  Ç íà

1-й уровень
1. Известно, что x 2  4 x  = 2x – 4. Выберите правильное утверждение.


А. Производная функции х2 – 4х ни при каких значениях х не равна нулю.
Б. Критической точкой для функции х2 – 4х является х = 2.
В. Есть такие значения х, при которых производная функции х2 – 4х не
существует.
Г. Производная функции х2 – 4х равна нулю при х = –2.
2. Известно, что производная некоторой функции f (x) имеет такие знаки,
как на рисунке
Ç
íà
ê
f
23x
Учитывая, что на тех промежутках, где производная положительна,
функция f (x) возрастает, выберите правильное утверждение.
А. Функция возрастает на промежутке (–; 2).
Б. Нет такого промежутка, где заданная функция возрастает.
В. Функция возрастает на промежутке (3; +).
Г. Функция возрастает на промежутке (2; 3).
3. На рисунке изображен график
некоторой
функции
y=f
(x).
Выберите правильное утверждение.
А. хо = – 2 — точка минимума.
Б. хо = –1 — точка максимума.
В. хо = 0 — точка минимума.
Г. хо = 2 — точка максимума.
y
–1
–2
x
0
2
2-й уровень
4. Задана функция f (x) = х3 – 48х. Отметьте, какие из следующих четырех
утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. f(x) = 3х2 + 48.
Б. Производная функции f (x) равна нулю только при одном значении х =
4.
В. Заданная функция имеет только одну критическую точку: х = 4.
Г. Есть такие значения х, при которых f(x) не существует.
5. Функцию f (x) = х 3 – 48х исследуют на возрастание и убывание.
Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а
какие — неправильные.
\
А. f(x) = 3х2 + 48.
Б. f(x) = 0 только при х = 4.
В. f (x) < 0 на каждом из промежутков (–; –4) и (4; +).
Г. Функция убывает на каждом из промежутков (–; –4) и (4; +).
6. Известно, что производная функции f (x) = х3 – 48х имеет такие знаки,
как на рисунке, и f(–4) = f(4) = 0
Ç
íà
ê
f
–
44x
Учитывая, что максимум или минимум функция может иметь только в
своих критических точках, отметьте, какие из следующих четырех
утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. В точке минимума производная заданной функции меняет знак с
“+” на “–” (при движении слева направо).
Б. Точка х = –4 является точкой минимума функции f (x).
В. В точке максимума производная заданной функции меняет знак с
“–” на “+” (при движении слева направо).
Г. Точка х = –4 является точкой максимума функции f (x).
3-й уровень
7. Задана функция f (x) = 2x  x 2 . Отметьте, какие из следующих
четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. Областью определения заданной функции является промежуток [0; 2].
1x
Б. f(x) =
.
2x  x 2
В. На области определения заданной функции (в выделенных на рисунке
интервалах) знаки производной будут такими, как на рисунке
0 1 2x
Г. Заданная функция убывает на промежутке (0; 1) и возрастает на
промежутке (1; 2).
8. Задана функция f (x) = 2х3 – 24х. Отметьте, какие из следующих четырех
утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. f(x) = 0 только при х = 2 и при x = –2.
Б. Заданная функция имеет две критические точки.
В. На области определения знаки производной и поведение заданной
функции будут такими, как на рисунке:
\
Çí àê f (x )
–2
Ï î âåäåí èå f (x )
ò
òàå max
ðàñ
âî ç
óáû
âàå
ò
2
min
x
ò
òàå
ðàñ
âî ç
Г. График заданной функции имеет такой вид*:
y
32
–2
0 2
x
–32
9
– х задана на отрезке [1; 4]. Отметьте, какие из
x
следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. Заданная функция f (х) непрерывна на отрезке [1; 4].
Б. На заданном отрезке функция имеет только одну критическую точку.
В. Заданная функция принимает свое наибольшее значение на отрезке [1;
4] в критической точке из этого отрезка.
Г. Наименьшее значение f (х) на отрезке [1; 4] – это f (1) = –10.
9. Функция f (х) = –
4-й уровень
10. Задано уравнение sin 3x – 4х + 1 = – 2.
Функцию, которая стоит в его левой части, обозначили через f (х):
f (х) = sin 3x – 4х + 1.
Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а
какие — неправильные.
А. Функция f (х) убывает на всей области определения заданного
уравнения.
Б. Функция f (х) может принимать значение –2 только в одной точке.
В. Заданное уравнение f (х) = –2 имеет единственный корень.

Г. Кроме корня х =
заданное уравнение имеет еще один корень.
2
* Масштаб по осям x и y разный.
\
11. Задана функция f (х) = 5 x 2 . Отметьте, какие из следующих четырех
утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. При х = 0 значение f(х) существует.
Б. х = 0 — точка минимума заданной функции.
В. График функции y =
x 2 имеет вид:
y
5
1
–1 01
x
Г. В точке минимума заданной функции можно провести
касательную к графику функции.
12. Задан прямоугольник с площадью 36 см2, ширину которого обозначили
через х. Из всех таких прямоугольников выбирают прямоугольник с
наименьшим периметром. Отметьте, какие из следующих четырех
утверждений правильные, а какие — неправильные.
36
А. Длина заданного прямоугольника равна 2 .
x
Б. Периметр заданного прямоугольника можно вычислить так:
72
P(х) = 2х +
.
x
В. Все значения х, при которых P(х) = 0, удовлетворяют условию.
Г. Периметр заданного прямоугольника будет наименьшим, если
х = 6 см.
\