ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК 10. Основные определения

ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
10. Основные определения
Оболочкой называется тело, образованное двумя поверхностями,
расстояние между которыми – толщина h , мало по сравнению с другими
размерами. Поверхность, делящая толщину оболочки пополам, называется
срединной поверхностью. Обычно все уравнения тонкой оболочки относятся
к срединной поверхности.
Выделим элемент срединной поверхности (рис. 17) и рассечем его
двумя взаимно перпендикулярными плоскостями, проходящими через
нормаль  в точке M .
Рис. 17
Линии пересечения ( A1B1 и A2 B2 ) этих плоскостей со срединной
поверхностью представляют собой кривые, радиусы кривизны которых в т.
M обозначим R1 и R2 . Величины, обратные этим радиусам
K1 
1
1
и K2 
,
R1
R2
78
являются кривизнами срединной поверхности оболочки. Всегда можно на
срединной поверхности найти две взаимно перпендикулярные линии, одна из
которых имеет наибольшую, а другая наименьшую кривизну.
Именно эти кривизны обычно обозначают K1 K 2 и называют главными
кривизнами.
Произведение
главных
кривизн
называется
гауссовой
кривизной:
Г  K1K 2 .
В зависимости от величины гауссовой кривизны различают оболочки
положительной, отрицательной, нулевой и смешанной кривизны. Примером
оболочки с положительной гауссовой кривизной может являться сферическая
оболочка, отрицательной – гиперболическая (седлообразная). Торообразная
оболочка имеет смешанную гауссову кривизну, а цилиндрическая и
коническая – нулевую.
Под действием нагрузки в оболочке появляются внутренние усилия,
которые можно разделить на две группы. К первой относят усилия, которые
действуют в плоскости, касательной к середине поверхности – нормальные
N1 и N 2 , а также сдвигающие S1 и S2 усилия (рис. 18, а). В другую группу
включают изгибающие M 1 , M 2 и крутящие M 12 , M 21 моменты и поперечные
силы Q1 , Q2 (рис. 18, б).
Рис. 18
В отличие от пластинок, в оболочках в основном возникают
растяжение и сжатие, доля изгибных деформаций в работе оболочки
79
существенно
меньше.
Это
обстоятельство
обуславливает
большую
экономичность оболочки по сравнению с пластинкой.
Оболочки, в которых действуют усилия только первой группы и
напряжения можно считать постоянными по толщине, испытывают
безмоментное состояние. Напряженное состояние, в котором действуют
также и усилия второй группы, называют моментным.
Условиями, при которых имеет место безмоментное состояние, можно
назвать следующие:
− кривизны срединной поверхности меняются плавно;
− нагрузка вдоль срединной поверхности меняется плавно;
− закрепления
на
краях
оболочки
позволяют
свободные
перемещения в направлении нормали к срединной поверхности;
− нагрузка на краях оболочки действует в плоскостях, касательных
к срединной поверхности.
Безмоментная теория расчета оболочек основывается на гипотезах
Кирхгофа-Лява:
− гипотеза прямой нормали, в соответствии с которой нормаль к
срединной поверхности до и после деформации остается прямой и
длина ее не меняется;
− гипотеза об отсутствии нормальных напряжений на площадках,
касательных к срединной поверхности.
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое оболочка?
2. Что такое срединная поверхность оболочки?
3. Что такое гауссова кривизна?
4. Как различаются оболочки в зависимости от гауссовой кривизны?
5. Какие две группы усилий выделяются в оболочке?
6. Чем различаются моментное и безмоментное состояния оболочки?
80
7. Приведите
условия
существования
безмоментного
состояния
оболочки.
8. На каких гипотезах основывается безмоментная теория расчета
оболочек?
11. Расчет оболочек по безмоментной теории
11.1. Оболочка вращения при осесимметричной нагрузке
Оболочка вращения имеет одну ось симметрии. Ее срединная
поверхность образована вращением вокруг оси кривой r  r  z  (рис. 19),
называемой меридианом. Точка M этой кривой описывает окружность
радиусом r − параллель. Величину r называют радиусом параллельного
круга.
Рис. 19
При осесимметричной нагрузке в оболочке вращения сдвигающие
(кососимметричные) усилия отсутствуют.
Выделим элемент оболочки двумя меридиональными и двумя
параллельными (перпендикулярными к оси симметрии) плоскостями (рис.
20). На элемент действуют меридиональные погонные усилия N1 , кольцевые
81
погонные усилия N 2 и нагрузка, составляющая которой вдоль нормали к
поверхности − q .
Рис. 20
Проекция сил на нормаль к поверхности  дает:
q ds1ds2  N1ds2
 N 2 ds1

d 
N
d
  N1  1 ds1  ds2

2 
S1
2

 d
d 
N
  N 2  2 ds2  ds1
 0.
2 
s2
2

Пренебрегая величинами третьего порядка малости и заменяя
дифференциалы углов дифференциалами дуг d 
ds1
ds
, d  2 , после
R1
R2
сокращения на ds1 , ds2 получаем:
N1 N 2

 q .
R1 R2
(102)
Для определения меридионального усилия N1 отсечем горизонтальной
плоскостью верхнюю часть оболочки (рис. 21) и спроектируем действующие
на нее силы на ось z .
82
Рис. 21
Равнодействующая нагрузки G  z  , приложенной к отсеченной части
оболочки, в силу осесимметричности действует вертикально. В этом случае
получаем:
G  z   N1  2 r sin  0 ,
откуда
N1 
G z
.
2 r sin 
(103)
Подставляя меридиональное усилие (103) в (102) можем получить
кольцевое усилие N 2 .
Меридиональные усилия дают горизонтальные составляющие
H  N1 cos  ,
которые на нижнем краю оболочки создают горизонтальные усилия
H 0  N10 cos 0 ,
(104)
при нагрузке G  z  , направленной вниз, растягивающие опорное кольцо.
Рассмотрим половину опорного кольца (рис. 22), загруженного
радиальной нагрузкой H 0 .
83
Nк
Nк
Рис. 22
Из условия равновесия

2
2 N k  2  H 0 r0 cos  d  0
0
получаем растягивающее усилие в кольце:
N k  H 0 r0
или, с учетом (104) и r0  R20 sin0 :
1
Nk  N10 R20 sin 20 .
2
(105)
Наибольшее значение усилие N k достигает при 0  45 , а при 0  90
обращается в ноль.
11.2. Изгиб оси оболочки вращения
Расчет оболочки на произвольную нагрузку можно выполнить на
основе аналогии ее с прямым стержнем, работающим на поперечный изгиб.
Будем считать, что меридиональные усилия в сечении оболочки,
перпендикулярном к оси симметрии, изменяются по закону плоскости.
Отсекая верхнюю часть оболочки (рис. 23, а), обозначим Q  z  −
горизонтальную составляющую нагрузки и M  z  − ее момент относительно
оси сечения, перпендикулярной к площади рисунка.
84
Рис. 23
85
Тогда, обозначив N10 − усилие в точке сечения оболочки, лежащей на оси y ,
получаем закон изменения меридионального усилия вдоль параллели
N1  N10
y
r
или, с учетом y  r cos ,
N1  N10 cos .
(106)
Горизонтальная проекция этих усилий (рис. 23, а, б)
H  N1 cos   N10 cos  cos 
дает равнодействующую


2
2
0
0
Q1  4  H cos   rd  4  N10r cos 2  cos  d  4 rN10 cos  .
(107)
Меридиональные усилия создают также момент относительно оси x ,
который уравновешивает внешний момент M  z  :


2
2
0
0
M  z   4  N1 sin   r  yd  4  N10 sin  cos   r 2 cos  d 
(108)
 4 r 2 N10 sin .
Считая, что сдвигающие усилия S в горизонтальном сечении оболочки
(рис. 23, в) распределены по закону
S  S sin ,
(109)
найдем их равнодействующую:


Q2  2Sr sin d  2S r 2 sin 2  d   rS .
0
Равнодействующие Q1
(110)
0
(107) и Q2
(110) должны уравновесить
поперечную нагрузку Q  z  , приложенную к отсеченной части оболочки:

Q  z   Q1  Q2   r N10 cos   S
Из (108) находим меридиональное усилие
86
.
(111)
N10 
M  z
4 r 2 sin 
(112)
и, далее, из (111) сдвигающее усилие
S 
Q z
M z

.
r
4 r 2tg
(113)
Формулы (112) и (113) дают возможность через горизонтальную
составляющую Q  z  и момент M  z  нагрузки определить меридиональное
и сдвигающее в сечениях оболочки. Расчет на вертикальную составляющую
G  z  нагрузки можно выполнить по формулам (102), (103).
Такой расчет является приближенным, поскольку нагрузка в общем
случае может вызвать другие усилия по сравнению с найденными по (102),
(103), (112), (113).
11.3. Оболочка произвольной формы
Для
отображения
поверхности
оболочки
обычно
ортогональную систему криволинейных координат 
используют
и  (рис. 24),
соответствующих линиям главных кривизн.
Рис. 24
Бесконечно малые дуги ds1 и ds2 можно считать отрезками прямых. Их
называют линейными элементами поверхности и они пропорциональны
дифференциалам координат:
ds1  Ad , ds2  Bd  .
87
(114)
Коэффициенты
и
A
называют
B
коэффициентами
первой
квадратичной формы поверхности:
 ds 
2
  ds1    ds2   A2  d   B 2  d   .
2
2
2
2
Например, для оболочки вращения, если координату  отсчитывать
вдоль меридиана, 
− вдоль параллели, а расположение точки на
поверхности определять координатой z на меридиане и углом  на
параллели, получаем:
2
 dr 
ds1  1    dz ,
 dz 
ds2  rd .
2
 dr 
Отсюда A  1    , B  r .
 dz 
В общем случае оболочки коэффициенты A и B являются функциями
координат  и  .
Выделим бесконечно малый элемент CDEF срединной поверхности
оболочки (рис. 25).
Стороны этого криволинейного четырехугольника
CD  ds1  Ad ; EF  ds1 


s1
A
d   A 
d   d ;




CE  ds2  Bd  ; DF  ds2 
s2
B


d   B 
d  d  .




Грани элемента в касательной плоскости образуют углы
d 1 
EF  CD 1 A

d ;
CE
B 
d 2 
DF  CE 1 B

d .
CD
A 
(115)
Дугам CD и CE соответствуют углы d1 и d 2 в плоскостях главных
кривизн:
d1 
CD Ad
;

R1
R1
d 2 
88
CE Bd 
.

R2
R2
(116)
Рис. 25
В безмоментном состоянии на гранях выделенного элемента действуют
погонные нормальные N1 , N 2 и сдвигающие S1 , S2 усилия (рис. 26). В
ортогональной системе координат xyz поверхностная нагрузка представлена
составляющими ее интенсивности X , Y , Z .
89
Рис. 26
Из условия равенства нулю суммы моментов сил относительно оси z
получаем
S1  S2  S .
(117)
Это соотношение выражает закон парности сдвигающих усилий.
Проектируя все силы на ось x , получаем:
  ds2 

N1


N

d

ds

d

  N1ds2 
 1
 2





  ds1 



S
  S2  2 d    ds1 
d    S 2 ds1 





  ds1 



N
  N 2  2 d    ds1 
d   d 2 





  ds2 

S


  S1  1 d   ds2 
d  d 1  X ds1ds2  0.





Раскрывая скобки, приводя подобные и отбрасывая бесконечно малые
выше второго порядка, получаем:
90
N1
  ds2 
  ds1 
N
S
d  1 d ds2  S 2
d   2 d  ds1 




 N 2 ds1d  S1ds2d 1  X ds1ds2  0 .
Далее преобразовываем производные:
N1
  ds2 
N

d  1 d ds2 
 N1ds2  d ;



S2
  ds1 
S

d   2 d  ds1 
 S2ds1  d 



и подставляем дифференциалы углов d 1 , d 2 и d1 , d 2 из (115), (116).
Учитывая закон парности сдвигающих усилий (117), получаем первое
уравнение равновесия в (118). Аналогично получены остальные уравнения
(118) из условий равенства нулю проекций или на оси y и z :

B 
A
 N1B   N2   SA  S  X AB  0 ;

 


B 
A
 SB   S   N2 A  N  Y AB  0 ;

 

(118)
N1 N 2

 Z  0 .
R1 R2
Остальные уравнения (моменты сил относительно осей x и y )
обращаются в тождества.
Три уравнения (118) содержат три неизвестных усилия N1 , N 2 , S , т.е.
оболочка статически определима в бесконечно малом.
Рассмотрим частные случаи оболочки.
Сферическая оболочка. Для нее имеем R1  R2  R . Отсчитывая
координату  вдоль меридиана и заменяя ее на  , а координату  − вдоль
параллели и заменяя ее на  (рис. 27), получаем:
ds1  Rd , dS2  R sin  d ,
т.е. A  R , B  Rsin .
91
Рис. 27
Теперь уравнения (118) будут такими:

S
 N1 sin   N2 cos    X R sin  0 ,



N
 S sin   S cos   2  Y R sin  0 ,


(119)
N1  N 2  Z R  0 .
Цилиндрическая оболочка (рис 28). Для этой оболочки R1   , R2  R ,
ds1  dz , ds2  Rd , A  1, B  R .
Уравнения (118) принимают такой вид:
N1 1 S

 X  0 ,
z R 
S 1 N 2

 Y  0 ,
z R 
N 2  Z R  0 .
92
(120)
Рис. 28
Вопросы для самоконтроля
1. Как образуется поверхность оболочки вращения?
2. Что называется меридианом, параллелью?
3. Какие
усилия
возникают
в
оболочке
вращения
при
осесимметричной нагрузке?
4. Какие допущения о распределении усилий принимают при расчетах
оболочки вращения на изгиб оси?
93
5. Как выполняется приближенный расчет безмоментной оболочки
вращения при произвольной нагрузке?
6. Что называется линейным элементом поверхности?
7. Что такое коэффициенты первой квадратичной формы поверхности?
8. Сколько дифференциальных уравнений равновесия записывают для
безмоментной оболочки произвольной формы?
9. Почему
для
расчета
безмоментной
оболочки
не
нужны
геометрические уравнения?
10.В чем суть закона парности сдвигающих усилий?
12. Расчет оболочек по моментной теории
12.1. Оболочка вращения при осесимметричной нагрузке
Рассмотрим равновесие элемента
abcd
срединной поверхности
оболочки (рис. 29). На его гранях, кроме усилий N1 , N 2 действуют
поперечные силы Q1 и изгибающие моменты M 1 , M 2 . Из симметрии
нагрузки следует, что сдвигающие усилия, крутящие моменты и поперечные
силы Q2 отсутствуют, а усилия N 2 и моменты M 2 будут постоянны вдоль
параллели. Нагрузка при этом задана составляющими Y и Z .
Условия равенства нулю суммы проекций сил на оси y и z , а также
моментов относительно оси x приводят к таким условиям равновесия:
d
 N1r   N2 R1 cos   Q1r  Y rR1  0 ;
d
d
 Q1r   N1r  N2 R1 sin  Z rR1  0 ;
d
(121)
d
 M1r   M 2 R1 cos   Q1rR1  0 .
d
Остальные уравнения равновесия обращаются в тождества, задача
является статически неопределимой и необходимо исследовать деформации.
94
Рис. 29
При
осесимметричной
нагрузке
перемещения
точек
срединной
поверхности определяются двумя составляющими: v − вдоль касательной к
меридиану (тангенциальное перемещение) и
w − вдоль нормали к
поверхности (радиальное перемещение).
Рассмотрим деформацию элемента AB меридиана длиной R1d (рис.
30). После деформации длина элемента изменяется на величину
A' B'  AB 
dv
d  wd
d
и относительное удлинение меридиана составит
1 
Приращение

1 dv w 1  dv
  
 w .
R1 d R1 R1  d

радиуса
параллельного
круга
(122)
соответствует
горизонтальной проекции расстояния AA' на рис. 30:
r'  r  vcos   wsin .
Оно определяет линейную деформацию в кольцевом направлении:
v
r
 2  cos  
w
1
sin   vctg  w  .
r
R2
95
(123)
Рис. 30
Для определения изменения кривизны меридиана найдем поворот
нормали в точках A и B (рис. 30):
A 
v 1 dw
;

R1 R1 d
B 
v
1 dw d  v
1 dw 




 d .
R1 R1 d d  R1 R1 d 
Отношение разности углов поворота нормали к длине R1d дуги AB
дает приращение кривизны меридиана:
1 
1 d  v
1 dw  1 d 
dw 
v
.
 
 2

R1 d  R1 R1 d  R1 d 
d 
(124)
Поворот нормали относительно вертикальной оси в каждой точке
параллели одинаков и составляет
 v
1 dw 
 
 cos  .
R
R
d

 1
1

Соответствующий взаимный поворот нормалей в смежных точках
параллели составит
96
 v
1 dw 


 cos  d .
 R1 R1 d 
Тогда приращение кривизны параллели получим делением величины
этого поворота на длину элемента параллели rd :
 v
1 dw  cos  d
1 
dw 


v

ctg .

R1R2 
d 
 R1 R1 d  rd
2  
(125)
Формулы (122),…, (125) устанавливают связь между деформациями и
перемещениями.
Соотношения
между
усилиями
и
деформациями
представим
упрощенными уравнениями теории тонких оболочек:
N1 
Eh
1   2  ;
1  2
M 1  D  1   2  ;
N2 
Eh
 2  1  ;
1  2
(126)
M 2  D   2  1  ,
Eh3
где D 
− цилиндрическая жесткость, h − толщина оболочки.
12 1  2

Итак,

для
расчета
моментной
оболочки
вращения
при
осесимметричной нагрузке имеем 11 уравнений (121),…, (126), в которые
входят 11 неизвестных: усилия N1 , N 2 , M 1 , M 2 , Q1 , перемещения v , w и
деформации 1 ,  2 , 1 ,  2 .
12.2. Краевой эффект в оболочке вращения
В тонких оболочках вращения при осесимметричной нагрузке
изгибающие моменты M 1 , M 2 быстро затухают вдоль меридиана при
удалении от места возбуждения безмоментного состояния (от закрепленного
края, от места приложения сосредоточенной нагрузки). Дальше решения,
полученные из уравнений моментной и безмоментной теорий, практически
совпадают. Зона, в которой наличием усилий моментного состояния нельзя
пренебрегать,
называется
зоной
краевого
97
эффекта.
Эта
зона
распространяется вдоль меридиана на длину, соизмеримую с долями радиуса
R1 . В связи с этим в пределах этой зоны радиусы R1 , R2 и угол  можно
считать постоянными. Кроме того, изменение моментных усилий здесь имеет
характер быстро затухающих колебаний. Поэтому производные функций
усилий и деформаций в пределах зоны краевого эффекта всегда больше
самих усилий и деформаций. Это дает возможность везде, где суммируются
усилия, перемещения и деформации с их производными, оставлять лишь
соответствующие производные высшего порядка.
На основании изложенных обстоятельств и с учетом того, что в задаче
о краевом эффекте нагрузка отсутствует, уравнения равновесия принимают
такой вид:




dQ1

R2
 N1R2  N 2 R1  0;

d


dM 1
R2 sin 
 M 2 R1 cos   Q1R1R2 sin   0.

d
R2 sin 
dN1
 N 2 R1 cos   Q1R2 sin   0;
d
(127)
Геометрические уравнения преобразуем введением новой переменной
– угла  поворота нормали к меридиану после деформации (рис. 31).
Рис. 31
98
При этом приращения кривизны (124), (125) можно выразить через  так:
1 
1 d
;
R1 d
2 

R2
ctg .
(128)
Для определения  рассмотрим элемент меридиана (рис. 31). Из
криволинейного треугольника ABC вытекает, что до деформации
cos  
1 dr
.
R1 d
(129)
Соответственно, после деформации из треугольника A' B' C' , находим
cos     
d  r 1   2 
R1 1  1  d
.
Преобразуем полученное уравнение:
1  1  cos  cos  sin sin  
r d 2 1 dr  2 dr


R1 d R1 d R1 d
или с учетом того, что sin   , cos  1 , 1 sin sin  1 sin  0 , а также
(129), имеем:
1 cos   sin 
R2
d
sin 2   2 cos  .
R1
d
Отсюда
   1   2  ctg 
В
   30
последнем

выражении
при
R2 d  2
.
R1 d
достаточно
больших
значениях
первым слагаемым можно пренебречь по сравнению со
слагаемым, содержащим производную деформации. Тогда
 
R2 d  2
.
R1 d
(130)
Упростим остальные уравнения. Выразив N 2 из второго уравнения
равновесия (127), подставим в первое. Пренебрегая усилиями по сравнению с
их производными, получаем:
99
dN1
dQ
 ctg 1 ,
d
d
откуда после интегрирования
N1  Q1ctg  C .
Поскольку при учете краевого эффекта нагрузка отсутствует, C  0 и
N1  Q1ctg .
(131)
Подставив (131) во второе уравнение равновесия, после упрощений
имеем:
N2 
R2 dQ1
.
R1 d
(132)
С учетом (131), (132) преобразуем выражение (123) для  2 :
2 
 1 R2 dQ1
1  R2 dQ1
  1Q1ctg  
.

Eh  R1 d
 Eh R1 d
(133)
Из третьего уравнения равновесия вытекает:
Q1 
1 dM1 1
1 dM1
.
 M 2ctg 
R1 d R2
R1 d
(134)
Подставляя (134) в третью формулу (126), находим
 1 d
 D d

M1  D 

ctg  
.
R
d

R
R
d

 1
2

1
(135)
С учетом (135) поперечная сила (134) будет такой:
D d 2
Q1  2
R1 d 2
(136)
и кольцевая деформация (133) выражается через  :
DR2 d 3
h2
R2 d 3
2 

.
EhR13 d 3 12 1  2 R1 d 3


(137)
Подставим далее (137) в (130). После преобразований придем к
приближенному дифференциальному уравнению краевого эффекта:
R24 d 4
 4k 4  0 ,
4
4
R1 d
100
(138)
R23
где k  31   2 .
h
4
Для оболочки вращения вместо угла  введем новую координату –
дугу меридиана s так, что
ds  R1d .
Тогда уравнение (138) принимает такой вид:
4
 k 
d 4

4
    0.
ds 4
 R2 
(139)
Отсчитывая дугу s от нижнего края оболочки вращения, получим
решение дифференциального уравнения в таком виде:
 e

k
s
R2

k
k 
Acos
s

B
sin
s.

R
R

2
2 
Теперь можно найти усилия краевого эффекта у нижнего края
оболочки:
k
s
2 Dk 2
k
k 
Q1   2 e R2  Dcos s  F sin s  ;
R2
R2
R2 

N1  Q1ctg ;
k
2 Dk 3 R2 s 
k
k 
N2 
e  A  B  cos s   B  A  sin s  ;
2
R1R2
R2
R2 

(140)
k
Dk R2 s 
k
k 
M1  
e  A  B  cos s   A  B  sin s  ;
R2
R2
R2 

M 2   M1.
Расчет моментной оболочки вращения на осесимметричную нагрузку
выполняется в таком порядке. По формулам (102), (103) находятся усилия
N10 и N 20 безмоментного состояния. Полученные усилия суммируются с
усилиями (140) краевого эффекта и из граничных условий определяются
постоянные A и B общего решения.
101
Вопросы для самоконтроля
1.
Какие усилия возникают в сечениях моментной оболочки
вращения при осесимметричной нагрузке?
2.
Какие уравнения должны составляться для расчета моментной
оболочки вращения при осесимметричной нагрузке?
3.
Что
такое
зона
краевого
эффекта.
Насколько
она
распространяется от краев оболочки?
4.
Какие допущения принимаются относительно деформаций,
перемещений, усилий и их производных в зоне краевого
эффекта?
5.
В какой последовательности выполняют расчет безмоментной
оболочки вращения на осесимметричную нагрузку с учетом
краевого эффекта?
102
13. Основы теории пластичности
13.1. Основные определения
Пластичностью
называется
свойство
материала
претерпевать
остаточную деформацию без нарушений сплошности под действием
нагрузки.
Теория пластичности устанавливает общие законы образования в
твердых телах пластических деформаций и действующих на всех стадиях
пластического
деформирования
напряжений,
вызываемых
внешними
воздействиями. Теория пластичности рассматривает тела, которые не
подчиняются свойствам упругости. После удаления с таких тел внешнего
воздействия они не восстанавливают первоначальную форму, т.е. получают
остаточные деформации.
Тело, не подчиняющееся законам упругости с самого начала
нагружения, называется пластическим телом. Диаграмма растяжения такого
тела приведена на рис. 32.
Рис. 32
Если же тело в начале нагружения обладает упругими свойствами (участок
Oa на рис 33) и только с некоторой стадии в нем появляются остаточные
деформации, оно называется упруго-пластическим телом.
103
Рис. 33
В теории пластичности рассматриваются две различные задачи:
− изучение процесса деформирования тел на всех стадиях
нагружения;
− определение только лишь несущей способности.
Первая задача относится к математической теории пластичности. В ней
рассматривается определение напряжений, деформаций и перемещений от
заданной нагрузки в любой момент нагружения, определение границы между
упругой и пластической зонами, определение остаточных напряжений и
деформаций при частичном и полном снятии нагрузки.
Вторая задача относится к прикладной теории упругости. В ней
исследуется лишь предельное состояние тела без изучения промежуточных
стадий деформирования.
Законы пластического деформирования зависят от того, растет или
уменьшается нагрузка. В связи с этим различают два вида деформации:
активную и пассивную.
Эти
виды
деформирования
легко
разграничить
при
простом
растяжении-сжатии, чистом сдвиге и чистом изгибе. Активной в этих
случаях будет деформация, при которой напряжение растет по абсолютной
104
величине, а пассивной – при которой напряжение убывает по абсолютной
величине.
При
сложном
напряженном
состоянии
активной
называется
деформация, при которой в данный момент интенсивность напряжений  i
(15)
имеет
значение,
превышающее
по
абсолютной
величине
все
предыдущие ее значения. Пассивной в этом случае называется такая
деформация, при которой интенсивность напряжений по абсолютной
величине меньше хотя бы одного из предыдущих ее значений.
При активном деформировании пластическая деформация растет, при
пассивном – остается постоянной. Активную деформацию называют
процессом нагружения, а пассивную – иногда разгрузкой.
На законы пластического деформирования существенно влияет
характер нагружения тела. Различают простое и сложное нагружения.
Простым называют такой процесс нагружения, при котором внешние
силы возрастают пропорционально одному параметру. Такое изменение
нагрузок обеспечивает постоянство направлений главных напряжений и
деформаций в каждой точке тела.
Сложным является такое нагружение, при котором возрастанию хотя
бы одной из сил не соответствует пропорциональное возрастание остальных
сил.
13.2. Статические, геометрические и физические уравнения
Так же, как и в теории упругости, напряженное состояние в каждой
точке тела, находящегося под действием объемной и поверхностной
нагрузки, определяется шестью составляющими напряжений  x ,  y ,  z ,  xy ,
 yz ,  zx . Эти напряжения связаны тремя дифференциальными уравнениями
равновесия Навье (1), а на поверхности тела должны удовлетворяться
условия (3).
105
Напряженное
состояние
в
точке
тела
также
может
быть
охарактеризовано тремя инвариантами S1 , S2 , S3 (11) или (13). Кроме того,
применяются также такие инвариантные величины как интенсивность
касательных напряжений  i (14) и интенсивность напряжений  i (15).
Деформированное состояние в точке тела определяется шестью
составляющими деформаций  x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  zx , которые связаны
формулами Коши (19) с тремя составляющими перемещений u , v , w . В
свою очередь, деформации должны удовлетворять шести уравнениям
сплошности Сен-Венана (21), (22).
Аналогично
главным
напряжениям
вводится
понятие
главных
деформаций, т.е. таких, в плоскости которых отсутствуют сдвиги.
Кубическое уравнение, получаемое для определения главных деформаций 1 ,
 2 ,  3 имеет коэффициенты
E1   x   y   z  1   2   3 ;
1
1
1
E2   x y   y z   z x   xy2   yz2   zx2 
4
4
4
1 2   2 3   31 ;
1
1
1
1
E3   x y z   xy yz zx   x yz2   y zx2   z xy2
4
4
4
4
 1 2 3 .
Эти
коэффициенты
представляют
собой











(141)
инварианты
деформированного состояния. Из сравнения первой формулы (141) с
выражением (29) объемной деформации, делаем вывод о том, что объемная
деформация также является инвариантной величиной.
Кроме того, в теории пластичности применяется инвариантная
величина
i 
2
3

x   y    y   z    z   x  
2
2
2


3 2
 xy   yz2   zx2 ,
2
(142)
называемая интенсивностью деформаций. Интенсивность деформаций –
величина,
пропорциональная
углу
106
сдвига
на
октаэдрической
(равнонаклоненной к координатным плоскостям) площадке. Числовой
коэффициент в (142) выбран так, чтобы при простом растяжении (сжатии) и
  0 ,5 интенсивность деформаций была равна линейной деформации в
направлении растяжения (сжатия).
Физические
уравнения,
представленные
в
теории
упругости
формулами закона Гука в прямой (24) и обратной (31) форме, для
применения в теории пластичности необходимо преобразовать.
Вычтем из обеих частей первой формулы (31) среднее напряжение в
точке  0 (28):
 x   0    2 x   0 .
(143)
Входящие сюда постоянные  и  (30) запишем так:

2G
;  G.
1  2
С учетом этих постоянных и соотношения   3 0 , подставим (29), (26)
и (23) в (143) и получим:
 x   0  2G  x   0  .
Выполнив
аналогичные
преобразования
со
второй
и
третьей
формулами (31) приходим к такой форме закона Гука:
 x   0  2G   x   0  ;
 y   0  2G   y   0  ;
 z   0  2G   z   0  ;
 xy  2G
 xy 
;
2 
 
 yz  2G yz ;
2 
 
 zx  2G zx . 
2 
Составляющие деформаций  x   0 ,  y   0 ,  z   0 ,
(144)
 xy
2
,
 yz
2
,
 zx
2
соответствуют изменению формы тела, т.к. изменение объема при этом
отсутствует:
 '   x   0    y   0    z   0  
 x   y   z  3 0  0.
107
Таким
образом,
формулы
(144)
устанавливают
связь
между
напряжениями и деформациями, соответствующими только изменению
формы тела.
Формулам (144) соответствуют эквивалентные им соотношения:
 x   y  y   z  z   x 2 xy 2 yz 2 zx





 2G ,
x  y y  z z  x
 xy
 yz
 zx
(145)
которые для главных направлений имеют такой вид:
1   2  2   3  3  1


 2G .
1   2  2   3  3  1
Если ввести понятия главных касательных напряжений и главных
сдвигов:
12 
1   2
2
 23 
;
2 3
2
;
 3  1
2
;
 31   3  1 ,
 23   2   3 ;
 12  1   2 ;
 31 
последние соотношения примут вид:
12  23  31


G.
 12  23  31
(146)
Выражение (142) для интенсивности деформаций преобразуем, заменяя
в нем деформации напряжениями в соответствии с (145):
i 
1
3G 2



  y    y   z    z   x   6  xy2   yz2   zx2 .
2
x
2
2
Сравнивая это выражение с выражением (15) для интенсивности
напряжений, делаем вывод, что
i 
i
3G
или G 
i
.
3 i
С учетом этого закон Гука (144) принимает такой вид:
108
 x 0 
2 i
 x   0  ;
3 i
 y 0 
2 i
 y   0  ;
3 i
 z 0 
2 i
 z   0  ;
3 i
i
 xy ;
3 i

 yz  i  yz ;
3 i

 zx  i  zx .
3 i
 xy 
(147)
Аналогично преобразуются формулы (146):
12  23  31  i
.



 12  23  31 3 i
(148)
Напомним, что соотношения (147) и (148) являются эквивалентными.
13.3. Условия пластичности
Условием пластичности называется условие возможности перехода
материала в рассматриваемой точке тела из упругого состояния в
пластическое.
Для линейного напряженного состояния  2   3  0 и пластические
деформации появляются при
1   т ,
где  т − предел текучести материала – величина, устанавливаемая опытным
путем.
Соответствующее условие для чистого сдвига имеет вид
 т,
где  т − предел текучести материала при сдвиге.
В случае плоского и объемного напряженного состояния условия
пластичности
используются
устанавливаются
два
условия
на
основе
пластичности,
гипотез.
Наиболее
достаточно
часто
правильно
определяющие переход материала из упругого состояния в пластическое.
Первое условие (условие пластичности Сен-Венана) основано на
предположении, что пластические деформации возникают тогда, когда
109
максимальные касательные напряжения достигают предела текучести при
чистом сдвиге:
 max   т .
(148)
Из сопротивления материалов известно, что
1   3
 max 
2
.
При линейном напряженном состоянии имеем  1   т и  3  0 , т.е.
 max 
т  0 т

2
2
.
Сравнивая полученное выражение с (148), получаем
т 
т
2
.
Тогда условие пластичности получаем в таком виде
1   2   т .
(149)
Это соотношение в сопротивлении материалов соответствует третьей
теории прочности – теории наибольших касательных напряжений.
Второе
условие
(условие
пластичности
Губера-Мизеса-Генки)
основано на предположении, что пластические деформации возникают тогда,
когда
интенсивность
касательных
напряжений
достигает
некоторой
постоянной для данного материала величины:
i  C .
Постоянную C
(150)
найдем на основании испытаний при простом
растяжении. Начало пластического деформирования в этом случае имеем при
1   т ;
2  3  0 .
Подставляя эти величины в (14), получаем:
i 
1
2
 т2   т2 
т.
3
3
Сравнивая это выражение с (150), находим постоянную
С
2
т .
3
110
Подставляя (14) и постоянную
в (150), получим условие
С
пластичности в таком виде:

1
2


  y    y   z    z   x   6  xy2   yz2   zx2   т
2
x
2
2
(151)
или в соответствии с (15)
i  т .
(152)
Это условие соответствует четвертой теории прочности сопротивления
материалов.
Условия пластичности Сен-Венана и Губера-Мизеса-Генки дают
близкие результаты. Эксперименты несколько лучше подтверждают второе
условие. Кроме того, это условие удобнее с математической точки зрения,
т.к.  i выражается через составляющие напряжений проще, чем  max . В связи
с этим в теории пластичности чаще используется условие Губера-МизесаГенки.
13.4. Теория малых упруго-пластических деформаций
Существующие теории пластичности можно разделить на два вида.
К первому виду относятся теории упруго-пластических деформаций,
основанные на уравнениях, связывающих напряжения и деформации. Эти
теории, как правило, применяются для расчета строительных конструкций.
Ко второму виду относятся теории пластического течения, в основе
которых
лежат
уравнения,
связывающие
напряжения
и
скорости
деформаций. Теории пластического течения применяются в технологической
практике.
Кроме того, существует несколько противоречивых взглядов на
механизм
образования
пластических
деформаций.
Исследования
А.А.Ильюшина позволили устранить эти противоречия. Он установил, что
при простом нагружении и малых деформациях все известные теории
пластичности являются частными случаями общей теории пластичности. Эта
теория – теория малых упруго-пластических деформаций – достаточно
111
достоверно описывает деформирование твердых тел при малых упругих и
пластических деформациях.
Теория малых упруго-пластических деформаций основывается на
следующих законах, вытекающих из экспериментов.
Первый закон – закон изменения объема. При упруго-пластических
деформациях твердого тела, как активных, так и пассивных, объемная
деформация всегда является упругой и подчиняется закону Гука:
 0  K .
В
теории
пластичности
(153)
обычно
используется
допущение
о
несжимаемости материала. В этом случае
  x  y  z  0 .
т.к.  0 при этом не равно нулю и конечно, то модуль объемного расширения
K должен быть равен бесконечности:
K
E

3 1  2 
Отсюда следует значение коэффициента Пуассона:
  0 ,5
(154)
Тогда между модулем сдвига G и модулем упругости E имеет место
соотношение:
G
E
E
E

 .
2 1    2 1  0 ,5  3
Второй закон – закон изменения формы. В соответствии с ним при
активных упруго-пластических деформациях, возникающих в условиях
простого загружения, главные оси напряжений и деформаций совпадают и
отношения главных касательных напряжений к соответствующим сдвигам
для данного элемента тела постоянны, т.е. справедливы соотношения (148).
Эти
соотношения
могут
быть
заменены
эквивалентными
им
формулами (147). Следует иметь в виду, что шесть формул (147) не являются
независимыми. Действительно, складывая первые три из них, получаем
112
тождество 0  0 . Таким образом, формулы (147) дают систему пяти
уравнений с шестью неизвестными.
Третий закон: интенсивность напряжений  i для данного материала
при активной деформации является вполне определенной функцией
интенсивности деформаций  i :
 i  Ф  i  .
(155)
Как показывают эксперименты, в условиях простого нагружения
диаграмма  i   i для любого напряженного состояния подобна диаграмма
 
при растяжении. Следовательно, между  i
и i
существует
зависимость, подобная зависимости между  и  при растяжении:
  Ф   .
Таким образом, зависимость  i  Ф  i  для любого напряженного
состояния можно установить из опытов при растяжении.
Анализ экспериментов и решение частных задач теории пластичности
позволило высказать следующий постулат, носящий название теоремы
А.А.Ильюшина о простом нагружении: теория малых упруго-пластических
деформаций дает правильные (согласованные с опытом) результаты, по
крайней мере в том случае, когда процесс нагружения тела является
простым.
13.5. Теорема о разгрузке
Разгрузкой всего тела называется процесс изменения внешних сил, при
котором во всех областях тела, где произошла пластическая деформация,
интенсивность напряжений  i начинает убывать одновременно. Это значит,
что тело из стадии активной деформации переходит в стадию пассивной
деформации.
А.А.Ильюшиным сформирована и доказана теорема о разгрузке:
перемещения
точки
тела
в
некоторый
момент стадии
разгрузки
отличаются от их значений в момент начала разгрузки на величины упругих
113
перемещений, которые возникли бы в теле, если бы в естественном
(ненагруженном) состоянии к нему были приложены внешние силы, равные
разности
внешних
сил,
действующих
в
указанные
моменты.
Это
утверждение относится также к деформациям и напряжениям.
Из рассмотренной теории следует такой порядок определения
напряжений, деформаций и перемещений при разгрузке:
−
по уравнениям теории пластичности определяют напряжения,
деформации и перемещения, которые возникают при наибольшей
нагрузке, действующей до начала разгрузки;
−
из
уравнений
теории
упругости
определяют
напряжения,
деформации и перемещения, вызываемые нагрузками, равными по
величине разности между наибольшими нагрузками до начала
разгрузки и нагрузками, оставшимися после разгрузки;
−
получают
напряжения,
деформации
и
перемещения
в
рассматриваемый момент разгрузки как разность между их
значениями,
соответствующими
наибольшей
нагрузке,
и
значениями, найденными по величинам нагрузок, на которые
произошла разгрузка.
13.6. Зависимости между интенсивностями напряжений и деформаций
Как уже указывалось, вид зависимости (155) между интенсивностью
напряжений и интенсивностью деформаций можно установить по диаграмме
растяжения материала. Рассмотрим диаграмму (рис. 34), состоящую из
прямолинейного Oa и криволинейного ab участков.
Напряжение в произвольной точке c можно выразить разностью отрезков:
  kd  kc    tg  kc .
Т.к. на диаграмме tg численно равен модулю упругости E , получаем


  E  kc  E 1 
kc
E
114

  E 1      .

Рис. 34
   
Здесь
kc
E
(156)
− функция понижения напряжений за пределом текучести по сравнению с
напряжениями, получаемыми в предположении, что деформирование
происходит по упругому закону.
В соответствии с третьим законом теории малых упруго-пластических
деформаций зависимость (155) должна иметь такой же вид как при простом
растяжении, т.е.:
 i  E i 1     i   .
(157)
Рассмотрим, какой вид имеет функция    i  для различных видов
диаграммы  i   i .
Для диаграммы, состоящей из двух прямолинейных участков (рис. 35),
за пределом текучести (участок ab ) получаем:
kc  kd  md  cm  E i  E т  E'  i   т 
или
115
kc   E  E'   i   т  ,
где E'  tg  .
Рис. 35
Теперь функция понижения напряжений принимает такой вид:
  i  
где  
 E  E'   i   т    1   т  ,


Eεi

εi 
E  E'
− относительное понижение модуля упругости при переходе в
E
пластическую область деформирования.
Таким образом, функция    i  для диаграммы (рис. 35) будет такой:
 0

   1 

Для
идеального
при
i   т ;
т 
 при
i 
i   т.
упруго-пластического
материала,
(158)
следующего
диаграмме Прандтля (рис. 36), соотношения (158) принимают вид:
116
 0

 т
i
при
i   т ,
при
i   т.
(159)
Рис. 36
Для материала, диаграмма которого не имеет прямолинейных
участков (рис. 37), зависимость  i  Ф  i  можно принять степенной в виде
m
 
i  т  i  ,
 т 
(160)
где 0  m  1 .
При m  1 получаем закон деформирования идеально упругого тела:
i  т
i
 E i .
т
Ему на рис. 37 соответствует штриховая линия Oac .
При
m0
закон
деформирования
соответствует
пластическому телу:
i   т .
На рис. 37 он выражается штриховой линией Kad .
117
идеально
Рис. 37
13.7. Постановка задачи теории пластичности
Таким образом, в теории пластичности имеем 17 неизвестных,
являющихся функциями координат x , y , z :
− шесть составляющих напряжений −  x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  zx ;
− шесть составляющих деформаций −  x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  zx ;
− три составляющих перемещений − u , v , w ;
− интенсивность напряжений  i ;
− интенсивность деформаций  i .
Для их отыскания имеется 17 уравнений:
− три дифференциальных уравнения равновесия (1);
− шесть физических уравнений закона Гука (147), причем только
пять из них являются независимыми. В качестве шестого
уравнения берут закон изменения объема (153);
− шесть формул Коши (19);
− зависимость между интенсивностью напряжений и деформаций
(155);
118
− выражение для интенсивности деформаций (142).
Таким образом при активной деформации и простом загружении задача
имеет математическое решение. Однако практически получить его трудно,
т.к. основные соотношения выражены дифференциальными уравнениями в
частных производных, притом нелинейными.
Для материала со слабовыраженным упрочнением действительную
диаграмму деформирования можно заменить диаграммой идеального упругопластического тела (рис. 36). Тогда вместо шести физических уравнений
(147) можно взять одно из условий пластичности, например (152). При такой
замене нельзя однозначно определить деформации для тела, полностью
находящегося в пластическом состоянии. Однозначное решение в этом
случае можно получить только тогда, когда в теле наряду с пластическими
имеются и упругие зоны.
При решении задачи теории пластичности могут быть использованы те
же способы, что и в теории упругости: решение в напряжениях, решение в
перемещениях и смешанное решение.
Математическое решение задачи может быть получено теми же
методами, что и в теории упругости: прямым, обратным и полуобратным.
Эффективным
является
приближенный
метод
упругих
решений,
предложенный А.А.Ильюшиным.
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое пластичность?
2. Что такое активное и пассивное деформирование?
3. Как отличаются друг от друга простое и сложное нагружения?
4. Что такое инварианты деформированного состояния?
5. Назовите условия пластичности. Как они связаны с теориями
прочности сопротивления материалов?
6. На каких законах основывается теория малых упруго-пластических
деформаций?
119
7. В чем суть теоремы А.А.Ильюшина о простом нагружении?
8. Что называется разгрузкой тела?
9. Как
определяются
параметры
напряженно-деформированного
состояния в соответствии с теоремой о разгрузке?
10.Как
устанавливаются
зависимости
между
интенсивностями
напряжений и деформаций?
11.Какой материал является идеальным упруго-пластическим?
12.Сколько неизвестных содержит задача теории пластичности?
Перечислите их.
13.Назовите уравнения теории пластичности.
14.Перечислите способы и методы математического решения задачи
теории пластичности.
120