дифференциальные уравнения - Информационная система

Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Э.Г. СОСНИНА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Конспект лекций по математическому анализу
для студентов I курса факультета Бизнеса экономической специальности
НОВОСИБИРСК
2015
I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
1.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Дифференциальным уравнением
соотношение, связывающее независимые переменные,
функцию и её производные или дифференциалы.
называется
неизвестную
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Дифференциальное уравнение называется
обыкновенным, если неизвестная функция зависит от одной переменной, и
уравнением в частных производных, если она зависит от нескольких
переменных.
В настоящем курсе мы будем рассматривать только обыкновенные
дифференциальные уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Порядок дифференциального уравнения определяется
порядком старшей производной, входящей в это уравнение.
Дифференциальное уравнение n –го порядка может быть задано в виде
𝐹(𝑥, 𝑦. 𝑦 ′ . 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛) ) = 0
или
𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛−1) ) = 0.
В первом случае оно называется уравнением, не разрешённым
относительно старшей производной, а во втором – уравнением,
разрешённым относительно старшей производной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Решением дифференциального уравнения на некотором
промежутке (𝑎, 𝑏) называется функция 𝑦 = 𝜑(𝑥) , которая определена на
этом промежутке, имеет на нём n производных и, будучи подставленной в
уравнение, обращает его в тождество.
Покажем например, что функция 𝑦 = 𝑒 −3𝑥 является решением уравнения
второго порядка 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 0. Найдём производные функции
𝑦 ′ = −3𝑒 −3𝑥 ,
𝑦 ′′ = 9𝑒 −3𝑥
и подставим функцию и производные в уравнение:
9𝑒 −3𝑥 + 2 ∙ (−3)𝑒 −3𝑥 − 3𝑒 −3𝑥 ≡ 0
Полученное тождество подтверждает, что функция
решением данного уравнения.
𝑦 = 𝑒 −3𝑥
является
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Процесс нахождения решения дифференциального
уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Если функция 𝑦 = 𝜑(𝑥) является решением некоторого
дифференциального уравнения, то график этой функции в декартовой системе
координат называется интегральной кривой данного уравнения.
1.2 ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
В качестве примера рассмотрим задачу на составление уравнения,
описывающего процесс ценообразования товара. Пусть 𝑥(𝑡) и 𝑥 ′ (𝑡) цена
товара и скорость изменения цены ( тенденция ценообразования ) ;
𝑠(𝑡) и 𝑝(𝑡) спрос на товар и предложение товара соответственно. На
практике установлено, что спрос
𝑠(𝑡) и предложение 𝑝(𝑡) являются
линейными функциями цены и тенденции ценообразования, т.е.
𝑠(𝑡) = 𝑎1 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑏1 𝑥(𝑡) + 𝑐1
𝑝(𝑡) = 𝑎2 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑏2 𝑥(𝑡) + 𝑐2
Коэффициенты
𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 (𝑖 = 1,2)
наблюдений
( метод определения
рассматривается ).
определяются по результатам
коэффициентов 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 здесь не
Одним из объективных экономических законов товарного производства в
условиях стабильной экономики является равенство спроса и предложения
𝑠(𝑡) = 𝑝(𝑡)
⟹
𝑎1 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑏1 𝑥(𝑡) + 𝑐1 = 𝑎2 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑏2 𝑥(𝑡) + 𝑐2
Полученное равенство является дифференциальным уравнением для
нахождения функции 𝑥(𝑡) , описывающей зависимость цены товара от
времени. Если перенести все члены равенства в левую часть, то уравнение
примет вид
(𝑎2 − 𝑎1 )𝑥 ′ (𝑡) + (𝑏2 − 𝑏1 )𝑥(𝑡) + (𝑐2 − 𝑐1 ) = 0
Если
уравнение
𝑥 ′ (𝑡) , то получим:
разрешить
𝑥 ′ (𝑡) =
относительно
производной
𝑏1 − 𝑏2
𝑐1 − 𝑐2
𝑥(𝑡) +
𝑎2 − 𝑎1
𝑎2 − 𝑎1
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение, содержащее независимую переменную, неизвестную
функцию и её производную или дифференциал.
Дифференциальные уравнения первого порядка могут быть заданы
различными способами.
1) Уравнение не разрешенное относительно производной:
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) = 0
2) Уравнение, разрешённое относительно производной:
𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)
3) Уравнение в дифференциалах:
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае имеет не
одно, а множество решений, отличающихся друг от друга постоянными
величинами. Покажем это на простом примере. Легко видеть, что решением
уравнения 𝑦 ′ = 2𝑥 является функция 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐 , где с − произвольная
постоянная, т.е. уравнение имеет множество решений.
Для того, чтобы из множества решений выделить конкретное ( частное )
решение, необходимо задать некоторые дополнительные условия.
В дальнейшем в качестве дополнительных условий будем рассматривать
так называемые начальные условия: при 𝑥 = 𝑥0 функция 𝑦 должна
принимать заданное значение 𝑦0 . Начальные условия обычно записываются
в виде 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0.
Задача нахождения решения дифференциального уравнения,
удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей
Коши.
Геометрическая интерпретация задачи Коши такова: найти интегральную
кривую дифференциального уравнения, проходящую через заданную точку
𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) плоскости 𝑋𝑜𝑌.
ТЕОРЕМА 1 ( существования и единственности решения задачи Коши)
Пусть функция 𝑓(𝑥, 𝑦) и её частная производная 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) определены и
непрерывны в некоторой области, содержащей точку (𝑥0 , 𝑦0 ) . Тогда
существует единственное решение дифференциального уравнения 𝑦 ′ =
𝑓(𝑥, 𝑦), удовлетворяющее начальным условиям 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 .
Эти начальные условия называются допустимыми начальными условиями
для заданного дифференциального уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Общим решением дифференциального уравнения
первого порядка называется функция 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝑐), содержащая одну
произвольную постоянную и удовлетворяющая следующим условиям:
1) Функция 𝜑(𝑥, 𝑐) является решением жифференциального уравнения
при любом фиксированном значении с.
2) Для любых допустимых начальных условий найдётся такое значение
произвольной постоянной с0, , что функция 𝜑(𝑥, 𝑐0 ) удовлетворяет как
дифференциальному уравнению, так и начальным условиям.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если решение дифференциального уравнения получено в
неявном виде 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑐) = 0, то оно называется общим интегралом этого
уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Частным решением дифференциального уравнения
первого порядка называется любая функция 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝑐0 ) , полученная из
общего решения 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝑐) при конкретном значении произвольной
постоянной 𝑐 = 𝑐9.
Следовательно, решение задачи Коши является частным решением
дифференциального уравнения.
Далее рассмотрим подробно некоторые типы дифференциальных
уравнений первого порядка и методы их интегрирования.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Уравнение с разделяющимися переменными может быть задано одним
из следующих способов.
1) Уравнение с разделёнными переменными
𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 0 .
Запишем уравнение в виде:
𝑀(𝑥 )𝑑𝑥 = −𝑁(𝑦)𝑑𝑦
Проинтегрировав равенство по переменным 𝑥 и 𝑦
найдём общий интеграл дифференциального уравнения
Ф(𝑥) = −𝐹(𝑦) + 𝐶
соответотвенно,
или Ф(𝑥) + 𝐹(𝑦) = 𝐶 ,
где Ф(𝑥) и 𝐹(𝑦) − первообразные функций 𝑀(𝑥) и 𝑁(𝑦):
Ф(𝑥) = ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 ,
𝐹(𝑦) = ∫ 𝑁(𝑦)𝑑𝑦
2) Уравнение с разделяющимися переменными :
𝑦 ′ = 𝑓1 (𝑥) ∙ 𝑓2 (𝑦)
⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓1 (𝑥) ∙ 𝑓2 (𝑦).
Для того, чтобы проинтегрировать данное дифференциальное уравнение,
приведём его к уравнению с разделёнными переменными:
𝑑𝑦
= 𝑓1 (𝑥)𝑑𝑥
𝑓2 (𝑦)
Интегрируя левую часть равенства по 𝑦, а правую по 𝑥, найдём общий
интеграл уравнения:
𝐹(𝑦) = Ф(𝑥) + С
Здесь 𝐹(𝑦) и Ф(𝑥) − первообразные функций
Ф(𝑥) = ∫ 𝑓1 (𝑥)𝑑𝑥,
𝐹(𝑦) = ∫
1
𝑓2 (𝑦)
и 𝑓1 (𝑥):
1
𝑑𝑦
𝑓2 (𝑦)
3)
Уравнение с разделяющимися переменными в дифференциалах:
𝑀1 (𝑥)𝑁1 (𝑦)𝑑𝑥 + 𝑀2 (𝑥)𝑁2 (𝑦)𝑑𝑦 = 0
Чтобы найти общее решение данного уравнения , нужно также привести
его к уравнению с разделёнными переменными. Запишем уравнение в виде:
𝑀1 (𝑥)
𝑁2 (𝑦)
𝑑𝑥 = −
𝑑𝑦
𝑀2 (𝑥)
𝑁1 (𝑦)
Проинтегрировав полученное равенство, найдём общий интеграл
заданного уравнения:
Ф(𝑥) = −𝐹(𝑦) + 𝐶
или Ф(𝑥) + 𝐹(𝑦) = 𝐶 , где
Ф(𝑥) = ∫
𝑀1 (𝑥)
𝑑𝑥
𝑀2 (𝑥)
𝐹(𝑦) = ∫
𝑁2 (𝑦)
𝑑𝑦
𝑁1 (𝑦)
ПРИМЕР 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
𝑥𝑦𝑑𝑥 + √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎
Это уравнение с разделяющимися переменными. Приведём его к
уравнению с разделёнными переменными. Для этого перепишем уравнение
в виде
𝑥𝑦𝑑𝑥 = −√1 − 𝑥 2 𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑥𝑑𝑥
=−
𝑦
√1 − 𝑥 2
⟹
Проинтегрировав полученное равенство, найдём общий интеграл уравнения
∫
𝑑𝑦
𝑥𝑑𝑥
= −∫
𝑦
√1 − 𝑥 2
ln 𝑦 = √1 − 𝑥 2 + ln 𝐶
⟹
Разрешив последнее равенство относительно 𝑦, получим общее решение
дифференциального уравнения
𝑦 = 𝐶𝑒 √1−𝑥
2
Для того, чтобы найти значение произвольной постоянной С, необходимо
задать начальные условия. Пусть 𝑦(1) = 1. Подставим начальные условия в
общее решение, получим:
1 = Се0
⟹
С=1
Таким образом, частное решение имеет вид
2
𝑦 = 𝑒 √1−𝑥 .
ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Приведём некоторые определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функция 𝑓(𝑥, 𝑦) называется однородной функцией к-го
порядка ( к-той степени ), если при умножении каждого аргумента на
произвольное число 𝜆 функция умножается на 𝜆к , т.е. имеет место
равенство 𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑘 𝑓(𝑥, 𝑦).
Например, функция 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 4 + 2𝑦 4 является однородной функцией
второго порядка. Покажем это.
𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = √(𝜆𝑥)4 + 2(𝜆𝑦)4 = √𝜆4 (𝑥 4 + 2𝑦 4 ) = 𝜆2 √(𝑥 4 + 2𝑦 4 ) = 𝜆2 𝑓(𝑥, 𝑦)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функция 𝑓(𝑥, 𝑦) называется однородной функцией
нулевой степени, или просто однородной, если имеет место равенство
𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦).
Можно показать, что однородная функция нулевой степени зависит только
𝑦
от отношения аргументов, т.е 𝑓(𝑥, 𝑦) ≡ 𝑓 ( ).
𝑥
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Дифференциальное уравнение 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) называется
однородным, если 𝑓(𝑥, 𝑦) − однородная функция.
Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися
𝑦
переменными подстановкой 𝑢 = , где 𝑢(𝑥) − новая неизвестная функция.
𝑥
Пусть дано однородное дифференциальное уравнение
𝑦
𝑦′ = 𝑓 ( )
𝑥
Введём новую функцию
𝑦
𝑥
=𝑢
⟹
𝑦=𝑢∙𝑥
⟹ 𝑦 ′ = 𝑢′ ∙ 𝑥 + 𝑢.
Если подставить полученные величины в заданное уравнение, то оно
приводится к уравнению с разделяющимися переменными:
𝑢′ 𝑥 + 𝑢 = 𝑓(𝑢)
⟹
𝑑𝑢
= 𝑓(𝑢) − 𝑢
𝑑𝑥
𝑥
Разделим переменные и проинтегрируем затем полученное равенство:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑓(𝑢) − 𝑢
𝑥
⟹
∫
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=∫
𝑓(𝑢) − 𝑢
𝑥
Вычислив неопределённые интегралы, найдём общий интеграл заданного
уравнения
𝐹(𝑢) = ln 𝑥 + ln 𝐶
𝑦
𝐹 ( ) = ln 𝐶𝑥
𝑥
⟹
ПРИМЕР 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
𝑦′ =
𝑥𝑦
𝑥2 − 𝑦2
Проверим, что данное уравнение однородное. Для этого покажем, что
функция в правой части уравнения зависит только от отношения аргументов
𝑥𝑦
=
𝑥2 − 𝑦2
𝑥𝑦
𝑥2
𝑦2
∙ (1 − 2 )
𝑥
=
𝑦
𝑥
𝑦 2
1−( )
𝑥
Таким образом, уравнение примет вид
𝑦′ =
𝑦
𝑥
𝑦 2
1−( )
𝑥
Сделаем в уравнении подстановку
𝑦
=𝑢
𝑥
⟹
𝑦 = 𝑢𝑥
⟹
𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢
и приведём его к уравнению с разделяющимися переменными:
𝑑𝑢
𝑢
𝑥
+𝑢 =
𝑑𝑥
1 − 𝑢2
⟹
𝑑𝑢
𝑢3
𝑥
=
𝑑𝑥 1 − 𝑢2
⟹
Проинтегрируем обе части последнего равенства:
1 − 𝑢2
𝑑𝑥
∫
𝑑𝑢
=
∫
𝑢3
𝑥
1 − 𝑢2
𝑑𝑥
𝑑𝑢
=
𝑢3
𝑥
Вычислив неопределённые интегралы, найдём общий интеграл заданного
дифференциального уравнения:
1
− 2 − ln 𝑢 = ln 𝑥 + ln 𝐶
2𝑢
⟹
1
ln 𝑢𝑥𝐶 = − 2
2𝑢
⟹
𝑥2
ln 𝐶𝑦 = − 2
2𝑦
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Дифференциальное уравнение называется линейным,
если неизвестная функция и все её производные входят в уравнение в первой
степени.
Линейное уравнение первого порядка может иметь следующий вид:
1) Неприведённое уравнение:
𝑎(𝑥)𝑦 ′ + 𝑏(𝑥)𝑦 = 𝑐(𝑥)
2) Приведённое уравнение
𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)
Неприведённое уравнение можно свести к приведённому, если обе части
уравнения разделить на функцию 𝑎(𝑥) . Поэтому в дальнейшем будем
рассматривать только приведённое уравнние.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Если правая часть линейного уравнения равна нулю, то
уравнение называется однородным. В противном случае оно называется
неоднородным.
Изложим два основных метода решения линейного уравнения первого
порядка.
1) МЕТОД ЛАГРАНЖА ( метод вариации произвольной постоянной ).
Рассмотрим уравнение
𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥).
. Сначала найдём общее решение однородного уравнения 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 0 .
Оно является уравнением с разделяющимися переменными. Используя
изложенный ранее метод разделения переменных, получим
𝑑𝑦
= −𝑝(𝑥)𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= −𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑦
⟹
⟹
∫
𝑑𝑦
= − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑦
Отсюда найдём общий интеграл однородного уравнения
ln 𝑦 = − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + ln С и соответственно общее решение 𝑦0 однородного
уравнения
𝑦0 = 𝐶𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
Общее решение неоднородного уравнения 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥) будем
искать в виде 𝑦(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑦0 (𝑥), где 𝐶(𝑥) − неизвестная функция. Чтобы
найти 𝐶(𝑥), подставим выражение для 𝑦(𝑥) в неоднородное уравнение:
′
[𝐶 (𝑥)𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ] + 𝑝(𝑥)𝐶(𝑥)𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑞(𝑥)
𝐶 ′ (𝑥)𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶(𝑥)𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 [−𝑝(𝑥)] + 𝑝(𝑥)𝐶(𝑥)𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑞(𝑥)
Сократив в левой части уравнения второй и третий члены, получим
𝐶 ′ (𝑥)𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑞(𝑥)
𝐶 ′ (𝑥) = 𝑞(𝑥)𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
⟹
Отсюда найдём 𝐶(𝑥) и общее решение неоднородного уравнения 𝑦(𝑥):
С(𝑥) = ∫ 𝑞(𝑥) ∙ 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶1
𝑦(𝑥) = 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ∙ [𝐶1 + ∫ 𝑞(𝑥) ∙ 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥]
Легко проверить, что если задано начальное условие 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0, то
решение задачи Коши для линейного уравнения можно записать в виде
𝑥
𝑥
𝑥
0
0
0
𝑦(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝 [− ∫𝑥 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥] ∙ {𝑦0 + ∫𝑥 𝑞(𝑥) 𝑒𝑥𝑝 [∫𝑥 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥] 𝑑𝑥} .
2) МЕТОД БЕРНУЛЛИ.
Этот метод продемонстрируем на примере.
ПРИМЕР 3.
уравнения
Найти общее решение линейного дифференциального
𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 = cos 𝑥 ∙ 𝑒 𝑥
2
(1)
Введём новые неизвестные функции 𝑢(𝑥) и 𝑣(𝑥) , положив
𝑦 = 𝑢𝑣
⟹
𝑦 ′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣 ′
Тогда заданное уравнение примет вид
𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣 ′ − 2𝑥𝑢𝑣 = cos 𝑥 ∙ 𝑒 𝑥
2
(𝑢′ − 2𝑥𝑢) ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣 ′ = cos 𝑥 ∙ 𝑒 𝑥
⟹
2
(2)
Выберем функцию 𝑢(𝑥) таким образом, чтобы выполнялось условие
𝑢′ − 2𝑥𝑢 = 0
Очевидно, функция 𝑢(𝑥) является решением однородного линейного
уравнения, т.е. уравнения с разделяющимися переменными. Решим его.
𝑑𝑢
= 2𝑥𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑢
= 2𝑥𝑑𝑥
𝑢
⟹
⟹
∫
𝑑𝑢
= ∫ 2𝑥𝑑𝑥
𝑢
Интегрируя, получим
ln 𝑢 = 𝑥 2
𝑢 = 𝑒𝑥
⟹
2
Отметим, что при нахождении функции 𝑢(𝑥) константа не вводится!
Подставим
функцию
𝑢(𝑥)
в уравнение
(2) и получим
дифференциальное уравнение для функции 𝑣(𝑥), которое также является
уравнением с разделяющимися переменными:
𝑢 ∙ 𝑣 ′ = cos 𝑥 ∙ 𝑒 𝑥
2
⟹
𝑒 2𝑥 ∙ 𝑣 ′ = cos 𝑥 ∙ 𝑒 𝑥
Отсюда следует, что 𝑣 = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
⟹
2
⟹
𝑣 ′ = cos 𝑥
𝑣 = sin 𝑥 + 𝐶
Следовательно, общее решение заданного уравнения (1) имеет вид:
2
𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑥 ∙ (sin 𝑥 + 𝐶)
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Уравнением Бернулли называется уравнение вида:
𝑦 ′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑦 𝑛 ,
𝑛 ∈ 𝑅,
𝑛 ≠ 0,
𝑛≠1
Проинтегрировать уравнение Бернулли можно двумя способами: свести
его к линейному уравнению или использовать метод Бернулли. На практике
чаще применяется метод Бернулли. Продемонстрируем этот метод на
конкретном примере.
ПРИМЕР 4. Найти общее решение дифференциального уравнения
𝑦′ −
2𝑦
= √𝑦
𝑥
(1)
Очевидно, заданное уравнение является уравнением Бернулли.
Введём новые неизвестные функции 𝑢(𝑥) и 𝑣(𝑥) , положив
𝑦 = 𝑢𝑣
𝑦 ′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣 ′
⟹
Тогда заданное уравнение примет вид
𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣 ′ −
(𝑢′ −
2𝑢𝑣
= √𝑢𝑣
𝑥
⟹
2𝑢
) ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣 ′ = √𝑢𝑣
𝑥
(2)
Выберем функцию 𝑢(𝑥) таким образом, чтобы выполнялось условие
𝑢′ −
2𝑢
=0
𝑥
Функция 𝑢(𝑥) является решением однородного линейного уравнения, т.е.
уравнения с разделяющимися переменными. Решим его
𝑑𝑢 2𝑢
=
𝑑𝑥
𝑥
⟹
𝑑𝑢 2𝑑𝑥
=
𝑢
𝑥
⟹
∫
𝑑𝑢
2𝑑𝑥
=∫
𝑢
𝑥
Интегрируя, получим
ln 𝑢 = 2 ln 𝑥
⟹
𝑢 = 𝑥2
Отметим, что при нахождении функции 𝑢(𝑥) константа не вводится!
Подставим
функцию
𝑢(𝑥)
в уравнение
(2) и получим
дифференциальное уравнение для функции 𝑣(𝑥), которое также является
уравнением с разделяющимися переменными:
𝑢 ∙ 𝑣 ′ = √𝑢𝑣
𝑥 2 ∙ 𝑣 ′ = √𝑥 2 ∙ 𝑣
⟹
𝑣′ =
⟹
√𝑣
𝑥
Решим полученное уравнение.
𝑑𝑣 √𝑣
=
𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑣
⟹
√𝑣
=
𝑑𝑥
𝑥
⟹
∫
𝑑𝑣
√𝑣
=∫
𝑑𝑥
𝑥
Интегрируя последнее равенство, найдём
2√𝑣 = ln 𝑥 + ln 𝐶
1
√𝑣 = ln 𝐶𝑥
2
1
𝑣 = (ln 𝐶𝑥)2
4
Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид:
𝑦 =𝑢∙𝑣
⟹
𝑥2
𝑦=
∙ (ln 𝐶𝑥)2
4
IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дифференциальные уравнения, порядок которых
больше единицы, называются уравнениями высших порядков.
В настоящем разделе будут рассмотрены дифференциальные уравнения
второго порядка. Уравнение второго порядка в общем случае задаётся
равенством
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ ) = 0
Если данное уравнение можно разрешить
производной, то оно принимает вид
𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ )
(1)
относительно
второй
(2)
Начальные условия для дифференциального уравнения 2-го порядка
задаются следующим образом:
𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 ,
𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑦0′
(3)
Задача нахождения решения дифференциального уравнения (1) или (2),
удовлетворяющего начальным условиям (3), называется задачей Коши.
Геометрическая интерпретация задачи Коши: найти интегральную кривую
дифференциального уравнения, проходящую через заданную точку (𝑥0 , 𝑦0 )
с заданным направлением касательной.
ТЕОРЕМА 1 ( существования и единственности решения задачи Коши) .
Пусть функция 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) определена и непрерывна вместе со своими
частными производными 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) и 𝑓𝑦′′ (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) в некоторой окрестности
точки (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑦0′ ) и в самой точке. Тогда существует и притом единственное
решение 𝑦 = 𝑦(𝑥) дифференциального уравнения 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′) ,
удовлетворяющее начальным условиям 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑦′0 .
Условия, сформулированные в теореме, называются допустимыми
начальными условиями для дифференциального уравнения 2-го порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Общим решением дифференциального уравнения 2-го
порядка называется функция 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶1 , 𝐶2 ) ,
зависящая от двух
произвольных постоянных и удовлетворяющая условиям:
1) при любом наборе произвольных постоянных ( С1 , С2 ) функция 𝑦 =
𝜑(𝑥, 𝐶1 , 𝐶2 ) удовлетворяет дифференциальному уравнению;
2) для любых допустимых начальных условий найдутся такие значения
постоянных (𝐶10 , 𝐶20 ), что функция 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶10 , 𝐶20 ) удовлетворяют как
дифференциальному уравнению, так и заданным начальным условиям.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Частным решением дифференциального уравнения 2-го
порядка называется любое решение этого уравнения, которое может быть
получено из общего при фиксированном наборе произвольных постоянных.
ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим разницу в геометрической интерпретации
единственности решения для дифференциальных уравнений 1-го и 2-го
порядков. В случае выполнения в окрестности точки (𝑥0 , 𝑦0 ) условий
теоремы существования и единственности интегральные кривые уравнения
первого порядка в этой точке пересекаться не могут. Интегральные кривые
уравнения второго порядка могут пересекаться , но не могут касаться. Это
объясняется тем, что в случае пересечения кривые
имеют разные
касательные, т.е. соответствуют различным начальным условиям. В случае
касания интегральные кривые не только проходят через общую точку, но
имеют общую касательную, т.е. соответствуют одинаковым начальным
условиям.
V. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Для интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков
часто используют метод понижения порядка. Суть метода заключается в том,
что с помощью введения новой переменной данное уравнение сводится к
уравнению, порядок которого ниже. В частности, уравнение 2-го приводится к
уравнению 1-го порядка. Рассмотрим три типа уравнений 2-го порядка,
допускающих понижение порядка.
I) УРАВНЕНИЕ НЕ СОДЕРЖИТ ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ И ЕЁ ПРОИЗВОДНОЙ
𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥)
Решение данного уравнения можно получить последовательным двойным
интегрированием. Покажем это на примере.
ПРИМЕР 1. Пусть задано уравнение
𝑦 ′′ = 2 cos 2𝑥
Запишем цепочку равенств:
𝑑 𝑑𝑦
( ) = 2 cos 2𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
⟹
𝑑𝑦
= ∫ 2 cos 2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥
⟹
𝑑 (
𝑑𝑦
) = 2 cos 2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= sin 2𝑥 + 𝐶1
𝑑𝑥
Последнее уравнение проинтегрируем ещё раз
𝑑𝑦 = (sin 2𝑥 + 𝐶1 )𝑑𝑥
𝑦=−
⟹
𝑦 = ∫(sin 2𝑥 + 𝐶1 ) 𝑑𝑥
cos 2𝑥
Р + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2
2
Таким образом, мы получили общее решение заданного уравнения 2-го
pпорядка.
2) УРАВНЕНИЕ НЕ СОДЕРЖИТ ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ
𝐹(𝑥, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ ) = 0
Данное уравнение приводится к уравнению 1-го порядка подстановкой
𝑦 ′ = 𝑝(𝑥) , 𝑦 ′′ = 𝑝′ (𝑥)
𝐹(𝑥, 𝑝, 𝑝′ ) = 0
⟹
ПРИМЕР 2. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го
порядка, не содержащего искомой функции
𝑦′
𝑦 = + 𝑥2
𝑥
′′
(1)
Сделаем подстановку
𝑦 ′ = 𝑝(𝑥)
𝑦 ′′ = 𝑝′ (𝑥)
⟹
Тогда заданное уравнение примет вид:
𝑝′ =
𝑝
+ 𝑥2
𝑥
𝑝′ −
⟹
𝑝
= 𝑥2
𝑥
(2)
Таким образом, уравнение 2-го порядка сведено к линейному уравнению
1-го порядка. Решим его методом Бернулли. Введём новые неизвестные
функции 𝑢(𝑥) и 𝑣(𝑥), положив 𝑦 = 𝑢𝑣, 𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ . Тогда уравнение
(2) примет вид
𝑢
(𝑢′ − ) 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ = 𝑥 2
𝑥
(3)
Найдём функцию 𝑢(𝑥) из условия
𝑑𝑢 𝑑𝑥
=
𝑢
𝑥
𝑢′ −
𝑢
=0
𝑥
⟹
∫
⟹
𝑢′ =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=∫
𝑢
𝑥
𝑢
𝑥
⟹
⟹
𝑑𝑢 𝑢
=
𝑑𝑥 𝑥
ln 𝑢 = ln 𝑥
⟹
𝑢=𝑥
Подставляя 𝑢 = 𝑥 в равенство (3), получим уравнение для функции 𝑣:
𝑢𝑣 ′ = 𝑥 2
⟹
𝑥
𝑑𝑣
= 𝑥2
𝑑𝑥
⟹
𝑑𝑣
=𝑥
𝑑𝑥
⟹
1
𝑣 = 𝑥2 + 𝐶
2
Отсюда следует, что
1
𝑝 = 𝑢𝑣 = 𝑥 ( 𝑥 2 + 𝐶)
2
⇒
1
𝑦 ′ = 𝑥 3 + 𝐶𝑥 2
2
Интегрируя последнее равенство, найдём общее решение заданного
уравнения 2-го порядка:
1
𝐶
𝑦 = 𝑥 4 + 𝑥 2 + 𝐶1
8
2
3) УРАВНЕНИЕ НЕ СОДЕРЖИТ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕНОЙ
𝐹(𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦′′) = 0
В этом случае можно понизить порядок уравнения, если ввести новую
неизвестную функцию и новую независимую переменную, сделав
подстановку
𝑦 ′ (𝑥) = 𝑝(𝑦) ⟹ 𝑦 ′′ (𝑥) =
𝑑
𝑑𝑝 𝑑𝑦
𝑝(𝑦) =
∙
= 𝑝′ (𝑦)𝑝(𝑦)
𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥
⟹ 𝑦 ′′ = 𝑝′ ∙ 𝑝
В результате данной подстановки уравнение 2-го порядка приведётся к
уравнению 1-го порядка 𝐹(𝑦, 𝑝, 𝑝′) = 0.
Подробно этот метод рассмотрим на примере.
ПРИМЕР 3. Найти
уравнения 2-го порядка
3𝑦 ′ 𝑦 ′′ = 2𝑦,
решение задачи Коши для дифференциального
𝑦(0) = 1,
𝑦 ′ (0) = 1
(1)
Заданное уравнение не содержит независимую переменную. Поэтому
сделаем подстановку
𝑦 ′ (𝑥) = 𝑝(𝑦)
⟹
𝑦 ′′ =
𝑑𝑝 𝑑𝑦
∙
= 𝑝′ ∙ 𝑝
𝑑𝑦 𝑥
(2)
Уравнение (1) примет вид:
3𝑝 ∙ 𝑝′ ∙ 𝑝 = 2𝑦
⟹
3𝑝2 ∙ 𝑝′ = 2𝑦
В результате подстановки получили уравнение 1-го порядка с
разделяющимися переменными:
3𝑝2 ∙
𝑑𝑝
= 2𝑦
𝑑𝑦
⟹ 3𝑝2 𝑑𝑝 = 2𝑦𝑑𝑦
(3)
Используя заданные начальные условия для уравнения (1), получим
начальные условия для уравнения (3):
𝑝(1) = 1
Интегрируя обе части равенства (3), найдём функцию 𝑝(𝑦):
∫ 3𝑝2 𝑑𝑝 = ∫ 2𝑦𝑑𝑦
𝑝3 = 𝑦 2 + 𝐶1
⟹
3
⟹ 𝑝 = √𝑦 2 + 𝐶1
Используя начальное условие 𝑝(1) = 1, определим произвольную
постоянную 𝐶1 и частное решение уравнения (3):
1 = 3√1 + 𝐶1
⟹
𝐶1 = 1
3
𝑝 = √𝑦 2 = 𝑦
⟹
2⁄
3
Найденную функцию 𝑝(𝑦) подставим в равенство 𝑦 ′ = 𝑝(𝑦). Получим:
𝑑𝑦
2
= 𝑦 ⁄3
𝑑𝑥
⟹
𝑑𝑦
𝑦
2⁄
3
= 𝑑𝑥
⟹
2⁄
3 𝑑𝑦
𝑦−
= 𝑑𝑥
Проинтегрировав последнее равенство найдём функцию 𝑦:
2⁄
3
∫ 𝑦−
𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥
⟹
3 3√𝑦 = 𝑥 + 𝐶2
⟹ 𝑦=
1
(𝑥 + 𝐶2 )3
27
Чтобы определить произвольную постоянную С2, используем начальные
условия для исходного уравнения: 𝑦(0) = 1. Получим
1=
1
(0 + С2 )3
27
⟹
(𝐶2 )3 = 27
⟹
С2 = 3
Тогда решение задачи Коши для заданного уравнения 2-го порядка будет
иметь вид:
𝑦=
1
(𝑥 + 3)3
27
VI. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Напомним, что дифференциальное уравнение называется линейным, если
искомая функция и её производные входят в уравнение в первой степени
(см. пункт III). Таким образом, линейное дифференциальное уравнение
второго порядка может быть задано в виде (1) или (2):
𝑎(𝑥)𝑦 ′′ + 𝑏(𝑥)𝑦 ′ + 𝑐(𝑥)𝑦 = ℎ(𝑥)
(1)
𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)
(2)
Здесь коэффициенты при искомой функции и её производных − заданные
функции от 𝑥. Уравнение (1) будем называть неприведённым, а уравнение (2)
приведённым.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Линейное дифференциальное уравнение называется
однородным, если правая часть уравнения тождественно равна нулю.
В дальнейшем будем рассматривать только приведённое уравнение. В
частности, однородное приведённое уравнение имеет вид
𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0
(3)
Введём в рассмотрение дифференциальный оператор
𝑑2
𝑑
𝐿 = 2 + 𝑝(𝑥)
+ 𝑞(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Используя свойства производных, можно показать, что данный оператор
линейный, т.е. справедливы равенства:
𝐿(𝑐𝑦) = 𝑐𝐿𝑦,
𝐿(𝑦1 + 𝑦2 ) = 𝐿𝑦1 + 𝐿𝑦2
⟹
𝐿(𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 ) = 𝑐1 𝐿𝑦1 + 𝑐2 𝐿𝑦2
Докажем, например, второе равенство:
𝑑 2 (𝑦1 + 𝑦2 )
𝑑(𝑦1 + 𝑦2 )
𝐿(𝑦1 + 𝑦2 ) =
+
𝑝(𝑥)
+ 𝑞(𝑥)(𝑦1 + 𝑦2 ) =
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
𝑑 2 𝑦1 𝑑 2 𝑦2
𝑑𝑦1
𝑑𝑦2
+
+ 𝑝(𝑥)
+ 𝑝(𝑥)
+ 𝑞(𝑥)𝑦1 + 𝑞(𝑥)𝑦2 =
2
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑 2 𝑦1
𝑑𝑦1
𝑑 2 𝑦2
𝑑𝑦2
+ 𝑞(𝑥)𝑦1 ) + ( 2 + 𝑝(𝑥)
+ 𝑞(𝑥)𝑦2 ) = 𝐿𝑦1 + 𝐿𝑦2
( 2 + 𝑝(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
C помощью введённого оператора линейные дифференциальные
уравнения можно записать кратко в операторной форме. В частности,
однородное и неоднородное
соответственно в виде:
𝐿𝑦 = 0,
приведённые
уравнения
запишутся
(4)
𝐿𝑦 = 𝑓
ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
СВОЙСТВО 1. Если функции 𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥) − решения линейного
однородного уравнения, то их сумма 𝑦1 (𝑥) + 𝑦2 (𝑥) также решение этого
уравнения.
СВОЙСТВО 2. Если функция 𝑦(𝑥) − решение линейного однородного
уравнения, то при любом значении произвольной постоянной C функция
𝐶𝑦(𝑥) также решение этого уравнения.
СЛЕДСТВИЕ.
Любая линейная комбинация решений линейного
однородного уравнения является решением этого уравнения.
Справедливость свойств решений линейного уравнения 𝐿𝑦 = 0 следует из
свойств линейного оператора 𝐿.
СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ
ОДНОРОДНОГО ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Введём сначала некоторые понятия и определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Две функции 𝑦1 (𝑥) и 𝑦2 (𝑥) называются линейно
независимыми на некотором интервале (a,b), если равенство
𝛼1 𝑦1 + 𝛼2 𝑦2 = 0
(∗)
выполняется тогда и только тогда, когда 𝛼1 = 𝛼2 = 0.
Если хотя бы одно из чисел ∝1 или ∝2 в равенстве (∗) отлично от
нуля, то функции 𝑦1 (𝑥) и 𝑦2 (𝑥) называются линейно зависимыми.
Пусть, например, 𝛼2 ≠ 0. Тогда из равенства (∗) найдём, что 𝑦2 = −
𝛼1
𝑦.
𝛼2 1
Отсюда следует, что функции 𝑦1 и 𝑦2 линейно зависимы тогда и только
тогда, когда они пропорциональны, т.е. когда
𝑦2
=𝑘
𝑦1
⟹
𝑦2 = 𝑘𝑦1 ,
𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 .
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО
Вычислим производную частного двух функций
′
𝑦2
( ) =
𝑦1
𝑦2′ 𝑦1
−
𝑦12
𝑦2 𝑦1′
=
𝑦1
|𝑦 ′
1
𝑦2
𝑦2′ |
𝑦12
=
Δ
𝑦12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Определитель
𝑦1
Δ = |𝑦 ′
1
𝑦2
𝑦2′ |
называется определителем Вронского для функций 𝑦1 (𝑥) и 𝑦2 (𝑥).
Сформулируем (без доказательства) свойства определителя Вронского.
СВОЙСТВО 1. Если функции 𝑦1 и 𝑦2 линейно зависимы на некотором
промежутке (𝑎, 𝑏), то определитель Вронского этих функций на данном
промежутке тождественно равен нулю.
СВОЙСТВО 2. Если функции 𝑦1 и 𝑦2 являются линейно независимыми
решениями однородного линейного уравнения
𝐿𝑦 = 0 на некотором
промежутке (𝑎, 𝑏), то определитель Вронского этих функций не обращается в
ноль ни в одной точке данного промежутка.
Используя свойства определителя Вронского, докажем следующую
теорему .
ТЕОРЕМА 2. ( о структуре общего решения линейного однородного
уравнения второго порядка). Пусть функции 𝑦1 (𝑥) и 𝑦2 (𝑥) − линейно
независимые решения линейного однородного уравнения
𝐿𝑦 = 0 на
некотором промежутке (𝑎, 𝑏). Тогда общее решение этого уравнения имеет
вид:
𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑦1 (𝑥) + 𝐶2 𝑦2 (𝑥),
где 𝐶1 и 𝐶2 − произвольные постоянные.
Доказательство
Чтобы доказать, что функция 𝑦 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 является общим решением
однородного уравнения 𝐿𝑦 = 0 , нужно проверить, что данная функция
удовлетворяет двум условиям в определении общего решения уравнения
второго порядка (определение 2 п. IV)^
1) При любом наборе произвольных постоянных функция удовлетворяет
уравнению. Это условие выполняется из-за линейности оператора 𝐿:
𝐿(𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 ) = 𝐶1 𝐿(𝑦1 ) + 𝐶2 𝐿(𝑦2 ) = 𝐶1 ∙ 0 + 𝐶2 ∙ 0 = 0.
2) Для любых допустимых начальных условий 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝑦 ′ (𝑥0 ) =
𝑦0′ найдутся такие значения произвольных постоянных, при которых функция
удовлетворяет как уравнению. так и начальным условиям. Подставим
функцию 𝑦(𝑥) в начальные условия:
𝐶1 𝑦1 (𝑥0 ) + 𝐶2 𝑦2 (𝑥0 ) = 𝑦0 ,
𝐶1 𝑦1′ (𝑥0 ) + 𝐶2 𝑦2′ (𝑥0 ) = 𝑦0′
Мы получили алгебраическую систему линейных уравнений для
определения постоянных 𝐶1 и 𝐶2 , Определителем этой системы является
определитель Вронского
𝑦 (𝑥 ) 𝑦2 (𝑥0 )
∆(𝑥0 ) = | 1′ 0
|
𝑦1 (𝑥0 ) 𝑦2′ (𝑥0 )
Так как функции
𝑦1 (𝑥) и 𝑦2 (𝑥) − лиекйно независимые решения
однородного уравнения, то определитель Вронского этих функций не
обращается в ноль ни в одной точке промежутка, где определено решение.
Следовательно, ∆(𝑥0 ) ≠ 0 и по теореме Крамера существует единственное
решение полученной алгебраической системы (𝐶10 , 𝐶20 ) такое, что функция
𝑦 = 𝐶10 𝑦1 + 𝐶20 𝑦2 удовлетворяет как уравнению, так и заданным начальным
условиям. Значит, функция 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑦1 (𝑥) + 𝐶2 𝑦2 (𝑥) является общим
решением линейного однородного уравнения (теорема доказана).
Линейно
независимые
решения 𝑦1 (𝑥) и 𝑦2 (𝑥)
образуют
фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения
второго порядка.
Таким образом, нахождение общего решения однородного уравнения
сводится к нахождению лвух линейно независимых частных решений этого
уравнения. Однако в общем случае это не упрощает задачу нахождения
общего решения. Поэтому далее рассмотрим случай однородных уравнений,
для которых всегда можно найти общее решение.
ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение второго порядка
𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 0,
(1)
где 𝑝 и 𝑞 − константы. Будем искать решение этого уравнения в виде
𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 , где 𝑘 − неизвестная константа.
Для нахождения константы 𝑘 подставим функцию 𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 в уравнение.
𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 , 𝑦 ′ = 𝑘𝑒 𝑘𝑥 ,
𝑦 ′′ = 𝑘 2 𝑒 𝑘𝑥
⟹
𝑘 2 𝑒 𝑘𝑥 + 𝑝𝑘𝑒 𝑘𝑥 + 𝑞𝑒 𝑘𝑥 = 0
Сократив последнее равенство на
𝑒 𝑘𝑥 ≠ 0 ,
уравнение второго порядка для определения 𝑘:
𝑘 2 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = 0
получим алгебраическое
(∗∗)
Полученное квадратное уравнение (∗∗) называется характеристическим
для однородного уравнения 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 0.
Фундаментальная система решений и вид общего решения линейного
однородного уравнения зависят от корней характеристического уравнения.
1) Характеристическое уравнение имеет вещественные различные корни
𝑘1 ≠ 𝑘1 . В этом случае фундаментальную систему решений однородного
линейного уравнения образуют линейно независимые функции
𝑦1 = 𝑒 𝑘1𝑥 , 𝑦2 = 𝑒 𝑘2𝑥
Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:
𝑦 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2
⟹
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑘1𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑘2𝑥
2) Корни характеристического уравнения вещественные и равные 𝑘1 = 𝑘2 .
В этом случае одним из решений фундаментальной системы будет функция
𝑦1 = 𝑒 𝑘1𝑥 . В качестве второго решения возьмём функцию 𝑦2 = 𝑥𝑒 𝑘1𝑥 . То, что
эта функция действительно является решением линейного уравнения (1),
легко убедиться , подставив её в уравнение. Кроме того, функции 𝑦1 и 𝑦2
линейно независимы, так как они не пропорциональны. Таким образом,
фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют
функции 𝑦1 = 𝑒 𝑘1𝑥 , 𝑦2 = 𝑥𝑒 𝑘1𝑥 . Общее решение линейного однородного
уравнения имеет вид:
𝑦 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑘1𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑘2𝑥
⟹
3) Корни характеристического уравнения комплексно сопряжённые:
𝑘1 = 𝛼 + 𝑖𝛽,
𝑘2 = 𝛼 − 𝑖𝛽
Так как корни характеристического уравнения различны, можно сразу
записать фундаментальную систему решений линейного однородного
уравнения:
𝑦1∗ = 𝑒 (𝛼+𝑖𝛽)𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 (cos 𝛽𝑥 + 𝑖 sin 𝛽𝑥)
𝑦2∗ = 𝑒 (𝛼−𝑖𝛽)𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 (cos 𝛽𝑥 − 𝑖 sin 𝛽𝑥)
Однако функции
𝑦1∗ и
𝑦2∗ комплексные. Чтобы получить,
фундаментальную систему из вещественных функций. используем свойства
решений линейного однородного уравнения. В качестве новой
фундаментальной системы возьмём функции
𝑦1∗ + 𝑦2∗
𝑦1 =
= 𝑒 𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥
2
𝑦1∗ − 𝑦2∗
𝑦2 =
= 𝑒 𝛼𝑥 sin 𝛽𝑥
2𝑖
Тогда общее решение линейного однородного уравнения примет вид:
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥)
ЗАМЕЧАНИЕ.
В частном случае, когда корни характеристического
уравнения чисто мнимые ( 𝑘1 = 𝑖𝛽, 𝑘2 = −𝑖𝛽 ), фундаментальную систему
решений образуют функции
𝑦1 = cos 𝛽𝑥,
𝑦2 = sin 𝛽𝑥
Общим решением однородного уравнения является функция
𝑦 = 𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥
ПРИМЕР 1. Найти общее решение линейного однородного уравнения
𝑦′′ + 𝑦′ − 12𝑦 = 0
Данное уравнение является однородным линейным уравнением с
постоянными коэффициентами. Запишем для него характеристическое
уравнение и найдём его корни:
𝑘 2 + 𝑘 − 12 = 0
⟹
𝑘1 = 3,
𝑘2 − 4
По найденным корням запишем фундаментальную систему уравнения:
𝑦1 = 𝑒 3𝑥 ,
𝑦2 = 𝑒 −4𝑥
Тогда общее решение будет иметь вид:
𝑦 = 𝑐1 𝑒 3𝑥 + 𝑐2 𝑒 −4𝑥
ПРИМЕР 2. Найти общее решение линейного однородного уравнения с
постоянными коэффициентами
𝑦 ′′ − 4𝑦; +13 = 0
Запишем характеристическое уравнение для данного однородного
уравнения и найдём его корни:
𝑘 2 − 4𝑘 + 13 = 0
𝑘1,2 = 2 ± √4 − 13 = 2 ± √−9
𝑘1 = 2 + 3𝑖,
𝑘2 = 2 − 3𝑖
Так как корни характеристического уравнения комплексно сопряжённые,
фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют
функции
𝑦1 = 𝑒 2𝑥 cos 3𝑥 ,
𝑦2 = 𝑒 2𝑥 sin 3𝑥
Соответственно, общее решение заданного уравнения имеет вид:
𝑦 = 𝑐1 𝑒 2𝑥 cos 3𝑥 + 𝑐2 𝑒 2𝑥 sin 3𝑥 = 𝑒 2𝑥 (𝑐1 cos 3𝑥 + 𝑐2 sin 3𝑥)
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Будем рассматривать приведённое неоднородное уравнение:
𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)
⟹ 𝐿𝑦 = 𝑓
(1)
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО
ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
СВОЙСТВО 1. Если 𝑦0 (𝑥) − решение однородного линейного уравнения
𝐿𝑦 = 0, а 𝑦 ∗ (𝑥) − решение неоднородного уравнения 𝐿𝑦 = 𝑓, то 𝑦(𝑥) =
𝑦0 (𝑥) + 𝑦 ∗ (𝑥) − решение неоднородного уравнения 𝐿𝑦 = 𝑓.
СВОЙСТВО 2. Если 𝑦1 (𝑥) и 𝑦2 (𝑥) − решения линейного неоднородного
уравнения 𝐿𝑦 = 𝑓 , то 𝑦(𝑥) = 𝑦1 (𝑥) − 𝑦2 (𝑥) − решение однородного
уравнения 𝐿𝑦 = 0.
СВОЙСТВО 3. Если 𝑦1 (𝑥) − решение линейного неоднородного
уравнения
𝐿𝑦 = 𝑓1 , а 𝑦2 (𝑥) − решение линейного неоднородного
уравнения
𝐿𝑦 = 𝑓2 , то 𝑦(𝑥) = 𝑦1 (𝑥) + 𝑦2 (𝑥) − решение линейного
неоднородного уравнения 𝐿𝑦 = 𝑓1 + 𝑓2 .
Сформулируем теперь следующую теорему.
ТЕОРЕМА 3 ( о структуре общего решения линейного неоднородного
уравнения второго порядка). Пусть 𝑦1 (𝑥) и 𝑦2 (𝑥) − линейно независимые
решения однородного уравнения 𝐿𝑦 = 0, а 𝑦 ∗ (𝑥) − любое частное решение
неоднородного уравнения 𝐿𝑦 = 𝑓. Тогда общее решение неоднородного
уравнения 𝐿𝑦 = 𝑓 имеет вид:
𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑦1 (𝑥) + 𝐶2 𝑦2 (𝑥) + 𝑦 ∗ (𝑥)
(2)
Здесь 𝐶1 и 𝐶2 − произвольные постоянные.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2 и
опирается на свойства решений неоднородного уравнения и свойства
определителя Вронского.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥)
(3) ,
где 𝑝, 𝑞 константы. Одновременно рассмотрим линейное однородное
уравнение с постоянными коэффициентами
𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 0
(4)
Из теорем 2 и 3 следует, что общее решение неоднородного уравнения (3)
представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (4) и
любого частного решения уравнения (3). И если общее решение однородного
линейного уравнения может быть найдено, , то задача нахождения общего
решения неоднородного уравнения сводится к нахождению частного
решения
этого уравнения.
Способ нахождения частного решения
неоднородного уравнения зависит от вида правой части уравнения. т.е. от
функции 𝑓(𝑥) .
МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ
Пусть y1 (x) и y2 (x) − линейно независимые решения однородного
уравнения ( фундаментальная система решений). Будем искать частное
решение неоднородного уравнения в виде
𝑦 ∗ (𝑥) = 𝑐1 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 (𝑥)𝑦2 (𝑥),
где 𝑐1 (𝑥) и 𝑐2 (𝑥) −неизвестные функции.
𝑦 ∗ (𝑥) :
(5)
Найдём производную функции
(𝑦 ∗ )′ = 𝑐1′ 𝑦1 + 𝑐1 𝑦1′ + 𝑐2′ 𝑦2 + 𝑐2 𝑦2′
Подберём 𝑐1 (𝑥) и 𝑐2 (𝑥) таким образом, чтобы выполнялось условие
𝑐1′ 𝑦1 + 𝑐2′ 𝑦2 = 0
Тогда
(𝑦 ∗ )′ = 𝑐1 𝑦1′ + 𝑐2 𝑦2′
⟹
(𝑦 ∗ )′′ = 𝑐1′ 𝑦1′ + 𝑐1 𝑦1′′ + 𝑐2/ 𝑦2′ + 𝑐2 𝑦2′′
Подставляя выражения для 𝑦 ∗ , (𝑦 ∗ )′ , (𝑦 ∗ )′′ в неоднородное уравнение,
получим
/
𝑐1′ 𝑦1′ + 𝑐1 𝑦1′′ + 𝑐2 𝑦2′ + 𝑐2 𝑦2′′ + 𝑝[𝑐1 𝑦1′ + 𝑐2 𝑦2′ ] + 𝑞[𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 ] = 𝑓(𝑥)
⟹
𝑐1 (𝑦1′′ + 𝑝𝑦1′ + 𝑞𝑦1 ) + 𝑐2 (𝑦2′′ + 𝑝𝑦2′ + 𝑞𝑦2 ) + 𝑐1′ 𝑦1′ + 𝑐2′ 𝑦2′ = 𝑓(𝑥)
Так как
𝑦1 (𝑥) и 𝑦2 (𝑥) − решения однородного уравнения (4), то
выражения в скобках равны нулю. Поэтому из последнего равенства найдём
𝑐1′ 𝑦1′ + 𝑐2′ 𝑦2′ = 𝑓(𝑥)
Таким образом, функции
𝑐1 (𝑥) и 𝑐2 (𝑥)
должны удовлетворять
следующей системе дифференциальных уравнений:
𝑐′ 𝑦 + 𝑐′ 𝑦 = 0
{ ′ 1′ 1 ′ 2′ 2
𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 = 𝑓(𝑥)
(6)
𝑦2
′ | ≠ 0, так как это определитель
1 𝑦2
Вронского для линейно независимых решений y1 (x) и y2 (x) линейного
однородного уравнения. Поэтому система (6) имеет единственное решение
Определитель системы
𝑦1
∆= |𝑦 ′
𝑐1′ = 𝜑1 (𝑥), 𝑐2′ = 𝜑2 (𝑥), где 𝜑1 (𝑥) и 𝜑2 (𝑥) − некоторые функции от 𝑥.
Интегрируя эти функции, найдём 𝑐1 (𝑥) и 𝑐2 (𝑥), а затем по формуле (5)
получим частное решение 𝑦 ∗ (𝑥) неоднородного уравнения.
ПРИМЕР 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
𝑦′′ + 𝑦 =
cos 𝑥
(sin 𝑥)2
Найдём сначала общее решение соответствующего однородного
уравнения
𝑦′′ + 𝑦 = 0.
Запишем характеристическое уравнение и
определим его корни:
𝑘2 + 𝑘 = 0
⟹
𝑘1,2 = ±𝑖
Фундаментальная система решений и общее решение однородного
уравнения соответственно имеют вид:
𝑦1 (𝑥) = cos 𝑥 , 𝑦2 (𝑥) = sin 𝑥
⟹
𝑦0 (𝑥) = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 sin 𝑥
Частное решение заданного неоднородного уравнения будем искать в
виде 𝑦 ∗ (𝑥) = 𝑐1 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 (𝑥)𝑦2 (𝑥). где 𝑐1 (𝑥) и 𝑐2 (𝑥) − неизвестные
функции. Запишем для этих функций систему (6):
𝑐1′ cos 𝑥 + 𝑐2′ sin 𝑥 = 0
cos 𝑥
{ ′
−𝑐1 sin 𝑥 + 𝑐2′ cos 𝑥 =
(sin 𝑥)2
Решим её, используя метод Крамера:
∆= |
0
cos
𝑥
∆1 = |
(sin 𝑥)2
cos 𝑥
− sin 𝑥
sin 𝑥
| = (cos 𝑥)2 + (sin 𝑥)2 = 1
cos 𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
=
−
,
|
cos 𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
∆2 = | sin 𝑥
0
2
cos 𝑥 | = (cos 𝑥)
(sin 𝑥)2
(sin 𝑥)2
Отсюда:
𝑐1′ (𝑥) =
𝑐2′ (𝑥)
∆1
cos 𝑥
=−
∆
sin 𝑥
𝑐1 (𝑥) = − ∫
⟹
∆2 (cos 𝑥)2
=
=
(sin 𝑥)2
∆
⟹
cos 𝑥
𝑑𝑥 = − ln sin 𝑥
sin 𝑥
(cos 𝑥)2
𝑐2 (𝑥) = ∫
𝑑𝑥 = −𝑐𝑡𝑞𝑥 − 𝑥
(sin 𝑥)2
Так как мы находим частное решение неоднородного уравнения, то при
интегрировании можно не добавлять константы.
Запишем искомое частное решение заданного уравнения
𝑦 ∗ (𝑥) = (− ln sin 𝑥) ∙ cos 𝑥 + (−𝑐𝑡𝑞𝑥 − 𝑥) ∙ sin 𝑥
Следовательно, общее решение заданного неоднородного уравнения имеет
вид:
𝑦(𝑥) = 𝑦0 (𝑥) + 𝑦 ∗ (𝑥) =
𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 sin 𝑥 + (− ln sin 𝑥) ∙ cos 𝑥 + (−𝑐𝑡𝑞𝑥 − 𝑥) ∙ sin 𝑥
Здесь с1 и с2 – произвольные постоянные.
НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТИ
Рассмотрим неоднородное
постоянными коэффициентами
линейное уравнение второго порядка с
𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥)
И пусть правая часть уравнения имеет вид:
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝛼𝑥 [𝑈𝑚 (𝑥) cos 𝛽𝑥 + 𝑉𝑛 (𝑥) sin 𝛽𝑥]
Здесь 𝛼 и 𝛽 − произвольные вещественные числа, 𝑈𝑚 (𝑥) и 𝑉𝑛 (𝑥) −
заданные многочлены степени 𝑚 и 𝑛 соответственно.
В этом случае частное решение неоднородного уравнения можно найти
методом подбора или, что то же, методом неопределённых коэффициентов.
Введём в рассмотрение комплексную величин у 𝛼 + 𝑖𝛽, которую назовём
характеристикой правой части. Частное решение неоднородного уравнения
будем искать в виде:
𝑦 ∗ (𝑥) = 𝑥 𝑠 𝑒 𝛼𝑥 [𝑃𝑘 (𝑥) cos 𝛽𝑥 + 𝑄𝑘 (𝑥) sin 𝛽𝑥],
(7)
где 𝑃𝑘 (𝑥) и 𝑄𝑘 (𝑥) − многочлены с неопределёнными коэффициентами
степени 𝑘 = 𝑚𝑎𝑥(𝑚, 𝑛),
0, если 𝛾 ≠ 𝑘1 ≠ 𝑘2
𝑠 = { 1, если 𝛾 = 𝑘1 ≠ 𝑘2
2, если 𝛾 = 𝑘1 = 𝑘2
Здесь 𝑘1 и 𝑘2 −корни характеристического уравнения 𝑘 2 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = 0.
Чтобы найти коэффициенты многочленов 𝑃𝑘 (𝑥) и 𝑄𝑘 (𝑥), нужно 𝑦 ∗ (𝑥)
подставить в заданное неоднородное уравнение.
Продемонстрируем этот метод на примере.
ПРИМЕР 4. Найти общее решение неоднородного линейного уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
𝑦′′ + 5𝑦′ + 6𝑦 = 12𝑥𝑒 𝑥
Решим сначала однородное уравнение 𝑦′′ + 5𝑦′ + 6𝑦 = 0. Запишем
характеристическое уравнение и найдём его корни:
𝑘 2 + 5𝑘 + 6 = 0
⟹
𝑘1 = −2,
𝑘2 = −3
Запишем фундаментальную систему решений и общее решение
однородного уравнения:
𝑦1 (𝑥) = 𝑒 −2𝑥 , 𝑦2 (𝑥) = 𝑒 −3𝑥
⟹
𝑦0 (𝑥) = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 −3𝑥
Найдём теперь частное решение неоднородного уравнения. Рассмотрим
правую часть уравнения и запишем её характеристику:
𝑓(𝑥) = 12𝑥𝑒 𝑥 ,
𝛼 = 1,
𝛽=0
⟹
𝛾=1
Так как
𝛾 ≠ 𝑘1 ≠ 𝑘2 , то в формуле (7) параметр 𝑠 = 0,
частное решение нужно искать в виде:
поэтому
𝑦 ∗ (𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵)
Чтобы найти коэффициенты 𝐴 и 𝐵 , вычислим производные функции
𝑦
и подставим их в заданное уравнение:
∗ (𝑥)
(𝑦 ∗ )′ = 𝑒 𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵) + 𝐴𝑒 𝑥 ,
(𝑦 ∗ )′′ = 𝑒 𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵) + 2𝐴𝑒 𝑥 ,
𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 12𝑥𝑒 𝑥
𝑒 𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵) + 2𝐴𝑒 𝑥 + 5(𝑒 𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵) + 𝐴𝑒 𝑥 ) + 6𝑒 𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵) = 12𝑥𝑒 𝑥
Разделив обе части уравнения на 𝑒 𝑥 ≠ 0 и приведя подобные члены,
получим равенство двух многочленов:
12𝐴𝑥 + (7𝐴 + 12𝐵) = 12𝑥
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной
𝑥, запишем систему для определения коэффициентов 𝐴 и 𝐵:
{
Тогда
12𝐴 = 12
⟹
7𝐴 + 12𝐵 = 0
𝑦 ∗ (𝑥) = 𝑒 𝑥 (𝑥 −
7
𝐴 = 1,
𝐵=−
7
12
). Соответственно, общее решение заданного
12
уравнения имеет вид:
𝑦(𝑥) = 𝑦0 (𝑥) + 𝑦 ∗ (𝑥) = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 −3𝑥 + 𝑒 𝑥 (𝑥 −
7
12
).
V. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Системой дифференциальных уравнений называется
совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит
независимую
переменную, несколько неизвестных функций и их
производных.
В настоящем разделе мы ограничимся рассмотрением нормальной
системы дифференциальных уравнений, содержащей независимую
переменную и две неизвестных функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Нормальной системой дифференциальных уравнений от
двух неизвестных функций 𝑥1 (𝑡) и 𝑥2 (𝑡) называется система вида:
𝑑𝑥1
= 𝑓1 (𝑡, 𝑥1 , 𝑥2 )
𝑑𝑡
{
𝑑𝑥2
= 𝑓2 (𝑡, 𝑥1 , 𝑥2 )
𝑑𝑡
(1)
Здес 𝑡 − независимая переменная , 𝑓1 (𝑡, 𝑥1 , 𝑥2 ), 𝑓2 (𝑡, 𝑥1 , 𝑥2 ) − заданные
функции.
Таким образом, нормальная система дифференциальных уравнений
состоит из уравнений 1-го порядка, разрешённых относительно производных,
и число уравнений всегда равно числу неизвестных функций.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Решением системы (1) на некотором промежутке (𝛼, 𝛽)
называется любой набор функций [𝑥1 (𝑡) , 𝑥2 (𝑡)] , который обращает в
тождество каждое уравнение системы.
Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я для системы (1) имеют вид:
𝑥1 (𝑡0 ) = 𝑥10 ,
𝑥2 (𝑡0 ) = 𝑥20
(2)
З а д а ч а К о ш и для системы (1) ставится следующим образом:
найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).
Допустимые условия существования и единственности решения задачи
Коши определяются следующей теоремой, которую приведём здесь без
доказательства.
ТЕОРЕМА 1. (Коши) Если в системе (1) функции 𝑓1 (𝑡, 𝑥1 , 𝑥2 ) и 𝑓2 (𝑡, 𝑥1 , 𝑥2 )
определены и непрерывны вместе со своими частными производными по
𝑥1 и 𝑥2, в некоторой трёхмерной области
G, содержащей точку
М0 (𝑡0 , 𝑥10 , 𝑥20 ), то в этой области существует и притом единственное решение
системы 𝑥1 = 𝜑1 (𝑡), 𝑥2 = 𝜑2 (𝑡) , удовлетворяющее начальным условиям
𝑥1 (𝑡0 ) = 𝑥10 , 𝑥2 (𝑡0 ) = 𝑥20 .
Решение задачи Коши является частным решением системы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Общим решением системы (1) называется набор
функций
𝑥1 = 𝜑1 (𝑡, 𝑐1 , 𝑐2 ), 𝑥2 = 𝜑2 (𝑡, 𝑐1 , 𝑐2 ) ,
зависящих от двух
произвольных постоянных и удовлетворяющих следующим условиям:
1) для любых значений произвольных постоянных функции удовлетворяют
системе (1);
2) для любых допустимых начальных условий (2) найдутся такие значения
произвольных
постоянных
𝑐10 , 𝑐20
,
при
которых
функции
𝜑1 (𝑡, 𝑐10 , 𝑐20 ), 𝜑2 (𝑡, 𝑐10 , 𝑐20 ) удовлетворяют как системе, так и начальным
условиям.
РЕШЕНИЕ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ПОДСТАНОВКИ
Суть метода подстановки заключается в том, что решение системы двух
дифференциальных уравнений первого порядка сводится к решению одного
дифференциального уравнения второго порядка. Покажем, как применяется
этот метод на конкретном примере.
ПРИМЕР 1.
уравнений
Найти
общее решение
𝑑𝑥
= 𝑥 + 5𝑦
𝑑𝑡
{
𝑑𝑦
= −𝑥 − 3𝑦
𝑑𝑡
⟹
системы дифференциальных
𝑥 ′ = 𝑥 + 5𝑦
{ ′
𝑦 = −𝑥 − 3𝑦
(1)
Продифференцируем первое уравнение по 𝑡 и в полученное уравнение
подставим вместо 𝑥 ′ и 𝑦 ′ их выражения из заданной системы:
𝑥 ′′ = 𝑥 ′ + 5𝑦 ′ ⟹
𝑥 ′′ = 𝑥 + 5𝑦 + 5(−𝑥 − 3𝑦) = −4𝑥 − 10𝑦
Теперь вместо заданной рассмотрим эквивалентную систему
𝑥 ′ = 𝑥 + 5𝑦
{
𝑥′′ = −4𝑥 − 10𝑦
(2)
В полученной системе выразим из первого уравнения 𝑦 через 𝑥 , 𝑥′ и
подставим во второе уравнение:
𝑦=
𝑥′ − 𝑥
5
𝑥′′ = −4𝑥 − 10
𝑥′ − 𝑥
= −2𝑥 − 2𝑥′
5
Теперь перейдём от системы (2) к эквивалентной системе
𝑥′′ = −2𝑥 − 2𝑥′
𝑥′ − 𝑥
{
𝑦=
5
⟹
𝑥 ′′ + 2𝑥 ′ + 2𝑥 = 0
𝑥′ − 𝑥
{
𝑦=
5
(3)
Первое уравнение в полученной системе является дифференциальным
уравнением второго порядка относительно функции 𝑥(𝑡), а функция 𝑦(𝑡)
является комбинацией 𝑥(𝑡) и её производной. Таким образом, нахождение
решения системы двух уравнений первого порядка сведено к нахождению
решения одного дифференциального уравнения второго порядка. Решим это
уравнение.
Уравнение 𝑥′′ + 2𝑥′ + 2𝑥 = 0 является однородным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами, и его решение легко найти с
помощью характеристического уравнения. Запишем характеристическое
уравнение и найдём его корни:
𝑘 2 + 2𝑘 + 2 = 0
𝑘1,2 = −1 ± 𝑖
По корням характеристического запишем фундаментальную систему
решений и общее решение однородного уравнения
𝑥1 (𝑡) = 𝑒 −𝑡 cos 𝑡 , 𝑥2 (𝑡) = 𝑒 −𝑡 sin 𝑡
⟹
𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝑡 (𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 sin 𝑡)
Чтобы найти функцию 𝑦(𝑡), найдём 𝑥′(𝑡) и подставим выражения для
𝑥(𝑡) и 𝑥′(𝑡) во второе равенство системы (3):
𝑥′(𝑡) = −𝑒 −𝑡 (𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 sin 𝑡) + 𝑒 −𝑡 (−𝑐1 sin 𝑡 + 𝑐2 cos 𝑡)
𝑦=
𝑥′ − 𝑥 1 −𝑡
= 𝑒 [(𝑐2 − 2𝑐1 ) cos 𝑡 + (−𝑐1 − 2𝑐2 ) sin 𝑡]
5
5
Таким образом, общим решением заданной системы является набор
функций:
𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝑡 (𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 sin 𝑡)
1
𝑦(𝑡) = 𝑒 −𝑡 [(𝑐2 − 2𝑐1 ) cos 𝑡 + (−𝑐1 − 2𝑐2 ) sin 𝑡]
5
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Нормальная система дифференциальных уравнений
называется линейной, если неизвестные функции в правые части системы
входят в первой степени.
В частности, линейная система двух дифференциальных уравнений имеет
вид:
𝑑𝑥1
= 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑓1 (𝑡)
𝑑𝑡
{
𝑑𝑥2
= 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑓2 (𝑡)
𝑑𝑡
Здесь 𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡) − неизвестные функции,
𝑎𝑖𝑗 (𝑡) и 𝑓𝑖 (𝑡), (𝑖, 𝑗 = 1,2) − заданные функции.
(1)
коэффициенты
𝑎𝑖𝑗 =
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Если коэффициенты 𝑎𝑖𝑗 в линейной системе константы,
то система называется линейной системой с постоянными коэффициентами.
Линейную систему дифференциальных уравнений можно записать в
матричном виде. Введём следующие матрицы:
𝑎11
𝐴 = (𝑎
21
𝑑𝑥1
𝑑𝑋
𝑎12
𝑥1
𝑑𝑡
𝑎22 ) , 𝑋 = (𝑥2 ), 𝑑𝑡 = ( 𝑑𝑥2 ) ,
𝑑𝑡
𝑓
𝐹 = ( 1)
𝑓2
Тогда, используя правила умножения и сложения матриц, линейную
систему (1) можно записать в виде:
𝑑𝑋
= 𝐴𝑋 + 𝐹
𝑑𝑡
(2)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Система линейных уравнений называется однородной,
если функции 𝑓1 (𝑡) и 𝑓2 (𝑡) тождественно равны нулю. В противном случае
система называется неоднородной.
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ
С
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА
Рассмотрим однородную линейную систему с постоянными коэффициентами
𝑑𝑥1
= 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2
𝑑𝑡
{
𝑑𝑥2
= 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2
𝑑𝑡
𝑑𝑋
= 𝐴𝑋
𝑑𝑡
⟹
(3)
Будем искать решение системы в виде:
𝑥1 = 𝛼1 𝑒 𝑘𝑡
{
𝑥2 = 𝛼2 𝑒 𝑘𝑡
𝑋 = 𝑒 𝑘𝑡 𝐿,
⟹
𝛼1
𝐿 (𝛼 )
2
Для нахождения величин 𝛼1 , 𝛼2 и k подставим решение в систему,
используя для краткости матричную запись
𝑑𝑋
= 𝑘𝑒 𝑘𝑡 𝐿
𝑑𝑡
𝑘𝑒 𝑘𝑡 𝐿 = 𝐴𝑒 𝑘𝑡 𝐿
⟹
Сократим последнее матричное равенство на скалярный множитель 𝑒 𝑘𝑡 .
Получим
𝑘𝐿 = 𝐴𝐿
⟹
𝐴𝐿 = 𝑘𝐿
Отсюда следует, что 𝐿 и k − соответственно собственный вектор и
собственное значение матрицы 𝐴 . Координаты собственного вектора
являются решением линейной однородной
системы алгебраических
уравнений
𝐴𝐿 = 𝑘𝐿 ⇒
(𝑎 − 𝑘)𝛼1 + 𝑎12 𝛼2 = 0
(𝐴 − 𝑘𝐸)𝐿 = 0 ⟹ { 11
,
𝑎21 𝛼1 + (𝑎22 − 𝑘)𝛼2 = 0
а параметр k−корнем характеристического уравнения этой системы
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝑘𝐸) = 0
⟹
|
𝑎11 − 𝑘
𝑎21
𝑎12
| =0
𝑎22 − 𝑘
Структура общего решения системы дифференциальных уравнений (3)
зависит от корней характеристического уравнения. Рассмотрим ( на примере )
самый простой случай, когда характеристическое уравнение имеет различные
вещественные корни.
ПРИМЕР 2. Найти общее решение линейной однородной системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
𝑑𝑥
= 4𝑥 − 3𝑦
𝑑𝑡
{
𝑑𝑦
= 2𝑥 − 3𝑦
𝑑𝑡
𝑥
𝑋 = (𝑦) ,
𝐴=(
4 −3
)
2 −3
Запишем характеристическое уравнение системы и найдём его корни:
|
4−𝑘
2
−3
|=0
−3 − 𝑘
⟹
𝑘2 − 𝑘 − 6 = 0
𝑘 = −2
⟹ { 1
𝑘2 = 3
Для каждого собственного значения матрицы А найдём собственный
вектор.
𝑘1 = −2.
вектора:
Запишем и решим систему для определения собственного
0
6 −3 𝛼1
(
) (𝛽 ) = ( )
2 −1
0
1
⟹ 2𝛼1 − 𝛽1 = 0 , 𝛽1 = 2𝛼1
1
⟹ 𝐿1 = ( )
2
𝑘2 = 3.
1
(
2
−3 𝛼2
0
) (𝛽 ) = ( ) ⟹ 𝛼2 − 3𝛽2 = 0 ⟹ 𝛼2 = 3𝛽2
−6
0
2
⟹
3
𝐿2 = ( )
1
Так как собственные векторы 𝐿1 и 𝐿2 линейно независимы ( их
координаты не пропорциональны), то мы получим два линейно независимых
решения
заданной однородной системы, которые образуют
фундаментальную систему решений
1
𝑋1 = 𝑒 −2𝑡 ( ),
2
3
𝑋2 = 𝑒 3𝑡 ( )
1
Как и в случае линейного однородного уравнения, общее решение
однородной системы представляет собой линейную комбинацию решений
фундаментальной системы:
𝑋 = 𝑐1 𝑋1 + 𝑐2 𝑋2
⟹
𝑥
1
3
𝑋 = (𝑦) = 𝑐1 𝑒 −2𝑡 ( ) + 𝑐2 𝑒 3𝑡 ( )
2
1
Ответ можно записать также в развёрнутой форме:
𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝑒 −2𝑡 + 3𝑐2 𝑒 3𝑡
{
𝑦(𝑡) = 2𝑐1 𝑒 −2𝑡 + 𝑐2 𝑒 3𝑡
Чтобы найти постоянные 𝑐1 и 𝑐2 , зададим начальные условия:
𝑥(0) = 0, 𝑦(0) = −5
Тогда, подставив начальные условия в общее решение, получим систему
уравнений для нахождения 𝑐1 и 𝑐2 :
𝑐 + 3𝑐2 = 0
{ 1
2𝑐1 + 𝑐2 = −5
⟹
𝑐1 = −3,
𝑐2 = 1
Решение задачи Коши для заданной системы дифференциальных
уравнений будет иметь вид:
𝑥(𝑡) = −3𝑒 −2𝑡 + 3𝑒 3𝑡
{
𝑦(𝑡) = −6𝑒 −2𝑡 + 𝑒 3𝑡
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Письменный Д.Т. « Конспект лекций по высшей математике»
2. Пискунов Н.С. « Дифференциальное и интегральное исчисления», ч. 2.
3. Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И. « Сборник задач по
обыкновенным дифференциальным уравнениям».
: