
1
0
x
2
y
x3
4 3
4 4
2
( x y )dxdy 1 dy 0 ( x y )dx 1 3 y x 0 dy 1 3 y dy 12 y
2
2
2
x
2
2
Пример.
2
Вычислить
интеграл
(3x
2
2 xy y)dxdy ,
2
1
64 4
5
12 12
если
область
интегрирования ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.
2
y2
2
y2
0
0
0
0
2
3
2
(3x 2xy y)dxdy = dy (3x 2 xy y)dx ( x yx yx) dy
2
2
y 7 y 6 y 4 2 244
= ( y 6 y 5 y 3 )dy
6
4 0
21
7
0
Пример.
Вычислить
двойной
интеграл
y ln xdxdy ,
интегрирования ограничена линиями ху=1, у =
107
x , х = 2.
если
область
2
1. 75
1. 5
1. 25
1
0. 75
0. 5
0. 25
0. 5
1
1. 5
2
x
2
1
1/ x
1
y ln xdxdy dx y ln xdy
2
2
2. 5
2
y
x ln x ln x
ln x dx
2 dx
2
2
2x
1/ x
1
x
u ln x; dv xdx;
x
x2
x2
x2
2
ln
x
dx
ln
x
;
1. x ln xdx
1
x
2
2
4
du dx; v
2
x
2
2
2
2
2
x
x
1
3
2 ln 2 1 2 ln 2 .
x
ln
xdx
ln
x
1
2
4 1
4
4
ln x t ; x e t ;
u t ; du dt ;
ln x
txdt
tdt
e t tdt
te t
2. 2 dx
2
1
t
t
x
x
x
dv e dt ; v e ;
dt dx;
x
e t dt te t e t
ln x 1
;
x
x
2
ln x
ln 2 1
ln 2 1
ln x 1 2
dx
1
;
1 x 2
x 1
2
2
2
2
x
3.
1
3
y ln xdxdy 2 2 ln 2 4
ln 2 1 1 5 ln 2 5 5 ln 2 5
.
2
2 2 2
4
4
8
Замена переменных в двойном интеграле.
Расмотрим двойной интеграл вида
F ( x, y)dydx ,
пределах от a до b, а переменная у – от 1(x) до 2(х).
Положим х = f(u, v); y = (u, v)
Тогда dx =
f
f
du dv ; dy =
du
dv ;
u
v
u
v
108
где переменная х изменяется в
b
2 ( x )
a
1 ( x )
F ( x, y)dydx dx F ( x, y)dy
т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0.
f v
f
f
du
dv 0 , т.е. du
dv
u
v
f u
пожставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем:
f f
f v
v
u
u
v dv
dy
dv
dv
f
u f u
v
u
f
f f
Выражение
u
v u u v
u
Якобианом функций f(u, v) и (u, v).
f
v i называется определителем Якоби или
v
(Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик)
b
Тогда
F ( x, y)dydx dx
a
2 ( x )
F ( f ( x, y ), ( x, y ))
1 ( x )
i
f du
dv
Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx
f
du ( при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то
принимает вид dx
u
при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:
V2
2 ( v )
V1
1 ( v )
F ( x, y)dydx dv F ( f (u, v), (u, v)) i du
Двойной интеграл в полярных координатах.
Воспользуемся формулой замены переменных:
F ( x, y)dxdy F ( f (u, v), (u, v)) i dudv
x cos
При этом известно, что
y sin
В этом случае Якобиан имеет вид:
109
x
i
y
Тогда
x
cos sin
cos 2 sin
y
sin cos
F ( x, y)dxdy F ( cos , sin )dd f (, )dd
Здесь - новая область значений, x 2 y 2 ;
arctg
y
;
x
Тройной интеграл.
При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на
всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к
двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.
Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного
интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью
интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном
пространстве.
f ( x, y, z)dxdydz lim
x 0
y 0
z 0
r
f ( x, y, z )xyz
v
Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой
поверхностью (x, y, z) = 0.
x2 y 2 z 2
f ( x, y, z)dxdydz f ( x, y, z)dzdydx
r
x1 y1 z1
Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми
функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у
или постоянными величинами.
1 x 2 xy
Пример. Вычислить интеграл
x
2
yzdzdydx
0 0 0
1 x 2 xy
1 x2
2
2
1 x
1 x
1
y4
1
1
1
dydx x 2 yx 2 y 2 dydx x 4 y 3 dydx x 4
20 0
20 0
20 4
0
1
1
1
1 x 4 x8
1
1 1
1
dx x12 dx x13
.
20 4
80
8 13
104
0
z2
x
yzdzdydx
x
y
0 0 0
0 0 2
2
2
xy
110
dx
0
x2
Замена переменных в тройном интеграле.
Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей
операции для двойного интеграла.
Можно записать:
F ( x, y, z)dxdydz F ( f (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w)) i dudvdw
r
x
u
y
i
u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
w
z
w
Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью
перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или
сферической системе. См. Цилиндрическая и сферическая системы координат.
Рассмотрим эти преобразования подробнее.
Цилиндрическая система координат.
z
P
z
0
x
y
Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе
с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:
x cos
y sin
z z
y
;
z z;
x
Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах
вычисляем Якобиан:
x 2 y 2 ; arctg
111
x
y
i
z
Итого:
x
y
z
x
z cos sin 0
y
sin cos 0 cos 2 sin 2
z
0
0
1
z
z
F ( x, y, z)dxdydz F ( cos , sin , z)dddz
r
Сферическая система координат.
z
P
0
x
y
Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с
координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:
x sin cos
y sin sin
z cos
x2 y2
y
;
arctg
;
x
z
Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем
Якобиан:
x 2 y 2 z 2 ; arctg
112
x
y
i
z
x
y
z
x
sin cos cos cos sin sin
y
sin sin cos sin sin cos cos ( 2 sin cos cos 2
cos
sin
0
z
2 sin cos sin 2 ) sin ( sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 ) 2 cos 2 sin 2 sin 3
2 sin .
Окончательно получаем:
2
F ( x, y, z)dxdydz f (, , ) sin ddd
r
Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
1) Вычисление площадей в декартовых координатах.
y
y = (x)
S
y = f(x)
a
b
x
Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного
интеграла по формуле:
b ( x )
S
dydx
a f ( x)
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4;
x + y – 2 = 0.
Построим графики заданных функций:
113
6
4
2
-2
2
4
6
8
-2
-4
-6
Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область
y2 4
интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от x
до х = 2 – у, а
4
по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:
2 2 y
2
2
2
8 4y y2 4
y2 4
1
dy
dy y 2 4 y 12 dy
S = dxdy 2 y
4
4
4 6
6 y 2 4
6
6
4
2 1 8
1 y3 4y2
8
1
36 6 4 36
1
12 y 8 24
12 6 88 21
4 3
2
2
3
3
3
4
6 4 3
2) Вычисление площадей в полярных координатах.
S dd dydx
2 ( )
dd
1 f ( )
3) Вычисление объемов тел.
Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y),
а с боков – цилиндрической поверхностью.
Такое тело называется цилиндроид.
114
z
z = f(x, y)
x1
y1
x2
x
y2
y
V = lim
x 0
zyx zdydx
x2 y 2
zdydx
x1 y1
Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1;
x + y + z =3 и плоскостью ХОY.
Пределы интегрирования: по оси ОХ: y1 1 x 2 ; y 2 1 x 2 ;
по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;
1
V
1 x
(3 x y)dydx 3;
1 1 x 2
4) Вычисление площади кривой поверхности.
Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности
находится по формуле:
2
2
S
2
f f f
x y z
dydx
f
z
Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = (x, y), то площадь
этой поверхности вычисляется по формуле:
S
2
2
z z
1 dydx
x y
115
5)Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.
Пусть площадь плоской фигуры (область ) ограничена линией, уравнение
которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам:
- относительно оси Ох: I x y 2 dydx
- относительно оси Оу: I y x 2 dydx
- относительно начала координат: I 0 I x I y ( x 2 y 2 )dydx - этот момент инерции
называют еще полярным моментом инерции.
6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.
Координаты центра тяжести находятся по формулам:
wxdydx
wydydx
xC
;
yC
;
wdydx
wdydx
здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydx –масса элемента площади).
7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.
Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела
может быть найден по формуле:
V
x2 y 2 z 2
dzdydx
x1 y1 z1
при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х или
постоянные, х1 и х2 – постоянные.
8) Координаты центра тяжести тела.
xC
wxdv
r
wdv
;
yC
r
wydv
r
wdv
r
; zC
wzdv
r
wdv
;
r
9) Моменты инерции тела относительно осей координат.
I x ( y 2 z 2 )wdv; I y ( x 2 z 2 )wdv; I z ( x 2 y 2 )wdv;
r
r
r
10) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.
116
I xy z 2 wdv; I xz y 2 wdv; I yz x 2 wdv;
r
r
r
11) Момент инерции тела относительно начала координат.
I 0 ( x 2 y 2 z 2 ) wdv;
r
В приведенных выше формулах п.п. 8 – 11 r – область вычисления интеграла по
объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема
- в декартовых координатах: dv = dxdydz;
- в циллиндрических координатах: dv = dzdd;
- в сферических координатах: dv = 2sinddd.
12) Вычисление массы неоднородного тела.
M wdv;
r
Теперь плотность w – величина переменная.
Содержание КВМ Часть 1.
Содержание КВМ Часть 3.
Содержание КВМ Часть 4.
Содержание:
13
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Уравнение касательной и нормали к кривой.
Односторонние производные функции в точке.
Основные правила дифференцирования.
Производные основных функций.
Производная сложной функции.
Логарифмическое дифференцирование.
Производная показательно – степенной функции.
Производная обратной функции.
Дифференциал функции.
Геометрический смысл дифференциала.
Свойства дифференциала.
Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи.
Формула Тейлора.
Формула Лагранжа.
Формула Маклорена.
Представление функций по формуле Тейлора.
Бином Ньютона.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
117
Теоремы о среднем.
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.
Теорема Коши.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
Производная и дифференциалы высших порядков.
Правила нахождения производных.
14
Исследование функций.
Возрастание и убывание функций.
Точки экстремума.
Критические точки.
Достаточные условия экстремума.
Исследование функций с помощью производных высших порядков.
Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба.
Асимптоты.
Схема исследования функций.
Векторная функция скалярного аргумента.
Уравнение касательной к кривой.
Свойства производной векторной функции скалярного аргумента.
Уравнение нормальной плоскости.
Параметрическое задание функции.
Окружность.
Эллипс.
Циклоида.
Астроида.
Производная функции, заданной параметрически.
Кривизна плоской кривой.
Угол смежности.
Средняя кривизна.
Кривизна дуги в точке.
Радиус кривизны.
Центр и круг кривизны.
Эволюта и эвольвента.
Свойства эволюты.
Кривизна пространственной кривой.
Годограф.
Главная нормаль.
Вектор и радиус кривизны.
Формулы Френе.
Соприкасающаяся плоскость.
Бинормаль.
Кручение кривой.
15
Интегральное исчисление.
Первообразная функция.
Неопределенный интеграл.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
Непосредственное интегрирование.
Способ подстановки.
118
Интегрирование по частям.
Интегрирование элементарных дробей.
Рекуррентная формула.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование рациональных дробей.
Метод неопределенных коэффициентов.
Метод произвольных значений.
Интегрирование тригонометрических функций.
Универсальная тригонометрическая подстановка.
Интегрирование иррациональных функций.
Биноминальные дифференциалы.
Тригонометрическая подстановка.
Подстановки Эйлера.
Метод неопределенных коэффициентов.
Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
Эллиптические интегралы.
Интеграл Пуассона.
Интеграл Френеля.
Интегральный логарифм.
Интегральный синус и косинус.
16
Определенный интеграл.
Интегральная сумма.
Интегрируемая функция.
Свойства определенного интеграла.
Теорема о среднем.
Обобщенная теорема о среднем.
Вычисление определенного интеграла.
Теорема Ньютона – Лейбница.
Замена переменных в определенном интеграле.
Интегрирование по частям.
Приближенное вычисление определенного интеграла.
Формула прямоугольников.
Формула трапеций.
Формула парабол (Симпсона).
Несобственные интегралы.
Абсолютная сходимость интеграла.
Интеграл от разрывной функции.
Нахождение площадей плоских фигур.
Нахождение площади криволинейного сектора.
Вычисление длины дуги кривой.
Вычисление объемов тел по поперечным сечениям.
Вычисление объемов тел вращения.
Площадь поверхности тела вращения.
17
Функции нескольких переменных.
Предел.
Непрерывность.
Наибольшее и наименьшее значения.
Частное приращение.
Частная производная.
Геометрический смысл частных производных.
119
Полное приращение и полный дифференциал.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Экстремум функции нескольких переменных.
Необходимые условия экстремума.
Достаточные условия экстремума.
Условный экстремум.
Функция Лагранжа.
Производная по направлению.
Направляющие косинусы.
Градиент.
Связь градиента с производной по направлению.
18
Кратные интегралы.
Двойные интегралы.
Условия существования двойного интеграла.
Свойства двойного интеграла.
Вычисление двойного интеграла.
Замена переменных в двойном интеграле.
Якобиан.
Двойной интеграл в полярных координатах.
Тройной интеграл.
Замена переменных в тройном интеграле.
Цилиндрическая система координат.
Сферическая система координат.
Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
120
