2 Вычислить y

Министерство здравоохранения Республики Саха (Якутия)
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Якутский базовый медицинский колледж
Учебно-методический комплекс
По дисциплине «Математика»
Тема: «Производная. Дифференциал функции»
Для студентов всех специальностей первого года обучения
Преподаватель:
Подрясова Сардаана Федоровна
Якутск 2011
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ЗАНЯТИЯ
Тема №2. Производная.Дифференциал функции
Специальность:
Курс: 1 группа:
Вид занятия: лекция
Время: 2 часа
Место проведения занятия: аудитория
Образовательная цель: Научить находить производную и дифференциал
функции по формулам дифференцирования.
Студент должен знать: правила нахождения производных,
геометрический и механический смысл производной, достаточный
признак возрастания (убывания) функции, определение критических
точек, определение точек максимума и минимума, правило для
нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.
Студент должен уметь: применять производную при исследовании
функции, при решении задач по биологии, физике и технике, при
нахождении наибольшего и наименьшего значения функции.
Воспитательная цель: Формирование умений анализировать проблему и
планировать способы ее решения, развитие навыков самостоятельной
работы с дополнительной литературой и развитие наблюдательности,
формировать
чувства
ответственности,
уверенности
в
себе,
взаимовыручки,
самоконтроля,
собранности,
организованности.
Воспитывать требовательность к себе, внимание, четкость выполнения
заданий.
Методическая цель: Показать учащимся на примерах из жизни
механический и геометрический смысл производной. Учить использовать
производную при решении многих задач прикладного характера.
Внутрипредметная связь: Предел функции. Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл. Приложение определенного интеграла к
вычислению площади.
Оснащение занятия: Таблица с производных
Литература для студентов:
1. Омельченко В.П., Курбатова «Математика», 1-е издание,
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное
пособие, 5-е изд. – М.: Высшая школа, 2002.
3. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных
учебных заведений. – М.: Академия, 2003.
4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.:
Просвещение, 2007.
Литература для преподавателей:
5. Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: компьютерные
технологии в медицине» 2-е издание, 2010год
6. Зайцев В.М.,Лифляндский В.Г., Маринкин В.И. «Прикладная
медицинская статистика» СПб ООО «Издательство Фоллиант», 2003
7. Морозов Ю.В. «Основы высшей математики и статистики:
учебник»-М;Медицина, 1998.
8. Киселева Л.В. Пособие по математике для студентов медицинских
училищ и колледжей. – М.: ФГОУ «ВУНМЦ Росздрава», 2005.
Структура занятия:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Организационный момент – 5 мин.
Целевая установка занятия – 5 мин.
Актуализация базовых знаний – 15 мин.
Формирование новых знаний – 60 мин
Подведение итогов занятия 3 мин.
Задание на дом 2 мин.
Ориентировочная основа действий (ООД)
№
Этапы
занятия
Врем
я
Цели этапов
Ориентировочны
е действия
преподавателя
Проверка
готовности
студентов к
занятию, отметка
присутствующих,
запись в журнале
Ориентировоч
ные действия
студентов
1
Организац 5 мин
ионный
Создание
условий для
мотивации
студентов к
изучению
темы.
Рапорт
дежурного
2
Целевая 5 мин
установка
Активизация Ознакомление с
Записывают
мыслительной планом занятия.
тему и цели
деятельности Акцент на
урока
основные вопросы.
3
Актуализа 15
ция
мин
базовых
знаний
Повторение и Фронтальный
закрепление
опрос
базовых
знаний
Отвечают на
вопросы
преподавателя
4
Формиров 35
ание
мин
новых
знаний
Формировани
е углубление
и закрепление
знаний,
правил
Раскрытие темы,
обсуждение
основных вопросов
темы, объяснение
примеров решения
задач
Записывают
основные
определения,
правила,
формулы.
5
Закреплен 20
ие новых мин
знаний
Контроль
усвоения
полученных
знаний
Объяснение
примеров
Решают
примеры,
отвечают на
вопросы,
дополняют,
исправляют,
анализируют.
6
Подведен
ие итогов
занятия
5 мин. Релаксация
7
Задание
на дом
2 мин. УИРС
Объяснение
Запись
выполнения
домашнего
домашнего задания задания
ГБОУ Якутский базовый медицинский колледж
Тезисы лекций
Тема «Производная. Дифференциал функции»
Для всех специальностей
Студентов 1 года обучения
Преподаватель:
Подрясова С.Ф.
Производная. Дифференциал функции
«Дифференциальное исчисление» - один из важнейших разделов
современной математики, основы которой были заложены во второй
половине XVII века английским математиком – механиком Исааком
Ньютоном (1643-1727) и немецким ученым Готфридом Вильгельмом
Лейбницем (1646-1716).
В развитие этого раздела внесли вклад многие выдающиеся
математики мира. Среди них особое место занимает Леонард Эйлер (17071783). Швейцарец по происхождению, Эйлер более 20 лет прожил в
России. Здесь он опубликовал более 800 работ по различным разделам
математики, среди них около 200 работ – по дифференциальному
исчислению.
Неоценимый вклад в завершение такого раздела математики как
«Дифференциальное исчисление», внесли французский математик Коши,
немецкий математик Вейерштрасс и первая русская женщина-математик
Софья Ковалевская.
Тема: Производная функции
Производная
функции является основным понятием в разделе
«Дифференциальное исчисление»
Путь дана некоторая функция y=f(x). Если она в некотором
промежутке значений аргумента (a;b) непрерывна, то во всех точках
этого промежутка данная функция имеет производную, которая
определяется как предел отношения приращения функции к приращению
аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Определение: Производная функции = 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝐲
△𝐱→𝟎 𝚫𝐱
,
где △y- приращение функции, △x- приращение аргумента.
Для обозначения производной приняты символы:
𝐲 ′ , 𝐟 ′ (𝐱),
𝐝𝐲 𝛛𝐟(𝐱)
,
, 𝐲̇
𝐝𝐱 𝛛𝐱
Производная степенной функции
Степенными функциями называются функции вида y = a x n (1), где
a и n – некоторые числа.
(1) – Общий вид степенной функции.
Приведем примеры:
1. y=x5 , где а=1, n=5
2. y=7x2 , где а=7 , n=2
3. y=-2x , где а=-2 , n=1
4. y=-0,2√𝑥 , где а=-0,2, n=1/2
3
5. y=1,2√ 𝑥 2 , где а=-0,2, n= 3/2
1
6. y= , где a=1, n=-1
𝑥
7. y=−
8
3̇
𝑥
1
, где a= -8, n=-3
8. y= 2 , где a=1, n=-1/2
√𝑥
Производная y ' любой степенной функции вида ( 1 ) вычисляется по
формуле a ( x n ) ' = а n x n - 1 ( 2 )
Рассмотрим примеры:
y= 3x7- x2
1)
Тогда y'= 3(x7)'- (x2)'=3·7·x7-1- 2·x2-1=21x6-2x
2) y=2 𝑥 3
+ √𝑥 3
−
8
𝑥3
Используя дробные и отрицательные показатели степеней, приведем
данную функцию к общему виду (1):
y=2x3+ x3/2-8х-3
Вычислим производную по формуле (2)
y'= 2(x3)'+(x3/2)'-8(x-3)'=2·3·x3-1+3/2 x3/2-1-8·(-3)·x-3-1=6·x2+3/2 x1/2+24·x-4
Преобразуем ответ.
Ответ: 𝑦 = 6𝑥 2 +
3
2√𝑥
+
24
𝑥4
Задания:
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
y=−
1
x3
5
y = 5 √x 3
1
y=
x √x
6x
y=−
√x 3
2 Вычислить y'
1
у= 7x9-8x7+2x5+32x3+11
2
y = 8x 2 − √x 3 + 2x
3
y = −4x 3 − 6x +
4
y = x 4 -2x 2 − √x 3 −
1
x2
1
4x4
1
3
5
y = −9x 2 − 7x + √x − 3
√x
6
y = −4.4x 2 − 8x + 9 −
7
y = −x12 − 6x 2 − 7x −
8
y = 2x 3 − 6x − 0.5√x −
9
y = −0.1x 9 − 0.3x 3 − 4
5
x2
6
x2
4
x√x
4
√x9
10 y = x 4 − 6x − 2x√x −
11 y = x 5 − 5x 2 − 25x −
1
x4
5
x
3
12 y = 8x 3 − 6x − 7 − √x 2
Алгоритм:
Для
вычисления
производной
степенной
функции
необходимо:
1)
Привести функцию к общему виду (1), используя дробные и
отрицательные степени;
2)
Произвести операции по формуле (2).
3)
Преобразовать функцию, оформить ответ
Производная суммы, разности, произведения и частного функций
Формулы дифференцирования основных элементарных функций:
1.
(c)′ = 0, где с – любое действительное число
2.
(x n )′ = n ∗ x n−1
3.
(ax )′ = ax ∗ ln a , где a > 0 и a≠1
4.
(ex )′ = ex
5.
(ln x)′ =
6.
(log a x) =
1
x
1
x ln a
7.
(sin x)′ = cos x
8.
(cos x)′ = − sin x
1
cos 2 x
9.
(tg x)′ =
10.
(ctg x)′ = −
11.
12.
(arcsinx)′ =
1
sin2 x
1
√1 − x 2
(arccos x)′ = −
1
√1 − x 2
1
1 + x2
13.
(arctg x)′ =
14.
(arcctg x)′ = −
1
1 + x2
Правила дифференцирования:
(cu)′ = c u′
(1)
(u ± v)′ = u′ ± v′
(2)
(u v)′ = u′ v − u v′
(3)
u ′
u′ v − u v′
( ) =
v
v2
(4)
Рассмотрим примеры:
1) Найти производную y' функции
y = x 2 + cos x
Определим правило дифференцирования - (2), то есть u= x2 v= cosx.
Далее вычислим по формулам производных элементарных функций.
y ′ = (x 2 + cos x)′ = (x 2 )′ + (cos x)′ = 2x − sin x
Ответ: y ′ = 2x − sin x
2) Найти производную y' функции
y = x 2 cos x
Определим правило дифференцирования - (3), то есть u= x2 v= cosx.
Далее вычислим по формулам производных элементарных функций.
y ′ = (x 2 cos x)′ = (x 2 )′ cos x + x 2 (cos x)′ = 2x cos x − x 2 sin x
Ответ: y ′ = 2x cos x − x 2 sin x
3) Найти производную y' функции
x2
y=
cos x
Определим правило дифференцирования - (4), далее вычислим по
формулам производных элементарных функций.
(x 2 )′ cos x − x 2 (cos x)′
2x cos x + x 2 sin x
y =
=
cos 2 x
cos 2 x
′
2x cos x+x2 sin x
Ответ: y ′ =
cos2 x
Задания: Найти производную y' функции
1.
y = cos x − tg x + 4ex
2.
y = 6x − 8 sin x − 2x
3.
y = 5x 4 − 3 cos x
4.
y = √x − 3 tgx − 9
5.
y = 7x 3 + 10 √x 4 − 3 cos x
6.
y = 3ex sin x − 9
7.
y = 4x 3 sin x
8.
y = 3√x cos x
5
Отв.3𝑒 𝑥 (sin 𝑥 + cos 𝑥)
Отв. 4x 2 (3 sin x + x cos x)
9.
y = (x 2 + 1) arctgx
10.
y = 5x x 5
11.
y=
12.
y=
13.
y=
14.
y=
1−sin x
1+sin x
ex
x +1
4x−3
x2
2 cos x−1
sin x
cos 𝑥
Отв. 3√𝑥 (
2𝑥
− sin 𝑥)
Отв.2x ctgx
Отв.5x x 4 (x ln 5 + 5)
2 cos 𝑥
Отв.− (1+sin
𝑥)2
𝑥 𝑒𝑥
Отв.(𝑥+1)2
Отв.
2(3−2𝑥)
𝑥3
2(cos 𝑥−1)
Отв.
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
15.
y=
tgx
Отв.
x3
𝑥−sin 2𝑥
𝑥 4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
Алгоритм: Для вычисления производной функций необходимо:
1)
Определить правило дифференцирования – (1-4).
2)
Ввести обозначения u и v. Произвести операции по правилам
дифференцирования.
3)
Оформить ответ
4)
Производная сложной функции
Пусть 𝐲 = 𝐟(𝐮)и 𝐮 = 𝛗(𝐱), тогда 𝐲 = 𝐟(𝛗(𝐱))– сложная функция с
промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Производная сложной функции равна произведению ее производной
по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по
независимой переменной:
𝐲 ′ = 𝐟 ′ (𝐮) ∗ 𝐮′ (𝐱)
 Рассмотрим примеры:
Производные тригонометрических функций.
1) y = sin 3x
u=3x – промежуточный аргумент
y ′ = (sin u)′ = cos u ∗ u′ = cos 3x ∗ (3x)′ = cos 3x ∗ 3 = 3 cos 3x
2) y = sin x 3
𝑢 = x 3 – промежуточный аргумент
y ′ = (sin u)′ = cos u ∗ u′ = cos x 3 ∗ (x 3 )′ = cos x 3 ∗ 2x 2 = 3x 2 cos x 3 *
Проанализировав пример 1, определим общие закономерности:
(𝐬𝐢𝐧 𝐚𝐱)′ = 𝐚 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝐚𝐱
(𝐜𝐨𝐬 𝐚𝐱)′ = − 𝐚 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝐚𝐱
 Рассмотрим следующий тип сложных функций:
Производные степени различных функций.
𝐲 = 𝐮𝐧 , n- степень
𝐲 ′ = 𝐧 ∗ 𝐮𝐧−𝟏 ∗ 𝐮′
3) 𝑦 = sin3 𝑥
n=3
y ′ = 3 ∗ sin3−1 x ∗ (sin x)′ ∗ (x)′ = 3 sin2 x ∗ cos x
Более сложные сочетания:
4) 𝑦 = sin3 𝑥 3
n=3, u=x3 - промежуточный аргумент.
𝑦 ′ = 3 sin3−1 (𝑥 3 ) ∗ (sin 𝑥 3 )′ ∗ (𝑥 3 )′ = 3 sin2 𝑥 3 ∗ cos 𝑥 3 ∗ 3𝑥 2
= 9𝑥 2 cos 𝑥 3 ∗ sin2 𝑥 3
Задания:
1 Устный ответ:
(sin 2x)'
(sin 4x)'
(sin 12x)'
(sin 100x)'
(cos 2x)'
(cos 4x)'
(cos 12x)'
(cos 100x)'
(e2x)
(e4x)
(e12x)
(e100x)
2
Выведите
общую
формулу
нахождения
производной
показательной функций
(𝐞𝐚𝐱 )′ =
3 Найти производные y'
1.
y = sin(x − 5)
Отв. cos(𝑥 − 5)
2.
y = sin(x 2 − 2x)
Отв. 2(𝑥 − 1) cos(𝑥 2 − 2𝑥)
3.
y = cos(x 3 ) + sin(x 3 )
Отв. 3𝑥 2 (cos 𝑥 3 − sin 𝑥 3 )
4.
y = cos 2 (x 2 − 2x)
Отв.
−4(𝑥 − 1) cos(𝑥 2 − 2) sin(𝑥 2 −
2𝑥)
2
y = ln x 2
Отв.
6.
y = (x 2 − 2x)3
Отв. 6(𝑥 − 1)𝑥 2 (𝑥 − 2)2
7.
y = (arccos x)3
Отв.−
5.
8.
9.
y = x ∗ cos 3x
y=
2
(x 2 − 1)4
𝑥
3𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
√1−𝑥 2
Отв.cos 3𝑥 − 𝑥 sin 3𝑥
16𝑥
Отв.− (𝑥 2
−1)5
10.
y = 5x x 5
Отв.5𝑥 𝑥 4 (𝑥 ln 5 + 5)
11.
y = ln2 cos x
Отв.−
12.
y = ln(x 2 + x)
Отв.
13.
y = ln(arctg 3x)
Отв.(1+9𝑥 2)
2 tg x ln cos 𝑥
cos 𝑥
(2𝑥+1)
𝑥 2 (𝑥+1)2
3
arctg 3𝑥
14.
15.
y=
cos 3x
x3
Отв.−
y = 𝑥 3 sin cos 𝑥
Алгоритм:
Для
вычисления
3 (xcos 3𝑥+sin 3𝑥)
𝑥4
Отв.𝑥 2 (3 sin cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 cos cos 𝑥)
производной
сложной
функций
необходимо:
1)
Определить тип сложной функции.
2)
Выделить
промежуточный
аргумент
(промежуточные
аргументы).
3)
Произвести операции по правилам дифференцирования.
4)
Оформить ответ
ГБОУ Якутский базовый медицинский колледж
Практические работы
Тема «Производная. Дифференциал функции»
Для всех специальностей
Студентов 1 года обучения
Преподаватель:
Подрясова С.Ф.
Самостоятельная работа.
«Производная степенной функции»
Вариант 1
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y= 2
x
y = √x 3
2 Вычислить y'
1 y = x 5 − 5x + 3
2 y = x 6 − √x + 6
3 y = −4x 2 − 8x +
4 y = x 3 − 3x −
1
x2
2√x 3
−
3
4x4
Вариант 2
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y= 5
x
y = √x 5
2 Вычислить y'
1 y = 12x 5 + 5x 6 + 3
2 y = x 8 − 2√x + 6x − 5
3 y = −3x 2 − 6x +
1
x6
4 y = −x 5 − 5x − 10√x −
5
x5
Вариант 3
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y= 6
x
5
y = √x 4
2 Вычислить y'
1 y = 10x 3 − 9x 2 − 5x + 3
4
2 y = x 3 − √x 3 + 6x − 9
3 y = −4x 2 − 8x +
4 y = x 3 − 3x −
1
x8
6√x 3
−
9
5x5
Вариант 4
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y= 7
x
9
y = √x 4
2 Вычислить y'
1 y = 9x 6 − 6x 5 − 5x 3 + 31
5
2 y = 0.1x 7 − √x 3 − 6
3 y = 2x 4 − 12x√x +
4 y = 7x 3 − 7x −
26
x4
1
2√x 3 − 3
3x
Вариант 5
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y= 9
x
7
y = √x 5
2 Вычислить y'
1 y = x12 − 4x 3 − 6x − 12
5
2 y = −3x 6 − √x 3 + 9x
3 y = −2x 2 − 8x +
1
x7
4 y = 2x 3 − 3x 2 − √x 5 −
6
x
Вариант 6
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y= 9
x
8
y = √x 3
2 Вычислить y'
1 y = −02. x 5 − 0.5x 4 − 2x 3 + 10x + 3
4
2 y = x 8 − √x 3 + 6x
3 y = −7x 2 − 8x +
4 y = x 6 − 3x 2 −
1
x9
√x 2
−
6
x
Вариант 7
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y = 11
x
8
y = √x 5
2 Вычислить y'
1 y = 7x 4 − 5x 3 + 0.2x 2 − 31
4
2 y = x 6 − √x 3 + 6x
3 y = −9x 2 − 12x +
4 y = x 4 − 2x 2 −
6
x2
2
√x 4 − 2
x
5
Вариант 8
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y = 10
x
7
y = √x 4
2 Вычислить y'
1 y = 3x 7 − x 5 − 2x 4 + 15x 2 − 0.2
4
2 y = x 7 − x √x 3 + 9x − 23
3 y = −4x 3 − 12x +
4 y = x 8 − 4x 2 −
3
x2
4
8√x 3
−
6
x
Вариант 9
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
x3
9
y = √x 4
2 Вычислить y'
1 y = 2x 7 − 3x 4 − 2x 2 − 5x − 38
y=
4
2 y = 7x 2 − 8√x 3 + 12x − 6
3 y = 3x 5 − 9x +
3
x5
4 y = x 6 − 3x − x√x − 5
3
√x4
Вариант 10
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y=
√x 5
7
y = √x 4
2 Вычислить y'
1 y = 6x 9 − 5x 7 − 12x 5 + 0.5x 3 + 3
4
2 y = x 9 − x√x 3 + 6
3 y = −7x 4 − 8x 2 +
4 y = x 3 − 3x −
2
x8
4
4 3
x√x − 4 3
√x
Вариант 11
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y=
√x 7
9
y = √x 5
2 Вычислить y'
1 y = 11x 6 − 9x 5 + 2x 3 − 5x 2 +0.2
5
2 y = x 3 − √x 7 + 10x
3 y = 9x 7 − 21x + 3
3
√x7
4 y = x 6 − 3x 2 − x√x 3 −
Вариант 12
6
√x
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y=5
√x11
7
y = √x 9
2 Вычислить y'
1 y = 10x 8 − 4x 5 − 5x 4 − 10x 2 + 20
4
2 y = x 8 − 4√x 3 + 9
1
8
3 y = −4x 2 − 8 √x +
4 y = x 3 − 3x√x 3 −
x8
1
√x
Вариант 13
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y=7
√x 4
7
y = x √x 3
2 Вычислить y'
1 y = x 7 − 5x 6 − 4x 5 + 0.3
4
2 y = x 6 − x√x 3 + 4
x
3 y = −4x 2 − 8x + 3
√x
4 y = x 5 − 5x − 2x√x 3 −
1
x5
Вариант 14
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y=9
√x 4
7
y = x √x 4
2 Вычислить y'
1 y = x 7 − 5x 5 − x 3 − 4x 2 + 23
4
2 y = x 9 − x√x 5 − 6x
3 y = −3x 3 − 9x +
1
x9
4 y = x 3 − 3x√x 3 − 3
3
√x4
Вариант 15
1 Используя дробные и отрицательные степени, приведите данные
функции к общему виду (1):
1
y=9
√x 4
7
y = x √x 3
2 Вычислить y'
1 y = 6x 5 − 5x 3 − 2
4
2 y = x 6 − √x 3 + 6x
3 y = −4x 2 − 8x +
3
1
x8
4 y = x 3 − 3x√x 2 − 2√x 3 −
1
x3
Проверочная работа по теме «Производная»
Вариант 1
Найти производные функций:
1 y = 5x 2 − cos x
2 y = 3x tgx
3y=
cos x
x2
Вариант 2
Найти производные функций:
1 y = 3x 4 − 5 tgx − 3x
2 y = x 2 cos x
3y=
x−4
cos x
Вариант 3
Найти производные функций:
1 y = tgx − 2x 2 + cos z
2 y = x 3 (x − 2)
3y=
3x−4
sin x
Вариант 4
Найти производные функций:
1 y = 2x 4 − 4x + 2 cos x
2 y = (x − 1) sin x
3y=
x2 −2
cos x
Вариант 5
Найти производные функций:
1 y = (x − 1)2 + tgx
2 y = x 2 (1 − cos x)
3y=
ex
cos x
Вариант 6
Найти производные функций:
1 y = 6ex + 2 cos x
2 y = (cos x − 1)
3y=
(x2 +1)
ctgx
Вариант 7
Найти производные функций:
1 y = tgx + (x − 1)2
2 y = 7x cos x
3y=
ex +1
ex
Вариант 8
Найти производные функций:
3
1 y = √x 5 − 5ex − 9
2 y = 2x cos x
3y=
x2 −1
cos x
Вариант 9
Найти производные функций:
1 y = x 9 − 6tgx + 6
2 y = x 3 sin x
3y=
x3 −3x
ex
Вариант 10
Найти производные функций:
3
1 y = √x 2 − x 4 + 4 cos x
2 y = (ex − 1)(x + 1)
3y=
3x
x3
Вариант 11
Найти производные функций:
4
1 y = √x 5 + 5tgx
2 y = x lnx
3y=
x
lnx
Вариант 12
Найти производные функций:
7
1 y = √x 5 − lnx + x − 1
2 y = x 4 4x
3y=
x2 −cos x
x
Вариант 13
Найти производные функций:
1 y = lnx − 2x
2 y = x 2 lnx
3y=
x cos x
x2
Вариант 14
Найти производные функций:
3
1 y = √x 2 − tgx
2 y = lnx(x 2 − x)
3y=
xex
3x
Вариант 15
Найти производные функций:
7
1 y = √x4 − 4x
2 y = xex + 3x
3y=
x3x
ex