metoda

МЕТОДИКА
определения собственных частот элементов
несущих конструкций микроэлектронной
аппаратуры
1
1. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
Методика определения собственных частот элементов конструкции
предназначена для оценки резонансных характеристик базовых несущих
конструкций микроэлектронной аппаратуры (МЭА), представляемых в виде
упруго закрепленных точечных масс или пластин в различном закреплении,
нагруженных сосредоточенными массовыми нагрузками. Для плоских
конструкций рассчитывается как низшая собственная частота, так и высшие
гармоники. Методика может быть использована для оптимизации соотношения
собственных частот конструктивных элементов МЭА, что необходимо
учитывать при конструировании виброустойчивой аппаратуры.
2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1) Виброустойчивость - свойство объекта при заданной вибрации
выполнять заданные функции и сохранять в пределах норм значения
параметров.
2) Вибропрочностъ - прочность при и после заданной вибрации.
3) Гармоника - гармоническая составляющая периодических колебаний.
4) Первая гармоника - гармоника, номер которой равен единице.
Высшая гармоника - гармоника, номер которой больше единицы.
5) Спектр частот - совокупность частот гармонических составляющих
колебаний, расположенных в порядке возрастания.
6) Собственная частота колебаний (вибрации) линейной системы любая из частот свободных колебаний (вибрации) линейной системы.
7) Спектр собственных частот системы - совокупность собственных
частот линейной системы, расположенных в порядке возрастания.
8) Резонансные колебания (вибрация) - частота, при которой
осуществляется резонанс.
9) Коэффициент динамического усиления (коэффициент динамичности)
- отношение амплитуды перемещения при вынужденных колебаниях
или вибрации к некоторому характерному для данного вида
возбуждения постоянному перемещению.
3. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ МЭА,
ПРЕДСТАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМОЙ С ОДНОЙ
СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
3.1. Расчет системы масса-пружина.
В конструкции МЭА существует ряд элементов, которые можно
представить для расчета их собственной частоты как систему с одной степенью
свободы без демпфирования. Моделью такой системы является точечная масса
М, подвешенная на невесомой пружине с жесткостью К. Тогда собственная
частота в Гц равна
1/ 2
1 K
f 
  .
2  M 
Жесткость К определяют как отношение веса W к статическому прогибу
пружины под этим весом ст:
2
K
W
 ст
.
W
, где g - ускорение свободного падения.
g
Отсюда получается другое выражение для собственной частоты:
Масса М равна M 
1
f 
2
 g

  ст
1/ 2



.
Пример.
Самое
простое
представление
расчетной
схемы
амортизированного блока или элемента конструкции представлено на рис.1. Вес
блока - 0,5 кг. Прогиб под действием веса - 1 мм.
f 
1
2
Или K 
g
 ст
W
 ст
W
M 
g
f 
1
2
 м 
9.8 
2
 сек   16 Гц
10 3 м

1
2

0,5кг 
 кг 
 5 10 2  
3
10 м
 м
2
0,5кг 
 2  кг  сек 
 5,110 

 м 
 м 
9,8
2
 сек 
K
1

M 2
 кг 
5 10 2  
м
 15,7 Гц
2
 2  кг  сек 
5,110 

 м 
Данная методика расчета применима только для случая рационального
монтажа (центр тяжести блока совпадает с центром жесткости системы
амортизации).
3
3.2. Расчет системы, включающей несколько упругих элементов.
Если точечная масса подвешена не на одном, а на нескольких различных
упругих элементах, то все их комбинации исчерпываются двумя расчетными
схемами: параллельным и последовательным соединением (см. рис. 2).
При параллельном соединении величины жесткостей складываются:
K   K1  K 2  K 3  ...  K N .
При последовательном соединении величина суммарной жесткости
вычисляется из соотношения:
1
1
1
1
1



 ... 
.
K  K1 K 2 K 3
KN
Пример. Рассчитать жесткость смешанного соединения упругих
элементов, представленного на рис. 2в. Рассчитаем жесткость параллельного
звена
K П  K 2  K3 .
Рассчитаем жесткость последовательного звена
1
1
1
1



K  K1 K 4 K П
откуда суммарная жесткость
K  K  K1  K П  K1  K 4
K  4 П
.
K1  K 4  K П
4
4. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ПЕЧАТНЫХ
ПЛАТ И ДРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ МЭА,
ПРЕДСТАВЛЯЕМЫХ ПЛАСТИНАМИ
4.1. Расчет платы в различном конструктивном оформлении. Для расчета
печатная плата рассматривается как пластина с определенными граничными
условиями. Граничные условия выбираются в зависимости от реального
закрепления печатной платы в блоке. Существуют три типа классических
граничных условий:
1 - опертый край (вдоль края прогиб и изгибающий момент = 0;
2 - защемленный край (вдоль края прогиб и угол поворота сечения = 0;
3 - свободный край (вдоль края изгибающий момент и перерезывающая
сила = 0.
Если край платы приклеен к рамке, то это закрепление считается как
опертый край.
Если край платы помещен в рамку, накрывающую его сверху, снизу и с
торца, то эту конструкцию считают как защемленный край. Если плата двумя
противоположными краями вставляется в упругий разъем, то два другие края
будут считаться свободными.
От того, насколько точно соответствует реальное закрепление печатной
платы теоретическому классическому условию, зависит и точность расчета
собственных резонансных частот.
При расчете для плат принимаются следующие допущения:
1. пластина изотропна, т.е. ее механические свойства одинаковы во всех
направлениях;
2. внешние силы действуют только перпендикулярно плоскости
пластины;
3. толщина пластины одинакова по всей площади;
4. прогибы пластины малы;
5. сдвиговые деформации и кручение отсутствуют.
Для прямоугольных пластинок существует 21 вариант возможных
сочетаний классических граничных условий. На рис. 3 показаны схемы
закрепления пластин, соответствующие этим вариантам.
5
6
Собственная частота i-той гармоники платы, вычисляется по формуле:

D
fi  i 2
, где:

2a
i - частотный параметр, выбираемый в зависимости от закрепления,
соотношения сторон и номера гармоники по графикам.
a - длина пластины;
D - цилиндрическая жесткость;
 - поверхностная плотность.
Пользуясь графиками для i, можно вычислить частоты с первой по
шестую гармоники для плат с соотношением сторон от 0,4 до 2,5. Коэффициент
Пуассона  выбирают в пределах от 0,25 до 0,3.
По этим же соотношениям можно вычислять собственные частоты
стенок корпуса прибора.
Порядок расчета собственных частот ненагруженных плат следующий:
1) определить тип закрепления и выбрать соответствующее ему
семейство кривых или таблицу;
2) определить отношение сторон a/b;
3) определить цилиндрическую жесткость D
Eh3
, где:
D
12 1   2
Е - модуль упругости платы;
h - толщина платы;
 - коэффициент Пуассона;
4) определить поверхностную плотность платы:
  h  d , где d - удельная плотность материала платы;
5) определить по графику значения , соответствующие отношению
сторон a/b;
6) вычислить собственные частоты платы fi, сравнить с диапазоном
частот внешнего воздействия и отобрать частоты, лежащие в этом
диапазоне.
Для расчета на ЭВМ удобнее аналитическая форма представления
собственных частот. Точное выражение для расчета первой и высших гармоник
имеется только для платы, опертой по четырем сторонам, для. других случаев
дается формула расчета первой гармоники, а высшие рассчитывают, как для
опертой пластины, что не дает большой ошибки.
Экспериментально установлено, что высокую точность имеют формулы
для расчета собственных частот плат в различном закреплении, обобщенные
выражением:



1/ 2
D l
m
n 
f  K   4  2 2  4  .
2  a
a b
b 
где K, l, m, n -коэффициенты, отражающие способ закрепления платы;
D - цилиндрическая жесткость;
 - поверхностная плотность;
a, b - размеры платы в плане.
Для наиболее часто встречающихся видов заделки коэффициенты K, l, m,
n сведены в таблицу 1.
7
Порядок расчета собственных частот следующий:
1) определить тип закрепления платы и выбрать соответствующие ему
коэффициенты из таблицы 1;
2) определить цилиндрическую жесткость D;
3) определить поверхностную плотность платы;
4) вычислить по формуле f платы.
Пример. Рассчитать собственные частоты платы из стеклотекстолита
толщиной 1 мм в рамке по контуру. Размеры платы 60х60 мм.
a=6 см;
b=6 см;
a/b=1;
E=3105 кг/см2 (31010 н/м2);
=0,25;
h=0,1 см=10-3 м;
d=2,310-6 кг/м3 (2,3103 кг/м3);
=hd=0,12,310-6=2,310-7;
D
Eh3
3 105  0,1

 26,7 Н  м
12 1   2 12  1  0,252


fi 
i
2a 2
D
3



i
72  
1=19
2=45
3=45
4=59
5=90
6=100

25
 47,6  i
2,3 10 7
f1=1947,6=904 Гц
f2=4547,6=2142 Гц
f3=4547,6=2142 Гц
f4=5947,6=2808 Гц
f5=9047,6=4284 Гц
f6=10047,6=4760 Гц
По таблице выбираем K=1, l=1, m=1, n=2.

D  l
m
n 
f  K   4  2 2  4 
2  a
a b b 
  26,7  1
1/ 2
1
2 
 
 2 2  4 
7  4
2  2,3 10  6 6 6
6 
 D 1
1
2 
   4  2 2  4 
2  a
a b b 
1/ 2

1/ 2
 940 Гц
Разница в 36 Гц для f и fi при расчете по двум различным методикам
находится в пределах точности, достаточной для инженерной оценки
резонансных характеристик конструкции.
8
Число мод пластинки Ni в диапазоне 0 - f вычисляют по формулам:
3  SП
k2 S
Ni 
f  В П , где:
h  CП
4
SП - площадь пластинки, SП=ab;
kВ - волновое число изгибных колебаний
2 
kВ 

, где:
В СВ
СВ и В –соответственно, волновая скорость и длина изгибных
колебаний.
4.2. Расчет платы, нагруженной сосредоточенными массами
(радиоэлементами)
По методу расчета собственных частот платы с элементами можно
условно разделить на 3 группы.
1 группа. Печатные платы с легкими навесными элементами
(бескорпусные ИС, ЭРЭ в виде ЧИПов, МОП и КМОП-кристаллы), равномерно
распределенные по всей поверхности платы.
2 группа. Печатные платы, на которых размещен радиоэлемент с массой,
значительно превышающей массы остальных ЭРЭ (например, трансформаторы,
реле, транзисторы).
3 группа. Печатные платы, произвольно нагруженные радиоэлементами с
различными массами.
Для первой группы массой ЭРЭ можно пренебречь или включить ее в
массу пластины и далее рассчитывать спектр ее собственных частот как для
ненагруженной пластины.
При расчете собственных частот плат второй группы крупный
радиоэлемент принимается как элемент с сосредоточенной массой с
координатами y1 и y2
1 / 2
 4ms  π  n1 y1  2  π  n2  y2  2 
Fn1n 2  f n1n 2  1 
 sin
  sin
  , где:
m* 
a
b
 
 

fn1n2 - спектр собственных частот соответствующей ненагруженной
платы;
ms - масса радиоэлемента;
m* - сумма масс ЭРЭ д .платы, которая определяется
mплаты=dabh;
где d - уд. плотность материала платы, a, b - размеры печатной платы в
плане,
h - толщина платы,
y1 и y2 - координаты радиоэлемента;
n1 и n2 -волновые числа.
9
При расчете спектра собственных частот ячеек, относящихся к третьей
группе, каждый радиоэлемент, установленный на плате, считается
сосредоточенной массой ms с координатами y1, y2. Формула расчета при этом
следующая:
1 / 2
2
2
N

4ms  π  n1 y1   π  n2  y2  
Fn1n 2  f n1n 2  1  
 sin
  sin
  , где:
a
b
 
 
 S ` m* 
fn1n2 - спектр собственных частот соответствующей ненагруженной
платы;
ms - масса элемента;
y1 и y2 - координаты радиоэлемента;
m* - - масса ненагруженной платы;
a, b - размеры платы в плане.
Порядок расчета собственных частот плат с радиоэлементами
следующий:
1) рассчитать, как показано выше, частоту свободной (ненагруженной
радиоэлементами) платы;
2) определить по ТУ массы радиоэлементов;
3) определить по КД координаты каждого элемента относительно
начала координат;
4) определить по формуле частоту платы с радиоэлементами. Для
повышения достоверности результата можно в формулу подставить
значение собственной частоты ненагруженной платы, полученное
при испытаниях на вибростенде.
Пример. Рассчитать собственную частоту платы, данные которой
содержит предыдущий пример, нагруженную, как показано на рис. 5,
радиоэлементами:
2
0,3 10 3
7  кг  сек 
mS 
 3.06 10 

980
 см 
m*  0,1 6  6  2,3 10 6  8,3 10 6 ;
N 1

S 1
N 2

S 1
N 3

S 1
N 4

S 1
N 5

S 1
  1 1 
 0,147   sin

6 

2
4  mS 4  3,06 10 7

 1,47 10 1
m*
8,3 10 6
  1 1 
3
  sin
  9,2 10
6 

2
  1  3    1 1 
2
 0,147   sin
   sin
  3,7 10
6  
6 

2
2
  1 1    1 1 
3
 0,147   sin
   sin
  9,2 10
6
6

 

2
2
  1 1    1  3 
2
 0,147   sin
   sin
  3,7 10
6
6

 

2
  1  3 
 0,147   sin

6 

2
2
  1  3 
1
  sin
  1,47 10
6 

2
10
N 6

S 1
N 7

S 1
N 8

S 1
N 9

S 1
  1  5    1  3 
2
 0,147   sin
   sin
  3,7 10
6  
6 

2
  1 1 
 0,147   sin

6 

2
2
  1  5 
3
  sin
  9,2 10
6 

2
  1  3    1  5 
2
 0,147   sin
   sin
  3,7 10
6  
6 

2
2
  1  5    1  5 
3
 0,147   sin
   sin
  9,2 10
6
6

 

2
2
F=940(1+9,210-3+3,710-2+9,210-3+3,710-2+1,4710-1+3,710-2+
+9,210-3+3,710-2+9,210-3)-1/2 = 817 Гц.
5. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫБОРУ СООТНОШЕНИЯ
ЧАСТОТ ДЛЯ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Число степеней свободы колебательной системы соответствует числу
координат, необходимых для определения положения вибрирующего элемента
в любой момент времени.
Коэффициент передачи вибраций в колебательной системе обычно
определяется как отношение максимального ускорения на выходе системы к
ускорению на ее входе (на заданной частоте), либо смещение на выходе к
смещению на входе.
Понятие совместного резонанса характеризует условия, когда две
системы, объединенные вместе или связанные между собой, одновременно
колеблются на частотах, близких к резонансным. Увеличенное за счет резонанса
смещение на выходе первой системы является входным воздействием для
второй системы, которая вторично усиливает это смещение.
Пример. Коэффициент динамичности системы амортизации равен 3,
коэффициент динамичности платы равен 20. На прибор подается 2g. В случае
близкого расположения собственных частот амортизаторов и платы, перегрузка
на ней составит
2g320=120g.
Для обеспечения надежной работы МЭА при действии вибрации
рекомендуется применять правило октавы. Оно гласит, что при добавлении
каждой новой степени свободы колебаний конструкции расстройка смежных
собственных частот должна составлять октаву (см. рис.6).
Пример. Задана собственная частота системы амортизации f = 100 Гц.
Тогда частота печатной платы должна быть не менее 200 Гц, а частота
установленного на плате радиоэлемента не менее 400 Гц.
11
12