Сборник задач. Составители: О.В.Подчищаева, Д.С.Чистяков

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского»
О.В.Подчищаева
Д.С.Чистяков
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ:
математический анализ
линейная алгебра
теория вероятностей
экономико-математические методы
Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для
студентов финансового факультета специальностей
«Таможенное дело» и «Коммерция»
Нижний Новгород
2008 г.
УДК 519.8(07)
ББК В183.4я73
О28
О28 Практические задания по математике. – Сборник задач. Составители:
О.В.Подчищаева, Д.С.Чистяков – Н.Новгород: ННГУ им. Н.И.Лобачевского,
2008, с.26
Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент Тютин В.В.
кандидат физико-математических наук, доцент Любимцев О.В.
В данном сборнике представлены варианты практических заданий по
основным разделам курса математики: теория пределов, дифференциальное
исчисление, интегральное исчисление, теория рядов, элементы линейной
алгебры, теория вероятностей, элементы линейного и динамического
программирования, экономико-математические методы. Сборник служит
инструментом контроля качества знаний и обеспечивает методическую
поддержку практических занятий по математике для студентов первого и
второго курсов, обучающихся по специальностям: «Коммерция» и
«Таможенное дело».
Для преподавателей и студентов экономических специальностей.
УДК 519.8(07)
ББК В183.4я73
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………......
4
Литература………………………………………………………………..
4
Примеры решения заданий по теме «Предел последовательности.
Предел функции»……………………………………………………….
5
Практические задания по теме «Предел последовательности.
Предел функции»………………………………………………………...
6
Примеры решения заданий по теме «Числовые ряды»……………….
9
Практические задания по теме «Числовые ряды»……………………..
11
Примеры решения заданий по теме «Дифференциальное
исчисление»………………………………………………………………
13
Практические задания по теме «Дифференциальное исчисление»…..
14
Примеры решения заданий по теме «Интегральное исчисление»……
16
Практические задания по теме «Интегральное исчисление»…………
17
Примеры решения заданий по теме «Элементы линейной алгебры»...
19
Практические задания по теме «Элементы линейной алгебры»……..
21
Практические задания по теме «Теория вероятностей»……………...
23
Практические задания по теме «Экономико-математические
методы»…………………………………………………………………...
26
3
ВВЕДЕНИЕ
Преподавание дисциплины “Математика” строится исходя из
требований,
установленных
в
Государственном
стандарте
профессионального высшего образования к уровню базовой подготовки в
области таможенное дело, а также коммерции (торгового дела).
Конечной целью является формирование у будущих специалистов
представлений о месте и роли математических методов при анализе и
расчете различных экономических показателей. Общий курс “Математика”
– комплексная дисциплина, в которую входят основы математического
анализа, линейной алгебры и элементы теории вероятностей и
математической статистики, экономико-математические методы и модели.
Для успешного освоения курса необходимо кроме изучения математических
положений изучение литературы по курсу “Экономическая теория” с точки
зрения возможного применения математических методов и моделей для
анализа экономических процессов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Высшая математика для экономистов. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: «Банки и биржи», Издательское объединение «ЮНИТИ», 1998.
2. Высшая математика для финансистов. Ч.1,Ч.2. Методическая
разработка / Составители: В.А. Игошин, О.И. Бех,
А.Т. Козинова.
Н.Новгород.: ННГУ, 1999 г.
3. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей
математики для экономических вузов. - М.: Высшая школа, 1982, ч.1,2.
4. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов./ Учебное
пособие. –М.: ИНФРА-М, 1997.
5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в
экономическом образовании. - М.:, Издательство «ДЕЛО», 2002.
6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: «Наука», 1985.
7. Математика.
Экономико-математические
модели.
Учебнометодическое пособие. / Составитель: А.Т. Козинова. Н.Новгород: ННГУ,
2002 г.
8. Общий курс высшей математики. Ч.2 Основы матричной алгебры.
Учебно-методическое пособие./ Составитель: О.И. Бех. Н.Новгород.: ННГУ,
1999г.
9. Практикум по математике. Математический анализ. Алгебра. Теория
вероятностей. Учебно-методическое пособие./ Составители: А.Т. Козинова,
В.П. Савельев, В.Н. Фокина. Н.Новгород: ННГУ, 2003 г.
4
Примеры решения заданий по теме
«Предел последовательности. Предел функции»
( 2 x  1)  3
1. Доказать, что lim
x 1
Возьмем   0 и зафиксируем. Необходимо оценить разность 2x  2 . Имеем
2 x  2  2 x  1   . Отсюда следует, что можно взять  

.
2
x2  9
2. Доказать, что xlim
3
Возьмем   0 и зафиксируем. Необходимо оценить разность
Используя формулу разности квадратов, получим
x2  9 .
x2  9  x  3  x  3 .
Множитель x  3 не ограничен, тогда оценку произведения можно сделать,
взяв некоторую окрестность точки a  3 . Например, интервал  4,2. Для
x2  9  x  3  x  3  7 x  3 .
всех x  (4,2) имеем x  3  7 . Поэтому
Поскольку  -окрестность точки a  3 не должна выходить за пределы

интервала  4,2, то   min{ 1, } .
7
1
( 5  1)  1
3. Доказать, что lim
n  n
Возьмем
 0
Неравенство
 1
N  5
 
и
1

n5
зафиксируем.
Рассмотрим
разность
1
1
11  5 .
5
n
n
будет выполняться, начиная, например, с номера

  1.

( x 2  5  x 2  5) .
4. Вычислить lim
x
lim ( x  5  x  5 )       lim
2
2
x 
 lim
x 
( x 2  5  x 2  5 )( x 2  5  x 2  5 )
x2  5  x2  5
x 
10
x2  5  x2  5
 0.
x 2  5x  4
5. Вычислить lim
x1 2 x 2  5 x  7
x 2  5x  4  0 
( x  1)( x  4)
x4 3
lim 2
    lim
 lim

x1 2 x  5 x  7
 0  x1 2( x  1)( x  7 ) x1 2 x  7 5 .
2
5

x 4  sin
6. Вычислить lim
x 
1
x3
1
1
4

(


0
)

lim
x

 lim x   .
x 
x3
x 3 x 
lim x 4  sin
x 
 2x  3 


7. Вычислить lim
x  2 x  1


x
x
x

2 

 2x  3 
 2x  1  2 

lim 
 (1 )  lim 
 lim  1 



x 2 x  1
x
x 


 2x  1 
  2x  1 

3
2
x  2 x  3x  5
8. Вычислить lim
x 
2x 4  2x  1
2 x 1
2





2x
2 x 1
e
lim
1 2
3
5
 2 3 4
x  2 x  3x  5   
x
x  0 0
lim
    lim x x
.
4
x 
2
2x  2x 1
   x 2  2  1
x3 x 4
3
2
Практические задания по теме
«Предел последовательности. Предел функции»
1) - 3) Доказать по определению предела;
4) - 7) Вычислить предел.
Вариант 1
Вариант 2
(3 x  5)  20
1) lim
x 5
(2 x  1)  
1) lim
x 
( x  3)  
2) lim
x
( x  8)  10
2) lim
x2
5
(
3) lim
n 
4)
1
 1)  1
n3
(
3) lim
n 
lim ( n 2  1  n 2  1)
4)
n
x 2  5x  6
5) lim
x 1 x 2  3 x  4
x 4 sin
6) lim
x 
(1  3x )
7) lim
x 0
lim ( x 3  1  x 3  1)
x 2  3x  10
5) lim
x 5 x 2  5 x  50
1
x4
2
1
 4)  4
n2
x 
6) lim
x 0
1  cos 2 x
x2
1
1
x
lim (1  2 x ) x
3
7)
6
x 0
2
2x
x   2 x 1
e
Вариант 3
Вариант 4
2

lim
3



1) x 0
x


2
lim
0
1) n 
3  n2
2)
lim (8x3  3)  
3)
lim (2 x  1)  7
x 3
3)
4)
lim ( x 4  2  x 4  1)
4)
5)
6)
7)
2)
x
x 
x2  x  2
lim
x 1 ( x  1) 3
sin 2 x
lim
x 0
x3
1 

lim 1  x 
x 
 2 
5)
6)
2)
 1

lim  2  8   8
n  n


lim ( x  2  x  1)
x 
x 2  3x  10
lim 2
x 2 x  2 x  8
1
lim x 2 sin 2
x 
x
1
x
(1  3 x)
7) lim
x 0
Вариант 6
1
0
x  x  5
lim (3x 5  5)  8
lim
2)
1
) 1
n 
n2
lim (2 x  1)  
3)
lim (2 x  5)  9
1)
x 1
1
lim
(
 1)  
3) x 0
x
4)
x 
2x
Вариант 5
1)
lim ( x 2  2)  
lim ( n3  1  n3  1)
lim (1 
x 
x2
(
4) lim
n 
n
n  1  n  1)
x2  x  2
5) lim
x 2 ( x  2) 2
x2  x  2
5) lim
x 1 ( x  1) 2
sin 2 5 x
6) lim
x 0 sin 3 x
sin 5 2 x
6) lim
x 0 sin 4 3 x
7)
lim (1 
x 
1 x2
)
x
5
lim (1 
7) x 
7
1 7x
)
3
x
Вариант 7
Вариант 8
lim (en  1)  
1)
lim e n  0
lim ( x5  1)  33
2)
lim ( x  100)  
1) n 
2)
x 2
lim (
3) x 0
(
4) lim
n
5)
6)
7)
1
 7)  
3
x
n
x 
1
lim
(
3) x 0 2  6)  
x
n5  8  n5  2 )
(
4) lim
n 
x 2  3x  10
lim
x2
x2
1  cos 6 x
lim
x 0
3x 2
5)
6)
1 x2
lim (1 
)
x 
x
x 2  3x  10
lim
x 2
( x  2)3
1  cos 10 x
lim
x 0
5x
lim (1 
7) x 
Вариант 9
lim
1) x 1
3)
4)
lim ( x 2  2  x 2  2 )
2)
lim e n  
1) n
lim ( x 2  2)  6
2) x2
n
x 
lim (1  2 x)
lim (n3  5)  5
3)
n 
4)
lim ( n6  1  n6  1)
n
x2  x  2
5) lim
x 2 ( x  2) 4
x 2  4 x  12
5) lim
x2 x 2  4 x  4
sin x 0,5
6) lim
x  sin x 1
7)
1 x5
)
3
x
Вариант 10
1

x 1
1
lim (  2)  2
x  x
lim (n 2  8)  
n4  2  n4  6 )
sin 2 5 x
6) lim
x 0 sin 3 x
1
3x
7)
x 0
8
1 x5
lim (1  3 )
x 
x
Вариант 11
Вариант 12
1
lim
(
8

)8
1) n
n
4
2) lim ( x  3)  
(2 x  3)  19
1) lim
x 8
2)
lim (1  4 x )  
3)
lim n1,5  3  
x 
n

x 

(
3) lim
x 0
1
 8)  
x3
lim ( n  5  n  3 )
( n  2  n  4)
4) lim
n
4)
x 2  3x  28
5) lim
x 4
x2  4x
sin 9 x
lim
6) x 0
3x
x 2  3x  10
5) lim
x 2 x 2  2 x  8
1
3
lim
x
sin
6) x 
x3
3
1 

1  3 
7) lim
x 
 2x 
3
n 
5 x2
1
7)
lim (1  5 x)
x
x 0
Примеры решения заданий по теме «Числовые ряды»
1. Исследовать ряд на сходимость, используя признак сравнения
n2


n 1
3
n6  5
.

Эталонным для данного ряда будет ряд вида
1
n
n 1
p
6
3
, где p   1  2  1  1 .
1
n2 1
n  2n   
n 1
lim
:  lim
    lim
6
6
3
n  3
n


n


1
n 5 n
n 5 
3 1
n6


n2
1
Ряд  - расходится. Поэтому ряд  3 6
расходится.
n 1 n
n 1
n 5
1
2
9

2. Исследовать ряд на сходимость, используя признак Даламбера
an 
4
n 1
1
n!
n
1
1
1
a


n

1
4 n1 (n  1)! 4  4n  n!(n  1)
4 n n! ,
1
1
4 n n!
1
lim
:

lim

lim
 0 1
n  4  4 n  n!( n  1) 4 n n!
n  4  4 n  n!( n  1)
n  4( n  1)
По признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

2n
3. Исследовать ряд на сходимость, используя признак Коши  2 .
n 1 n
lim an  lim
n
n
n
n
n
2n
2n
2
 lim
 lim
 2  1.
2
2
2
n n
n n
n
n
n
По признаку Коши исследуемый ряд расходится.

4. Исследовать знакопеременный ряд на сходимость   1
n 1
1) Докажем, что последовательность a n 
a n 1  a n 
n
n
n2  5 .
n
убывает.
n 5
2
n 1
n
n 3  5n  n 2  5  n 3  2n 2  6n
 n2  n  5



n 2  2n  6 n 2  5
(n 2  2n  6)( n 2  5)
(n 2  2n  6)( n 2  5)
Видим, что, начиная с номера n  2 , справедливо неравенство an  an1 .
2) lim
n 
n
0
n2  5
По признаку Лейбница исследуемый ряд сходится. Остается добавить, что

сходимость эта условная, поскольку ряд

Заметим, что расходимость ряда
n
n 1
n
n 1
2
n
 5 расходится.
n
2
 5 может быть доказана с
помощью признака сравнения. В качестве эталонного ряда можно взять ряд

1

.
n 1 n
10
Практические задания по теме «Числовые ряды»
1) Исследовать ряд на сходимость, используя признак сравнения;
2) Исследовать ряд на сходимость, используя признак Даламбера;
3) Исследовать ряд на сходимость, используя признак Коши;
4) Исследовать знакопеременный ряд на сходимость.
Вариант 1
Вариант 2
3


n 1
n 2
1)  3 4
1)  8
n 1
n 1
n 5
n  n 1

n2  1
2)  n
n 1 2  n!

( 2n)!
2) 
2n
n 1 ( 2 n )

n 3n
3) 
n
n 1 (3  n)


3)
1)

 3n  1 

4)   1 
 3n  7 
n 1
Вариант 4
n 1
3n  1
1)  n 3
n 1 3 n  8
5
 n 1 

3)  
2
n

3

n 1 

(2n  1)!
2) 
92n
n 1


n2
 3n  4 



1


4) 
 4n  3 
n 1

n
n

n7  1

n!
2)  n n
n 1 5 n
n 1
n 1

n3
4)   1
3n 4  12 n
n 1
Вариант 3
n

 2n  1 
  3n  1 
n5 3n
3) 
n
n 1 (2n  1)

n
n
4)
  1
n
n 1
Вариант 5

1)

n 1
n
1)
n( 2  n 2 )
n 1
2n  1
(n  1) 2
2
(n  1) n1
2) 
n 1 (n  1)!
 3n  1 
n




4
n

2


n 1

4)   1
n 1
n

2n
2)  2
n 1 n

n
n2  1
Вариант 6


3)
n
2
n
2n

n3
 n 

3)  
3
n

1

n 1 
2

n n
4)   1 n
5 n!
n 1
1
n3  3
11
Вариант 7
n2
n(n  1)( n  2)

1)

n 1
Вариант 8

1)
n(n  1)( n 2  2)
n 1


3n
2)  n
n 1 4 (n  2)!
n!
2) 
n 1 (3n )!

 3n 

3)  n  
 4n  2 
n 1

n

n
 2n  1 

3)  
n 1  5n 


n3
4)   1 n
7 (n  1)!
n1
1
4)   1 5
n 4
n 1
n
n
Вариант 9


1) 

2)
(3n  2)!
n
3
n 1 3  n
n 1
Вариант 10
n
1)
5
n 1


 n 

3)  
n 1  3n  1 
3
 5  2n 

3)  
4
n

15

n 1 
n

n 2
4)   1 n
3
n 1
2 n 1
 2n  5 

4)   1 
 4n  15 
n 1

n
n8  1

6n (n  1)
2) 
n!
n 1
n6  5


n
n
Вариант 11

n 2 3n
1)  5 n
n 1 n 3  7
1)

2
n 1
2
n
9
2n n
2) 
n 1 (n  1)!
 3n  10 

3)  
n 1  4 n  1 

n 1  n
e
n 1

n

5n
2)  2
n 1 n (3n  2)!
3)
n
Вариант 12


n3

3n
4)   1 n
7
n1
1



1
4) 
n 2 3n
n 1
n
12
n
n
Примеры решения заданий по теме
«Дифференциальное исчисление»
1. Найти производную функции y  2  arccos x .
x3

3
3
1
y '  2 x ln 2  3x 2  arccos x 3  2 x   
1 x6

3

3 
1
  3x 2  3x 2 2 x  ln 2 arccos x 3 


1 x6






3
2x
2. Найти производную функции y 
.
arccos x 3

3
3
1
2 x ln 2  3x 2 arccos x 3  2 x   
1  x6

y' 
arccos 2 x 3

3 
1
  3x 2 3x 2 2 x  ln 2 arccos x 3 


1 x6



arccos 2 x 3
2
2
3. Найти частные производные функции z  sin( x  y ) .
z ' x  cos( x 2  y 2 )  2 x
z' y  cos( x 2  y 2 )  2 y
2
2
4. Исследовать функцию на экстремум z  x  xy  y  2 x  y .
Находим частные производные первого порядка:
z'x  2 x  y  2
z' y   x  2 y  1
Решаем систему уравнений:
2 x  y  2  0

 x  2 y  1  0
x  1, y  0 . Получаем, что (1,0) – стационарная точка.
Находим частные производные второго порядка:
z ' 'xx  2 , z ' ' yy  2 , z ' ' xy  1 .
А = 2, С = 2, В = -1.
Вычисляем значение ∆.
∆ = 4 – 1 = 3.
Так как ∆ > 0, A > 0, то (1,0) – точка минимума, z min  1 .
13




Практические задания по теме
«Дифференциальное исчисление»
1) Найти производную функции;
2) Найти производную функции;
3) Найти частные производные функции;
4) Исследовать функцию на экстремум.
Вариант 1
y  e ctg (3x  2)
x2
1)
2)
3)
4)
Вариант 2
1)
log 2 3x
y
cos3 ( x  3)
2)
z  e x (6 x  y 2 )
3)
cos 2 (6 x  2)
y
x2 2x
e
z  cos( x2  y )
4)
z  x 2  2 y 2  3 ln x  6 ln y
x
2
z  e (x  y )
2
Вариант 3
y  3x arctg (6 x2  1)
Вариант 4
3
1)
2)
y  5 tg(6x  3)
x2
2
sin 3 (3x  4)
y
log 3 x 2
1)
2)
y  ln x 2tg (3x  2)
e3 x
y
sin 2 ( x  3)
3)
z  ln x  y 2
3)
z  ln x  y
4)
z  3 y  6 x  y 2  xy  x 2
4)
z  x 2 y (2  x  y )
Вариант 5
1)
y  arctgx log 5 ( x 2  6)
Вариант 6
1)
y  arctgx3 cos 2 (2 x  1)
3)
z  2 x  x ln y
3)
e2 x
y
cos 2 (2 x  1)
z  3 ln x  x sin y
4)
z  ( x  1) 2  2 y 2
4)
z  ( x  1)2  2 y 2
2)
sin 2 (5 x  1)
y
e5 x
2)
14
Вариант 7
Вариант 8
y  e x arcsin x2
1)
cos 2 ( x 2 )
y
log 2 x 2
x3  1
2) y 
cos x
3)
z  x 2  arcsin y
3)
z  e x ( x  y)
4)
z  y x  x2  y  5x
4)
z  ex (x  y2 )
2
1)
2)
y  ctg 2 (7 x)5x
Вариант 9
1)
y  e6 x arctg (3x  2)
3
2
Вариант 10
1)
y  log 3 ( x 3  3) arcsin x
e8 x
y
ln( x 2  1)
log 5 8 x
y
sin 2 ( x 2  2)
2)
3)
z  ye x
3)
zy
4)
z  2 y 3  yx 2  5 y 2  x 2
4)
z  x 2  xy  y 2  2 x  y
2)
Вариант 11
1)
2)
x
Вариант 12
y  log 3 3x cos(8 x  4)
1)
e8 x
y
log 3 x
arccos x
y

2)
log 2 x
x 2 1
3)
zy
4)
z  x 2  xy  y 2  x  y
y  xe
3
x2
3)
z  x  ex  y2
4)
z  xy(1  x 2  y 2 )
15
Примеры решения заданий по теме
«Интегральное исчисление»
1. Вычислить интеграл
5
3
x
(
2
x

7
x

2
 cos( 2 x  1)) dx

2x6 7 x4 2x 1
 (2 x  7 x  2  cos(2 x  1))dx  6  4  ln 2  2 sin( 2 x  1)  C 
x6 7x4 2x 1



 sin( 2 x  1)  C
3
4
ln 2 2
x4
dx
2. Вычислить интеграл  5
x 1
5
3
x
t  x5
x4
1 dt
1
1
5
dx



ln
t

1

C

ln
x
1  C
 x5  1

5
dt  5 x 4 dx 5 t  1 5
3. Вычислить интеграл
 x cos 2 xdx 

 x cos 2 xdx
u  x, du  dx
1
dv  cos 2 xdx, v  sin 2 x
2

1
1
x sin 2 x   sin 2 xdx 
2
2
1
1
x sin 2 x  cos 2 x  C
2
4
x2
 2.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: y  x , y 
2
x2
2
 2,
Находим абсциссы точек пересечения: x 
2
x2
 2, x 2  4, x  2, x  2
2
Для площади фигуры получаем:
2
2
 x2


x2 
x3 
2
S     2  x dx    2  dx   2 x  
2
2 
6


 2
 2
2
16
2
2
 4
8
8
8 16
1
 (4  )  8  
5
6
6
3 3
3
Практические задания по теме «Интегральное исчисление»
1)-3) - Вычислить интеграл;
4) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми.
Вариант 1
1)
 (2 x
3
 3x 2  42 x 1 )dx
x 1
dx
2)  2
x  2x  3
3)

4
1)
1  2x
 2 x dx
3x 2
dx
2)  3
x 1
 x ln xdx
4) y  0, x  0, x 
Вариант 2
, y  cos 2 x
3)
 ln xdx
4)
xy  1, y  x 2 , x  3, y  0
Вариант 3
dx
1) 
9x2  1
2)
e
3)
x
x
3
 dx
1)
e  2dx
x
Вариант 4
4
, x  0, y  2
x
3)
 x cos xdx
4)
y  x3 , y  4 x
2)
3)

x
2
 x3 dx
2
3
4) y  2 x  3x, y  x , y  0, x  0
1 x
dx
6
Вариант 6
dx
1  4x2
x5
dx
3
x2

Вариант 5
1) 
x
dx
2
2)
x
2
4) y  x  3, y 
2
cos

1)
2)
3)
dx
 9  4x2
ex
 1  e2 x dx
 ln( 5x  3)dx
4) y  1  x , y  x  1, y  0
17
Вариант 7
1)
2)
3)
1 x
 x dx
1)
3)
2
 (2 sin x  3
x2
 5)dx
x2
dx
2)  2
x  4x  3
3)
x
(cos
x

4
 15)dx

x 1
dx
2)  2
x  2x  5
x3
 x 4  4 dx
 x arcsin xdx
4) xy  2, y  2 x , y  0, x  6
Вариант 9
1)
Вариант 8
x
xe
 dx
x
2
4) y  3 , y  3x  x , x  0, x  3
Вариант 10
1)
 (3x
5
 arcsin xdx
4) y  sin x, y  0, x 
1
1)
 4x
dx
2)
e
dx
3) 
2 x  3 x ln x
3)
 x arccos xdx
1)
 sin
2)
 xe
3 x 2 4
4)
y  ( x  1)2 , y 2  x  1

2
Вариант 12
Вариант 11
x
x
cos dx
2
2
 6 x 4  3x )dx
x2
dx
2)  3
x  15
3)
2
x
4) x  0, x  2, y  2 x  x , y  2
 arccos xdx
x
2
dx
1
cos e x dx
2
4) y  2 x  6, xy  8, x  0, x  4
18
Примеры решения заданий по теме
«Элементы линейной алгебры»
Решить систему уравнений тремя способами (методом Крамера,
методом Гаусса, с помощью обратной матрицы).
2 x1  3x2  2 x3  14,

2 x1  2 x2  x3  1,
3x  x  x  4.
 1 2 3
А) Решение системы методом Крамера.
2
3
2
  2  2 1  2  (2)  1  3  3  1  2  2  (1)  2  (2)  3  2  3  1  2  1  (1)  9
3 1 1
14
1  1
4
x1 
3
2
2 14 2
 2 1  9 , 2  2
1 1
3
1
4
2
3
1  18 ,  3  2  2
1
3 1
14
1  27
4
1 9


18
27
  1 , x 2  2   2 , x3  3 
 3.
 9

9

9
Ответ: (1,2,3).
Б) Решение системы с использованием обратной матрицы.
 2 3 2


Для матрицы A   2  2 1  найдем обратную матрицу A 1 .
3 1 1


2
3
2
Во-первых, 2  2 1  9  0 . Следовательно, матрица A обратима.
3 1 1
3
2 2


Транспонируем матрицу A : At   3  2  1 .
2 1
1 

19
 1  5 7 


Находим присоединенную матрицу: A'   1  4 2 
 4 11  10 


Получаем обратную матрицу: A 1 
1
A' ,
A
 1

 9
1
A 1  
 9
 4

 9
 1

 x1   9
 
1
Тогда  x 2   
 9
x  
4
 3

 9
5
9
4

9
11
9

5
9
4

9
11
9

7 

9 
2 
9 
10 
 
9
7 

9  14   1 
2     
  1  =  2
9     
10   4   3 
 
9
Ответ: (1,2,3).
В) Решение системы методом Гаусса.
 2 3 2 14   2
3
2 14   2 3 2 14   2 3 2 14 

 
 
 

A   2  2 1 1    0  5  1  13    0 5 1 13    0 55 11 143 
 3  1 1 4   0  5,5  2  17   0 11 4 34   0 55 20 170 

 
 
 

 2 3 2 14 


  0 55 11 143  , получаем систему
 0 0 9 27 


2 x1  3x2  2 x3  14,

55 x2  11x3  143,
9 x  27.
 3
Осталось только ее решить.
Ответ: (1,2,3).
20
Практические задания по теме
«Элементы линейной алгебры»
1) Выполнить действия с матрицами;
2) Решить систему уравнений тремя способами (методом Крамера,
методом Гаусса, с помощью обратной матрицы).
Вариант 1
Вариант 2
 3 4 6  17 0 2 



9
1
3
.
4
3
1



1)
8 4 2  2 1 1




2 x1  x2  x3  0,

 x1  x2  x3  3,
2) 
2 x1  x2  x3  2.
 1 2 3  7 8 9 



4
5
6
.
4
3
1



1)
7 8 9  2 1 2



2)
Вариант 3
2

 x1  2 x2  x3  4,

 x1  2 x2  x3  0,
 x  3x  3x  1.
2
3
 1
Вариант 4
2
 7 8 12   7 8 9 

 

11 9 10    4 3 1 

1)
14 6 14   2 1 2 

 

1 2 3 1 7 2

 

4 6 2   3 4 6

1)
1 0 3  2 1 1

 

 x1  2 x2  x3  8,

2 x1  x2  x3  4,
3x  3x  x  2.
2
3
 1
 x1  x2  x3  9,

2 x1  x2  x3  12,
3x  2 x  x  6.
2
3
 1
2)
Вариант 5
Вариант 6
3
1 4 6   1 2 3

 

 8 9 15    3 1 6 
 8 9 10   2 2 1 

 

1 4 8


3 2 1
1) 

 4 2 6
2)
2)
 x1  2 x2  3x3  6,

2 x1  2 x2  x3  3,
4 x  2 x  x  7.
2
3
 1
2
1)
2)
21
 x1  2 x2  3x3  18,

2 x1  x2  x3  6,
3x  3x  2 x  24.
2
3
 1
Вариант 7
 1 2 3  1 2 3



4
5
6
.
4
5
6



1)
7 8 9 7 8 9



2)
Вариант 8

1 4 6  1 2 3

 

3
2
8

4
2
6
 

1) 
 9 10 1   4 3 5 

 

2 x1  x2  x3  0,

 x1  x2  x3  3,
2 x  x  x  2.
3
 1 2
2)
Вариант 9
1 6 2 1 4 6 

 

4
3
8

2
9
7
 

1) 
 9 12 1   3 10 12 

 

2)
Вариант 10
2
2
 1 2 3   6 8 3

 

4
5
6

2
9
1
 

1) 
 0 0 1   4 6 3

 

 x1  x2  x3  3,

2 x1  x2  x3  1,
2)
3x  3x  x  9.
2
3
 1
Вариант 11
Вариант 12
4 6 8 4 7 2 

 

9
15
2

9
15
11
 

1) 
1 4 3  0 0 2 

 

2)
 x1  2 x2  x3  4,

 x1  2 x2  x3  0,
 x  3x  3x  1.
2
3
 1
 x1  x2  x3  6,

 x1  x2  x3  0,
 x  x  x  2.
3
 1 2
3x1  2 x2  2 x3  3,

 x1  3x2  x3  5,
8 x  3x  3x  2.
2
3
 1
2
2
15 18 19   6 8 3 

 

13
16
20

2
9
1

 

1)
 1 0 3   4 6 3

 

2)
22
 x1  2 x2  3x3  12,

2 x1  2 x2  x3  2,
3x  2 x  3x  4.
2
3
 1
2
Практические задания по теме «Теория вероятностей»
Вариант № 1
1. Две машинистки печатали рукопись. Первая напечатала 1/3 всей
рукописи, вторая - остальное. Вероятность того, что первая машинистка
сделала ошибки, равна 0,15, для второй - 0,1. При проверке были
обнаружены ошибки. Найти вероятность того, что ошиблась первая
машинистка.
2. В лотерее разыгрывается мотоцикл стоимостью 250 руб., велосипед
стоимостью 50 руб. и часы ценой 40 руб. Найти закон распределения
случайной величины, равной выигрышу, и математическое ожидание
выигрыша для лица, имеющего один билет, если число билетов равно 100.
3. Случайная величина распределена по нормальному закону.
Известно, что математическое ожидание ее равно 10 и среднее
квадратическое отклонение равно 5. Определить вероятность того, что
случайная величина примет значения, принадлежащие интервалу (7; 12).
Вариант № 2.
1. В сборочный цех завода детали поступают из двух цехов: из первого
- 70%, из второго - 30%, причем 10% деталей из первого цеха и 20% - из
второго, отличного качества. Определить вероятность того, что взятая
наудачу деталь не будет отличного качества.
2. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых
запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти
ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой
остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой
случайной величины?
3. Случайная величина распределена по нормальному закону. Ее
математическое ожидание равно 10 и среднее квадратическое отклонение
составляет 5. Определить вероятность того, что отклонение значений
случайной величины от математического ожидания не превзойдет по
абсолютной величине ε = 2.
Вариант № 3.
1. Имеется 5 партий радиоламп: 3 партии по 8 штук, в каждой из
которых 6 стандартных и 2 нестандартных, и 2 партии по 10 штук, в каждой
из которых 7 стандартных и 3 нестандартных. Из одной, взятой на удачу,
партии случайным образом выбирается одна деталь. Определить
вероятность того, что эта деталь будет стандартной.
2. В автобусе 4 пассажира. Считается, что каждый из пассажиров с
равной вероятностью может сойти на любой из оставшихся трех остановок.
Пусть Х означает число пассажиров, сошедших на первой остановке.
Написать закон распределения для случайной величины Х и найти ее
математическое ожидание.
23
3. Известно, что вес некоторых плодов, выращиваемых в совхозе,
подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием 175г и σ =
25. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого плода будет: а)
заключен в пределах от 125 до 250 г; б) не менее 250г; в) не более 300г.
Вариант № 4.
1. В двух одинаковых коробках лежат товары: в первой - два изделия
первого сорта и одно второго, во второй - три изделия первого сорта и два
второго. Наудачу берется коробка и из нее изделие. Определить вероятность
того, что это изделие первого сорта.
2. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа
станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для
второго - 0,8, для третьего - 0,75 и для четвертого - 0,7. Найти
математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые не
потребуют внимания рабочего в течение часа.
3. Длина детали - случайная величина, распределенная по
нормальному закону, со среднем значением 20 см и дисперсией, равной 0,2
см2. Определить вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет
заключена в пределах от 19,7 до 20,3 см.
Вариант № 5.
1. В 6 одинаковых ящиках по 10 деталей, причем в трех ящиках по 8
деталей, в двух - по 6 деталей и в одном - 5 деталей 1 сорта. Наудачу
выбираем одну деталь. Определить вероятность того, что эта деталь будет
первого сорта.
2. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Составить
таблицу распределения числа бракованных изделий из 6 взятых наудачу
изделий. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной
величины.
3. Изготовленные цехом детали по размерам диаметра распределяются
по нормальному закону с математическим ожиданием 4,9 см. и средним
квадратическим отклонением 0,5 см. Определить вероятность того, что
диаметр взятой наудачу детали отклонится от математического ожидания
менее чем на 1 см.
Вариант № 6.
1. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод
изготавливает 45% общего количества электроламп, второй - 40%, третий 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго 80%, третьего - 90%. В магазины поступает продукция всех трех заводов.
Какова вероятность, что купленная в магазине ламп окажется стандартной?
2. Изделия некоторого производства содержит 5% брака. Взято 5
изделий. Построить ряд распределения числа бракованных среди этих 5
изделий. Найти среднее число бракованных изделий и среднее
квадратичные отклонение этой случайной величины.
24
3. При измерении расстояний до удаленных предметов ошибка
подчинена нормальному закону со средним значением, равным 20 м. и
средним квадратическим отклонением 40 м. Определить вероятность того,
что измеренное расстояние отклоняется от действительного в ту или иную
сторону не более чем на 30 м.
Вариант № 7.
1. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что
вероятность попадания у первого охотника равна 0,7, у второго - 0,6. В
результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна
вероятность того, что промахнулся первый охотник?
2. Средний диаметр детали 6 см и дисперсия равна 0,0004 см 2 .
Определить максимальное отклонение размера диаметра наудачу взятой
детали от среднего размера, которое можно гарантировать с вероятностью
не менее чем 0,9973.
3. Изделия, выпускаемые цехом, по своим линейным размерам
распределяются по нормальному закону с математическим ожиданием
равным 5 см. Известна вероятность, равная 0,9758,что наудачу взятое одно
изделие будет иметь размеры в границах от 4,95 см. до 5,05 см. Найти
дисперсию этой случайной величины.
Вариант № 8.
1. Телеграфное сообщение состоит из сигналов "точка" и "тире".
Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем 2/5
сообщения "точка" и 1/3 сообщений "тире". Известно, что среди
передаваемых сигналов "точка" и "тире" встречаются в отношении 5:3.
Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если: а)
принят сигнал "точка"; б) принят сигнал "тире".
2. В городе 10 банков. Некто имеет 3 вклада в трех банках. Два банка
обанкротились. Составить закон распределения числа его вкладов в
обанкротившихся банках. Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины.
3.Длина изготовляемой автоматом детали, представляет собой
случайную величину, распределённую по нормальному закону с
параметрами a=15 cм и σ= 0,2 см. Найти вероятность брака, если
допустимые размеры детали должны быть 15 ± 0,3 см. Какую точность
длины изготовленной автоматом детали можно гарантировать с
вероятностью 0,97?
Вариант № 9.
1. На сборку поступают детали с четырех автоматов,
производительности которых пропорциональны числам 4,3,2,1. Вероятность
брака на этих автоматах соответственно 0,001; 0,0025; 0,002 и 0,005. Найти
вероятность того, что взятая наудачу деталь оказалась стандартной.
25
2. Вероятность того, что партия товара будет продана на оптовом
рынке, равна 0,8. Составить закон распределения числа проданных из
четырех партий товара. Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины.
3. На автомате изготавливают заклёпки. Диаметр их головок
представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному
закону и имеет среднее значение, равное 2 мм, и дисперсию, равную 0,01
мм2 Какие размеры диаметра головок заклёпки можно гарантировать с
вероятностью 0,95?
Вариант № 10.
1. Вероятность изготовления детали с дефектом на некотором
предприятии равно 0,04. Какова вероятность приема детали системой
контроля, если в этой системе вероятность приема годной детали равно 0,98,
а вероятность приема дефектной - 0,05?
2. В населенном пункте имеется пять рынков. Вероятность того, что на
рынке продается нужный товар, равна 0,9. . Составить закон распределения
числа рынков, на которых имеется нужный товар. Найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины.
3. Математическое ожидание нормально распределенной случайной
величины – 25, а дисперсия – 3. Необходимо: 1) составить плотность
вероятности и функцию распределения случайной величины; 2) найти
вероятность того, что она примет какое-нибудь значение не меньшее 23.
Практические задания по теме
"Экономико-математические методы"
1. Решить задачу линейного программирования:
А) L( x )  c1x1  c2 x2  max ,
где
- функция прибыли, c1, c2 - прибыль на единицу продукции,
при ограничениях:
L(x )
 a11 x1  a12 x2 b1
a x  a x b
 21 1 22 2 2
a x  a x b
 31 1 32 2 3
a x  a x b
 41 1 42 2 4
x1,2  0

a ij - нормы затрат ресурсов.
26
Графическим методом найти оптимальные решения при стремлении
целевой функции к максимальному и минимальному значениям.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений:
Вар-т
c1
c2
a11
a12
b1
a21
a22
b2
a31
a32
b3
a41
a42
b4
1
2
2
3
3
-1
4
1
5
-1
6
-2
7
1
8
-1
9
3
10
0
1
-1
1
3
-2
2
1
-1
0
2
7
5
-1
12
3
1
7
-1
-3
-1
8
2
1
5
1
-2
6
-2
2
1
56
30
2
60
12
2
42
-2
-6
2
-2
-3
-2
-3
-3
-2
-2
-2
2
6
3
-2
-3
2
1
3
1
3
1
7
6
-6
-6
6
3
6
4
12
14
42
-2
-1
1
-1
-1
-1
3
-2
3
1
1
1
-3
2
1
3
-2
3
-4
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-1
0
1
0
1
0
-1
0
1
1
0
1
0
-1
0
1
0
6
5
4
-2
5
4
-2
5
6
-2
2. Предприятие выпускает два вида продукции, используя три вида
ресурсов.
Обозначения:
А – матрица норм затрат ресурсов,
В – запасы ресурсов,
С – прибыль на единицу продукции.
С помощью данных, приведенных в таблице, требуется:
а) составить экономико-математическую модель задачи;
б) определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение
максимальной прибыли;
в) составить двойственную задачу, найти оптимальное решение и оптимум
двойственной задачи с помощью теорем двойственности;
указать
дефицитные для предприятия ресурсы.
27
Вариант № 1
Вариант № 2
 4 2
 80 


 
A   2 3 ; B   60 ; C  3 2
0 1 
 20 


 
 4 2
 80 




A   2 3 ; B   40 ; C  2 4
 2 4
120 




Вариант № 3
Вариант № 4
 4 2
 80 


 
A   1 3 ; B   60 ; C  6 4
1 1
 30 


 
 3 4
 40 


 
A   6 7 ; B   36 ; C  7 3
 5 2
 20 


 
Вариант № 5
Вариант № 6
 7 4
100 




A   6 3 ; B   60 ; C  2 6
 3 0
 30 




8 6
 40 


 
A   2 3 ; B   60 ; C  8 3
 1 4
 80 


 
Вариант № 7
Вариант № 8
 4 0
 42 


 
A   3 6 ; B   48 ; C  3 7 
 0 8
 52 


 
 4 3
120 




A   1 3 ; B   50 ; C  5 2
 0 1
 40 




Вариант № 9
Вариант № 10
 7 2
120 
4





A   6 9 ; B   90 ; C  10 20
A

1
 3 2
 20 





2
 80 

 
0 ; B   60 ; C  3 1

 30 
3 1
 
3.
Составить
модель
транспортной
задачи
и
с
помощью
распределительного метода найти оптимальный план перевозок продукции
от трех поставщиков с различными мощностями к трем потребителям с
различным спросом. Матрица норм затрат на перевоз одной условной
единицы продукции «А» - известна.
28
Вариант №
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Мощности
поставщиков
50 40 50
20 30 40
50 40 50
20 30 40
50 40 50
20 30 40
50 40 50
20 30 40
50 40 50
29
Спрос
потребителей
Матрица «А»
80 40 40
 3 4 6


A   4 3 3
 6 3 4


30 40 40
 3 4 6


A   4 3 3
 6 3 4


80 40 40
 6 3 4


A   4 3 3
 3 4 6


30 40 40
 3 4 6


A   4 3 3
 6 3 4


80 40 40
 4 3 3


A   3 4 6
 6 3 4


30 40 40
 3 4 6


A   4 3 3
 6 3 4


80 40 40
 6 3 4


A   4 3 3
 6 4 3


30 40 40
 6 6 6


A   4 3 4
 4 4 6


80 40 40
 6 6 6


A   4 3 4
 4 4 6


10
4.
50 40 50
80 40 40
 8 3 2


A   2 6 2
 4 8 2


Средства “x” выделенные k-тому предприятию приносят прибыль
“fk(x)”. Функции прибыли “fk(x)” заданы таблично по вариантам. Вложенные
в каждое предприятие средства кратны “∆x” и не превышают “d”. Составить
математическую
модель
задачи
распределения
средств
между
предприятиями, при котором суммарная прибыль, полученная от всех
предприятий,
максимальна.
Применив
метод
динамического
программирования, распределить средства “S0” между “n” предприятиями
оптимальным образом. Используя полученные результаты, оптимально
распределить между предприятиями средства “S=S0+∆S”.
вариант № 1
вариант № 2
S 0 =1; n=4; x =0.2; d=1;
S 0 =6; n=4; x =1.0; d=5;
S = 0.2
S = -1
f 1 (x )
f 2 (x ) f 3 (x ) f 4 (x )
f 1 (x )
f 2 (x ) f 3 (x ) f 4 (x )
х
х
0.2
2
3
1
0
1
18
20
5
30
0.4
3
5
3
6
2
25
40
10
30
0.6
5
7
6
9
3
30
60
15
90
0.8
9
8
7
9
4
31
80
25
140
1.0
11
9
10
9
5
32
95
37
150
вариант № 3
S 0 =25; n=4; x =5;d =25;
S = 5
f 1 (x )
f 2 (x ) f 3 (x )
х
5
17
25
20
10
38
40
36
15
50
48
52
20
55
56
60
25
60
62
68
вариант № 5
S 0 =10; n=4; x =2; d=10;
S =2
f 1 (x )
f 2 (x ) f 3 (x )
х
2
20
25
40
4
100
31
60
6
180
33
101
8
200
35
103
10
215
37
105
вариант № 4
S 0 =12; n=4; x =2; d=10;
S = -2
f 1 (x )
f 2 (x ) f 3 (x )
х
2
9
2
10
4
14
13
15
6
18
19
18
8
24
22
22
10
30
28
26
вариант № 6
S 0 =6; n=4; x =1; d=5;
S = -1
f 1 (x )
f 2 (x ) f 3 (x )
х
1
20
15
10
2
25
25
20
3
30
30
30
4
32
35
40
5
35
35
45
f 4 (x )
30
45
50
55
68
f 4 (x )
10
25
69
225
300
30
f 4 (x )
6
14
16
22
25
f 4 (x )
25
25
30
35
40
вариант № 7
S 0 =1.5; n=4; x =0.3; d =1.5;
S =0.3
f 1 (x )
f 2 (x ) f 3 (x ) f 4 (x )
х
0.3
2
4
3
5
0.6
4
5
6
6
0.9
5
6
7
7
1.2
8
9
9
9
1.5
12
11
10
11
вариант № 8
S 0 =0.6; n=4; x =0.1; d =0.5;
S = -0.1
f 1 (x )
f 2 (x ) f 3 (x )
х
0.1
12
10
8
0.2
14
14
12
0.3
15
16
18
0.4
18
20
20
0.5
20
20
22
f 4 (x )
11
15
17
20
21
вариант № 9
S 0 =2; n=4; x =0.4; d=2; S =0.4
вариант № 10
S 0 =1.8; n=4; x =0.3; d =1.5;
S = -0.3
f 1 (x )
f 2 (x ) f 3 (x ) f 4 (x )
f 1 (x )
f 2 (x ) f 3 (x ) f 4 (x )
х
х
0.4
24
20
22
25
0.3
20
15
18
22
0.8
26
25
24
27
0.6
21
20
20
24
1.2
27
27
28
28
0.9
23
23
24
25
1.6
28
28
30
28
1.2
26
27
25
26
2.0
30
30
30
30
1.5
30
30
29
28
5.
Найти предельные характеристики системы массового обслуживания,
вероятность отказа в обслуживании и среднее число занятых каналов, если:
работает n мастеров,
в среднем в сутки поступает m заявок,
время обслуживания одной заявки составляет t минут, очереди нет.
Найти минимальное количество каналов и все характеристики системы
массового обслуживания, при котором она будет справляться с очередью.
Вариант
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
m
t
2
3
2
4
4
3
4
3
2
2
144
192
96
240
288
144
192
96
240
288
24
36
30
48
18
36
30
48
18
24
31
Ольга Вячеславовна Подчищаева
Денис Сергеевич Чистяков
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ:
математический анализ
линейная алгебра
теория вероятностей
экономико-математические методы
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского»
603950, Нижний Новгород, пр.Гагарина, 23
Формат 60Х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Гарнитура Таймс. Усл.печ.л. 1,5 Заказ № . Тираж экз.
Отпечатано в типографии Нижегородского государственного университета
им. Н.И. Лобачевского
603000, Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37
Лицензия ПД №18-0099 от 14.05.01
32