МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Геологоразведочный институт имени К.Т.Турысова Кафедра геофизики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ К.И.САТПАЕВА
Геологоразведочный институт имени К.Т.Турысова
Кафедра геофизики
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ СТУДЕНТА
по дисциплине
«ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБРАБОТКИ
ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ»
(ТООГИ)
для специальности 050706 - Геология и разведка месторождений полезных ископаемых
АЛМАТЫ 2006
Учебно-методический комплекс для студентов специальности 050706 - Геология и
разведка месторождений полезных ископаемых. Сост. Г.К.Умирова – Алматы: Изд-во
КазНТУ, 2006.
Составитель Умирова Г.К., ст. препод. кафедры геофизики
Аннотация: С середины 60-х годов всю обработку геофизической информации стали
выполнять на цифровых ЭВМ. За последние годы теория анализа временных рядов в своем
развитии испытала огромный скачок. Рассмотрению этой теории посвящен курс «ТООГИ».
Рассматривая временные ряды, можно решить такие задачи, как:
1. Выявление значимых периодичностей;
2. Восстановление пропущенных наблюдений с помощью интерполяции по предшествующим и последующим этапам;
3. Прогнозирование за пределами интервала наблюдений;
4. Проведение детерминистической фильтрации с целью выделения и подавления
определенных частотных компонент с известным отношением сигнал/ помеха;
5. Проведение статистической фильтрации с целью выделения и подавления определенных частотных компонент с неизвестным отношением сигнал/ помеха;
6. По выполненным на поверхности Земли наблюдениям получить информацию о
внутреннем строении геологического разреза.
Учебно-методический комплекс дисциплины студента (УМК ДС) представляет собой
документ, определяющий концепцию курса «ТООГИ». УМК ДС выдается студенту перед
началом изучения дисциплины и содержит учебную программу дисциплины (Syllabus), тематический план курса, систему заданий для самостоятельной работы студентов, график выполнения отчетных работ по дисциплине, тестовые задания для самоконтроля, тематику
письменных работ и перечень экзаменационных вопросов. Ценность данного УКМ состоит в
распределении учебного времени по темам и видам учебных занятий, организации самостоятельной работы студентов в аудиторное и внеаудиторное время, активизации познавательной и творческой деятельности студентов и обеспечения взаимосвязи учебного и исследовательского процессов.
© Казахский национальный технический университет
имени К.И.Сатпаева, 2006
1 УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ – SYLLABUS
1.1 Данные о преподавателе:
Умирова Г.К. ст. преподаватель кафедры геофизики
Контактная информация Тел/Факс: 8-(3272)-92-79-05
Е-mail: muha@mail.kz
Время пребывания на кафедре - 531 ауд. ГУК с 10.00-17.00ч.
1.2 Данные о дисциплине:
Название - «ТООГИ»
Количество кредитов - 3
Место проведения – 531 ауд. кафедры геофизики
Таблица 1.
Выписка из учебного плана
Кредиты
Семестр
Курс
Академических часов в неделю
Форма контроля
Лекции
Лаб.
занят.
СРС*
СРСП*
Всего
1
2
3
4
5
7
8
9
10
3
6
3
2
1
3
3
6
Экзамен
1.3 Пререквизиты: высшая математика, физика, теория поля, сейсморазведка.
1.4 Постреквизиты: обработка геофизической информации.
1.5 Краткое описание дисциплины
Геофизические методы служат для информационного обеспечения поисков и разведки
полезных ископаемых. В настоящее время одним из главных направлений повышения эффективности геофизических работ является повсеместное использование цифровой регистрации и обработки данных геофизических методов. Поэтому всем инженерам-геофизикам
необходима подготовка в области вычислительной техники. Такую минимальную подготовку призван обеспечить курс «Теоретические основы обработки геофизической информации».
Курс посвящен изложению основ теории линейных цифровых процедур и линейных фильтров, используемых при регистрации и обработке данных. В этом курсе студентам дается
очень важная информация о линейных системах, как о системах реализации преобразований,
детализируются некоторые вопросы дискретизации данных. Данный учебно-методический
комплекс поможет студентам в освоении теоретических основ физико-математических преобразований временных рядов и применения теории на практике геофизических работ.
В разведочной геофизике, как и во всех областях науки и техники, занимающихся передачей и обработкой информации, два вопроса являются фундаментальными:
- как искажаются (преобразуются) сигналы, проходя через регистрирующие и обрабатывающие системы;
- как эти системы искажают (преобразуют) проходящие через них сигналы.
Другими словами, что делают системы с сигналами и как они это делают. Беря во
внимание то, обработка геофизических материалов основывается на всевозможных преобразованиях сейсмограмм, среди которых ведущую роль играют линейные преобразования, то
можно сказать, что курс «ТООГИ» тесно связан с вопросами фильтрации. Фильтрацией в
широком смысле будем называть любое преобразование обрабатываемых данных с целью
изменения соотношения между различными компонентами сигнала. В этом аспекте вопрос о
теоретических основах обработки геофизических данных стоит так: какими должны быть характеристики фильтра, чтобы преобразовать сейсмические колебания к нужному виду.
1.6 Перечень и виды заданий и график их выполнения
Таблица 2.
1
Текущий
контроль
2
Л1
Текущий
контроль
Текущий
контроль
Текущий
контроль
Текущий
контроль
Р1
Текущий
контроль
Рубежный
контроль
Текущий
контроль
Текущий
контроль
Р3
Текущий
контроль
Контрольная
работа
Текущий
контроль
Текущий
контроль
Текущий
контроль
Рубежный
контроль
Итоговый
контроль
Р4
Л2
Р2
Л3
К1
Л4
Л5
К2
Р5
Л6
Л7
К2
Тема работы
Ссылки на рекомендуемую
литературу с
указанием страниц
3
Приближенное представление
определенных интегралов в дискретном виде
Дискретизация и квантование сигналов
Разложение временной функции в
ряд Фурье
Преобразование Гильберта
4
1 осн [22–24]
Вычисление комплексночастотной, амплитудной и фазовой
характеристик временной функции
Быстрое преобразование Фурье
1 осн [14-18],
Письменная работа по пройденным темам
Дискретная форма представления
свертки
Дискретная форма представления
функции автокорреляции и функции взаимной корреляции
Преобразование Уолша
1 осн. [3-31]
1 осн [11-14]
1 осн [18-24]
1 осн [16-18]
1 осн [31-35]
1 осн [35-36]
Баллы
(согласно
рейтингшкале)
Вид работы
Виды
контроля
Виды заданий и сроки их выполнения
Сроки сдачи
5
6
2
1 нед.
3
2 нед.
2
3 нед.
3
4 нед.
2
5 нед.
3
6 нед
10
2
1 осн [79-90]
2
1 осн [37-59]
Письменная контрольная работа по 1 осн [3-90]
пройденным темам
1 осн [59-79]
Классификация фильтров
Расчет рекурсивного фильтра ре1 осн [79-90]
жекторного типа
Расчет винеровского фильтра (ал1 осн [38-90]
горитм Левинсона)
Письменная контрольная работа по
всему пройденному материалу
Экзамен
.
7 нед.
8 нед.
9 нед.
3
10 нед.
5
11 нед.
2
12 нед.
2
13 нед.
2
14 нед.
10
15 нед.
40
1.7 Учебно-методические материалы по дисциплине
Материал для обязательного изучения
1 Е.А.Козлов, Г.Н. Гогоненков и др. Цифровая обработка сейсмических данных. М.: Недра,
1973.
2 Шерифф Р., Гелдарт Л. Сейсморазведка: в 2-х томах. Т.2/ Пер. с англ. М.: Мир, 1987.
Материал для дополнительного ознакомления
1 Гурвич И.И. Сейсмическая разведка. М.: Недра, 1981.
2 М.К.Полшков, Е.А.Козлов, В.И.Мешбей и др. Системы регистрации и обработки данных
сейсморазведки. – М.: Недра, 1984.
3 Л. Хаттон, М.Уэрдингтон, Дж.Мейкин. Обработка сейсмических данных. – М.: Мир, 1989.
1.8 Контроль и оценка знаний.
По кредитной технологии обучения для всех курсов и по всем дисциплинам Казахского национального технического университета имени К.И.Сатпаева применяется рейтинговый
контроль знаний студентов. Сведения об оценке знаний, осуществляемой по балльнорейтинговой системе в виде шкалы, где указываются все виды контроля.
При итоговом контроле знаний возможен один из трех вариантов распределения баллов
(таблица 5), определенный рабочим учебным планом специальности.
Рейтинг каждой дисциплины, которая включена в рабочий учебный план специальности,
оценивается по 100 - бальной шкале независимо от итогового контроля.
Для каждой дисциплины устанавливаются следующие виды контроля: текущий контроль, рубежный контроль, итоговый контроль.
Видами текущего контроля являются контрольные работы, рефераты, семестровые задания, коллоквиумы, выполнение лабораторных работ и др. К итоговому контролю относятся
курсовой проект или курсовая работа и экзамен. В зависимости от видов итогового контроля
применяется различная разбалловка видов контроля (таблица 3).
Таблица 3.
Распределение рейтинговых баллов по видам контроля
Номер вариантов
3
Вид итогового
контроля
Экзамен
Виды контроля
Баллы
Экзамен
Рубежный контроль
Текущий контроль
40
20
40
Сроки сдачи результатов текущего контроля должны определяться календарным графиком учебного процесса по дисциплине (таблица 4). Количество текущих контролей определяется содержанием дисциплины и ее объемом, которое указывается в учебно-методическом
комплексе дисциплины.
Таблица 4.
Календарный график сдачи всех видов контроля
Недели
1
2
3
4
5
Виды
Лр
Лр
Лр
конР1
Р2
1
2
3
троля
Балл
2
3
2
3
2
Виды контроля: К – контрольная, СРный контроль, Р- рефераты и др..
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Рк1
Р3
Лр
4
Лр
5
Р4
К2
Р5
Лр
6
Лр
7
РК
2
10
3
5
2
2
5
40
3
10
10
самостоятельная работа, Кл – коллоквиум, РК – рубеж-
Студент допускается к сдаче итогового контроля при наличии суммарного рейтингового
балла  30. Итоговый контроль считается сданным в случае набора  20 баллов. Итоговая
оценка по дисциплине определяется по шкале (таблица 5).
Таблица 5.
Оценка знаний студентов
Оценка
Отлично
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
Буквенный эквивалент
А
АВ+
В
ВС+
С
СD+
D
F
Рейтинговый
балл
(в процентах %)
95-100
90-94
85-89
80-84
75-79
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
0-49
В баллах
4
3,67
3,33
3,0
2,67
2,33
20,
1,67
1,33
1,0
0
Перечень вопросов для проведения контроля по модулям и промежуточной аттестации
Вопросы для проведения контроля по модулю I:
1. Что такое линейное преобразование?
2. Дайте определение линейным, динамическим, стационарным системам?
3. Какими свойствами обладают линейные преобразования?
4. Приведите примеры линейных, динамических, стайионарных, инвариантных систем?
5. Какие математические действия можно производить с линейными преобразованиями?
6. Докажите, что линейные преобразования обладают свойством аддитивности.
7. Докажите, что линейные преобразования обладают свойством однородности. Дайте
определение сущности этого свойства и докажите математическими формулами.
8. Что такое ряд Фурье? Объясните физический смысл ряда Фурье и докажите это с
помощью рисунка.
9. Что такое гармонический анализ?
10. Что такое простая гармоника?
11. Продемонстрируйте качественно переход от ряда Фурье к интегралу Фурье при T   .
12. Что такое преобразование Фурье? Дайте физический смысл, запишпте формулы,
объясните использование в обработке геофизической информации.
13. Приведите примеры спектров для специфических функций.
14. Почему Gw называют комплексным спектром? Перечмслите все известные вам
спектры, дайте их определения, объясните их физический и математический смысл.
15. Свойства преобразования Фурье.
Вопросы для проведения контроля по модулю II:
1. Быстрое преобразование Фурье. Объясните алгоритм и использование в обработке.
2. Что такое проебразование Уолша? Как его используют в обработке геофизической
информации?
3. Объясните и докажите математически смысл z  преобразования.
4. Как применяются z  преобразования к цифровым системам?
5. Как характеризуются макимально-фазовые и минимально-фазовые сигналы?
7. Что такое кепстральный анализ?
8. Что такое фильтрация?
9. Классификация фильтров.
10. Приведите примеры частотной фильтрации.
11. Как работают оптимальные фильтры?
12. Что такое обратные фильтры?
13. Перечислите все одноканальные фильтры. Объясните смысл их применения в обработке.
14. Перечислите все многоканальные фильтры. Объясните смысл их применения в
обработке.
15. Что такое миграция и почему ее применяют в обработке геофизической информации?
Вопросы для промежуточной аттестации:
1. Дайте физический смысл, объясните использование в обработке геофизической
информации преобразования Лапласа?
2. Какими свойствами обладает преобразование Лапласа? Докажите математически.
3. Дайте физический смысл, объясните использование в обработке геофизической
информации преобразования Гильберта?
4. Какими свойствами обладает преобразование Гильберта? Докажите математически.
6. Перечислите преобразования, которые считаются наиболее используемыми в обработке
геофизической информации.
7. Что такое свертка?
8. Что такое корреляционные функции?
9. Объясните свойства корреляционных функций.
10. Теорема о свертке. Докажите математически.
11. Что такое импульсная характеристика линейной системы?
12. Приведите примеры последовательных и параллельных систем.
13. Что такое детерминированный сигнал?
14. Дайте определение случайному сигналу.
15. Цифровые системы и z -преобразование.
1.9 Политика и процедура
Студенты должны в обязательном порядке посещать занятия. В случае пропуска занятий (по уважительным или неуважительным причинам) студенты отрабатывают занятия во
внеучебное время. Задания к лабораторным работам студент получает при условии сдачи
предыдущей лабораторной работы. Студент допускается к сдаче итогового контроля при
условии сдачи всех видов контроля.
В результате изучения дисциплины «ТООГИ» студенты должны знать:
 общее представление о теории обработки геофизических материалов;
 основные вехи развития теории обработки;
 основные понятия и определения теории обработки;
 все наиболее известные линейные преобразования, используемые в обработке геофизической информации;
 вопросы фильтрации;
 уметь применять теоретические понятия для решения практических вопросов.
2
СОДЕРЖАНИЕ АКТИВНОГО РАЗДАТОЧНОГО МАТЕРИАЛА
2.1 Тематический план курса
Наименование темы
1 Введение. Дискретные сигналы. Понятие линейных преобразований
2 Ряды Фурье и интеграл Фурье
3 Преобразование Фурье
4 Преобразование Лапласа.
5. Операция свертки.
6. Основные положения теории случайных процессов
7. Энергетический спектр и корреляционные функции
8. z - преобразования
9. Математическая модель сейсмограмм как основа
для выбора алгоритмов обработки
10. Постановка задачи и основные процедуры обработки
11. Особенности цифровой фильтрации
12. Алгоритмы одноканальной фильтрации
13. Элементы теории выбора фильтров
14. Расчет фильтров
15.Алгоритмы многоканальной фильтрации
Всего часов
Количество академических часов
Лекция Лаборат.
СРСП
СРС
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3
2
2
3
3
2
3
3
2
3
3
2
2
2
2
2
30
3
3
3
3
3
45
3
3
3
3
3
45
2
2
15
2.2 Конспект лекционных занятий
Лекция 1. Введение
1.1 Дискретные сигналы. Науку, основанную на изучении физических полей Земли,
называют геофизикой. Так как у Земли существуют гравитационное, электромагнитное,
сейсмическое и т. д. поля, то геофизика представляет собой совокупность таких геофизических методов, как гравиразведка, сейсморазведка, электроразведка, магниторазведка и т. д.
Все геофизические работы можно разделить на три этапа:
1. Полевые работы;
2. Обработка первичного материала;
3. Интерпретация.
Материалы, полученные в процессе полевых работ, называются первичным материалом. Например, в результате, полевых сейсморазведочных работ (так как математический
аппарат обработки сейсморазведочных материалов является наиболее универсальным, то будем рассматривать обработку сейсмических материалов) получают следующие кривые (рисунок 1)
Рисунок 1 – Сейсмограмма, полученная в результате сейсморазведочных работ
Они получены построением по горизонтальной оси расстояния (положения сейсмоприемников) или времени прихода сейсмической волны, а по вертикальной оси – амплитуды
сейсмического сигнала. График зависимости амплитуды волны от времени или расстояния
называется сейсмотрассой. Совокупность сейсмотрасс называется сейсмограммой. Таким
образом, в результате полевых работ получают множество сейсмограмм, характеризующих
геологическое строение исследуемого района.
Цифровая сейсмическая запись представляет собой функцию дискретного времени.
Это означает, что непрерывные измерение и регистрация сейсмического сигнала заменяются
отсчетами значений и записью этих значений только в отдельные дискретные моменты времени, разделенные равными промежутками времени t . Величина t носит название интервала временного квантования записи или шага дискретизации.
Пусть запись одной трассы сейсмограммы началась в некоторый момент времени t 0 .
Измеренное в этот момент времени значение сигнала составляло y 0 . Следующий отсчет
производится в момент времени t1  t 0  t . Затем в момент времени t 2  t1  t и т. д. Запись включает в себя n отсчетов, заканчивается в момент времени t n1  t 0  (n  1)t . По-
лученная таким образом запись одной трассы сейсмограммы представит собой дискретную
последовательность чисел
(1)
yt  y0 , y1 , y 2 ..... y n1 .
Подобная последовательность называется временной последовательностью (или временным рядом). Каждое из n чисел, составляющих последовательность (1), называется ее
элементом. Элементы последовательности, описывающей сигнал, представляют собой мгновенные амплитуды сигнала, измеренные в определенные моменты времени, взятых через
равный промежуток. Индексы, стоящие при элементах последовательности, означают порядковый номер отсчета сигнала, при котором было получено значение сигнала, равное данному
элементу. Процедура перевода сигнала в цифровой вид производится при проведении процедуры обработки, которую называют квантованием или дискретизацией.
1.2 Понятие линейных преобразований. В процессе распространения в геологической среде,
приема и обработки геофизический сигнал подвергается неоднократным преобразованиям.
Любое преобразование сигнала, при котором амплитуда сигнала на выходе системы,
осуществляющей преобразование, пропорциональна амплитуде входного сигнала, называется линейным.
Динамической системой называется любое искусственное или естественное устройство,
меняющее свое состояние при наличии внешних воздействий (например, геологическая среда, регистрирующая или обрабатывающая аппаратура, сейсмоприемник, фильтр). Динамическими являются все системы обработки геофизических данных.
Линейной называется такая динамическая система, реакция которой на линейную комбинацию воздействий является линейной комбинацией реакций на каждое из воздействий.
Обозначим x1 (t ), x2 (t ),.....xn (t ) - функции, описывающие воздействия; y1 (t ), y 2 (t ),..... y n (t )
- функции, описывающие реакции; L  - линейное преобразование. Тогда общая формула,
описывающая линейное преобразование запишется как
(2)
y n (t )  Lxn (t ) ,
где L  - оператор линейной системы.
Линейные преобразования считаются линейными, только если они отвечают следующим основным свойствам линейных преобразований.
1. Свойство пропорциональности.
Входной и выходной сигнал связаны между собой простейшей пропорциональной зависимостью y n (t )  cxn (t ) , с – коэффициент усиления (амплитуда).
2. Свойство аддитивности.
Преобразование суммы сигналов равно сумме тех же суммируемых сигналов. Это
означает, что реакция системы на сумму входных воздействий равна сумме реакций системы
на каждое из воздействий.
x1 (t )  x2 (t )  ....  xn (t )  y1 (t )  y 2 (t )  ...  y n (t ) или
L( x1 (t )  x2 (t )  ....  xn (t ))  L[ x1 (t )]  L[ x2 (t )]  ...  L[ xn (t )].
(3)
3. Свойство однородности
Если входные сигналы имеют одинаковый множитель, то его можно вынести за знак
линейного преобразования:
L[an xn (t )]  an Lxn (t ),
(4)
где a n - любое число, имеет смысл амплитуды или коэффициента усиления.
4. Свойство суперпозиции
Как следует из свойства аддитивности, всякая динамическая система подчиняется
принципу суперпозиции: реакция системы на несколько приложенных к ней воздействий
равна сумме реакций системы на каждое из воздействий в отдельности:
N
L[ x n (t )]   L[ x n (t )].
n 1
(5)
5. Свойство инвариантности или стационарности.
Стационарными (инвариантными во времени) называют такие системы, которые одинаковым образов преобразуют сигналы, отличающиеся только временем прихода, т. е. если
y n (t )  Lxn (t ), то для любого временного сдвига  справедливо
(6)
y n (t   )  Lxn (t   ) .
Линейные преобразования играют большую роль в теории обработки геофизических
сигналов, т. к. и регистрирующая аппаратура, и упругая среда представляют собой стационарные, линейные, динамические системы.
1.3 Алгебраические действия с линейными преобразованиями (ЛП). Для ЛП можно
определить алгебраические действия сложения и произведения, причем сумма и произведение ЛП также являются ЛП.
Сложение ЛП. Суммой ЛП L1 и L2 называется преобразование L , преобразующее
сигнал x(t ) в сигнал y (t ) в соответствии с равенством:
(7)
y(t )  L[ x(t )]  L1[ x(t )]  L2 [ x(t )]  ( L1  L2 )[ x(t )], т. е. L  ( L1  L2 ) .
Применение (7) к сумме двух сигналов подтверждает адиитивность суммы:
L[ x1  x 2 ]  L1 [ x1  x 2 ]  L2 [ x1  x2 ]  L1 [ x1 ]  L1 [ x2  L2 [ x1 ]  L2 [ x2 ]  ( L1  L2 )[ x1 ] 
(8)
( L1  L2 )[ x2 ]  L[ x1 ]  L[ x2 ].
Применение (8) к сигналу с постоянным множителем подтверждает однородность
суммы преобразований:
(9)
L[ax]  L1[ax]  L2 [ax]  aL1[ x]  aL2 [ x]  a( L1  L2 )[ x]  aL[ x] .
Умножение ЛП. Произведением ЛП L1 и L2 называется преобразование L , преобразующее сигнал x(t ) в сигнал y (t ) в соответствии с равенством:
(10)
y(t )  L[ x(t )]  ( L1  {L2 [ x]}  ( L2 L1 )[ x], т. е. L  ( L1  L2 ) .
Аддитивность произведений ЛП следует из результата подстановки суммы сигналов
x(t )  x1 (t )  x2 (t ) .
y (t )  L[ x(t )]  ( L2  {L1 [ x1  x 2 ]}  L2 {L1 [ x1 ]  L1 [ x2 ]}  ( L1 L2 )[ x1 ]  ( L1 L2 )[ x2 ]
(11)
 L[ x1 ]  L[ x2 ].
Однородность произведения следует из подстановки в (11) сигнала с постоянным
множителем a :
(12)
L[ax(t )]  L2 {L1[ax(t )]}  L2 {aL[ x(t )]}  a( L2 L1 )[ x(t )]  aL[ x(t )].
Основная литература 1 осн [9-13],
Дополнительная литература 2 доп [20-24]
Контрольные вопросы:
Что такое сейсмотрасса?
Дайте определение сейсмограммы.
Как называется процедура обработки, переводящая сигнал в цифровой вид?
Перечислите все свойства линейных преобразований, дайте определения и запишите
формулы.
5. Какие алгебраические действия можно производить с линейными преобразованиями?
6. Докажите, что сумма и произведение линейных преобразований также являются линейными преобразованиями.
1.
2.
3.
4.
Лекция 2. Ряды Фурье и интеграл Фурье
2.1 Основы теории спектральных преобразований
Волновое поле, создаваемое источником энергии, является функцией пространства и
времени. Полное представление этой функции обеспечивается совокупностью сейсмических
записей, полученных на всей поверхности Земли. При профильных наблюдениях волновое
поле представляется в виде f ( x, t ) , где x - координата пункта приема, t - время. Совокупность таких функций мы назвали сейсмограммой. В этом случае каждая сейсмическая трасса
представляет собой график зависимости амплитуд волн от времени, т. е. сейсмоприемники
регистрируют волновое поле во временной области. При временном представлении сигнала
наибольшее внимание уделяется зависимости от времени следующих характеристик: времени первых вступлений, времени пробега волны, скоростям, т.е. кинематическим параметрам
волнового поля.
Однако для всестороннего анализа колебаний описания во временной области бывает
недостаточным. При интерпретации часто требуется оценка эффекта фильтрации сигналов
при прохождении их через слоистую среду, а также аппаратуре, применяемой при возбуждении и регистрации сейсмических волн. Оказывается, что любое (с несущественными ограничениями) периодическое колебание можно представить в виде набора гармонических синусоидальных колебаний с определенной амплитудой и фазой. При этом частоты синусоид
кратны основной частоте заданного периодического колебания. Речь идет о представлении
временного сигнала в частотной области. Когда Фурье высказал свой тезис о том, что любая
функция может быть представлена простым тригонометрическим рядом, эта идея была категорически отвергнута такими известными математиками, как Даламбер и Лагранж. Теперь-то
мы знаем, какое широкое применение получила работа Фурье в результате изобретения цифровых вычислительных машин.
В соответствии с теорией Фурье любую временную функцию можно разложить в ряд
Фурье, если функция отвечает условиям Дирихле:
1. Функция g t  должна быть периодической, т. е. для нее должно выполняться равенство g t   g (T  t ) , где T - период функции;
2. Число разрывов g t  конечно, а скачки ограниченны;
3. g t  должна иметь конечное число максимумов и минимумов;
4. Интеграл функции должен сходиться, т. е.

 g t dt  Q ,
(1)

где Q - любое число.
В результате использования ряда Фурье сложный волновой пакет расщепляется на
простые колебательные процессы вида
s  A sin( w0 t   ) , s  A cos( w0 t   ) , где A  амплитуда; w  круговая частота;   фаза; A sin( w0 t   ) - простая гармоника.
Этот процесс называется гармоническим анализом.
Согласно теореме Фурье для периодической функции ( T  2 )
N
a
g t   0   (a n cos wt  bn sin wt ) ,
(2)
2 n 1
где a0 , a n , bn - постоянные. Их называют коэффициентами Фурье. Их физический
смысл заключается в том, что они представляют собой амплитуды. Определим их.
1. a 0 . Для определения этого коэффициента проинтегрируем формулу (2) от   до
 . Тогда


 

a0
g
(
t
)
dt

dt

a
cos
wt
dt

bn sin wtdt .


n

 2 n1 
n 1


После несложных преобразований найдем, что
a0 
1


 g (t )dt .
(3)

2. a n . Учтем, что для любого интервала интегрирования и для любых k и n

 sin nt sin ktdt  0 , если n  k .
(4)


 cos nt cos ktdt  0 , если n  k .
(5)


 cos nt sin ktdt  0 .
(6)


 cos
2
ntdt   , если n  k .
(7)
2
ntdt   , если n  k .
(8)


 sin

Если умножим обе части равенства (2) на cos wt и проинтегрируем их на интервале,
равном периоду T , то получим

1
(9)
an   g (t ) cos wtdt .


3. bn . Если мы умножим обе части (2) на sin wt и проинтегрируем их на интервале,
равном периоду T , то получим

1
(10)
bn   g (t ) sin wtdt .


Ряды по синусам и по косинусам можно объединить в один ряд, введя фазовые углы
 n . Для этого представим формулу (2) в следующем виде:
N
a
a cos wt
b sin wt
g t   0   a 2 n  b 2 n  ( n
 n
).
(11)
2
2 n 1
a2n  b2n
a 2 n b n
Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором
a
a
(рисунок
1),
тогда
tg n  n
t n  arctg n ;
bn
bn
an
bn
sin  n 
; cos  n 
.
a2n  b2n
a2n  b2n
Р
Подставим в формулу (11) полученные соотношения, тогда

a
g (t )  0   a 2 n  b 2 n  sin  n cos wt  cos  n sin wt .
2 n 1
Обозначим
(12)
a 2 n  b 2 n  C n , тогда
g (t ) 

a0
  C n sin( wt   n ) ,
2 n 1
(13)
где C n  амплитудный спектр – набор амплитуд простых гармоник, сумма которых и
a0
2
постоянной составляющей
образует данную временную функцию g (t ) ;  n - фазовый
спектр.
2.2 Интеграл Фурье. Подставим в формулу (2) выражения (9,10), обозначив в (2) переменную через t и период, а в (9-10) через x , как это делают в примерах для расчета сглаженного значении функции.
T
T
 T
 2n 
1 2
2   2
2n
2n  2
2n
g (t )   g ( x)dx   (  g ( x) cos
xdx) cos
t    g ( x) sin
xdx  sin
t 

T T
T n 1  T
T
T
T
T
 T

2
 2

 2

T
1 2
2 
2n
2n
2n
2n 

  g ( x)dx   g ( x) cos
x  cos
t  sin
x  sin
t dx 
T T
T n 1
T
T
T
T 

(14)
2
T
T
1 2
2  2
 2n

  g ( x)dx    g ( x)
( x  t ) dx.
T T
T n 1 T
 N

2
2
2
2
2
, w2  2 
, ….. wn  n 
.
T
T
T
Умножим и разделим второе слагаемое (14) на  , введем замену и получим
T
T

1 2
1   2
w .




g (t ) 
g
(
x
)
dx

g
(
x
)
cos
w
x

t
dx

n
T T
 n 1 T

2
 2

Введем обозначения: w1 
2
 dw ,
T
дискретная величина wn  w (к непрерывной величине). Для первого слагаемого в (14) с
Исследуем, какой вид примет это разложение при T   . В этом случае
T
T
Q
1 2
1 2
Q
g
(
x
)
dx

g ( x) dx  , lim  0 .
учетом 4-го условия Дирихле можно записать


T
T T
T T 2
T
2
Как видим, здесь проявляется ограничение Дирихле. Таким образом, при T  
 

1 
g (t )     g ( x) cosw x  t dx dw .
 

Эта формула называется интегралом Фурье.
Основная литература 2 осн [295-299]
Дополнительная литература 3 доп [19-21]
1.
2.
3.
4.
5.
Контрольные вопросы
Что такое гармонический анализ?
Как используют ряды Фурье в обработке.
Покажите схематично физический смысл разложения в ряд Фурье.
Выведите формулу интеграла Фурье.
Что такое условия Дирихле?
Лекция 3. Преобразование Фурье.
3.1 Комплексный спектр. Преобразуем формулу интеграла Фурье
(15)
 

1 




g
(
x
)
cos
w
x

t
dx

dw 
 0 

 
 


1 
1 
    g ( x) cos wxdx cos wtdw     g ( x) sin wxdx sin wtdw.
 0  
 0  


Введем обозначения
g (t ) 

R ( w) 

 g ( x) cos wxdx ;
X ( w) 

 g ( x) sin wxdx .
(1)

По формулам Эйлера
e iwt  e iwt
e iwt  e iwt
e iwt  e iwt
;
sin wt 
 i
.
2i
2
2

1 
e iwt  e  iwt
e iwt  e  iwt 
g (t )    R( w)
 iX ( w)

 0
2
2

cos wt 


1  R( w)  iX ( w) iwt R( w)  iX ( w) iwt 
1
e 
e dw 


 0
2
2
2

(2)

 R(w)  iX (w)e
iwt
dw 
(3)
0

1
R(w)  iX (w)e iwt dw.


2 0
Обозначим
G ( w)  R( w)  iX ( w) ; G  (w)  R( w)  iX ( w) ,
(4)
где G (w)  комплексный спектр, так его называют потому, что он состоит из действительной части R(w) и мнимой части X (w) ;
G  (w)  комплексно-сопряженный спектр.
Спектром называют функцию, которая показывает зависимость амплитуды сигнала от
частоты. С учетом формулы (1)






G ( w) 
 g ( x) cos wxdx  i  g ( x) sin wxdx   g ( x)(cos wx  i sin wx)dx 

 g ( x )e

iwx
dx.

Таким образом

G ( w) 
 g ( x )e
iwx
dx.
(5)

Эту формулу называют прямым преобразованием Фурье.

G ( w) 






 g ( x) cos wxdx  i  g ( x) sin wxdx   g ( x)(cos wx  i sin wx)dx 


 g ( x )e
iwx
(6)
dx  G ( w)

Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить временную функцию с помощью известного спектра по следующей формуле

1
g (t ) 
G ( w)e iwx dw.
(7)

2 
Таким образом, формулы (5), (7) описывают прямое и обратное преобразование
Фурье, которое является основным преобразованием теории обработки временных сигналов.
Обычно принята более короткая запись преобразований Фурье
g (t )  G ( w) .
Это значит, что временная функция и соответствующий ей спектр связаны между собой парой преобразования Фурье и, что для любой временной функции всегда можно рассчитать ее спектр и, наоборот, при известном спектре всегда можно восстановить ее временную функцию.
Ядром преобразования Фурье является функция k (w, t )  e iwt .
Смысл преобразования Фурье очень похож на смысл ряда Фурье. Действительно, запишем прямое преобразование Фурье с помощью формулы Эйлера:
G ( w) 








iwx
 g ( x)e dx 
 g ( x)(cos wx  i sin wx)dx 
 g ( x) cos wxdx  i  g ( x) sin wxdx.
Из формулы видно, что исходная временная последовательность может быть представлена как сумма конечного числа гармонических составляющих – синусоид и косинусоид,
с частотами от   до   (рисунок 1).
Рисунок 1. – Представление сложной временной функции в виде набора гармонических составляющих
Рисунок 2. – Амплитудный и фазовый спектры, как функции действительной и мнимой частей
Амплитудный и фазовый спектры.
Вернемся к формулам (4).
G ( w)  R( w)  iX ( w) .
Выполним простые преобразования


R( w)
X ( w)
.
G( w)  R 2 ( w)  X 2 ( w)  
i
2
2
 R 2 ( w)  X 2 ( w)
R ( w)  X ( w) 

Рассмотрим прямоугольный треугольник (рисунок 2)
sin  ( w) 
R( w)
R 2 ( w)  X 2 ( w)
; cos  ( w) 
X ( w)
R 2 ( w)  X 2 ( w)
.
A( w)  R 2 ( w)  X 2 ( w) ,
(8)
X ( w)
,
(9)
 ( w)  arctg
R( w)
(10)
G(w)  A(w)cos  (w)  i sin  (w)  A(w)e i ( w) ,
где A(w)  амплитудный спектр;
 (w)  фазовый спектр.
Преобразование Фурье используют в обработке:
1. При представлении временной функции в спектральной области.
2. При разложении сложного временного пакета на совокупность простых гармонических колебаний с различными амплитудами и частотами.
Основная литература 1 осн [21 - 33], 2 осн [299-301]
Дополнительная литература 3 доп [19-26]
Контрольные вопросы
Что такое спектр?
Какие бывают спектры? Дайте определение каждому из них, опишите формулами.
Объясните физический смысл преобразования Фурье, используя рисунок.
Как можно найти спектр временной функции?
У любой ли временной функции можно рассчитать спектр, или для этого необходимо
выполнение каких-либо ограничений?
6. Выведите формулу, связывающую меду собой комплексный, амплитудный и фазовый
спектры.
1.
2.
3.
4.
5.
Лекция 4. Преобразование Лапласа. Преобразование Гильберта
4.1 Преобразование Лапласа. Оно тесно связано с преобразованием Фурье. Существует ряд функций, например, sin at или cos at , которые не имеют спектра Фурье, так как интеграл, определяющий преобразование, расходится. Однако и для таких функций разработан
аппарат спектрального преобразования.
При рассмотрении какого-либо геофизического процесса обычно считают, что время
изменяется в пределах от   до   . Но в практических условиях процесс начинается в некоторый конечный момент времени, который можно принять равным 0. Таким образом,
0  t   . Такой случай имеет место, когда g (t )  0 при t <0. При таких условиях преобразование Фурье запишется как

G ( w)   g (t )e iwt dt.
(1)
0
Невозможность вычисления преобразования Фурье для функций, у которых интеграл
расходится можно обойти, если заменить в преобразовании Фурье временную функцию
g (t ) на затухающую функцию g (t )e t , где  - любой действительный, положительный и достаточно большой параметр, чтобы lim e t g (t )  0 . В этом случае функция e t g (t ) будет




иметь преобразование Фурье, которое называется преобразованием Лапласа от функции
g (t ) . Если g (t )  0 при t <0, то получается одностороннее преобразование Лапласа:

G ( w)   g (t )e iwt  e t dt.
0
Этот интеграл сходится практически всегда при t   . Преобразуем эту формулу:

G ( w)   g (t )e t ( iw) dt.
0
Мы видим, что появилась комплексная переменная   iw  p . Введем обозначения:
G (w)  G  iw  G( p) . Тогда

G( p)   g (t )e  pt dt.
(2)
0
Эту формулу можно рассматривать как преобразование, понимая под ним переход от
временной функции g (t ) к спектральной функции G ( p ) .
Помимо физического понимания добавим следующее толкование преобразования
Лапласа. Подобно тому, как фотокамера позволяет получать из оригинала изображение, так
и преобразование Лапласа переводит функцию-оригинал g (t ) в функцию-изображение
G ( p ) . Таким образом, подлинное значение преобразования Лапласа заключается в том, что
оно имеет характер отображения функции из пространства оригиналов в пространство изображений, причем математические преобразования в пространстве изображений много проще
и нагляднее, чем в пространстве оригиналов.
Покажем, что преобразование Лапласа обладает свойствами линейности, т. е. удовлетворяет свойствам аддитивности и однородности.
Пусть g (t )  a1 g1 (t )  a2 g 2 (t ) . G1 ( p) и G2 ( p) спектры Лапласа соответствующих
функций g1 (t ) и g 2 (t ) . Необходимо доказать, что La1 g1 (t )  a2 g 2 (t )  a1 Lg1 (t )  a1 Lg 2 (t )
или a1G1 ( p)  a2 G2 ( p) . Доказательство:

 a g (t )  a g
1
0
1
2
2
(t ) e
 pt

dt  a1  g1 (t )e
0
 pt

dt  a2  g 2 (t )e  pt dt  a1G1 ( p)  a2 G2 ( p) .
(3)
0
Ядром преобразования Лапласа является функция k ( p, t )  e  pt .
Пример 1. Пусть функция g (t ) представляет собой единичную функцию Хависайда:
g (t )  1 при t >0
g (t )  0 при t <0
Найти преобразование Лапласа.

e  pt
1
Lg (t )   e  pt dt  
 .
p
p
0
Как и в случае с преобразованием Фурье, преобразование Лапласа бывает прямым и
обратным. Обратное преобразование Лапласа представляется следующей формулой:

1
g (t ) 
G ( p )e pt dp .
(4)

2 
Преобразование Фурье более удобно, когда мы хотим исследовать свойства, которые
зависят от частоты или фазы. Оно широко используется в некоторых разделах теории вероятности и при решении линейных дифференциальных уравнений с граничными условиями,
которые можно представить в виде ряда Фурье или Фурье-Бесселя. Преобразованием Лапласа удобно пользоваться, когда исследуются аналитические свойства преобразований и при
решении линейных дифференциальных уравнений в постоянными коэффициентами, когда
начальные условия заданы.
4.2 Преобразование Гильберта. Оно представляет собой особую форму преобразования Фурье. Пусть g (t ) - любая действительная функция и g (t )  G ( w)  R( w)  iX ( w) . Тогда
g (t ) всегда можно разбить на четную и нечетную части g e (t ) и g o (t ) (рисунок 1)
Рисунок 1. – Соотношение между функцией g (t ) и ее четной
g e (t ) и нечетной g o (t ) частями
1
1
g e (t )  g (t )  g (t )  ;
g o (t )   g (t )  g (t )  .
(5)
2
2
Поскольку функция g e (t ) четная, то её можно вычислить следующим образом

g e (t )   g (t ) cos wtdt  R( w) .
(6)
0
Аналогично

g o (t )   g (t ) sin wtdt  X ( w) .
(7)
0
Сопряженным интегралом f (t ) к интегралу
g (t ) 
1


 R(w) cos wt  X (w) sin wt dw
0
называют интеграл вида
f (t ) 
1




 0 


1
  X (w) cos wx  R(w) sin wxdw     g ( x)sin wx cos wt  cos wx sin wt dx dw 
0
(8)

1 
    g ( x) sin w( x  t )dx dw.
 0  

Введем понятие главного значения интеграла. Главным значением интеграла



 J ( )d называется выражение вида



 J ( )d  lim

M
 J ( )d . Изменив порядок интегри-
M   M
рования в формуле (8) и используя главное значение интеграла, получим
 


1 
1 1  cosl ( x  t )
f (t )  lim
sin
w
(
x

t
)
dw
g
(
x
)
dx

lim
g ( x)dx.

  
 

x

t
M     0
l




Предел разности равен разности пределов, поэтому
g ( x)dx
1 cosl ( x  t )
 lim
.
 

xt
l     x  t
l    
С использованием леммы Римана-Лебега вычитаемое в правой части уравнения равно
0. Тогда


1 g ( x)dx 1
g ( x)
f (t )  lim

V
.
P
.
dx .
(9)
 


x

t
l     x  t

Эта формула носит название преобразования Гильберта. Обратное преобразование
Гильберта записывается, как

1
f ( x)
g (t )   V .P. 
dx.
(10)

x

t

Знак V .P. говорит о том, что при выводе формулы использовалось главное значение
интеграла.
Если задана действительная часть временной функции g e (t ) , то по преобразованию
Гильберта можно найти соответствующую временную функцию. Аналогично, можно по заданной действительной части временной функции, которая отличается от мнимой части по
фазе на  90  , определить временную функцию.
Пусть f (t ) - комплексная функция, где
f (t )  x(t )  iy (t ),
F ( w)  X ( w)  iY ( w)  X ( w)  iQ ( w) .
f (t )  lim

1


Q (w) называется фильтром, который изменяет фазу на  90  , но не оказывает влияния на амплитудный спектр. Q (w) называют квадратурным фильтром, а y (t ) - квадратурной
(мнимой) трассой.
Таким образом, преобразование Гильберта используют в обработке:
1. При вычислении действительно и мнимой частей временной функции;
2. При изучении динамических характеристик сейсмической записи;
3. Как фазовращатель.
Основная литература 2 осн [320-326]
Дополнительная литература 4 доп [34, 37]
Контрольные вопросы
Что такое преобразование Лапласа и как его используют при обработке геофизической информации?
1 Что такое преобразование Гильберта и как его используют при обработке геофизической информации?
2 Докажите, что преобразование Лапласа отвечает свойствам аддитивности и однородности.
3 Вычислите преобразование Лапласа функции sin t .
4 Вычислите преобразование Лапласа единичной функции.
5 В чем заключается физический смысл преобразования Гильберта?
Лекция 5. Операция свертки
5.1 Понятие дискретной свертки. Основу цифровой обработки геофизической информации наряду с преобразованием Фурье составляет операция, которую называют сверткой.
Свертка сигнала представляет собой операцию замещения каждого элемента входного
сигнала выходным с помощью оператора свертки согласно величине входного сигнала с последующим суммированием выходных сигналов.
Предположим, что мы вводим в линейную систему дискретные данные с шагом t .
Выходной сигнал системы может быть вычислен, если нам будет известна импульсная характеристика линейной системы. Импульсная характеристика линейной системы – это реакция линейной системы на единичный импульс. Этот единичный импульс обычно называют
  функцией, а ее дискретный аналог импульсом Дирака или Кронекера.
 1 1
Пусть входной сигнал g t  1, ,  .
 2 2
1

Импульсная характеристика линейной системы l t  1,1,  .
2

Тогда выходной сигнал можно вычислить в соответствии со следующей формулой
yt  g1 l1  l 2  l3   g 2 l1  l 2  l3   .... , не забывая при каждой последующей процедуре сдвигать результат на один шаг дискретизации
1
g1  lt  1,1,
2
1 1 1
g 2  l t  0, , ,
2 2 4
1 1 1
g 3  lt  0,0, , ,
2 2 4
Выходной сигнал yt будет получен суммированием полученных отсчетов:
1 1 3 1
y t  1, , , , (рисунок 1)
2 2 4 4
Рисунок 1. – Последовательность действий при дискретной свертке
Импульсная характеристика линейной системы называется оператором свертки или
оператором фильтра. Смысл этой операции заключается в том, что входной сигнал преобразуется к виду, который мы задаем, т. е. к виду оператора свертки.
Как мы видим из разобранного примера, использовались только две арифметические
операции: получение парных произведений элемента входной последовательности и весовой
функции (оператора свертки) и суммирование полученных парных произведений. Приведенные операции и раскрывают существо свертки.
Рассмотрим еще один пример расчета дискретной свертки.
Запишем элементы исходной последовательности в первой строке, располагая их по
возрастанию индексов слева направо, а весовую функцию – во второй строке, располагая
элементы в порядке возрастания наоборот. Будем перемещать вторую строку на один шаг
дискретизации (каждый такой шаг равен одной процедуре дискретной свертки). После каждого такого перемещения произведем следующие математические действия: 1) перемножим
элементы входной последовательности на совпадающие с ними по вертикали элементы весовой функции; 2) сложим парные произведения элементов, получив таким образом элемент
выходной последовательности.
1 этап
g 0 g1 g 2
l2
l1 l 0
y0  g 0 l0
2 этап
g 0 g1 g 2
l2
l1 l 0
y1  g 0 l1  g1l0
3 этап
g 0 g1 g 2
l2
l1 l 0
y 2  g 0 l 2  g1l1  g 2 l0 и т. д.
Отметим важную особенность свертки. Весовая функция свертки участвует в «перевернутом времени», в то время как аргумент сворачиваемой функции возрастает, аргумент
весовой функции убывает. Отмеченная особенность обусловливает свойство перестановочности (коммутативности) операции свертки. Это означает, что операцию свертки можно
представить в следующем виде:
yt  g t  lt (в общем виде).
(1)
N 1
y t   g t  lt (в дискретном виде).
(2)
n 0

y (t ) 
 g (t )l (t   )dt (в интегральном виде).
(3)

Теорема о свертке
Если g1 (t )  G1 (w) , g 2 (t )  G2 (w) , то свертка двух функций во временной области
эквивалентна произведению их соответствующих спектров и наоборот, т. е.
(4)
g1 (t )  g 2 (t )  G1 (w)  G2 (w) .
Доказательство:

Допустим, что
 g (t ) dt <  , тогда можно получить преобразование Фурье от свертки

двух функций g1 (t ) и g 2 (t ) .





iwt
iwt
g
(

)
g
(
t


)
e
dt
d


g
(

)
d

g
(
t


)
e
dt



.
 


   


 

Обозначим y  t   , тогда dy  dt , t  y   .

g1 (t )  g 2 (t ) 

 

 iw
iw( y  )
iwy
g
(

)
d

g
(
y
)
e
dy

g
(

)

 
  g ( y )e dy  e d 

 
 



g1 (t )  g 2 (t ) 





iw
iwy
 g ( )e d   g ( y)e dy  G1 (w)  G2 (w).
Таким образом, g1 (t )  g 2 (t )  G1 (w)  G2 (w), что и требовалось доказать.
В соответствии с теоремой о свертке
yt  g t  lt ,
Y ( w)  G ( w)  L( w) .
(5)
При этом амплитудный спектр функции yt равен произведению амплитудных спектров функции g t и lt , а фазовый – сумме фазовых спектров этих функций:
A y ( w)  A g (w)  Al ( w) ,
(8)
(7)
 (w)   (w)   (w) .
Свертка очень важна, так как с ее помощью описывается реакция линейной системы
на входное воздействие. Не менее она важна и потому, что в очень широком диапазоне условий земная толща ведет себя как линейная система.
Операция сворачивания широко используется при фильтрации геофизических сигналов.
Основная литература 1 осн [29-33], 2 осн [334]
Дополнительная литература 3 доп [26-29]
Контрольные вопросы
1 Что такое свертка?
2. Докажите с помощью формул, что свертке сигналов во временной области соответствует произведение их спектров.
3. Покажите разные способы сворачивания двух функций.
4. Каков смысл операции сворачивания?
5. Почему операция сворачивания и теорема о свертке имеют большое значение при
цифровой обработке геофизических сигналов?
y
g
l
Лекция 6. Основные положения теории случайных процессов
В теории обработки геофизических сигналов принять рассматривать геофизический
сигнал двух видов. Если функцию можно заранее предсказать и знать наперед ее форму и
распределение в пространстве, то функции называются детерминированными. Примерами
таких сигналов могут заранее рассчитанные математические фильтры. На практике бывает
так, что сколько бы раз мы не повторяли геофизический процесс, форма выходного сигнала
не повторяется, т. е. мы не можем его заранее предугадать. Такие сигналы принято называть
случайными. Так как распределение таких величин в пространстве хаотично, то для их описания используются элементы теории вероятности: вероятность, дисперсия, математическое
ожидание, корреляционные функции.
Случайная величина полностью характеризуется своим законом распределения. Интегральный закон распределения или функция распределения F (x) , есть вероятность того, что
рассматриваемая непрерывная случайная величина имеет значение, меньшее x . Плотностью
распределения вероятности (или просто плотностью распределения) f (x) называется производная dF ( x) / dx соответствующей функции распределения F (x) .
Для многих случайных величин распределение подчиняется нормальному закону (так
называемое Гауссово распределение).
Если случайная величина принимает значения от x до x  x ( x  0 ) с одинаковой вероятностью для некоторого диапазона значений x1 < x < x 2 , то говорят, что величина X имеет равномерное распределение в интервале от x1 до x 2 .
6.1 Функция автокорреляции.
Понятие о корреляционной функции, или функции автокорреляции, играет важнейшую роль в теории случайных процессов. Чтобы уяснить её смысл, рассмотрим две последовательности
X A  3,1,4,2,2,5,3,1,5,4,
X B  5,4,3,2,1,1,2,3,4,5.
Попытаемся определить их общность и различия. Среднее значение обеих последовательностей равно 0. Дисперсия обеих последовательностей также одинакова и равна 11. Закон распределения обеих последовательностей равномерный. Казалось бы, что совпадение
трех таких важных характеристик свидетельствует об общности результатов обоих опытов.
Однако графики обеих последовательностей, показанных на рисунке (1), говорят об их различном характере
Рисунок 1. – Графики функций
X A (t ) и X B (t )
Из графика видно, что функция X A (t ) быстро меняется с аргументом t : все значения
этой функции резко отличаются один от другого. Другое поведение у второй функции. Каждый последующий отсчет функции отличается от последующего на величину малого порядка. Иначе говоря, между соседними отсчетами этой функции существует значительное сходство.
Мерой подобия функций, мало отличающихся друг от друга, является статистическая
корреляционная функция, которую называют функцией автокорреляцией. Определяется она
следующей формулой
Ф11 ( ) 

 g (t ) g (t   )dt .
1
1
(1)

По формуле видно, что функция автокорреляции измеряет степень подобия между
временным рядом и его сдвинутой по времени копией как функцию от величины этого сдвига.
Важнейшим свойством любой случайной функции X t является зависимость или независимость ее статистических характеристик от начала отсчета времени. Случайная функция
называется стационарной, если ее математическое ожидание и дисперсия постоянны во времени, а корреляционная функция зависит от только от разности   t  t i . Если первое или
третье из этих условий не соблюдается, то случайный процесс называется нестационарным.
Сейсмические трассы по своей природе нестационарные: амплитуда записи убывает
со временем регистрации в силу геометрического расхождения, потерь на поглощение, отражение и т. п.; форма импульсов отдельных сейсмических волн также меняется со временем
t . Однако почти все алгоритмы обработки геофизической информации построены на предположении о том, что эти процессы стационарные. Поэтому в самом начале обработки выполняется регулировка амплитуд, предназначенная для того, чтобы привести исходные записи в как можно лучшее соответствие с этим предположением. Такое й подход объясняется
тем, что математические операции проще производить именно со стационарными процессами.
Перечислим основные свойства функции автокорреляции стационарных процессов.
1. Функция автокорреляции является четной функцией, т. е.
(2)
Ф11 ( )  Ф11 ( ) .
2. Максимум автокорреляционной функции располагается над   0 , т. е.

Ф11 (0) 
 g1 (t ) g1 (t )dt 


g
2
1
(t )dt  max .
(3)

3. Функция автокорреляции симметрична относительно оси ординат.
6.2 Функция взаимной корреляции
До сих пор мы говорили только об отдельной временной функции. Рассмотрим теперь
два геофизических процесса g1 (t ) и g 2 (t ) . Функция, связывающая эти два стационарных
процесса, называется функцией взаимной корреляции и определяется следующей формулой
Ф12 ( ) 

 g (t ) g
1
2
(t   )dt .
(4)

Эта функция является мерой подобия двух стационарных процессов. Чем больше это сходство, тем ближе максимальное значение Ф12 ( ) к единице. Если сходство абсолютное, то коэффициент корреляции равен 1. Если же между двумя временными функциями нет никакого
сходства, то коэффициент корреляции равен 0. ФВК обладает следующими свойствами:
1. Функция взаимной корреляции является нечетной функцией, т. е.
(5)
 Ф12 ( )  Ф12 ( ) .
2. Максимум взаимной корреляционной функции располагается при любом  .
3. Функция взаимной корреляции несимметрична относительно оси ординат.
Функция взаимной корреляции (ФВК) тесно связана со сверткой. Очевидно, что
Ф12 ( ) представляет собой результат смещения g 2 ( ) на t единиц влево и суммирования
произведений ординат. Ясно, что
(6)
Ф12 ( )  Ф21 ( ) .
Функцию взаимной корреляции можно рассматривать как свертку двух функций, одна
из которых обращена по времени.
Ф12 ( )  g1 (t )  g 2 (t ) ,
(7)
Ф21 ( )  g1 (t )  g 2 (t ) .
6.3 Энергетический спектр.
Во многих случаях необходимо рассматривать энергию (мощность) сигнала, а не его
амплитуду и фазу (смещение). В теории упругости доказано, что энергия сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, т. е.
2 2 g 2
Wm 
c,
(8)
T2
где Wm - энергия волны за полный период T ; g  амплитуда волны; c  const .
Соответствующие спектры называются энергетическими спектрами (спектрами мощности).Во временном представлении средняя энергия любой вещественной функции опреде-

1
2
g (t ) dt , когда этот предел существует. Но обычно на практике период

T  T  
ляется как lim

ограничен.
6.4 Теорема Парсеваля. Введем соотношения между мощностью сигнала и его спектром. Пусть g1 (t )  G1 (w) , g 2 (t )  G2 (w) . Рассмотрим интеграл
 1
g1 (t ) g 2 (t )dt  g1 (t ) 2


1

2


1
G2 (w)e dw dt  2

iwt
1
G2 (w)G1 (w)dw  2

G


iwt
G2 (w)g1 (t )e dt  dw 

(9)

2
( w)G 1 ( w)dw.

Это уравнение выражает теорему о мощности. Пусть g1 (t )  g 2 (t )  g (t ) , тогда
G1 (w)  G2 (w)  G(w) и

1
( g1 (t )) dt  2
2
Но G( w)  A( w)e i ( w) ,

1
( g1 (t )) dt  2
2


 G(w)G

( w)dw .

G  ( w)  A( w)e i ( w) . Тогда
 A(w)e
 i ( w )
A( w)e
i ( w )


2

1
1
dw 
A( w) dw   G 2 ( w)dw .

2 
 0
(10)
Это соотношение называется теоремой Парсеваля. Действительная величина G 2 ( w)
называется спектром мощности или энергетическим спектром. В этом выражении отсутствует информация о фазовом спектре. Это означает, что если задана только мощность, то восстановить первоначальный сигнал нельзя, т. е. сигналы с идентичными амплитудными, но
различными фазовыми спектрами будут иметь одинаковые энергетические спектры.
Основная литература 1 осн [40-53], 2 осн [314-320]
Дополнительная литература 4 доп [37-43]
Контрольные вопросы
1. Что такое детерминированные и случайные сигналы?
2. Почему при описании случайных сигналов используют элементы теории вероятности?
3. Перечислите все элементы теории вероятности и законы распределения, которые вы
знаете из курса «Теория вероятности».
4. Что такое корреляционные функции? Объясните их предназначение, свойства, особенности.
5. Что такое теорема о функции взаимной корреляции?
6. Что такое теорема Парсеваля или Рэлея?
Лекция 7. Энергетический спектр и корреляционные функции
7.1 Функция автокорреляции и энергетический спектр
Функция автокорреляции определяется формулой
Ф11 ( ) 

 g (t ) g (t   )dt .
1
1

Применяя теорему о мощности и теорему о временном сдвиге, получим:
Ф11 ( ) 

 g1 (t ) g1 (t   )dt 

1

2

G
2
( w) e
iwt
1
2

 G (w)e
iwt
1

G1 ( w)dw  G 1 ( w)G2 ( w)  G 2 ( w) 

(1)
dw.

Введем обозначение E11 ( w)  G 2 ( w) - взаимный энергетический спектр. Тогда

1
Ф11 ( ) 
E11 ( w)e iwt dw. - эту формулу называют обратным преобразованием.

2 
Прямое преобразование записывается следующим образом:

E11 ( w)   Ф11 ( )e iw d .
(2)

Следовательно, из формул видно, что автокорреляционная функция и взаимный энергетический спектр образуют пару преобразований Фурье, т. е. E11 (w)  Ф11 ( ) . Эту формулу
называют соотношением Винера-Хинчина.
В соответствии с формулой Парсеваля



1
1
2
2
Ф11 (0)   g1 (t ) g1 (t  0)dt 
g
(
t
)
dt

G ( w) dw.
(3)


2 
2 

Как видно из изложенного энергетический спектр сигнала можно вычислить двумя
способами:
1. Вычислить функцию автокорреляции, а затем ее Фурье преобразование;
2. Вычислить преобразование Фурье, затем возвести ее абсолютное значение в квадрат.
7.2 Функция взаимной корреляции и взаимный энергетический спектр
Функция взаимной корреляции определяется как
Ф12 ( ) 

 g (t ) g
1
2
(t   )dt .

Аналогично с функцией автокорреляции Функция взаимной корреляции образует пару преобразований Фурье со взаимным энергетическим спектром. По теоремам о мощности
и временном сдвиге



1
1


iwt
Ф12 ( )   g1 (t ) g 2 (t   )dt 
G2 ( w)e G1 ( w)dw 
G1 ( w)G2 ( w) e iwt dw.


2 
2 

1
Ф12 ( ) 
2

E
12
( w)e iwt dw.


E12 ( w)   Ф12 ( )e iw dt ,

где E12 ( w)  G 1 ( w)G2 ( w) - взаимный энергетический спектр.
При   0



1
1
1

iwt
Ф12 (0)   g1 (t ) g 2 (t )dt 
G
(
w
)
e
G
(
w
)
dw

E12 ( w)dw 
2
1


2 
2 
2


G
1

( w)G2 ( w)dw.

Таким образом, на основании сделанных преобразований можно сделать следующие
обобщения:
- для свертки g1 (t )  g 2 (t )  G1 (w)G2 (w) ;
- для функции автокорреляции Ф11 ( )  G1 ( w)  E11 ( w) ;
2
- для функции взаимной корреляции Ф12 ( )  G1 ( w)G2 ( w)  E12 ( w)  G2 ( w)G1 (w) .
Из последних соотношений видно, что свертка и ФВК одинаковые по виду функции,
только при расчете свертки первая функция берется в обратном времени. Поэтому сверку
называют по-другому ретрокорреляционной функцией.
7.3 Связь между операциями свертывания и корреляции.

Свертка определяется формулой g1 (t )  g 2 (t ) 
 g ( )g
1
2
(t   )d , а функция авто-

корреляции Ф11 ( ) 

 g (t ) g (  ( ))d ,
1
Ф11 ( )  Ф11 ( ) . Заменим t на  и наоборот
1

t  ;   t.

Ф11 (t ) 
 g ( ) g (  (t ))dt ,
1
1
т. е. g1 (t )  g1 (t ) .

Аналогично нужно поступать и с функцией взаимной корреляции.
7.4 Понятие о кепстре.
Преобразование из временной области в частотную позволяет производить операцию,
эквивалентную свертке с помощью простого умножения. Преобразование из частотной области в кепстральную дает возможность выполнять такие операции посредством еще более
простого действия – сложения. Кроме того6 в некоторых случаях частоты, которые накладываются друг на друга в частотной области, разделяются в кепстральной области, так что
фильтрация производится наиболее эффективно.
7.5 Истолкование корреляционных функций и свертки
Допустим, что нужно получить сумму трасс, времена которых искажены случайными
сдвигами t , постоянными для каждой трассы:
M
g

(t )   g m (t  t m ) .
(4)
m 1
Понятно, что если есть искажения, то необходимо от них избавиться. Для того, чтобы
определить временные сдвиги выберем условие максимума энергии суммарного процесса
t2
 g
2
(t ) dt  max .
(5)
t1
Подставив (4) в (5), получим
t2

t1
g

(t )  g
t2 M

N
(t ) dt    g m (t  t m ) g n (t  t ) 
t1 m 1
n 1
t   t  t m

t  t n  t   t m
(6)
N

    g m (t ) g n (t   t m  t n )dt    Фmn (t m  t n ).
m 1 n 1 t1
m  n

Таким образом, максимизация процесса обеспечивается условием:


(7)

 Фmn (t m  t n )  max .
m  n

Это означает, что искомые поправки будут найдены суммированием ФВК всевозможных пар трасс и варьированием корреляционных сдвигов до достижения максимума этой
суммы. Однако практическая реализация этой процедуры очень времяемкий процесс. На
M
N t2
M
практике временные сдвиги t m и t n определяют по следующей схеме. Пусть имеется совокупность трасс после введения кинематических поправок:
t m и t n
Просуммировав эти трассы, получим некоторую эталонную трассу g (t ) . Рассчита
ем для каждой из трасс ФВК с эталонной трассой:
Рисунок 1. – Совокупность трасс для определения временных сдвигов
t2
Ф1 ( )   g1 (t   )g (t ) ,


t
1
Ф2
Ф3
t2

( )   g 2 (t   )g

(t ) ,

(t ) ,
t1
t2

( )   g 3 (t   )g
t1
(8)
………………………………..,
Фn
t2

( )   g n (t   )g
t1

(t ) .
Получим совокупность функций взаимных корреляций
t m и t n
Максимумы ФВК будут смещены соответственно тому, как смещены сейсмические
трассы относительно эталонной трассы. Введя значения  n с обратными знаками в трассы,
мы тем самым устраняем случайные временные сдвиги. Таким образом, существенно повышается точность.
ФВК может использоваться не только для вычисления энергетического спектра. Она
является мерой оценки подобия (параллельности) двух временных рядов и величины сдвига
между ними. Временной сдвиг будет соответствовать наиболее вероятному сдвигу фаз между коррелируемыми сейсмическими трассами.
Основная литература 1 осн [40-54], 2 осн [316-317]
Дополнительная литература 3 доп [37-43]
Контрольные вопросы
Рисунок 2. – Совокупность ФВК для определения временных сдвигов
1. Что такое энергетический спектр и какова связь между ним и корреляционными
функциями?
2. Что такое соотношение Винера-Хинчина?
3. Как используется в обработке функция автокорреляции?
4. Как используется в обработке функция взаимной корреляции?
5. Что такое коррекция кинематических поправок? Как выполняют эту процедуру на
практике?
6. Истолкуйте смысл свертки и корреляционных функций.
Лекция 8. z  преобразование.
8.1 Понятие о z  преобразовании. При обработке геофизической информации всегда работают с временными дискретными рядами. z  преобразования последовательностей
дискретных чисел широко используются в теории цифровой фильтрации, позволяя давать
весьма удобные и компактные описания процессов обработки. Рассмотрим получение
z  преобразования из исходной временной последовательности.
z  преобразованием временной последовательности g t  g1 , g 2 ,....g n1 называют алгебраический полином вида
g ( z )  g 0  g1 z  g 2 z 2  ....  g n 1 z n 1 .
(1)
Как видно из этого выражения, каждый элемент последовательности преобразуется в
член полинома следующим образом: элемент является коэффициентом при символе z , возведенном в степень, равную индексу элемента. Поясним формулу z  преобразования примерами.
Пусть сейсмический сигнал описывается последовательностью g t  3,1,2. z  преобразование сигнала в соответствии с формулой (1) будет равно g ( z )  3  z  2 z 2 .
По заданному z  преобразованию можно легко и однозначно восстановить исходную временную последовательность. Например, если g ( z )  1  z 2 , то исходная временная
последовательность будет равна g t  1,0,1.
Рассматривая правую часть выражения (1), можно увидеть, что символ z , являющийся сомножителем второго члена полинома, показывает, что элемент временной последовательности g t смещен на один шаг временного квантования записей по отношению к началу
отсчета процесса; символ z 2 означает, что элемент g 2 смещен на два шага и т. д.
Чтобы раскрыть математический смысл z  преобразования более полно, обратимся к
преобразованию Фурье. В реальных сигналах время изменяется с некоторого начального
момента t  0 , поэтому запишем

G ( w)   g (t )e iwt dt.
0
Представим функцию g (t ) в виде дискретной последовательности с шагом t .
t 3 ……
tN
t2
t1
g 3 …………… g N
g2
g1
Тогда
1 N 1
G ( w)   g N e iwt N .
(2)
N n 0
2
2
2
2
k
Но w 
, w1  2
,….., wn  k
. Тогда t N  nt , G( w)  G( wk )  Gk .
T
T
T
Nt
2k
2k
i
nt
i
n
1 N 1
1 N 1
Nt
(3)
Gk   g n e
  gne N .
N n 0
N n 0
1
называют масштабный множитель, им можно пренебречь, тогда, распиN
сав формулу (3), получим
Величину
G k  g 0  g1e
Заменим z  e
i
i
2k
N
 g 2e
i
2k
2
N
 ....  g n e
i
2k
n
N
.
(4)
2k

N
и сравним формулу (4) с формулой (1). Тогда
Gk  g 0  g1 z  g 2 z 2  ....  g n z n .
(5)
Из сопоставления последних формул вытекает, что если под символом единичного
сдвига z понимать комплексную величину e  iw , то z  преобразование некоторой временной
последовательности есть своеобразное представление комплексного спектра этой последовательности. Это представление очень удобно: оно наглядно отображает структуру временной
последовательности g t во временной области и в то же время обладает некоторыми преимуществами спектральных представлений.
7.2 Свойства z  преобразования. Начнем с операции свертки yt  g t  lt . Заменим
временную последовательность g t и весовую функцию lt на соответствующие z  преобразования:
g ( z )  g 0  g1 z  g 2 z 2  ....  g n z n ,
l ( z )  l 0  l1 z  l 2 z 2  ....  l n z n .
Перемножим два z  преобразования, т. е. получим произведение вида
g ( z )l ( z )  g 0 l0  g1l0 z  g 2 l0 z 2  ...  g n l0 z n  g1l1 z  g 2 l1 z 2  ...  g n l1 z n  ... 
(6)
 g 0 l0  ( g1l0  g 0 l1 ) z  ( g 0 l 2  g1l1  g 2 l0 ) z 2  ....  g m1l n1 z ( m n2) .
Сопоставляя (6) с формулой z  преобразования легко увидеть, что член правой части
(6) представляет собой начальный нулевой элемент выходной последовательности, коэффициент при z - первый элемент выходной последовательности, коэффициент при z 2 - второй
элемент и т. д., а вся правая часть (6) представляет собой z  преобразование выходной последовательности yt . Следовательно, можно записать следующее равенство
y( z)  g ( z)  l ( z) .
(7)
Из него следует, что произведение z  преобразований входного оператора и с ввертываемой с ним последовательности равно z  преобразованию результата свертки.
Свойство (7) z  преобразования совпадает с соответствующим свойством комплексных спектров. z  преобразование сейсмических сигналов используется как удобное
средство количественного описания фазовых соотношений, характерных для этих сигналов.
Как известно, полином вида z  преобразования всегда может быть разложен на произведение биномов:
y( z )  a0 (a1  z )( a2  z )...(am  z ) ,
(9)
где a0 , a1 , a2 ...  корни многочлена.
Во временной области разложению (9) соответствует покаскадная свертка множества
сигналов, характеризующихся двумя ординатами:
yt  a0 (a1 ;1)  (a2 ;1)  ...  (am ;1).
(10)
Рассмотренные свойства z  преобразований позволяют раскрыть смысл некоторых
терминов, которые будут встречаться в дальнейшем:
1. Если некоторый сигнал y (t ) представлен всего двумя ординатами, т. е.
y ( z )  y 0  y1 z , то при y 0 > y1 он называется минимально-фазовым, или сигналом с минимальной задержкой, а при y 0 < y1 - максимально-фазовым, или сигналом с максимальной задержкой; при y 0 = y1 правомерны оба названия.
2. Если сигнал представлен множеством ординат, т. е. его z  преобразование имеет
вид (1) или (9), то он называется минимально-фазовым, если каждый из биномов является
минимально-фазовым и наоборот. Таким образом, на основании (9) можно сказать, что сигнал является минимально-фазовым, если все корни a0 , a1 , a 2 ... его полинома больше z . Известно, что величина z  e  iw , выражающая временную задержку, в комплексной плоскости
представляет собой окружность единичного радиуса. Поэтому иногда говорят, что сигнал
является минимально-фазовым, если все корни его полинома лежат вне единичной окружности или на этом круге.
Зачем понадобилось вводить понятия минимально и максимально-фазовых сигналов?
На это есть две причины:
1. Из всех сигналов, принимающих нулевые значения до нулевого момента времени и
имеющих одинаковые амплитудные спектры, минимально-фазовый сигнал обладает
наименьшей длительностью. Это обстоятельство важно с точки зрения разрешенности. Про сигналы, которые могут отличаться от нуля только при неотрицательных
временах, говорят, что они обладают свойством причинности.
2. Некоторые обрабатывающие процедуры наиболее эффективны в случае, когда сейсмический сигнал оказывается минимально-фазовым. В особенности это касается
предсказывающей деконволюции, о которой речь пойдет ниже.
Основная литература 1 осн [33-35], 2 осн [334-337, 349-351]
Дополнительная литература 4 доп [32-34]
Контрольные вопросы
1. Что такое z  преобразование?
2. Какими свойствами обладает это преобразование?
3. Каков математический смысл z  преобразования?
4. Что такое минимально-фазовый сигнал?
5. Что такое максимально-фазовый сигнал?
6. Докажите математически, что z  преобразование является преобразованием, обладающим и свойствами временных рядов, и свойствами спектров.
7. Вычислите на примерах z  преобразования любых временных сигналов.
8. Найдите временной сигнал по любому выбранному вами z  преобразованию.
Лекция 9. Математическая модель сейсмограмм как основа для выбора алгоритмов обработки
Моделью обрабатываемого материала будем называть совокупность высказываний,
условий, уравнений, отображающих исходные представления о материале, в частности о
связи наблюденного материала с известными искомыми параметрами среды. Совокупность
эта должна быть достаточной для постановки математической задачи и определения формального алгоритма ее решения. Исходные представления о материале складываются на основании сведений о строении среды, решений прямых задач, данных о системе наблюдений,
аппаратурных искажениях, содержании предшествующих этапов обработки и т. д.
Обработка материалов на ЭВМ предполагает использование формализованных алгоритмов. Такие работы выводятся из той или иной математической теории обработки, а любая математическая теория строится на четко определенной модели обрабатываемого материала.
Перечислим условия, которые необходимо учитывать при выборе модели.
1. Кроме исходных данных о среде необходима четкая постановка задачи обработки,
т. к. основной смысл выбора модели заключается в определении связи между наблюденным
материалом и исходными параметрами геологической среды, а без четкой постановки задачи
это сделать невозможно.
2. Для одной и той же модели предусматривается выбор нескольких алгоритмов обработки. Один из них – оптимальный. Как правило, он является самым трудоемким, но обеспечивающим наиболее точные результаты, а остальные более грубые.
Чем проще выбранная модель, тем хуже она описывает реальную геологическую среду. Это несходство влечет за собой появление неточностей в результатах обработки. Эти неточности называются погрешностями математической модели. Они не зависят ни от точности выбранной модели, они существуют в большей или в меньшей степени, поэтому выбирают такую математическую модель, которая бы обеспечивала минимум погрешностей.
Общей задачей предварительной обработки является преобразование сейсмической
записи к такому виду, чтобы отношение «полезного сигнала» к помехе было максимальным.
9.1 Модель среды. Ограничимся рассмотрением двухмерной среды, т. е. будем считать, что волны распространяются только в вертикально плоскости, проходящей через линию
наблюдения. Пусть в этой плоскости на исследуемом интервале расположено конечное число границ раздела слоев. Эти границы не пересекаются между собой, но могут сближаться
до исчезновения заключенного между ними слоя (происходит так называемое выклинивание
слоя). Форма границ раздела может быть произвольной. Выберем декартову систему координат x, h таким образом, чтобы ось x располагалась горизонтально, введем допущение, что
глубина h каждой границы раздела слоев является случайной стационарной функцией hk  x  ,
где k  1,2,3...K . Функции hk  x  разных границ раздела слоев связаны между собой корреляционными связями, которые тем сильнее, чем меньше мощность слоев, заключенных между
границами раздела.
Кроме границ раздела слоев, в плоскости разреза располагаются прямые или ломаные
линии с большими углами наклона, соответствующие тектоническим нарушениям. На основании экспериментальных данных будем предполагать, что коэффициенты отражения разных границ раздела не коррелированны между собой и их величина подчиняется нормальному закону распределения. Мощности слоев распределены в соответствии с законом Пуассона
(вероятность появления границы в малом интервале от h до h  h не зависит от h и про1
порциональна h ). Если мощность слоя между двумя границами меньше величины vt ,
2
где v  скорость в слое, а t - интервал дискретизации записи, то вместо двух границ раздела
рассматривается одна с коэффициентом отражения, равным сумме коэффициентов отражения от каждой из границ (объединение границ). Коэффициент отражения от одной границы
постоянен для всех совокупностей сейсмотрасс.
Схождениям границ раздела слоев (выклиниванию) соответствуют точки дифракции.
Линия наблюдения повторяет рельеф поверхности и поэтому является случайной функцией
h0 x  . Радиус корреляции этой функции существенно меньше радиуса корреляции функции
hk  x  .
Скорость сейсмических волн в среде является функцией обеих координат. Модель
верхней части разреза строится обычно в виде функций v0 x, h  , где v 0  истинная скорость.
Модели бывают с заданным распределением эффективной (средней) скорости, слоистые,
непрерывно-слоистые и т. д. Кровлей толщи, которую описывает данная математическая модель, является так называемая линия приведения. В моделях величина h слоя отчитывается
именно от линии приведения.
При распространении волн соблюдается принцип Гюйгенса.
9.2 Модель одиночной трассы сейсмограммы. Построим модель одиночной трассы
y 0 t  . Будем считать, что источник сейсмической волны, как и приемник, располагаются на
линии приведения. Трассу y 0 t  можно представить как сумму большого числа волн, из которых K волн считаются однократно-отраженными. Мы их будем считать полезными вол-
нами. Совокупность однократно-отраженных волн обозначим x0 (t ) , а остальные (помехи) –
через n0 (t ) . Таким образом
(1)
y0 t   x0 t   n0 t  .
Каждая из однократно-отраженных волн характеризуется амплитудой Ak , временем
вступления волн  k и формой импульса s 0 k t  . Обычно за форму сейсмического сигнала
принимается функция, подчиняющаяся гармоническому распределению (синус, косинус).
Обратимся к статистической модели сейсмограммы:
(2)
y0 t   x0 t   n0 t    t   st   n0 (t ) ,
где  t   импульсная сейсмограмма, содержащая практически всю полезную информацию;
st   форма временного представления единичной сейсмической волны, отраженной
от границы, разделяющей две среды (она включает в себя наложение волн-спутников, реверберацию, влияние ЗМС и контакта сейсмограф-почва, неупругое поглощение в среде, действие аппаратуры);
n0 t   совокупность аддитивных помех. В свою очередь аддитивные помехи делятся
на:
регулярные (поверхностные, боковые, дифрагированные, обменные, волны-спутники,
многократные волны);
нерегулярные (микросейсмы, ветровые помехи, электрические наводки)
Компонента n0 t  включает все связанные с глубинным разрезом волны, за исключением продольных однократно-отраженных: многократные, дифрагированные и т. д., а также
поперечные и обменные волны всех типов. Всю компоненту в целом, или каждый из типов
волн в отдельности можно представить в виде импульсных сейсмограмм, полагая форму записи каждой из волн равной единичному импульсу. Например, можно говорить об импульсной сейсмограмме кратных волн, дифрагированных волн и т. д. В этих случаях вместо коэффициентов отражения  k рассматриваются эквивалентные величины для соответствующих
волн. Обозначим их индексом  n . Значения  n , входящих в компоненту n0 t  , приуроченные к моментам прихода этих волн, образуют последовательность  n (t). По аналогии  (t )
будем называть эту импульсной сейсмограммой компоненты n0 t  без учета затухания и
расхождения, а функцию
 n t   cn t  n t 
(3)
Эту функцию называют импульсной сейсмограммой компоненты n0 t  с учетом затухания и расхождения.
Основная литература 1 осн [54-83], 2 осн [225, 70]
Дополнительная литература 3 доп [26,28]
Контрольные вопросы
1. Что такое модель?
2. Какие бывают модели?
3. Зависит ли качество обрабатываемого материала от точности выбранной модели?
4. Что такое полезный сигнал? Приведите примеры.
5. Что такое аддитивные помехи? Приведите примеры.
6. Что такое реверберация?
7. Запишите уравнение модели и объясните выбор компонент.
Лекция 10. Постановка задачи и основные процедуры обработки
Целью обработки данных сейсморазведки является построение временного разреза.
Идеальным временным разрезом является совокупность линий  ( x, t )   k  t   k x  для
всех k отражающих границ с приписанными им значениями коэффициентов отражения.
Кроме совокупности линий  ( x, t ) полезную информацию несут величина кинематического сдвига t k   , так как она характеризует распределение скоростей vx, h , и форма
импульса s 0   , так как она характеризует поглощающие свойства разреза. Все остальные
компоненты являются мешающими. Непосредственной задачей обработки является их
устранение.
Разнородность мешающих компонент (нестационарность записи, наличие аддитивных
помех n x  , t  , временные сдвиги  k   ) привели к разграничению процесса обработки на
ряд отдельных процедур:
1. Регулировка амплитуд
2. Фильтрация.
3. Введение кинематических и статических поправок.
4. Суммирование.
5. Миграция и т. д.
Каждая их этих процедур может рассматриваться как воздействие на исходный сигнал
некоторым оператором, предназначенным для удаления какой-либо одной определенной
мешающей компоненты. В идеальном случае при последовательном воздействии операторов
обработки материал, а следовательно, и его модель должны были бы терять одну за другой
мешающие компоненты и в конечном итоге мы бы получили идеальный временной разрез –
совокупность линий  ( x, t ) . На самом деле так не происходит: ни один из операторов не
удаляет полностью соответствующей мешающей компоненты. С другой стороны, каждый из
операторов в той или иной степени искажает полезный сигнал, что ведет к потере части полезной информации.
10. 1 Изменение модели в процессе обработки. Рассмотрим, как трансформируется
модель сейсмической записи после каждого из основных операторов обработки.
1. Для устранения помех. Пусть исходная математическая модель сейсмограммы записывается следующим образом
n x  , t   (n0 x  , t   s n t   cx  , t   nповx  , t   n Mx  , t )  s рег t  ,
(1)
где n0 x  , t   регулярная аддитивная помеха;
s n t   cx  , t   импульсная реакция приемника;
nповx  , t   помехи, вызванные поверхностными условиями;
nMx  , t   помехи, вызванные неточностями модели;
s рег t   импульсная реакции сейсмического канала.
Для такой модели предназначается временная и пространственная фильтрация. Модель помех, оставшихся после фильтрации, обычно представляют в виде суммы только двух
типов волн: многократно-отраженных nx  , t  , которые не ослабляются фильтрацией, и нерегулярных nx  , t  . Последние рассматриваются как сумма «остатков» всех прочих волнпомех.
В модель полезной части записи включается дополнительный «каскад» - свертка с весовой функцией g (t ) , характеризующей суммарное действие всех фильтров. В результате
имеем
y x  , t    x  z x  , t   n x  , t  ,


(2)
z x  , t   ct   k  Tk   s   g  ,
k


Tk  t   k x    c k     xk   .
Если уровень нерегулярных помех nx  , t  ниже уровня полезной части записи
z x  , t  , то их наличие проявляется в более или менее существенном случайной компоненты
kx   . Поэтому в ряде случаев удобнее пользоваться моделью сигнала, когда из него исключена помеха nx  , t  , но считается, что нерегулярные помехи проявляются в виде слу-
чайных сдвигов kx   .
2. Для устранения нестационарности записи по времени t, x и  , обусловленной
наличием сомножителя ct  и различием коэффициентов усиления  x   на различных трассах, предназначена регулировка амплитуд в переделах каждой трассы и от трассы к трассе.
Пренебрегая неидеальностью оператора регулировки амплитуд, будем считать, что его воздействие на материал можно отобразить, заменяя множитель  x   на некоторую постоянную величину  , не зависящую от t, x и  . Так как эта величина относится ко всей сейсмограмме в целом, то ее можно в модель трассы не вносить.
Очевидно, что под влиянием оператора регулировки амплитуд изменяется не только
полезная часть z x  , t  записи, но и помехи nx  , t  и nx  , t  .
3. Для устранения статистических сдвигов  ck   и кинематических сдвигов  k  
предназначена операция ввода статических и кинематических поправок. Действие этой операции на модель отображается заменой  ck   и  k   на остаточные статистические и
кинематические сдвиги  cx   и  k   . Последние устраняются после операции коррекции
поправок, и модель (с учетом действия регулятора амплитуд) принимает следующий вид
y x  , t   z x  , t   nx  , t   nx  , t  ,
z x  , t   [  k  t   k x   kx  ]  s  .
(3)
n
4. Для устранения «собственных процессов» s рег t  , s пов t  , s0 t  применяется обратная фильтрация (деконволюция) сейсмических записей. Желаемым обратным оператором
был бы такой, который сжал бы st   s0 t   s пов t   s рег t  до единичного импульса  t  и ,
кроме того, позволил бы выделить «в чистом виде» функцию st  . Однако реальная обратная
фильтрация позволяет свести результирующую импульсную реакцию st  не к  t  , а к некоторой функции (t ) , которая обладает ненулевой длительностью. Следовательно, на выходе обратного фильтра получаем
y x  , t   z x  , t   nx  , t   nx  , t  ,
z x  , t   [  k  t   k x   kx  ]  t  .
(4)
n
5. Для ослабления многократных и нерегулярных волн-помех применяется суммирование записей, полученных в результате многократного прослеживания, по системе ОГТ или
какой-либо иной. Если при этом кратные волны nx  , t  ослабляются в достаточной степени,
они могут быть исключены из модели. Окончательно получим
(5)
y x  , t   [  k  t   k x   kx  ]  t   n , t  .
n
Это выражение можно считать моделью окончательного результата обработки - временного разреза.
10.2 Последовательность процедур обработки. Основные процедуры обработки не
обязательно должны выполняться в том порядке, в каком они названы выше. Однако этот
порядок не является совершенно произвольным. Дело в том, что часть процедур является не-
линейными и поэтому результаты обработки зависят от порядка их выполнения. Нелинейными являются, в частности, операции регулировки амплитуд и фильтрация с переменным
во времени фильтром, зависящим от соотношения сигнала и помехи. Набор процедур обработки, перечисленных в порядке их выполнения, называется графом обработки.
1. Каждая данная процедура не может быть выполнена до тех пор, пока в результате
других операций модель материала не будет приведена к виду, который соответствует допущениям, лежащим в основе данной операции. Например, суммирование нельзя выполнять до
автоматической регулировки амплитуд (АРА) и ввода статических и кинематических поправок; авто- и взаимокорреляционные функции нельзя выполнять до АРА; АРА нельзя делать
до предварительной временной фильтрации, если имеются интенсивные помехи, которые
будут затруднять необходимую при АРА оценку функций ct  и  x   и т. д.
2. Важнейшим элементом процесса обработки является визуальный контроль промежуточных результатов, который в необходимых случаях сопровождается принятием решений по изменению графа обработки, или по коррекции тех или иных параметров обработки.
Основная литература 1 осн [83-87], 2 осн [145-150]
Дополнительная литература 2 доп [365-370], 3 доп [60-173]
Контрольные вопросы
1. Что такое обработка геофизической информации?
2. Что такое граф обработки?
3. Какие существуют процедуры обработки и на подавление каких помех направлена
каждая из процедур графа обработки?
4. Что такое автоматическая регулировка амплитуд и почему ее проведение так
необходимо?
5. Каков смысл введения кинематических и статических параметров?
6. Какие дополнительные помехи привносятся после проведения каждой из процедур
обработки? Приведите примеры.
Лекция 11. Особенности цифровой фильтрации
Одним из основных процессов цифровой обработки сейсморазведочных данных является частотная фильтрация. Фильтрация есть линейное преобразование сейсмической записи,
целью которого является изменение спектрального состава сейсмических записей – пропускание одних спектральных компонент и ослабление (подавление) других. На уровне полевых
записей частотная фильтрация сейсморазведочных данных осуществляется физическими
фильтрами, которые представляют собой совокупность элементов электрических схем. Для
выбора требуемого режима фильтрации рассчитывают схему физического фильтра.
При цифровой обработке частотная фильтрация осуществляется или во временной
области, или в частотной области. В первом случае фильтрация реализуется путем свертки
входных (т.е. подлежащих фильтрации) данных с соответствующим образом рассчитанной
весовой функцией. Таким образом, формула свертки является математической моделью
цифрового фильтра. Весовая функция свертки при выполнении цифровой фильтрации имеет вполне определенный физический смысл импульсной реакции фильтра. В самом деле, если на вход некоторого физического фильтра в момент времени Т0 подать единичный импульс, то на выходе фильтра возникает электрическое напряжение, затухающее по экспоненциальному закону, обусловленному передаточной характеристикой фильтра. Переходя к
дискретным отсчетам этого напряжения, получим временную последовательность , состоящую из элементов y0 , y1 , y3.…Эта последовательность и будет представлять собой дискретное выражение импульсной реакции фильтра.
Выше было показано, что при выполнении дискретной свертки, задавая в качестве
входной функции единичную последовательность  t , мы получаем выходной функции y t ,
равную весовой функции свертки. Таким образом, весовая функция свертки, реализующей
цифровую фильтрацию, является дискретной моделью импульсной реакции соответствующего аналогового фильтра. Существенно, что аналоговый фильтр, а следовательно, и его
дискретная модель обладают последействием – даже после прекращения действия входного,
а в моменты времени Т1, Т2… на выходе фильтра будет сохраняться остаточное напряжение,
изменяющееся во времени по определенному закону.
Рассмотрим прохождение через фильтр, обладающей импульсной реакцией kt , не
одиночного импульса, а некоторой входной последовательности xt. В каждый момент
времени на выходе фильтра будут возникать величины yt определяемые: 1) величиной
входной функции, подаваемой на вход фильтра в данный момент времени; 2) ранее
поданными на вход фильтра
значениями функции xt, посколько фильтр обладает
последствием и растягивает каждый входной импульс в волновой пакет , продолжающий
выделяться на выходе фильтра и после прекращения действия данного входного импульса;
3) коэфициентами весовой функции фильтрации.
В начальный момент времени Т0 на вход фильтра подается импульс x0 ; мгновенной
реакции фильтра будет возникновение на его выходе величины k0 x0 . В следующий момент
времени Т1 на вход фильтра поступит новый импульс x1 ; в результате реакции фильтра на
выходе возникнет величина k0 x1 , однако поскольку реакция фильтра не ранее поданный импульс еще продолжается, то к величине k0 x1 на выходе будет прибавляться величина k1x0 ,
представляющая собой продолжение реакции фильтра на ранее поданный импульс x0 . В следующий момент времени Т2, помимо мгновенной реакции на поданный импульс x2 , на выходе фильтра будет продолжаться реакция на ранее поданные импульсы x1 и x0 и т.д.
Как видно из изложенного, существует прямая связь между математической операцией свертки и физическим явлением возникновения импульсной реакции фильтра. Эта связь
подчеркивает логически единую основу фильтрации , совершаемых как с помощью физических фильтров на аналоговых обрабатывающих машинах , так и с помощью цифровых фильтров на ЭВМ. Как известно, в области частот физические фильтры характеризуются своей
передаточной функцией - комплексной частотной характеристикой . Каждое значение передаточной функции для заданной частоты представляет собой, как правило, комплексную величину вида С (  ) е-i  (  )
Для цифровых фильтров передаточной функцией является дискретный комплексный
спектр весовой функции фильтра. Каждая составляющая комплексного спектра представляет
собой комплексную величину вида C ( w)e i w  . Подобно тому, как в физических фильтрах
выходная функция является результатом взаимодействия гармоник входной функции с гармониками передаточной функции фильтра, так и в фильтрах выходная последовательность
является результатом взаимодействия комплексных спектров входной последовательности с
оператором фильтрации. Чтобы найти амплитудный спектр выходной функции необходимо
перемножить ординаты амплитудных спектров входного сигнала и весовой функции, относящиеся к равным частотам. Полученное произведение будет представлять собой ординату
амплитудного спектра выходной (отфильтрованной) функции. Ординаты фазовых спектров
входного сигнала и весовой функции следует сложить. Полученная сумма будет ординатой
фазового спектра выходной функции. Например, если амплитудный спектр входной функции
описывается частотной последовательностью A0 , A1 ,..., A1 , а амплитудный спектр весовой
функции – частотной последовательностью B0 , B1 ,..., B1 , то амплитудный спектр выходной
функции, получаемой в результате свертки входного сигнала At с весовой функцией Bt , будет описываться последовательностью C0  A0 B0 ; C1  A1 B1 ; и т. д.
Если фазовый спектр входной функции описывается частотной последовательностью
 0 , 1 ,...,  n1 , а фазовый спектр весовой функции – частотной последовательностью
 0 , 1 ,..., n1 , то фазовый спектр выходной функции будет описываться последовательностью  0   0 , 1  1 , ….,  n1   n1 .
Таким образом, физические и цифровые фильтры имеют следующие особенности:
1. Они характеризуются своей импульсной реакцией, которая для цифрового фильтра
представляет собой временную последовательность, выражаемую весовой функцией фильтра.
2. Они характеризуются своей передаточной функцией, которая для цифрового фильтра описывается дискретной частотной последовательностью, составленной в общем случае
из комплексных элементов и равной дискретной частотной последовательностью т равной
дискретному комплексному спектру весовой функции фильтра.
3. Спектр выходной функции, получаемой в результате фильтрации (как аналоговой,
так и дискретной), может содержать частоты, которые присутствуют и в спектре входной
функции, и в спектре оператора.
4. При фильтрации аналоговых и цифровых сигналов происходит увеличение длительности выходных сигналов (по сравнению с входными сигналами). Исключением является идеальный обратный фильтр.
5. Для установления нормального режима фильтрации требуется некоторое время
вхождения в заданный режим; у физических фильтров это время определяется зарядкой емкостных элементов оператора с элементами фильтруемой последовательности.
Вместе с тем у физических и цифровых фильтров имеются и весьма существенные
различия.
1. В отличие от физических фильтров цифровые фильтры всегда имеют дискретную
весовую функцию и ограниченный частотный диапазон (он ограничивается величиной

   ).
t
2. В зависимости от нашего желания цифровые фильтры могут иметь «собственный
процесс», характеризующийся не только последствием, но и опережением во времени по отношению к моменту подачи сигнала на вход фильтра. У физических фильтров такого опережения быть не может. Иначе говоря, если на вход физического фильтра в момент времени
t  0 подается единичный импульс, то на выходе фильтра собственный процесс появится на
времени t  0 , не ранее. У цифрового же фильтра при подаче на вход единичного импульса в
момент времени t  0 можно получить ненулевые отсчеты выходной функции – собственного процесса – в моменты времени t <0. Такие отсчеты появляются в том случае, если весовая
функция имеет ненулевые отсчеты на времени t <0.
Основная литература 1 осн [35-40], 2 осн [56-58]
Дополнительная литература 2 доп [173-174]
Контрольные вопросы
1. Что такое цифровая фильтрация?
2. С какой целью выполняется цифровая обработка сейсмических данных?
3. Дайте определение частотной фильтрации относительно спектров.
4. Какими особенностями обладают аналоговые и цифровые фильтры?
5. Как отличаются аналоговые и цифровые фильтры?
Лекция 12. Алгоритмы одноканальной фильтрации
В соответствии с двумя аспектами проблемы фильтрации выделяют два этапа: выбор
фильтра и собственно фильтрацию. При этом, если первый этап в корне различен для разных
видов фильтрации, то второй является одинаковым. Поэтому алгоритмы собственно фильтрации – вычисления выходного сигнала по заданному входному сигналу и фильтру целесообразно рассмотреть отдельно, независимо от способов расчета параметров фильтра.
12.1 Фильтрация в области времен. Фильтрация во временной области реализуется
с помощью операции сворачивания. Для дискретно заданных через заданные интервалы вре-
мени t входного сигнала y k  y 0, y1 ,..., y N и оператора фильтра l k  l 0, l1 ,..., l M свертка описывается формулой
M
yi   l k yi k .
(1)
k 1
Если оператор фильтра является симметричным относительно точки k  0 , т. е.
l 1  l1 , l 2  l 2 ,....l m  l m , 2m  1  M , то вместо формулы (1) запишем
yi 
im
l
k i  m
k
yi k .
(2)
Рассмотрим работу алгоритма (1) на простом примере. Пусть входной сигнал задан
пятью ординатами y 0 , y1 , y 2 , y3 , y 4 , а оператор фильтра – тремя: l 0 , l1 , l 2 . В соответствии с
операцией сворачивания получаются отсчеты выходного сигнала. Так как в формуле (1) аргумент k в обозначениях l k и y i  k фигурирует с разными знаками, оператор фильтра при
свертке должен быть «перевернут». Как мы знаем, это одно из самых важных отличий от
корреляции двух процессов. С изменением аргумента i (времени) оператор фильтра «движется» слева направо вдоль сигнала. Для каждого значения происходит попарное перемножение совпавших по времени отсчетов сигнала и оператора; сумма этих произведений дает
значение выходного сигнала для данного i . Процесс продолжается до тех пор, пока оператор
не переместится вдоль всего входного сигнала. Число выходных амплитуд равно M  N  1 .
Обычно при обработке сейсмических материалов желательно сохранять длину выходного
сигнала равной длине входного. В таких случаях первые и последние m точек отбрасываются. Выполнение фильтрации по алгоритму свертки требует MN сложений и MH умножений.
Алгоритм свертки, представленный выражениями (1) или (2) являются основным алгоритмом практического осуществления цифровой фильтрации.
12.2 z  преобразование. Очень удобным для анализа алгоритмов фильтрации является представление дискретных функций в виде их z  трансформант. Если имеется дискретная функция xt  x0 , x1 ,..., xk ,... , то ее комплексный спектр X w может быть записан выражением
X w  x0  x1e  iwt  ...  x k e iwkt  ....
(3)
Подстановкой z  e iwt , где z выражает задержке какого-либо значения сигнала на
один интервал дискретной шкалы времени, получаем z  преобразование x (z ) функции xt
x( z )  x0  x1 z  ...  x k z k  ....
(4)
Так как z  преобразование эквивалентно одному из представлений спектра функции,
операции с z  преобразованиями аналогичны операциям со спектрами. В частности, процесс фильтрации, в частотном представлении произведением спектров входного сигнала и
оператора фильтра, в терминах z  преобразований выражается как произведение z  трансформант входного сигнала yz  и фильтра l z 
~
(5)
y z   yz   l z .
Так как z представление временной последовательности x0 , x1 , … есть полином, вычислительным процессом, соответствующим фильтрации в области z  представлений, является перемножение полиномов.
Так для рассмотренного примера имеем
y z   y 0  y1 z  y 2 z 2  y 3 z 3  y 4 z 4
l z   l 0  l1 z  l 2 z 2


~
y z   ( y 0  y1 z  y 2 z 2  y 3 z 3  y 4 z 4 )  l 0  l1 z  l 2 z 2  y 0 l 0  y 0 l1 z  y 0 l 2 z 2 
 y1l 0 z  y1l1 z 2  y1l 2 z 3  y 2 l 0 z 2  y 2 l1 z 3  y 2 l 2 z 4  y 3 l 0 z 3  y 3 l1 z 4  y 3 l 2 z 5 
 y 4 l 0 z 4  y 4 l1 z 5  y 4 l 2 z 6 .
Объединяя члены с одинаковой степенью z по обе стороны равенства, видим, что
~
y0  y0 l0
~
y y l yl
1
0 1
1 0
…….
~
y 6  y4l2 ,
т.е. получаем те же самые значения, что и при вычислении по формуле свертки. z  преобразование используется как удобная форма описания дискретных временных рядов вида y k
или l k , но для практического осуществления фильтрации оно применяется редко.
12.3 Рекурсивная фильтрация. Допустим, что некоторый фильтр
(6)
l z   l0  l1 z  l 2 z 2  ...  l p z p
может быть записан в виде
az  a0  a1 z  a 2 z 2  ...  a n z n
(7)
l z  

.
bz  b0  b1 z  b2 z 2  ...  bm z m
Тогда формула (5) фильтрации принимает вид
az 
~
~
или
y z   yz 
y z bz   yz az  .
b z 
Перейдем к временным представлениям, заменив произведение z  трансформант сверткой
соответствующих временных рядов.
~
y  b  y  a.
Проделаем преобразования, соответствующие этой формуле, на конкретном примере.
Выберем
az   a0  a1 z  a2 z 2 ,
bz   1  b1 z  b2 z 2 .
Действуя по правилам сворачивания, получаем
~
y0  y0 a0 ,
~
y b ~
y y a ya ,
0 1
1
0 1
1 0
~
y 0 b2  ~
y1b1  ~
y 2  y 0 a 2  y1 a1  y 2 a 0 ,
~
y1b2  ~
y 2 b1  ~
y 3  y1 a 2  y 2 a1  y 3 a 0 ,
(8)
.............................................................
y0 , ~
y1 , ~
y 2 ,.... на выходе фильтра можно
Мы видим, что искомую последовательность ~
найти уравнений (8)
~
y 0  y 0 a0 ,
~
y  y a ya ~
yb,
1
0 1
1 0
0 1
~
y 2  y 0 a 2  y1 a1  y 2 a 0   ~
y 0 b2  ~
y1b1 ,
~
~
y 3  y1 a 2  y 2 a1  y 3 a 0   y k  2 b2  ~
y k 1b1 ,
(8)
.............................................................
Или в общем виде
n
m
i 0
j 0
~
y k   ai y k i   b j 1 y k  j 1 .
(9)
Процесс получения выходной последовательности ~
y0 , ~
y1 , ~
y 2 ,.... с помощью (9) и есть
рекурсивная фильтрация. Из (8), (9) видно, что очередной отсчет выходного сигнала при рекурсивной фильтрации получается путем свертки входного сигнала с оператором
a0 , a1 , a 2 ,...a n , за вычетом свертки предшествующих отсчетов выходного сигнала с оператором b1 , b2 ,...bm . Использование предшествующих значений входного сигнала и объясняет
название «рекурсивная фильтрация».
12.3 Фильтрация в области частот. В ряде случаев фильтрацию более целесообразно осуществить в частотной области. При этом, для входной сейсмической трассы путем
дискретного преобразования Фурье получают ее комплексный спектр
K 1
Y (nw)  t  y (kt )e inwkt ,
(10)
k 0
i  мнимая единица;
где
w  интервал дискретности задания спектра;
k  0,1,2,..., K  1  отсчеты трассы; n  0,1,2,...n  1  отсчеты спектра, причем K  N .
Выберем w  2 / Kt . Опуская масштабные множители t и w , имеем
K 1
Y (n)   y (k )e  2inkn / N .
(11)
k 0
~
Затем находят комплексный спектр выходной трассы Y n  путем перемножения Y n
с заданной комплексной частотной характеристикой фильтра Ln
~
Y (n)  Y n Ln  .
(12)
После этого вычисляют выходную трассу
N 1
~
~
y k   Y n e 2ikn / N .
(13)
n 0
Следует подчеркнуть важность соблюдения соотношений K  N и w  2 / Kt при
выполнении прямого преобразования Фурье. Если выбрать w  2 / Kt , то возможны искажения типа эйлясинг-эффекта, возникающего при дискретизации временных функций.
Фильтрации во временной и частотной области эквивалентны между собой. Выбор того или
иного варианта расчетов определяется экономическими соображениями. Перемножение
спектров, конечно, занимает намного меньше машинного времени, чем свертка. Однако вычисление прямого и обратного преобразований Фурье требуют еще большего затрат времени, поэтому существуют специальные алгоритмы, которые направлены на существенное
снижение затрат машинного времени. Один из таких алгоритмов называется алгоритмом Кули-Туки или быстрым преобразованием Фурье (БПФ).
Основная литература 1 осн [181-193], 2 осн [351-362]
Дополнительная литература 2 доп [190-239]
Контрольные вопросы
1. Каким образом классифицируются фильтры?
2. Что такое одноканальные фильтры?
3. Какие фильтры относятся к одноканальным фильтрам?
4. Объясните процесс обработки с использованием одноканальных фильтров?
5. Что такое оптимальная фильтрация?
6. Что такое обратные фильтры?
7. Какими бывают обратные фильтры и при решении каких задач их используют при
обработке геофизической информации?
8. Можно ли использовать одноканальные фильтры, если необходимо убрать ненужный диапазон кажущихся скоростей?
Лекция 13. Элементы теории выбора фильтров
13. 1 Постановка задачи фильтрации. Проблема стабильности. Под конструированием фильтра понимается обоснование и разработка алгоритма его расчета и применения.
Конкретный фильтр конструируется для решения типичных задач, которые выдвигаются перед фильтрацией на различных стадиях обработки информации. Начальной точкой конструирования фильтра является математическая формулировка задачи, предусматривающая задание модели обрабатываемого сигнала, которая включает в себя описание сигнала и подлежащих подавлению помех, и выбор целевого критерия фильтрации.
Одноканальные модели обычно относятся к одной из двух групп:
1. Модели с аддитивной помехой
(1)
yt   zt   nt  ,
где zt   полезный сигнал; nt   подлежащая подавлению помеха.
2. Модели со сверточной и аддитивной помехами
(2)
yt    t   st   nt  ,
где  t   компонента сигнала; st   мешающая компонента сейсмического импульса (волны-спутники, реверберации или же последующие периоды самого импульса).
Обе эти модели линейные. Сигналы и помехи в них взаимно независимы или линейно
зависимые (например, зависимость амплитуды волны-спутника от амплитуды основной волны). Другие модели (нелинейные с нелинейными связями между сигналами и помехами) используются только в экспериментальных работах.
Целевым критерием, наиболее часто используемым при одноканальной фильтрации,
является оптимальное воспроизведение желаемого сигнала d t  выходной трассы yt  . Общепринятый математический критерий оптимальности воспроизведения – винеровское
условие минимума среднего квадратического отклонения выходной трассы yt  от d t  .
y t   d t   min .
2
(3)
Здесь по времени берется усреднение.
Реже применяется критерий обнаружения сигнала, сводящийся к максимизации отношения максимального значения сигнала к среднему квадратическому уровню помех в составе выходной трассы yt 
y вых t max
(4)
 max .
2
nвых t ср
В любой модели и сигнал и помеха описываются некоторым числом детерминистических или статических параметров, например, значениями граничных частот амплитудночастотного спектра, интервалами запаздывания волны-спутника по отношению к основному
импульсу, дисперсией нерегулярного шума. В рамках данной модели и выбранного целевого
критерия эти параметры определяют численные значения параметров фильтра – его весовую
функцию, частотную характеристику и т. п. Перечисленные факторы (модель обрабатываемого сигнала, целевой критерий и способ настройки) являются основными характеристиками
каждого фильтра, определяющими его эффективность. Возможности его практической реализации зависят от стабильности (устойчивости) и экономичности фильтра.
Стабильным называется фильтр, удовлетворяющий условию


2
y t    .
(5)
t  
Это условие означает, что весовая функция фильтра должна иметь конечные отсчеты
и достаточно быстро затухать со временем t , а амплитудный спектр функции yt  должен
оставаться конечным для любых частот w в интервале   / t  w   / t . Проблема стабильности обычно возникает, когда ставится задача построения такого фильтра, который
преобразует заданный входной сигнал в желаемый выходной. Системную функцию при такой постановке задачи определяют соотношением
Y ( z ) y 0  y1 z  y 2 z 2  ...  y m z m
(6)
H z  

.
X ( z)
x0  x1 z  x2 z 2  ...  x n z n
Физически осуществимый фильтр должен удовлетворять такому условию, что при
t   , ht   0 , а при t  0, ht   0 .
Экономичность фильтра определяется затратами времени на его расчет и применение. Из
формулы (6) видно, что помимо скорости сходимости ряда Y z  в числителе системной
функции, на экономичность фильтра влияет значение корней знаменателя. Если корни существенно отличаются по модулю от единицы, то биномиальное разложение компонент сходится быстро и экономичен сверточный фильтр. В противном случае такой ряд сходится
медленно и предпочтительнее рекурсивная фильтрация.
Фильтрация может применяться для решения различных задач. Конечной целью обработки является восстановление функции  x, t  . Применительно к одноканальной модели
(1), это аналогично задаче выделения зависимости  t  в «чистом виде». При высоком
уровне помех может выдвигаться другая задача – наилучшим образом обнаружить функцию z t  на фоне помех. Если нас интересует информация, которая несет в себе форма st 
сигналов, то задача фильтрации может быть сформулирована так: воспроизвести на выходе
фильтра только полезную компоненту записи, внеся в нее минимум искажений. Чтобы выбрать фильтр наилучшим образом решающий ту или иную задачу нужно строго формулировать условия и критерии, рассмотренные выше.
13.2 Уравнение Колмогорова-Винера. Пусть входной сигнал представлен в виде
g t   g s t   g n t  ,
(7)
где индексы s и n относятся соответственно к сигналу и шуму. Если обозначить ht  и
h1 t  фактический и требуемый выходные сигналы, то их разностью, или ошибкой, будет
функция et  . Тогда энергия ошибки E равна сумме квадратов значений et  . Отсюда для
непрерывных функций имеем
T
E  lim
 1 / 2T   h(t )  h1 t 
2
T 
T
2
 






dt  lim
1
/
2
T
f
(

)
g
(
t


)
d


h
t

 1  dt 

 

T 
T 


T

T 
T

 T  
 

2


 lim
 1 / 2T     f  g t   d  f  g t   d  dt  2    f  g t   d h1 t dt   h1 t dt  


T 

T  
T

T  


Здесь квадрат интеграла, равного ht  , записан как произведение двух интегралов, которые отличаются только переменными интегрирования. Меняя порядок интегрирования,
получаем


T

T














E   f  d  f  d  lim
1
/
2
T
g
t


g
t


dt

2
f

d

lim
1
/
2
T
h1 g t   dt  








T
T
T 
 
T 





2
 lim
 1 / 2T   h1 t dt 
T 

f  d




f  Фgg    d  2  f  Фgh  d  Фhh 0,

здесь использованы соотношения для функций автокорреляции и взаимной корреляции.
Поскольку g t  и h1 t  заданы, то E зависит только от f t  . Поэтому задача сводится
к отысканию такой функции f t  , которая минимизировала бы значение E . Для определения вида f t  в общем случае требуется применение вариационного исчисления. Поэтому
мы приведем сразу результат без вывода

 f  Ф    d  Ф  ,
gg
gh
  0.
(7)

Это интегральное уравнение, которое называется уравнением Колмогорова-Винера,
выполняется для причинно-обусловленных линейных систем, причем функция f t  , удовлетворяющая этому уравнению, представляет собой импульсную характеристику оптимального фильтра, который мы ищем.
13.3 Обратные фильтры. Существует несколько разновидностей обратных фильтров: фильтр сжатия, корректирующий фильтр, фильтр ошибки предсказания, дереверберационный фильтр.
Главной целью обратной фильтрации является получение процесса  t  в «чистом
виде», т. е. наилучшее приближение или сжатие каждого отдельного импульса a k st   k  к
единичной функции
1, t   k ,
(8)
 t   k   
0, t   k .
Такой фильтр является обратным по отношению ко всей совокупности компонент,
входящих в выражение модели сейсмической записи для формы st  единичного импульса.
Будем называть такой фильтр фильтром сжатия, или собственно обратным фильтром. Для
фильтра сжатия xt    t  , следовательно
 k T

(9)
Фxy    M   t  y t     M  y     s   .
 t 0

Запись M y    s   означает, что математическое ожидание помех nt  равно 0.
Таким образом, уравнение Колмогорова-Винера для обратного фильтра сжатия будет
иметь вид
T
l  Ф      s    .


0
c1
y
В соответствии с теоремой о свертке получим
(10)
S  w
.
(11)
E y w 
Из формулы видно, что фильтр сжатия является обратным по отношению к той компоненте, которую нужно удалить.
Фильтр предсказания служит для того, чтобы удалять многократно-отраженные волны, которые возникают из-за фильтрующего влияния чего-либо, например, воды. Волны, отраженные от разных границ проходят один и тот же водный слой. При этом форма многократно – отраженных волн бывает одинаковой. Это позволяет, получив один раз информацию о форме этой волны предсказывать ее в последующие моменты времени и затем вычитать предсказанные мешающие колебания
Корректирующий (формирующий) фильтр устраняет изменчивость формы записи по
профилю, связанной с изменчивостью поверхностных условий, и обеспечение стабильности
некоторой выбранной заранее формы одиночного импульса.
Работа дереверберационного обратного фильтра очень похожа на работы фильтра
предсказания. С другой стороны этот фильтр не получил широкого применения, поэтому
рассматриваться не будет.
Основная литература 1 осн [196-216], 2 осн [362-371]
Дополнительная литература 2 доп [190-244]
Lc1 w 
Контрольные вопросы
1. Что такое деконволюция?
2. Почему оптимальные фильтры называются оптимальными?
3. Что такое согласованная фильтрация?
4. Что такое каузальные фильтры?
5. Перечислите все одноканальные фильтры и объясните их применение в обработке
геофизической информации.
Лекция 14. Расчет фильтров
Рассчитать фильтр – это значит определить численные значения ординат его весовой
функции l t , t  1,2,..., T , или комплексной частотной характеристики L( w), w  0,1,2,...,  в
зависимости от того, в какой области будет производиться фильтрация – во временной или
частотной. Для выполнения расчетов необходимо:
1) выбрать способ, соответствующий тому или иному исходному уравнению, в зависимости от выбранного типа фильтра;
2) определить или задать конкретные исходные данные, используемые в выбранном
способе расчетов.
14.1 Решение уравнения Колмогорова-Винера. Во временной области исходные
уравнения для всех одноканальных (винеровских) фильтров описываются однотипными соотношениями – различными частными случаями уравнения Колмогорова-Винера. Запишем
их
Фильтр сжатия
T
l  b      s   ,


0
1
y
(1)
где b y - функция автокорреляции.
Фильтр предсказания
T
l  b      b    ,


где   интервал предсказания.
Корректирующий фильтр
0
п1
y
y
(2)
T
l  b      r  ,


0
1
y
xy
(3)
где rxy    функция взаимной корреляции.
Фильтр воспроизведения
T
l  b      b  ,


0
2
y
S
(4)
где bS    функция автокорреляции полезного сигнала.
Фильтр обнаружения
T
l  b      s   ,


0
3
n
(5)
Способы решения этих уравнений практически одинаковы. Разберем пример их решения на уравнении (3), так как оно является наиболее общим. Условимся, что искомая весовая функция должна иметь T  1 значений: l 0, l 1,..., l T . Допустим, что функции b y   и
rxy   известны на интервалах   T и 0    T . В целях компактности записи введем обо-
значения: l    l , b y    b , rxy    r . Придавая аргументу  значения 0,1,2… T , перепишем (3) в виде системы уравнений с T  1 неизвестными коэффициентами l 0 , l1 , l 2 ,..., lT ,
представляющими собой весовые коэффициенты искомого фильтра
l 0 b0  l1b1  ...  lT bT  r0 ,
l 0 b1  l1b0  ...  lT bT 1  r1 ,
l 0 b 2  l1b1  ...  lT bT  2 r 2 ,
(6)
..............................................,
l 0 bT  l1bT 1  ...  lT b0  rT .
Перейдем к матричной форме записи, учитывая, что b y    b является четной функцией, т. е. b  b :
b1 b2
... bT   l 0   r0 
 b0

    
b0
b1 ... bT 1   l1   r1 
 b1
b
b1
b0
... bT  2    l 2    r2  .
 2
    
 ............................................   .   . 

    
bT 1 bT  2 ... b0   lT   rT 
 bT
(7)
Или
BL  R .
(8)
Здесь первый сомножитель левой части – корреляционная матрица B входного процесса, второй множитель – вектор-столбец L неизвестных коэффициентов, в правой части –
вектор-столбец R свободных членов.
В силу симметрии автокорреляционной функции b корреляционная матрица является диагональной, или матрицей Теплица. Для такой матрицы справедливо соотношение
bij  b ji ,
где i и j - соответственно номер строки, и номер столбца.
Пользуясь приемами матричной алгебры, из (8) находим L  RB 1 , где B 1  матрица,
обратная по отношению к B .
Вся сложность решения матриц такого типа является их обращение. Существует так
называемый алгоритм Левинсона, который позволяет решить такую матрицу с наименьшими
затратами машинного времени.
Метод основан на то, что на первом этапе из первого уравнения системы (6) находят
только первый коэффициент, в предположении, что только он отличен от нуля:
l 0  r0 / b0 .
(9)
Затем предполагается, что отличны от нуля два коэффициента – первый и второй; из
первых двух уравнений системы находят второй коэффициент
r
r1  0 b1
rb r b
b0
(10)
l1  1 02 02 1 
.
b1
b0  b1
b0  b1
b0
Затем уточняют первый.
Далее таким путем находят последующие коэффициенты, уточняя на каждом шаге величины всех предыдущих. Такую процедуру, как мы знаем, называют рекурсией, поэтому
этот алгоритм называют еще рекурсией Левинсона.
Основная литература 1 осн [216-220], 2 осн [353-356]
Дополнительная литература 2 доп [204-239]
Контрольные вопросы
1. Как рассчитываются рекурсивные фильтры? Приведите пример.
2. Как рассчитать обратные фильтры? С помощью какого алгоритма?
3. Что такое режекторный, полосовой фильтры?
4. Как рассчитываются фильтры в области частот? Приведите примеры.
Лекция 15. Алгоритмы многоканальной фильтрации
Подобно одноканальным фильтрам, многоканальные фильтры определяются заданием
целевого критерия фильтрации и моделью входной трассы. Целевой критерий у большинства
применяемых многоканальных фильтров сводится к оптимальному воспроизведению сигнала, отвечающему условию (4, лекция 14). Используемые модели сейсмической записи довольно многообразны. Важнейшим их элементом является представление о степени регулярности волн, составляющих ту или иную компоненту модели.
Волна считается идеально регулярной, если ее многоканальная запись представима
моделью
(1)
f x t   f t   x ,
где x  абсцисса точки профиля;  x   функция запаздывания, представляющая собой
теоретический годограф данной волны при определенной модели среды и заданной системе
наблюдений.
При расчете многоканальных фильтров используются функции  x  двух типов:
линейные (регулируемый направленный прием (РНП), скоростные фильтры)
 x   x / vk .
(2)
гиперболические (суммирование по ОГТ, Д-преобразование)
x2
 t 2  t.
(3)
2
v
В то же время известно, что регулярная волна с зависимостью  x    1 x  данного
вида (например, гиперболической) и некоторым распределением амплитуд Ax   A1 x
вдоль оси x (например, равномерным для идеально регулярных волн) может рассматриваться как волна с зависимостью  x   2 x другого вида (в данном случае линейной) с иным
распределением Ax  A2 x (в данном случае гиперболическим). Соответственно уравнение
фильтра, выведенное для зависимости  x  одного вида, легко преобразуется в уравнение
 x  другого вида.
Из уравнений (2), (3) видно, что функция запаздывания  x  данного вида на данном
времени определяется значением единственного кинематического параметра
vk ,
Р
1 
(4)


О , Д  преобразование.
vОГТ t , иили ср t ,
  x, t  
Волны, зарегистрированные на реальных записях, не являются идеально регулярными
в силу отличия реальной среды от модели. Отклонения от идеальной регулярности выражаются в поканальном разбросе амплитуд и фаз, в случайных или систематических изменениях
формы записи вдоль оси синфазности.
Используемые для обоснования уравнений многоканальных фильтров модели входной сейсмической трассы различаются между собой главным образом полнотой учета вероятных отклонений от идеальной регулярности основных компонент записи.
При обосновании уравнений многоканальной фильтрации будем рассматривать как
сами волновые поля в плоскости ( x, t ) , так и их спектральные представления в плоскости
v, w . Из теории Фурье мы знаем, что преобразование Фурье разлагает волновое поле ux, t 
на совокупность плоских монохроматических составляющих U nw, s ,v e
 v
iw x 
 w
, каждая из кото-
рых распространяется в направлении оси x со скоростью vk  w / v . Следовательно, двухмерный спектр плоской волны f x t   f t   x  сосредоточен на линии v  w / v k , вне которой он обращается в нуль, если волна бесконечно протяженная; в плоскости v k  const , пер-
пендикулярной к плоскости w, v  , сечение двухмерного спектра совпадает с одномерным
спектром F w t  представления f t  этой волны. В силу этих особенностей Фурье-образ
поля ux, t  плоских волн имеет обычно более простой вид, чем само поле ux, t  .
15.1 Режекторная фильтрация скоростей, веерная фильтрация. Эти виды фильтрации объединяет предположение о регулярности помех, засоряющих сейсмическую запись. Простейшим видам перечисленных фильтров отвечают модели, в которые входят идеально регулярные полезные волны f t   k t  и один или несколько пакетов волн-помех
m j t   k , j t  с номерами j  1,..., J :




u k t   f t   k t    m j t   k , j t  ,
(5)
j
где  k , j t   годографы волн-помех.
Режекторный скоростной фильтр, ориентированный на подавление j  го пакета волнпомех, реализуется путем суммирования записи u k t  вдоль годографа  k , j t  с весовыми коэффициентами, сумма которых равна 0:
1
(6)
wt    q k u k t   k , j t  ,
k qk  0 .
k k
Вводя сдвиги   x / vk , vk  vk в найденную весовую функцию q k t  , можно настроить режекторный скоростной фильтр на подавление любой скорости vk . На плоскости  , w
область гашения имеет вид вертикальной полосы , а обобщенная характеристика H w
определяется соотношением (рисунок 1)
w1  w  wн ,
1,
H w   
(7)
   1.
0,


Рисунок 1. – Область гашения (заштрихована) режекторного скоростного фильтра, построенного для
подавления волн с v k  
У рассмотренного скоростного фильтра недостаточно хорошая амплитудно-частотная
характеристика: если фильтр настроен на пропускание волны со скоростью vk  c , а реальные полезные волны имеют кажущиеся скорости в диапазоне c  c  vk  c  c , то высокочастотные компоненты спектра сигналов с vk , близкой к границам этого диапазона, будут
подавляться (рисунок 2).
Этих недостатков будет лишен фильтр, область пропускания которого на плоскости
 , w соответствует следующему условию

1,

Y w,   
0,


w
w
 
c
c
w
 c.
c
,
(8)
Рисунок 2. – Подавление полезных волн скоростным фильтром режекторного типа
Фильтр с такой спектральной характеристикой, имеющий в плоскости  , w облик
веера, называется веерным.
Вычитание регулярных волн также является разновидностью фильтрации скоростей.
Существует множество вариантов такого вычитания.
15.2 Д-преобразование. Это преобразование используют при выполнении такой процедуры обработки геофизической информации, которая называется миграцией. Миграцию
выполняют в том случае, когда временной разрез дает искаженной представление о геометрии границ раздела. Это связано с двумя причинами. На временно разрезе регистрируется
волна, распространяющаяся по нормальному лучу. В условиях негоризонтального залегания
границ раздела и неоднородной покрывающей толщи время по нормальному лучу существенно отличается от вертикального. Поэтому некоррелированные на временном разрезе
линии t 0  x  из-за неучета сейсмического сноса не характеризует глубинного строения Земли.
Кроме того, из данной точки профиля можно провести несколько нормальных лучей к криволинейной границе раздела. В реальных условиях это приводит к формированию на временном разрезе петель, порождающих сложную интерференционную картину. Указанные
недостатки можно удалить с помощью процедуры, называемой миграцией.
Миграция на основе Д-преобразования исследуемый разрез представляется в виде совокупности центров дифракции, распределенных вдоль границы раздела. Следуя принципу
Гюйгенса, сигнал на трассе сейсмограммы можно представить как суперпозицию колебаний
дифрагированных волн, возбужденных в точках, совпадающих с изохроной отражения
t 0  const , соответствующей данному пикету взрыва и данной точке приема. Обозначая абсциссы центра дифракции и трассы временного разреза соответственно xl и xi , скорость в
однородной покрывающей толще v , а дифрагированную волну D , получим
 2 4 xl  xi 2

F  x 0 , xi    D  t 0 
,
x
.
l
v2
l


Для построения данной трассы результирующего временного разреза со сносом необходимо просуммировать отсчетные амплитуды сейсмограмм ОГТ (ОПП) либо временного
разреза вдоль годографов дифрагированных волн, рассчитанных для центров дифракции,
лежащих на данной результирующей трассе.
Существуют и другие способы выполнения миграционного преобразования.
К многоканальным фильтрам относятся также и алгоритмы суммирования по ОГТ,
горизонтальное направленное суммирование
Основная литература 1 осн [216-240], 2 осн [110-112, 116-120, 122-126]
Дополнительная литература 2 доп [146-157, 245-273]
Контрольные вопросы
1. Что такое многоканальная фильтрация?
2. Какие алгоритмы относятся к многоканальным фильтрам?
3. Что такое скоростной режекторный фильтр?
4. Что такое веерная фильтрация?
5. Почему используют Д-преобразование?
6. Как производят суммирование по ОГТ?
7. Расскажите о всех многоканальных фильтрах, объясните на примерах их использование.
2.3 Планы лабораторных занятий
Лабораторная работа №1. Приближенное представление определенных интегралов в дискретной форме
Задание
Ознакомившись с различными методами вычисления определенных интегралов, понять способы вычисления различных интегральных преобразований, которые используются
при обработке геофизической информации.
Методические рекомендации
Получаемая с помощью аналоговой аппаратуры запись каждой сейсмической трассы
представляет собой функцию времени и пространства или функцию непрерывного времени
вида g (t ) . Такой сигнал называется аналоговым. ЭВМ такое представление сигналов не понимает, поэтому каждую сейсмическую трассу представляют в виде набора цифр двоичного
кода: 0 или 1. Двоичный код при оцифровке сейсмического сигнала используется потому,
что им удобно моделировать электрические цепи, т.е. если электрический сигнал есть, то записывается 1, нет – 0. Такую процедуру называют дискретизацией сигнала. Дискретизация
реализуется в 2 этапа: дискретизации по времени и дискретизации по уровню. Эта процедура является начальной и важной, так как правильно сделанная дискретизация сигнала исключает появление дополнительных помех и неточностей. В дальнейшем дискретный сигнал
подвергается различным преобразованиям, которые имеют интегральный вид, а ЭВМ должна посчитать их в дискретном виде. Существуют специальные алгоритмы, которые направлены на решение данной задачи. Данная лабораторная работа знакомит со следующими методами дискретного вычисления определенных интегралов: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
1. Формула прямоугольников. Пусть на отрезке a, b или 0, Nt задана непрерывb
ная функция f  g (t ) . Требуется представить определенный интеграл
 g (t )dt
в дискретной
a
форме.
Разделим отрезок a, b точками a  0, t ,2t....., Nt на n равных частей длиной t 
ba
n
(рисунок 1.1)
Значения функции g (t ) в точках 0, ∆t, 2∆t,…N∆t соответственно g (0) , g (t ) ,
….. g ( Nt ) .
Из рисунка видно, что любую функцию можно представить в виде набора прямоугольников и
площадь всей функции (а смысл интегрирования – это нахождение площади) можно найти,
если вычислить площадь каждого прямоугольника в отдельности, а затем все площади сложить, т.е.
b
 g (t )dt 
a
ba
g (0)  g (t )  g (2t )  ....  g ( Nt )  t g (0)  g (t )  ...  g ( Nt ) . (1.1)
n
Рисунок 1.1 – Разделение заданной функции на прямоугольники
Это и есть формула прямоугольников. Если функция g (t ) положительная и возрастающая функция, то формула (1.1) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из
«входящих» прямоугольников. Если нет, то площадь ступенчатой фигуры, состоящей из
«выходящих» прямоугольников.
2. Формула трапеций. Часто при цифровой обработке сейсмических сигналов для
представления определенных интегралов в дискретной форме используется формула трапеций. В соответствии с этой формулой площадь под заданной кривой заменяется суммой
площадей трапеций, построенных путем разбиения интервала a, b на n равных промежутков, на концах которых проведены вертикальные линии до пересечения с заданной кривой
(рисунок 1.2).
В соответствии с такой постановкой
b
1
1
1
a g (t )dt  2 ( g (0)  g (t ))t  2 ( g (t )  g (2t ))t  ..... 2 ( g (( N  1)t )  g ( Nt ))t или
b
 g (t )dt 
a
1 N 1
t
( g (0)  g (t )) .

N n 1
2
(1.2)
Это и есть формула трапеций.
Рисунок 1.2 – Разбиение заданной функции на трапеции
3. Формула Симпсона. Разделим отрезок a, b на четное число равных частей
n  2m (рисунок 1.3)
Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым 2 отрезкам 0, t  и
t,2t  и ограниченной заданной кривой f  g (t ) , заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через точки
M (0, g (0)), M 1 (t, g (t )), M 2 (2t, g (2t )) и имеющей ось, параллельную оси g (t ) . Такую
криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией. Уравнение параболы с
осью, параллельной оси g (t ) , имеет вид:
g (t )  At 2  Bt  C , где А, В, С – коэффициенты, которые однозначно определяются из условия, что парабола проходит через заданные три точки. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.
Рисунок 1.3 – Построение парабол по методу Симпсона
t
 g (t )dt  3 g (0)  4 g (t )  2 g (2t )  4 g (3t )  ...  2 g ((2M  2)t  4 g (2M  1)t  g (2Mt )
b
a

t  g (0)  g (2Mt )  2( g (2t )  g (4t )  ...

.
3   g (( 2M  2)t )  4( g (t )  g (3t )  ...  g (( 2M  1)t 
a
Это и есть формула Симпсона.
b
или  g (t )dt 
Номер варианта
Вид функции
Номер варианта
(1.3)
Таблица 1.1
Вид функции
2
1
dx
y
x
1
2
y   x 2 dx
1
12
y   sin 2 xdx
0
1
1.5
3
dx
0.5 x
0.5

13
y   x 2 dx
14
y
5
 cos 2 xdx
y
 0.5
1
1
4
y   sin 2 xdx
0
0
1
0.5
y   e x dx
15
 cos
y
16
y   sin 2 2 xdx
0
1
0.5
1
7
y   sin xdx
17
y
 cos
0.5
y
 cos xdx
1.1
18
y
 0.5
y   x dx
3
1.1
19
y
0.5
1
y   x3dx
0
dx
20
y
2
x
dx
2
2x
 sin
10.1
1
10
2 xdx
 sin
10.1
2
9
2
 0.5
0
8
xdx
1
2
y   e x dx
2
 0.5
0
6
dx
 2x
1
2
2
y
11
dx
2
 0.5 cos x

Содержание отчета
1 Описание вычисления приближенного значения определенного интеграла в дискретной форме.
2 Методика расчета
3 Вычисление интеграла
4 Выводы, графики, приложения.
Основная литература 1 осн [9-13]
Дополнительная литература 2 доп [20-24]
Контрольные вопросы
1. Какие ошибки возникают при дискретизации по времени?
2. Объясните смысл дискретизации по уровню и методику выполнения этой процедуры в настоящее время на современных сейсмических станциях? Приведите примеры использования других аппаратных средств дискретизации по уровню.
3. Как исключить появление ошибок при дискретизации по уровню?
4. Почему имеется разница в числовых значениях интеграла, вычисленного разными
методами?
5. Объясните теорему Котельникова.
Лабораторная работа №2. Разложение функции в ряд Фурье
Цель работы: Ознакомление студентов с одним из наиболее важных преобразований,
используемых в обработке геофизических данных. На основе выполнения этой работы студент может наглядно убедиться в улучшении качества функции, раскладываемой в ряд
Фурье.
Задание
1 Построить график функции (таблица 2.1) в масштабе в 1 см-0.5 единиц
2 Просчитать коэффициенты Фурье с помощью формул (2.2-2.4), для заданного количества
n
членов n1 и n2 . Если коэффициенты не равны 0, то можно в расчетах использовать по 1 и
2
n2
членов.
2
3 Разложить коэффициенты Фурье с помощью формулы (2.1)
4 Построить график функции с использованием полученного ряда для n1 и n2 членов. Вид
временной функции, интервалы ее изменений во времени и числа n1 и n2 заданы в таблице
2.1
Методические рекомендации
Любую временную функцию практически любой формы, если эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, можно представить в виде ряда Фурье:
N
a
g (t )  0   (an cos nt  bn sin nt ) ,
(2.1)
2 n 1
где a0 , an , bn - коэффициенты Фурье.
Основное свойство ряда Фурье заключается в том, что любую периодическую функцию можно представить в виде набора гармоник с различными частотами, которые будут
N
кратны основной частоте f n  . Чем больше будет количество гармоник, тем лучше будет
T
аппроксимация временной функции.
Процесс вычисления коэффициентов Фурье называется гармоническим анализом.
Эти коэффициенты можно вычислить, используя следующие формулы:
a0 
1

N
 g t dt ,
n 1
(2.2)
an 
bn 
1

1

N
 g t cos ntdt ,
(2.3)
n 1
N
 g t sin ntdt ,
(2.4)
n 1
Содержание отчета
1 Описание теории разложения функции в ряд Фурье.
2.3.2 Методика разложения в ряд Фурье.
2.3.3 Вычисление Фурье коэффициентов, разложение заданной функции в ряд,
вычисление по полученной формуле графика разложенной в ряд функции.
2.3.4 Графики, схемы, приложения.
Основная литература 1 осн [21-29], 2 осн [58-61]
Дополнительная литература 3 доп [19-26]
Контрольные вопросы
1 Любую ли функцию можно разложить в ряд Фурье?
2 Что такое гармонический анализ?
3 Объяснить смысл разложения в ряд Фурье.
4 Сделать практический вывод по работе.
Таблица 2.1
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Вид функции
 1

g (t )  0
1

 1

g (t )  0
2

 1

g (t )  0
1

 1

g (t )  1
3

 t
g (t )  
t
 2t
g (t )  
2t
 t  1
g (t )  
t  1
2t  1
g (t )  
 2t  1
1  2t
g (t )  
2
1  t
n1
n2
2
8
2
6
4
6
2
8
2
8
4
6
2
6
2
8
2
8
  t  0
0  t 1
1 t 
  t  0
0t2
2t 
   t  1
1  t  1
1 t 
  t  0
0  t 1
1 t 
  t  0
0t 
  t  0
0t 
  t  0
0t 
  t  0
0t 
  t  0
0t 
10
11
12
13
t 2
g (t )   2
 t
 1

g (t )  0
1

 1

g (t )  0
1

 1

g (t )  0
1

  t  0
0t 
2
6
2
6
2
8
2
8
2
6
  t  0
0  t 1
1 t 
  t  0
0  t 1
1 t 
  t  0
0  t 1
1 t 
  t  0
 1

g (t )  0
0  t 1
14
1
1 t 

Примечание: при построении графиков взять шаг t  0.5
Лабораторная работа № 3. Вычисление преобразования Фурье
Цель работы: Вычисление основного линейного преобразования, наиболее часто используемого при обработке геофизических данных.
Задание
1. Выбрать временную функцию в соответствии с вариантом (таблица 2.1).
2. Построить график заданной функции.
3. Вычислить комплексный спектр G (w) .
4. Вычислить амплитудный и фазовый спектры, сделать выводы.
Методические рекомендации
В том случае, когда мы представляем сейсмическую информацию как изменение во
времени амплитуд выходных сигналов, полученных с сейсмоприемников (измеренного в
момент взрыва), то мы ведем рассмотрение сейсмического сигнала во временной области,
т.е. независимой переменной является время. Однако очень часто бывает необходимым рассматривать сейсмическую волну как результат наложения множества синусоидальных волн,
различающихся по частоте, амплитуде и фазе. Соответствующие амплитуды и фазы являются функциями частоты, значит, анализ этих сигналов проводится в частотной области. Функцию, зависящую от частоты, называют спектром или частотной характеристикой.
Основу обработки сейсмических сигналов составляют три вида математических операций, которые являются линейными: преобразование Фурье, свертка, корреляционные
функции.
Для того, чтобы пересчитать функцию, зависящую от времени (сейсмическую трассу)
в функцию, зависящую от частоты, используют преобразование Фурье. Таким образом, преобразование Фурье используется для трансформации временной функции в соответствующий спектр и наоборот.
Оказывается, что любую временную функцию, которая удовлетворяет условиям Дирихле, а именно:
1) Функция g (t ) должна быть периодической, т.е. должно выполняться следующее
условие g (t )  g (T  t ) , где Т – период;
2) Функция g (t ) должна иметь конечное число скачков и разрывов;
3) Функция g (t ) должна иметь конечное число максимумов и минимумов;
4) Интеграл функции g (t ) должен сходиться, т.е. иметь решение

 g (t )dt  Q ,
(3.1)

где Q - любое число, можно разложить на простые гармоники с различными частотами. В
этом и заключается смысл преобразование Фурье, т.е. это математическое выражение позволяет разложить сложный волновой пакет на простые составляющие с различным частотным
составом.
Если имеется временная функция g (t ) , то в частотную область ее можно перевести в
соответствии со следующим интегральным линейным преобразованием

G ( w) 
 g (t )e
 iwt
dt ,
(3.2)

где G (w)  комплексный спектр временной функции и наоборот, с помощью спектра всегда
можно восстановить временную функцию

1
g (t ) 
G ( w)eiwt dw .
(3.3)
2 
Формулы (3.2) и (3.3) описывают соответственно прямое и обратное преобразования
Фурье и про эти 2 функции говорят, что они образуют пару преобразований Фурье,
т.е. g (t )  G ( w) .
Спектр функции можно представить и через другие параметры. Например,
(3.4)
G(w)  R(w)  iX (w)  G(w) t i ( w) ,

где R( w) 
 g (t ) cos( wt )dt - действительная часть комплексного спектра
(3.5)


X ( w) 
 g (t ) sin( wt)dt
- мнимая часть комплексного спектра
(3.6)

(3.7)
G(w)  R 2 (w)  X 2 (w) - амплитудный спектр
X ( w)
 ( w)  arctg
фазовый спектр
(3.8)
R ( w)
Формулы (3.1)-(3.8) применимы к любым видам функций: вещественным, мнимым, четным,
нечетным, комбинированным, лишь бы выполнялись условия Дирихле.
Содержание отчета
1 Описание физического смысла спектров.
2 Методика расчета
3 Вычисление спектров.
4 Выводы, графики, приложения.
Основная литература 1 осн [21-29], 2 осн [58-61]
Дополнительная литература 3 доп [19-26]
Контрольные вопросы
1 Дать определение всех спектров и объяснить физических смысл каждого.
2 Как в геофизике используется преобразование Фурье?
3 Почему в частотной области производить математические преобразования с сейсмическими сигналами легче, чем во временной области?
4 Докажите с помощью формул, что процедура разложения в ряд Фурье и преобразование Фурье имеют общий математический смысл.
Лабораторная работа №4. Вычисление дискретной свертки
Цель работы: ознакомиться с методикой вычисления основных функций, используемых в обработке геофизической информации.
Методические рекомендации
Основу обработки геофизической информации составляют три вида математических
операций: преобразование Фурье, свертка, корреляционные функции.
1. Свертка. Теория выделения сигналов развита в основном для линейных систем,
для которых справедлив принцип суперпозиции. Основываясь на этом принципе, в качестве
характеристик линейной системы удобно выбрать ее отклики на входные воздействия некоторых простейших форм. В этом случае вычисление функции отклика системы на входной
сигнал сложной формы можно свести к простой схеме:
а) разложение входного сигнала на составляющие выбранной формы, для которых отклик систем известен;
б) вычисление выходного сигнала как сумму откликов системы на все составляющие
входного сигнала.
Эта схема применяется при вычислении функции отклика линейной системы, основанном на разложении входного сигнала по единичным импульсам. Это приводит к интегралу свертки

y (t )  F (t )  G (t ) 
 F (t )G(t   )dt .
(4.1)

Это выражение описывает такие преобразования как фильтрация, сглаживание, интерполирование непрерывных функций. Дискретным аналогом свертки является выражение

yi  t  FiGi  r .
(4.2)
i  
Но такая свертка не реализуема, так как эта формула пригодна для бесконечных рядов. На практике количество членов в последовательности конечно. Если временной ряд содержит n  1 членов, то это значит, что все значения до и после рассматриваемого ряда равны 0
F  (0,0....F0 , F1, F2 ,....Fn ,0,0,....)
Пусть
временной
ряд
содержит
членов,
тогда
G
m 1
G  (0,0....G0 , G1 , G2 ,....Gn ,0,0,....) .
Пусть m  n , тогда
1 m
Yi 
(4.3)
 FiGl 1 ,
m  1 i 1
где 0  1  m  n .
Однако по этой формуле вычисления содержат слишком много операций, например,
1
F0G0  F1G1  F2G 2  .... .
Y0 
m 1
Для того, чтобы этого избежать на практике используется следующая формула
1 l
Yl 
(4.4)
 FiGl 1 , при l  m ,
m  1 i 0
n
1
Yl 
(4.5)
 FiGl 1 , при l  m ,
m  1 i l  m
1
F0G0 ,
m 1
1
F0G1  F1G0 ,
Y1 
m 1
1
F0G2  F1G1  F2G0 ,
Y2 
m 1
....................................................
1
Ym  n 
FnGm .
m 1
Y0 
Тогда
Из последних формул следует, что свертку можно рассматривать, как операцию взаимного сдвига двух временных рядов
Пример: пусть n  3, m  2
F
=
F0
F1
F2
G
=
G0
G1
G2
F3
Тогда
Y0 =
F1
F2
F3
 1 3G0 F0
F0
F1
F2
F3
 1 3 (G0 F1  F0G1 )
G1
G0
F0
G2
F1
G1
F2
G0
F3
F0
G2
G1
Y1 =
G2
Y2 =
G0
Y3 =
F0
F1
G2
F2
G1
F3
G0
Y4 =
F0
F1
F2
G2
F3
G1
F2
F3
G1
Y5 =
F0
F1
 1 3 (G0 F2  F1G1  F0G2 )
 1 3 (G2 F1  F2G1  F3G0 )
 1 3 (G2 F2  F3G1 )
G0
 1 3 F3G2
G0
Так рассчитывается свертка двух функций.
Содержание отчета
1. Описание физического смысла рассмотренных преобразований.
2. Методика расчета
3. Вычисление свертки и корреляционных функций.
4. Выводы, графики, приложения.
Основная литература 1 осн [29-33], 2 осн [61-73]
Дополнительная литература 3 доп [26-29]
Контрольные вопросы
1. Дать определение свертки, объяснить ее физический смысл и рассказать о том, как эта
функция используется при обработке геофизической информации.
2. Как в геофизике используется ФАК?
3. Как в геофизике используется ФВК?
4. Дайте определения корреляционных функций, расскажите об их свойствах.
Лабораторная работа № 5. Вычисление функции автокорреляции и функции
взаимной корреляции
Цель работы: ознакомиться с методикой вычисления основных функций, используемых в обработке геофизической информации.
Задание
1 Выберите в соответствии с вариантом временные ряды Fi с n  1 членами, Gi с m  1 членами и H i с n  1 членами (таблица 4.1).
2 Построить графики функций Fi , Gi , H i .
3 Рассчитать ФВК, как результат взаимного сдвига рядов Fi и H i , построить ее график и по
графику определить сдвиг между этими рядами в номерах отсчетов  7  l  7 .
4 Рассчитать ФАК, как результат взаимного сдвига ряда Fi , построить в номерах отсчетов
7  l  7 .
Методические рекомендации
В геофизике существуют два подхода к геофизическому сигналу:
а) сигнал детерминированный;
б) сигнал случайный.
Детерминированными сигналами называются сигналы, которые можно точно предсказать и форма которых может быть заранее известна. Однако на практике сигналы
настолько сложны, что предсказать их можно лишь только какими-либо осредненными характеристиками. Бывает так, что сколько бы раз мы не повторяли какой-либо геофизический
процесс, выходной сигнал никогда не повторяется, т.е. мы не можем заранее предугадать или
прогнозировать появление того или иного выходного сигнала. Такие сигналы называются
случайными. Нормальное поле, состоящее из случайных сигналов, обладает замечательной
особенностью – оно статистически полностью описывается корреляционными функциями,
что дает основание для описания случайных сигналов пользоваться корреляционной теорией. Существуют два вида корреляционных функций: функция автокорреляции (ФАК) и
функция взаимной корреляции (ФВК).
1. ФВК. В непрерывной форме ФВК вычисляется по интегральной формуле следующего вида:

Ф12 
 F (T ) H (T  t )dT .
(4.6)

Пусть вместо непрерывных функций заданы временные ряды
Fi  F0 , F1 , F2 ,....Fn 1 , Fn , всего n  1 членов;
H i  H 0 , H1 , H 2 ,...H n 1 , H n всего n  1 членов.
Пусть количество отсчетов выходной дискретной ФВК – 1, 2 , 3,….m.
В практических задачах m обычно составляет 10-15 % от n. Тогда дискретная ФВК имеет
вид:
n 1
1
Ф12 (t ) 
(4.7)
 Fi H i 1 .
n  i  1 i 0
Однако часто бывает знать необходимо значения ФВК при отрицательных временах.
В этом случае l должно принимать как положительные, так и отрицательные значения:
 L  l  L . Если l  0 , то формула принимает вид:
n 1
1
Ф12 (l ) 
(4.8)
 Fi H i 1 .
n  l  1 i 0
Распишем формулы если  2  l  2 .
1
Ф12 (2) 
( F2 H 0  F3 H1  F4 H 2  ...  Fn H n  2 );
n 1
1
( F1H 0  F2 H1  F3 H 2  ...  Fn H n 1 );
n
1
Ф12 (0) 
( F0 H 0  F1H1  F2 H 2  ...  Fn H n );
n 1
1
Ф12 (1)  ( F0 H1  F1H 2  F4 H 2  ...  Fn 1H n );
n
1
Ф12 (0) 
( F0 H 2  F1H 3  F2 H 4  ...  Fn  2 H n ).
n 1
Расчеты по этим формулам можно выполнить как операцию взаимного сдвига.
Пример: пусть заданы временные ряды
H i  H 0 , H1 , H 2 , H 3
Ф12 (1) 
Fi  F0 , F1, F2 , F3
n3
Требуется рассчитать ФВК при  2  l  2 . Тогда
Ф12 (2) =
F0
F1
F2
F3
H0
Ф12 (1) =
Ф12 (0) =
F0
F0
H0
Ф12 (1) =
H0
F1
H0
F1
H1
F0
H1
Ф12 (2) =
H0
H1
H1
F2
H1
F2
H2
H3
H3
 1 4( F0 H 0  F1H1  F2 H 2  F3 H 3 )
F3
H3
 1 3 ( F0 H1  F1H 2  F2 H 3 )
F3
F2
H3
F1
H3
H2
 1 3 ( F1H 0  F2 H1  F3 H 2 )
F3
H2
F1
H2
F0
H2
 1 2 ( F2 H 0  F3 H1 )
F2
F3
 1 2 ( F0 H 2  F1H 3 )
Результат совпадает с вычисленными по формулам.
2. ФАК. Вид дискретной функции автокорреляции аналогичен формулам для ФВК.
Если l  0 , то
1 n 1
Ф11 (l ) 
(4.9)
 Fi Fi l .
n  l i 0
Для ФАК справедливы следующие свойства: это функция симметричная, четная, т.е.
Ф11(l )  Ф11(l ) , имеет максимум при l  0 .
Содержание отчета
1 Описание физического смысла рассмотренных преобразований.
2 Методика расчета
3 Вычисление свертки и корреляционных функций.
4 Выводы, графики, приложения.
Основная литература 1 осн [40-54], 2 осн [73-81]
Дополнительная литература 3 доп [37-43]
Контрольные вопросы
1 Дать определение свертки, объяснить ее физический смысл и рассказать о том, как
эта функция используется при обработке геофизической информации.
2 Как в геофизике используется ФАК?
3 Как в геофизике используется ФВК?
4 Дайте определения корреляционных функций, расскажите об их свойствах.
Лабораторная работа № 6. Вычисление рекурсивного фильтра режекторного
типа
Цель работы: ознакомиться с алгоритмами расчета фильтров во временной области,
которые позволяют сократить выполнение математических операций в несколько раз.
Задание
1 Выберите в соответствии с вариантом подавляемую частоту и шаг дискретизации
2 Рассчитайте рекурсивный фильтр режекторного типа, состоящий из 5-ти элементов.
3 Выведите формулу для вычисления выходных отсчетов рекурсивного фильтра.
4 Постройте график входного сигнала.
5 Вычислите в соответствии с вычисленным рекурсивным фильтром отсчеты выходного сигнала, воспользовавшись входным сигналом x(t ) , который дан в таблице исходных
данных.
6 Постройте график выходной функции y (t )
Методические рекомендации
Рекурсивная фильтрация относится к классу одноканальных фильтров. Слово «рекурсия» означает, что при расчете последующих отсчетов применялись предшествующие значения. Рекурсивный фильтр состоит из двух каузальных фильтров, один из которых подключен
к электрической цепи обратно. Тогда можно рассматривать рекурсивную фильтрацию как
многоканальную. Получается, что входной сигнал проходит через первый фильтр, сигнал на
выходе первого фильтра a(t ) задерживается на один шаг дискретизации блоком задержки и
сворачивается со вторым фильтром b(t ) . Общий выходной сигнал, прошедший через два
фильтра, определится разностью 2-х выходных сигналов
(5.1)
y(t )  x(t )  a(t )  y1 (t )  b(t ) .
Запишем данное выражение в частотном виде
(5.2)
Y (w)  X (w) A(w)  eiwtY (w) B(w) .
В соответствии с теоремой о свертке, спектр выходного сигнала равен произведению
спектров фильтра и входного сигнала, т.е.
Y ( w)  X ( w)  H ( w) .
(5.3)
отсюда искомый рекурсивный фильтр определится как
Y ( w)
H ( w) 
.
(5.4)
X ( w)
Воспользуемся формулами (1.2) и (1.4)
X ( w) A( w)
A1 ( w)
Y ( w) 

.
(5.5)
 iwt
1  e B( w) 1  e  iwt B( w)
Можно записать полученную формулу в виде z  преобразования. Пусть
a( z)   an z n , bz   bn z n , e iwt  z , где n  0,1,2,3....N , тогда
a z
h( z ) 
1  zb z
a0  a1 z  a2 z 2  ...  an z n
.
(5.6)
n
1  b0 z  bz 2  ...  bn z n
n
Если разделить числитель на знаменатель в формуле (5.6), то получим z  преобразование. Таким образом, можно сделать вывод, что спектр рекурсивного фильтра есть z 
преобразование
(5.7)
hz    hn z n ,
n
n

где hn  временная характеристика рекурсивного фильтра. Ее расчет сводится к расчету 2-х
каузальных фильтров, a(t ) и b(t ) . Рассмотрим рекурсивный фильтр режекторного типа, целью которого является подавление какой-либо частоты w0 . Такой фильтр рассчитывается по
следующей формуле
a( z ) a0  a1 z  a2 z 2
.
(5.8)

b( z )
1  b0 z  b1 z 2
Как видим, рекурсивный фильтр режекторного типа состоит всего из 5 элементов, что
позволяет сократить количество математических операций в несколько раз, что сокращает в
свою очередь стоимость обработки. Для расчета фильтра h(z ) используют так называемый
метод «нулей» и «полюсов». «Нули» - это корни полинома, находящегося в числителе уравнения (5.8), «полюса» - корни полинома, стоящего в знаменателе. По формуле Эйлера известно, что
(5.9)
z  eiwt  cos wt  i sin wt  R( w  iX ( w) .
т.е. R ( w)  cos wt - действительная часть z, X ( w)  sin wt - мнимая часть z, значит, эту величину можно рассматривать на комплексной плоскости в виде окружности радиусом 1 (так
h( z ) 
как z  R 2 ( w)  X 2 ( w)  cos 2 wt  sin 2 wt  1 )).
Для того, чтобы такой фильтр подавлял частоту w0 , необходимо, чтобы «нули» располагались на комплексной окружности радиусом 1, т.е. должны быть равны 1, а «полюса»
должны располагаться вне этой окружности, т.е. должны быть больше 1 (рисунок 5.1).
Рисунок 5.1 – «Нули» и «полюса» на комплексной плоскости
Амплитудно-частотная характеристика рекурсивного фильтра режекторного типа
определяется следующей формулой:

( z  z0 )( z  z0 )
,
(5.10)
A( w) 

( z  z p )( z  z p )

где z0  координата точки z0 - «ноль»; z0 - комплексно-сопряженная координата точки z0 ;
zp -

координата точки z p - «полюс»; z p - комплексно-сопряженная координата точки
z p (рисунок 5.1).
Полюс выбирают для того, чтобы амплитудно-частотная характеристика была остронаправленной, т.е. подавляла только нужную нам частоту, хорошо пропуская соседние частоты. Удобнее всего расположить полюса на продолжении лучей, соединяющих начало координат с нулями фильтра, например, на расстоянии 1,02. Для того, чтобы определить координату точки z0 , которая покажет амплитудно-частотную характеристику режекторного
фильтра, подавляющего некоторую частоту w0 , достаточно определить угол  , который вычисляется по следующей формуле
180
 
w0 t  2 ,
(5.11)

где w0 - частота, которую нужно подавить, t - шаг дискретизации.
В соответствии с формулой (5.8) выходной сигнал, полученный на выходе рекурсивного
фильтра можно получить
a( z )
или y ( z )b( z )  x( z )a( z ) .
(5.12)
b( z )
Записав это уравнение во временном представлении, получим
y (t )  b(t )  x(t )  a(t ) .
(5.13)
На основании этой формулы можно вывести общую формулу для расчета отсчетов выходного сигнала рекурсивного фильтра.
Содержание отчета
1. Описание физического смысла рассмотренных преобразований.
2. Методика расчета
3. Вычисление фильтра и выходного сигнала.
4. Выводы, графики, приложения.
Основная литература 1 осн [184-186],
Дополнительная литература 2 доп [190-193]
Контрольные вопросы
1. Что такое рекурсивная фильтрация, дать определение и рассказать об области использования этого фильтра.
2. Рассказать о методике расчета фильтра и выводе общей формулы для вычисления
выходного сигнала рекурсивного фильтра.
y ( z )  x ( z ) h( z )  x ( z )
Таблица 5.1
Номер
варианта
Подавляемая
частота, Гц
Шаг дискретизации, мс
0
20
2
1
30
4
2
40
6
3
50
4
4
60
2
5
55
4
6
45
6
7
35
4
8
25
2
9
65
4
Последовательность входного сигнала x(t )
3,2,5,0,7,2,6,0,4,5
5,2,4,6,0,7,3,2,4,0
5,4,0,6,2,7,0,5,2,3
0,4,2,3,7,0,6,4,0,4,
2,4,5,7,0,2,3,8,4,5
3,2,5,0,7,2,6,0,4,5
5,2,4,6,0,7,3,2,4,0
5,4,0,6,2,7,0,5,2,3
0,4,2,3,7,0,6,4,0,4,
2,4,5,7,0,2,3,8,4,5
Лабораторная работа №7. Вычисление обратного фильтра с помощью рекурсии
Левинсона
Цель работы: ознакомление с алгоритмом, с помощью которого на практике решается уравнение Колмогорова-Винера – математическая реализация обратных фильтров.
Задание
1. Пользуясь последней системой уравнений, выведите общую формулу для расчета
временной последовательности обратного фильтра с помощью алгоритма Левинсона.
2. По своей формуле рассчитайте временную характеристику обратного фильтра.
3. Используя входные сигналы предыдущей работы, проверьте работу рассчитанного
вами обратного фильтра, т.е. вычислите выходной сигнал обратного фильтра.
4. Постройте график выходного сигнала.
Методические рекомендации
Как известно, обратные фильтры бывают 4-х видов, и все они математически реализуются с помощью уравнения Колмогорова-Винера. Рассмотрим корректирующий или формирующий фильтр, формула которого является наиболее общей для всех обратных фильтров

 h( )Ф
xx
(   )d  Фчн ( ) ,
(7.1)

где h( ) - корректирующий фильтр
Фчч (   ) - функция автокорреляции полного входного процесса
Фчн ( ) - функция взаимной корреляции входной и выходной функции.
Пусть  и  изменяются от 0 до T . Для упрощения заменим Фчч (   ) = b ,
Фчн ( )  r . Тогда формулу (3.1) можно записать в виде системы уравнений
h0b0  h1b1  h2b2  ...  hT bT  r0 ,
h0b1  h1b0  h2b1  ...  hT bT 1  r1 ,
h0b 2  h1b1  h2b0  ...  hT bT  2  r2 ,
(7.2)
.......................................................,
h0bT  h1bT 1  h2bT  2  ...  hT b0  rT .
или в виде матрицы
r0
h0
b1 b2 …. bT
b1 b0 b1 …. bT 1
h1
r1
r2
b 2 b1 b0 …. bT  2
h2
………………….
..
..
bT bT 1 bT  2 … b0
rT
hT
Необходимо отметить, что основным свойством функции автокорреляции является
четность, поэтому отрицательные значения в матрице можно не учитывать. Если записать
матрицу, исключив знак минус, то получим матрицу Теплица
r0
b0
h0
b1 b2 …. bT
b1 b0 b1 …. bT 1
h1
r1
r2
b2 b1 b0 …. bT  2
h2
………………….
..
..
rT
bT bT 1 bT  2 … b0
hT
Обозначим первую, вторую и третью матрицы соответственно B , H , R . Тогда
R  B  H . Алгоритм Левинсона дает возможность рассчитать временную последовательность фильтра
R
H   R  B 1 .
(7.3)
B
На практике поставленную задачу решают следующим образом:
r
1) Считают, что все элементы матрицы, кроме первого равны 0. Тогда h0  0 .
b0
2) Не беря во внимание полученное выражение, считают, что не равны 0 первые два
элемента матрицы. Тогда
h0b0  h1b1  r0 ,
Решая эту систему уравнений, получают выражение для вычисле
h0b1  h1b0  r1
b0
ния h1 и уточняют h0 . Для вычисления последующих отсчетов фильтра увеличивают количество элементов, не равных 0.
Содержание отчета
1. Описание физического смысла рассмотренных преобразований.
2. Методика расчета
3. Вычисление фильтра и выходного сигнала.
4. Выводы, графики, приложения.
Основная литература 1 осн [261-220],
Дополнительная литература 2 доп [199-203]
Контрольные вопросы
1. Что такое обратная фильтрация, дать определение и рассказать об области использования этого фильтра.
2. Рассказать о методике расчета фильтра и выводе общей формулы для вычисления
выходного сигнала обратного фильтра.
3. Представьте общую схему работы обратной фильтрации с прогнозированием.
4. В виде схемы объясните работу всех видов обратной фильтрации
№ недели
2.4 Планы занятий в рамках самостоятельной работы студентов под руководством преподавателя (СРСП)
Задание
Форма
проведения
1
2
3
1
Матричная форма представления геофизических
записей
тренинг
2
Дискретные преобразования Фурье
тренинг
3
Модель одиночной трассы временной функции.
тренинг
4
Модель многотрассовых
записей.
тренинг
5
Теорема о взаимной корреляции
тренинг
6
Теоремы о преобразовании Лапласа
тренинг
7
Связь выхода и входа для
случайных функций
тренинг
РекомендуеМетодические рекомендации
мая
литература
4
5
Необходимо разобраться в том, каким обра- 1 осн.
зом сейсмические сигналы представляются в 14  19
виде матриц
Так как в процессе обработки приходится
работать только с дискретными последова- 3 доп.
тельностями, то все преобразования должны
20  26
быть дискретными. Необходимо уметь переходить от непрерывных выражений к дискретным и знать все особенности.
Необходимо разобраться в построении мо- 1 осн.
дели трассы. Уметь объяснить все компо- 58  64
ненты сейсмической трассы в выражении.
Необходимо разобраться в построении мо- 1 осн.
дели трассы. Уметь объяснить все компо- [69  71]
ненты сейсмической трассы в выражении.
Вывод этой теоремы необходимо знать для
того, чтобы показать тесную связь этой
функции с процедурой сворачивания. В ре- 2осн.
зультате вывода показывается, что ФВК [314можно рассматривать как свертку двух 316]
функций, одна из которых обращена во времени.
Уметь выводить все полезные теоремы, которым подчиняется это преобразование 2осн.
(теорема о сдвиге, теоремы об изменении [324масштаба, теоремы об интегрировании, тео- 326]
ремы о дифференцировании т. д.)
Необходимо знать доказательства важных 2осн.
соотношений между случайным сигналом, [330поданным на линейную систему, и получае- 332]
Применение z - преобразований к цифровым системам
тренинг
9
Кепстральный анализ
тренинг
10
Полосовые и режекторные фильтры
тренинг
11
Автоадаптивная деконволюция
тренинг
12
Конструирование
ных фильтров
веер-
тренинг
13
Миграция на основе РНП
- преобразования
тренинг
14
Специальные
приемы
оценки спектров мощности
тренинг
15
Оптимальные
многоканальные фильтры
тренинг
8
мым выходным сигналом.
Необходимо сделать упор на дискретные
сигналы и показать, что z  преобразование
полезны при цифровой обработке, что их
можно достаточно просто записать и оперировать с ними, как с обычными полиномами.
Необходимо доказать, что такую область в
обработке сигналов применяют для упрощения математических преобразований.
Необходимо уметь выбирать модели для таких фильтров, их целевые критерии, уметь
математически задавать параметры таких
фильтров.
Необходимо хорошо разобраться в способе,
который направлен на автоадаптацию к изменениям сигнала st  во времени. Этот
способ основывается на использовании
функции взаимной корреляции прогнозированной и наблюденной записи. Необходимо
хорошо понимать эти вопросы
Остановиться на математическом аппарате
веерного фильтра, знать физические основы
конструирования таких фильтров и способы
расчета весовых функций веерного фильтра.
Хорошо разобраться в математическом аппарате
миграции
на
основе
РНПпреобразования, знать физические основы
РНП, миграции.
Знать что такое спектр мощности, остановиться на использовании этой величины в
обработке сигналов, рассмотреть различные
методы использования спектра мощности
для геологической интерпретации материалов.
Необходимо остановиться на то, в каких
случаях используются оптимальные многоканальные фильтры, знать различные способы реализации на практике таких фильтров.
2 осн.
[339340]
2 осн.
[349351]
2 доп.
[193203]
2 доп.
[230233]
2 доп.
[245262]
2 доп.
[157162]
2 доп.
[239245]
2 доп.
[262273]
№
недели
2.5 Планы занятий в рамках самостоятельной работы студентов (СРС)
1
1
2
Задание
2
Методические рекомендации
3
Векторные представления Уметь объяснить различные способы представлесейсмических сигналов.
ния геофизических сигналов, в частности, вектор-
ное представление. Знать, почему в некоторых случаях бывает удобно переходить к таким представлениям сигналов.
Матричное представление Знать, почему в некоторых случаях бывает удобно
процессов обработки.
переходить к таким представлениям сигналов и хо-
Рекомендуемая литература
4
1 осн
[13-14]
2 осн
[269-294]
1 осн
[19-21]
3
Статистические особенности модели сейсмограмм
4
Вариант модели, основанной на принципе Гюйгенса.
5
Особенности дискретных
преобразований Фурье.
6
Теоремы о преобразованиях Фурье
7
8
9
10
11
12
13
14
15
рошо проработать математический аппарат матричного представления процессов обработки
Из величин и параметров, входящих в выражения
для моделей среды, нас обычно интересуют статистические свойства амплитуд и моментов вступления волн на отдельной трасе, особенности формы
импульсов, формы годографов, статических поправок. Уметь строить их модели.
Знать принцип Гюйгенса, уметь строить модели
среды с его использованием, знать математическое
описание всех компонент, входящих в такую модель.
Необходимо знать все особенности дискретных
преобразований Фурье, так как без этого не будет
понимания особенностей всех процедур обработки.
Процедуры обработки базируются на этих теоремах. Поэтому необходимо знать все семь теорем и
уметь их выводить.
Многомерная свертка
Реальные процессы обычно бывают многомерными, поэтому необходимо знать математический
аппарат многомерной свертки.
Линейные системы. ПоВсе линейные преобразования реализуются линейследовательные и паралными системами, которые в свою очередь имеют
лельные линейные систе- свои особенности. Необходимо остановиться на
мы
этих особенностях и знать их.
Теорема отсчетов КоОсновной процедурой обработки является дискретельникова.
тизация сигналов. Теорема отсчетов Котельникова
дает возможность выбрать правильный шаг дискретизации и тем самым уменьшить появление неизбежных помех
Обратный фильтр с
Остановиться на математическом аппарате, уметь
ошибкой предсказания
объяснить последовательность процедур, выполняемых при обратной фильтрации с предсказанием.
Суммирование по методу Остановиться на математическом аппарате, уметь
общей глубинной точки
объяснить последовательность процедур, выполняемых при суммировании по ОГТ.
Гомоморфная фильтрация Знать физические основы для гомоморфных фильтров и их математический аппарат, уметь строить
модели.
Деконволюция с помоЗнать для чего используются фильтры Кальмана,
щью фильтра Кальмана
математический аппарат их реализации, уметь объяснить особенности этих фильтров.
Миграция на основе диОстановиться на математическом аппарате, уметь
фракционного преобразо- объяснить последовательность процедур, выполнявания
емых при миграции на основе Д-преобразования.
Миграция на основе решения волнового уравнения
2 осн
[275-281]
1 осн
[71-83]
1 осн
[64-69]
1 осн
[21-33]
3 доп.
[20-26]
2 осн
[306-311]
2 осн
[316-317]
2 осн
[326-330]
2 осн.
[332-334]
1 осн
[24-25]
1 осн.
[201-206]
2 осн
[110-112]
2 доп
[225-220]
2 доп
[233-239]
1 осн
[253-255]
2 осн
[122-126]
Такие фильтры были разработаны для продолжения
2 доп
в нижнее полупространство поля восходящих волн. [162--166]
Знать достоинства и недостатки этого вида миграции.
2.6 Тематика письменных работ по курсу
Тематика рефератов
1. Дискретизация и квантование сигналов
2. Преобразование Уолша
3. Быстрое преобразование Фурье
4. Дискретная свертка
5. Классификация фильтров
6. Основные процедуры обработки
7. Цифровая автоматическая регулировка амплитуд сейсмической записи
8. Расчет, ввод и коррекция кинематических поправок
9. Расчет и коррекция статических поправок
10. Искажение сейсмических сигналов при введении кинематических поправок
Рекомендуемая литература
1. Е.А.Козлов, Г.Н. Гогоненков и др. Цифровая обработка сейсмических данных. М.:
Недра, 1973.
2 Шерифф Р., Гелдарт Л. Сейсморазведка: в 2-х томах. Т.2/ Пер. с англ. М.: Мир, 1987.
3 Гурвич И.И. Сейсмическая разведка. М.: Недра, 1981.
4 М.К.Полшков, Е.А.Козлов, В.И.Мешбей и др. Системы регистрации и обработки
данных сейсморазведки. – М.: Недра, 1984.
5 Л. Хаттон, М.Уэрдингтон, Дж.Мейкин. Обработка сейсмических данных. – М.: Мир,
1989.
2.7 Тестовые задания для самоконтроля с указанием ключей правильных
ответов
1. Что изучает курс ТООГИ?
А) теорию распространения сейсмических волн в среде;
Б) историю возникновения Земли;
В) теорию напряжений и деформаций, возникающих в среде;
Г) математический аппарат цифровой регистрации и обработки геофизических сигналов;
Д) физические основы геофизических методов.
2. Что такое линеные преобразования?
А) преобразования, которые отвечают пяти свойствам (пропорциональности, аддитивности,
однородности, стационарности, суперпозиции);
Б) преобразования, которые намного изменяют амплитуду сигнала;
В) преобразования, которые отвечают свойствам пропорциональности и аддитивности;
Г) преобразования, которые отвечают свойствам однородности, стационарности и
суперпозиции;
Д) которые не изменяют фазу сигнала.
3. Что такое линейная система?
А) система, которые отвечает пяти свойствам (пропорциональности, аддитивности,
однородности, стационарности, суперпозиции);
Б) система, в которой при преобразовании амплитуда входного сигнала прямо
пропорциональна амплитуде выходного сигнала;
В) система, которая отвечает свойствам пропорциональности и аддитивности;
Г) система, которая одинаковым образом преобразует сигналы, различающиеся только
временем прихода;
Д) система, которая изменяет свое состояние при наличии на нее внешних воздействий.
4. Что такое динамическая система?
А) система, которые отвечает пяти свойствам (пропорциональности, аддитивности,
однородности, стационарности, суперпозиции);
Б) система, в которой при преобразовании амплитуда входного сигнала прямо
пропорциональна амплитуде выходного сигнала;
В) система, которая отвечает свойствам пропорциональности и аддитивности;
Г) система, которая одинаковым образом преобразует сигналы, различающиеся только
временем прихода;
Д) система, которая изменяет свое состояние при наличии на нее внешних воздействий.
5. Что такое инвариантная, стационарная система?
А) система, которые отвечает пяти свойствам (пропорциональности, аддитивности,
однородности, стационарности, суперпозиции);
Б) система, в которой при преобразовании амплитуда входного сигнала прямо
пропорциональна амплитуде выходного сигнала;
В) система, которая отвечает свойствам пропорциональности и аддитивности;
Г) система, которая одинаковым образом преобразует сигналы, различающиеся только
временем прихода;
Д) система, которая изменяет свое состояние при наличии на нее внешних воздействий.
6. Что такое аддитивность?
А) свойство, при котором при наличии одинакового множителя у сигналов его можно
выносить за знак линейного преобразования;
Б) свойство, при котором при преобразовании амплитуда входного сигнала прямо
пропорциональна амплитуде выходного сигнала;
В) свойство линейного преобразования, при котором реакция линейной системы на сумму
воздействий равна суиие реакций на каждое из воздействий в отдельности;
Г) свойство линейного преобразования, при котором система одинаковым образом
преобразует сигналы, различающиеся только временем прихода;
Д) свойство линейных систем изменяеть свое состояние при наличии на нее внешних
воздействий.
7. Что такое однородность?
А) свойство, при котором при наличии одинакового множителя у сигналов его можно
выносить за знак линейного преобразования;
Б) свойство, при котором при преобразовании амплитуда входного сигнала прямо
пропорциональна амплитуде выходного сигнала;
В) свойство линейного преобразования, при котором реакция линейной системы на сумму
воздействий равна суиие реакций на каждое из воздействий в отдельности;
Г) свойство линейного преобразования, при котором система одинаковым образом
преобразует сигналы, различающиеся только временем прихода;
Д) свойство линейных систем изменяеть свое состояние при наличии на нее внешних
воздействий.
8. Что такое стационарность?
А) свойство, при котором при наличии одинакового множителя у сигналов его можно
выносить за знак линейного преобразования;
Б) свойство, при котором при преобразовании амплитуда входного сигнала прямо
пропорциональна амплитуде выходного сигнала;
В) свойство линейного преобразования, при котором реакция линейной системы на сумму
воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности;
Г) свойство линейного преобразования, при котором система одинаковым образом
преобразует сигналы, различающиеся только временем прихода;
Д) свойство линейных систем изменять свое состояние при наличии на нее внешних
воздействий.
9. Что такое гармонический анализ?
А) процесс изменения фазы у сигналов;
Б) разделение сигнала на полезную и неполезную компоненты;
В) процесс сложения сложных функций с целью повышения отношения полезного сигнала к
помехе;
Г) процесс расширения частотного спектра;
Д) процесс расщипления сложной функции на простые гармоники.
10. Каков смысл разложения функции в ряд Фурье?
А) процесс изменения фазы у сигналов;
Б) разделение сигнала на полезную и неполезную компоненты;
В) процесс сложения сложных функций с целью повышения отношения полезного сигнала к
помехе;
Г) процесс расширения частотного спектра;
Д) процесс расщипления сложной функции на простые гармоники.
11. Для чего используют преобразование Фурье в обработке?
А) для расщипления сложной функции на простые гармоники и вычисления спектров;
Б) для разделения сигнала на полезную и мешающую компоненты;
В) для повышения отношения полезного сигнала к помехе;
Г) для расширения частотного спектра;
Д) для улучшения качества материала.
12. Почему спектр, который расчитывается с помощью преобразования Фурье
называют комплексным?
А) так как он позволяет разложить сложную функцию на простые гармоники;
Б) так как он позволяет получить фазовый спектр;
В) так как он состоит из действительной и мнимой части;
Г) так как он позволяет получить амплитудный спектр;
Д) так как он содержит и полезную и мешающую компоненты.
13. Что нужно делать, чтобы не появились так называемые «зеркальные» частоты?
А) не производить дискретизацию и квантование по времени и по уровню;
Б) перед началом обработки удалить все частоты выше частоты Найквиста;
В) рассчитать отдельно действительную и мнимую части комплексного спектра;
Г) использовать только непрерывный спектр, а не дискретный;
Д) выделить до обработки полкзную компоненту и удалить мешающую.
14. Назовите причину появления «зеркальных частот».
А) негативное влияние линейной системы на сигнал;
Б) влияние частоты Найквиста;
В) невозможность расчета спектра для некоторых функций;
Г) невозможность разделения полезной и мешающей компонент на первом этапе обработки
сигнала;
Д) особенность связи между дискретным и непрерывным спектром.
15. Зачем вводят кинематические поправки?
А) чтобы убрать искажающее влияние водного слоя или влияние предшествующих фильтраций;
Б) чтобы убрать влияние частоты Найквиста;
В) чтобы убрать влияние амплитудного спектра;
Г) чтобы убрать влияние верхней части разреза;
Д) чтобы убрать влияние зоны малых скоростей, неоднородность рельефа и расстояние
между пунктами приема и пунктами взрыва.
16. Что такое фильтрация?
А) дискретизация и квантование по времени и по уровню;
Б) процедура обработки, направленная на повышение отношения полезного сигнала к
помехе;
В) расчет действительной и мнимой части комплексного спектра;
Г) вычисление только непрерывного спектра, а не дискретного;
Д) выделение до обработки полезной компоненты и удаление мешающей.
17. Какие преобразования составляют основу теории обработки сигналов?
А) преобразование Уолша, преобразование Гильберта;
Б) введение кинематических и статических поправок;
В) преобразование Фурье, свертка и корреляционные функции;
Г) деконволюция;
Д) миграция.
18. Для чего в обработке используют автокорреляционную функцию?
А) для удаления помех;
Б) для удаления частоты Найквиста;
В) для вычисления действительной и мнимой части комплексного спектра;
Г) для определения меры подобия двух функций, для определения временного сдвига между
двумя функциями, для вычисления взаимного энергетического спектра, при расчетах
обратных фильтров;
Д) для определения меры подобия одной и той же функции, если она сдвинута на шаг
дискретизации, для вычисления взаимного энергетического спектра, при расчетах обратных
фильтров.
19. Для чего в обработке используют функцию взамной корреляции?
А) для удаления помех;
Б) для удаления частоты Найквиста;
В) для вычисления действительной и мнимой части комплексного спектра;
Г) для определения меры подобия двух функций, для определения временного сдвига между
двумя функциями, для вычисления взаимного энергетического спектра, при расчетах
обратных фильтров;
Д) для определения меры подобия одной и той же функции, если она сдвинута на шаг
дискретизации, для вычисления взаимного энергетического спектра, при расчетах обратных
фильтров.
20. Что такое деконволюция?
А) преобразование Уолша, преобразование Гильберта;
Б) введение кинематических и статических поправок;
В) преобразование Фурье, свертка и корреляционные функции;
Г) обратная фильтрация;
Д) миграция.
21. Почему этот вид фильтрации называется обратной фильтрацией?
А) потому что частотная характеристика такого фильтра обратно пропорциональна частотной характеристике той компоненты, которую требуется подавить;
Б) частотная характеристика фильтра совпадает или согласуется с амплитудным спектром
полезных сигналов;
В) частотная характеристика фильтра прямо пропорциональна амплитудному спектру
полезных сигналов;
Г) потому что это название связано с канальностью фильтра;
Д) потому что этот вид фильтрации направлен на удаление всевозможных влияний
(например, фильтрующего влияния воды или предшествующих фильтраций).
22. Почему согласованная фильтрация называется согласованной?
А) потому что частотная характеристика такого фильтра обратно пропорциональна частотной характеристике той компоненты, которую требуется подавить;
Б) частотная характеристика фильтра совпадает или согласуется с амплитудным спектром
полезных сигналов;
В) частотная характеристика фильтра прямо пропорциональна амплитудному спектру
полезных сигналов;
Г) потому что это название связано с канальностью фильтра;
Д) потому что этот вид фильтрации направлен на удаление всевозможных влияний
(например, фильтрующего влияния воды или предшествующих фильтраций).
23. Какие виды фильтраций относятся к одноканальной фильтрации?
А) фильтрация в области времен (свертка, z  преобразование, рекурсивная фильтрация),
фильтрация в области частот (быстрое преобразование Фурье), обратная фильтрация;
Б) когда фильтр имеет один входной канал;
В) Д-преобразование;
Г) миграция;
Д) пространственная и пространственно-временная фильтрация.
24. Каким образом формируются выходные значения фильтра при пространственной
фильтрации?
А) из отсчетов амплитудного спектра, взятых по профилю или площади;
Б) из отсчетов спектральной характеристики одной трассы;
В) из отсчетов сейсмической трассы, взятых по времени;
Г) из нескольких каналов, расположенных по профилю или площади, и в пределах каждого
канала – по одному или нескольким отсчетам, взятых в различные моменты времени;
Д) из ряда отсчетов, взятых на многоканальной записи в один и тот же момент времени, но с
разных трасс, т. е. в разных точках пространства.
25. Каким образом формируется выходной сигнал при пространственно-временной
фильтрации?
А) из отсчетов амплитудного спектра, взятых по профилю или площади;
Б) из отсчетов спектральной характеристики одной трассы;
В) из отсчетов сейсмической трассы, взятых по времени;
Г) из нескольких каналов, расположенных по профилю или площади, и в пределах каждого
канала – по одному или нескольким отсчетам, взятых в различные моменты времени;
Д) из ряда отсчетов, взятых на многоканальной записи в один и тот же момент времени, но с
разных трасс, т. е. в разных точках пространства.
26. Что такое временная фильтрация?
А) когда на вход фильтра подаются отсчеты амплитудного спектра, взятых по профилю или
площади;
Б) когда на вход фильтра подаются отсчеты спектральной характеристики одной трассы;
В) когда на вход фильтра подается одна сейсмическая трасса и выходной сигнал так же
является функцией времени;
Г) когда на вход фильтра подается несколько каналов, расположенных по профилю или
площади, и в пределах каждого канала – по одному или нескольким отсчетам, взятых в
различные моменты времени;
Д) когда на вход фильтра подается сигнал из ряда отсчетов, взятых на многоканальной
записи в один и тот же момент времени, но с разных трасс, т. е. в разных точках
пространства.
27. Что такое миграция?
А) процедура, улучшающая качество материала за счет исключения влияния
предшествующих фильтраций;
Б) процедура, исключающая фазовые сдвиги;
В) процедура, исключающая временные сдвиги между сейсмическими трассами;
Г) цифровая процедура, осуществляющая перевод непрерывного сигнала в цифровой вид;
Д) процедура обработки, исключающая сейсмический снос.
28. Что такое граф обработки?
А) совокупность процедур обработки, выполняемая в строго определенном порядке;
Б) процедура, исключающая фазовые сдвиги;
В) процедура, исключающая временные сдвиги между сейсмическими трассами;
Г) цифровая процедура, осуществляющая перевод непрерывного сигнала в цифровой вид;
Д) процедура обработки, исключающая сейсмический снос.
29. Какие преобразования относятся к многоканальной фильтрации?
А) деконволюция;
Б) веерная фильтрация, Д-преобразование, суммирование по ОГТ, горизонтальное
суммирование;
В) конволюция;
Г) дискретизация и квантование;
Д) миграция.
30. В чем заключается смысл работы обратного фильтра сжатия?
А) в устранении изменчивости формы записи по профилю, связанной с изменчивостью
поверхностных условий;
Б) в превращении сложного импульса длиной   n значений в более короткий импульс
длиной  значений;
В) в обеспечении стабильности по профилю некоторой выбранной заранее формы
одиночного импульса;
Г) в сжатии сигнала до единичного импулься, т. е. получение полезного сигнала в «чистом
виде»;
Д) в устранении нежелательных влияний.
1
2
3
4
5
6
Г
А
Б
Д
Г
В
7
8
9
10
11
12
А
Г
Д
Д
А
В
13
14
15
16
17
18
Б
Д
Д
Б
В
Д
19
20
21
22
23
24
Г
Г
А
Б
А
Д
25
26
27
28
29
30
Г
В
Д
А
Б
Г
2.9 Перечень экзаменационных вопросов по пройденному курсу
1. Введение. Содержание курса, его связь с физико-математическими и геофизическими курсами и с курсом «Линейные преобразования и системы».
2. Развитие теории цифровой регистрации и обработки данных.
3. Применение теории обработки в практике геофизических работ.
4. Одномерные сигналы и фильтры.
5. Детерминированные и случайные сигналы, их преобразования.
6. Как называется процедура обработки, переводящая сигнал в цифровой вид?
7. Перечислите все свойства линейных преобразований, дайте определения и запишите формулы.
8. Какие алгебраические действия можно производить с линейными преобразованиями?
9. Докажите, что сумма и произведение линейных преобразований также являются линейными преобразованиями.
10. Интеграл свертки.
11. Гармонический анализ.
12. Использование рядов Фурье в обработке цифровых сигналов.
13. Физический смысл разложения в ряд Фурье.
14. Вывод формулы интеграла Фурье.
15. Условия Дирихле.
16. Прямое и обратное преобразование Фурье.
17. Теоремы преобразования Фурье.
18. Комплексный, амплитудный и фазовый спектры сигналов.
19. Спектры некоторых сигналов.
20. Преобразование Гильберта.
21. Преобразование Лапласа.
22. Теоремы преобразования Лапласа
23. Характеристики случайной величины.
24. Случайная функция и функция автокорреляции.
25. Частотный состав случайной функции.
26. Функция взаимной корреляции.
27. Модели случайного поля.
29. Детерминированные и случайные сигналы.
30. Почему при описании случайных сигналов используют элементы теории вероятности?
31. Перечислите все элементы теории вероятности и законы распределения, которые вы знаете из курса «Теория вероятности».
32. Что такое корреляционные функции? Объясните их предназначение, свойства, особенности.
33. Теорема о функции взаимной корреляции?
34. Теорема Парсеваля или Рэлея?
35. Дискретные сигналы и спектры.
36. Дискретизация и квантование сигналов и спектров.
37. Связь между непрерывными и дискретными сигналами и спектрами.
38. Теорема отсчетов Котельникова.
39. Дискретизация функций с бесконечной полосой частот.
40. Квантование по уровню.
41. Дискретные преобразования сигналов.
42. Z- преобразование.
43. Дискретные преобразования Фурье (ДПФ).
44. Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ).
45. Преобразование Уолша.
46. Оценки характеристик случайных функций.
47. Фильтрация одномерных сигналов.
48. Физически осуществимые (односторонние) фильтры.
49. Каузальные, минимально-фазовые и гомоморфные фильтры.
50. Статистические характеристики случайного процесса на выходе линейной системы.
51. Дискретная свертка.
52. Округление при свертке и разрядность результата.
53. Фильтрация и спектральный анализ.
54. Некоторые простые фильтры.
55. Рекурсивные фильтры.
56. Оптимальная фильтрация сигналов известной формы.
57. Фильтрация случайных сигналов.
58. Уравнение Колмогорова-Винера.
59. Синтез оптимального фильтра по алгоритму Левинсона.
60. Обратная фильтрация.
61. Обратный фильтр для сигналов известной формы.
62. Обратный фильтр Винера.
63. Обратная фильтрация с прогнозированием.
64. Оценка спектра сигнала.
65. Двухмерные сигналы.
66. Двухмерные преобразования Фурье.
67. Спектр плоской волны.
68. Двухмерные дискретные преобразования Фурье и быстрые преобразования Фурье.
69. Характеристики случайного двухмерного поля.
70. Двухмерные фильтры.
71. Двухмерная свертка.
72. Оптимальные фильтры двухмерных сигналов.
73. Выделение двухмерных сигналов на фоне некоррелированных помех.
74. Суммирование и направленность.
75. Спектральная характеристика суммирования.
76. Направленность суммирования.
77. Статистический эффект суммирования.
78. Влияние случайных сдвигов.
79. Равномерное суммирование.
80. Дискретизация и квантование при разновременном суммировании.
81. Пространственно-временной анализ суммирования.
82. Веерный фильтр.
83. Нелинейные многоканальные системы.
84. Многоканальные френелевские системы.
85. Суммирование неплоских волн.
86. Непрерывная приемная (излучающая) система.
87. Вынос источника (приемника).
88. Неоднородное суммирование.
89. Дискретные системы.
90. Линеаризация задержек.
92. Д- преобразование.
93. Оптимальные фильтры.
94. Алгоритмы временной фильтрации.
95. Граф цифровой обработки.
96. Применение рассмотренных алгоритмов в полевой аппаратуре, методике и в графе цифровой обработки.
Глоссарий























Аддитивность – свойство линейных преобразований, показывающее, что реакция линейной системы на сумму воздействий равна сумме реакций системы на каждое из воздействий в отдельности.
Амплитудный спектр – спектр, равный квадратному корню из суммы квадратов действительной и мнимой частей комплексного спектра.
Взаимный энергетический спектр – спектральная характеристика корреляционных функций.
Временная последовательность или временной ряд – дискретная последовательность
мгновенных амплитуд сейсмического сигнала, взятых через равные промежутки времени.
Гармонический анализ – процесс расщепления сложной периодической функции на
простые гармоники.
Гармонический анализ – процесс вычисления коэффициентов Фурье.
Граф обработки – совокупность обязательных процедур обработки, выполняемых в
строго определенном порядке.
Детерминированный сигнал – функция, которую можно заранее предсказать и знать
наперед ее форму и распределение в пространстве.
Динамическая система - любое искусственное или естественное устройство, меняющее
свое состояние при наличии внешних воздействий (например, геологическая среда, регистрирующая или обрабатывающая аппаратура, сейсмоприемник, фильтр).
Единичный импульс обычно называют   функцией, а ее дискретный аналог импульсом Дирака или Кронекера.
Импульсная характеристика линейной системы – это реакция линейной системы на
единичный импульс.
Квадратурный фильтр – фильтр, который изменяет фазу на  90  , но не оказывает влияния на амплитудный спектр.
Комплексный спектр – спектр временной функции, состоящий из действительной R(w)
части и мнимой X (w) части.
Комплексно – сопряженный спектр – спектр отрицательных частот.
Линейное преобразование - любое преобразование сигнала, при котором амплитуда
сигнала на выходе системы, осуществляющей преобразование, пропорциональна амплитуде входного сигнала
Максимально-фазовый сигнал - если некоторый сигнал y (t ) представлен всего двумя ординатами, т. е. y ( z )  y 0  y1 z , то при y 0 < y1 рн называется максимально-фазовым, или сигналом с максимальной задержкой.
Минимально-фазовый сигнал - если некоторый сигнал y (t ) представлен всего двумя
ординатами, т. е. y ( z )  y 0  y1 z , то при y 0 > y1 он называется минимально-фазовым, или
сигналом с минимальной задержкой.
Нестационарная случайная функция – функция, у которой математическое ожидание и
дисперсия не постоянны по времени.
Однородность - свойство линейных преобразований, дающее возможность выносить
одинаковый множитель временных сигналов за знак линейного преобразования.
Реверберация – изменение формы сейсмического сигнала в результате фильтрующего
влияния воды.
Рекурсия– процесс получения последующего отсчета выходного сигнала с использованием предыдущего.
Первичный материал – материал, полученный в результате проведения полевых работ.
Свертка сигнала представляет собой операцию замещения каждого элемента входного
сигнала выходным с помощью оператора свертки согласно величине входного сигнала с
последующим суммированием выходных сигналов.




Сейсмотрасса – график зависимости амплитуды сигнала от времени прихода волны или
расстояния.
Сейсмограмма – совокупность сейсмотрасс, представленных на одном графике.
Случайный сигнал – функция, которую нельзя предсказать заранее.
Спектр - функцию, которая показывает зависимость амплитуды сигнала от частоты.

Стабильный фильтр – фильтр, удовлетворяющий условию


2
y t    .
t  







Стационарность или инвариантность – свойство линейных преобразований, показывающее, что линейная система одинаковым образом преобразует сигналы, отличающиеся
лишь временем прихода.
Стационарная случайная функция – функция, у которой математическое ожидание и
дисперсия постоянны во времени. Корреляционная функция зависит только от разности
  t  ti .
Фазовый спектр – спектр, равный arctg отношения мнимой части комплексного спектра
к действительной части.
Фильтрация – увеличение отношения полезного сигнала к помехе.
Функция автокорреляции – мера подобия одной и той же функции, сдвинутой на шаг
дискретизации
Функция взаимной корреляции – мера подобия двух разных функций.
Эйлясинг – искажение временного сигнала при неправильном выборе шага дискретизации. При этом возникают так называемые «зеркальные частоты».
Выходные сведения
УМК ДС обсужден на заседании
кафедры геофизики
Протокол № ___«___»____________ 2006г.
УМК ДС одобрен на заседании
учебно-методического
Совета геологоразведочного института
Протокол № __ «___»____________ 2006г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
для специальностей 050706 «Геология и разведка месторождений полезных ископаемых»
по курсу «Теоретические основы обработки геофизической информации»
ГУЛЬЗАДА КУБАШЕВНА УМИРОВА
старший преп. каф. геофизики
_________________________________________________________
Подписано в печать___.___.200___г. Формат 60х84 1/16. Бумага книжножурнальная. Объем ___.___уч.-изд.л. Тираж___экз. Заказ №___.
______________________________________________________________
Отпечатано в типографии издательства КазНТУ имени К.И. Сатпаева
г. Алматы, ул. Ладыгина, 32