Вопрос 1. Предмет высшей геодезии.

Тема 1. Введение.
Вопросы:
1. Предмет высшей геодезии
2. Термины и определения
3. Основные разделы высшей геодезии.
Вопрос 1. Предмет высшей геодезии.
Предметом высшей геодезии является:
Определение формы, размеров и гравитационного поля земли.
Создание государственные опорных геодезических сетей
Изучение геодинамических явлений
Решение геодезических задач на поверхности земного элепсоида и в
пространстве.
a) В связи с развитием GPS встает задача перехода от геоцентрической
системы координат в систему координат в которой ведется
землеустройство и земельный кадастр. Настоящий переход
осуществляется методами высшей геодезии.
b) Глобальные позиционные системы одновременно определяются тремя
координатами X, Y, Z, в геоцентрической системе координат WGS 83.
В Беларуси используются система координат 1942 года или система
координат Красовского. В системе координат Красовского велись
землеустроительные и кадастровые работы. Возникла проблема связи
этих двух систем координат, причем система Красовского
прямоугольные координаты отделены от высот (известно что высоты
отсчитываются от уровня моря в гравитационной системы силы
тяжести земли). Плановая система координат и высотная разделены.
Координаты X, Y определены проекцией элепсоида на плоскости, а
высоты относительно уровня моря (геоида). Поэтому ставится задача
по GPS измерения определяются плановыми координатами X, Y и
высот.
c) На большой территории кадастр и землеустройство ведется в
определенной картографической проекции. Поэтому по координатам
определенным с помощь GPS необходимо вычеслить координаты
объектов в проекции..
1.
2.
3.
4.
Приведенные положения являются основанием изучения высшей геодезии.
Задачами высшей геодезии являются:
Главная задача высшей геодезии является изучение фигуры и
гравитационного поля земли по:




Геодезическим измерениям
Гравиметрическими (измерения силой тяжести)
Астрономическим определением
Наблюдением искусственного спутника земли.
Проблема определения формы земли может быть определено так:
1. Определяется поверхность относимости в виде поверхности элепсоида.
2. Необходимо определить поверхность геоида относительно экватора, а
для этого необходимо знать величину ζ (дзета) – высота геоида над
элепсоидом или аномалия высоты.
3. По этим данным определяется положение точки физической
поверхности земли по формуле H = Hγ + ζ, где Hγ – нормальная высота
определения из нивелира. Считаем что геодезическая широта и долгота
точки А0 так же определены.
К научным задачам вычисления геоида можно отнести:
1. Определение гравитационного поля земного элепсоида
2. Определение отступления гравитационного поля реальной земли от
поля элепсоида. Тогда по гравитационному полю элепсоида и
отступлением определения гравитационного поля реальной земли.
3. Изучение геодиномных процессов.
Научно – технические задачи высшей геодезии:
1. Создание опорных геодезических сетей
2. Разработка и совершенствование методов высокоточных измерений
(линейных, угловых, гравиметрических, спутниковых)
3. Разработка методов обработки материалов геодезических измерений.
Вопрос 2. Термины и определения.
Фигура земли – это фигура ограниченная физической поверхностью, т.е
поверхностью твердой оболочки на суше и невозмущенной поверхностью
морей и океанов.
Моделями земли является геоид и элепсоид.
Геоид – это уровненная поверхность поля силы тяжести земли совподающая
с уровнем моря.
Уровень моря считается началом счета высот.
Настоящая поверхность геоида была введена в 19 веке английским
математиком Стоком, а ее практическое применение в геодезии наиболее
полно разработано русским ученым Молоденским, а потом и Броваром.
Элепсоид – это фигура образованная в результате вращения эллипса вокруг
его малой оси РР1.
Элепсоид характеризуется двумя параметрами:
1. Большой полуосью
2. Малой полуосью.
Или а большой полуосью, сжатием 𝛼 =
𝑎−𝑏
𝑎
. Вместо сжатия может быть
использован эксцентриситет элепсоила, тогда их параметры: a и 𝒆𝟐 =
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
𝒂𝟐
,
где e –эсцентриситет.
Параметры общего земного элепсоида (ОЗЭ) определялись радом ученых. В
1942 году Красовским определено а = 6378242; α =
1
298,3
. Под спутниковым
наблюдением в 1984 году (они приняты за основу длин WGS – 84)
а = 6378137, 𝛼 =
1
258,2572
- эти параметры приняты для ОЗЭ, но до сих пор в
разных странах разные параметры.
В многих странах определены свои элепсоиды, такие локальные элепсоиды
называются референ – элепсоиды.
Вопрос 3.Основные разделы высшей геодезии.
Первый раздел: теоретическая геодезия или физическая. Ее предметом
являются методы и способы определения гравитационного поля земли,
параметры земного элепсоида и формы геоида.
Второй раздел: сфероидитечкая геодезия. Ее предметом является методы и
способы решения геодезических задач на элепсоиде.
Третий раздел: основные геодезические работы. Предметом их является
методы выполнения высокоточных измерений для определения
взаимоположения точек земной поверности.
Тема 2. Общие сведенья о геодезических сетях. Пути их модернизации.
1. Классификация геодезических сетей.
2. Назначение геодезических сетей.
3. Плотность и точность построения государственных геодезических
сетей (ГГС).
4. Понятие о спутниковых методах создания геодезических сетей.
5. Совершенствование ГГС.
Вопрос 1. Классификация геодезических сетей.
По территориальному охвату сети бывают:
- общеземные
- государственные
По геометрии:
- плановые
- высотные
- пространственные (планово – высотные).
Геодезические сети строят от общего к частному, т.е в начале на всю
территорию страны строится сеть самой высокой точности, потом эта сеть
сгущается выполнением менее точных измерений, но таким образом, чтобы
достигалось соответственной точности определения пунктов сети.
В таком иерархичном порядке строится геодезическая сеть Р.Б.:
1. Государственная геодезическая сеть состоит тз:
1,2,3,4 классов геодезической сети и гравиметрической сети,
государственная нивелирная сеть I, II, III, IV класса.
2. Государственная сеть сгущения:
из клановой сети полигонометрии и триангуляции 1 и 2 разрядов и
высотной, выполненной техническим нивелиром.
3. Съемочные сети:
клановые создаваемые теодолитными ходами, мензульные,
геодезические засечки, высотно-техническим невилирование.
4. Местные сети (специальные сети) для решения конкретных задач
народного хозяйства.
Вопрос 2. Назначение геодезических сетей.
Государственные плановые сети являются основой картографирования
страны, его закрепляют определенной системой координат с
координатами X и Y.
Государственная нивелирная сеть так же служит картографической
основы. Государственная нивелирная сеть не совпадает с государственной
плановой сетью. Плановое положение нивелирных пунктов известно
приближенно, а высотное известно точно.
Государственные гравиметрические сети предназначены для определения
гравитационного поля земли на территории страны. На этих пунктах
измеряется ускорение силы тяжести, они служат для определения
параметров элепсоида и в идеальном случае с высокой точностью должны
определятся их плановые и высотные координаты. Их нужно совмещать с
пунктами плановой и высотной сетей.
Государственные сети сгущения создаются для обоснования
топографических съемок масштабом 1:5000 и для выполнения
инженерных геодезических высот.
Специальные сети создаются для решения конкретных задачэкономики.
Пример: специальные высокоточные сети в Полесье (нивелировка 2
класса)
.
Вопрос 3.Плотность и точность построения государственных
геодезических сетей.
плотность плановой государственной сети характеризуется следующей
таблицей.
Класс
S, км.
2
13,3
3
7,6
4
4,4
Средняя длинна стороны 1 класса 23 км.
Площадь на один пункт
P = 0,7852
138,0
45,0
15,1
Зависимость плотности пунктов от масштаба съемок.
Масштаб съемки
1:25000
1:10000
1:5000
1:2000
Площадь
съемочной трап.
75
18
4,5
1,1
Площадь км2 на 1
пункт.
50-60
50-60
20-30
5-15
Расстояние км
между пунктами
7-8
7-8
4-6
2-4
Точность построения ГГС.
ГГС должна быть построена с такой точностью, чтобы влияние ошибок
положения геодезических пунктов было принебригаемым по отношению к
графической точности карты.
Графическая точность карты в свою очередь принимается равной двойной
точности масштаба. Исходя из этого, можно задать точность постороения
ГГС. Введем следующие обозначения:
ms – средняя квадратичная ошибка определения длинны стороны между
двумя смежными пунктами ГГС.
m – графическая точность карты
M – масштаб карты.
Если принять m = 0,2 мм с учетом масштаба m*M, а условие принебрижения
ms ≤ 0,25*m*M.
В городах базовым масштабом является 1:500. Для городов геодезические
сети должны характеризоваться точностью положения пункта 2,5 см. Исходя
из этого ГГС должна обеспечивать средне квадратичную ошибку положения
пункта 3 и более см.
Вопрос 4. Понятие о спутниковых методах создания геодезических
сетей.
К настоящему времени геодезические сети создаются GPS.
В данном случае от спутника к точке А и В измеряются дальность D1, D2 и
т.д. Координаты спутников известны. В результате отборки вычисляются Δx,
Δy, Δz между точками А и В. Для решения задачи, должно наблюдаться не
менее четырех спутников одновременно. Измерения выполняютс в
геоцентрической системе координат X, Y, Z.
При дальности порядка 20 тыс. км. приращение координат Δx, Δy, Δz
определяется со средней квадратичной ошибкой ±2см, даже если, точность
положения спутников характеризуется средними квадратичными ошибками
порядка ±100м. но при этом дальности должны измеряться с точностью ±2см.
Вопрос 5. Совершенствование ГГС.
На территории бывшего СССР совершенствовались ГГС, велось и ведется в
следующем порядке:
1. В 1191 году завершено уравнивание острономо – геодезической
сети 1 и 2 класса. В результате уравнивания получились следующие
точностные хараетеристики:
- среднеквадратическая ошибка взаимного положения пунктов
меньше 5 см.
- взаимное положение между крайними пунктами сети определяется
средней квадратичной ошибкой 1,1 м.
- относительная средняя квадратичная ошибка стороны в слабом
месте сети составляет
1
246000
.
Доказано после уравнивания, что средние квадратичные ошибки измерений
измеренных направлении составляют величину 0,``75, азимут определяется с
точностью 1,27``.
2. К настоящему времени ведется работа по созданию спутниковых
геодезических сетей на территории бывшего СССР и Р.Б. ГГС
спутниковой сети будет составлять из трех уровней:
- фундаментальная астрономо-геодезическая сеть ФАГС.
Расстояние между пунктами такой сети составляет 700-800км.
Взаимное положение их будет определятся со средней квадратичной
ошибкой ±2см. На этих пунктах будет осуществляется и их
астрономические координаты. Все измерения будут спутниковыми.
- на них ФАГС сгущается в высокоточный ВГС. Расстояние между
пунктами 150-300 км.
Взаимное положение пунктов ±2 см. Наблюдается выполнение
стационарными двух частотными спутниковыми приемниками.
- СГС (спутниковая геодезическая сеть). Расстояние между
пунктами до 45 км, они должны совмещаться с пунктами
существующей геодезической сети.
Тема 3 : Производство высокоточных угловых измерений
Вопросы :
1.
2.
3.
4.
5.
Высокоточные теодолиты.
Контрольные испытания оптических теодолитов.
Производство высокоточных угловых измерений.
Классификация ошибок угловых измерений.
Влияние инструментальных ошибок на результаты измерений.
Вопрос 1. Высокоточные теодолиты.
Высокоточные теодолиты делятся на:
-оптические
-электронные
В оптических отсчёты снимаются по микрометру, а в электронных он
выводится на табло или записывается в блок памяти.
Высокоточные теодолиты можно характеризовать так:
- Т-05 точность измерения углов 0,5" (Россия )
- ОТ02М 1" (Россия )
- ОТ1
1" (Россия )
- ДКМ-3
0,5" (Швейцария )
- Т2000S
0,5" (Швейцария )
- Theo 002 0,5" (Германия )
Вопрос 2. Контрольные испытания оптических теодолитов.
Поверки теодолита :
1) Цилиндрического уровня.
2) Визирной оси (коллимационная ошибка).
3) Поверка оси вращения трубы.
4) Поверка сетки нитей.
5) Поверка компенсатора.
6) Поверка оптического центрира.
Кроме названных поверок добавляются ещё несколько:
7) Ось накладного уровня должна быть параллельна оси вращения трубы.
8) Вращение алидады должно быть плавным.
9) Отсчётное устройство должно быть выверено и отъюстировано.
10)
Нити бисектора окулярного микрометра трубы должны быть
установлены вертикально.
11)
Место нуля недолжно быть более 10".
Исследования :
Определение цены деления уровня.
Определение цены деления окулярного микрометра трубы.
Правильность хода фокусирующей линзы трубы.
Исследование Рена
Исследование эксцентриситета лимба и алидады.
Исследование правильности вращения алидады.
Исследование ошибок диаметра лимба.
Исследование систематических ошибок измерения углов связанных с
люфтом подъёмных винтов.
9) Определение среднеквадратической ошибки измерения
горизонтальных и вертикальных углов одним приёмом.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Вопрос 3. Производство высокоточных угловых измерений.
Существуют следующие способы измерения направлений и углов:
1) Способ круговых приёмов (Струве).
2) Способ всевозможных комбинаций. Предложен Гауссом и
усовершенствован Шрейером.
3) Способ Томина или Видоизмененный способ всевозможных
комбинаций .
4) Способ Аладжанова.
Способ всевозможных комбинаций :
Все комбинации объединим в одну матрицу
1.2 1.3 1.4 ….1.n
1.3 2.4 ….2.n
(n-1).n
r=
n(n−1)
n
- число всех комбинаций
Веса измеренных направлений на станции вычисляются по формуле:
P=m*n
n - число приёмов
Допуски при измерении углов способом Всевозможных комбинаций:
1) Значение измерений при КЛ и КП не должны расходиться более чем на
8".
2) Расхождение между приемами 1 класс=4"
2 класс=5"
3) Колебание средних значений одного и тогоже угла, полученных
непосредственно в результате измерений так и вычисленных по другим
измеренным углам не должны превышать 3" (при числе направлений
менее 5 ) и 4" (при числе направлений более или равных 5).
Вопрос 4. Классификация ошибок угловых измерений.
Ошибки делятся на группы :
- личные -это ошибки системы прибор-наблюдатель
- инструментальные –вызванные погрешностью изготовления отдельны
узлов теодолита
- внешней среды
Вопрос 5. Влияние инструментальных ошибок на результаты
измерений.
1) Влияние коллимационной ошибки на отсчёты по горизонтальному
кругу:
Минимальная допустимая коллимационная ошибка в высокоточных
теодолитах не должна превышать 10" . Влияние на направление показано
формулой:
𝑋𝑐 =
C
sin Z
Z- зенитное расстояние
тогда поправка: N=КП+хс
N=КЛ±180○- хс
Среднее из отсчётов КП и КЛ свободно от коллимационной ошибки.
2) Влияние наклона оси вращения трубы. Оно вызвано невыполнением
третей поверки.
Тогда влияние этой ошибки выражается формулой:
x i = i ctgz
N=КП+хi
N=КЛ±180○- хi
3)Влияние наклона вертикальной оси теодолита:
Угол δ определяется по накладному уровню по следующей формуле:
(Л + П) ∗ КП
2
(Л + П) ∗ КЛ
2
Тогда в делениях уровня этот угол будет равен:
b=1/2((Л+П)КП-(Л+П)КЛ)
ᵷ = b*τ τ -цена деления уровня
Его влияние будет равно:
x ᵷ= ᵷctgz
N=КП+хᵷ
N=КЛ±180○- хᵷ
4)влияние ошибок нанесения делений на лимб:
Деления на лимб наносятся делительными машинами. Поэтому
исследования выполняют на специальных стендах. Эти ошибки
подразделяются на:
- длиннопериодические
- короткопериодические
Длиннопериодические ошибки выявляются по всей окружности лимба:
Короткопериодические ошибки выявляются на интервале одного радиуса:
По этим графикам учитываются ошибки деления лимба. Однако имеются
возможности ослабить их влияние на отсчёты и рекомендуют
переставлять лимб между приёмами с учётом наименьшего деления
лимба:
(180*n)+i
i- цена деления
n-число приёмов.
Тема 4: Элементы приведения. Предварительные вычисления.
Вопросы:
1. Элементы приведения.
2. Предварительные вычисления при обработке ленийно-угловых
плановых геодезических сетей.
Вопрос 1. Элементы приведения.
О1 и О2 –центры пунктов
J – точка установки прибора
V- визирный цилиндр, не совпадающий с центром пункта
Очевидно что мы будем иметь элементы приведения :
-центрировки l и Q
- редукции l' и Q'
Вычисляют поправки за центрировку С" и редукцию r".
Вопрос 2. Предварительные вычисления при обработке ленийноугловых плановых геодезических сетей.
Проверка полевых материалов.
Составление сводок результатов измерений.
Составление рабочей схемы.
Предварительное решение треугольников и вычисление сферических
избытков.
5) Приведение результатов измерений к центрам знаков.
6) Вычисление приближенных координат пунктов.
7) Составление карточек предварительной обработки на каждый пункт.
8) Редукционные вычисления.
9) Составление таблицы направлений приведенных к центрам знаков и
редуцированныхна плоскость в проекции Гаусса-Крюгера.
10)
Анализ полученных результатов.
11)
Обработка результатов геометрического нивелирования и
вычисление высот пунктов.
1)
2)
3)
4)
Пункт4:
В данном примере по измеренным углами исходной стороне
вычисляютсябоковые стороны треугольника.
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶
На больших расстояниях измеряются углы в сферическом треугольнике:
А + В + С = 180 + 𝜀
𝜀- сферический избыток
Для того чтобы вычислить невязку, из каждого угла извлекают 1/3
избытка, тогда разность между суммой углов и 180◦ будет равна невязке:
𝜀 = 𝑓𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑓𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑓𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴
Пункт 5:
По известным формулам вычисляются поправки за центрировку и
редукцию в триангуляции. В линейных сетях или линейных измерениях
элементы центрировки и редукции вычисляются по следующим
формулам:
См- поправка за центрировку
См
= cos(𝜃 − 180)
𝑙
𝐶м = 𝑙 𝑐𝑜𝑠𝜃
rм-поправка за редукцию
𝑟м = 𝑙′ 𝑐𝑜𝑠𝜃′
Пункт 7:
Приближенные координаты вычисляются по известным нам формулам
вычисления координат :
- в прямой угловой засечке
- линейной засечке
- обратной засечке
-полярных координат
Пункт 8:
Целью редукционных вычислений является приведение измерений на
эллипсоид, а с эллипсоида на плоскость в проекции Г-Крюгера.
В связи с этим вычисляются редукции или приведения:
1)Редукция за уклонение отвесной линии
U – угол за уклонение от отвесной линии
2)Поправка в направление за высоту наблюдаемой цели над эллипсоидом
При визировании на высокую цель на высоте Н над земным элипсоидом,
не совпадает с нормальным сечением на величину ᵷ .
3)Поправка за переход от нормального сечения к геодезической линии
Геодезическая линия – это кратчайшее расстояние между двумя точками
на поверхности эллипсоида.
4)Поправка в направление за кривизну изображения геодезической линии
в проекции Г-Крюгера.
Это последняя поправка для того чтобы мы на плоскости оперировали
прямыми линиями.
Тема 5. Уравнительные вычисления.
1. Карелатный способ.
1.1. Сущность способа
1.2. Виды условий уравнений. Число условных уравнений.
1.3. Решение условных уравнений по методу наименьших
квадратов.
2. Параметрический способ.
2.1 Сущность способа.
2.2 Виды некоторых уравнений поправок.
2.3 Решение уравнений по методу наименьших квадратов.
Вопрос 1. Карелатный способ.
Вопрос 1.1 Сущность способа
Коррелатный способ легко понять, если его назвать способом условных
уравнений или способом условий.
Сущность способа заключается в следующем, что если бы нам были
известны истинные значения измеренных величин, то в геодезических сетях
выполнялась бы определённое геометрическое условие.
Пусть в треугольнике известны истинные значения углов x1, x2, x3, тогда в
нём должно выполняться условие
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 − 180° = 0
Истинные значения не известны, известны только измеренные значения, в
таком случае геометрическое условие не выполняется.
x1, x2, x3 – известные величины, они отягощены случайными ошибками и не
равны истинным значениям.
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 − 180° = 𝑊
W- невязка, а в уравнительных вычислениях применяется как свободный
член.
Задачей уравнительных вычислений, найти такие поправки в x1, x2, x3, чтобы
компенсировать невязки и получить результат с наивысшей точностью.
Обозначим поправки 𝜗𝑥1 , 𝜗𝑥2 , 𝜗𝑥3
𝑥1 + 𝜗𝑥1 + 𝑥2 + 𝜗𝑥2 + 𝑥3 + 𝜗𝑥3 − 180° = 0
𝜗𝑥1 + 𝜗𝑥2 + 𝜗𝑥3 + 𝑊 = 0
Где 𝑊 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 − 180°
В общем виде условные уравнения можно записать:
𝜑1 (𝜗𝑥1 ; 𝜗𝑥2 ; 𝜗𝑥3 … 𝜗𝑥𝑛 ) + 𝑊1 = 0
𝜑2 (𝜗𝑥1 ; 𝜗𝑥2 ; 𝜗𝑥3 … 𝜗𝑥𝑛 ) + 𝑊2 = 0
𝜑𝑛 (𝜗𝑥1 ; 𝜗𝑥2 ; 𝜗𝑥3 … 𝜗𝑥𝑛 ) + 𝑊𝑟 = 0
r – Число условных уравнений, оно равно числу избыточных уравнений в
геодезическом построении.
Например:
Треугольник, в котором измерено 3 угла имеется одно избыточное
измерение, потому что 3 угол можно вычислить по 2-м измеренным углам.
Систему условных уравнений решают по методу наименьших квадратов и
находят такие поправки, чтобы точность результатов была максимальна.
Число избыточных измерений равна числу условных уравнений.
Вопрос 1.2. Виды условных уравнений. Число условных уравнений.
На примере триангуляции мы ранее рассматривали условные уравнения
фигур:
- полюсные
-базисные
-дирекционных углов
В полигонометрии возможны условные уравнения:
-полигонов (угловое)
-координатные (по осям X и Y)
Вопрос 1.3. Решение условных уравнении по методу наименьших
квадратов.
Число условных уравнений равно числу избыточных измерений
Всё покажем на примере двух условных уравнений
𝒂𝟏 𝝑𝟏 + 𝒂2 𝝑2 + 𝒂3 𝝑3 + 𝑾𝟏 = 𝟎
𝒃𝟏 𝝑𝟏 + 𝒃𝟐 𝝑2 + 𝒃3 𝝑3 + 𝑾𝟐 = 𝟎
𝒂𝒊 , 𝒃𝒊 – коэффициенты словных уравнений при поправках 𝜗𝑖
𝑾𝒊 – свободный член
Будем считать, что измерения имеют веса 𝑃𝑖 . Уравнивание по методу
наименьших квадратов сводится к постановке задачи на условный
экстремум, или к минимизации функционала Лагранжа.
𝜱 = ∑ 𝒑𝒊 𝝑𝟐𝒊 + 𝟐𝑹𝟏 (𝒂𝟏 𝝑𝟏 + 𝒂𝟐 𝝑𝟐 + 𝒂𝟑 𝝑𝟑 + 𝑾𝟏 )
+ 𝟐𝑹𝟐 (𝒃𝟏 𝝑𝟏 + 𝒃𝟐 𝝑𝟐 + 𝒃𝟑 𝝑𝟑 + 𝑾𝟐 ) = 𝒎𝒊𝒏
𝑅1 и 𝑅2 – коэффициенты Лагранжа (коррелаты)
Неизвестными величинами являются поправки 𝜗𝑥1 , 𝜗𝑥2 , 𝜗𝑥3 . Для их
вычисления берут производные по поправкам и приравнивают их к 0.
dΦ
= 2𝑝1 𝜗1 + 2𝑘1 𝑎1 + 2𝑘2 𝑏1 = 0
𝑑𝜗1
dΦ
= 2𝑝2 𝜗2 + 2𝑘1 𝑎1 + 2𝑘2 𝑏2 = 0
𝑑𝜗2
dΦ
= 2𝑝3 𝜗3 + 2𝑘1 𝑎3 + 2𝑘2 𝑏3 = 0
𝑑𝜗3
Из этих уравнений
𝜗1 = −
1
(𝑘 𝑎 + 𝑘2 𝑏1 )
𝑝1 1 1
𝜗2 = −
1
(𝑘 𝑎 + 𝑘2 𝑏2 )
𝑝2 1 2
𝜗1 = −
1
(𝑘 𝑎 + 𝑘2 𝑏3 )
𝑝3 1 3
Подстановкой 𝜗𝑥1 , 𝜗𝑥2 , 𝜗𝑥3 в условные уравнения получают нормальные
уравнения:
−𝑎1
1
1
1
(𝑘1 𝑎1 + 𝑘2 𝑏1 ) − 𝑎2 (𝑘1 𝑎2 + 𝑘2 𝑏2 ) − 𝑎3 (𝑘1 𝑎3 + 𝑘2 𝑏3 ) + 𝑊 = 0
𝑝1
𝑝2
𝑝3
𝑎𝑎
𝑎𝑏
− [ ] 𝑅1 − [ ] 𝑅2 + 𝑊1 = 0
𝑝
𝑝
После подстановки 𝜗1 , 𝜗2 , 𝜗3 во второе условное уравнение мы получаем
второе нормальное уравнение. Их система тогда имеет в ид:
𝑎𝑎
𝑎𝑏
] 𝑅1 − [ ] 𝑅2 + 𝑊1 = 0
𝑝
𝑝
𝑎𝑏
𝑏𝑏
− [ ] 𝑅1 − [ ] 𝑅2 + 𝑊2 = 0
𝑝
𝑝
{
−[
Решая систему, получаем 𝑅1 , 𝑅2 и вычисляют поправки 𝜗1 , 𝜗2 , 𝜗3
В матричном виде решение выглядит так:
𝐵=(
𝑎1 𝑎2 𝑎3
)
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝜗1
𝑉 = (𝜗2 )
𝜗3
Введём обозначение
𝑊=(
𝑊1
)
𝑊2
𝑃1
𝑃=(
)
𝑃2
𝑃3
Тогда система условных уравнений:
𝐵𝑉 + 𝑊 = 0
А функционал Лагранжа
Φ = 𝑉 T𝑃𝑉 + 2𝐾T(𝐵𝑉 + 𝑊) = 𝑚𝑖𝑛
𝑑Ф
=0
𝑑𝑉
𝑑Ф
𝑑𝑉
= 2𝑉 T𝑃 + 2𝐾T𝐵 = 0
𝑉 T𝑃 = − 𝐾 T𝐵
Для вычисления 𝑉 T последнее уравнение на матрицу 𝑃−1
𝑉 𝑇 𝑝𝑝−1 = −𝑘 𝑇 𝐵𝑝−1
𝑝𝑝−1 = 𝐸
1 0 0
𝐸 = (0 1 0 )
0 0 1
𝑉 𝑇 = −𝐾𝐵𝑝−1
𝑉 = (𝑉 𝑇 )𝑇 = −(𝐾𝐵𝑝−1 )𝑇 = −𝑝−1 𝐵𝑇 𝐾
Подставив вектор В в условные уравнение составим нормальные уравнения:
−𝐵𝑝−1 𝐵𝑇 𝐾 + 𝑊 = 0
−𝐵𝑝−1 𝐵𝑇 = 𝑁
𝑁𝐾 + 𝑊 = 0
Для нахождения К умножаем уравнение на 𝑁 −1 слева
−𝑁 −1 𝑁𝐾 + 𝑁 −1 𝑊 = 0
𝑁 −1 𝑁 = 𝐸
𝐾 = 𝑁 −1 𝑊
Тогда процесс уравнивания делается так
Составляется уравнение поправок
𝐵𝑉 + 𝑊 = 0
Составляется матрица нормальных уравнений
−𝑁𝐾 + 𝑊 = 0
Вычисляется поправки
𝑉 = −𝑝−1 𝐵𝑇 𝐾
Вопрос 2.Параметрический способ.
Вопрос 2.1. Сущность способа.
Вопрос 2.2. Виды некоторых поправок.
Вопрос 2.3. Решение уравнений по способу наименьших квадратов.
Сущность способа покажем на примере линейной засечки.
Пункты А, В, С являются исходными. Р – определяемый пункт с
неизвестными координатами.
Из математики известно,что для определения t неизвестных необходимо
составить t уравнений.
Линейная засечка позволяет составить 2 уравнения:
{
𝑆1 = √(𝑥𝐴 − 𝑥)2 + (𝑌𝐴 − 𝑌)2
𝑆2 = √(𝑋𝐵 − 𝑋)2 + (𝑌𝐵 − 𝑌)2
Эти уравнения устанавливают связь между измеренными величинами S1, S 2
и известными величинами х и у. Неизвестные величины называются еще
параметрами, а эти уравнения параметрическими уравнениями связи.
Однако на практике измеряют более чем 2 стороны и составляют уже,
например, систему трех уравнений с двумя неизвестными:
𝑆1 = √(𝑥𝐴 − 𝑥)2 + (𝑌𝐴 − 𝑌)2
{𝑆2 = √(𝑋𝐵 − 𝑋)2 + (𝑌𝐵 − 𝑌)2
𝑆3 = √(𝑋𝐶 − 𝑋)2 + (𝑌𝐶 − 𝑌)2
Мы имеем переопределенную систему уравнений потому, что число
уравнений больше числа неизвестных.
Для получения однозначного решения вводится дополнительное условие,
которое позволяет получить решение однозначное и наиболее точное.
Чаще всего используют условие минимума взвешенной суммы квадратов
поправок измерений. Тогда задача формулируется так: даны координаты
исходных пунктов ХА, УА, ХВ, УВ, ХС, УС, …, S1, S2, SX3, …, x0, y0. Для
удобства введем следующие переменные поправки в стороны v1,v2, v3… и
поправки в приближенные координаты неизвестных величин 𝛿 x, 𝛿 y, т.е.
чтобы решение можно было записать так:
х=х0+ 𝛿х
у=у0+ 𝛿у
Для того чтобы получить однозначное решение необходимо потребовать
выполнение следующих уравнений связи:
𝑆1 + 𝑣1 = √(𝑋𝐴 − 𝑋0 − 𝛿𝑥)2 + (𝑌𝐴 − 𝑌0 − 𝛿𝑥)2
{𝑆2 + 𝑣2 = √(𝑋𝐵 − 𝑋0 − 𝛿𝑥)2 + (𝑌𝐵 − 𝑌0 − 𝛿𝑦)2
𝑆3 + 𝑣3 = √(𝑋𝐶 − 𝑋𝐶 − 𝛿𝑥)2 + (𝑌𝐶 − 𝑌0 − 𝛿𝑦)2
Эти уравнения связи решаются при условии минимума взвешенной суммы
квадратов поправок в измерениях.
ȹ = ∑ 𝑃𝑖 𝑣𝑖 2 = 𝑃1 𝑣𝑖 2 + 𝑃2 𝑣𝑖 2 + ⋯ + 𝑃𝑛 𝑣𝑖 2 = 𝑚𝑖𝑛 – решение по методу
наименьших квадратов
Задача имеет нелинейный вид
В математике не существует общего алгоритма решения нелинейных
уравнений. И такие системы решаются способами приближений и на каждом
приближении решается система линейных уравнений соответствующая
данной системе нелинейных уравнений.
Для этого исходную систему нелинейных уравнений приводят к линейному
виду. Для этого каждое уравнение системы разлагается в ряд Тэйлора,
ограничиваясь первыми степенями. Покажем это на первом уравнении
y= f(x0 + 𝛿𝑥)
y= f(𝑥0 ) +
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝛿𝑥
Тогда очевидно что
𝑆1 + 𝑣1 = √(𝑋𝐴 − 𝑋 0 )2 + (𝑌𝐴 − 𝑌 0 )2 +
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝛿𝑥 +
𝛿𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Или
𝑣1 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝛿𝑥 +
𝜕𝑓
𝑑𝑦
𝛿𝑦+l, где l – l= √(𝑋𝐴 − 𝑋0) 2 + (𝑌𝐴 − 𝑌0 )2 − 𝑆1
Тогда систему линейных уравнений записывают в линейном виде
𝑣1 =
𝜕𝑓1
𝜕𝑓1
𝛿𝑥 +
𝛿𝑦 + 𝑙1
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑣2 =
𝜕𝑓2
𝜕𝑓2
𝛿𝑥 +
𝛿𝑦 + 𝑙2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑣3 =
𝜕𝑓3
𝜕𝑓3
𝛿𝑥 +
𝛿𝑦 + 𝑙3
𝜕𝑥
𝜕𝑦
3
∅ = ∑ 𝑃𝑖 𝑣𝑖 2 = 𝑚𝑖𝑛
𝑖=1
Такое решение называется уравнивание параметрическим способом.
Покажем алгоритм уравнивания параметрическим способом на примере двух
неизвестных.
Пусть имеется система трех:
𝑣1 = 𝑎1 𝛿𝑥 + 𝑏1 𝛿𝑦 + 𝑙1 𝑃1
𝑣2 = 𝑎2 𝛿𝑥 + 𝑏2 𝛿𝑦 + 𝑙2 𝑃2
𝑣3 = 𝑎3 𝛿𝑥 + 𝑏3 𝛿𝑦 + 𝑙3
𝑃3
ȹ=𝑃1 𝑣1 2 + 𝑃2 𝑣2 2 + 𝑃3 𝑣3 2 = 𝑚𝑖𝑛
ȹ=𝑃1 (𝑎1 𝛿𝑥 + 𝑏1 𝛿𝑦 + 𝑙1 )2 + 𝑃2 (𝑎2 𝛿𝑥 + 𝑏2 𝛿𝑦 + 𝑙2 )2 + 𝑃3 (𝑎3 𝛿𝑥 + 𝑏3 𝛿𝑦 +
𝑙3 )2 = 𝑚𝑖𝑛
Для того чтобы получился мин6имум функционал ȹ, необходимо
продифференцировать её по переменным и приравнять производные к нулю.
𝜕𝜑
= 2𝑃1 (𝑎1 𝛿𝑥 + 𝑏1 𝛿𝑦 + 𝑙1 )𝑎1
𝜕𝑥
+ 2𝑃2 (𝑎2 𝛿𝑥 + 𝑏2 𝛿𝑦 + 𝑙2 )𝑎2 + 2𝑃3 (𝑎3 𝛿𝑥 + 𝑏3 𝛿𝑦 + 𝑙3 )𝑎3 = 0
Приведен подобные члены
[𝑃𝑎𝑎]𝛿𝑥 + [𝑃𝑏𝑎]𝛿𝑦 + [𝑃𝑎𝑙] = 0
𝜕𝜑
= [𝑃𝑏𝑎]𝛿𝑥 + [𝑃𝑏𝑏]𝛿𝑦 + [𝑃𝑏𝑙] = 0
𝜕𝑦
Таким образом вместо трёх уравнений связи или уравнений поправок мы
получаем систему двух уравнений
[𝑃𝑎𝑎]𝛿𝑥 + [𝑃𝑏𝑎]𝛿𝑦 + [𝑃𝑎𝑙] = 0
{
[𝑃𝑏𝑎]𝛿𝑥 + [𝑃𝑏𝑏]𝛿𝑦 + [𝑃𝑏𝑙] = 0
Поскольку в данной системе число уравнений равно числу неизвестных, то
такая система называется нормальной. Из её решения находится 𝛿𝑥, 𝛿𝑦 и
соответственно
𝑥 = 𝑥0 + 𝛿𝑥
𝑦 = 𝑦0 + 𝛿𝑦
Обобщим данное решение n-мерного случая
Введём следующие матричные уравнения:
𝑎1 𝑏1 …
𝐴 = (𝑎 𝑏 …)
2 2
…
𝛿𝑥
𝑋 = (𝛿𝑦)
…
𝑙1
𝐿 = (𝑙 )
2
…
𝜗1
𝑉 = (𝜗 )
…2
𝑃 = 𝐸 (единичная в частном случае равноточных измерений)
Тогда система уравнений поправок записывается
𝑉 = 𝐴𝑥 + 𝐿,тогда квадратная форма
Φ = 𝑃1 𝜗12 + 𝑃2 𝜗22 + ⋯ = 𝑉 𝑇 𝑃𝑉 = 𝑚𝑖𝑛
x-?
Φ = 𝑉 𝑇 𝑃𝑉 = 𝑉 𝑇 𝑃(𝐴𝑥 + 𝐿) = 𝑚𝑖𝑛
𝑑Ф
𝑑𝑉
= 2𝑉 𝑇 𝑃
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑉
=𝐴
𝑑𝑥
𝑑Ф
= 2𝑉 𝑇 𝑃𝐴 = 0
𝑑𝑥
𝑉 𝑇 𝑃𝐴 = 0
Выполним новое транспонирование(𝑉^𝑇 𝑃𝐴)𝑇 = 0
𝐴𝑇 𝑃𝑉 = 0
𝐴𝑇 𝑃(𝐴𝑥 + 𝐿) = 0
𝐴𝑇 𝑃𝐴𝑥 + 𝐴𝑇 𝑃𝐿 = 0
𝐴𝑇 𝑃𝐴 = 𝑁
N – матрица нормальных уравнений
𝑁𝑥 + 𝐴𝑇 𝑃𝐿 = 0
𝑁𝑥 = 𝐴𝑇 𝑃𝐿
Для получения решения умножим на 𝑁 −1 слева
𝑁 −1 𝑁𝑥 = −𝑁 −1 𝐴𝑇 𝑃𝐿
𝑁 −1 – обратная матрица
Поскольку 𝑁
−1
1 0 0
𝑁=𝐸=( 0 1 0
0 0 1
)
𝑥 = 𝐴𝑇 𝑃𝐿
Транспонирование –строки заменяются столбцами
(
𝑎1 𝑎2
𝑎1 𝑏1
)=(
)
𝑏1 𝑏2
𝑎2 𝑏2
Оценка точности делается по формуле
𝐷𝑥 = 𝛿 2 𝑁 −1
δ – стандарт измерения вес которому приписан 1
𝛿=√
𝑉 𝑇 𝑃𝑉
𝑛−𝑡
n- число уравнений связей (уравнения поправок)
t - число неизвестных параметров
𝐷𝑥 – матица, диагональные элементы которой равна дисперсиям
определённых параметров.
Слово стандарт имеет теоретический смысл. На практике вместо него
применяется термин СКО.
𝜇𝑥 = 𝜇2 𝑁 −1
𝜇=√
𝑉 𝑇 𝑃𝑉
𝑛−1
Для справки покажем определение коэффициентов уравнений поправок для
некоторых измерений.
СТОРОН
𝑆 + 𝜗 = √(𝑥𝐴 − 𝑥0 − 𝜗𝑥 )2 + (𝑦𝐴 − 𝑦0 − 𝛿𝑦)2
𝜗=
𝑑𝑓
𝑑𝑓
𝛿𝑥 +
𝛿𝑦 + 𝑙
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑓
2(𝑥𝐴 − 𝑥0 ) ∗ (−1)
∆𝑥0 𝑆0 cos 𝛼0
=
=−
=
= − cos 𝛼0
𝑑𝑥 2√(𝑥𝐴 − 𝑥0 )2 + (𝑦𝐴 − 𝑦0 )2
𝑆0
𝑆0
Для стороны между двумя определёнными пунктами 1 и 2 уравнение
поправок будет иметь вид:
𝜗 = − cos 𝛼0 𝛿𝑥1 − sin 𝛼0 𝛿𝑦1 + cos 𝛼0 𝛿𝑥2 + sin 𝛼0 𝛿𝑥2 + 𝑙
Где 𝑙 = √(𝑥20 − 𝑥10 )2 + (𝑦20 − 𝑦10 )2 − 𝑆
𝑥𝑖0 , 𝑦𝑖0 – приближённые координаты определённых пунктов
S – измеренная длинна
УРАВНЕНИЕ ПОПРАВОК В НАПРАВЛЕНИЯ
Пусть имеются направления 1,2,3 и т.д. Все направления отсчитывались от
нуля лимба. Введём дополнительное неизвестное Z-это дирекционный угол
нулевого деления лимба.
𝛼1 = 𝑍 + 𝑀1
𝛼2 = 𝑍 + 𝑀2
…
𝛼𝑖 = 𝑍 + 𝑀𝑖
Исходя из этого можно записать, что направление 𝑀𝑖 = −𝑍𝑖 + 𝛼𝑖
Z – ориентирующий угол
Пусть имеется направления 1, 2
2
Очевидно, что можно записать
М=-z+arctg
𝑦2 −𝑦1
𝑥2 −𝑥1
1
Это выражение справедливо, если известны истинные значения всех
величин. Но поскольку М измерено, а остальные величины неизвестны, то
задаются приближенные значения координат и ориентировочного угла:
𝑥10 , 𝑦10 , 𝑥20 , 𝑦20 , 𝑧, 𝛿𝑥1 , 𝛿𝑦1 , 𝛿𝑥2 , 𝛿𝑦2 , 𝛿𝑧, 𝑣
Уравнение связи можно переписать так:
𝑦20 + 𝛿𝑦2 − 𝑦10 − 𝛿𝑦1
𝑀 + 𝑣 = −(𝑧 + 𝛿𝑧) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0
𝑥2 + 𝛿𝑥2 − 𝑥10 − 𝛿𝑥1
0
После разложим в ряд Тейлора
𝑣 = −𝛿𝑧 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
𝛿𝑥1 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦1
𝜕𝑦1 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
𝜕𝑥2 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦2
+ 𝑙,
- уравнение поправок
направлений
где 𝑙 = −𝑧0 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑦20 −𝑦10
𝑥20 −𝑥10
Для справки покажем как определяется одна из производных:
𝜕𝑓
=
𝜕𝑥1
1
∗
𝑦2 − 𝑦1 2
1+(
𝑥 −𝑥 )
2
−1 ∗ (−1) ∗ (𝑦2 − 𝑦1 )
(𝑥2 − 𝑥1 )2
1
(𝑥2 − 𝑥1 )2 (𝑦2 − 𝑦1 )
1
=
∗
(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦20 − 𝑦10 )2 (𝑥2 − 𝑥1 )2
𝑦2 − 𝑦1 = ∆𝑦 = 𝑆𝑠𝑖𝑛𝛼
(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 = 𝑆 2
𝜕𝑓
𝑆𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝜕𝑥1
𝑆2
𝜕𝑓
𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝜕𝑥1
𝑆
𝜕𝑓
−𝑐𝑜𝑠𝛼
=
𝜕𝑦1
𝑆
𝜕𝑓
−𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝜕𝑥2
𝑆
𝜕𝑓
𝑐𝑜𝑠𝛼
=
𝜕𝑦2
𝑆
Тогда уравнение поправок направлений имеет вид:
𝑣 = −𝛿𝑧 + 𝑎𝛿𝑥1 − 𝑏𝛿𝑦1 − 𝑎𝛿𝑥2 + 𝑏𝛿𝑦2 + 𝑙,
Где 𝑎 =
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑆
,𝑏=
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑆
Уравнение поправок приращений координат измеренных GPS-методом
Будем считать что приращение координат измеряется в геоцентрической
системе координат, в которой функционирует сама GPS.
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
∆𝑧 = 𝑧2 − 𝑧1
Зададимся приближенными значениями координат 𝑥10 , 𝑦10 , 𝑥20 , 𝑦20 , 𝑧10 , 𝑧20 ,
поправками к ним 𝛿𝑥1 , 𝛿𝑦1 , 𝛿𝑥2 , 𝛿𝑦2 , 𝛿𝑧1 , 𝛿𝑧2 и поправками в измерения
𝑣∆𝑥, 𝑣∆𝑦, 𝑣∆𝑧, то на примере приращения координат вычисляются:
∆𝑥 + 𝑣∆𝑥 = 𝑥20 + 𝛿𝑥2 − 𝑥20 − 𝛿𝑥1
𝑣∆𝑥 = −𝛿𝑥1 + 𝛿𝑥2 + 𝑙𝑥 ,
где 𝑙𝑥 = 𝑥20 − 𝑥10 − ∆𝑥
𝑣∆𝑦 = −𝛿𝑦1 + 𝛿𝑦2 + 𝑙𝑦 ,
где 𝑙𝑦 = 𝑦20 − 𝑦10 − ∆𝑦
𝑣∆𝑧 = −𝛿𝑧1 + 𝛿𝑧2 + 𝑙𝑧 ,
где 𝑙𝑧 = 𝑧20 − 𝑧10 − ∆𝑧