Уравнения в частных производных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического моделирования
Баринов В. А.
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 01.03.01 "Математика",
профиль подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»,
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2015
Баринов В. А. Уравнения в частных производных. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления 01.03.01 "Математика", профиль подготовки
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ», очная форма обучения. Тюмень,
2015 г, 21 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Уравнения в частных
производных [электронный ресурс]/ Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru,
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
директором Института математики и компьютерных наук ТюмГУ.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Татосов А.В., доктор физико-математических
наук, доцент, заведующий кафедрой
математического моделирования
© Тюменский государственный университет, 2015.
© Баринов В. А., 2015.
2
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Фундаментальная подготовка в области теории уравнений c частными производными;
овладение аналитическими методами математической физики; овладение современным
математическим аппаратом для дальнейшего применения в различных приложениях.
Задачами курса являются:
 дать знания: основных понятий теории уравнений с частными производными,
определений и свойств математических объектов в этой области, формулировок
утверждений, методов их доказательств, возможных областей применения теории;
 научить методам решения задач вычислительного и теоретического характера в
области уравнений с частными производными;
 показать применение аппарата и
методов теории уравнений с частными
производными в различных приложениях.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина входит в вариативную часть Блока 1. Для освоения дисциплины
необходимы знания дисциплин: математический анализ, алгебра, аналитическая геометрия,
дифференциальные уравнения. Освоение дисциплины позволит в дальнейшем изучать курсы
вариационное исчисление, физика, численные методы.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№ п/п
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1
Физика
2
Вариационное исчисление
3
Численные методы
Темы дисциплины необходимые для
изучения
обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1
2
+
+
3
4
+
5
6
7
+
+
+
+
+
+
+
8
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
Выпускник, освоивший программу бакалавриата, должен обладать профессиональными
компетенциями (ПК), соответствующими виду (видам) профессиональной деятельности, на
который (которые) ориентирована программа бакалавриата:
научно-исследовательская деятельность:
способностью математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание
постановок классических задач математики (ПК-2);
способностью строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного результата (ПК-3);
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
3
Знать: фундаментальные понятия дисциплины, быть знакомыми с современным
состоянием дисциплины, соотношения эмпирического и теоретического в познании, о
методах теоретического и экспериментального исследования.
Уметь: формулировать и доказывать основные классические и современные
результаты дисциплины.
Владеть: навыками решения классических и современных задач.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Дисциплина «Уравнения в частных производных» читается в пятом и шестом
семестрах. Формы промежуточной аттестации: в пятом семестре – зачет, в шестом – экзамен.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 академических часа, из
них 151,25 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем; 100,75 часа,
выделенных на самостоятельную работу.
Таблица 2.


Вид учебной работы
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:
Самостоятельная работа (всего):
Общая трудоемкость
зач. ед.
час
Вид промежуточной аттестации
(зачет, экзамен)
4
Все
го
час
ов

5
Семестры
6
144
72
72
72
72
7,25
100,75
7
252
36
36
2,6
51,4
3,5
126
зачет
36
36
4,65
49,35
3,5
126
экзамен
3. Тематический план
Таблица 3.
Тематический план
Итого
часов по
теме
Из них в
интерак
тивной
форме, в
часах
Итого
количеств
о баллов
6
7
8
9
18
42
7
0-30
12
12
Модуль 2
18
42
7
0-30
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельная
работа
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
Лекции
Тема
недели семестра
№
1
2
3
1.
Уравнения с частными
производными первого порядка
Всего
1-6
Классификация линейных
уравнений второго порядка
Уравнения и краевые задачи
математической физики
Всего
7-9
6
6
9
21
4
0-15
1012
6
6
9
21
3
0-15
12
12
Модуль 3
18
42
7
0-30
Уравнения гиперболического
типа
Всего
Итого за семестр (часов,
баллов) с учетом иных видов
работ:
из них часов в интерактивной
форме
1318
12
12
18
42
8
0-40
12
36
12
36
18
54
42
126
8
0-40
0-100
11
11
2.
3.
4.
5.
6.
Уравнения параболического
типа
Всего
1-6
Обобщение метода Фурье
712
Всего
7.
8.
Решение методом Фурье
краевых задач для уравнений
эллиптического типа
Функции Грина краевых задач
для уравнений эллиптического
типа
Всего
1315
1618
4
5
5 семестр
Модуль 1
12
12
6 семестр
Модуль 1
12
12
22
18
42
7
0-30
12
12
Модуль 2
12
12
18
42
7
0-30
18
42
7
0-30
12
12
Модуль 3
6
6
18
42
7
0-30
9
21
4
0-20
6
6
9
21
4
0-20
12
12
18
42
8
0-40
5
Итого за семестр (часов,
баллов) с учетом иных видов
работ:
из них часов в интерактивной
форме
Итого (часов, баллов) с
учетом иных видов работ:
из них часов в интерактивной
форме
36
36
11
11
72
72
22
22
54
126
0-100
22
108
252
44
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
ответ на практическом
занятии
контрольная работа
решение задач на
практическом занятии
выполнение
домашнего задания
Итого количество баллов
1
Письменные работы
собеседование
№ темы
Устный опрос
2
3
4
5
6
7
Семестр 5
Модуль 1
1. Уравнения с частными производными
первого порядка
Всего
0-2
0-3
0-20
0-2
0-3
0-30
0-2
0-3
0-20
0-2
0-3
0-30
Модуль 2
2. Классификация линейных уравнений
второго порядка
3. Уравнения и краевые задачи
математической физики
Всего
0-1
0-1
0-10
0-1
0-2
0-15
0-1
0-2
0-10
0-1
0-1
0-15
0-2
0-3
0-20
0-2
0-3
0-30
0-2
0-3
0-30
0-2
0-3
0-40
Всего
0-2
0-3
0-30
0-2
0-3
0-40
Итого за семестр
0-6
0-9
0-70
0-6
0-9
0-100
Модуль 3
4. Уравнения гиперболического типа
Семестр 6
Модуль 1
5. Уравнения параболического типа
Всего
0-2
0-3
0-20
0-2
0-3
0-30
0-2
0-3
0-20
0-2
0-3
0-30
Модуль 2
6
6. Обобщение метода Фурье
Всего
0-2
0-3
0-20
0-2
0-3
0-30
0-2
0-3
0-20
0-2
0-3
0-30
Модуль 3
7. Решение методом Фурье краевых
задач для уравнений эллиптического
типа
8. Функции Грина краевых задач для
уравнений эллиптического типа
Всего
Итого за семестр
0-1
0-1
0-15
0-1
0-2
0-20
0-1
0-2
0-15
0-1
0-1
0-20
0-2
0-3
0-30
0-2
0-3
0-40
0-6
0-9
0-70
0-6
0-9
0-100
5. Содержание дисциплины.
Уравнения в частных производных первого порядка. Основные понятия и
определения уравнений в частных производных (УЧП) 1-го порядка (линейное, нелинейное,
квазилинейное, однородное и неоднородное, частное и общее решение, задача Коши). Общее
решение линейного однородного УЧП 1-го порядка. Общее решение линейного
неоднородного УЧП 1-го порядка. Решение задачи Коши для УЧП 1-го порядка. Решение
системы двух нелинейных УЧП 1-го порядка, разрешенных относительно производных.
Уравнение Пфаффа и его решение. Геометрическая интерпретация квазилинейного УЧП 1-го
порядка и его характеристики.
Классификация линейных уравнений 2-го порядка. Классификация линейных
уравнений 2-го порядка с двумя переменными. Характеристики. Приведение уравнений
гиперболического типа к каноническому виду. Приведение уравнений параболического типа
к каноническому виду. Приведение уравнений эллиптического типа к каноническому виду.
Классификация линейных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Классификация линейных уравнений 2-го порядка от нескольких переменных.
Уравнения и краевые задачи математической физики. Физический вывод
уравнения колебания струны. Уравнение колебания упругого стержня. Гиперболические
уравнения в общем виде. Уравнение распространения электромагнитного поля. Физический
вывод уравнения распространения тепла. Уравнения параболического типа в общем виде.
Эллиптические уравнения как стационарные уравнения. Типы краевых условий.
Классификация краевых задач математической физики. Корректность постановки задач
математической физики. Теорема Ковалевской.
Уравнения гиперболического типа. Решение начальной задачи методом Даламбера.
Физический смысл формулы Даламбера. Устойчивость решения Даламбера. Задача для
полуограниченной прямой. Метод продолжений. Решение однородной краевой задачи для
волнового уравнения методом Фурье. Устойчивость решения Фурье однородной задачи для
волнового уравнения. Физическая интерпретация решения однородной задачи для волнового
уравнения. Решение краевой задачи для неоднородного волнового уравнения методом
Фурье. Физический смысл решения. Решение общей краевой задачи для волнового
уравнения.
Уравнения параболического типа. Решение однородной задачи для уравнения
теплопроводности методом Фурье. Равномерная сходимость решения однородной задачи для
уравнения теплопроводности. Решение краевой задачи для неоднородного уравнения
теплопроводности методом Фурье. Решение общей краевой задачи для уравнения
теплопроводности. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Построение
функции Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой. Решение
неоднородной задачи на прямой.
7
Обобщение метода Фурье. Обобщение метода Фурье. Свойства собственных функций.
Свойства оператора L(Ф) и собственных значений. Теорема Стеклова.
Решение краевых задач для уравнений эллиптического типа методом Фурье.
Уравнения эллиптического типа в общем виде, примеры уравнений. Типы краевых задач для
эллиптических уравнений. Условие применимости метода разделения переменных для задач
с уравнениями эллиптического типа. Решение задачи Дирихле для прямоугольника. Решение
задачи Дирихле методом Фурье (внутренней и внешней) для круга.
Функции Грина краевых задач для уравнений эллиптического типа. Уравнение
Лапласа в криволинейной системе координат. Гармонические функции. Фундаментальные
частные решения уравнения Лапласа. Формулы Грина. Интегральная формула Грина
краевых задач для уравнений эллиптического типа. Условие разрешимости задачи Неймана
для уравнения Лапласа. Теорема о среднем значении гармонической функции. Принцип
максимума. Единственность решения задачи Дирихле для гармонической функции. Функция
Грина для краевых задач уравнений. Функции Грина первой и второй краевой задачи для
уравнения Пуассона. Функция Грина задачи Дирихле для шара и круга. Формула Пуассона и
Кирхгофа.
6. Планы семинарских занятий
Тема 1. Уравнения в частных производных первого порядка.
1. Основные понятия и определения уравнений в частных производных (УЧП) 1-го порядка
(линейное, нелинейное, квазилинейное, однородное и неоднородное, частное и общее
решение, задача Коши).
2. Общее решение линейного однородного УЧП 1-го порядка.
3. Общее решение линейного неоднородного УЧП 1-го порядка.
4. Решение задачи Коши для УЧП 1-го порядка.
5. Решение системы двух нелинейных УЧП 1-го порядка, разрешенных относительно
производных.
6. Уравнение Пфаффа и его решение.
7. Геометрическая интерпретация квазилинейного УЧП 1-го порядка и его характеристики.
Тема 2. Классификация линейных уравнений 2-го порядка.
8. Классификация линейных уравнений 2-го порядка с двумя переменными. Характеристики.
9. Приведение уравнений гиперболического типа к каноническому виду.
10. Приведение уравнений параболического типа к каноническому виду.
11. Приведение уравнений эллиптического типа к каноническому виду.
12. Классификация линейных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
13. Классификация линейных уравнений 2-го порядка от нескольких переменных.
Тема 3. Уравнения и краевые задачи математической физики.
14. Физический вывод уравнения колебания струны. Уравнение колебания упругого стержня.
Гиперболические уравнения в общем виде.
15. Уравнение распространения электромагнитного поля.
16. Физический вывод уравнения распространения тепла. Уравнения параболического типа в
общем виде.
17. Эллиптические уравнения как стационарные уравнения.
18. Типы краевых условий. Классификация краевых задач математической физики.
19. Корректность постановки задач математической физики. Теорема Ковалевской.
Тема 4. Уравнения гиперболического типа.
8
20. Решение начальной задачи методом Даламбера.
21. Физический смысл формулы Даламбера. Устойчивость решения Даламбера.
22. Задача для полуограниченной прямой. Метод продолжений.
23. Решение однородной краевой задачи для волнового уравнения методом Фурье.
24. Устойчивость решения Фурье однородной задачи для волнового уравнения.
25. Физическая интерпретация решения однородной задачи для волнового уравнения.
26. Решение краевой задачи для неоднородного волнового уравнения методом Фурье.
Физический смысл решения.
27. Решение общей краевой задачи для волнового уравнения.
Тема 5. Уравнения параболического типа.
28. Решение однородной задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье.
29. Равномерная сходимость решения однородной задачи для уравнения теплопроводности.
30. Решение краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности методом
Фурье.
31. Решение общей краевой задачи для уравнения теплопроводности. Принцип максимума
для уравнения теплопроводности.
32. Построение функции Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой.
Решение неоднородной задачи на прямой.
Тема 6. Обобщение метода Фурье.
33. Обобщение метода Фурье. Свойства собственных функций.
34. Свойства оператора L(Ф) и собственных значений. Теорема Стеклова.
Тема 7. Решение краевых задач для уравнений эллиптического типа методом Фурье.
35. Уравнения эллиптического типа в общем виде, примеры уравнений. Типы краевых задач
для эллиптических уравнений.
36. Условие применимости метода разделения переменных для задач с уравнениями
эллиптического типа. Решение задачи Дирихле для прямоугольника.
37. Решение задачи Дирихле методом Фурье (внутренней и внешней) для круга.
Тема 8. Функции Грина краевых задач для уравнений эллиптического типа.
38. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат. Гармонические функции.
Фундаментальные частные решения уравнения Лапласа.
39. Формулы Грина. Интегральная формула Грина краевых задач для уравнений
эллиптического типа.
40. Условие разрешимости задачи Неймана для уравнения Лапласа.
41. Теорема о среднем значении гармонической функции.
42. Принцип максимума. Единственность решения задачи Дирихле для гармонической
функции.
43. Функция Грина для краевых задач уравнений. Функции Грина первой и второй краевой
задачи для уравнения Пуассона.
44. Функция Грина задачи Дирихле для шара и круга. Формула Пуассона и Кирхгофа.
9
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Лабораторные работы не предусмотрены учебным планом.
8. Примерная тематика курсовых работ
Курсовые работы не предусмотрены учебным планом.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица5.
№
1
Модули и темы
2
Виды СРС
обязательные
дополнительны
е
3
4
Недел
я
семест
ра
Объем
часов
Кол-во
баллов
5
6
7
1-6
18
0-30
18
0-30
Семестр 6
Модуль 1
1
Уравнения с частными
производными первого
порядка
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2
3
Классификация
линейных уравнений
второго порядка
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
Уравнения и краевые
задачи
математической
физики
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
9
7-9
0-15
9
10-12
Всего по модулю 2:
0-15
18
Модуль 3
10
0-30
Уравнения
решение
гиперболического типа контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
4
работа с
литературой
13-18
18
0-40
Всего по модулю 3:
18
0-40
Итого за семестр*
54
0-100
5
6
7
1-6
18
0-30
18
0-30
18
0-30
18
0-30
Семестр 7
1
2
3
4
Модуль 1
5
Уравнения
параболического типа
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
Всего по модулю 1
Модуль 2
6
Обобщение метода
Фурье
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
7-12
Всего по модулю 2
Модуль 3
7
8
Решение методом
Фурье краевых задач
для уравнений
эллиптического типа
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
Функции Грина
краевых задач для
уравнений
эллиптического типа
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
9
13-15
0-20
9
16-18
0-20
Всего по модулю 3
18
0-40
Итого за семестр*
54
0-100
ИТОГО*:
108
* - с учетом иных видов работ.
11
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
В процессе освоения образовательной программы формируются следующие
компетенции:
способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание
постановок классических задач математики (ПК-2);
способность строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного результата (ПК-3);
12
ПК-2
ПК-3
+
+
+
+
+
Индекс
компетенции
+
+
+
* - дисциплины базовой части
13
Дифференциальная геометрия и топология*
+
+
+
+
Базы данных
Уравнения в частных производных
Системы компьютерной математики
Нестандартный анализ
Ряды и интегралы Фурье
Комплексный анализ*
Объектно-ориентированное
программирование
+
Действительный анализ
3
семестр
Дифференциальные уравнения*
Дифференциальная геометрия и топология*
Теория чисел
Объектно-ориентированное
программирование
2
семест
р
Дифференциальные уравнения*
Дискретная математика*
1
семестр
Аналитическая геометрия*
Избранные вопросы математики
Аналитическая геометрия*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.1. Дисциплины (модули)
4 семестр
5 семестр
+
+
+
+
+
+
ПК-3
+
Системы компьютерной математики
Непрерывные группы
Функции с ограниченной вариацией
Теоретико-множественная топология
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
* - дисциплины базовой части
14
+
+
+
+
+
Выпускная квалификационная работа
+
Учебная практика
+
Преддипломная практика
Граничные свойства аналитических функций
+
Р-адический анализ
Пространства Соболева
7 семестр
История развития математической науки
Вариационное исчисление
Пространства непрерывных функций
Теория обобщенных функций
Банаховы алгебры и гармонический анализ
Физика
6 семестр
Методы оптимизации
Теоретическая механика*
Случайные процессы*
Уравнения в частных производных
ПК-2
Математическая статистика
Индекс
компетенции
Теоретическая механика*
Комплексный анализ*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.1. Дисциплины (модули)
Б.2.
Практики
Б.3.
ГИА
8 семестр
+
+
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал
оценивания:
Таблица 6.
ПК-2
Код
компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
базовый (хор.)
повышенный
(удовл.)
76-90 баллов
(отл.)
61-75 баллов
91-100 баллов
Знает: об основных
законах физики
Знает: о применении
основных законов физики
Умеет: выделить аппарат
исследования, форму
представления задачи и
определить порядок её
решения
Умеет: выделить аппарат
исследования, форму
представления задачи и
выбрать наилучший (из
имеющихся) способ её
решения
Владеет: основными
методами построения
математических моделей
физических процессов
Владеет: основными
методами решения задач
математической физики
Знает: как добиться
наилучших результатов при
построении математических
моделей физических
процессов
Умеет: применять методы
механики математической
физики в большинстве
областей профессиональной
деятельности
Владеет: Набором физикоматематических методов,
построения
математических моделей и
решения задач
математической физики
15
Виды занятий
(лекции, семинар
ские, практические,
лабораторные)
Оценочные
средства (тесты,
творческие
работы, проекты и
др.)
Лекции,
практические
занятия
Устный опрос,
контрольная
работа
Лекции,
практические
занятия
Устный опрос,
контрольная
работа
Лекции,
практические
занятия
Устный опрос,
контрольная
работа
ПК-3
Знает: основные понятия
и определения
математической физики
Знает: простейшие модели
математической физики,
методы и приемы их
исследования
Умеет: пользоваться
основными
определениями и
понятиями
Умеет: пользоваться
основными определениями
и понятиями,
интерпретировать
результаты исследования
простейших задач
Владеет: навыками
использования определений
и понятий, навыками
интерпретации результатов
исследования простейших
задач
Владеет: навыками
использования
определений и понятий
Знает: основные модели
математической физики;
формулировки важнейших
утверждений, методы их
доказательства, возможные
сферы их приложения
Умеет: самостоятельно
проанализировать и
объяснить характер
поведения моделей
математической физики
Владеет: навыками анализа
и объяснения характера
поведения моделей
математической физики
16
Лекции,
практические
занятия
Устный опрос,
контрольная
работа
Лекции,
практические
занятия
Устный опрос,
контрольная
работа
Лекции,
практические
занятия
Устный опрос,
контрольная
работа
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для
оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
1. Найти общее решение уравнения
(𝑥 − 𝑧)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑢
+ (𝑦 − 𝑧) 𝜕𝑦 + 2𝑧 𝜕𝑧 = 0.
2. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную
линию
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝑦 2 𝜕𝑥 + 𝑥𝑦 𝜕𝑦 = 𝑥; 𝑥 = 0, 𝑢 = 𝑦 2 .
3. Привести уравнение к каноническому виду
4. В каждой области, где сохраняется тип уравнения, привести его к каноническому виду
u xx  yu yy  0
5. Решить краевую задачу для волнового уравнения
utt  4u xx  0, t  0, 0  x  1,

u  t , 0   u  t ,1  0,

2
u  0, x   x  1, ut  0, x   1.
utt  9uxx  0, t  0, 0  x  1,

u  t , 0   t  1, u  t ,1  0,

u  0, x   x, ut  0, x   1.
6. Решить краевые задачи для уравнения теплопроводности:
ut  4uxx  0, t  0, 0  x  1,

u  t , 0   u  t ,1  0,

2
u  0, x   x  1, ut  0, x   1.
ut  4uxx  x  1, t  0, 0  x  1,

u  t , 0   u  t ,1  0,

u  0, x   x, ut  0, x   1.
utt  uxx  0, t  0, 0  x  1,

u  t , 0   t  1, u  t ,1  0,

2
u  0, x   x , ut  0, x   1.
17
7. Решить задачу Коши:
ut  uxx  1, t  0,
u  0, x   x.
8. Решить задачи Дирихле:
u  0, 0  r  R, 0    2 ,

u  R,    sin  .
u  0, 0  x  2, 0  y  1,

u  0, y   0, u  2, y   0,

u  x, 0   x  x  2  , u  x,1   x  2  sin x.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Экзамен проходит в виде собеседования по вопросам билета. Билет состоит из трех
вопросов: первый вопрос (В1) – теоретический, второй вопрос (В2) – задача. На подготовку к
вопросу отводится не более 40 минут. По вопросам билета проводится собеседование, в ходе
которого задаются дополнительные вопросы. Ответ на каждый вопрос оценивается по 100
бальной шкале. Результирующая оценка рассчитывается по формуле 0,5*В1+0,5*В2. При
результате от 0 до 60 баллов выставляется оценка «неудовлетворительно»; от 61 до 75 –
«удовлетворительно»; от 76 до 90 – «хорошо»; от 91 до 100 – «отлично».
Примерные вопросы для подготовки к зачету, экзамену
1. Общее решение линейного однородного УЧП 1-го порядка.
2. Общее решение линейного неоднородного УЧП 1-го порядка.
3. Решение задачи Коши для УЧП 1-го порядка.
4. Решение системы двух нелинейных УЧП 1-го порядка, разрешенных относительно
производных.
5. Уравнение Пфаффа и его решение.
6. Геометрическая интерпретация квазилинейного УЧП 1-го порядка и его характеристики.
7. Классификация линейных уравнений 2-го порядка с двумя переменными. Характеристики.
8. Приведение уравнений гиперболического типа к каноническому виду.
9. Приведение уравнений параболического типа к каноническому виду.
10. Приведение уравнений эллиптического типа к каноническому виду.
11. Физический вывод уравнения колебания струны.
12. Уравнение распространения электромагнитного поля.
13. Физический вывод уравнения распространения тепла.
14. Типы краевых условий. Классификация краевых задач математической физики.
15. Корректность постановки задач математической физики. Теорема Ковалевской.
16. Решение начальной задачи методом Даламбера.
17. Устойчивость решения Даламбера.
18. Решение однородной краевой задачи для волнового уравнения методом Фурье.
19. Устойчивость решения Фурье однородной задачи для волнового уравнения.
20. Физическая интерпретация решения однородной задачи для волнового уравнения.
21. Решение краевой задачи для неоднородного волнового уравнения методом Фурье.
22. Решение общей краевой задачи для волнового уравнения.
18
23. Решение однородной задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье.
24. Равномерная сходимость решения однородной задачи для уравнения теплопроводности.
25. Решение краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности методом
Фурье.
26. Решение общей краевой задачи для уравнения теплопроводности.
27. Принцип максимума для уравнения теплопроводности.
28. Построение функции Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности.
29. Решение задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности.
30. Обобщение метода Фурье. Свойства собственных функций.
31. Свойства оператора L(Ф) и собственных значений. Теорема Стеклова.
32. Уравнения эллиптического типа в общем виде, примеры уравнений. Типы краевых задач
для эллиптических уравнений.
33. Условие применимости метода разделения переменных для задач с уравнениями
эллиптического типа.
34. Решение задачи Дирихле методом Фурье для прямоугольника.
35. Решение задачи Дирихле методом Фурье (внутренней и внешней) для круга.
36. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат.
37. Фундаментальные частные решения уравнения Лапласа.
38. Гармонические функции и их свойства.
39. Формулы Грина. Интегральная формула Грина краевых задач для уравнений
эллиптического типа.
40. Условие разрешимости задачи Неймана для уравнения Лапласа.
41. Теорема о среднем значении гармонической функции.
42. Принцип максимума. Единственность решения задачи Дирихле для гармонической
функции.
43. Функции Грина первой и второй краевой задачи для уравнения Пуассона.
44. Функция Грина задачи Дирихле для шара и круга. Формула Пуассона.
45. Объемный потенциал и его свойства.
46. Потенциал простого слоя и его свойства.
47. Потенциал двойного слоя и его свойства.
48. Применение потенциалов к решению краевых задач для уравнений эллиптического типа.
Примеры задач
1. Найти общее решение уравнения
(𝑥 − 𝑧)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑢
+ (𝑦 − 𝑧) 𝜕𝑦 + 2𝑧 𝜕𝑧 = 0.
2. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную
линию
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝑦 2 𝜕𝑥 + 𝑥𝑦 𝜕𝑦 = 𝑥; 𝑥 = 0, 𝑢 = 𝑦 2 .
3. Привести уравнение к каноническому виду
4. В каждой области, где сохраняется тип уравнения, привести его к каноническому виду
u xx  yu yy  0
19
5. Решить краевую задачу для волнового уравнения
utt  4u xx  0, t  0, 0  x  1,

u  t , 0   u  t ,1  0,

2
u  0, x   x  1, ut  0, x   1.
6. Решить краевые задачи для уравнения теплопроводности:
ut  4uxx  0, t  0, 0  x  1,

u  t , 0   u  t ,1  0,

2
u  0, x   x  1, ut  0, x   1.
7. Решить задачу Коши:
ut  uxx  1, t  0,
u  0, x   x.
8. Решить задачи Дирихле:
u  0, 0  r  R, 0    2 ,

u  R,    sin  .
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины «Уравнения в частных производных» используются
следующие образовательные технологии:
– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);
– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной
работы в процессе изучения дисциплины «Уравнения в частных производных»
предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и
интерактивных форм проведения занятий:
– практические занятия в диалоговом режиме;
– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;
– научные дискуссии;
– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Никифоров, А. Ф.Лекции по уравнениям и методам математической физики/ А. Ф.
Никифоров. - Долгопрудный: Интеллект, 2009. - 136 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Михлин, С. Г. Курс математической физики: учебник/ С. Г. Михлин. - Москва: Наука,
1968. - 576 с 2. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.:
Физматлит, 2004. 400с.
2. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики: учебник/ А. Н. Тихонов, А. А.
Самарский. - 7-е изд. - Москва: Изд-во МГУ: Наука, 2004. - 798 с.
20
3. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики: учеб. пособие для студ., обуч. по спец.
"Математика", "Прикладная математика и информатика", "Физика"/ К. Б. Сабитов. - Москва:
Высшая школа, 2003. - 255 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
1.
Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического
факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2.
eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary.ru
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Для работы на занятиях необходим пакет программ Maple 16 (или выше).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Аудитория с мультимедийным оборудованием для лекционных и практических
занятий.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться
с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения семинарского занятия.
Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта
лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- список рекомендуемой литературы;
- наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе
таблицы, рисунки, схемы и т.п.;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений,
основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.
В ходе работы над теоретическим материалом достигается
- понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы;
- воспроизведение фактического материала;
- раскрытие причинно-следственных, временных и других связей;
- обобщение и систематизация знаний по теме.
Методические указания к практическим занятиям можно найти в следующем учебном
пособии
1.
Баринов В.А., Бутакова Н.Н. Уравнения математической физики. Тюмень: Издво ТюмГУ, 2004. 80 с.
21