Широков Н.Н., Вознесенский Э.Н. Течения вязкой жидкости

Введение
В предыдущих выпусках тематических пособий речь шла о
движении жидкостей или газов в предположении их идеальности,
то есть не обладающих трением. При течении жидкости без трения
между её отдельными соприкасающимися слоями действуют только нормальные силы (давление), касательные же силы отсутствуют.
Механическое сопротивление, возникающее в плоскости касания
двух прижатых друг к другу тел при их относительном перемещении, в физике называется внешним трением. Обтекание идеальной
жидкостью твёрдого тела из-за отсутствия касательных сил приводит к скольжению жидкости вдоль его стенки. В реальных жидкостях этого не происходит, жидкость прилипает к стенке, на обтекаемую твёрдую поверхность передаются касательные напряжения.
Здесь имеет место так называемое внутреннее трение. Последнее
проявляется и в твёрдых телах при необратимом поглощении механической энергии, получаемой телом при деформации. В жидкостях и газах синонимом внутреннего трения является их вязкость.
Вязкость – это свойство жидкостей и газов сопротивляться действию внешних сил, вызывающих движение среды. Существование
касательных напряжений и прилипание жидкости к твёрдой стенке
качественно отличает движущуюся реальную жидкость от идеальной.
Для расчёта вязких течений необходимо знать связь возникающих напряжений сдвига с характеристиками движущейся среды, её вязкостью. Трудности расчёта обусловлены тем, что движение жидкости в общем случае подчиняется разным закономерностям, характер которых зависит от главного критерия подобия для

uD 
реальных сред – числа Рейнольдса  Re 
 . Различают лами 

нарные течения – течения, при которых жидкость или газ перемещаются слоями без перемешивания, и турбулентные течения. Существование ламинарных течений возможно только до достижения
определённого, критического значения числа Рейнольдса  Re кр  .
При Re, больших Re кр , ламинарное течение теряет устойчивость
и переходит в турбулентное течение. Турбулентные течения – течения жидкости или газа, в которых частицы среды совершают
3
неупорядоченные, хаотические движения со сложными траекториями, а их скорость, температура, давление и плотность испытывают
хаотические флуктуации. Турбулентные течения отличаются от
ламинарных течений интенсивным перемешиванием, теплообменом, большими значениями коэффициента трения и пр. В природе
и технике большинство течений жидкостей и газов являются турбулентными.
Для ламинарных течений, как показывают результаты экспериментов, справедлива гипотеза Ньютона, согласно которой
напряжение сдвига пропорционально скорости относительного
сдвига, а коэффициент пропорциональности есть коэффициент вязкости среды. Однако гипотеза Ньютона справедлива не для всех
жидкостей. Для так называемых неньютоновских жидкостей коэффициентом пропорциональности служит некая эффективная вязкость. В отношении турбулентных течений на сегодняшний день
строгой точной зависимости, связывающей напряжение трения и
скорость относительного сдвига, не найдено. Поэтому существующие методики расчёта в той или иной степени носят приближенный
характер. Одной из главных задач настоящего методического пособия является ознакомление студентов с наиболее надёжными,
удобными в работе подходами к расчётам течений вязких жидкостей.
1. Течение в трубах
Изучение влияния внутреннего трения на закономерности
течения жидкости или газа целесообразно начать с какой-либо простейшей практической задачи, например, с задачи об адиабатическом течении в прямолинейном канале круглого сечения – в трубе.
Следует особо отметить, что выбранная форма поперечного сечения трубы является наиболее выгодной для рассмотрения данного
течения, так как предполагает одинаковость всех параметров, характеризующих движение, по периметру трубы в каждом сечении.
Нетрудно убедиться, что любая другая форма поперечного сечения
канала априори этим условиям может не отвечать. Прямолинейность канала также является условием отнюдь не тривиальным, ибо
любое изменение направления движения жидкости в канале влечёт
за собой дополнительные потери. Тем самым прямолинейная круглая труба является наилучшим объектом для стартового изучения
движения реальной жидкости. При экспериментальных исследова4
ниях течений в трубах наиболее характерным наблюдаемым эффектом является изменение статического давления по длине трубы.
Если же подходить к этим течениям с позиций идеальной жидкости, то статическое давление должно оставаться постоянным. Поэтому изменение статического давления по длине трубы в какой-то
степени характеризует отличие реального течения от идеального. С
целью первоначального анализа течения воспользуемся так называемой Пи-теоремой (ей посвящён специальный раздел следующего
учебно-методического пособия «О подобии и анализе размерностей»). Пи-теорема утверждает: если для функционального представления какой-либо физической закономерности требуется n
независимых размерных величин, из которых k имеют независимые размерности (причём k , очевидно, не превышает числа основных единиц измерения), то из этих n величин нельзя составить
больше чем n  k независимых безразмерных комплексов степенного вида.
Итак, вначале выстраиваем перечень параметров, состоящий
из определяющих течение независимых размерных величин (число
n ). Зависимая (определяемая) размерная величина нами уже оговорена – это изменение статического давления по длине трубы. В
данном примере присутствуют как бы два объекта исследования:
сама труба и поток жидкости. В принципе никакой связи между
ними нет, а потому каждый объект вносит свою долю независимых
размерных величин. Для трубы – это, конечно, длина L и внутренний диаметр трубы D. Что касается материала и толщины стенок
трубы, то в адиабатическом течении (без теплообмена с окружающей средой) эти параметры значения не имеют. Другое дело – состояние внутренней поверхности трубы. Оно может быть разным и
характеризуется параметром, называемым шероховатостью, разновидности которой отличаются бесконечным разнообразием. Поэтому вводят понятие «технически гладкой трубы», когда имеется в
виду состояние внутренней поверхности трубы, дающее вполне
определённый минимальный уровень потерь на трение (остающийся постоянным при уменьшении степени шероховатости стенки).
Поток жидкости или газа определяется в начальном, контрольном для расчётов сечении трубы и зависит от скорости, плотности, температуры, рода среды, коэффициента вязкости. Упоминая во введении о турбулентности, мы отметили, что перечисленные параметры испытывают весьма быстрые флуктуации. Таким
5
образом, можно сказать, что поток в начальном (контрольном) сечении обладает определённой начальной турбулентностью. Её уровень, подобно шероховатости стенок трубы, может быть различным. Это условие также должно быть оговорено заранее. Принимают, что начальный уровень турбулентности соответствует среднему статистическому для данных условий. В результате исходная
цепочка независимых размерных величин  n  для гладких труб
включает в себя длину трубы L , диаметр трубы D  м  , скорость
 кг 
м
потока жидкости u   , плотность жидкости   3  , температус
м 
 
ру жидкости T (град. Кельвина), род жидкости через газовую поR,
стоянную
которая,
в
свою
очередь,
равна
 дж
м2 
= 2
R  c p  cV 
 , коэффициент динамической вяз кг  град с  град 
 кг 
кости  
 . Итого имеем восемь величин и
 мс 
p  f (L, D, u, , T , c p , c v , ).
(1.1)
В механике за основные величины и соответственно за основные размерности обычно принимают длину, время и массу. В
газовой динамике к ним добавляется ещё одна – температура. Таким образом, число основных единиц измерения равно четырём и
совпадает в данном случае с числом параметров ( k ), имеющих независимые размерности (в качестве таковых можно взять L или D,
u,  и T ). Согласно Пи-теореме число независимых безразмерных комплексов составит n  k  4. Сказанное выше можно представить в символической форме:
  F(1 , 2 , 3 , 4 ).
(1.2)
Зависимую безразмерную переменную , содержащую искомое изменение статического давления p, обычно выражают как
отношение p к скоростному напору

p
,
u 2
2
6
u 2
, т. е.
2
(1.3)
и связанно это с тем обстоятельством, что, говоря о течении в трубах, как правило, имеют в виду течения несжимаемой жидкости.
Независимые безразмерные комплексы  i должны содержательно
отражать физическую сущность задачи: отношение геометрических
параметров трубы, относительные характеристики движущейся
среды, отношение действующих сил и т. п. Тогда можно считать,
что
cp
L
1  ;  2 
 ;
D
cV
3 
скорость потока

скорость звука
u
cp
cV
4 
c
p

 M;
 cV T
сила инерции uD

 Re.
сила трения

(1.4)
Окончательно
p
L

 F  ; ; M; Re  .
2
(1.5)
u
D

2
Течения газа в технически гладких трубах с определённой начальной турбулентностью, для которых безразмерные критерии
1 , 2 , 3 и 4 одинаковы, будут механически подобны. Критерии
 называют критериями подобия.
Следующей задачей является определение функциональной
зависимости в выражении (1.5). На весьма малом участке L, отстоящем от входа на расстоянии x, можно считать, что F есть лиL
нейная функция от
, тогда
D
p u2  x


  ; ; M; Re  .
(1.6)
L 2D  D

x

Коэффициент   ; ; M; Re  называют локальным коэффициD

ентом сопротивления трубы.
Если мы имеем дело с течениями несжимаемой жидкости,
перечень определяющих параметров укорачивается с восьми до
7
пяти. Из него убираются T , c p и cV и, значит, из (1.5) и (1.6) –  и
M . Следовательно,
p u2  x


  ; Re  .
(1.7)
L 2D  D

При равномерном течении несжимаемой жидкости в трубе
длиной L разность сил давления в сечениях, ограничивающих выделенную массу жидкости, равна силе трения о стенки трубы, силе
сопротивления, в том числе и для любого малого отрезка трубы L
D2
p  DL, где через
с перепадом давления на нём p, т. е.
4
 обозначено напряжение трения на стенке. Отсюда
p 4
 .
(1.8)
L D
Сравнив (1.8) и (1.7), выразим силу сопротивления как
D2
u2
L
.
4
2D
Тогда сила сопротивления, отнесённая к единице массы движущейся жидкости, будет равна
u2
(1.9)
f 
.
2D
Теперь, чтобы принять во внимание действие «вязкого» фактора, уравнение импульсов для идеальной жидкости (см. [8]) должно быть дополнено силой сопротивления. В результате получим
dp
u2 dx
udu   
 0.
(1.10)

2 D
В уравнение (1.10) входит неизвестный коэффициент сопротивления  , определить который методами теории размерностей и подобия невозможно. Для его нахождения необходимо привлечь дополнительные соображения о законе трения. В своё время, анализируя
результаты опытов течения реальной жидкости, Ньютон предложил
простую зависимость, связывающую напряжение силы трения с
поперечным градиентом скорости и коэффициентом вязкости, применяемую в случае прямолинейного «сдвигового» ламинарного
движения:
du
 .
(1.11)
dy
8
Равенство (1.11) называют законом трения Ньютона. Однако подчеркнём, этот закон представляет собой только относительно простой частный случай. Обобщением элементарного закона трения,
как мы увидим в дальнейшем, будет закон трения Стокса*). Следует
ещё заметить, что коэффициент вязкости движущейся среды есть
величина, зависящая от давления и температуры. Опыты показывают, что у реальных газов и жидкостей изменение давления (исключая область очень высоких давлений) почти не влияет на их
коэффициент вязкости. Зато зависимость последнего от температуры существенна. В литературе имеется набор формул, аппроксимирующих различные участки зависимости вязкости газов от температуры. Приведём лишь одну, наиболее универсальную аппроксимацию, так называемую формулу Сазерленда:
1.5
  T  273  C

,
(1.12)

00  273  T  C
где, например, для воздуха константа C =122 K, 00 – вязкость при
кг
T00  273 K, 00 возд.  1, 75  10 5
.
мс
Используем теперь закон трения Ньютона для расчёта коэффициента сопротивления  при равномерном течении вязкой несжимаемой жидкости в прямой круглой трубе. Но сначала разберёмся, как следует понимать в данном случае слова «равномерное
течение». В отличие от просто стационарного течения здесь они
означают, что скорости всех жидких частиц параллельны оси потока и постоянны, но, конечно, вследствие вязкости зависимы от удалённости частиц от оси трубы. Отсюда следует, что распределение
скоростей жидкости вдоль радиуса в каждом поперечном сечении
трубы одно и то же, значит, по (1.11), (1.8) и (1.7) постоянны про-
*)
Формула (1.11) при искривлении линий тока, путём замены про-
изводной
d
d
на
( n – нормальное к линиям тока направлеdn
dy
ние), неприменима, в чём легко убедиться на примере известной
задачи гидростатики о вращении жидкости как твёрдого тела. Правильный результат в данном случае, говорящий об отсутствии касательных усилий, даёт именно закон Стокса.
9
дольный градиент давления и локальный коэффициент сопротивления трубы.
Итак, выделим, как
показано на рис. 1, внутри
течения жидкий элемент
цилиндрической
формы
длины L и радиуса r . Разность давлений
p1  p2 ,
действующих на торцевые
сечения выделенного цилиндра,
создаёт
силу
2
 p1  p2  r , направленную
Рис. 1. К выоду закона сопротивления Гагена–Пуазейля
по оси трубы. Так как здесь
ускорение жидкости отсутствует, то эта сила уравновешивается силой трения DL , возникающей на боковой поверхности цилиндра по закону трения
du
 .
dr
Условие равновесия даёт дифференциальное уравнение
p p
du
 p1  p2  r 2  2rL  0, или du   12L 2 rdr.
(1.13)
dr
Интегрируя (1.13) и принимая во внимание, что u  0 при r  R
(прилипание жидкости к стенке), получим
p  p2 2
u 1
R  r2 .
(1.14)
4L
Объёмный расход жидкости будет равен
R
p  p2
Q  2  urdr  1
R 4 .
(1.15)
8
L

0
Последняя зависимость носит название закона Гагена–
Пуазейля.
Описанное движение жидкости характеризуется как ламинарное. Скорость течения на стенках трубы равна нулю, а в середине трубы имеет максимальное значение. В точках цилиндрических поверхностей с осями, совпадающими с осью трубы, скорость
течения, повторим ещё раз, постоянна, отдельные цилиндрические
10
слои скользят друг по другу и притом так, что скорость везде имеет
осевое направление.
Зная объёмный расход жидкости (1.15), вычислим среднюю
скорость течения u :
p  p2 2
Q
u
 1
R .
(1.16)
2
R
8L
Сопоставляя (1.16) с (1.7), имеем
64u
 2 .
(1.17)
u D
При выводе (1.7) специально не оговаривалось, какая именно
скорость движения жидкости берётся в качестве определяющего
параметра, поскольку тогда это было непринципиально. Закон Гагена–Пуазейля задаёт профиль скорости в каждом поперечном сечении трубы, который, следует заметить, не имеет участков с постоянной скоростью.
В трубном течении газа с относительно небольшим перепадом давления изменение температуры газа вдоль трубы также мало,
а потому оно не может оказать серьёзного влияния на характер течения (в сравнении с «несжимаемым» случаем). Тогда, как мы уже
говорили, коэффициент сопротивления не должен зависеть от числа M и числа . Плотность и средняя по сечению скорость газа
будут постоянны вдоль трубы, и, понятно, их и следует теперь сделать определяющими величинами. Постоянными будут и число
Re, рассчитываемое по средней скорости, и коэффициент сопротивления. Таким образом, зависимость (1.17), учитывая, что u  u,
приобретает окончательный вид:
64 64


.
(1.18)
uD Re
Важно помнить, что число Re построено по средней скорости и
диаметру трубы.
На рис. 2 представлены экспериментальные точки и расчётные значения коэффициента  в зависимости от числа Re для
гладких труб. Как следует из сопоставления данных, теоретическая
формула прекрасно подтверждается экспериментом при низких
Re. Совпадение расчётных и экспериментальных данных прослеживается до числа Re  2000  2200. При больших Re происходит
активное включение механизма турбулентности, сопротивление
11
возрастает. Дальнейший ход зависимости (Re) резко отличается
от полученной для ламинарного течения.
Рис. 2. Коэффициент сопротивления для гладких труб.
1 – ламинарный режим (течение Пуазейля), 2 – турбулентный режим
(формула Блазиуса), 3 – турбулентный режим (формула Никурадзе),
• – экспериментальные данные
Одним из способов расчёта турбулентного течения является
использование эмпирических формул или формул, основанных на
полуэмпирических теориях. В качестве иллюстрации к сказанному
приведём две наиболее удачные аппроксимации экспериментальных данных для гладких труб, указав пределы их возможного применения по числу Re. Это – формула Блазиуса (справедлива до
Re  4  105 ):
0.3164

(1.19)
(Re)0.25
и
формула
Никурадзе
(применяется
в
интервале
Re  1  105  1  106 ):
0.221
  0.0032 
.
(1.20)
(Re)0.237
В справочной литературе можно найти ещё ряд аналогичных формул. Т. е. применительно к данной простой, но важной в практическом отношении задаче есть возможность найти подходящее выра12
жение для зависимости (Re) в турбулентной области. Заметим
кратко, что область перехода от ламинарного течения к турбулентному подобным вниманием (результатом которого являлись бы
расчётные соотношения и практические рецепты) явно обделена, за
исключением, пожалуй, начальной точки перехода. Попыткам затянуть переход и продлить ламинарное течение в область больших
Re посвящено много работ. Эти исследования активно продолжаются и сегодня. На начало перехода влияют те два ранее упомянутых фактора, которые мы оставляли в стороне, – это шероховатость
стенок трубы и уровень начальной турбулентности. В реальных
условиях трубы не всегда могут рассматриваться как гидравлически (технически) гладкие. Шероховатость стенок приводит к увеличению сопротивления. Как уже отмечалось, многообразие форм
шероховатости затрудняет выбор соответствующего определяющего параметра. Наиболее приемлемым оказалось введение параметра
h
так называемой относительной шероховатости , где h есть выR
сота элементов шероховатости и R – радиус трубы, или обратной
ей величины.
На рис. 3 приведены экспериментальные данные (Re) для
шероховатых труб при изменении обратной величины параметра
R
R
шероховатости
от 1300 до 15. Трубы с
 1300 согласно
h
h
опытным наблюдениям могут считаться технически (гидравлически) гладкими. Из рис. 3 замечаем, что при ламинарном режиме
шероховатость не влияет на коэффициент сопротивления. В турбулентной области течения кривые (Re) для каждой величины относительной шероховатости стремятся с ростом Re к определённому пределу, зависящему только от степени шероховатости и
определяемому по эмпирической формуле:
1
R
 1.74  2  lg .
(1.21)
h

Исследования турбулентных течений в трубах с некруглым
поперечным сечением показали, что для систематизации результатов целесообразно брать коэффициент сопротивления, отнесённый
к эквивалентному, или гидравлическому радиусу, вычисляемому
13
как отношение величины удвоенной площади поперечного сечения
к длине его периметра.
Рис. 3. Коэффициент сопротивления для шероховатых труб.
1, 2, 3 – см. рис. 2
Течение в изогнутом трубопроводе сопровождается возникновением отрывных зон и вторичных течений, увеличивающих сопротивление, причём в ламинарном течении влияние кривизны канала сказывается значительно сильнее, чем в турбулентном.
Учтя вязкие эффекты с помощью коэффициента сопротивления  , ранее мы составили вполне определённое одномерное уравнение импульсов (1.10), т. е. теперь у нас имеется вся совокупность
уравнений для вязкого одномерного течения, а именно: уравнения
сохранения расхода и энергии и уравнение импульсов:

 Au  Q  const;

 du 1 dp
u2


 0;
(1.22)
u
2D
 dx  dx
 u2
T0
 P (   1) 2
1 2

aкр , или
 1
M .
 
T
2
 2   1  2(   1)
Здесь под u понимается средняя по сечению скорость газа.
14
Вспомним, что данное течение зависит от трёх критериев
подобия , M, Re . Опытные наблюдения, однако, говорят, что
коэффициент  для гладких труб практически не зависит от числа
M. Это обстоятельство заметно облегчает задачу при решении системы (1.22). Несложные преобразования позволяют установить
u
связь безразмерной скорости  
с коэффициентом сопротивaкр
ления  :
1 1
dx
 d
 .
  1
  2

x

(1.23)
Согласно
уравнению (1.23) в цилиндрической трубе при   1 скорость
d
d
вдоль трубы возрастает (
 0 ), а при   1 убывает (
 0 ).
dx
dx
Переход через скорость звука в обоих случаях невозможен. Напомним, что анализ ведётся для средней скорости течения газа. Уравнение (1.23) можно проинтегрировать, введя безразмерную коорx
динату x 
и выразив левую часть уравнения через новую газоD
1 1

динамическую функцию ( ) 
 2 ln   .
2    2

x
   1           Re  dx ,
(1.24)
0
где 1 – безразмерная скорость в начале трубы. График функции
    приведён на рис. 4. Выведенная зависимость позволяет
узнать безразмерную скорость в конце трубы определённой длины,
естественно, при задании соответствующих значений . Решение
проводится последовательными приближениями.
Общий итог рассмотренного подхода к изучению течения
реальной жидкости в гладких трубах сводится к следующим основным положениям.
1. Силы сопротивления, вызванные трением движущейся
жидкости о стенки, могут быть представлены через коэффициент
сопротивления .
15
2. Коэффициент сопротивления 
является,
прежде
всего, функцией безразмерного критерия
подобия – числа Re.
3. При изменении условий течения (шероховатость,
искривление канала,
изменение площади
и формы поперечного сечения и т. д.)
также можно пользоваться коэффициентом сопротивления
 с учётом дополнительных, в основном
геометрических критериев подобия.
4.
Система
уравнений (1.22) даРис. 4. График функции
ёт качественную фи2
1
зическую
картину
     2  2 ln 
течения в реальной
1

несжимаемой и сжимаемой жидкости в каналах постоянного сечения, согласно которой
переход движущейся в таком канале жидкости через скорость звука
невозможен.
5. Система уравнений (1.22), как доказано практикой, с взятыми из справочной литературы значениями  позволяет получать
решения (по понятным причинам, в большей или меньшей степени
приближенные) для целого ряда технических задач.
2. Закон трения Стокса
При составлении баланса сил, действующих на любой выделенный элементарный объём движущейся вязкой жидкости, необходимо наряду с объёмными силами включать в него теперь и все
16
поверхностные нагрузки: не только нормальные (как в идеальной
жидкости и в гидростатике), но и касательные.
Система поверхностных сил создаёт и определяет напряжённое состояние выделенного элемента. Движение жидкости под действием этих, а также объёмных сил приводит к деформированному
состоянию объёма. Установление связи между напряженным и деформированным состояниями и является предметом дальнейшего
рассмотрения. Эта связь может быть обоснована, в конечном счёте,
только эмпирически. Однако можно пытаться предугадать её заранее, высказывая определённые гипотезы (пример – закон трения
Ньютона (1.11), приведённый в предыдущем разделе). Для упругих
твёрдых тел предложенная в своё время Гуком гипотеза о том, что
силы, возникающие при деформации этих тел, пропорциональны
величине деформации, при малых деформациях блестяще подтверждается на практике. Для капельных жидкостей и газов подобная
гипотеза была выдвинута Стоксом и вошла в науку как закон трения, носящий его имя: силы, обуславливающие деформации при
движении жидкостей и газов, пропорциональны скорости деформации.
Отправной точкой рассмотрения является общий случай
напряжённого состояния, независимо от того, относится оно к жидкой, газообразной среде или твёрдому телу. Найдём выражение для
поверхностной силы, отнесённой к единице объёма деформируемого тела. Возьмём элементарный объём движущейся или неподвижной среды в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами
dx, dy, dz (рис. 5). Определим для него равнодействующую всех
поверхностных сил.
К граням dy  dz, , перпендикулярным оси x , приложены
r
r
r Px
напряжения  Px (слева) и Px 
dx (справа). Эти напряжения
x
являются векторами и представляют собой отнесенные к единице
площади результирующие поверхностных сил. Понятно, что аналогичным образом записываются напряжения для двух остальных пар
взаимно противоположных граней параллелепипеда. После умножения напряжений на площади соответствующих граней, суммирования всех поверхностных сил и деления результата на объем
r
dx  dy  dz выделенного элемента получаем поверхностную силу P
на единицу объема, вызванную напряженным состоянием:
17
r
r
r
r Px Py Pz
P


.
x y
z
(2.1)
Рис. 5. К рассчету равнодействующей поверхностных сил, приходящейся на единицу объёма
r
Вектор P в конечном счете следует разложить на составляющие, а для этого надо сначала проделать подобную операцию с
r r r
напряжениями Px , Py , Pz (см. рис. 6).
Компоненты напряжений, лежащие в плоскости каждой грани (т. е. касательные напряжения), принято обозначать греческой
буквой  с двумя нижними индексами: первый указывает нормаль
к площади, второй – направление, на которое проецируется вектор
напряжения (например,  zy означает проекцию на ось y напряжеr
ния Pz ). Нормальные компоненты обозначают через  и обычно
записывают с одним индексом: x , y , z . Итак,
r
r
r
r
Px  i x  j xy  k xz ;
r
r
r
r
Py  i yx  j y  k yz ;
r
r
r r
Pz  i zx  j zy  k  z .
18
(2.2)
Рис. 6. Представление напряжений, приложенных к граням элементарного параллелепипеда, в компонентах
Совокупность девяти скалярных величин составляет тензор напряжений:
  x xy xz 


П    yx  y  yz  .
(2.3)


 zx  zy  z 
Легко убедиться, составив уравнения моментов относительно произвольной точки, что xy  yx , xz  zx , yz  zy . Таким образом, тензор напряжений как симметричный тензор содержит только
шесть различных составляющих. В итоге равенство (2.1) в компонентах принимает следующий вид:
r r  
xy xz 
Pi x 


y
z 
 x
r  xy  y yz 
 j



y
z 
 x
r  
yz  z 
 k  xz 

.
x
y
z 
{
{ {
площадка площадка площадка
dy dz
dx dz
dx dy
19
(2.4)
Внеся эти выражения в уравнение, записанное в проекциях на оси
координат, получим
  xy xz 
Du

 X  x 

,
Dt
y
z 
 x
 xy y yz 
Dv

 Y 


(2.5)
,
Dt
y
z 
 x
yz z 
 
Dw

 Z   xz 

,
Dt
y
z 
 x
где u, v, w – составляющие скорости движения жидкости,
D 



 r
  u  v  w   V  – оператор субстанциоDt t
x
y
z t
нального ускорения, X, Y , Z – составляющие массовых сил.
В
идеальной
жидкости
xy  yz  xz  0,
а
x  y  z  p ( p – давление жидкости), и уравнения (2.5) принимают уже знакомый нам вид, переходя в уравнения Эйлера.
Рис. 7. Представление деформированного состояния через удлинения и
углы сдвига
Для жидкостей и газов, обладающих трением, целесообразно
ввести в рассмотрение в качестве особой расчетной величины
среднее арифметическое из трех нормальных напряжений
20
1
x  y  z     p. Сделаем допущение, что p представляет
3
собой давление в данной точке, подчиняющееся в случае газообразной среды уравнению состояния p  f (, T ).
Деформированное состояние любого континуума можно выразить двумя способами. Первый – через три относительных удлинения x , y , z и три угла сдвига  xy ,  yz ,  xz (рис. 7).


Второй способ основан на введении вектора смещения точки
(рис. 8):
r
r r
r
(2.6)
S  i   j   k .
Рис. 8. Представление деформированного состояния с помощью введения вектора смещения
Деформированное состояние объема будет полностью определено,
если для каждой точки континуума заданы составляющие вектора
r
смещения S :
  (x, y, z);   (x, y, z);   (x, y, z);
Шесть
составляющих деформации
x , y , z ,  xy ,  yz ,  xz
определенным образом связаны с тремя составляющими вектора
смещения , ,  . Эта связь легко просматривается из рис. 7 и 8:
21



; y 
; z  ;
x
y
z
 
 
 
 xy 
 ;  yz 
 ;  xz 
 .
y x
z y
z x
Закон Гука устанавливает зависимость между напряженным
и деформированным состоянием упругого твердого тела. Проще
всего она выглядит для касательных напряжений  и углов сдвига
Если
модуль
сдвига
обозначить
через
то
.
G,
xy  G xy , yz  G yz , xz  G xz . Связь нормальных напряжений
x 
с деформациями несколько сложнее. При действии в изотропном
материале одного нормального напряжения x оно вызывает не

только относительное удлинение  x  x в направлении оси x , но
E
и относительное сжатие в поперечном направлении (здесь E – модуль продольной упругости, модуль Юнга). Это поперечное сжатие
пропорционально относительному удлинению в продольном
направлении. В направлении осей y и z оно равно соответственно




 y   x   x ,  z   x   x . Здесь m – коэффициент поm
mE
m
mE
перечного сжатия, коэффициент Пуассона.
Следовательно, в трехмерном случае полное относительное
удлинение вдоль оси x с учетом поперечного сжатия вследствие
напряжений y и z будет
x 1  y z 
 
 .
E m E E 
Разумеется, подобным образом представляются также относительные удлинения  y и  z вдоль осей y и z :
x 
 z 1  x  y 

  
.
 ; z 
E
E m E E 

Далее можно выразить шесть напряжений через три составляющие вектора смещения, используя при этом соотношение, связывающее модуль сдвига с модулем Юнга и коэффициентом
y 
y

1   z x
 
m E E
22
mE
. Опуская относительно несложные выклад2(m  1)
ки, запишем связь напряженного и деформированного состояния
твердого упругого тела в окончательном виде:
r
   
 2
 x    2G  G divS; xy  G  
;
x 3
 y x 
r
   
 2
(2.7)
 y    2G
 G divS;  yz  G 
 ;
y 3
 z y 
r
 2
   
 z    2G  G divS; xz  G    .
z 3
 z x 
Соотношению (2.7) целесообразно придать более наглядную матричную форму, которая и будет служить наиболее общим выражением закона Гука для упругого твердого тела:
    


 x y z 
 x xy xz    0 0 
    

 


 xy  y yz    0  0   G 
x y z 





 xz yz  z   0 0  
    


 x y z 
(2.8)
    


 divS
0
0 
 x x x 

r
     2 
G 
 G 0
divS
0 .

y y y
3 
r


 0
0
divS 

    


 z z z 
Как уже отмечалось, выражение напряженного и деформированного состояния выделенного объема не зависит от рода тела
(твердое оно, жидкое или газообразное). Разница, как предположил
Стокс, будет заключаться в характере пропорциональности. По
закону Стокса для жидкостей и газов напряжение пропорционально
не величине деформации, а скорости деформации. Значит, вместо
Пуассона G 
23
r
вектора смещения S необходимо ввести скорость деформации
r
dS
:
dt
r
r
r dS r r
V
 iu  jv  kw.
dt
Здесь u, v, w – составляющие скорости движения выделенного бесконечно малого объема жидкости или газа.
Модуль сдвига для твердого тела G, переходя к жидкости
или газу, следует заменить на коэффициент вязкости  *). Вместо
среднеарифметического нормального напряжения  возьмем давление  p. Если теперь с учетом сделанных пояснений произвести в
(2.8) требуемые замены, то в результате придем к искомому выражению закона трения Стокса:
 u u u 


 x y z 
 x xy xz    p 0
0 
 v v v 

 


 xy  y yz    0  p 0    
x y z 





0 p 
 xz yz  z   0
 w w w 


 x y z 
(2.9)
 u v w 
r


 divV
0
0 
 x x x 

r
 u v w  2 
 
  0
divV
0 .

y y y
3 
r


 0
0
divV 
 u v w 




 z z z 
Закон трения Стокса является обобщением закона трения
Ньютона.
Мы здесь совершенно не затрагиваем вопрос о так называемой
второй, или объемной вязкости, которая проявляется лишь в газах
при быстро развивающихся процессах.
*)
24
3. Уравнения Навье–Стокса
Нормальные напряжения x , y , z в общем случае содержат не только давление, но и «вязкую» составляющую (см. (2. 9)).
Выделим ее следующим образом:
x  p  x ; y  p  y ; z   p  z .
(3.1)
Слагаемые   так же, как и касательные напряжения , явным образом зависят от вязкости:
r
 u v 
 u 2
x    2
 divV  ; xy      ;
 x 3

 y x 
r
 v 2
 v w 
(3.2)
y    2  divV  ;  yz    
;
 y 3

 z y 
r
 w 2
 w u 
z    2
 divV  ; xz   
 .
 z 3

 x z 
r
Выразим компоненты результирующей поверхностной силы P.
Для направления x из (2.4), (3.1), (3.2) имеем
xy xz

Px  x 


x
y
z
p x xy xz




x x
y
z
r
p   u 2
    2  divV  
x x  x 3


(3.3)
   u v      w u  

  .
     
y   y x   z   x z  
r
Аналогично запишутся составляющие P по осям y и z, после
r r r
чего, подставив выражения Px , Py , Pz в (2.5), получим

25

r 
p    u 2
Du
 X     2  divV   
Dt
x x   x 3



   u v      w u  

  ;
     
y   y x   z   x z  
r 
p    v 2
Dv
Y
   2  divV   
Dt
y y   y 3
 
   v w      u v  
   
        ;
z   z y   x   y x  

(3.4)
r 
p    w 2
Dw
 Z     2
 divV   
Dt
z z   z 3


   w u      v w  

  
  
 .
x   x z   y   z y  
Дифференциальные уравнения (3.4) составляют основу всей
гидродинамики и называются уравнениями Навье–Стокса. К этим
уравнениям необходимо еще добавить уравнение неразрывности
   u    v    w 



 0,
t
x
y
z
уравнение состояния P  RT и закон изменения вязкости от температуры   (T ).
При рассмотрении неизотермических процессов также нельзя
обойтись без уравнения энергии.
В применении к описанию течений несжимаемой жидкости
(   const ) записанная выше система уравнений значительно
упрощается.
Для полной физической определенности решения системы
уравнений Навье–Стокса, помимо начальных условий, должны
быть заданы граничные условия. Ими могут быть условия на стенках. При прилипании жидкости к ограничивающим течение стенкам исчезают как нормальные, так и касательные составляющие
скорости.
Представление уравнений Навье–Стокса и напряжений в
произвольной ортогональной системе координат является довольно
26
громоздкой операцией (см., например, [4]) и находится вне рамок
данного курса*).
Допущения, положенные в основу вывода уравнений Навье–
Стокса являются, вообще говоря, интуитивными, т. е. в некоторой
степени произвольными. И поэтому заранее нельзя быть уверенным, что эти уравнения правильно отражают закономерности движения вязкой жидкости. Сопоставление результатов расчета с экспериментальными данными затрудняется тем, что получение общего решения в полном виде, т. е. с сохранением всех конвективных
членов и всех членов, учитывающих вязкость, невозможно. Можно
утверждать, что его просто не существует. Однако имеющиеся
частные решения дают результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными наблюдениями. На сегодняшний день нет объективных оснований сомневаться в общей применимости уравнений
Навье–Стокса.
Многие описанные в литературе ламинарные течения несжимаемой жидкости являются частными примерами точных решений уравнений Навье–Стокса. В слоистых прямолинейных течениях вдоль оси x составляющие скорости v и w равны нулю. Из
u
уравнения неразрывности следует, что
 0. Поэтому u не завиx
сит от координаты x, т. е. для слоистых течений имеем
u  u  y, z, t  и v  w  0. Пренебрежем массовыми силами:
p
p
 0.
0 и
z
y
Следовательно, изменение давления происходит только по направлению x . Далее, выпадают по направлению x все конвективные
члены, и мы получаем
X  Y  Z  0. Все перечисленное ранее дает
Для частного случая вращения жидкости вокруг неподвижной
оси в [5] дан весьма короткий простой вывод выражения для касательного напряжения на цилиндрической поверхности, которое
равно
 V V 
r         .
r 
 r
*)
27

 2u 2u 
dp
u
     2  2 .
t
dx
z 
 y
(3.5)
Это уравнение линейно относительно u  y, z, t  .
Конкретизируем задачу дальше. Полагаем движение установившимся и происходящим в прямой круглой трубе радиуса R . В
этом случае уравнение (3.5) перейдет в следующее:
dp
  2 u 1 u 
  2 
(3.6)
.
dx
r r 
 r
du
 0.
dr
В (3.6) левая часть не зависит от r , а правая не зависит от x, что
может означать только одно: каждая из сторон уравнения должна
быть приравнена к постоянной.
1 dp 2 2
Решение уравнения (3.6) дает u  r   
 R  r  , где
4 dx
dp p1  p2


 const.
dx
l
Как видно, полученное решение тождественно решению задачи о течении Гагена–Пуазейля, выведенному ранее с использованием закона трения Ньютона.
Рассмотрим пример безградиентного по давлению неустановившегося слоистого движения вязкой невесомой несжимаемой
жидкости в полупространстве над плоскостью  y  0  , приводиПри r  R u  0, при r  0
мой в движение вдоль оси x из состояния покоя со скоростью, возрастающей по некоторому закону u0  t  . Для этого случая конечный вид уравнения, описывающего течение, таков:
u
2u
 2 .
(3.7)
t
y

Здесь,   . Начальные условия: при t  0 u  0 для всех y .

u
u
Граничные условия: при t  0
 1 для y  0 и
 0 для
u0
u0
y .
28
Уравнение (3.7), будучи уравнением в частных производных,
переводится при t  0 в обыкновенное дифференциальное уравнение введением новой независимой переменной
y

.
2 t
Положим u  u0  f   . Тогда функция f   должна удовлетворять обыкновенному линейному дифференциальному уравнению f   2f   0 с граничными условиями f  1 при   0 и
f  0 при   .
Решением этого уравнения будет функция, содержащая так
называемый интеграл вероятности erf   

2
2
e r dr :

0

2
u
2
 f    1  erf    erfc    1 
e r dr.
u0
 0
Интеграл erfc   является быстро убывающей функцией, уже при
  2, 0 он равен 0,01. Последнее в «переводе» на «физический
язык» означает: влияние вязкости на течение ограничено тонким
пристеночным слоем (при конечном t ), вне его среда практически
неподвижна. Обозначим его толщину через  :
y    2 t  4 t .
Профили
скорости
для различных значений времени подобны
друг другу и могут
быть совмещены путем изменения масштаба в направлении
y . Результаты расчета
этого течения представлены на рис. 9.
Помимо разобранных в данном
пособии, в литературе
приводятся и другие
примеры точных ре-
Рис. 9. График функции, описывающей
решение уравнения (3.7)
29
шений уравнений Навье–Стокса для слоистых течений.
Дальнейшее использование уравнений Навье–Стокса с целью получения аналитических решений сталкивается с математическими трудностями и возможно лишь путем их упрощения:
«насильственным» исключением отдельных составляющих уравнения членов. В отсутствие массовых сил можно оценивать в уравнениях соотношения конвективных и вязких составляющих. Мы уже
знаем, что отсутствие вязких взаимодействий приводит к концепции идеальной жидкости. Можно взять другой предельный случай,
а именно: пренебречь вкладом конвективных членов уравнений. Т.
е. скорость движения жидкости такова, что конвективные составляющие от нее значительно меньше вязких составляющих. Это так
называемые ползущие движения. В реальности такие течения тоже
имеют место. Для них
 2u 2u 2u 
p
  2  2  2 ;
x
y
z 
 x
 2 v 2 v 2 v 
p
   2  2  2 ;
(3.8)
y
y
z 
 x
 2 w 2 w 2 w 
p
   2  2  2 .
z
y
z 
 x
Получение точных решений приближенных уравнений обычно
также является непростым делом. В качестве примера приведем
лишь результат решения, полученного Стоксом для шара. Шар радиусом R обтекается со скоростью V потоком слоистой несжимаемой жидкости с вязкостью  . Суммарная сила, действующая
при этом на шар (знаменитая формула Стокса), равна
X  6V R.
Соответственно коэффициент сопротивления будет
X
24
Cx 

.
2

V
Re
2

D
R
2
На рис. 10 приведены результаты расчетов и измерений коэффициента сопротивления шара, движущегося в жидкости. Сравнение
показывает, что совпадение Cxрасч и C xизм наблюдается лишь при
числах Re  1. Имеющиеся в литературе ссылки на работы, уточ30
няющие формулу Стокса, существенного расширения пределов ее
использования не дают.
Рис. 10. Коэффициент сопротивления шара. 1 – теория Стокса, 2 – теория Озеена, • – эксперименты различных авторов
На примере решенной задачи о плоском неустановившемся
слоистом движении вязкой жидкости в полупространстве мы видели и можем полагать теперь, что влияние вязкости на течение в
практических задачах можно учитывать не во всем поле течения, а
лишь в части, непосредственно примыкающей к телу, т. е. можно
ввести понятие пограничного слоя. В этом слое при расчетах вязкость учитывается обязательно, вне его течение жидкости приближенно считается идеальным. Введение и использование концепции
пограничного слоя является также неким приближением для решения задачи, но с вполне оговоренными границами (помимо стенки
имеется в виду «жидкая» граница пограничного слоя с заданным на
ней отличием скорости от скорости идеальной жидкости).
4. Пограничный слой в несжимаемой жидкости
Рассмотрим картину обтекания плоской пластинки с острой
передней кромкой в продольном направлении набегающим равномерным потоком вязкой жидкости. Из-за прилипания жидкости к
поверхности пластинки над ней формируется течение с поперечным распределением скорости, меняющейся внутри тонкого при31
стеночного слоя переменной толщины  от нуля на стенке до значения, близкого к скорости набегающего потока. Определенность
величины  зависит от тех условий, которые приняты для степени
отличия скорости на границе слоя от скорости в потенциальном
течении. Этот слой  называют пограничным слоем. Обобщая подобные рассуждения на произвольные обтекаемые тела, для каждого из них тоже, как правило, вводят разделение течения на тонкую
прилегающую к поверхности тела область пограничного слоя, где
сосредоточено влияние вязкости и область внешнего (потенциального) течения, в которой среда ведет себя как идеальная жидкость.
Общепринято считать толщиной пограничного слоя  такое расстояние от поверхности обтекаемого тела, где скорость отличается
на один процент от скорости внешнего идеального течения. Схематическая картина течения с пограничным слоем над стенкой представлена на рис. 11а. Для наглядности масштаб по оси y сильно
увеличен. Сразу следует отметить, что внешняя граница пограничного слоя не является линией тока. По мере удаления от носика
пластинки в пограничный слой вовлекаются все большие массы
жидкости. Ясно, что наиболее интересующим нас в этой задаче
Рис. 11. Течение с пограничным слоем на стенке:
а) без отрыва пограничного слоя, б) с отрывом пограничного слоя
32
является профиль скорости в пограничном слое. Очевидно, что для
различных условий течения, он может быть разным. Определение
профиля скорости и есть фактически решение задачи о пограничном слое.
В принципе при обтекании какого-то тела течение может сопровождаться отрывом потока от поверхности тела. Профиль скоdu
рости отражает это явление, изменением знака производной
dy
(рис. 11б). Кроме понятия толщины пограничного слоя  , которое,
вообще говоря, носит иллюстративный характер, удобно рассматривать величины, характеризующие пограничный слой с точки зрения переноса массы, импульса и энергии. Это так называемые толщина вытеснения  * , толщина потери импульса  ** и толщина потери энергии *** . Фактически эти величины определяют изменение расхода, импульса и диссипацию энергии в слое толщиной 
по сравнению с равномерным потоком. На рис. 12 представлена
графическая интерпретация толщины вытеснения:



u
u 0 *    u0  u  dy; *    1   dy.
(4.1)
u
0 
0
0
Обычно в верхнем пределе здесь и ниже вместо  пишут ,
так как прирост величины интеграла от такой замены, как показывает более строгая теория пограничного слоя, оказывается ничтожным.
Толщина вытеснения, как можно усмотреть из (4.1), позволяет поставить в соответствие реальному течению гипотетическое
идеальное с тем же массовым расходом и параметрами внешнего
течения, граница которого (стенка) перемещена внутрь реального
течения на расстояние  * .
Вследствие трения поток импульса в пограничном слое
уменьшается по сравнению с потоком импульса в потенциальном

течении на величину   u  u0  u  dy :
0

u02  **    u  u0  u  dy;
0
33
Рис. 12. Иллюстрация физического смысла толщины вытеснения пограничного слоя

u
(4.2)
 1   dy.
u
0 

Сумма потока энергии давления и кинетической энергии единицы

u
u
0 0
**  

объема уменьшается на  u  u02  u 2  dy , значит, в пограничном
0
слое из-за диссипации

u03 ***  
 u u
2
0
 u2  dy;
y 0

u2 
(4.3)
 1  2  dy.
u0 

Когда выше шла речь о ползущих движениях, из системы
уравнений были полностью исключены конвективные члены. Об
 *** 
u
u
y 0 0

34
ратимся теперь к другому предельному случаю вязких течений – к
течениям с малой вязкостью и большим числом Рейнольдса. Можно утверждать, что именно этот крайний случай натолкнул ученых
(первым из них был Прандтль) на идею пограничного слоя.
Упрощение уравнений Навье–Стокса проведем для плоского
течения несжимаемой жидкости. Перепишем уравнения в безразмерной форме. Для этого все компоненты скорости u, v, w отнеu
v
w
сем к скорости набегающего потока u0 : u  , v  , w  .
u0
u0
u0
Все длины отнесем к характерному линейному размеру задачи
y
x
z
L : x  , y  , z  . Давление и время соответственно раздеL
L
L
p
t
L
2
лим на u0 и на
, p 2.
: t 
L
u0
u0
u0
Имея это в виду, в дальнейшем черту над безразмерными величинами опустим. В результате уравнения Навье–Стокса и уравнение
неразрывности примут вид:
p 1   2 u  2 u 
u
u
u
u v
 

(4.4)

;
t
x
y
x Re  x 2 y 2 
p 1   2 v  2 v 
v
v
v
u v
 

(4.5)

;
t
x
y
y Re  x 2 y 2 
u v

 0.
(4.6)
x y
Граничные условия:
1) на стенке y  0 и u  v  0;
2) вдали от поверхности u  1 при y  .
При решении всех задач, в которых используется приближение пограничного слоя, должно обязательно выполняться условие,
что толщина пограничного слоя очень мала по сравнению с характерным линейным размером обтекаемого тела L :

   1.
L
Это главное условие для проведения дальнейших упрощений
уравнений Навье–Стокса. Характерный линейный размер L выби35
рается так, чтобы порядок безразмерной величины
шал единицу. Из уравнения (4.6) следует, что
u
не превыx
v
имеет тот же поy
u
, т. е. единицу. Так как на поверхности пластинки
x
v  0, то в пограничном слое v имеет порядок . Такой же поря2 v
v
. Величина
док в пограничном слое имеют величины
и
x 2
x
2u
u
имеет порядок единицы. Примем, что
имеет тот же поря2
x
t
u
док, что и величина
(это допущение исключает течение с внеx
запным сильным ускорением). Безразмерные составляющие скорости, параллельные стенке, изменяются в тонком (порядка  ) пограничном слое от нуля на стенке до единицы на границе погра2u 1
u 1
~ , в то время как
ничного слоя. Поэтому
и
~
y 2  2
y 
рядок, что и
v 
2 v 1
~ ~1 и
~ . Подставив эти оценки под соответствуюy 
y 2 
щими величинами в уравнения (4.4) и (4.5), видим, что в уравнении
(4.4) величина членов, зависящих от вязкости, имеет в пограничном
слое одинаковый порядок с инерционными членами только при
1
1
1
условии, что число Re имеет порядок 2 , т. е.
~ 2 . Отсюда

Re 
следует, что для течений, в которых число Re велико, можно упро2u
. В уравнении (4.5)
стить уравнение (4.4), отбросив величину
x 2
p
величина
имеет порядок  , следовательно, разность давлений
y
поперек пограничного слоя будет иметь порядок  2 . Понятно, что
она весьма мала, поэтому давление во всех точках поперечного
сечения пограничного слоя остается практически одно и то же и
может меняться лишь при переходе от сечения к сечению. Его
36
можно принять равным давлению на внешнем крае пограничного
p
слоя, т. е. в приближении пограничного слоя
 0. Из двух уравy
нений Навье–Стокса, таким образом, остается только одно. В размерных величинах оно приобретает следующий вид:
u
u
u
1 dp
2u
u v

 2 .
(4.7)
t
x
y
 dx
y
Уравнение неразрывности остается без изменений:
u v

 0.
(4.8)
x y
Уравнения (4.7) и (4.8) называются уравнениями Прандтля
для пограничного слоя. Граничные условия будут:
1) u  v  0 при y  0 и
2) u  u0  x, t  при y  .
Кроме того, в начальном поперечном сечении x  x0 должен
быть задан профиль скорости u  x0 , y  . Задача о пограничном
слое, таким образом, свелась к расчету развития заданного начального профиля продольных скоростей при заданном потенциальном
внешнем течении. Эта задача гораздо проще, чем задача решения
существенно более сложных полных уравнений Навье–Стокса.
Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый заключается в непосредственном решении
системы уравнений в частных производных, уравнений Прандтля.
Такой подход часто связан с большими трудностями даже при использовании вычислительных машин. Результаты расчета оформляются в виде таблиц. Обобщение их (как и любых численных решений) затруднительно.
Второй путь состоит в построении методов приближенного
расчета, которые позволили бы быстро определить необходимые
параметры. Эти методики основаны на отыскании решений, удовлетворяющих интегрально (для всего поперечного сечения пограничного слоя) некоторым основным уравнениям и наиболее важным граничным условиям: условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. В рассмотрение вводятся так называемые
интегральные соотношения. Основными уравнениями здесь служат
уравнения количества движения и энергии, проинтегрированные
37
поперек пограничного слоя. При этом еще необходимо задаваться
поперечными распределениями продольной скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в
значительной степени зависит точность полученных результатов. В
последнее время распространение получили методики расчета параметров пограничного слоя, в которых для получения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные
уравнения Прандтля или их частные решения, а далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения.
В качестве иллюстрации первого способа рассмотрим классическую задачу – установившееся течение вдоль тонкой бесконечной пластинки. Такое течение впервые было исследовано Блазиусом и считается первым примером решения уравнения Прандтля
(рис. 12). Так как в рассматриваемом случае скорость потенциальdp
ного течения постоянна, то
 0, и уравнения пограничного слоя
dx
(4.7), (4.8) принимают вид
u
u
2u
u v
ν 2;
(4.9)
x
y
y
u v

 0.
x y
Граничные условия остаются прежними: u  v  0 при y  0 и
u  u0 при y  .
Задача не содержит какой-либо характерной длины. Это дает
основание предположить, что профили скорости u  y  на различных расстояниях x от переднего края пластинки аффинно подобны, т. е. могут быть приведены в совпадение друг с другом, если
для u и y подобрать соответствующие масштабы.
В качестве масштаба для u естественно взять скорость u0 , а для y
– некоторую величину   x  , составляющую определенную фиксированную долю толщины пограничного слоя. Тогда сделанное
предположение можно выразить как
u
y
  .
u0

38
Функция  должна быть одной и той же для всех расстояний x от передней кромки пластинки. На основании точных решений уравнений Навье–Стокса (п. 3) мы имели оценку величины 
для пластинки, внезапно приведенной в движение   t . Видно,
что уравнения (3.7) и (4.9) схожи. Но сейчас решается стационарная
задача и время в явном виде не может присутствовать. За время t
здесь можно взять время, которое необходимо частице жидкости
вне пограничного слоя, чтобы продвинуться от передней кромки
x
пластинки до точки с координатой x : t  . Тогда
u0
x 
x
.
u0
Взяв   x  за поперечный линейный масштаб, введем вместо
координаты y безразмерную координату
y
u
y 0.
x
x
Далее, с целью интегрирования уравнения неразрывности
вводится
функция
тока
Принимается,
что
  x, y  .

  xu0 f   , где f   – безразмерная функция тока. Тем самым для продольной составляющей скорости u и ее производных
получим
f


u
u
 xu0
 xu0 f 
 u0 f    ;
 f    ;
y
y
y
u0
u
u
u
u
 2 u u02
  0 f ;
 u0 0 ;

f .
x
2x
y
x y 2 x
Для поперечной составляющей v имеем
 1 u0
v

 f   f  .
x 2 x
Подставляя эти значения в уравнение (4.9), после упрощений приходим, наконец, к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению 3-го порядка для безразмерной функции тока:
f  f   2 f   0.
(4.10)
39
В соответствии с порядком уравнения необходимо указать
три граничных условия: f  0, f   0 при   0 и f   1 при
  . Условие f  0 при   0 следует из выражения для v. Эта
задача относится к классу автомодельных, и описываемый ею пограничный слой называют также автомодельным. Уравнение (4.10)
не имеет аналитического решения. Необходимо прибегать к численному интегрированию. Результаты расчетов представляют в
u
u
виде табличных значений   y 0 ; f ; f   ; f . Заметим, что
x
u0
при   5; f  3, 28; f   0, 9915; f   0, 016. Таким образом, граница пограничного слоя определяется значением
  5.
Следует обратить внимание на то, что на внешнем крае пограничного слоя (при    ) поперечная составляющая скорости
v отнюдь не равна нулю и является положительной. Это происходит потому, что жидкость на своем пути вдоль пластины как бы
несколько оттесняется от стенки вследствие нарастания толщины
пограничного слоя вниз по течению. Отрыва пограничного слоя
при продольном обтекании пластины не возникает, так как по постановке задачи перепад давлений равен нулю.
Распределение скорости позволяет вычислить сопротивление
трения. Сила трения W с одной стороны начального участка плаL
стинки шириной b и длиной L , очевидно, равна W  b  0 dx, где
0
0 – местное касательное напряжение на стенке.
 u 
u
0  x       u0 0 f   0  .
x
 y y 0
В результате решения (4.10) найдено, что f   0   0, 332 и,
следовательно,
W  0, 664bu0 Lu0 ,
а для двух сторон пластинки
2 W  1, 328b u03 L ,
40
Выразим, как обычно принято, коэффициент сопротивления
трения c f , равный отношению силы трения к половине скоростного напора и площади поверхности пластинки:
2W
1, 328
cf 

.
u 20
Re L
2 bL
2
Здесь число Рейнольдса записано через длину пластинки. На рис.
13 приведено сопоставление результатов расчета профиля скорости
с экспериментальными данными, полученными в диапазоне изменения чисел Рейнольдса от 1, 08  105 до 7, 28  105. Наблюдается
отличное совпадение практически до Re  106. В области турбулентных течений, естественно, эта зависимость c f  f  Re  неприменима.
Рис. 13. Профиль безразмерной скорости в автомодельном пограничном слое на пластине (теория и сравнение с
экспериментом)
Использование второго способа расчета пограничного слоя с
помощью теоремы импульсов для плоской пластинки, обтекаемой в
продольном направлении несжимаемой жидкостью, иллюстрирует
рис. 14.
41
При отсутствии градиента давления составляющая по оси y
импульса сил, приложенных к контрольному объему AA1 B1 B, равна 0, а по оси x – силе сопротивления участка пластины OB, или
x
b  0 dx.
0
Составляющая вдоль оси x импульса потока на участке AB
h
контрольной поверхности равна 0, на участке AA1 равна b  u02 dy ,
0
h
на участке
BB1
b  u 2 dy ,
равна
на участке
A1 B1
равна
0
B1
h
A1
0
b  vu0 dx  b  u0  u0  u  dy. *)
B1
h
A1
0
В таком случае b  vu0 dx  b  u0  u0  u  dy. выражается
как

W  b  u  u0  u  dy.
0
С другой стороны, сопротивление трения есть интеграл касательных напряжений 0 вдоль поверхности:
x
W  b  0  x  dx.
0
Сравнивая оба выражения, замечаем, что

d
0  x     u  u0  u  dy.
dx 0
*)
Расход жидкости через грань
A1B1 , очевидно, равен разности
h
расходов через грани
AA1 и BB1 , т. е. b  (u0  u)dy, а составляю0
щая ее скорости по
x на A1B1 всюду постоянна и равна u0 .
42
Рис. 14. К расчету пограничного слоя интегральным методом с помощью теоремы импульсов
Вводя в последнее уравнение толщину потери импульса  ** (4.2),
имеем
d** 0
u02
 .
(4.11)
dx

Уравнение (4.11) пока еще не содержит никаких допущений, позволяющих выполнить приближенный расчет пограничного слоя.
Сущность приближенного способа расчета состоит в выборе выражения для распределения скорости u  y  в пограничном слое, притом такого, которое бы удовлетворяло внешним граничным условиям и, кроме того, содержало один свободный параметр, каким,
например, может служить толщина пограничного слоя. При подборе функции, приближенно описывающей распределение скоростей,
можно воспользоваться допущением об аффинности профилей скорости в пограничном слое, которое, как мы убедились, имеет место
в пограничном слое на плоской пластинке:
 y 
y
u
.
 
     , где 

x
u0
 x 
43
Функция    зависит только от  и не содержит никакого
свободного параметра. Именно это свойство функции    и выражает предположение об аффинности всех профилей скорости.
Функция f должна исчезать на стенке ( u  0 при   0 ) и должна
быть равна единице для больших значений . Точные решения
показывают, что переход в пограничном слое в потенциальное течение происходит асимптотически. Для приближенного расчета
можно произвести смыкание пограничного слоя с потенциальным
течением на конечном расстоянии, следовательно, ввести в расчет
конечную толщину пограничного слоя   x  . Последняя не несет в
себе большого физического смысла, а играет роль вспомогательной
величины, которая затем определится при расчетах.
Опуская промежуточные выкладки, запишем выражение
полного сопротивления трения пластины, смоченной с обеих сторон:
2 W  2b 2 11  Lu03 .
Здесь для сокращения записи обозначено
1
 1   f (1  f )d и 1    0  .
0
Кроме оговоренных выше граничных условий, должны быть
соблюдены требования непрерывности изменения наклона касательной к профилю скорости u  y  и непрерывности изменения его
кривизны при смыкании с потенциальным течением, т. е. выполнеu
2u
 0,
 0 при y  .
ны равенства
y
y 2
2u
0
y 2
при y  0, которому удовлетворяет точное решение (см. уравнение
(4.10)).
В следующей таблице представлены данные приближенных
расчетов пограничного слоя на плоской пластине, обтекаемой в
продольном направлении [2].
Для плоской пластинки обязательно также условие
44
Распределение скорости
    
3
1
  3
2
2
    2 23  4
   
 
    sin   
2 
точное
Таблица1
*
c f Re L
**
3,0
1,155
2,7
1,292
2,55
1,372
2,66
1,310
2,61
1,328
Из таблицы следует, что описанный приближенный способ расчета
дает вполне удовлетворительные результаты.
Более детальное рассмотрение задач обтекания тел различной формы и течений в каналах не входит в программу нашего курса и излагается как отдельная специальная дисциплина. Назначение
приведенного выше материала в том, чтобы заложить начальное
представление о пограничном слое, показать, сколь существенны
упрощения уравнений Навье–Стокса благодаря использованию
концепции пограничного слоя, проиллюстрировать это на одном из
классических примеров, допускающем точное решение*), и, наконец, сформулировать и продемонстрировать применительно к данному примеру метод интегральных соотношений – основной с
практической точки зрения приближенный метод решения задач о
пограничном слое.
5. Краткие сведения о турбулентности
и турбулентных течениях
Течения, о которых говорилось в предыдущих разделах, заранее подразумевались ламинарными. Между тем многие течения,
В механике жидкости и газа принято считать, что задача имеет
точное решение, когда ее математическое описание может быть
сведено как минимум к обыкновенному дифференциальному уравнению, даже если оно может быть проинтегрировано только численно.
*)
45
встречающиеся в природе и технике, если не большинство, являются турбулентными. Они характеризуются тем, что на главное движение накладывается хаотическое пульсационное движение, отчего
происходит интенсивное перемешивание жидкости. Действие последнего на поток равносильно многократному (на два-четыре порядка) увеличению вязкости. То обстоятельство, что турбулентные
течения допускают разложение на осредненное (главное) движение
и пульсационное движение, служит отправным моментом для их
математического описания. В случае адиабатических течений несжимаемой жидкости (чем мы и ограничимся) это разложение выглядит следующим образом:
u  u  u; v  v  v; w  w  w; p  p  p.
Под средним значением понимается среднее по времени значение величины в фиксированной точке пространства:
u
1
t
t0  t

t0
udt; v 
1
t
t0  t

vdt; w 
t0
1
t
t0  t

t0
wdt; p 
1
t
t0  t

pdt.
t0
При этом необходимо брать промежуток времени осреднения t столь большой, чтобы осредненные значения не зависели от
времени. Тогда осредненные по времени значения пульсационных
величин будут равны нулю.
u  v  w  p  0.
Напомним основные математические правила осреднения,
которые нам пригодятся при выводе уравнений турбулентности:
u u
u  v  u  v; u  u; uv  vu; uv  u  v;

.
x x
Пульсационное движение со скоростями u, v, w оказывает
на осредненное движение u , v , w весьма сильное влияние, выражающееся, по существу, в значительном увеличении сопротивления возникающей деформации по сравнению со случаем отсутствия
пульсаций, когда u  u, v  v , w  w. Действие пульсационного
движения на осредненное движение, как уже отмечалось, эквивалентно увеличению вязкости осредненного движения. Эта дополнительная кажущаяся вязкость осредненного движения является
основным понятием во всех теоретических соображениях о турбулентных течениях.
Как возникают дополнительные напряжения? Рассмотрим в
турбулентном течении, имеющем скорость с составляющими
46
u, v, w, площадку dF с нормалью, параллельной оси x . Масса
жидкости, протекающая через эту площадку за время dt, равна
dFudt. Компоненты по осям x, y, z потока импульса сквозь
площадку dF соответственно будут
dJ xx  dFu2 dt; dJ xy  dFuvdt; dJ xz  dFuwdt.
Составим среднее по времени от потока импульса в единицу времени и выполним осреднение:
dJ xx  dFu2 ; dJ xy  dFuv; dJ xz  dFuw.
Так как u2   u  u   u 2  2uu  u2 , то u2  u  u2 .
2
2
Подобным же образом найдем
uv  u  v  uv и uw  u  w  uw.
Следовательно, осредненные по времени составляющие потока
импульса в единицу времени будут

2

dJ xx  dF u  u2 ;


dJ xy  dF u  v  uv ;
dJ xz  dFu  w  uw .
Отнесем все величины добавочного (за счет пульсаций) прироста потока импульса, взятые с обратным знаком, к единице площади, разделив на dF , и получим тем самым дополнительные
напряжения, действующие в направлениях x, y, z на площадку
dF со стороны окружающей среды:
x  u2 ; xy  uv; xz  uw.
Эти напряжения называют «кажущимися» напряжениями турбулентного течения.
Аналогично получаются дополнительные напряжения и на
площадках, перпендикулярных к осям y и z. Совокупность всех
девяти дополнительных напряжений образует симметричный тензор напряжений кажущегося турбулентного трения:
47
 u2
uv uw 
xz 



yz     uv
 v2  vw  .


z 
 uw vw
 w2 


Полные напряжения получаются алгебраическим сложением
обычных вязких напряжений (закон трения Стокса), включающих
только средние скорости, и кажущихся турбулентных напряжений:
u
 x   p  2
 u2 ;
x
 u  v 
xy   

  uv;
 y x 
KKKKKKKKKKK
Обычно кажущиеся турбулентные напряжения настолько
превосходят ламинарные напряжения, что последние можно не
учитывать, не делая при этом каких-либо заметных ошибок.
Механизм турбулентности можно представить следующим
упрощенным образом на примере плоскопараллельного осредненного течения со скоростью, меняющейся (скажем, возрастающей)
только по поперечной координате y . В процессе турбулентного
течения возникают некие макроскопические объемы жидкости,
причем каждый из них на некотором расстоянии движется в любом
направлении как целое с определенной скоростью. Положим, что
такой объем, образовавшийся в слое с координатой y1  l и обла x

 xy
 
 xz
xy
y
yz
дающий скоростью u  y1  l  , перемещается вверх на расстояние l
как целое с сохранением x -составляющей своего импульса. Когда
этот объем жидкости попадает в слой с координатой y1 , его скорость в этом слое будет отличаться от скорости окружающей его
среды:
 du 
u  y 1  l   u  y 1   l 
 ,
 dy 1
которая, будучи вызванной поперечным движением, может трактоваться как пульсационная составляющая продольной скорости. При
этом v   0. Аналогично объем жидкости, попадающий в слой y 1
48
из слоя y1  l, имеет большую скорость, чем окружающая его среда. Пульсационная составляющая u  здесь будет равна
 du 
u  y  l   u  y1   l  
 dy 1
при v   0.
Величина l была введена в гидродинамику Прандтлем и
названа им путем перемешивания объемов жидкостей. В рассматриваемой модели турбулентного движения можно считать, что
пульсации u  и v  по абсолютной величине одного порядка (так
называемая изотропная турбулентность). Объем жидкости, приходящий в слой y 1 с отрицательным значением v, вызывает положительную пульсацию скорости u . Объем жидкости, приходящий
в слой y 1 с положительным значением v, вызывает отрицательную пульсацию скорости u . Можно считать, что v  ku, где k
– коэффициент пропорциональности порядка единицы. Ввиду некоторой неопределенности пути перемешивания l включим коэффициент k в эту величину. Осредняя, получаем
2
 du 
uv  l   .
 dy 
Проведенные рассуждения сделаны в предположении поло2
2
 du 
du
du
. При
 0 uv  l 2   .
жительных значений величин
dy
dy
 dy 
Оба случая можно выразить единой формулой
uv  l 2 
du du
 .
dy dy
Гипотеза о длине пути перемешивания была высказана Л.
Прандтлем еще в 1925 г. и с успехом применяется до сих пор. Хотя
длину пути перемешивания нельзя считать физической постоянной
для каждой жидкости, однако она, как показывают опытные данные, слабо зависит от параметров потока и является в основном
функцией координаты y . При y  0 (на стенке, полагаемой гладкой) и величина l  0. Сделаем допущение, что возле стенки l  ky.
49
Вновь рассмотрим течение вдоль плоской безграничной
стенки несжимаемой жидкости при p  const, но уже с учетом турбулентности. Уравнение такого движения имеет следующий вид:

d  du
 T   0, где T  xy  uv.

dy  dy

Отсюда
du

 T  const.
dy
На стенке и в непосредственной близости от нее (в так называемом
ламинарном подслое) T  0, и, значит, const  W . В турбулентной зоне, наоборот, 
du
 T и T  W . Но по гипотезе Прандdy
тля
2
 du 
T  l   .
 dy 
Заменив длину пути перемешивания ее выражением возле стенки,
2
2
 du 
получим T  k y   . Интеграл этого уравнения с учетом
 dy 
T  W равен
2
u
2
1 w
ln y  C , или в безразмерной форме
k 


u 1 v* y
 ln
 C1 , где v*  w и   .


v* k

Величина k согласно результатам измерений является универсальной постоянной турбулентных течений и равна 0,4. Вторая
константа C1 зависит от свойств обтекаемой поверхности и определяется, исходя из требований к смыканию полученного турбулентного логарифмического профиля скорости с линейным в ламинарном подслое. Выведенный закон распределения скорости справедлив и для части пограничного слоя и опирается, подчеркнем
снова, на предположение, что в основной части турбулентного пограничного слоя коэффициент молекулярной вязкости мал по срав50
нению с турбулентным коэффициентом вязкости. Такое допущение
справедливо лишь при очень больших числах Re.
Опыты при обтекании плоской пластинки потоком несжимаемой жидкости показывают, что при умеренных «турбулентных»
числах Re распределение скорости хорошо описывается степен1
u  y n

. Величина n слабо зависит от числа Re.
ным законом
u0   
При Re x  106  108 можно принять n  7.
Из приведенного, хотя и весьма краткого, изложения важнейшего раздела гидромеханики, посвященного турбулентным
движениям, заключаем, что сегодня нет (и в силу специфики самого явления вообще не может быть) точных решений уравнений Навье–Стокса для турбулентных течений. Высказываемые расчетные
гипотезы и имеющиеся экспериментальные данные позволяют создавать приближенные методы расчета, в большей или меньшей
степени отвечающие реальным течениям. Проблема турбулентности чрезвычайно актуальна и не менее сложна, и ее рассмотрение
выливается в отдельные самостоятельные специальные курсы, что,
естественно, выходит далеко за рамки курса «Введение в механику
сплошных сред».
6. Особенности течения вязкой сжимаемой жидкости
Описывая течения в пограничном слое несжимаемой жидкости, мы не касались вопроса распределения в нем температуры.
При относительно небольших перепадах температур динамический
пограничный слой для несжимаемой жидкости можно рассматривать в общем случае независимо от температурного пограничного
слоя. Для сжимаемых течений (течений газа) это невозможно. Там
динамический и температурный пограничные слои влияют друг на
друга, и поэтому их нужно рассчитывать только совместно. Это
обстоятельство сильно усложняет решение задачи. Определяемыми
(искомыми) становятся уже семь параметров: u, v, w, p, , T,  *).
В принципе при наличии семи уравнений задача может быть решеВ этом ряду нет коэффициента теплопроводности газа, который
принимается пропорциональным коэффициенту динамической вязкости.
*)
51
на. Однако введение дополнительных параметров и зависимостей в
случае течения сжимаемой жидкости: критерия сжимаемости –
числа Маха, критерия теплового подобия – числа Прандтля, эмпирического закона связи вязкости с температурой, – приводит к резкому возрастанию числа возможных вариантов расчета.
dp
Замечено, что в безградиентных течениях (
 0 ) экспериdx
ментальные исследования не отмечают сильного влияния сжимаемости на характеристики пограничного слоя. Однако в течениях с
dp
положительным градиентом давления (
 0 ) происходят сущеdx
ственные изменения картины течения в этом слое. Причем они (изменения) характерны как для ламинарного, так и для турбулентного пограничных слоев. На практике в большинстве случаев мы
имеем дело с турбулентными течениями, притом сверхзвуковыми.
Поэтому значительный объем экспериментальных работ приходится на исследования взаимодействия скачков уплотнения с турбулентным пограничным слоем. Теоретическое изучение этого вопроса затруднено вследствие сложности явления.
В
виде
примера на рис.
15 показана схема взаимодействия
скачка
уплотнения
с
турбулентным
пограничным
слоем при обтекании внутреннего угла .
Профиль скорости в пограничРис. 15. Обтекание внутреннего тупого угла (при
ном слое для
  пред ) сверхзвуковым безотрывным потоком
наглядности
вязкого и невязкого газа: 1 – идеальная жидкость,
сильно растянут
2 – реальная жидкость
по оси y . Пользуясь уравнениями идеальной жидкости при расчете скачков
уплотнения, можно определить изменение наклона скачка (кривиз52
ну скачка) в сверхзвуковой части пограничного
слоя. В дозвуковой части профиля скорости в
пограничном слое скачка уплотнения, естественно, нет, но повышение давления должно
происходить. Эксперименты показывают, что
описанная картина течения
действительно
наблюдается при обтекании относительно малых углов . С увеличением угла  (при заданной скорости течения) картина обтекания
резко меняется (см. рис.
16). Здесь же представлено и распределение
давления на стенке. Давление непрерывно увеличивается от значения
pн в невозмущенном
Рис. 16. Картина течения и распределения давления при взаимодействии
скачка уплотнения с турбулентным
пограничным слоем: 1- начало повышения давления, 2 - точка отрыва,
3 - точка перегиба в распределении
давления, 4 - точка присоединения
потоке до значения p2 , которое обычно совпадает с давлением за
скачком уплотнения во внешнем потоке. Характерной особенностью распределения давления является наличие точки перегиба,
причем значение давления в этой точке p1 оказывается таким же,
p
как за первым косым скачком уплотнения. Отношение 1 – критиpн
ческое отношение давлений – является одним из основных параметров при взаимодействии скачка уплотнения с пограничным слоpотр
ем. Относительное давление в точке отрыва
несколько меньpн
ше, чем критическое отношение давлений. Для турбулентного пограничного слоя распределение давления в области взаимодействия
53
практически не зависит от числа Re . Аналогичная картина взаимодействия имеет место при наличии во внешнем потоке косого скачка уплотнения (скачок, падающий на стенку), при нерасчетном истечении из сопла, при обтекании уступов сверхзвуковым потоком.
p
Опытные данные показывают, что отношение давлений 1 в отоpн
шедшем косом скачке уплотнения (критическое давление) не зависит от способа осуществления течения, интенсивности основного
скачка уплотнения и числа Re, а определяется только значением
числа M н внешнего невозмущенного потока (рис. 17).
Рис. 17. Зависимость критического отношения давлений от числа M Н
при турбулентном пограничном слое
Построены различные аппроксимации этих экспериментальных
зависимостей, например:
p
pкр  1  0, 75Mн  0, 375;
pн
54
pкр  1  0, 2
M н2
1
 Mн2  1 4
;
(5.1)

  1 2   1

 1  2 Mн 
(5.2)
p кр  
.
1 2 
 1  0, 64

Mн
2


Существуют и другие аппроксимации, помимо приведенных.
Величина отхода косого
скачка от точки пересечения
падающего скачка со стенкой
зависит от интенсивности падающего скачка, от числа M н
и местных параметров пограничного слоя. В качестве примера на рис. 18 приведены результаты опытного определения этого линейного размера.
Величина  * на этом рисунке –
толщина вытеснения пограничного слоя при отсутствии
скачка уплотнения во внешнем
Рис. 18. Величина отхода косого
потоке.
скачка в функции от интенсивноОтмеченное
явление
сти падающего скачка при туримеет место и при ламинарном
булентном пограничном слое
режиме течения жидкости в
пограничном слое. Критическое отношение давлений при этом зависит не только от числа M н , но и от числа Re :
Mн2
p1
 1  0, 94
pн
.
1
 Mн2  1 Re x  4


Величина отхода косого скачка при ламинарном течении в
пограничном слое больше, чем при турбулентном.
55
7. Осреднение параметров неравномерного потока
Неравномерные потоки газа с переменными по сечению параметрами иногда (в частности, в технических приложениях) целесообразно рассматривать как одномерные. Для этого необходимо
привести течения к каким-то средним значениям параметров.
Осреднение параметров газа не является само собой разумеющейся
операцией, а требует внимательного подхода. Вспомним, что мы
уже при выводе решения Гагена–Пуазейля произвели осреднение
скорости, разделив объемный расход жидкости на величину площади поперечного сечения канала, в котором движется жидкость.
Значение полученной осредненной скорости использовалось для
дальнейших выкладок и вошло в окончательный результат. Однако,
нередко такое простейшее осреднение является физически неприемлемым и будучи, тем не менее, примененным может привести к
ошибочным выводам. Оправданием такого осреднения является то,
что при малой исходной неравномерности потока жидкости количественная ошибка невелика. Но при большой неравномерности
ошибка может стать существенной.
Неравномерный поток характеризуется рядом суммарных
величин. Это – расход газа, его энергия и импульс, теплосодержание, энтропия. При осреднении желательно сохранить эти величины. Поскольку состояние одномерного газового потока определяется тремя независимыми параметрами, то и при осреднении можно
обеспечить сохранение только трех интегральных физических характеристик исходного течения. Наиболее распространенным способом осреднения является выдерживание равенства у исходного и
осредненного потоков расхода газа G, потока полной энтальпии
H (или температуры торможения T0 ) и полного импульса J.
Среднее значение полного давления p0 , температуры торможения
T0 и безразмерной скорости  находятся из решения системы трех
уравнений, выражающих сформулированные условия осреднения.
Итак, запишем:
p q 
G   dG   m 0
dF.
T0
F 
F 
56
 1
1
 2   1
Здесь m   
.
 
R
 k 1
Далее,
H  Gc p T0 
 c T dG.
p 0
F 
Полагая c p  const, получаем
T0 
 p q 
F 
T0 dF
0
m
 
p0 q   
T0
F
и aкр  2
dF

RT0 .
1
Для упрощения расчетов импульса по средним параметрам
1
выразим суммарный полный импульс как Gu  pF 
Gaкр z  ,
2
а элементарный полный импульс через полное давление и газодинамическую функцию f    : dG  u  p  dF  p0 dF  f    . Напом-
 
1
ним, что z       . Функция же f    – новая для нашего из
ложения газодинамическая функция, производная от уже известных газодинамических функций:
1
1
  1 2   1
 2   1

2
f   
  .
 q    z        1  1 
1 
 1

В итоге для вычисления среднего значения безразмерной
скорости  имеем следующее соотношение:
1
2 1
Gaкр z    p0 f    dF , или z  
p0 f    dF .
2

 1 Gaкр F 
F 
 
 
Рассчитав температуру торможения T0 и  , можно получить и среднее полное давление p0 :
p0 
G T0
 
mFq 
57
.
По найденным значениям p0 , T0 ,  однозначно определяются все остальные параметры осредненного потока. Сопоставив
при проведенном осреднении энтропию газа с энтропией исходного
потока, обнаруживаем, что осредненным параметрам соответствует
большее значение энтропии. Осреднение увеличило энтропию газа.
С точки зрения второго начала термодинамики это можно объяснить тем, что выполнение осреднения физически эквивалентно перемешиванию частиц газа, движущегося с разными скоростями по
сечению. А такое перемешивание должно сопровождаться потерями. В связи с этим изложенный способ осреднения может оказаться
неприемлемым.
Когда по смыслу задачи требуется оценить работоспособность исходного потока газа, необходимо проводить осреднение
так, чтобы сохранить постоянной суммарную величину энтропии
газа. Тогда с целью определения трех параметров осредненного
потока ( p0 , T0 ,  ) используют условия сохранения расхода, полной энергии и энтропии. В этом случае, предполагая T0  T0 , получаем
1
ln p0 
ln p0 dG ;
G  G 
 
q  
G T0
mp0 F
.
Если T0  const, то к данным двум выражениям добавляется
ранее приведенное выражение для T0 . Кроме того, температура
теперь войдет под знак логарифма в первое соотношение: как
сомножитель вида T0



1
при P0 слева и, разумеется, в качестве

1
сомножителя T0
при P0 справа.
Конечно, при подобном осреднении не выполняется условие
сохранения импульса.
В итоге можно сказать, что в каждом реальном случае необходимо выбирать такой способ осреднения, который наиболее полно отражал бы особенности поставленной задачи.
58
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Христианович С.А. и др. Прикладная газовая динамика. – М.:
Издательство ЦАГИ, 1948.
2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. – М.: Наука, 1974.
3. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. – М.: Наука, 1976.
4. Кузнецов Д.С. Гидродинамика. – Л.: Гидромет. издательство,
1951. – С. 327–336.
5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. I – М.: Физматлит. МФТИ,
2002. – С. 503–504.
6. Повх И.Л. Техническая гидродинамика. – Л.: Машиностроение,
1976. – С. 267–378, 327–330.
7. Вознесенский Э.Н., Широков Н.Н. О подобии и анализе размерностей. Учебно-методическое пособие по курсу «Введение в механику сплошных сред». – М.: МФТИ, 2003. – 37 с.
8. Вознесенский Э.Н., Широков Н.Н. Начала газовой динамики. Методические указания по курсу «Введение в механику сплошных
сред». – М.: МФТИ, 1994. – 26 с.
9. Вознесенский Э.Н., Широков Н.Н. Течения жидкости с подводом
тепла. Учебно-методическое пособие по курсу «Введение в механику сплошных сред». – М.: МФТИ, 2002. – 32 с.
59
Оглавление
Введение ................................................................................................. 3
1. Течение в трубах ................................................................................ 4
2. Закон трения Стокса ........................................................................ 16
3. Уравнения Навье–Стокса ................................................................ 25
4. Пограничный слой в несжимаемой жидкости .............................. 31
5. Краткие сведения о турбулентности и турбулентных течениях . 45
6. Особенности течения вязкой сжимаемой жидкости..................... 51
7. Осреднение параметров неравномерного потока ......................... 56
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................... 59
Оглавление ........................................................................................... 60
60