8. Восстановление треугольного сигнала

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
ОТЧЕТ
о выполнении лабораторной работы №2
"исследование спектров периодических сигналов"
по курсу
«ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»
выполнили студенты группы А7-02
Иевлев С.К., Логинов А.В.
Принял преподаватель
Москва, 2011г.
Цель работы: овладение инженерными методами спектрального анализа
динамических процессов.
Периодические сигналы c периодом Tп можно разложить в ряд Фурье:

b0
2
  a n sin nt  bn cos nt  где  
Tï
2 n 1
1 2
1 2
1
b0   y ( )d , a n   y ( ) sin n d , bn 
y (t ) 


0

0
2
0
y ( ) cosn d
1. Формирование периодических сигналов
Частота узкополосного фильтра 0  100.5 рад/с, откуда период входных
сигналов равен Tï 
2
 62.5 мс.
100.5
Для повышения добротности фильтра нужно уменьшать параметры
коэффициенты a и b фильтра, а настройка на частоты, кратные  0
достигается пропорциональным увеличением коэффициентов K1, K2, a и b.
2. Выделение гармоники при низкой добротности фильтра
На примере меандра. Теоретическое значение зависимости коэффициента
разложения в ряд Фурье от номера гармоники соответствующей
синусоидальной составляющей: a n 
4
 n
для нечетных n и амплитуды
входного сигнала A0  1 . Таким образом, теоретические значения
коэффициентов для третьей и пятой гармоник a3  0.425 , a5  0.255 .
Практические значения можно попробовать определить по осциллограмме
выходного сигнала:
Рисунок 1. Выделение третьей гармоники меандра при Q=10.
1
Рисунок 2. Выделение пятой гармоники меандра при Q=10.
Легко можно увидеть, что выходной сигнал не является чистым синусом, т.е.
к гармонике выделенной частоты добавились гармоники смежных частот,
ослабление которых фильтром недостаточно.
Для гармоники n=3 амплитуда выходного сигнала колеблется от значения 4.9
до 3.6, отклонение от расчетного значения составляет 15%. Гармонике n=5
соответствует отклонение 29%, то есть фильтр с такой добротностью не
может быть использован для выделения высоких частот, амплитуды которых
убывают медленно.
2
3. Исследование спектра меандра
Теоретический расчет: An 
4
для нечетных номеров гармоник.
 n
Таблица1. Амплитуды гармонических составляющих сигнала:
n гармоники
Aтеор
Аэксп, Q=100
1
1.27
1.26
2
0
0.01
3
0.42
0.42
4
0
0.01
5
0.25
0.24
6
0
0.01
7
0.18
0.17
Рисунок 3. Сравнение выходного сигнала для третьей гармоники с
Q=100 и Q=10.
3
4. Исследование спектра пилообразного сигнала
Теоретический расчет: An 
2
для всех номеров гармоник кроме 0.
 n
Таблица 3. Амплитуды гармонических составляющих сигнала:
n гармоники
Aтеор
Аэксп, Q=100
1
0.64
0.67
2
0.31
0.32
3
0.21
0.21
4
0.16
0.15
5
0.13
0.13
6
0.11
0.10
7
0.09
0.08
Рисунок 4. Сравнение выходного сигнала для третьей гармоники с
Q=100 и Q=10.
4
5. Исследование спектра сигнала треугольной формы
Теоретический расчет: An 
8
для нечетных номеров гармоник.
  n2
2
Таблица 3. Амплитуды гармонических составляющих сигнала:
n гармоники
Aтеор
Аэксп, Q=100
1
0.81
0.79
2
0
0.01
3
0.09
0.09
4
0
0.01
5
0.03
0.03
6
0
0.01
7
0.01
0.02
Рисунок 5. Сравнение выходного сигнала для третьей гармоники с
Q=100 и Q=10.
5
В заданиях 3-5 для практического определения зависимости амплитуд
гармонических составляющих от номера гармоники использовался фильтр с
добротностью Q=100. Осциллограммы показывают, что использование
фильтра с Q=10 невозможно, т.к. на выходной сигнал большое влияние
оказывают соседние гармоники. Для высокой добротности амплитуды близко
совпадают с теоретическими значениями.
Рисунок 6. Амплитудная характеристика сигналов в заданиях 3-5.
6
6. Восстановление прямоугольного сигнала
Сигнал был восстановлен по первым семи гармоникам, в качестве
коэффициентов были взяты данные для практических значений из таблицы 1.
Рисунок 7. Восстановленный прямоугольный сигнал.
Рисунок 8. Модель схемы восстановления.
7
7. Восстановление пилообразного сигнала
Так как a n  
2
  An , для восстановления сигнала коэффициенты усиления
 n
при
соответствующих
отрицательными.
генераторах
синуса
были
установлены
Рисунок 8. Восстановленный пилообразный сигнал.
Аналогичного результата можно было добиться, выставив фазу генераторов
синуса равной   .
8
8. Восстановление треугольного сигнала
Так как треугольный сигнал является четным, для его восстановления
смещение фазы генераторов синуса нужно было поставить   / 2 .
Рисунок 9. Восстановленный треугольный сигнал.
По осциллограммам для сигналов, восстановленных для первых семи
гармоник видно, что в точках резкого изменения производной исходного
сигнала, восстановленный сигнал может сильно не совпадать с исходным.
Для негладких сигналов амплитуда гармоник убывает с их номером, но не
становится равной 0. Таким образом, для большей точности восстановления
этих сигналов, требуется брать большее количество
слагаемых
гармонического разложения.
9
9. Разработка схемы компенсации искажений
Для компенсации искажений можно попробовать повысить добротность
схемы с фильтром, настроенным на определенную частоту, не меняя
параметров фильтра.
Рисунок 10. Модель фильтра.
Для более читабельного вида модели можно представить ее в виде прямой
передачи, охваченной обратной связью.
Рисунок 11. Схема фильтра в Simulink.
Коэффициенты a и b подобраны для добротности Q=10. Чтобы увеличить
добротность до Q=100 нужно в 10 раз уменьшить эти параметры. Значение b
можно уменьшить, поставив перед ним коэффициент передачи равный 0.1.
Можно заметить, что коэффициент a передает сигнал с выхода фильтра на
вход с соответствующим усилением, инвертируя его. Если подавать сигнал,
умноженный на 0.9 с выхода на вход без инвертирования, результат будет
тем же, как в случае уменьшения коэффициента а в 10 раз.
Рисунок 13. Схема компенсации искажений.
10