ТЕМА 8. Колебания

ТЕМА 8. Колебания
В ходе изучения важно запомнить: определение осциллятора
и основных характеристик колебаний, понятие о видах колебаний и
методах их описания, понятие о фазовом пространстве и фазовой
траектории.
8.1. Гармонические колебания
Рассмотрим несколько изображенных на рис.8.1 – 8.7 систем,
способных совершать движения с многократно меняющимся направлением.
Такие движения принято называть колебаниями. Колебания являются не
новым видом движения, а частным случаем поступательного или
вращательного движения, характерная черта которого - возвратность.
Причинами внимания к рассмотрению именно колебательного
движения являются большая распространенность данного вида движения и
возможность продемонстрировать на простейшем примере использование
аппарата дифференциальных уравнений.
Системы, совершающие колебания, называются осцилляторами.
mx  mg
2 
x
0
l
g
l
I  C  0
2 
Рис. 8.1 Математический
маятник
C
I
Рис. 8.2 Крутильный маятник
+
mx  sx  0
s
2 
m
Рис. 8.3 Пружинный маятник
Рис. 8.4. Физический маятник
lx  2 gx  0
2 
2g
l
mx  2T
2 
x
0
l
2T
lm
Рис. 8.6. Модель струны
Рис. 8.5. U-образная трубка
q
0
C
1
2 
LC
Lq 
Рис. 8.7. Электрический
колебательный контур
8.1.1. Уравнение гармонических колебаний
Рассмотрим подробнее один из осцилляторов – пружинный маятник
(рис. 8.8). Если на пружину подвесить груз массой m, то она удлинится на
величину b, так что в состоянии равновесия будет справедливо равенство
kb  mg
(8.1)
Если предположить, что силы трения в системе отсутствуют, на тело
будут действовать только сила тяжести и сила упругости. При этом
уравнение второго закона Ньютона
следующий
вид

 примет

(8.2)
ma  Fупр  mg
Рис. 8.8. Пружинный маятник
Поместим начало системы
спроецируем (8.2) на ось x, тогда
координат
в
точку
ma  k ( x  b)  mg
равновесия
и
(8.3)
Подставив соотношение (8.1) в уравнение (8.3), получим
ma  kx
(8.4)
Учитывая, что составляющая ускорения вдоль оси равна второй
производной от координаты
2
a
получим
маятника
дифференциальное
d x
dt 2
уравнение
движения
d 2x
m 2  kx  0
dt
Разделив
получим
оба
слагаемых
на
массу
d 2x
2
 0 x  0
2
dt
пружинного
(8.5)
и
введя
обозначение
0 2 
k
m
(8.6)
Уравнение (8.6) называется дифференциальным уравнением
гармонических колебаний. Такое название обусловлено тем, что в
отсутствие диссипативных сил соответствующим выбором выражения для
 02 уравнения для любых осцилляторов могут быть приведены (рис.8.1-8.7) к
виду (8.6). То есть для всех осцилляторов решение будет иметь один и тот же
вид.
Определим размерность величины 𝜔02
кг  м
1
 k  k  Н м




 m  m кг с 2  м  кг с 2
Таким образом, величина  0 представляет собой частоту, в данном
случае – собственную круговую частоту.
Напомним, что решением дифференциального уравнения является
функция, которая при подстановке в уравнение преобразует его в тождество.
Дифференциальное уравнение – линейное и его решения – функции
(8.7)
x  A  cos 0t и x  B  sin 0t
Так как синус и косинус являются гармоническими функциями, то так
же называются и описываемые ими колебания. Общее решение (8.6)
представляет собой линейную комбинацию функций (8.7).
(8.8)
x  a  sin( 0t   )
Соотношение (8.8) называется уравнением гармонических
колебаний. С математической точки зрения соотношение (8.8) – функция, но
таково исторически сложившееся название.
Рис. 8.9 График уравнения гармонического колебания
Здесь a
– амплитуда (максимально возможное значение
отклонения),𝜔0 - круговая частота,φ - начальная фаза,𝜔0 𝑡 + 𝜑 - фаза (рис.
8.9). Значения амплитуды и начальной фазы определяются из начальных
условий, то есть значений координаты и скорости в начальный момент
времени.
Как хорошо видно из рис.8.10 колебательное движение тесно связано с

вращательным, так как проекция на ось x радиус-вектора r , вращающегося с
угловой скоростью 𝜔, совершает гармоническое колебание в соответствие с
уравнением (8.8).
Рис. 8.10. Связь между колебаниями и вращательным движением
Продифференцировав по времени соотношение (8.8) и используя
известные формулы тригонометрии, получим
dx

 a0  sin( 0t    )
dt
2
d 2x
2

a

0  sin( 0t     )
dt 2
то есть скорость опережает смещение на
смещение на  .

, а ускорение опережает
2
8.1.2. Энергия гармонического осциллятора
Так как на гармонический осциллятор не действуют диссипативные
силы, то по теореме сохранения его механическая энергия должна оставаться
постоянной.
Докажем,
что
это
следует
непосредственно
из
дифференциального уравнения гармонических колебаний. Рассмотрение
будем вести на примере пружинного маятника. Сначала вычислим работу
силы упругости при растяжении (или сжатии) пружины на величину 𝑥.
x
1
A   (kx)  dx   kx2
2
0
(8.9)
Предполагая нулевое значение потенциальной энергии в положении
равновесия (𝑥 = 0), поучим выражение для потенциальной энергии
растянутой или сжатой пружины
1
(8.10)
U  kx 2
2
Записав кинетическую энергию через производную от координаты
2
и
учитывая
E  U  K продифференцируем
mv 2 m  dx 
K
  
2
2  dt 
выражение
для
механической
E по времени
(8.11)
энергии,
 dx
dE
dx
dx d 2 x  d 2 x
 kx  m  2   m 2  kx  0
dt
dt
dt dt
 dt
 dt
(8.12)
Равенство нулю вытекает непосредственно из уравнения (8.5). Если
производная равна нулю, следовательно, механическая энергия сохраняется,
то есть в процессе движения происходит переход из кинетической энергии в
потенциальную и обратно (рис. 8.11).
Рис. 8.11 Изменение кинетической и потенциальной
энергий гармонического осциллятора
8.1.3. Фазовые траектории
Для качественного анализа движения механических систем удобно
использовать метод построения так называемых фазовых траекторий в
фазовом пространстве. Для одномерного движения построение таких
траекторий является наиболее простым и наглядным. Пространство, в
котором по разным осям откладывают
координаты и скорости частиц,
называется фазовым. В случае
одномерного
движения
фазовое
пространство естественно является
двумерным: оси 𝑥 и 𝑣𝑥 . Точки в
фазовом
пространстве
задают
состояния системы в определенные
моменты времени, а связывающая
точки фазовая траектория определяет
ее временную эволюцию. Для
заданного значения механической
энергии
пружинного
маятника
Рис. 8.12 Фазовые траектории
фазовая траектория – замкнутая и имеет форму эллипса (рис. 8.12).
8.2. Затухающие колебания
При движении реальных систем в большинстве случаев (особенно, если
рассматриваются большие временные промежутки) необходимо учитывать
диссипативные силы. Посмотрим, как влияет на движение осциллятора
наличие силы вязкого трения (силы линейно зависящей от первой
производной координаты). Выбор именно этого варианта диссипативной
силы связан с двумя обстоятельствами. Во-первых, для многих систем, таких
как математический маятник или электрический колебательный контур, это
основной вид диссипативной силы. Во-вторых, случай сухого трения
оказывается в математическом смысле более сложным, так как в точке
остановки при этом сила трения изменяется скачком.
Рассмотрим движение пружинного маятника, на который кроме силы
упругости действует также сила вязкого трения. После проецирования
уравнения второго закона Ньютона на ось x получим
d 2x
dx
m 2  kx  r
dt
dt
(8.13)
Здесь 𝑘 - коэффициент упругости, а 𝑟 - постоянная в выражении для
силы вязкого трения.
После преобразования и ввода новых обозначений  
(8.13)
колебаний
переходит
в
дифференциальное
r
k
и  02 
m
m
уравнение
d 2x
dx


 02 x  0
2
dt
dt
затухающих
(8.14)
Уравнение (8.14) представляет собой линейное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Как показано в
разделе «Математика» возможны три принципиально различных вида
решения в зависимости от знака величины

2
4
 02
Рис. 8.13 Апериодическое движение
(8.15)
В случае сильного затухания (   0) решение уравнения (8.14)
x  e pt (C1e qt  C2e qt )

называется апериодическим движением. Здесь, p  , q   С1 и С2
2
- константы. Название обусловлено отсутствием прохождения положения
равновесия: получивший начальный толчок маятник сможет вернуться в
положение равновесия только за бесконечно большой промежуток времени
(рис. 8.13).
Увеличение силы вязкого трения (рост коэффициента  ) приводит к
уменьшению величины максимального смещения и времени, в которое оно
достигается.
При   0 реализуется случай критического затухания
x  ( A  Bt )e  pt
где A и B - константы. График решения похож на изображенный на
рис. 8.13. Однако при этом возвращение в малую окрестность положения
равновесия происходит за минимальное время.
Первый и второй случаи крайне редко могут реализовываться в
механических системах (в отличие от электрических систем), так как,
например, для пружинного маятника движение должно происходить в очень
вязкой среде, типа варенья. В то же время случай критического затухания
вследствие своих экстремальных свойств, крайне важен при создании
стрелочных измерительных приборов.
При   0 мы имеем случай затухающих колебаний (рис. 8.14)
x  a  e pt sin( t   )
где:
 2  02 
2
4
 02
Рис. 8.14 Затухающие колебания
Следует отметить, что частота колебаний уменьшается при увеличении
силы вязкого трения (рост коэффициента  ).
Посмотрим на примере пружинного маятника, как изменяется
механическая энергия осциллятора, совершающего затухающие колебания.
2

dE d  m  dx  k 2  dx  d 2 x
dx

 x   m 2  kx   r ( ) 2


dt dt  2  dt  2  dt  dt
dt

Последнее равенства следует непосредственно из уравнения (8.14).
Таким образом, механическая энергия, как и следовало ожидать,
уменьшается и стоящее справа выражение является работой силы вязкого
трения в единицу времени.
Фазовая траектория в случае затухающих колебаний перестает быть
замкнутой линией и имеет вид спирали (рис. 8.15).
Рис. 8.15 Фазовая траектория для затухающих колебаний
8.3. Вынужденные колебания
Часто на осцилляторы кроме уже рассмотренных сил могут
действовать и другие, в частности, носящие периодический характер. В
качестве примера на рис.8.16 изображен математический маятник,
соединенный через пружину и стержень с вращающейся точкой.
Рис. 8.16 Система, совершающая вынужденные колебания
Рассмотрим пружинный маятник, на который действуют сила вязкого
трения и вынуждающая периодическая сила 𝐹0 cos 𝜔в 𝑡. После
проецирования на ось 𝑥 уравнения второго закона Ньютона получим
d 2x
dx
m 2  r  kx  F0 cos в t
dt
dt
Вводя новые обозначения, как и в случае затухающих колебаний,
получим
d 2x
dx


 02 x  f 0 cos в t
(8.15)
2
F
f0  0 .
m
dt
dt
где
Уравнение (8.15) представляет собой линейное неоднородное
дифференциальное
уравнение
второго
порядка
с
постоянными
коэффициентами. Как показано в курсе математики решение такого
уравнения состоит из двух частей: 1) нестационарного члена, являющегося
общим решением однородно уравнения (8.14) и 2) стационарного члена –
частного решения уравнения (8.15)
(8.16)
x  X 0 sin вt  
где амплитуда вынужденных колебаний
f0
X0 
2
02  в 2  4 p 2в 2


(8.17)
а начальная фаза вынужденных колебаний
 в2   02
(8.18)
  arctg
в
Продифференцировав подкоренное выражение в знаменателе формулы
(8.17) и приравняв производную к нулю, получим значение круговой
частоты, для которой амплитуда становится максимальной
2
(8.19).
2
2
 рез  0 
2
Такая частота называется резонансной, а явление резкого возрастания
амплитуды при изменении частоты вынуждающей силы называется
резонансом (рис. 8.17).
Рис. 8.17 Зависимость амплитуды от частоты
Как хорошо видно из рис.8.17 и формулы (8.19) при уменьшении силы
вязкого трения амплитуда вынужденных колебаний растет, а резонансная
частота стремится к собственной частоте 𝜔0 .
На рис.8.18 и 8.19 изображены два случая сложения стационарного и
нестационарного членов для нахождения общего решения уравнения (8.15).
В первом случае частота вынуждающей силы равна, а во втором значительно
меньше частоты затухающих колебаний,
Рис. 8.18 Общее решение при частоте, близкой к резонансу
В обоих случаях хорошо видно, что через некоторый промежуток
времени суммарное колебание практически не отличается от вынужденной
компоненты.
8.3.1. Энергетические соотношения
Рассмотрим вопрос об энергии, передаваемой осциллятору внешней
силой.
Рис. 8.19 Общее решение вдали от резонанса
Мгновенная мощность может быть определена, как производная от
работы силы, поэтому, продифференцировав выражение (8.16), получим
P  F v 
F02в
m (  в )  4 p в
2 2
2
0
2
2
cos в t  cos(в t   ) (8.20)
Проинтегрировав мощность по периоду колебаний T и разделив
полученный результат на T , получим среднюю мощность
T
T
F02 K
Pdt F02 K
Pср  

  cos в t  cos(в t  )dt 
cos (8.21)
T
T
2
0
0
где
K
в
.
m (  в )  4 p в
2
0
2 2
2
2
Если посчитать работу силы вязкого трения за период, то, используя
формулу (8.18), можно увидеть, что вычисленная величина совпадает с
выражением (8.21). То есть в стационарном состоянии амплитуда и фаза
осциллятора, совершающего вынужденные колебания, устанавливаются
таким образом, чтобы средняя энергия, передаваемая внешней силой в
единицу времени, точно равнялась средней энергии, теряемой в единицу
времени из-за наличия силы трения.
Существуют
такие
колебательные системы, в
которых
осуществляется
автоматический импульсный
подвод
энергии,
компенсирующий потери на
трение
(например,
маятниковые
часы
с
гирями). Возникающие при
этом колебания называются
автоколебаниями. На рис.
8.20
показаны
вид
Рис. 8.20 Автоколебания
вынуждающей силы в этом
случае и получающиеся в результате почти гармонические колебания.
Фазовые диаграммы автоколебаний для двух разных способов подкачки
энергии показаны на рис.8.21.
Рис. 8.21 Возможные виды фазовых траекторий при автоколебаниях