Дидактические материалы по теме “Степень”

МАТЕРИАЛЫ по теме
«ОБОБЩЕНИЕ СТЕПЕНИ»
1.СТЕПЕНЬ
2.ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
СТЕПЕНЬ →
а
n
Краткий справочный
материал
по теме «Степень»
an ∙ am = an+m
an : am = an-m
𝑎𝑛
;
𝑏𝑛
-n
a =
b≠ 0
1
;
𝑎𝑛
4) 5 ∙ 5
a≠0
5
6
a a
m
𝑛
1
10
= 5
1
6
6) 4 : 4 = 4
a0 = 1, a≠0
n
1) a3 ∙ a4 = a3+4 = a7 2) 42 ∙ 4-3 = 42+(-3) = 4-1
4
5
4 1
+
5 10
5 1
−
6 6
=5
9
10
4
6
=4 =4
2
3
8)
1
(3)3
1
3
∙ =
1
(3)3
∙
1
(3)1
2
3
=
1
14
=(3)4 = 34
2
3
=
2
3
4
9
1
81
𝑛
𝑎 √𝑎
√ =𝑛
𝑏
√𝑏
𝑛
𝑎
𝑎3
𝑏3
1
𝑎 −4
9) (a ) = 𝑎
12)(𝑏 )3 =
16) a4 =
𝑛 𝑘
√ √𝑎 = 𝑛𝑘√𝑎 (𝑘 > 0)
√𝑎 =
√𝑎 𝑘
(𝑘 > 0)
=3
14) a-3 =
1
𝑎3
10) (3 ) = 3
= 12
4
13) (5)2 =
42
52
=
16
25
17) 52 =
𝑏
𝑐
18) ( 𝑐 ) -3 = (𝑏)3
𝑛𝑘
5∙3
5 3
20) 6 0 = 1
1
5−2
2
5
1 3
2
15
11) (4 ) = 4
1 5
∙
2 3
15) 4-2 =
=4
1
42
=
5
6
1
16
√𝑎 𝑘
𝑛
𝑘
= ( √𝑎)
3
4) (4) 6 : (4)-3
Упростите:
1
2) (32)7
3) (( 3)2 )4
1)(с7)2
Вычислите:
1) 6
7
0
2) (-9)0 3) (8)0
Раскройте скобки:
2
5
19) (5) – 4 = (2)4
1
21) (3)0 = 1
𝑐
𝑘
1) ( )4
2
3
2) ( )3
Запишите в виде дроби:
1) с-4 2) 6-3
3) b2
4) 34
Избавьтесь от знака «-» в показателе степени:
𝑥
1) (𝑦)-2
𝑛
1
3
3) 37 : 3−7
√𝑎𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏
4∙3
1
3) 23 ∙ 2−2
4) ∙ ( )4
2
2
Упростите:
1) a7 : a5
2) 48 : 4-5
𝑛
4 3
42 , √7.
1
7) ( ) 4 : ( )2 = ( )4-2 = ( )2 =
1
(3)3+1
5
y5 ,
Упростите выражения:
1) b4 ∙ b5
2) 32 ∙ 3-4
3) 3-2 : 3-5 = 3-2-5 = 3-7
5) a5: a3 = a5-3 = a2
2
3
Прочитайте: bn ,
6
√5 ,
√3.
4
m
n
𝑛
𝑛
Задания для самостоятельной
работы
a ∙ a = a2 ( читаем: a во 2-ой степени)
x ∙ x ∙ x ∙ x = x4 ( читаем: x в 4-ой степени)
3∙ 3 ∙ 3 = 33 ( читаем: 3 в 3-ей степени)
3
√8 ( читаем: корень кубический из 8)
a ∙ a ∙ … ∙ a = an
Читаем:
an – « a в n-ой степени»
(an)m = anm
(𝑎𝑏)n =
Примеры решения типовых заданий
4
5 5
2
1) (6 )
3
2) (7)-3
1
2) (27 ∙ 8 ∙ 125)3
Степенью числа "a" с натуральным показателем "n",
бóльшим 1, называется произведение "n" одинаковых
множителей, каждый из которых равен числу "a".
1. Степенью числа «а» с показателем n = 1
является само это число: a1 = a
2.Любое число в нулевой степени равно
единице: a0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен
нулю: 0n = 0
При возведении в степень положительного
числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень
получается ноль.
Рассмотрим примеры возведения в степень
отрицательных чисел.
Отрицательное число, возведённое в чётную
степень, есть число положительное.
Отрицательное число, возведённое
в нечётнуюстепень, — число отрицательное.
Квадрат любого числа есть положительное
число или нуль, то есть:
a2 ≥ 0 при любом a.
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто
делают ошибки, забывая, что записи (−5)4 и −54 это
разные выражения. Результаты возведения в степень
данных выражений будут разные.
Вычислить (−5)4 означает найти значение четвёртой
степени отрицательного числа.
(−5)4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625
В то время как найти −54 означает, что пример нужно
решать в 2 действия:
1. Возвести в четвёртую
степень положительное число 5.
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Поставить перед полученным результатом знак
«минус» (то есть выполнить действие
вычитание).
−54 = −625
Пример. Вычислить: −62 − (−1)4
−62 − (−1)4 = −37
1. 1. 23 =
2. (−1)3 =
1 4
3.
(− 3) =
РЕШАЕМ:
2. 1. 50 =
2. (−3,1)0 =
1 −4
2) ( )
16
3. 1. 5−1 =
2. 10−2 =
1 −2
3.
(10) =
1)0,5−4
3
=
2
3) 273 =
7
4)83
4. 1. 250,5 =
2. 823 =
5. 1. 25 ∙ 2У =
2. 7Х+2 =
5) 251,5 =
6. 1. 42−𝑛 =
2. 29=
7
7)26 ∙ 2−4 =
7. 1. (23 )10 =
8) (а2 )4 =
6)0,25−0,5 =
5
3
2
1
2. 52Х =
8. 1. 25 35 =
2. (3ху4 )2 =
1
9) 812 =
103
9. 1.
1
2
=
3
10) 12 =
2Х 4
11)(50 )4 =
2
1
2. ( У ) =
ЗАПИШЕМ
1
1) = 3−1
3
3)
1
64
= 64−1
1 −1
4) ( )
3
5)
ИНАЧЕ:
1
2)(27 )7 = 2
1
1
3)
= 125−1 = 3 = 5−3
125
5
1
1
1
= 2 = 8−2 = 3 = 4−3 = 6 = 2−6
8
3 −1
6) ( )
8
6 −1
7) ( )
7
2
5) 91,5 =
=3
1 5
3 5
3
((7) ) =7
7)
4
(0,25)−1
31,5∙2 = 33 = 27
7
2 4
7
3
1
8) 40,5 = 2
6
3
12) А. 83 = √8 = 2.
1
7
1
25 −1
1 −1
= (
) = ( ) = (2−2 )−1 = 2
100
4
8
=
=
27
6) (6 ) = 67∙4 = 62 = √6
1
1
В. 83 = (23 )3 = 23∙3 = 2.
3
2
1. Вычислите 9 + 27
2
3
2
3
3
1 −4
−( )
16
3
−
1
4
2
3
= 32∙2 + 33∙3 − 2
3
(−4)∙(− )
4
2
3
3
= (32 )2 + (33 )3 − (2−4 )−4 =
Решение: 92 + 273 − ( )
16
= 33 + 32 − 23 = 27 + 9 − 8 = 28
2. Вычислите
4
9𝑎5
9
𝑎5
+
1
2𝑎−5
при 𝑎 = 5
Решение:
4
4
9𝑎5
9
𝑎5
=
1
2𝑎−5
1
4 1
9𝑎5 ∙ 𝑎5
9
(𝑎5
9𝑎
+
При 𝑎 = 5
1 =
𝑎5
45
1
2𝑎−5 )
9∙5
+
=
𝑎2 +2
52 +2
∙
=
9𝑎5+5
9 1
1 1
𝑎5+5 + 2𝑎−5+5
9𝑎1
9𝑎
= 2
=
𝑎 + 2𝑎0 𝑎2 + 2
27
3.Решить
1
42
3
164
∙
∙
3
−
16 4
1
∙ 23 .
1 5
3
83 ∙ 814 + (65 ) .
2
1 −5
3 ∙9 +( )
32
1
3
1
3
3 ∙ 0,0081
2
𝑎3
Вычислите
5
2
при 𝑎 = 9 27
Вычислите
𝑎3 +𝑎3
−0,25
1
1 4
(𝑎2 𝑏2 )
1 9
1 −0,75
+( )
16
при 𝑎 = 7, 𝑏 = 2 29
𝑎2 𝑏8

5
4
16  (0,01)
5

1
1
2
 12   7
1

0 3
 16  2  64

2
3
3
2
625  53  25  7  (40 ) 4  25
√5 7√55 ∙ 7√5−2
3
1
2
1
 
8
1
3
7
√322 + 34 ∙ (274 + 34 )
6
5

1
3
(7 − √41) ∙ (7 + √41)
3
3
√9 + √73 ∙ √9 − √73
1
3
1
1
(√23 − √ 3 ) : (√2 − √ )
2
2
33
(𝑎 √
1
3
𝑎)5 (𝑎2
√
1
𝑎 )7
Проверьте равенство
√8 + 2√10 + 2√5 − √8 − 2√10 + 2√5 = √20 − 4√5
Найдите значение числового выражения
√33 + √8 ∙ √6 + √3 + √8 ∙ √3 + √3 + √3 + √8 ∙ √3 − √3 + √3 + √8
Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное
(переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции
возведения в рациональную (дробную) степень.
Для решения иррациональных уравнений обычно используются
следующие п р и е м ы :
1) «уединение» корня в одной из частей уравнения и возведение в
соответствующую степень;
2) следует помнить, что при решении иррациональных уравнений
необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в
исходное уравнение или нахождение ОДЗ ;
Образец 1
√х − 4 = 6
Возведём в квадрат обе части
2
(√х − 4) = 62
Х – 4 = 36
Х = 40
ОДЗ: Х – 4 > 0
Х>4
Х = 40 > 4 Ответ: 40
Образец 2
√х = х −2
2
(√х) = (х − 2)2
х =х2 − 4х + 4
х2 − 5х + 4 = 0
Д=25-16=9=32 ; х1.2 = 4; 1;
1) х1 = 4 => √4 = 4 − 2;
2=2=> х1− удовлетворяет условию.
2) х2 = 1 => √1 = 1− 2; 1 ≠ −1 => х2 –не удовлетворяет условию
Проверка:
Ответ: х=4.
Реши примеры
3. 3х+1 = √1 − х
1.
4. √4 − 6х − х2 = х + 4
2.
5. √8 − 6х − х2 – х = 6
6  4 х  х2  4  х
6.
7. х 
8.

х 1  5
9  2х  5

9.

х  5 1  0
10.
2х  5  2х  1
х  10  х  2  6

11. х  25
2

24  2 х  х 2  0